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Universidade Federal de Pernambuco 
Centro de Tecnologia e Geociências 
Departamento de Engenharia Química 
Curso de Engenharia Química 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transferência de Massa 
-Notas de Aula do Professor José Marcos- 
 
 
 
 
 
 
 
Recife, maio de 2010. 
 
 
 
 
 
 
 Aplicação da Transferência de Massa 
em processos de separação: 
 
 
 
 
 
 
 
Transferência de Massa – 1ª Unidade 
 
Definição: 
 
Quando o sistema possui um ou mais componentes e suas concentrações variam ponto a 
ponto, há uma tendência natural para a transferência de massa minimizando a diferença 
de concentração no sistema. 
O fenômeno foi observado pela primeira vez por Parrot em 1815. O tipo de transporte 
que independe da velocidade do fluido do sistema é chamado de difusão molecular. É 
explicado para partículas gasosas como a teoria cinética dos gases. Colisões a níveis 
moleculares ocorrem a todo instante no sistema e como resultado, após certo tempo, a 
homogeneização do sistema acontece. 
Existem dois tipos de transferência de massa como fenômenos de transporte. A difusão 
e a convecção, onde a difusão é quando não há velocidade do fluido no sistema e a 
convecção quando essa velocidade existe. 
 
 
Muitas ocorrências do dia-a-dia envolvem transferência de massa: processo de 
solubilização de açúcar no chá, favorecido pela agitação de uma colher, solubilização de 
sal em água, preparação de um chá por infusão (Fig.11), evaporação de água na 
superfície de uma piscina e transporte através do ar envolvente, secagem de um tronco 
de madeira após o corte e correspondente transporte da umidade através dos poros da 
madeira até a sua superfície, solubilização de oxigênio em água num aquário para 
consumo dos peixes, arejamento de reservatórios de água, solubilização de oxigênio 
num meio nutriente para consumo de microorganismos num processo de fermentação 
aeróbia, transferência de reagentes para a superfície de um catalisador, onde ocorre uma 
reação, etc. 
 
 
 
Figura 11: Preparação de chá por infusão (extração sólido/líquido seguido de difusão). 
O processo de transferência de massa é favorecido pela agitação da colher (convecção). 
Equação da Primeira Lei de Fick 
Definições iniciais: 
Numa mistura multicomponente a concentração de cada espécie pode ser representada 
de varias formas. 
 
 
- Concentração mássica: 
 
 
 ρA = massa de A/ volume total 
- Concentração Total ou densidade: 
ρ = (i.e) a densidade é o somatório de todas as concentrações mássicas presentes 
na mistura. 
 
- Concentração Molar: 
CA = nº de mols A/ Volume 
- Concentração Total: 
C = = n/V = ρ/MM onde: n = nº de mols total 
 
Por outro lado definimos a fração mássica como: 
ωa = ρa/ρ 
Já a fração molar é definida como: 
xa = Ca/C onde o somatório das frações é sempre igual a 1, i.e., = 1 
Usa-se o xi para líquidos e sólidos enquanto o yi é usado para gases. 
Para gases em condições ideais (baixa pressão e temperatura): paV = naRT 
Como Ca = na/V tem-se que: Ca = pa/RT 
 Onde pa é a pressão parcial do gás na mistura, T é a temperatura absoluta e R a 
constante dos gases. 
A concentração total C, é o número total de moles em um volume unitário. A mesma é 
definida por: 
 
C = 
E para gases em condições ideais tem-se: 
C = n/V = P/RT, onde P é a pressão total da mistura. 
 
A fração molar para líquidos e sólidos, xa, e para misturas gasosas, ya, são definidas por: 
xa = Ca/C 
Ya = Ca/C 
 
 
 
Para misturas gasosas que obedecem à lei dos gases ideais, a fração molar, ya, pode ser 
escrita como: 
 Ya = Ca/C = pa/P (LEI DE DALTON PARA MISTURAS GASOSAS) 
 
Resumindo tudo que foi visto até aqui, têm-se as seguintes relações: 
 
 
Exemplo 1: 
A composição do Ar é frequentemente dada através das duas espécies mais frequentes 
na mistura: Oxigênio e Nitrogênio 
Oxigênio: YO2 = 0,21 
 
 
Nitrogênio: YN2 = 0,79 
Determine a fração mássica de O2 e N2 e o peso médio do ar quando o sistema é 
mantido a 25ºC e 1 atm. 
MMO2 = 0,032 kg/mol e MMN2 = 0,028 kg/mol 
Solução: Considere como base de cálculo 1 mol de ar 
 Então, mo2=1mol x 0,21x0,0023 kg/mol = 0,00672 kg 
 MN2=1mol x 0,79 x 0,028 kg/mol = 0,0221 kg 
A massa total presente será: 
mT= 0,00672 + 0,0221 kg = 0,0288 kg 
 
Dessa forma, tem-se: 
Wo2=0,00672/0,0288= 0,23 
WN2 =0,0221/0,0288 = 0,77 
Que poderia ter sido calculado pela seguinte expressão: 
 ωa = Ya x MMa / (Ya x MMa + Yb x MMb) 
Como 1mol do ar possui uma massa de 0,0288 kg, então a massa molecular média da 
mistura gasosa será 0,0288 kg. 
 
 Segue agora outras definições importantes para a 1ª Lei de Fick 
Velocidades 
Em um sistema composto por várias espécies, cada espécie se move a velocidades 
diferentes. A velocidade mássica média é definida por: 
 
 
Onde vi é a velocidade medida em relação a um referencial inercial. Esta velocidade é 
medida com um tubo Pitot, e é a velocidade usada nas equações de transferência de 
movimento (Mec. Dos Fluidos) 
Já a velocidade molar média é definida por 
 
 
 
 
 
A velocidade de uma espécie particular relativa a uma velocidade mássica média ou 
velocidade molar média é definida de velocidade difusiva. 
Vdifusão = va,z – Vz 
Define-se duas velocidades difusivas, a saber: 
 vi – v = velocidade difusiva da espécie i relativa a velocidade mássica 
média 
 vi – V = velocidade difusiva da espécie i em relação a velocidade molar 
média 
De acordo com a 1ª Lei de Fick, a espécie só terá velocidade difusiva se houver 
gradiente de concentração. 
Fluxos 
O fluxo mássico ou molar de uma dada espécie é um vetor que denota a quantidade de 
uma espécie que passa através uma área normal unitária por unidade de tempo. O fluxo 
pode ser definido com relação as coordenadas estacionárias ou móveis. 
O fluxo molar relativo a velocidade molar média (JA) é uma relação empírica que foi 
primeiramente postulada por Fick e é normalmente chamada de a primeira Lei de Fick. 
Ela define a difusão de um componente A em um meio isotérmico e isobárico. Sob tais 
condições a 1ª Lei de Fick é dada por: 
Ja,z = - DAB dCa/dz 
Onde Ja,Z = fluxo molar na direção Z com relação a velocidade molar média; 
DAB = uma constante de proporcionalidade chamada coeficiente de difusividade do 
componente A através do componente B; 
dCa/dz = gradiente de concentração da espécie A na direção Z; 
Obs.: A difusividade da espécie A através de uma substância B é escrita da seguinte 
forma. DAB. 
Um fluxo mais geral que não é restrito a sistemas isotérmicos e isobáricos foi proposto 
por Groot (1951): 
 
Fluxo = (densidade global) (coef. de difusão) (gradiente de concentração) 
JA,Z = - C DAB dyA/dz 
 
 
Como a concentração é constante quando a temperatura e pressão são constantes a 
equação proposta por Groot e Fick se equivalem nessas condições (Demonstrar essa 
afirmação) 
 
O fluxo mássico na direção Z relativo a velocidade mássica média é dado por : 
 
JA,Z = - ρ DAB dωA/dz 
 
Onde dω/dz é o gradiente da fração mássica na direção z. Para condições isotérmicas e 
isobáricas, a densidade da mistura é constante, então: 
 
JA,Z = - ρ DAB dωA/dz = - DAB dρa/dz 
 
Considerando um sistema com velocidade molar média constante na direção z, o fluxo 
molar na direção z em relação à velocidade molar média é dada por: 
JA,Z = CA(vA,Z – Vz) 
E como JA,Z = C.DAB dYa/dz, tem-se que: 
CA(vA,Z – Vz) = -C.DAB dYa/dz 
 
Para um sistema binário: 
Vz = (CA vA,z + CB vB,z) /C 
Como yA = CA/C  Vz = (CA va,z + CB vB,z) yA/CASubstituindo esse valor na equação acima, tem-se que: 
 
CAvA,z = -CDAB dyA/dz + yA(CA vA,z + CB vB,z) 
 
Como vA,z na direção z e vB,z na direção z são velocidades relativas a eixos fixos, as 
quantidades CAvA,z e CBvB,z são fluxos dos componentes A e B relativos a eixos fixos. 
Esses fluxos relativos a eixos estacionários são dados: 
NA,z = CA VA,z ; NB,z = CB VB,z 
 
 
Substituindo-se esses fluxos na equação anterior 
 
NA,z = -CDAB dyA/dz + yA(NA,z+ NB,z) 
 
Para outras direções, tem-se que: 
 
NA,x = -CDAB dyA/dx + yA(NA,x+ NB,x) 
NA,y = -CDAB dyA/dy + yA(NA,y+ NB,y) 
 
 
Escrevendo numa forma vetorial, tem-se então: 
 
NA = -CDAB ∇yA + yA(NA+ NB) 
 
Nas condições isotérmicas e isobáricas, tem-se: 
NA = -DAB ∇CA + yA(NA+ NB) 
 
É importante lembrar que o fluxo molar NA é resultado de duas contribuições de fluxos, 
um devido ao fluxo difusivo e outro ao convectivo: 
Fluxo difusivo de A em B: -DAB ∇CA 
Fluxo convectivo de A em B: yA(NA+ NB), observe que esse termo é igual a CAV 
 
Se a espécie A estiver difundindo em um sistema multicomponente a expressão 
equivalente é: 
NA = -C DA Mist ∇yA + yA ΢Ni 
 
Onde DA,mist é o coeficiente de difusividade de A na mistura. 
Da mesma forma que o fluxo molar, o fluxo mássico nA com relação às coordenadas 
estacionárias é definido por: 
nA = ρAvA; nB = ρBvB 
 
 
 
E para um sistema binário, tem-se um resultado semelhante ao anterior. 
nA,z = -ρDAB dωA/dz+ ωA(nA,z+ nB,z) 
 
Nas direções x e y a eq. acima é escrita de forma similar ao fluxo molar, 
nA,x = -CDAB dωA/dx + yA(nA,x+ nB,x) 
nA,y = -CDAB dωA/dy + yA(nA,y+ nB,y) 
Numa forma vetorial, tem-se 
nA = -ρDAB ∇ωA + ωA(nA+ nB) 
Nas condições isotérmicas e isobáricas tem-se: 
nA = -DAB ∇ρA + ωA(nA+ nB) 
Onde: 
-DAB ∇ρA é a parte difusiva, e 
ωA(nA+ nB) é a parte convectiva, observe que esse termo é igual a ρAV 
 
A tabela a seguir mostra um resumo do que foi visto até aqui. 
 
 
 
 
Exercício: Uma mistura gasosa com pressão total 1,50 x 10
5
 Pa e 295 K contém 20% de 
H2, 40% de O2 e 40% de H2O em volume, e suas velocidades são -10 m/s, -2m/s e 12 
m/s respectivamente (todas na direção z). 
Calcule: 
a) A velocidade mássica média e a velocidade molar média da mistura 
b) JO2,z; NO2,z; jO2,Z e nO2,z 
Para 1 mol de gás: 
Componente Moles 
(y) 
MM g wi 
H2 0,2 2 0,4 0,02 
O2 0,4 32 12,8 0,63 
H2O 0,4 18 7,2 0,35 
Total 1,0 20,4 
 
Solução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
Componente yi Vi (m/s) yiVi (m/s) 
H2 0,20 -10 -2,00 
O2 0,40 -2 -0,80 
H2O 0,40 12 4,80 
Total 2,00 
 
Componente wi Vi (m/s) wiVi (m/s) 
H2 0,02 -10 -0,20 
O2 0,63 -2 -1,26 
H2O 0,35 12 4,20 
Total 2,74 
 
 
 
b) Jo2,z = CO2 (vO2 – Vz) = C x yO2 (vO2 – Vz) 
 
Jo2,z = 61,16 . 0,4 . (-2-2)  Jo2,z = -97,86 mol/m³s 
 
jo2,z = ρO2 (vO2 – vz) = ρwO2 (vO2 – vz) 
 
ρ = C x MMMISTURA = 61,16 . 20,4 = 1247,66 g/m³ 
jo2,z = 1247,66 . 0,63 (-2-2,74)  jo2,z = -3704 g/m²s 
 NO2 = CO2VO2 
 NO2 = 61,16 . 0,4 (-2)  NO2 = -48,92 mol/m²s 
 
 nO2 = ρO2vO2 
 
nO2 = 1247,66 . 0,63 . (-2)  nO2 = 1572 g/m²s 
 
Exercício: A célula de Arnould é um equipamento utilizado para medir a difusividade de 
um gás. Ela consiste de um tubo conforme a figura abaixo: 
 
Há fluxo do gás inerte. 
O líquido é mantido numa temperatura e pressão ctes. O fluido 
que flui no topo do tubo possui solubilidade desprezível em A. 
No estado estacionário o fluxo de b ao longo do tubo é zero. 
Sob tais condições, determine o fluxo molar Na no tubo. 
Solução: 
De acordo com a 1ª lei de Fick, no estado estacionário. 
 
 
 
Como no estado estacionário Nb,z = 0 , tem-se que: 
 
 
 
Integrando-se: 
 
 
 
As quatros definições do fluxo, Ja,ja,Na e na são formas equivalentes da primeira lei de 
Fick. Algumas dessas equações são mais adequadas para serem aplicadas em certas 
situações. Os fluxos mássicos na e ja, são usados quando as equações de Navier- Stokes 
são requeridas para descrever um determinado processo. Quando o sistema envolve 
reações químicas, Ja e Na são mais adequados para descrever o processo. Os fluxos 
relativos às coordenadas fixas no espaço, Na e na , são freqüentemente usados para 
descrever fluxos dentro de equipamentos de processos. Enquanto que os fluxos Ja e ja 
são usados para medir os coeficientes de transferência de massa nas células de difusão. 
Força Motriz Generalizada para Transferência de Massa 
 
Na termodinâmica, a força motriz generalizada é -
cd
dz

 , onde μc é o potencial químico. 
A velocidade molar de difusão do componente A é definida em termos de potencial 
químico por: 
vaz – Vz = Ua 
cd
dz

 = -(Dab/RT)
cd
dz

 
Ua é a mobilidade do componente A, que é a velocidade resultante da molécula 
enquanto submetida a uma força motriz. Essa relação é conhecida como equação Nernst 
– Einstein (relação de Einstein). Dessa forma, o fluxo molar de A torna-se: 
Ja = Ca ( vaz – Vz) = - Ca(Dab/RT)
cd
dz

 
 
 
Essa equação pode ser usada para definir qualquer transferência de massa molecular. 
Por exemplo, o potencial químico de um componente em uma solução homogênea ideal 
a pressão e temperatura constantes é : 
μc = μc
0
 + RT ln Ca , onde μc
0
 é o potencial químico padrão. 
Substituindo na equação anterior: 
cd
dz

= 
a
RT
C
 
adC
dz
 e Ja = - aC
RT
 Dab 
a
RT
C
adC
dz
 então: 
Ja = - Dab adC
dz
 em uma solução ideal. 
Existem varias condições que podem produzir um gradiente no potencial químico, tais 
como: 
 Temperatura e pressão; 
 Forças criadas por Gravidade; 
 Campo elétrico e magnético etc. 
Pode-se, por exemplo, obter transferência de massa pela aplicação de um gradiente de 
temperatura ao sistema multicomponente. Esse efeito é chamado de difusão térmica ou 
efeito de Soret. 
A difusão molecular resultante da diferença de concentração descrita pela lei de Fick é 
resultado do movimento randômico das moléculas sob um pequeno caminho médio 
livre. A difusão das moléculas em poros extremamente pequenos não é descrita por essa 
lei. Quando a densidade do gás é baixa ou os poros por onde o gás irá passar são muito 
pequenos, as moléculas do gás colidirão com as paredes dos poros com mais freqüência 
do que umas com as outras. Esse tipo de fluxo é conhecido como Knudsem ou difusão 
de Knudsem. 
 
Exercício: Um gás liquefeito (LNG) apresenta a seguinte composição: 
 
Metano CH4 93,5% em mol 
Etano CH3 – CH3 4,6% em mol 
Propano C3H8 1,2% em mol 
Dióxido de carbono CO2 0,7% em mol 
 
Determine: 
a) Fração mássica do gás; 
 
 
b) Peso molecular; 
c) Densidade quando aquecido a 207K e 1,4 x 105 Pa; 
d) Pressão parcial do metano quando Psist = 1,4 x 10
3
 Pa; 
e) Fração mássica do CO2 em ppm. 
 
Solução: 
a e b) Construa uma tabela e complete-a: 
 n MM m ρi/ ρ = Wi (fração mássica) 
CH4 0,935 16 14,96 0,871 
C2H6 0,046 30 1,38 0,080 
C3H8 0,012 44 0,528 0,031 
CO2 0,007 44 0,308 0,018 
Total 17,176 peso molecular LNG 
 
c) PV = nRT n= m/MM e ρ = m/V 
 PV = (m/MM) RT então ρ= P MM/RT 
 ρ= 1,4 X 105 Pa 17,176 g . mol-1/8,314 Pa (m3/mol.K) 207 K 
portanto ρ= 1,397 Kg/m3 
 
 
d) PCH4 = YCH4 x Ptotal ; YCH4 = fração molar 
 
e) 1 ppm = 10
-6 
 x ppm = 0,018 
 
Exercício :Partindo-se da equação de difusão para uma mistura binária, A e B. 
Na = -CDab ∇xa + xa (Na + Nb) 
 
Demonstre as seguintesequações: 
a) na = -Dab ∇ρa + ωa (na + nb) 
b) Ja = -Dab ∇Ca 
 
 
c) ja = ρDab ∇ωa ( é importante notar que ja não é igual a Ja MMA , por quê ? ) 
 
Solução: 
a) Na x MMa = -cDab MM Xa + Xa MMa (Na + Nb) 
na = - Dab pa + Xa MMa (Na + Nb) 
Wa = .
. .
a a
a a b b
x MM
x MM x MM
 = 
.a ax MM
MM
 
XaMMa = wa . MM 
na = - C Dab pa + wa MM( aN + bN ) por outro lado, MM( aN + bN ) = ΢ Ni MM = ΢ni 
e dessa forma, chega-se a : na= -Dab∇ρa + ωa(na+nb) 
 
 
b) Na = -CDAB ∇xa + ωa (Na + Nb) e Na = Ca va e Nb = Cb vb então 
 Ca vaz = - Dab Ca + Ca Vz 
Ca vaz - Ca Vz = - Dab Ca 
Ja = - Dab Ca 
 
c) Partindo-se do resultado do item (a): 
 na= -Dab∇ρa + ωa(na+nb) 
 
ρa va = - Dab ρa + ρa Vz 
ja = - Dab ρa 
 
Exercício: Partindo-se da primeira lei de Fick, para uma mistura binária A e B, 
demonstre as seguintes relações: 
a) 
aN
 + 
bN
 = CV 
b) 
an
 + 
bn
 = ρv 
c) 
aJ
 + 
bJ
 = 0 ou 
aj
 + 
bj
 = 0 
 
 
Coeficiente de Difusão 
 
O coeficiente Dab, que aparece na 1ª lei de Fick é chamado de coeficiente de difusão e 
sua dimensão é dada por: 
J = - Dab adC
dz
 Dab = - 
/
J
dC dz
 = 2L
t
 
Observe que a sua dimensão é igual aos dos outros coeficientes de transporte , a saber: 
 Viscosidade cinemática (ν= μ/ρ) (difusividade de quantidade de 
movimento), 
 Difusividade térmica, K/ρCp. 
O coeficiente de difusividade mássica é em muitas vezes dado em cm
2
/s. no SI o mesmo 
é dado por m
2
/s. O fator de conversão entre os dois sistemas é 10
-4
. 
Então, Dab (cm
2
/s) / Dab (m
2
/s) = 10
-4
 e 
Dab (ft
2
/h) / Dab (m
2
/s) =2,59 X 10
-5
 
A mobilidade molecular é muito maior nos gases do que nos líquidos e sólidos. Dessa 
forma, o coeficiente de difusividade mássica é maior em gases que em sólidos e 
líquidos. 
Ordem de grandeza: 
 Gases: 10-6 a 10-5 m2/s 
 Líquido: 10-10 a 10-9 m2/s 
 Sólidos: 10-14 a 10-10 m2/s 
A difusividade mássica Dab, a térmica  = K/ρCp e a do momento ν = μ/ρ, possuem 
todas a mesma dimensão (L
2
/t). A razão dessas grandezas define os seguintes grupos 
adimensionais: 
 Número de Prandtl, Pr = ν /

 = Cpμ/k 
 Número de Schmidt, Sc = ν /Dab = μ/ρDab 
 Número de Lewis, Le = 

/Dab = K/ρCpDab 
Avaliando-se esses números adimensionais é possível verificar qual dos fenômenos de 
transporte é predominante em um processo. Na ausência de dados experimentais, muitas 
relações semi-teóricas foram desenvolvidas para se determinar um valor aproximado 
para a difusividade. 
 
 
 
 
COEFICIENTE DE DIFUSÃO NOS GASES 
 
Existem várias expressões teóricas para se estimar a difusividade nos gases. Uma 
expressão que se aplica a misturas gasosas de baixa densidade, foi postulada por 
Hirchfelder, Bird e Spote. A mesma usa o potencial de Lehnard-Jones para avaliar as 
influências das forças intermoleculares. Essa expressão é válida para moléculas não 
polares, e é dada por: 
Dab =
DAB
BA
P
MM
T








2
2
1
2
3
11
00185,0

 
Dab difusividade em cm
2
/s; 
T em K; 
MA e MB as massas moleculares. 
P- absoluta em atm. 
ζab – diâmetro do colisão em Angstrom (parâmetro de Lennard-Jones). 
ΩD – integral de Colisão para difusão molecular, um valor adimensional (Uma função 
adimensional da tempereatura e do potencial intermolecular). Os parâmetros de 
Lennard-Jones são obtidos das seguintes tabelas: 
 
 
 
 
 
 
Para se obter o valor da integral de colisão (Ωd) da tabela é necessário calcular o valor 
da seguinte expressão: 
 
 
AB
kT

 
Onde k é a constante de Boltzmann, que é igual a 1,38 x 10
-16
 ergs/K, εAB é a energia de 
interação molecular entre A e B, um parâmetro de Lennard-Jones, em ergs. Os outros 
parâmetros são calculados pela seguinte relação: 
ζab =
a b
2
 
 e 
BAAB  
 
Os parâmetros de Lehnard-Jones, ζ e εA,são obtidos através da viscosidade. Na ausência 
de dados experimentais, esses parâmetros podem ser estimados pelas seguintes 
expressões empíricas: 
ζ = 1,18 Vb
1/3
 εA /K = 0,77 Tc 
ζ = 0.8 Vc
1/3
 εA /K = 1,15 Tb 
ζ =2,44 1/3
c
c
T
P
 
 
 
 
Vb – Volume molecular na temperatura de ebulição normal, cm
3
/gmol (valores na tabela 
24.3 mostrado logo abaixo); 
VC – Volume molecular crítico, cm
3
/g.mol; 
Tc – Temperatura critica, K; 
Tb – Temperatura de ebulição normal, K; 
Pc – Pressão crítica em Atm. 
 
 
 
 
 
Quando se conhece o valor da difusividade experimentalmente e deseja-se extrapolar 
esse valor para outra temperatura e alguma pressão abaixo de 25 atm, pode-se usar a 
seguinte relação: 
 
Dab,T2,P2 = Dab,T1,P1 
1
2
P
P
 
 
 
3/2
2
1
T
T
 
 
 
, 1
, 2
D T
D T
 
 
 
 
 
 
 
A tabela abaixo mostra alguns valores experimentais para a difusividade nos gases 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 OBS: no livro do PRAUSNITZ, The Properties Of Gases And Liquids, encontra-
se muitas outras correlações para cálculo de diversas propriedades 
 
Exercício: Avalie o coeficiente de difusão do CO2 no ar e na pressão atmosférica. 
Compare com o valor experimental da tabela J.1 . 
Solução: 
Da tabela K.2 do apêndice são obtidos os seguintes valores: 
 
 ζ ε/K 
CO2 3,996 A 190 K 
Ar 3,617 A 97 K 
 
 
T = 20 + 273 = 293 K 
 = 0,463 = 2,16 
 
 
Da tabela K.1 tem-se ΩD = 1,047. 
MCO2 = 44; Mar = 29. 
Substituindo esses valores na equação, é obtido: 
 
Da tabela J.1 é obtido o seguinte valor para a difusividade experimental: 
 
Então, usa-se a seguinte equação para se fazer a correção na temperatura 
 
Na temperatura T1 = 293 K: Dab = 0,147 cm²/s e Ωd = 1,047. 
Na temperatura T2 = 273 K: Dab = ? e Ωd = 1,075 (pois , pela tab. 
K.1) 
O valor corrigido do coeficiente de difusividade será: 
 
 
Deve ser observado que a dependência da integral de colisão com a temperatura é muito 
pequena: 
 
Dessa forma, muitas relações desprezam esta razão. 
 
Deve ser observado que a dependência da integral com temperatura é próxima de 1. 
Dessa forma, pode-se desprezar esta razão muitas vezes. Observa-se que a equação de 
Hirschfelder, Bird e Spotz dá um bom resultado para muitos sistemas não polares numa 
ampla faixa de temperatura. 
Outra correlação empírica recomendada por Fuller, Schelt e Giddings permite avaliar a 
difusividade quando não se possui os parâmetros de Lennard-Jones (εi, ζi). A relação de 
Fuller é dada por: 
 
 
 
2
3
1
3
1
2
1
75,13
)()(
11
10
















BA
BA
ab
VVP
MM
T
D
 
Dab difusividade em cm
2
/s; 
T em K; 
MA e MB as massas moleculares; 
P absoluta em atm; 
΢va,΢vb são os volumes de difusão encontrados na tabela 24.3 
 
Problema: Calcule o valor da difusividade do CO2 em Ar a 20°C e 1 atm utilizando a 
equação de Fuller e compare com o valor obtido de Hirchfelder . 
Fuller: 2
3
1
3
1
2
1
75,13
)()(
11
10
















BA
BA
ab
VVP
MM
T
D
 
 
Solução: 
 
Ma = 44; Mb = 29. 
 
 
Então, 
 
 
 
 
 Se o sistema possuir substâncias polares, procurar o livro do Prausmitz (The 
properties of gases and liquid) que sugere outras relações para o cálculo da difusividade. 
 A transferência de massa numa mistura gasosacom vários componentes pode ser 
descrita por uma equação teórica, envolvendo o coeficiente de difusão binário de cada 
par do sistema. 
 Wilke propôs uma expressão simples para o calculo da difusividade de um 
componente na mistura gasosa: 
D1-mist = 
2 ' 3 ' '
12 13 1
1
...
n
n
y y y
D D D
  
 
Onde D1-mist é a difusividade do componente 1 na mistura gasosa. 
1nD
é a difusividade do componente 1 na nª substância. 
'ny
é a fração molar da substancia “n” numa base em que a substancia que está 
difundindo não está presente. 
'ny
= 
1 2 ...
n
n
y
y y y  
 sem y1 no denominador (a substancia que está difundido). 
 
Exemplo: Determine a difusividade do CO em uma mistura gasosa em que a fração 
molar de cada componente é: 
yO2 = 0,2 yN2 = 0,7 yCO = 0,1 
A mistura gasosa está a 298K e 2 atm, DCO-mist = ? 
Do apêndice J, encontra-se : 
DCO-N2 = 0,192 cm
2
/s P = 1 atm T = 288K 
DCO-O2 = 0,185 cm
2
/s P = 1 atm T = 273K 
 
Esses dois coeficientes podem agora ser corrigidos para a condição do problema pela 
seguinte relação: 
 
 
Dessa forma tem-se: 
 
 
6
ab
b
kT
D
r 

 
 
 
 
 
A composição do Oxigênio e do Nitrogênio numa base livre de monóxido de carbono é: 
 
 
 
Substituindo esse valor na equação abaixo, tem-se: 
 
 
Difusividade em Líquidos 
 
Em contraste com a difusividade gasosa, onde existe uma avançada teoria cinética dos 
gases, nos líquidos não há uma teoria adequada para sustentação da mesma. 
Existem algumas teorias que são propostas para explicar difusão em líquidos: 
 Teoria de Eyring 
 Teoria da Hidrodinâmica 
 
Uma equação que foi desenvolvida da teoria hidrodinâmica é a equação de Stokes – 
Einstein. 
 
 
 
 
Onde : 
 
k = Constante de Boltzmann; 
T = Temperatura (Kelvin); 
μ = Viscosidade; 
r = Raio da partícula. 
 
Essa equação é válida apenas para soluções diluídas (≤ 0.05M). 
Esse resultado em conjunto com a Teoria de Eyring nos dá a seguinte expressão: 
 
 
Onde F(V) é Função do volume molecular de difusão do soluto. 
 
Correlações empíricas, baseadas nessa relação, têm sido propostas. Uma relação 
proposta por WilKe e Chang para determinar a difusividade em um líquido não 
eletrólitico em diluição infinita é: 
 
6.0
2
1
8 )(104.7
A
BBBAB
V
Mx
T
D  

 
 
Dab = Difusividade de A através de B, cm
2
/s; 
μB = viscosidade da solução, centipoise; 
T = Temperatura absoluta, Kelvin 
VA = Volume molecular do soluto em ebulição normal em cm³/mol; 
Φb = Parâmetro de associação do solvente; 
MB = Massa molecular de B; 
 
( )ab b
D
F V
kT


 
 
Obs.: Para o volume molecular usar os dados na tabela 24.5. Por outro lado, quando 
certas estruturas com anéis estão presentes na substância, correções devem ser feitas 
conforme tabela 24.5. 
 
 
Os valores recomendados para o parâmetro de associação Φb são: 
 Água = 2.26; 
 Etanol = 1.5; 
 Metanol = 1.9; 
 
 
 Metano, Éter, Heptano, soluções não associáveis = 1; 
 
Exemplo: Calcular o coeficiente (Dab) do etanol líquido (C2H5OH) em uma solução 
diluída da água a 10ºC. A viscosidade do etanol em água nessa condição é 1.45 cp. 
 
Solução: 
1
8 2
0.6
(7.4 10 )( )b b
ab
b a
T x M
D
V




 onde VC2H5OH= 2(14.8)+6(3.7)+ 7.4 
 
2 6
0.6
, (2 14.8 6 3.7 7.4) 11.57ab C H OV x x   
cm
3
/mol 
 
Substituindo-se esses valores na equação acima, obtém-se : 
 
Dab = 7.96x10
-6
 cm².s
-1
 
Do apêndice J.2 tem-se que o valor da difusividade do etanol em água é : 
 
Dab = 8.30x10
-6
 cm².s
-1
 
 
O que mostra a boa concordância com o valor calculado pela expressão anterior. 
Se não há dados disponíveis para o valor de VA, Tyn e Calus recomendam a seguinte 
correlação : 
 
VA = 0,285 VC
1.048
 onde VC é o volume crítico em cm
3
/mol. 
 
Hayduk e Laudie propuseram uma equação mais simples para o cálculo da difusão em 
solução diluída, a mesma é dada por: 
 
 
DAb = 13.26 x 10
-5
 μ-1.14 VA
-0.589 
 
 
 
Efetuando-se o cálculo do exemplo anterior com essa relação, obtem-se o seguinte 
resultado: 
 
Dab = 7.84x10
-6
 cm².s
-1
 que é praticamente o mesmo valor da equação de Wilke- 
Chang. 
 
Outro pesquisador, Scheibel, propôs uma modificação para a equação de Wilke – Chang 
e obteve a seguinte relação. 
 
1/3
ab b
a
D k
T V


 
 
Onde k é dado por: 
 23
8 3(8.2 10 ) 1 b
a
V
k x
V

  
    
   
 
 
Exceto quando: 
 
1. Benzeno como solvente k = 18.9x10-8 se Va < 2Vb 
2. Para outros solventes orgânicos se Va < 2.5Vb use k = 17.5x10
-8
 
 
Para soluções concentradas, Vignes sugere a seguinte equação : 
 
DAB = (DAB)
XB
(DBA)
XA
 
 
onde (DAB) é a difusividade de A em B na diluição infinita, e 
(DBA) a difusividade de B em A na diluição infinita. 
 
 
 
Difusão em Sólidos 
 
A difusão dos gases e líquidos nos poros de sólidos é o principal fenômeno para os 
Engenheiros Químicos com relação à difusividade dos sólidos. Este tipo de fenômeno 
ocorre em catalisadores sólidos, usados em algumas reações. 
Por outro lado, a difusão de átomos que ocorre numa liga metálica é mais importante 
para os Engenheiros de Materiais. A difusão nos poros dos sólidos pode ocorrer por até 
três mecanismos. 
 
 Difusão de Fick; 
 Difusão de Kmudsen; 
 Difusão na Superfície; 
 
Se os poros são grandes, e o gás é relativamente denso, a transferência de massa 
ocorrerá por difusão de Fick. Dentro do catalisador existem muitas irregularidades em 
seus poros, desta forma, a difusividade é escrita por: 
,a a eff aJ cD Y  
 
 
 
O valor desse coeficiente dependerá da temperatura e pressão, além das propriedades do 
catalisador, tais como: 
 
θ = Espaço de vazio; 
L
‟
 = Fator de comprimento angular; 
S
‟
 = Fator de forma; 
ζ = Tortuosidade 
 
, ' '2
ab ab
a eff
D D
D
LS
 

 
 
 
 
 
Os dados experimentais para Θ, ζ e Da,eff são encontrados em experimentais, podem ser 
encontrados em: 
 
1. C.S.SCATTERFIELD. Heterogenous Catalist in Practice. Mc Graw Hill. 
Book Company. Ny-1980. 
2. PRAUSNITZ, Properties of gases and liquids. 
 
A difusão de Knudsen ocorre quando o percurso livre médio das moléculas é da ordem 
de grandeza dos poros dos catalisadores. A mesma é dada pela seguinte relação: 
 
2
, '
19400
a eff
cat
T
D
S M

 

 
 
Onde ρcat é a densidade da partícula do catalisador, M a massa molecular da substância 
que difunde e T a temperatura absoluta do sistema, e S
‟
 o fator de forma. 
A difusão na superfície ocorre quando as moléculas são adsorvidas em uma superfície e 
depois são transportadas ao longo da superfície devido ao gradiente de concentração. 
Normalmente, esse tipo de difusão ocorre em menor grau no interior do catalisador, a 
menos que haja uma forte adsorção no interior da partícula. 
 
Transferência de massa convectiva 
 
A Transferência de Massa Convectiva ocorre com o fluído em movimento em uma 
superfície ou entre dois fluídos imiscíveis em movimento. Este tipo de transferência 
depende das propriedades de Transporte e características dinâmicas do fluídos. 
Quando uma bomba ou outro equipamento causa o movimento do fluído o processo é 
chamado de convecção forçada. 
Se o movimento do fluído é devido à diferença de densidade, que pode ocorrer devido à 
diferença de concentração ou temperatura,o processo é chamado de convecção livre ou 
natural. 
A equação que descreve a Transferência de Massa Convectiva é análoga a equação da 
lei de Newton do Resfriamento, e é dada por: 
 
 
 
a aN k C 
 
 
 Na = Fluxo de massa convectiva; 
 k = coeficiente convectivo de transferência de massa; 
 ∆Ca = Gradiente de concentração; 
 
Diferentemente da transferência de massa molecular, a transferência de massa 
convectiva pode ocorrer ou não, na direção da diminuição da concentração do sistema. 
 
 
Exemplo: Determine as seguintes difusividades gasosas usando a equação de 
Hirchfelder: 
 
a) dióxido de carbono no ar: CO2 – Ar (310K e 1.5 x10
5
 pascal ) 
b) monóxido de carbono no ar: CO – Ar (310K e 1.5 Atm) 
 
 
Exemplo: Uma torre de adsorção foi projetada para remover 2 poluentes, gás sulfídrico 
(H2S) e dióxido de enxofre (SO2), de uma corrente de gás contendo 
 yH2S =0.03, ySo2 =0.05 yN2=0.92. Estime a difusividade do H2S na mistura gasosa a 
350K e 1.013x10
5
 Pa. A temperatura crítica do H2S é 372.2K e seu Vc é 98.5cm³/mol; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação Diferencial para Transferência de Massa 
 
Seja o seguinte volume de controle: 
 
 
 
Agora faz-se um balanço de massa da espécie “A” no volume de controle, dessa forma, 
tem-se: 
 


















controle de volumeno acumula
 se queA de Massa
controle de volumeno produzida
A de liquida Massa
controle de volumeno entrando
A de liquida Massa
 
Em termos de fluxo mássico, a massa líquida de “A” entrando no volume de controle 
será: 
 
 
Na direção X: 
, ,a x a xx x x
n y z n y z

    
 
 
 
 
Na direção Y: 
, ,a y a yy y y
n x z n x z

    
 
 
Na direção Z: 
, ,a z a zz z z
n x y n x y

    
 
 
 
Por outro lado, A taxa de acumulação mássica no volume de controle é dada por: 
 
a x y z
t
 
    
 
 
 E a massa produzida por reação química é dado por: 
 
 ar x y z  
, pois ra ( massa de A produzida/volume x tempo) 
 
Substituindo esses termos na equação de balanço fica: 
 
 
Dividindo-se tudo por ∆x∆y∆z e tomando-se o limite quando ∆x, ∆y e ∆z tende para 
zero, fica: 
 
Então, 
0
,,,













t
r
z
n
y
n
x
n
A
A
zAyAxA  
Ou 
 
 
0
,,,












t
r
z
n
y
n
x
n
A
A
zAyAxA  
 
Esta é a equação da continuidade para o componente A. Numa forma vetorial, tem-se: 
0


 A
A
A r
t
n
 
De forma análoga, para o componente “B” a equação da continuidade será: 
 
 
 
Onde rB é a taxa de consumo de produção de B no volume de controle. 
Somando-se essas duas equações, tem-se: 
 
Para uma mistura binária, fica: 
 
 
e (Lei da Conservação da Massa) 
Dessa forma, é obtida a equação da Continuidade para a mistura: 
 
Escrevendo essa equação em termos da derivada substantiva, fica: 
 
 
 
 
 
Onde é a derivada substantiva. 
Através de alguma manipulação matemática, a equação da continuidade para espécie 
“A” em termos da derivada substantiva é dada por: (deixar para os alunos fazerem a 
demonstração) 
 
0 aa
a rj
Dt
Dw
 
 
 Procedendo da mesma forma, demonstra-se que a equação da continuidade em termos 
do fluxo molar é: 
 
Para A: 
0aa a
C
N R
t

   

 
 
Para B: 
 
0bb b
C
N R
t

   

 
 
Onde Ra e Rb representam a produção ou consumo de A ou B em mols por unidade de 
volume. 
 
Como no caso anterior, considerando-se uma mistura binária de A e B, tem-se: 
 
( )
( ) ( ) 0a ba b a b
C C
N N R R
t
 
     

 
Onde sabe-se que: 
 
Na + Nb = CV 
Ca + Cb = C 
 
 
 
Porém, somente quando a estequiometria da reação é da forma 
 
A 

 B 
 
Onde se pode estipular que para cada mol de A consumido tem-se um mol de B 
produzido, neste caso 
 
RA = - RB 
 
 Em geral a equação da continuidade numa base molar é dada por: 
 
( )
( ) ( ) 0a b
C
Cv R R
t

    

 
 
Formas Especiais para a equação da Transferência de Massa 
 
As equações da continuidade numa base mássica e molar são dadas por: 
0


 A
A
A r
t
n
 (01) 
0


 A
A
A R
t
C
N
 (02) 
Por outro lado, as equações dos fluxos numa base molar e mássica são dadas por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando se quer avaliar o perfil de concentração num determinado fenômeno, substitui-
se as equações (3) ou (4) nas equações (1) ou (2), conforme o caso. 
Para se obter a equação que descreve o perfil de concentração numa base mássica, 
substitui-se a equação (4) na equação (1). 
 
Então, tem-se 
( )
( ) ( ) 0aab a a aD W V r
t
        

 (5) 
 
E numa base molar: 
 
-
( )
( ) ( ) 0aab a a a
C
cD Y C V R
t

     

 (6) 
 
Qualquer uma dessas equações pode ser usada para se determinar o perfil de 
concentração dentro de um sistema. Essas equações são gerais e podem ser 
simplificadas fazendo-se algumas hipóteses: 
 
i. Se a densidade da mistura, ρ, e o coeficiente de difusão forem constantes, 
a equação (5) reduz para: 
 
Da equação da continuidade, quando ρ = cte significa que ∇V=0. Então, 
 
 
 
 
Dividindo-se a equação (7) pela massa molecular de A, obtém-se: 
 
 
ii. Se não há termo de produção, RA = 0, e a densidade e o coeficiente de 
difusão são constantes, a equação é reduzida para 
 
 
Observando-se que a
a CV
t
C



.
 é a derivada substantiva de Ca, então a 
equação pode ser reescrita para : 
 
2a
ab a
DC
D C
Dt
 
 
 
Que é análoga a equação de transferência de calor, 
 
T
C
K
Dt
DT
p
2
 
 
A similaridade entre essas duas equações é a base para as analogias entre a 
transferência de calor e massa. 
 
iii. Se não há movimento do fluido, V=0, não há termos de produção, RA=0, 
e não há variação de densidade ou difusividade, a equação é reduzida para: 
 
Essa equação é conhecida como segunda lei de Fick da difusão. A hipótese de 
não haver movimentação no fluido restringe a aplicação dessa equação para 
difusão em sólidos ou líquidos em repouso e para sistemas binários de líquido ou 
gás onde NA é igual em magnitude a NB, mas em sentido oposto: 
 
 
 
 
A equação da segunda lei de Fick é análoga a equação para segunda lei de 
Fourier para condução do calor 
 
iv. Essas equações podem sofrer mais uma simplificação, se o sistema 
estiver em estado estacionário, neste caso, 
0a
C
t



 
Então, 
2 0aC 
 
 
Essa equação é conhecida como equação de Laplace para transferência de massa 
em termos molares (sob quais condições essa equação é válida?). 
 
 
As equações de Transferência de Massa podem ser escritas em diversos sistemas de 
coordenadas. A segunda Lei de Fick nos sistemas retangulares, cilíndrico e esférico: 
 
Retangular: 
2 2 2
2 2 2
a a a a
ab
C C C C
D
t x y z
    
   
    
 
Cilíndricas: 
2 2 2
2 2 2 2
1 1a a a a a
ab
C C C C C
D
t r r r r z
     
    
     
 
Esféricas: 
2
2
2 2 2 2
1 1 1a a a a
ab
C C C C
D r sent r r r r sen r sen
                           
 
 
Por outro lado, a equação diferencial geral para transferência de massa do componente 
A numa base molar em coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas são: 
 
 
 
 
 
 
Retangular: 
 
 
 
 Cilíndricas: 
 
 
 
 Esféricas: 
 
 
 
Condições de contorno mais comuns em problemas de Transferência 
de Massa. 
 
Para serem resolvidas, as equações diferenciais de Transferência de Massa precisam de 
condições de contorno e iniciais adequadas. As mais comuns são: 
 
Condição Inicial 
 Ca=Ca0 em t = t0 
 ρa= ρa0 em t = t0 
 Ca=f(Ca0) em t = t0 
 
ou ser mais complexa se a distribuição da concentração é uma função do espaço das 
variáveis no momento inicial. 
 
),,,( 0 xyxCFC aA 
 ou 
),,,( 0 xyxF aA  
 
 
 
 
Condição de contorno 
 
 Z= Z1 
1
1
1
1
1
aa
aa
aa
aa
aa
WW
XX
YY
CC






 Z= Z2 
2
2
2
2
2
aa
aa
aa
aa
aa
WW
XX
YY
CC






 
 
Por outro lado, quando a espécie A está se transferindo para o líquido, na interface gás 
líquido, a condição de contorno é definida pela lei de Lei de Raoult 
(
sat
i A AY P P X
). 
 
 
Onde xA é a fração molar de “A” no líquido e PA é a pressão de vapor na temperatura do 
líquido. Por outro lado, a condição do gás na interface é dada por: 
 
Onde pAS é a pressão parcial do gás na interface. 
Quando o soluto é pouco solúvel no líquido, a lei de Henry pode ser usada para 
relacionar a fração molar no líquido com a pressão parcial no gás. 
 
 Constante de Henry 
Outro tipo de condição é dado em função da taxa de reação química. Por exemplo, se 
um componente “A” é consumido num contorno do problema por uma reação de 1ª 
ordem, então: 
 
Se a reação for instantânea CAs=0 e então NA|z=0 = 0. 
Gás A 
Interface 
Líquido A 
 
 
Quando um fluido flui no contorno do problema, o fluxo pode ser definido por 
convecção. Por exemplo, na superfície localizada em z=0, a transferência de massa 
convectiva cruzando a interface da fase é: 
 
 
Onde é a concentração no seio do fluido e Cai é a concentração na interface, e kc é a 
constante de transferência de massa convectiva. 
 
Exemplo: Uma vareta cilíndrica de combustível nuclear possui material fissionável, e 
uma taxa de produção de nêutrons proporcional a concentração de nêutrons. Use a 
equação geral para transferência de massa para descrever o perfil de concentração de 
nêutrons na vareta. Faça as suposições que achar pertinente ao processo. 
Solução: 
Partindo-se da equação geral da difusão em termos da concentração molar, tem-se: 
- (c Dab ya) + (CaV) + 
adC
dt
 - Ra = 0 
1. considerando a difusividade e “c” constantes, tem-se: 
 - Dab 
2
Ca + (CaV) + 
adC
dt
 - Ra = 0 
2. A vareta é solida, então a velocidade, V, é zero: 
- Dab 
2
Ca + 
t
Ca


 - Ra = 0 
3. A taxa de reação é proporcional a concentração de neutrons, Ra = KCa: 
- Dab 
2
Ca + 
t
Ca


 - KCa = 0 
 4.Como a vareta possui simetria cilindrica, reescreve-se a equação acima em 
coordenadas cilindricas : 
 
a
aaaa
ab
a KC
z
CC
rr
C
rr
C
D
t
C






















2
2
2
2
22
2
11

 
 
5. Considerando o cilindro muito comprido em relação ao raio, então: 
 
 
 
d << L, portanto 
0
a adC dC
d dr
 
 : 
 
dessa forma, a equação acima fica : 
a
a
ab
a KC
z
C
D
t
C













2
2 
 
Exemplo: Numa camara de combustão, o oxigênio (O2) difunde através de um filme de 
ar para a superficie de carbono, onde o mesmo reage segundo a equação. 
 
3C + 2 O2 → 2CO + CO2 
 
 
 
Superfície do Carbono 
 
a) Supondo que a superfície do carbono é plana, reduza a equação geral para 
transferência de massa para a equação que descreve esse processo em estado 
estacionário, em termos de fluxo molar. 
b) Escreva a expressão do fluxo molar (1ª lei de Fick) em termos de O2. 
 
Solução: (onde a substância “a” neste caso é o oxigênio) 
a) 
Na + 
adC
dt
 - Ra = 0 
Como a reação só ocorre na superficie z = 0, Ra = 0, então: 
Na + 
adC
dt
 = 0, no estado estacionario, 
0


t
Ca
, e portanto 
 Na = 0, como no problema apenas considerou o eixo z, tem-se então 
 
Z=δ 
Z=0 
 
 
 
0
adN
dz

. 
 
b) 
Na = - cDab ya + ya NT 
Na = - cDab ya + ya(NO2 + NCO2 + NCO+ NN2) 
N2 é gas inerte, não participa da reação e portanto tem-se NN2 = 0. Por outro lado, da 
reação química tem-se : 
 
3C + 2O2 → 2CO + CO2 
NO2 = -NCO NCO2 = -1/2NO2 
 Substituindo-se essas relação na equação acima : NO2 = -c DO2-Ar yO2 + yO2(-1/2NO2) 
NO2 = 
2
2
1
1
2
ab ar O
O
cD dy
dz
y

 
 
 
 
 Essa equação pode ser substituida na equação do item anterior, para obter-se o perfil de 
concentração, ao longo do caminho difusional : 
 
0
adN
dz

 e portanto 
2
0
1
1
2
ab ar
O
dy
cD
d dz
dz
y

  
  
   
      
 
Agora resolva a integral acima. 
 
Exemplo: A célula de Arnould é um simples equipamento usado para medir o 
coeficiente de difusão. Um líquido puro é mantido na base do tubo de pequeno 
diâmetro, enquanto que um gás que é insolúvel no liquido flui na parte superior do tubo, 
arrastando vapores do liquido A, conforme a figura abaixo. Sob condições isotérmicas e 
isobáricas, o processo atinge o estado estacionário. A partir da equação geral da 
continuidade, determine a equação que descreve esse processo. 
 
 
 
Líquido puro A 
Z=Z1 
Z=Z2 
Gás fluindo B 
 
 
 
 
 Solução: 
Na + 
adC
dt
 - Ra = 0 
No estado estacionário e sem reação química e considerando-se apenas a direção Z tem-
se: 
0
adN
dz

 
por outro lado,: 
Na = - c Dab 
ady
dz
 + ya(Na + Nb), como a substancia B é insoluvel em A, Nb = 0. 
Na = - c Dab 
ady
dz
 + yaNa e portanto Na(1-ya) = - c Dab 
ady
dz
 
Na = 
 
ab
a
 c D
1 y


ady
dz
 e portanto 
0
)y-(1
cD-
 
a
ab 





dz
dy
dz
d
 
 
Exemplo: Um lago possui uma concentração de O2 dissolvida, igual a 1Kg/m
3
. Na 
superficie do lago, a concentração de O2 é mantida constante e igual a 9 Kg/m
3
. 
Determine a partir da equação geral para transferência de massa : 
a) A equação que descreve o perfil da concentração do lago sem reação 
química. 
b) A equação que descreve o perfil de concetração de O2 no lago na 
presença de uma reação biologica de 1ª ordem. 
Solução : a equação geral do processo é 
a) 
 
 
Como no lago a água está parada, então 
 
 
 
 
 
Considerando a difusividade constante sem reação química, tem-se: 
 
 
 
Supondo que a concentração só varia com a profundidade, Z, então: 
 
 
 
b) com uma reação de primeira ordem ra = -KCa. 
 então, a equação do processo torna-se : 
 
022
2
2
2 





o
oabo KC
t
CD
t
C
 
 
b) 
 
Com reação de primeira ordem fica: 
 
 
Então, 
 
 
Exemplo: Mostre que a equação 
 
 
 
 
0

 A
A
A R
t
n
 
 
Pode ser escrita na forma 
 
 
 
Solução: Tem-se que 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
Substituindo na equação anterior fica: 
 
  02 


AAABA
A rDV
t

 
 
 
 
 
 
 
 
Transferência de Massa no Estado Estacionário por Difusão 
Molecular 
 
Neste processo estar-se interessado na transferência de massa de um ponto de vista 
diferencial. Desta forma em cada caso, será usado a equação geral, para se obter as 
equações que governam cada processo de transferência de massa. 
 Considerando a equação geral para o processo de transferência de massa 
tem-se: 
 
 
 Cada um desses termos representa um determinado aspecto da transferência 
de massa, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma, cada um desses termos podem está envolvidos ou não em um determinado 
processo. 
Para processo no estado estacionário: 
 
 
E a equação acima torna-se : 
0 AA RN
 
 
 
 
 
 Processo de Transferência de massa em uma dimensão sem 
reação química 
 
Considere a célula de Arnold, conforme figura abaixo, onde um gás B flui no topo do 
tubo e um líquido A,onde B é insolúvel, vaporiza e difunde na fase gasosa 
 
 
Agora considere o volume de controle SΔz,onde S é a área de secção transversal do 
tubo. O balanço de massa no volume de controle fica: 
SNa|z+dz – SNa|z = 0 e tomando-se o limite quando ∆z tende para zero, 
então 
0
adN
dz

 
Esta equação indica que o fluxo molar é constante no tubo. Essa equação poderia ter 
sido obtida da relação geral para transferência de massa numa base molar. 
Na + 
adC
dt
 - Ra = 0 , como não há reação química, estado estacionário e apenas a 
direção Z, então 
 
 
 
0
adN
dz

 
Similarmente, para o componente B tem-se : 
 
0
dz
dN b
 
 
Por outro lado, o fluxo molar da substancia A é dada por : 
 
Na = - c Dab 
ady
dz
 + ya(Na + Nb) 
Como B é insoluvel em A, Nb = 0: 
 
Portanto, Na(1-ya) = - c Dab 
ady
dz
 Na = 
 
ab
a
 c D
1 y


ady
dz
 
Essa equação pode ser resolvida com as seguintes condições de contorno: 
 z = z1, ya= ya1; z = z2, ya= ya2; 
 
Como Na é constante ao longo do caminho difusional (Z1 a Z2), pois 
0
adN
dz

, então : 
Então, 
 
Portanto, 
 (*) 
A concentração média logaritma para o componente B é definida por: 
 
No caso de uma mistura binária essa equação pode ser escrita como: 
 
 
 
Inserindo esse resultado na equação (*) fica: 
 
Em termos de pressão para um gás ideal tem-se: e e dessa forma: 
 
 
Essas equações são conhecidas como a equação de difusão no estado estacionário de um 
gás difundindo num segundo gás parado. Absorção e humidificação são operações 
unitárias definidas por essas equações. 
A equação deduzida anteriormente pode ser utilizada para descrever o coeficiente 
convectivo de transferência de massa, conforme figura abaixo: 
 
 
 
Desse modelo, conforme deduzido anteriormente, o fluxo convectivo para transferência 
de massa pode ser expresso pela seguinte expressão: 
 
 
Com comprimento da camada limite. Então, 
 (1) 
Por outro lado, o fluxo convectivo é dado por: 
 
 
 (2) 
Comparando as equações (1) e (2) obtém-se o coeficiente convectivo kc, 
 
 
Nesse processo, para determinar-se o perfil de concentração, procede-se como abaixo: 
 e 
Portanto, 
 
Desde que c e DAB sejam constantes num processo isotérmico e isobárico, então 
 0 
Integrando essa equação obtém-se: 
21)1ln( CZCyA 
 (**) 
z=z1; yA=yA1 
z=z2; yA=yA2 
dessa forma, 
 
Para um sistema binário , então: 
 
 
Obs.: Mostre que 
 
Exemplo: Demonstre que equação (**) depois de integrada com as condições de 
contorno acima, gera a seguinte equação: 
 
 
 
 
 
e para uma mistura binária tem-se: 
 
Solução: 
Chamando = ; = 
Z = temos =  
Z = temos =  
 
 
  
   
 
 = 
 
 = 
 
 = 
 
 
 
Exemplo: Devido a uma operação acidental, água é derramada sobre uma área formando 
uma película de 0,04 in de espessura. Pode-se assumir que a água e o ar estejam a 75
0
 F 
e 1atm de pressão, e com uma umidade absoluta 0,002 lbm de água/lbm de ar seco. A 
evaporação ocorre de forma constante e por difusão molecular, através de uma 
espessura de filme de 0,2 in. Sob essas condições determine o tempo para evaporação da 
película de água. 
 
Solução: 
 
(Como não foi dada nenhuma informação sobre a área, será considerada uma superfície 
de 1 ft
2
 como base de cálculo) 
O volume de água evaporada é: 
1 ft → 12 in 
X ← 0,04 in 
X = 0,0033ft 
A massa de água evaporada será: 
 
 
Moles de água evaporada por 1 ft
2
 será: 
 
Por outro lado o fluxo molar de água evaporada é expresso por: 
 
 
A concentração total “C” (água + ar) pode ser avaliada pela lei dos gases ideais: 
 
Onde ; 
Então, 
 
 
Do apêndice “J”, o coeficiente de difusividade de água em ar a 298K e 1atm é igual a 
0,260 cm²/s. Esse valor deve ser recalculado para as condições do problema (75°F ou 
535°R). 
 
Por outro lado, 
 
DAB(ft
2/h)=0,259 (cm2/s) x 3,87 = 1,00 ft2/h 
 
A concentração da água no filme onde ocorre a evaporação pode ser avaliada da carta 
da umidade água-ar a 75°F. A umidade saturada nessas condições é 0,0189 lbm H2O/lbm 
ar seco. Então. 
 
Nt = nar + nH20 = 1 + 0,0394=1,0304 
 
 
 
A umidade que há no local de evaporação é 
 
 
 
Então, 
 
Para um sistema binário 
 
 
 
 
 
Dessa forma 
 
 
Portanto 
 
 
 
 
 
 
Onde temos para ser evaporada, então: 
 
 
 
 
 
 
Difusão em pseudo Estado Estacionário através de um Filme 
Gasoso Parado. 
 
 
 
Em muitos processos de transferência de massa, uma das interfaces pode mover-se 
com o tempo. Se o período de tempo for muito grande, para uma pequena diferença 
no nível do material que sofre difusão, então, esse processo pode ser considerado 
um pseudo estado estacionário, conforme figura abaixo. 
 
 
 
Onde (t1 – t0) é um tempo muito grande e Z1 (em t1 )– Z1 (em t0) é um diferença muito 
pequena. 
 Nessas condições o fluxo molar num instante qualquer é dado por: 
 
1 2
,
, ln
. ( )
.
ab a a
A Z
b
C D Y Y
N
Z Y


 (1) 
 
Onde Z é o comprimento do caminho difusional num instante “t” qualquer. 
Por outro lado, o fluxo molar de “A” deixando a fase líquida também é dado por: 
 
dt
dz
M
N
A
LA
Az
,

 (2) 
 
 
 
Igualando-se (1) e (2) temos: 
ln,
21,
.
)(.
B
AAAB
A
LA
yZ
yyDC
dt
dz
M


 
 
Então 
 
 
 

tZ
ZtAAAB
BALA
t
zdz
YyCD
yM
dt
021
ln,,
0
.
)(
)./( 
 
integrando chega-se a : 
2
)(
)(
.)./( 2
0
2
21
ln,, tt
AAAB
BALA ZZ
YyCD
yM
t




 
Rearrumando essa equação, obtém-se a equação usada para se determinar a difusividade 
numa Célula de Arnould: 
 
2
)(
.
 )( 
)./( 2
0
2
21
ln,, tt
AA
BALA
AB
ZZ
tYyC
yM
D



 
 
 
Exemplo: E. M. Larson, usando a célula de Arnould, mediu a difusividade do 
clorofórmio no ar a 25ºC e 1atm de pressão. A densidade doclorofórmio líquido 
(CHCl3) é ρa=1,485g/cm
3
 e sua massa molecular é 119,39g/mol. Por outro lado, a 
pressão de vapor do clorofórmio, nessas condições, é pa = 200mmHg. No instante t=0, a 
superfície do CHCl3 estava a 7,40 cm do topo do tubo, e depois de 10h a superfície do 
liquido sofre uma variação de 0,44cm devido a evaporação. Se a concentração do 
Clorofórmio (CHCl3 ) no topo do tubo é zero, qual é o coeficiente de difusão do 
clorofórmio no ar? 
 Solução: 
Como a pressão de vapor do clorofórmio é 200 mm Hg, tem-se que : 
 
 ya1 = 200/760 = 0,264 
 yb1= 1-ya1= 1- 0,263= 0,737 
 
 
 
No topo do tubo a concentração de A é zero, então 
ya2 = 0 (no topo) 
yb2=1 
Então, 
 
Portanto, 
 
 
A massa molecular do clorofórmio é 119,39 g/mol 
3/ 0124,0
39,119
485,1
cmmol
M A
A 
 
 
Por outro lado, a concentração total do gás, nessa temperatura e pressão, pode ser dada 
pela lei dos gases ideais, então: 
 Onde 
 
 
O nível do líquido é 
Zt0 = 7,40 cm ; Zt=10hrs =7,84 cm 
 
O tempo em segundo é: 10x3600 = 36000s 
 
Substituindo-se esse valor na expressão da difusividade, tem-se: 
 
 
 
 
 
Contradifusão Equimolar 
Uma situação física muito comum, em processos de destilação, com dois componentes é 
aquela em que os componentes possuem fluxos molares iguais, mas em sentidos 
opostos. Portanto, Na = -Nb (conforme figura abaixo). Esse fenômeno ocorre quando os 
calores latentes são aproximadamente iguais. 
 
A equação da continuidade para o processo é: 
0
a
a a
C
N R
t

   

 
No estado estacionário e sem reação química fica (
0
Ca
t



 e Ra=0) : 
0aN 
 
Como esse fenômeno é unidimensional, e considerando apenas a direção Z, a equação 
se reduz para: 
 
0
,

dz
dN ZA
 
Essa equação mostra que o fluxo molar na direção Z é constante. O fluxo molar NA, Z 
para um sistema binário com pressão e temperatura constantes (T e P constantes) é: 
 
, . . ( )dYa z ab a a b
dZ
N c D Y N N   
 
Mas (Na = -Nb) então, 
 
DCa
a ab
dZ
N D 
 
Essa equação dá o fluxo molar de “A” quando a contradifusão equimolar existe. Essa 
equação pode ser integrada com as seguintes condições: 
 
 
 
Z=Z1  Ca = Ca1 e Z=Z2  Ca=Ca2 
E é obtida a seguinte equação, 
12
21,
,
)(
ZZ
CCD
N
AABA
ZA



 
 E como para gases ideais, PV=nRT e CA=P/RT, então 
)(.
)(
12
21,
,
ZZTR
ppD
N
AABA
ZA



 
Essas equações são as equações para o processo da contradifusão equimolar no estado 
estacionário. 
 
Exemplo: Em uma coluna de destilação de benzeno e tolueno, num dos pratos da 
coluna, o vapor contém uma fração molar de 0,853 de benzeno. O filme líquido 
adjacente contém 0,7 de benzeno. A temperatura neste ponto é de 86,8°C. A resistência 
a transferência de massa é equivalente à resistência num filme gasoso parado de 0,1 in 
de espessura. O calor latente do benzeno e tolueno são iguais, e dessa forma Ntol = -
Nbenz. Deseja-se calcular o fluxo molar do tolueno, desde que a pressão de operação na 
coluna é 1 atm . 
Solução: 
 
 A equação da contradifusão molecular é aplicável ao problema. 
 
O coeficiente de difusão do tolueno no benzeno pode ser avaliado pela equação de 
Hirchfelder a 86,8°c (359,8 K) e 1 atm (1,013x105Pa). O valor do coeficiente é: 
DB,ln-Tol = DTol-B,ln =5,06x10-6m2/s 
 A pressão parcial do tolueno, imediatamente acima da superfície do liquído, 
pode ser avaliada pela lei de Raoult. 
 
 
 
A pressão de saturação do tolueno nessa temperatura é 4,914x104 Pa 
 
 
 
 
 
A concentração do tolueno no vapor será: Pela lei de Dalton 
xPYxPYP zbenztolztol )1( 2/2/2/ 
 
 
 
Então, tem-se: 
PA1 –PA2 = (1,474 – 1,4891)x 10
4
 = -1,51x10
2 
Pa 
Z2 – Z1 = 0,1in = 2,54x10
-3
m (Comprimento do caminho difusivo) 
R = 8,314 Pa. m
3
. mol
-1
 .K
-1 
 
Portanto, 
NTOLUENO/2 = 
 = 
 = -9,99x10
-5
mol/m
2
.s 
 
O sinal negativo indica que o tolueno se move do gás para o líquido. 
 
 
 
 
Difusão em Sistemas Reacionais em uma Dimensão 
 
 Considere a difusão do Oxigênio numa superfície de uma partícula de carvão, 
onde ocorre a seguinte reação: 
 
 
3C + 2.5O2  2CO2 + CO 
 
Nas condições de estado estacionário, dois moles de monóxido de carbono difundem de 
volta da partícula para cada mol de oxigênio que chega à partícula, conforme figura 
abaixo: 
 
 
 
A equação geral para transferência de massa numa forma esférica é: 
 
2
22
2
, .,
22
( . ) ( , )1 1 ( ) 1
0
. .
OO r O
r N NC N Sen
R
t r r r sen r sen
    
    
             
 
 
No estado estacionário tem-se 
0a
C
t



 
Por outro lado, não ocorre reação com o oxigênio dentro do caminho difusional, a 
reação só ocorre na superfície do carvão. Então, 
RO2 = 0. 
 Considere ainda que o fluxo é apenas na direção r, isto significa que a partícula é 
pequena e a variação do fluxo nas outras direções é constante, então : 
( )( )
0
NN 
 

 
 
 
 Com essas imposições a equação geral torna-se: 
 
 
 
0)(
1
,2
2
2
rONr
dr
d
r ou 0)( ,2
2 rONr
dr
d
 
 
 
O fluxo de oxigênio é dado por: 
 
2 2 2 2 2 2. ( )dYO O O O CO CO N
dr
N c D Y N N N N      
 
Por outro lado, da reação química tem-se : 
 
NO2 = (-2.5/2)NCO2 e NO2 = -2.5NCO com NN2=0 
 
Então: 
 
2 2 2,(1 0,2 ) . dYO O O r
dr
N Y c D  
 
 
dr
dy
y
CD
N
o
aro
rO
)2.01( 2
2
,2


 
 
Com as seguintes condições de contorno: 
 r =

  YO2 = 0,21 ; r = R  YO2 = 0 
Os Moles totais de O2 transferidos são calculados por: 
rroo NrW  ,2
2
2 4
 
Por outro lado, tem-se que : 
dr
dy
y
CD
r
Nr
o
aro
rO
)2.01(
1
2
2
2,2
2


 
 
Então, 
 

 
 21,0
0 2
2
2,2
2
)2.01(
2,0
2,0 o
aro
R
rO
y
dyCD
r
dr
Nr
 
 Portanto, 
 
 






 
042,1
1
ln
2,0.
..
2
2
,2
r
DCR
N arorO
 
E os moles de O2 transferidos serão: 
 
2,0
)042,1ln(4
.4 2,2
2
2
arO
rOO
RD
NrW 



 
 
 
Exemplo: Um reator de leito fluidizado de carvão é usado como um processo de 
produção de energia. O mesmo é operado a temperatura de 1145K e 5atm e o processo é 
limitado pela difusão do O2. Assuma que a partícula de carvão é carbono puro com uma 
densidade de 1,28x10
3
kg/m
3 
e diâmetro inicial de 1,5x10
-4
m. O ar contém 21% de O2 e 
79% de N2. Nessas condições a difusividade do oxigênio, DO2-ar = 1.3x10
-4
m
2
/s. Se o 
processo atingiu o estado estacionário, calcule o tempo necessário para o carbono 
reduzir seu diâmetro para 5x10
-5
m. 
 
Solução: 
A equação deduzida anteriormente é utilizada como ponto de partida. 
Wo2= -4πRCDO2, ar / 0,2). ln 1,042 
A seguinte reação ocorre na superfície do Carbono: 
 3 C + 2,5 O2 2 CO2 + CO 
 Então: 3 mols C 2,5 mols O2 
 WC WO2 
WC = (3/2,5) WO2= 1,2 WO2 
Ou seja, a quantidade de mol de Carbono que desaparece é um pouco maior que a do 
Oxigênio. 
Essa taxa de desaparecimento de Carbono também é dada por: 
WC = , onde V =(4/3)πR
2 
 
Então: WC = 
Assim: =+1,2 WO2dR
W
R
dt
Oc
c
2
2
2,1
4



 
 Onde μc é a massa molecular do carvão. 
 
Utilizando a expressão: WO2 = (-4πRCDBl, ar / 0,2).ln 1,042 , ficamos com: 
dt = 
t = 
Onde se tem os limites de integração: t= 0, R = Rinicial 
t = tfinal , R = Rfinal 
A solução final fica: 
t = 
 
Exemplo: Determine o tempo para 100 mols de etanol difundir através de um filme de 
água parada, com 4mm de profundidade, se a concentração do etanol na parte interna e 
externa do filme 0,1 e 0,0 Kg.mol/m
3
 , respectivamente. Considere a área para 
transferência de massa igual a 100 m
2 
e a temperatura do filme igual a 283K. (Os 
calores latentes são aproximadamente iguais nessas condições) 
 
 
 
#Assunto não Explicado em Sala de 
Aula# 
Difusão Molecular em Estado Transiente 
Nos processos de transferência de massa onde a concentração estará variando com o 
tempo, tem-se um processo em regime transiente. Portanto, qualquer processo para 
atingir o estado estacionário, passa pelo regime transiente. A equação geral do processo 
de transferência de massa é: 
 
Ou 
 
A solução dessas equações diferenciais parciais, geralmente envolve técnicas especiais. 
Algumas poucas classes dessas equações possuem soluções analíticas, e uma discussão 
sobre a mesma pode ser encontrada no seguinte livro: The Mathematics of diffusion, I 
crank, Oxford University Pross, London, 1958. 
Agora considere o seguinte problema: seja placa de madeira larga com uma espessura z. 
A concentração inicial de água na madeira é uma função da espessura z. 
Replutinamente, essa folha de madeira é colocada num ambiente mais seco, com uma 
concentração na superfície da folha dada por CA,S. Determine o perfil da concentração 
da água na madeira. 
Da equação geral do processo de transferência de massa tem-se: 
 
Por outro lado, para um processo unidimensional tem-se: 
 
Como V=0, tem-se: 
 
 , onde RA=0 
 
 
 
Com as seguintes condições de contorno: 
CA=CAo t=0 para 0 ≤ Z ≤ L 
CA=CA,S Z=0 para t > 0 
CA=CA,S Z=L para t > 0 
Agora se define a seguinte variável adimensional: 
 
Então, (1) 
Para t > 0 Y(0,t) = 0 e Y(L,t) = L (condição de contorno) 
Para t > 0 Y(z,0) = 0 (condição inicial) 
A solução desse problema se baseia no método de separação das variáveis. Portanto, 
 
Dessa forma 
 
 
Simplificando na equação (1) fica: 
 
 
 
Nessa equação as variáveis estão separadas, agora se chama construída de separação de 
ζ, então: 
 
Portanto, 
 (2) 
 (3) 
 
 
Com: 
 
 
 
Procura-se soluções dessa equação para T(t) ≠ 0 (solução não trivial, Y(z,t) ≠ 0). Então: 
Z(0) = 0 e Z(L) = 0 
Caso ζ = 0, a solução do problema será trivial, Y(z,t) = 0: 
Z‟‟ = 0 → Z(z) = k1.e
λz
 + k2. e
-λz 
Para Z(0) = 0 → Z(0) = k1 + k2 → k1 = - k2 
Para Z(L) = 0 → Z(z) = k1.e
λL
 + k2. e
-λL
 = 0 → eλL = - e-λL (trivial) 
Portanto, busca-se solução para ζ ≠ 0. Dessa forma, por conveniência faz-se a seguinte 
substituição: ζ = -λ2. Então 
 (4) 
 (5) 
Com a seguinte solução 
 
 
Com: 
Y(0,t) = Z(0).T(t) = 0; 
Y(L,t) = Z(L).T(t) = 0 
Então: 
 
 
Dessa forma, k1=0 e 
 
 
Entra com Z(0) = 0 em Z(z) = k1.cos(λz) + k2.sen(λz), dessa forma k1 = 0 e 
Z(z) = k2.sen(λz) 
 
 
A seguinte condição de contorno implica: 
Z(L) = k2.sen(λL) = 0 
Se k2 = 0, então x = 0 de forma que Y(z,t) = Z(z).T(t) = 0 (solução trivial). Para obter 
uma solução não trivial, deve-se ter k2 ≠ 0 e dessa forma, a equação (7) é satisfeita 
quando 
sen(λ.L) = 0 
Isto implica que λ.L = n.π ou , n = 1,2, ... 
Neste caso, têm-se os autovalores e as autofunções do problema. Então solução não-
trivial da procurada é: 
 
Portanto, 
 
Por outro lado, para que as funções dadas acima satisfaçam a condição inical, é 
necessário escolher os coeficientes An de tal forma que: 
 
pois Y(z,0)=Yo,z 
Por outro lado, a equação (*) é a série de senos de Fourier para Y0,z. Seus coeficientes 
são dados por 
 
Dessa forma, a solução do problema será dada pela seguinte expressão: 
 
Obs. 1: Fazer no Maple um caso específico em que π=2; y0,2=100 e DAB(1 a 10-
5m2/s). 
Voltando para a variável da concentração fica: 
 
 
 
Então, 
 
Obs. 2: Fazer esse mesmo problema para um meio semi-infinito. 
Obs. 3: Normalmente esses tipos de problemas são resolvidos numericamente. 
Exemplos: Mostre que a seguinte expressão satisfaz a segunda lei de Fick: 
 
Onde CAé a concentração do soluto que difunde, M é a quantidade de soluto, t é o 
tempo e z é a distancia normal ou final do soluto. 
Solução: 
Considere e 
Então, 
 
 
 
 
Por outro lado, fazendo-se 
 e 
Tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
Como a segunda lei de Fick é: 
 
Portanto, 
 
Onde essa duas expressões são iguais, o que comprova o enunciado. 
Exemplo: Uma superfície porosa com espessura de 50mm está saturada de etanol. Essa 
superfície é colocada num reservatório contendo água pura. Se a concentração de etanol 
na superfície z = 0 é 27% menor que a concentração inicial em 30 horas. Qual deverá 
ser a concentração nessa mesma posição após 34,4 horas? 
Solução: Considere a seguinte expressão 
 
Para z = 0 então, 
 
 
Como a concentração diminui para 27% após 30 horas, tem-se que CA = 0,73.CAo 
Então, 
 
 
Após 34,4 h tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
Cpítulo 28 Transferência de Massa Convectiva 
Esse tipo de transferência de massa envolve o transporte de matéria entre uma superfície 
e um fluido em movimento ou entre dois fluidos imiscíveis que se movimentem um em 
relação ao outro. A equação para o processo é: 
Na = Kc∆C 
Onde Na é o fluxo de massa na direção em que há diminuição da concentração e Kc, o 
coeficiente de transferência de massa. Esse coeficiente está relacionado com as 
propriedades do fluido, com as características termodinâmicas do fluido e com a 
geometria do sistema, não sendo fácil determiná-lo experimentalmente. 
 
Considerações Fundamentais para a Transferência de Massa Convectiva 
Quando um fluido escoa sobre uma superfície, postula-se que há a formação de uma 
camada, às vezes extremamente fina, próxima da superfície onde o fluido até laminar. 
Neste caso, a transferência de massa molecular será responsável pelo processo 
convectivo. Portanto, se o fluido é laminar todo transporte entre a superfície e o fluido 
em movimento é molecular. Por outro lado, se o fluido for turbulento se formará 
pacotes de matéria transportada pelo fluxo turbulento. 
Neste caso haverá uma alta taxa de transferência de massa associada ao movimento 
turbulento. 
A camada limite hidrodinâmica é a principal responsável pelo transporte de massa 
convectivo. Esta camada limite é similar, mas não necessariamente igual em espessura a 
camada limite térmica. 
Existem quatro métodos para se avaliar o coeficiente de transferência de massa 
convectiva, a saber: 
 Análise dimensional acoplada com experimentos; 
 Análise exata da camada limite; 
 Análise aproximada da camada limite; 
 Analogia entre movimento, energia e transferência de massa. 
 
Parâmetros Importantes na Transferência de Massa Convectiva 
Parâmetros adimensionais ao frequentemente usados para correlacionar dados de 
transporte convectivo. Da mesma forma que o número de Reynolds e Euler são 
encontrados no transporte do momento, o número de Prandtl e Nusselt são importantes 
 
 
para a correlação do transporte covectivo do calor, alguns desses mesmos parâmetros 
serão usados para correlacionar os dados do transporte convectivode massa. 
 A difusividade molecular para os três fenômenos de transporte são definidas por: 
 Difusividade de movimento – = 
 Difusividade térmica – 
 Difusividade mássica – Dab 
Todas possuem dimensão de L²/t. Então a razão entre duas dessas difusividades dá um 
número adimensional. 
A taxa da transferência da difusividade molecular do momento pela difusividade 
molecular é definida como número de Schimidt, 
 = Sc = = 
O número de Schmidt tem a mesma importância para a transferência de massa 
convectiva como o número de Prandtl tem para o transporte convectivo de calor. 
A taxa da difusividade térmica pela difusividade molecular de massa é definida como 
número de Lewis, 
 = Le = 
 
O número de Lewis é encontrado em processos que envolvem transporte simultâneo de 
massa e energia. 
Então, (1) 
P/ t > 0 : Y(0,t) = 0 e Y(L,t) = 0 (Condição de contorno) 
P/ t = 0 : Y(z,0) = Yo(z) 
 
A solução desse problema se baseia no método da separação de variáveis. 
Portanto, Y(z,t) = Z(z).T(t) 
Dessa forma, Yzz(z,t) = Z(z)
‟‟
.T(t) 
 Yt(z,t) = Z(z).T(t)‟ 
Substituindo na equação (1), fica: 
 Z(z).T(t)‟ = DAB Z(z)
‟‟
.T(t) 
 
 
 
Nessa equação, as variáveis estão separadas. Agora, chama-se essa constante de 
separação de ζ, então: 
 
Os números de Lewis e Schimdt são funções de propriedades do fluido, dessa forma, 
eles devem ser tratados como propriedade do sistema difusional. 
Considere a transferência de massa de um soluto A, de um sólido, para um fluido que se 
movimenta sobre a superfície desse sólido, conforme figura 
abaixo.
 
A transferência de massa entre a superfície do fluido e o seio do fluido é dada por: 
NA = KC (CA,S – CA,∞) 
Por outro lado, a transferência de massa na superfície do sólido é por difusão molecular 
também pode ser escrita por: 
 
Quando a concentração na camada limite (CA,S) é constante, essa equação simplifica-se 
para: 
 
Essas equações podem ser igualadas, então: 
 
Portanto, 
 
Multiplicando-se ambos os lados da equação por L, obtém-se o seguinte número 
adimensional: 
 
 
 
Esse número representa fisicamente a taxa da resistência do transporte molecular pela 
resistência do transporte convectivo de transferência de massa. Esse número é 
conhecido como número de Nusselt para transferência de massa, NµAB, ou também 
conhecido como número de Sherwood, Sh. 
Esses três parâmetros, Sc, NµAB ou Sh, e Le, são encontrados na análise do transporte 
convectivo para transferência de massa. 
 
Análise dimensional para transferência de massa convectiva 
A análise dimensional estabelece a dimensão dos vários correlações de dados 
experimentais. Existem dois processos de transferência de massa convecção, a saber: a 
transferência de massa forçada e por convecção natural. 
Considere a análise da transferência de massa da parede de um tubo circular para um 
fluido que atravessa o mesmo. As variáveis, seus símbolos e sua representação 
dimensional são apresentados abaixo: 
Variável Símbolo Dimensão 
Diâmetro do tubo D L 
Densidade do fluido ρ M / L
3 
Viscosidade fluidodinâmica µ M / L.t 
Velocidade do escoamento v L / t 
Difusividade DAB L
2
/ t 
Coeficiente convectivo de 
transferência de massa 
KC L / t 
 
De acordo com o método de Buckingham, tem-se: 
Nº de grupos = Nº de variáveis – Nº de grandezas fundamentais 
 = 6 – 3 = 3 (massa, comprimento e tempo) 
O conjunto de recursos deve conter três variáveis que não possam por elas próprias ser 
combinadas num grupo adimensional. Portanto, escolhe-se as três variáveis como sendo 
DAB, ρ e D. Dessa forma, os três grupos formados são: 
 
 
 
 
 
Escrevendo-se na forma dimensional, fica: 
 
Igualando os expoentes em ambos os lados da equação, tem-se 
L: 0 = 2a – 3b + c + 1 
t: 0 = -a -1 
u: 0 = b 
A solução dessas equações dá: 
a = -1, b = 0, c = 1 
Então, que é o número de Nusselt para a transferência de massa ou Sherwood. 
Os outros dois grupos são determinados da mesma maneira. Então, e 
 (número de Schmidt). 
Dividindo-se Π2 por Π3, obtém-se 
 
o número de Reynolds. Portanto 
 
Ou 
 
Por outro lado, 
 
 
 
Então, , que é análogo a correlação para transferência de calor. 
 
Análise dimensional da transferência de massa por convecção natural 
A convecção natural ocorre quando há uma variação de densidade dentro do líquido ou 
gás. A variação de densidade pode ser devida a uma diferença de temperatura ou a uma 
grande diferença de concentração. 
Será analisado agora um caso de convecção natural de transferência de massa, numa 
parede com um fluido passando sobre sua superfície. 
As variáveis importantes do processo e seus símbolos são apresentados abaixo: 
Variáveis Símbolo Dimensão 
Comprimento 
característico 
L L 
Densidade do fluido Ρ M/L³ 
Difusividade do fluido DAB L²/t 
Viscosidade do fluido µ M/L.t 
Força do empuxo g.ΔρA M/L².t² 
Coeficiente de 
transferência de massa 
Kc L/t 
 
De acordo com o Teorema de Buckingham, tem-se: 
 
 
O conjunto de recursos será formado pelas seguintes variáveis: DAB , L e µ. 
Dessa forma, tem-se: 
 
 
 
 
 
Procedendo da mesma forma, como no caso da convecção forçada, é obtido: 
 Sherwood 
É o número de transferência de massa de Nusselt ou Sherwood. 
 
Que é o inverso do número de Schmidt, e 
 
Multiplicando-se π2 e π3, obtém-se um parâmetro que é análogo ao número de Grashof 
para convecção natural de calor. 
 
Então, 
 
Ou 
 
 
 
Portanto, o resultado da análise dimensional sugere que as correlações para tranferência 
de massa por convecção natural seja uma função do número de Grashof e Shimidt. 
 
Análise exata para transferência de massa na camada limite 
Blasius desenvolveu uma solução exata para a camada limite laminar numa superfície 
plana. Por analogia, a solução de Blasius é estendida para transferência de massa 
convectiva com mesma geometria. 
A equação que descreve a tranferência de massa numa superfície plana em estado 
estacionário é: 
 
Por outro lado, considerando-se que 
 
 
 
Então 
 
Com a seguinte condição de contorno 
 em y =o 
e 
 
Com a seguinte representação esquemática 
 
 
 
Por analogia com a solução de Blasius, a solução para a transferência de massa com o 
número de Schimidt igual a 1 é: 
 
Quando a velocidade na direção y é zero o fluxo de transferência de massa nessa 
direção é (1ª lei de Fick): 
 
Portanto, 
 
 
 
Por outro lado, o fluxo convectivo para a transferência de massa foi definido como 
 
Então, 
 
Ou, 
 
Essa expressão vale para sistemas tendo número de Schimidt menor ou igual a 1. Uma 
representação gráfica dessa solução é mostrado na transferência com valores positivos e 
negativos do parâmetro . Os valores positivos são para transferência de massa 
da superfície para o fluido, quando é no sentido contrário o valor desse parâmetro é 
negativo. 
Em muitos processos envolvendo transferência de massa o parâmetro da superfície 
 é negligenciável ( ) e a solução descrita anteriormente não é aplicável. A 
vaporização de materiais voláteis em baixa pressão é um caso onde a solução dada 
anteriormente não se aplica. Nesta condição, o gradiente de concentração é expresso 
pela seguinte relação: 
 
Com o fluxo de transferência de massa dado como: 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
Então: 
 
Essa expressãoé aplicável quando ocorre uma alta taxa de transferência de massa. O 
coeficiente de transferência de massa médio aplicado a um plano com dimensão wxL é 
obtido por integração. 
Neste caso, a transferência total de massa será: 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
E portanto, 
 
O número de Nusselt local está relacionado com o número de Nusselt médio pela 
seguinte relação: 
 
É interessante notar que a análise dimensional previu para a transferência de massa 
convectiva forçada uma relação de forma: 
 
O que é compatível com a relação demonstrada acima. 
 
Exemplo: O coeficiente para transferência de massa numa camada limite turbulenta foi 
correlacionado em termos do número de Nusselt, dado por: 
 
 
Nux,AB= 0,0292 Rex
4/5 
Sc
1/3 
Onde x é a distância percorrida numa superfície plana. A transição de fluido laminar para 
turbulento ocorre para Rex = 3x10
5 
. 
a) Desenvolva a expressão para o coeficiente convectivo médio de transferência de 
massa numa superfície de comprimento L. 
 
Solução: 
Por definição, = + 
 
Onde Lt é a distância onde se localiza o ponto de transição entre turbulento e laminar. 
Por outro lado, 
 
 
 
Então: 
 
 
Lt é o ponto onde o número de Reynolds se torna turbulento (3x10
5
). 
 
 
 
 
 
 
 
b) Numa superfície de 1m de comprimento foi derramado, acidentalmente, um béquer 
com álcool. Para evaporar esse álcool, fez-se passar sobre essa superfície uma corrente de 
ar com velocidade de 6 m/s paralela ao álcool. O ar foi mantido a 289K e 1 atm. A pressão 
de vapor do álcool a 289K é 4000 Pa. Determine a quantidade de álcool evaporado por 
metro quadrado de área por segundo. 
Dados: 
A 289K, a viscosidade cinemática do álcool e a difusividade são: 
 V = 1,48x x10
-5
m²/s ; DAB = 1,26x x10
-5
 m²/s 
 
 
 
Solução: 
 
Sc = V_ = 1,48x10
-5
 = 1,17 
 DAB 1,26x10
-5 
 
 
O número de Ver para o comprimento de 1m é avaliado por: 
 
 
Como o número de Reynolds foi maior que 3 x10
5
, entramos na região onde o fluxo passa 
de laminar para turbulento. Esse ponto de transição pode ser analisado por: 
 
Agora pode-se analisar o coeficiente médio de transferência de massa convectivo, 
 
 
Por outro lado a concentração do material acima da superfície do líquido é: 
 
Portanto, a taxa de evaporação do álcool será: 
 
 
 
 
 
Determinação do Coeficiente Convectivo de Transferência de Massa por 
Analogias 
 
 
 
As relações obtidas por analogias são usadas em sistemas com poucos dados quantitativos 
disponíveis. As analogias requerem que as seguintes condições ocorram no sistema: 
1) As propriedades físicas do sistema são constantes; 
2) Não deve haver produção de energia de massa no sistema, e portanto, não poderia 
haver uma reação química no mesmo; 
3) Não há absorção da emissão de energia radiante; 
4) Não há dissipação viscosa e 
5) O perfil de velocidade não é afetado pela transferência de massa, portanto há uma 
baixa taxa de transferência de massa. 
Analogia de Reynolds 
Reynolds afirmou que os mecanismos para transferência de momento e energia são 
idênticos. Então, da mesma forma que a camada limite é laminar para o número de Prandt 
igual a 1, ela também será laminar par ao número de Schmidt igual a 1. Com isso, os 
resultados de Reynolds são excluídos para incluir o mecanismo de transferência de massa. 
Quando a camada limite é laminar, a contribuição e a velocidade estão relacionadas por: 
 (*) 
 
Por outro lado, próximo a superfície da camada limite, y = 0, o fluxo máximo é: 
 
E, quando Sc=1  
Então, 
 
Por outro lado, 
 
Dessa forma, chega-se a: 
 
O gradiente de velocidade está relacionado com o coeficiente de fricção pela seguinte 
relação: 
 
Usando-se essa relação, chega-se a analogia de Reynolds para transferência de massa. 
 
 
 
Outras analogias para camada limite laminar, Sc = 1, no processo de transferência de 
massa, também são encontradas, tais como: 
 
Analogia de Prandt 
 
 
Analogia de Von Kármán 
 
Uma outra analogia válida para líquidos e gases com número de Schmidt no intervalo de 
0,6<Sc<2500 é a de Chilton-Colburn. A mesma é dada por: 
 
Quando algum tipo de arrasto está presente, a mesma é dada por: 
 
que é válida para 0,6< Sc<2500 e 0,6<Pr<100. Essa analogia tem sido aplicada para 
diferentes geometrias. 
 
Exemplo: Dittus and Boelter propuseram a seguinte equação para correlacionar o 
coeficiente de transferência de calor num tubo sob fluxo turbulento. 
 
Qual deverá ser a equação correspondente para coeficiente de transferência de massa nesse 
mesmo tubo e nas mesmas condições? 
Solução: 
De acordo com Chilton-Colburn tem-se: 
 
 
Substituindo esse valor na equação de Dittus e Boelter, chega-se a: 
 
 Ou 
 
 
 
 
 
Após simplificação dá: 
 
Exemplo: Ar seco na pressão atmosférica é sofrido num termômetro que possui um 
bulbo coberto com uma mecha de algodão úmido. Este é o clássico termômetro de 
bulbo molhado que indica a temperatura quando uma pequena quantidade de líquido é 
evaporada numa grande quantidade de mistura gás-vapor. 
O termômetro marca 65°F, e nessa condiução, as seguintes propriedades foram 
avaliadas: 
 
 Pressão de vapor da água: 0,3056 Psi 
 Densidade do ar: 0,076 lbm/ft2 
 Calor latente de vaporização da água: 1057Btu/lbm 
 Numero de Prandtl: 0,72 
 Número de Schmidt: 0,61 
 Calor específico do ar: 0,24 Btu/lbm°F 
 
Qual é a temperatura do ar seco? 
 
Solução: 
 
O fluxo de água evaporada é dado pela seguinte equação: 
 
NH2O = Kc (CH2O,S – C H2O,∞) 
 
A energia necessária para evaporar essa água é dado pela transferência de energia por 
convecção: 
Q = µ (T∞ –Ts) = λMH2O NH2O 
 
Onde λ é o calor latente de vaporização da água da superfície líquido/vapor. Então, 
 
 
 
Substituindo a equação do fluxo molar nessa equação, tem-se: 
 
da relação de Chilton-Colhurn obtem-se a seguinte relação: 
 
 
 
 
Então, 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
Modelos para Determinação do Coeficiente de Transferência de Massa 
Convectivo: 
Existem vários modelos para determinação do coeficiente de transferência de massa 
entre fases, o primeiro deles foi proposto por Whitmam 1923, o mesmo foi chamado de 
teoria dos dois filmes. 
 
 
 
Nesta teoria, supõe-se que a turbulência se extingue na interface e que existe uma 
camada laminar em cada um dos lados do fluido. E que toda resistência a tranferencia 
de massa se concentra nesse filme dictício, δ, e a mesma se dá por difusão molecular, 
Nessa teoria, Kc é dado por: 
 
Por simplicidade, essa teoria é a mais usada na modelagem de equipamentos de 
Engenharia Química. 
 
Teoria da Penetração: Foi originalmente proposta por Higbil (1935) para explicar a 
transferência de massa na absorção gás/líquido. É utilizada quando um gás penetra 
muito pouco no seio do líquido, devido a um pequeno contato “líquido/gás” ou por 
alguma reação química que faz com que o gás desapareça do meio. Nessa teoria, 
supõem-se que os turbilhões no fluido trazem um elemento de fluido à interface, onde 
 
 
ele é exposto à segunda fase durante um certo intervalo de tempo, posteriormente o 
elemento da superfície é misturado com o todo. A expressão obtida por Higbil é: 
 
 ou 
 
 
Onde texp é o tempo de exposição de um elemento na superfície. 
 
Teoria da Superfície Renovada: Foi originalmente proposta por Danckwarts (1951). 
O mesmo sugeriu queos vários elementos da superfície não estariam expostos no 
mesmo intervalo de tempo, mas existiria uma distribuição aleatória de idades. Ele 
admitiu que a probabilidade de um elemento da superfície se destruir e misturar 
novamente com o fluido em globo era independente da idade do elemento. Nessa base 
ele obteve a seguinte expressão: 
 
 
 
Onde “S” é um fator da superfície renovada e é determinado experimentalmente. O 
mesmo aumenta com a turbulência do fluido. 
 
Existem muitas outras teorias para a determinação do coeficiente de transferência de 
massa, tais como: 
 
 Toor e Marchello; 
 Kishineuskis; 
 Bakowski 
Apesar de existirem várias teorias, as mais usadas em processos de Engenharia Química 
é a teoria dos dois filmes pela sua simplicidade. 
 
Exemplos: Dados de transferência de massa foram obtidos da vaporização do naftaleno 
em uma corrente de gás em regime turbulento num tubo anular. O tubo anular foi feito 
de naftaleno. Para correlacionar os dados, os investigadores estabeleceram que o 
coeficiente de transferência de massa dependeria da velocidade do fluido do gás v, do 
diâmetro do tubo Do, do diâmetro interno do tubo, Di, da densidade e viscosidade do 
 
 
meio, e da difusividade da naftalina no gás. Arrume essas variáveis em grupos 
adimensionais que os investigadores possam usar para correlacionar os dados. 
 
 
 
Solução: 
Variável Símbolo Dimensão 
Velocidade do gás V M/L 
Diâmetro do tubo Do L 
Diâmetro interno Di L 
Densidade ρ M/L
3
t 
Viscosidade µ M/Lt 
Disfusividade do meio DAB L
2
/t 
Coeficiente de 
transferência de massa 
Kc L/t 
 
De acordo com o método de Buckingham, tem-se: 
Número de grupos = número de variáveis – números de grandezas fundamentais 
Número de grupos = 7-3 = 4 
Agora escolhe-se três variáveis que não possam ser combinadas nem grupo 
admensional, então, teremos: 
DAB, ρ, D0 
 → 1 
 
µ → b=0 t → a= -1 L → c=1 
 
 
 
 → 
 
Procedendo da mesma forma vista acima: 
 
Procedendo da mesma maneira, tem-se: 
 
 
 e 
 
Portanto: F(Π1,Π2,Π3,Π4) = 0 
Dividindo-se: 
 
Entra: F2(Π2, Π2/Π3,Π4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 29 : Transferencia De Massa Entre Fases 
 
 A transferência de massa dentro de uma fase pode ser por transporte molecular ou 
convectivo. Para que esse processo ocorra , há necessidade de um gradiente de 
concentração , e quando o mesmo torna-se ciclo, o processo de transferência de massa 
deixa de existir . Por outro lado, para que ocorra a transferência de massa entre fases, de 
acordo com a teoria dos dois filmes Whitmann, admite-se que o equilíbrio entre fases 
ocorre instantaneamente e que o desvio da concentração do equilíbrio, dentro de cada 
fase, é a força motriz do processo. 
 Por exemplo, se for considerado um sistema ar e amônia em contato com agua 
liquida, neste caso, haverá transferência de amônia para agua e parte da agua passará 
para o sistema amônia ar. Quando o equilíbrio é estabelecido, tem-se a figura abaixo: 
 
Fig-29.1 a xa ( fração molar de NH3 dissolvido em agua) 
 Equação para o sistema liquido /gás em equilíbrio quando o sistema é ideal são 
relativamente simples. Por exemplo, quando o liquido é ideal, a lei de Raoult se aplica 
ao sistema. 
pa = xa Pa 
onde pa = pressão parcial da substancia A 
 xa = fração molar da substancia A 
 Pa = é a pressão de vapor da substancia dissolvida ou pressão de saturação do 
componente A. 
 Por outro lado, quando o gás é ideal a lei de Dalton é aplicada, então, 
pa= ya P 
 pa = pressão parcial da substância A 
 ya= fração molar da substância A 
 
 
 P = é a pressão total do sistema 
Dessa forma, quando as duas fases são ideais as duas equações podem ser combinadas, 
resultando em: 
yaP=xaPa 
Outra relação muito utilizada ------ gás é pouco solúvel no liquido ( sistemas diluídos ) é 
a lei de Henry. A mesma é expressa por: 
pa: H Ca 
onde H= constante de Henry 
 Ca = concentração de equilíbrio de A na solução diluída. 
 Uma equação similar a de Henry é a relação que descreve a posição do soluto entre 
dois líquidos imiscíveis. A mesma é dada por : 
Ca,liq1= KCa,liq2 
Onde Ca= é a concentração do soluto distribuída em duas fases 
 K= a constante de partição 
Exemplo: Uma corrente contém 3% em mol de acetona e 97% em mol de ar. Para 
eliminar a acetona do ar, a corrente será tratada numa coluna de absorção com agua 
pura. A torre será operada com uma pressão total de 1,013 x 10
5
 Pa e numa 
temperatura de 293K. Se a lei de Rdoult- Dalton pode ser usada para determinar a 
distribuição da acetona entre o ar e a água, então determine: (a pressão de vapor da 
acetona na temperatura do sistema é 5,64 x 10
4
 Pa) 
a) A fração molar da acetona na fase aquosa que entrará em equilíbrio com a 
acetona na mistura gasosa. 
b) A fração molar da acetona na fase gasosa que entrará em equilíbrio com 20ppm 
de acetona na fase aquosa. 
 
Solução: 
a) ya = 0,03 ; P = 1,013 x 10
5
 Pa ; Pa = 5,64 x 10
4
 Pa 
 
ya . P = xa . Pa  xa = (ya . P) / Pa = (0,03 . 1,013 . 10
5
) / 5,64 . 10
4
 
 
 xa = 0,0539 
 
b) 20ppm de acetona é: 
 
(20 g de acetona) / (999,980 g de água) = 
 
 
 
 = [(20 g / 58g.mol
-1
) / (999,980 g /18 g.mol
-1
)] = 
 
 = 6,207 . 10
-6
 mol de acetona/mol de água 
 
 
 xa = (6,207 . 10
-6
) / [1 mol de água + (6,20 . 10
6
 mol de acetona)] = 6,207 . 10
-6 
 
Então, 
 ya P = xa Pa 
 
 ya = (6,207 . 10
-6
 . 5,64 . 10
4
 Pa) / 1,013 . 10
5
 Pa = 3,45 . 10
-6
 
 
 
 
 
Teoria das Duas Resistências 
 
A teoria das duas resistências, inicialmente sugerida por Whitman, é 
frequentemente utilizada para explicar esse processo de transferência de massa. 
 
As duas principais hipóteses dessa teoria são: 
 
- a taxa de transferência de massa entre as duas fases é controlada pela taxa de difusão 
em cada um dos filmes formados na interface líquido/gás. 
- não há resistência à transferência de massa na interface, e assume-se que nesse ponto 
há o equilíbrio termodinâmico. 
 Dessa forma o gradiente de concentração necessário à transferência de massa do 
componente “A” do gás para o líquido é dado conforme figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 29.2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
PA,G  pressão parcial de A no seio do gás 
PA,i  pressão parcial de A na superfície 
CA,i  concentração do líquido A na interface 
CA,L  concentração no seio do líquido 
 
 
A segunda hipótese de Whitman obriga o equilíbrio na interface, dessa forma, 
 
 PA,i = H CA,i 
 
 
 
Coeficiente de Transferência de Massa Individual 
 
Agora considere a transferência de massa do componente A da fase gasosa para 
a fase líquida. Então, o fluxo na direção Z será: 
 
 NA,Z = KG (PA,G – PA,i) e NA,Z = KL (CA,i – CA,L) 
 
onde KG é o coeficiente convectivo por transferência de massa na fase gasosa, [mol de 
A transferido / tempo x área da interface x ∆PA], e KL é o coeficiente convectivo para a 
transferência de massa na fase líquida, [mol de A transferido / tempo x áreainterface x 
∆CA(unidade de concentração)]. 
 
A diferença de pressão parcial (PA,G – PA,i) é a força motriz necessária para a 
transferência do componente A do seio do gás até a interface de separação das duas 
fases. A diferença de concentração (CA,i – CA,L) é a força motriz necessária para 
continuar a transferência de massa de “A” até o seio do líquido. No estado estacionário 
tem-se: E dessa forma: 
 - = 
Graficamente, essa relação gera a seguinte figura: 
 
 
 
Figura 29.6 
Na tabela a seguir, são listados vários coeficientes de transferência de massa 
convectivos e individuais e suas respectivas unidades. Além disso, o sobrescrito 
„0‟(zero) a cima dos coeficientes é para denotar que os mesmos se aplicam quando a 
 
 
transferência de massa liquida no sistema for 
zero. 
 
Coeficientes de transferência de massa Global 
É difícil medir a pressão parcial e a concentração de um componente na interface, 
portanto é conveniente empregar um coeficiente de transferência de massa Global 
,baseado numa força motriz global , l,C, e .Na figura abaixo , observa-se que 
 está em equilíbrio com a pressão parcial . 
 
 
 
Figura -29.7 
Dessa forma ,pode-se utilizar para se determinar o coeficiente Global de 
transferência de massa , ,que inclui a resistência a transferência de massa em ambos 
os lados do filme. Essa resistência em termos da força motriz da pressão é dada por : 
= ( - ). 
onde 
Pa,g = é a pressão parcial de “A” no seio do Gas. 
Pa = é a pressão parcial de “A” em equilíbrio com a composição no seio do liquido Cal 
KG = é o coeficiente de transferência de massa global 
( mol de A transferido/ tempo x área x pressão) 
 
Similarmente o coeficiente de transferência de massa, baseado numa força motriz de 
concentração e dado por: 
 
 
 
Onde , 
 Ca é a concentração de equilíbrio em Pa,g. 
Ca,l é a concentração no seio da fase liquida 
 
 
KL é o coeficiente de transferência de massa global (moles de A transferido/tempo x 
área interface x mol de A / volume) 
 
Por outro lado, a razão entre a resistência em uma fase individual e a resistência total 
pode ser determinada por: 
 
Resistência na fase gasosa ____ = ∆pAfinal gas = 1/kg 
Resistência total em ambas fases ∆pA total 1/kg 
e 
Resistência na fase liquida_____ = ∆CAfinal liq. = 1/kL 
Resistência total em ambas fases CA total 1/KL 
 
Alem disso, a relação entre o coeficiente global e individual de transferência de massa 
pode ser obtido quando a relação de equilíbrio é linear como a expressa pela lei de 
Hemry, onde: 
 
 
Esse fato é verdadeiro para baixar concentração dessa forma, 
 
Pa,g = mCa 
Pa = m Ca,l 
Pa,i = mCa,i 
 
Então, tem-se que: 
 
 
Dessa forma 
 
 
 
Em termos de constante “MA” fica: 
 
 
 
E como 
Na,z = kg (Pa,g - Pa,i) 
Na,z = Kl (Ca,i – Ca,l) 
 
Chega-se a: 
 
 
 
 
De uma forma similar, uma expressão para KL pode ser derivada como segue: 
 (*) 
Então, chega-se a: 
 
(*) demonstração no verso 
Das reações obtidas, verifica-se que o valor das resistências individuais em cada 
fase depende da solubilidade do gás na fase líquida, conforme o valor da constante “m”. 
Para um sistema que possui um gás muito solúvel, tal como amônia em água, o valor de 
“m” é muito pequeno, então: 
 
E dessa forma, a resistência global é igual à resistência na fase gasosa, e tal 
sistema é dito ser controlado pela fase gasosa. Por outro lado, um sistema evolvendo um 
gás pouco solúvel, tal como dióxido de carbono em água, possui um grande valor de 
“m”, e, portanto: 
 
E verifica-se que a resistência global é igual à resistência na fase líquida, e tal 
sistema é dito ser controlado pela fase líquida. Além disso, em muitos outros sistemas a 
resistência em ambas as fases são importantes e devem ser consideradas quando se 
avalia a resistência global. 
Os coeficientes convectivos individuais, KG e KL dependem da natureza do 
componente que difunde, da natureza da fase onde o componente está difundido e, 
também, das condições de fluxos das fases. Até quando o coeficiente individual, KG é 
independente da concentração, o coeficiente global KG, pode variar com a concentração 
menor que a curva de equilíbrio seja linear. Este fato também é verdadeiro para o KL. 
Exemplo: Num estudo experimental sobre a absorção de amônia em água, o 
coeficiente global de transferência de massa, KY, foi medido como sendo igual a 2,74 x 
10
-9
 Kg mol / m
2
 s Pa. Em um ponto da coluna de absorção, a fase gasosa continha uma 
fração molar de amônia igual a 0,08 e a concentração na fase líquida era de 0,064 Kg 
 
 
molamônia / m
3
 de solução. A torre era operada a 293 K e 1,013 x 10
5
 Pa. Nesta 
temperatura, a constante de Henry é 1,358 x 10
3
 Pa / Kg mol / m
3
. Se 85% da resistência 
total para transferência de massa está concentrada na fase gasosa, determine os 
coeficientes individuais para transferência de massa e a composição na interface. 
Solução: A resistência total em ambas as fases é dada por: 
 
Por outro lado, a resistência na fase gasosa, 1/KG , é 85% da resistência total, 
dessa forma, o coeficiente individual na fase gasosa será: 
 
 
O coeficiente individual para transferência de massa da fase líquida, pode ser 
avaliado pela seguinte expressão: 
 
Portanto, 
 
 
Além disso, num ponto da coluna tem-se: PA,G = YA P = 0,08 x 1,013 x 10
5
 Pa 
PA,G = 8,104 x 10
3
 Pa 
CA,L = 0,064 Kg mol / m
3
 
Como o sistema é diluído, pode-se usar a lei de Henry, então: 
 
Com isso, o fluxo mássico será: 
 
 
 
 
 
Dessa forma, a composição na interface pode ser determinada pela seguinte 
expressão: 
 
 
 
E, usando-se a lei de Henry, tem-se: 
 
 
 
 Exemplo: Uma mistura de água e um contaminante “A” é introduzida no topo de 
uma coluna de desabsorção que opera em contra corrente com ar seco. Num ponto dessa 
coluna, a mistura contém 1 x 10
-6
 g mol de A/m
3
 e o ar está livre de “A”. Nas condições 
de operação dentro da torre, os coeficientes individuais para transferência de massa são: 
 
 As concentrações obedecem à lei de Henry, com H = 10 atm/ Kg mol / m
3
, então 
determine: 
a) O fluxo de massa da substância “A” 
b) Os coeficientes globais para transferência de massa KG e KL 
 
Solução: Nesse processo, a substância sairá da fase líquida para gasosa 
(stripping) então: 
 
 
 
 
 
 
 
Por outro lado, num ponto dessa coluna, tem-se: 
 e PA,G = 0 (pois o ar está isento de “A”) 
Dessa forma, as relações de equilíbrio são: 
 
 
 
O fluxo de desabsorção (stripping) será: 
 
 
O coeficiente global de transferência de massa, KG, pode ser determinado por: