Capitulo I Principios Basicos

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Hidráulica Básica e Máquinas de Fluxo 
 
01 de agosto de 2013 Alex N. Brasil 
 
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1. PRINCÍPIOS BÁSICOS 
 
1.1. Breve Histórico 
Obras hidráulicas de certa importância remontam à antiguidade: na Mesopotâmia 
existiam canais de irrigação construídos na planície situada entre os rios Tigre e 
Eufrates e em Nipur (Babilônia) existiam, coletores de esgotos desde 3750 A.C. 
Os egípcios, no período da XII dinastia (2000-1785 A.C.) realizaram importantes obras 
hidráulicas, inclusive o lago artificial Meris, destinado a regularizar as águas do baixo 
Nilo. 
Alguns princípios da Hidrostática foram enunciados por Arquimedes1 no seu tratado 
sobre corpos flutuantes (250 A.C.). 
A bomba de pistão foi concebida pelo físico grego Ctesibius e inventada pelo seu 
discípulo Hero, 200 anos antes da era Cristã. 
Grandes aquedutos romanos foram construídos em varias partes do mundo, a partir de 
150 A.C. 
No século XVI a atenção dos filósofos voltou-se para os problemas encontrados nos 
projetos de chafarizes e fontes monumentais, tão em moda na Itália. Assim foi que 
Leonardo da Vinci2 apercebeu-se da importância de observações nesse setor. Um novo 
tratado publicado em 1586 por Stevin3 e as contribuições de Galileu4, Torricelli5 e 
Daniel Bernoulli6 constituíram a base para o novo ramo científico. 
Devem-se a Euler7 as primeiras equações gerais para o movimento dos fluidos. No seu 
tempo os conhecimentos que hoje constituem a Mecânica dos Fluidos apresentavam-se 
separados em dois campos distintos: A “Hidrodinâmica teórica” que estudava os fluidos 
perfeitos e a “Hidráulica empírica”, em que cada problema era investigado 
isoladamente. Infelizmente os seus estudos foram feitos separadamente nesses dois 
sentidos. 
A associação desses dois ramos iniciais, constituindo a “Mecânica dos Fluidos”, deve-se 
principalmente à Aerodinâmica. 
“Se tratti di acqua anteponi l’esperienza alta teoria.” 
[Leonardo da Vinci] 
 
 
1 Arquimedes (287-212 A.C.) Geômetra, Analista e Engenheiro Grego. 
2 Leonardo da Vinci (1452-1519) Pintor, Arquiteto, Escultor e Filósofo Italiano. 
3
 Simão Stevin (1548-1620) Grande engenheiro civil e militar, Contador e Estatístico Holandês. 
4
 Galileu (1564-1642) Grande Astrônomo e pesquisador Italiano. 
5
 Evangelista Torricelli (1608-1647) Físico Italiano, discípulo de Galileu. 
6 Daniel Bernoulli (1700-1782) Cientista Suíço, Fundador da Física Matemática. 
7
 Leonardo Euler (1707-1783) Matemático, Físico e Astrônomo Suíço. 
 
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Convém ainda mencionar que a Hidráulica sempre constituiu fértil campo para as 
investigações e análises matemáticas tendo dado lugar a estudos teóricos que 
frequentemente se afastaram dos resultados experimentais. Várias expressões assim 
deduzidas tiveram de ser corrigidas por coeficientes práticos, o que contribuiu para que 
a Hidráulica fosse cognominada a “ciência dos coeficientes”. As investigações 
experimentais tornaram famosos vários físicos da Escola Italiana, entre estes Venturi8, 
Bidone e outros. 
Apenas no século XIX, com o desenvolvimento da produção de tubos de ferro fundido, 
capazes de resistir a pressões internas relativamente elevadas, com o crescimento das 
cidades e importância cada vez maior dos serviços de abastecimento de água e ainda em 
conseqüência do emprego de novas máquinas hidráulicas é que a Hidráulica teve um 
progresso rápido e acentuado. 
As investigações de Reynolds, os trabalhos de Rayleigh e as experiências de Froude 
constituíram a base científica para esse progresso. 
As usinas hidroelétricas começaram a ser construídas no fim do século passado. 
Aos laboratórios de hidráulica devem ser atribuídos os desenvolvimentos mais recentes. 
 
1.2. Hidráulica e Mecânica dos Fluidos 
Embora hoje em Hidráulica se inclua o estudo de outros líquidos, até há bem pouco 
tempo todo o trabalho experimental se limitava à água. O significado etimológico da 
palavra Hidráulica é “condução de água” (do grego hydor, água e aulos, tubo, 
condução). 
Muito mais geral é a Mecânica dos Fluidos que abrange problemas relativos a líquidos e 
gases. Desta forma, o termo Hidráulica representa o estudo do comportamento da água e 
de outros líquidos, quer em repouso, quer em movimento. 
A hidráulica pode ser assim dividida: 
• Hidráulica Geral ou Teórica 
- Hidrostática 
- Hidrocinemática 
- Hidrodinâmica 
• Hidráulica Aplicada ou Hidrotécnica 
A Hidráulica Geral ou Teórica aproxima-se muito da Mecânica dos Fluidos. 
A Hidrostática trata dos fluidos em repouso ou em equilíbrio, a Hidrocinemática estuda 
velocidades e trajetórias, sem considerar forças ou energia, e a Hidrodinâmica refere-se 
às velocidades, às acelerações e às forças que atuam em fluidos em movimento. 
A Hidrodinâmica, face às características dos fluidos reais, que apresentam grande 
número de variáveis físicas, o que tornava seu equacionamento altamente complexo, até 
 
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 Giovanni Battista Venturi (1746-1822) Padre, professor e Hidráulico Italiano. 
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mesmo insolúvel, derivou para a adoção de certas simplificações, resulatando em uma 
ciência matemática com aplicações práticas bastante limitadas. 
Os engenheiros, que necessitavam resolver os problemas práticos que lhes eram 
apresentados, voltaram-se para a experimentação, desenvolvendo fórmulas empíricas 
que atendiam suas necessidades. 
A Hidrodinâmica Aplicada ou Hidrotécnica é a aplicação concreta ou prática dos 
conhecimentos científicos da Mecânica dos Fluidos e da observação criteriosa dos 
fenômenos relacionados à água, quer parada, quer em movimento. 
As áreas de atuação da Hidráulica Aplicada ou Hidrotécnica são: 
• Urbana: 
- Sistemas de abastecimento de água; 
- Sistemas de esgotamento sanitário 
- Sistemas de drenagem pluvial 
- Canais 
• Rural 
- Sistemas de drenagem 
- Sistemas de irrigação 
- Sistemas de água potável e esgotos 
• Instalações prediais: 
- Industriais 
- Comerciais 
- Residenciais 
- Públicas 
• Lazer e paisagismo 
• Estradas (drenagem) 
• Defesa contra inundações 
• Geração de Energia 
• Navegação e Obras Marítimas e Fluviais 
 
Definição Fluido: um fluido é uma substância que se deforma continuamente sob a aplicação de 
uma tensão de cisalhamento (tangencial), não importa quão pequena ela possa ser. Ou 
seja, são denominados fluidos as substâncias que oferecem pequena resistência à 
deformação e que tomam a forma dos corpos com os quais estão em contato. Sob a ação 
de esforços tangenciais os fluidos deformam-se continuamente. 
Assim, os fluidos compreendem as fases líquida e gasosa (ou de vapor) das formas 
físicas nas quais a matéria existe. A distinção entre um fluido e o estado sólido da 
matéria é clara quando você compara os seus comportamentos. Um sólido deforma-se 
quando uma tensão de cisalhamento lhe é aplicada, mas não continuamente. 
Na Figura (1.1), os comportamentos de um sólido (Fig. 1.1a) e de um fluido (Fig 1.1b), 
sob a ação de uma força de cisalhamento constante, são comparados. Na Figura (1.1a), a 
força de cisalhamento é aplicada sobre o sólido através da placa superior à qual ele está 
ligado. Quando a força cisalhante é aplicada na placa superior, o bloco deforma-se 
conforme mostrado. Do estudo da mecânica, sabemos que, desde que o limite elástico 
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do material sólido não seja ultrapassado, a deformação é proporcional à tensão de 
cisalhamento aplicada, F Aτ = , onde A é a área da superfície em contato com a placa. 
Para repetir a experiência com um fluido entre asplacas, delimitaremos um elemento 
fluido, conforme mostrado pelas linhas cheias na Fig. (1.1b). Enquanto a força F estiver 
aplicada na placa superior, a deformação do elemento fluido aumenta continuamente. O 
fluido em contato direto com a fronteira sólida tem a velocidade da própria fronteira; 
não há deslizamento. Este é um fato experimental baseado em numerosas observações 
do comportamento dos fluidos. A forma do elemento fluido em instantes sucessivos 
0 1 2t t t< < , é mostrada (Fig. 1.1b) pelas linhas tracejadas. Como o movimento do fluido 
continua sob a aplicação de uma tensão cisalhante, podemos, alternativamente, definir 
um fluido como uma substância incapaz de suportar tensão de cisalhamento quando em 
repouso. 
 
Figura 1.1 – Comportamento de um sólido e de um fluido sob 
 a ação de uma tensão de cisalhamento constante. 
 
Os fluidos compreendem os líquidos e gases. Os primeiros caracterizam-se pela 
constância de seu volume em determinada temperatura, podendo por isso encher 
parcialmente um vaso. Os gases, tomando a forma do recipiente que os envolve 
ocupam-no totalmente. 
A pequena densidade e alta compressibilidade dos gases são características importantes. 
 
1.3. Massa Específica, Peso Específico e Densidade 
Conceito A massa específica ( )ρ ou densidade absoluta de uma substância é expressa pela massa 
da unidade de volume dessa substância. 
Para um corpo de massa M, 
 
M
V
ρ = massa
volume
 
  
 3
M
L
 
  
 (1.1) 
S.I.: 3
kg
m
 
  
 Absoluto: 3
g
cm
 
  
 Inglês: 3
slug
pe
 
 
 
 
 
Conceito Chama-se densidade relativa ou simplesmente densidade ( )d de um material a relação 
entre a massa específica desse material e a massa específica de uma substância tomada 
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por base: no caso de líquidos esta substância é a água; tratando-se de gases geralmente 
se adota o ar. 
 
2H O
d ρ
ρ
=
 [adimensional] (1.2) 
 
 fluido ou sólido
padrão
d
ρ
ρ
= 
Conceito Denomina-se peso específico (γ) de um material homogêneo ao peso da unidade do 
volume desse material. 
 γ
m g
V
⋅
= 
peso
volume
 
 
 
 
γ gρ= ⋅
 3
F
L
 
 
 
 (1.3) 
S.I.: 3
N
m
 
  
 Absoluto: 3
dyna
cm
 
  
 Inglês: 3
lbf
pe
 
 
 
 
 
Estas propriedades variam com a temperatura e pressão, porém a variação é 
relativamente pequena. 
 
1.4. Sistemas de Unidades 
Há mais de uma maneira de selecionar a unidade de medida para cada dimensão 
primária. Apresentaremos apenas os sistemas de unidades mais comuns na engenharia 
para cada um dos sistemas básicos de dimensões. 
 
a) MLtT 
O SI, que é a abreviatura oficial em todas as línguas do Système International d’Unités,9 
é uma extensão e refinamento do sistema métrico tradicional. Mais de 30 países 
declararam o SI como único sistema legalmente aceito. 
No sistema de unidades SI, a unidade de massa é o quilograma (kg), a unidade de 
comprimento, o metro (m), a unidade de tempo, o segundo (s), e a unidade de 
temperatura, o kelvin (K). A força é uma dimensão secundária, e a sua unidade, o 
newton N), é definida da segunda lei de Newton como 
 
F m a
→ →
= ⋅
 ( ) [ ] [ ]2Lm tF = ⋅   
 (1.4) 
 
9
 American Society for Testing and Materials, ASTM Standard for Metric Practice, E380-97. 
Conshohocken, PA: ASTM, 1997. 
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Newton [ ]N : 
2 2
1 m m1 N 1 kg 1 kg
s s
≅ ⋅ ≅ ⋅ 
 
No sistema de unidades Métrico Absoluto, a unidade de massa é o grama, a unidade de 
comprimento, o centímetro, a unidade de tempo, o segundo, e a unidade de temperatura, 
o kelvin. Uma vez que a força é uma dimensão secundária, a sua unidade, o dina, é 
definida em termos da segunda lei de Newton como 
dina: 
2 2
1 cm cm1 dyn 1 g 1 g
s s
≅ ⋅ ≅ ⋅ 
2
cm1 dyn 1 g
s
≅ ⋅ 
 ( ) ( )
2
-3
2
10 m
1 10 kg
s
−
= ⋅ 
-5
2
m1 dyn = 10 kg N
s
⋅ ⋅ 
-51 dyn = 10 N
 
 
b) FLtT 
No sistema de unidades Gravitacional britânico, a unidade de força é a libra força (lbf), 
a unidade de comprimento é o pé (pé), a de tempo, o segundo (s), e a de temperatura, o 
Rankine (°R). Como a massa é uma dimensão secundária, a sua unidade, o slug, é 
definida em termos da segunda lei de Newton como 
kgf: 
2
1 m1 kgf = 1 utm
s
⋅ 
1 utm = 9,8 kg . 
( ) 21 m1 kgf = 9,8 kg s⋅ 
2
m1 kgf = 1 kg 9,8
s
⋅ 
2
m1 kgf = 9,8 kg N 
s
⋅ ⋅ ⇒ 1 kgf = 9,8 N 
 
21 m s
1 utm
1 g
21 cm s
1 kg
21 m s
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slug: 
 
2lbf s1 slug 1
pe
⋅
≅ 
 1 slug 32,2 lbm≅ 
 1 pé = 0,305 m 
 2 2
m pé
 = 9,8 = 32,2
s s
a 
2
lbf
 = = pound per square inch
pol
psi 
1 pé = 12 pol 1 lbf = 4,45 N
1 pol = 2,54 cm = 0,0254 m
 
2
lbf
 = = pound per square feet
pé
psf 
 
c) FMLtT 
No sistema de unidades inglês Técnico ou de Engenharia, a unidade de força é a libra 
força (lbf), a unidade de massa, a libra massa (lbm), a unidade de comprimento, o pé, a 
unidade de tempo, o segundo, e a de temperatura, o Rankine. Uma vez que tanto a força 
quanto a massa são escolhidas como unidades primárias, a segunda lei de Newton é 
escrita como 
 
c
m aF
g
→
→
⋅
=
 (1.5) 
Uma libra força (1 lbf) é a força que imprime à massa de uma libra massa (1 lbm) uma 
aceleração igual à aceleração padrão da gravidade na Terra, 32,2 pé/s2. Da segunda lei 
de Newton, concluímos que 
21 lbm 32,2 pés s1 lbm
cg
×
≅ 
ou 
( )232,2 pé lbm lbf scg ≅ ⋅ ⋅ 
A constante de proporcionalidade, cg , tem dimensões e unidades. As dimensões 
surgiram porque escolhemos a força e a massa como dimensões primárias; as unidades 
(e o valor numérico) são uma conseqüência de nossas escolhas para os padrões de 
medição. 
Uma vez que uma força de 1 lbf acelera 1 lbm a 32,2 pé/s2, aceleraria 32,2 lbm a 
1 pé/s2. Um slug é também acelerado a 1 pé/s2 por uma força de 1 lbf. Portanto, 
1 slug 32,2 lbm≅
 
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Dimensão: Grandeza física mensurável. 
Dimensões básicas: Tempo ( )t 
 Comprimento ( )L 
 Massa ( )M 
 Temperatura ( )T 
 Força ( )F 
Sistemas de unidades. 
• Sistema Internacional (SI) 
• Sistema absoluto 
• Sistema técnico 
• Sistema inglês 
 
Tabela 1.1 – Dimensões básicas em relação aos sistemas de unidades. 
 SI Absoluto Técnico Inglês Eng. Inglês Téc. 
Comprimento 
( )L 
metro 
[ ]m 
centímetro 
[ ]cm 
metro 
[ ]m 
pé 
[ ]ft 
pé 
[ ]ft 
Massa 
( )M 
quilograma 
[ ]kg 
grama 
[ ]g 
unidade técnica 
de massa [ ]utm slug 
libra-massa 
[ ]lbm 
Tempo 
( )t 
segundo 
[ ]s 
segundo 
[ ]s 
segundo 
[ ]s 
segundo 
[ ]s 
segundo 
[ ]s 
Temperatura 
( )T 
kelvin 
[ ]K 
kelvin 
[ ]K 
kelvin 
[ ]K 
Rankine 
o  R 
Rankine 
o  R 
Força 
( )F 
Newton 
[ ]N 
Dina 
[ ]dyn 
quilograma 
força [ ]kgf 
libra-força 
[ ]lbf 
libra-força 
[ ]lbf 
 
A Tabela (1.1) apresenta as dimensões básicas referentes aos principais sistemas de 
unidades. 
 
 Unidades S.I., Prefixos e Fatores de Conversão 
Os dados necessários para resolver problemas nem sempre estão disponíveis em 
unidades coerentes. Assim, é necessário freqüentementeconverter de um sistema de 
unidades para outro. 
Em princípio, todas as unidades derivadas podem ser expressas em termos das unidades 
básicas. Então, apenas os fatores de conversão para as unidades básicas seriam 
requeridos. 
Na prática, muitas grandezas de engenharia são expressas em termos de unidades 
definidas, como, por exemplo, o horsepower, a British thermal unit (Btu), o quarto, a 
milha náutica. As definições de tais grandezas são necessárias, e fatores de conversão 
adicionais são úteis nos cálculos. 
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A Tabela (1.3) apresenta as unidades básicas SI e os fatores de conversão necessários, 
mais algumas definições e fatores de conversão convenientes. 
 
Tabela 1.2 – Unidades S.I. e prefixosa 
 
 
 
Tabela 1.3 – Fatores de conversão de definições 
 
 
 
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1.5. Tipos e Regimes dos Escoamentos 
De modo geral, os escoamentos de fluidos estão sujeitos a determinadas condições 
gerais, princípios e leis da Dinâmica e à teoria da turbulência. 
No caso dos líquidos, em particular da água, a metodologia de abordagem consiste em 
agrupar os escoamentos em determinados tipos, cada um dos quais com suas 
características comuns, e estuda-los por métodos próprios. 
Na classificação hidráulica, os escoamentos recebem diversas conceituações em função 
de suas características, tais como: laminar, turbulento, unidimensional, bidimensional, 
rotacional, irrotacional, permanente, variável, uniforme, variado, livre, forçado, fluvial, 
torrencial, etc. 
O escoamento é classificado como laminar quando as partículas movem-se ao longo de 
trajetórias bem definidas, em lâminas ou camadas, cada uma delas preservando sua 
identidade no meio. Neste tipo de escoamento, é preponderante a ação da viscosidade do 
fluido no sentido de amortecer a tendência de surgimento da turbulência. Em geral, este 
escoamento ocorre em baixas velocidades e ou em fluidos muito viscosos. 
Como na Hidráulica o líquido predominante é a água, cuja viscosidade é relativamente 
baixa, os escoamentos mais frequentes são classificados como turbulentos. Neste caso, 
as partículas do líquido movem-se em trajetórias irregulares, com movimento aleatório, 
produzindo uma transferência de quantidade de movimento entre regiões da massa 
líquida. Esta é a situação mais comum nos problemas práticos da Engenharia. 
O escoamento unidimensional é aquele em que as suas propriedades, como pressão, 
velocidade, massa específica, etc., são funções exclusivas de somente uma coordenada 
espacial e do tempo, isto é, são representadas em termos de valores médios da seção. 
Quando se admite que as partículas escoem em planos paralelos segundo trajetórias 
idênticas, não havendo variação do escoamento na direção normal aos planos, o 
escoamento é dito bidimensional. 
Se as partículas do líquido, numa certa região, possuírem rotação em relação a um eixo 
qualquer, o escoamento será rotacional ou vorticoso; caso contrário, será irrotacional. 
No caso em que as propriedades e características hidráulicas, em cada ponto do espaço, 
forem invariantes no tempo, o escoamento é classificado de permanente; caso contrário, 
é dito ser não permanente ou variável. 
Escoamento uniforme é aquele no qual o vetor velocidade, em módulo, direção e 
sentido, é idêntico em todos os pontos, em um instante qualquer, ou, matematicamente, 
∂V/∂s=0, em que o tempo é mantido constante e ∂s é um deslocamento em qualquer 
direção. No escoamento de um fluido real, é comum fazer uma extensão deste conceito, 
mesmo que, pelo princípio de aderência, o vetor velocidade seja nulo nos contornos 
sólidos em contato com o fluido. De forma mais prática, o escoamento é considerado 
uniforme quando todas as seções transversais do conduto forem iguais e a velocidade 
média em todas as seções, em um determinado instante, for a mesma. Se o vetor 
velocidade variar de ponto a ponto, num instante qualquer, o escoamento é dito não 
uniforme ou variado. 
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O escoamento é classificado em superfície livre, ou simplesmente livre, se, qualquer que 
seja a seção transversal, o líquido estiver sempre em contato com a atmosfera. Esta é a 
situação do escoamento em rios, córregos ou canais. Como característica deste tipo de 
escoamento, pode-se dizer que ele se dá necessariamente pela ação da gravidade e que 
qualquer perturbação em trechos localizados pode dar lugar a modificações na seção 
transversal da corrente em outros trechos. 
O escoamento em pressão ou forçado ocorre no interior das tubulações, ocupando 
integralmente sua área geométrica, sem contato com o meio externo. A pressão exercida 
pelo líquido sobre a parede da tubulação é diferente da atmosférica e qualquer 
perturbação do regime, em uma seção, poderá dar lugar a alterações de velocidade e 
pressão nos diversos pontos do escoamento, mas sem modificações na seção transversal. 
Tal escoamento pode ocorrer pela ação da gravidade ou através de bombeamento. 
O escoamento turbulento livre costuma ser subdividido em regime fluvial, quando a 
velocidade média, em uma seção, é menor que um certo valor crítico, e regime 
torrencial, quando a velocidade média, em uma seção, é maior que um certo valor 
crítico. 
 
1.6. Equação de Continuidade. Descarga 
Consideremos a veia líquida representada na Fig. (1.2). O peso de líquido que, num 
dado tempo dt, atravessa a seção S1 é o mesmo que, durante esse tempo, atravessa a 
seção S2, porque, sendo o líquido incompressível, não pode haver concentração ou 
diluição do conjunto das moléculas e nem há acréscimo ou subtração de matéria à 
corrente (o sistema é conservativo). 
 
Figura 1.2. 
 
Chamemos de 
γ - o peso específico do líquido (constante) 
V1 – a velocidade média na seção A; 
V2 – a velocidade média na seção B. 
Temos 
 1 1 2 2'dP S V dt S V dtγ γ= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ 
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sendo 'dP o peso líquido escoado através de cada seção. Como dt é o mesmo nos dois 
termos e as seções podem ser quaisquer, desde que normais à direção da velocidade, 
podemos escrever 
 
constanteP S Vρ= ⋅ ⋅ =
 (1.6) 
que é chamada equação de continuidade. 
P é o peso escoado na unidade de tempo que, por sua vez, é igual à massa escoada na 
unidade de tempo, mɺ , multiplicada pela aceleração g da gravidade, o que permite 
escrever: 
 
costantem S V
g
γ
= ⋅ ⋅ =ɺ
 (1.7) 
e 
 
constanteQ S V= ⋅ =
 (1.8) 
sendo Q o volume escoado na unidade de tempo através de qualquer seção normal do 
canal. 
Dá-se a 
P o nome de descarga em peso ou fluxo em peso (grandeza empregada no 
escoamento de gases e vapores); 
mɺ o nome de descarga em massa (grandeza empregada no estudo das 
turbomáquinas), também representada como µ ; 
e a 
Q o nome de descarga em volume, ou simplesmente descarga, fluxo, vazão ou 
débito (grandeza empregada no escoamento de líquidos). 
Unidades de descarga: 
3 1m s−⋅ ; sl ; m3/h; galão/min; pé cúbico por segundo ( ) 1cfs 1 cfs 28,321 s−⋅ = ⋅ . 
 
1.7. Forças Exercidas por um Líquido em 
Escoamento Permanente 
Consideremos a veia líquida limitada por paredes de material qualquer ou pelo próprio 
líquido em movimento, uma vez que, não se podendo interpenetrar, as trajetórias que 
envolvem a veia se constituem em uma parede. 
Nesta veia (Figura 1.3), imaginemos que as seções inicial a0b0 e final a1b1 sejam 
planas e inclinadas em relação à linha média. A resultante do sistema de forças que o 
líquido, escoando da seção inicial à final, exerce sobre as paredes da veia é dada pela 
Eq. (1.9), conforme se demonstraem Hidrodinâmica. 
 
0 0 1 1 0 1F P p S p S m V m V= + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ɺ ɺ
 (1.9) 
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Figura 1.3. 
 
Assim, o sistema de forças que um líquido em escoamento permanente exerce sobre as 
paredes de uma veia ou de um dispositivo, no interior do qual escoa, é equivalente ao 
sistema constituído pelas seguintes cinco forças finitas: 
1ª. Peso P do líquido contido na veia considerada, força vertical, atuando de cima 
para baixo e aplicada no centro de gravidade da massa líquida. 
2ª. Força de pressão 0 0p S⋅ , normal à seção de entrada, aplicada no seu centro de 
gravidade e dirigida de fora para dentro, sendo 0p a pressão unitária e 0S a área 
da seção. 
3ª. Força de pressão 1 1p S⋅ , análoga à precedente, mas aplicada na seção de saída e 
também dirigida de fora para dentro. 
4ª. Força 0m V⋅ɺ , resultante da velocidade, produto desta pela massa escoada na 
unidade de tempo, aplicada no centro de gravidade da seção de entrada, 
tangenciando a linha média, e dirigida de fora para dentro, isto é, com a direção 
e o sentido da velocidade. 
5ª. Força 1m V⋅ɺ , análoga à anterior, aplicada na seção de saída e de sentido 
contrário ao da velocidade. E a chamada força de reação. 
A força de reação é a responsável pelo funcionamento das chamadas máquinas de 
reação, tanto hidrodinâmicas quanto a gás, e pela propulsão dos foguetes; e suas 
aplicações no campo da Hidrodinâmica e da Aerodinâmica são muito importantes. 
Para se obter a resultante, soma-se geometricamente o peso P com as forças de pressão 
0 0p S⋅ e 1 1p S⋅ , e as devidas às velocidades em 0 a 1, isto é, 0m V⋅ɺ e 1m V⋅ɺ . 
 
1.8. Energia Cedida por um Líquido em Regime de 
Escoamento Permanente 
Consideremos uma veia líquida em escoamento permanente vencendo certas 
resistências que podem ser passivas (atritos, turbilhonamentos, etc.), ou outras, como as 
oferecidas pelo rotor de uma máquina motriz (turbina). 
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14
Tomemos desta veia (Figura 1.4) um elemento limitado pelas faces planas ab e a’b’ que 
formam com o plano normal à linha média um ângulo α. 
Sejam: 
γ – o peso específico do líquido; 
0p – a pressão reinante na face a0b0; 
1p – a pressão reinante na face a1b1; 
0h – a cota do centro de gravidade da seção de entrada a0b0, contada a partir de 
um plano tomado como referência; 
1h – a da seção de saída a1b1; 
g – a aceleração da gravidade. 
 
Figura 1.4 – Desnível energético entre as seções S0 e S1. 
 
Procedendo-se ao estudo da ação das forças sobre um elemento de massa líquida e 
fazendo-se a integração para a seção inicial S0 e a seção final, chega-se à conclusão de 
que o trabalho T efetuado nem tempo finito t pelo peso P Q tγ= ⋅ ⋅ escoando entre as 
referidas seções da veia líquida é dado pela expressão. 
 
2 2
0 0 1 1
0 12 2
P V P VT Q t h h P H
g g
γ
γ γ
    
= ⋅ ⋅ + + − + + = ⋅    
   
 (1.10) 
onde 
P t Q tγ⋅ = ⋅ ⋅ 
é o peso do líquido escoado no temo t, e H representa a grandeza entre colchetes, 
diferença entre dois trinômios cujas parcelas têm um significado próprio e de grande 
importância. 
 
2 2
0 0 1 1
0 12 2
P V P VH h h
g gγ γ
 
= + + − + + 
 
 (1.11) 
Consideremos os termos da Eq. (1.10) sem os índices. 
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15
 
2
2
VPH h cte
gγ
= + + =
 (1.12) 
A equação acima exprime o teorema de Bernoulli, para líquidos perfeitos e regime 
permanente, na qual a carga total H, por unidade de peso do líquido, é constante ao 
longo de cada trajetória. 
a) Ph Energia de posição 
O termo Ph representa o trabalho que o peso P do líquido, situado a uma cota h, acima 
do plano de referência, pode realizar, se abandonado à ação da gravidade. A essa 
capacidade de realizar trabalho que o peso possui denomina-se energia de posição, 
energia potencial de altitude, ou energia topográfica total. 
Se P estiver a uma cota – h e, portanto, abaixo do plano de referência, é necessário 
despender uma energia Ph para elevá-lo ao plano. 
Quando P for igual à unidade, a energia de posição, em kgm, será expressa pelo mesmo 
número que mede, em metros, a cota acima do plano de referência, e, por isso, h é 
chamado de altura representativa da posição ou energia potencial específica. 
b) pP
γ
⋅ Energia de pressão 
O termo P p γ⋅ representa o trabalho que o peso P, de líquido de peso específico γ , 
pode realizar quando submetido à pressão p. A essa capacidade denomina-se energia 
potencial de pressão. Então, um elemento líquido, de peso específico γ quando 
submetido à pressão p, pode elevar-se, no vácuo, a uma cota p γ sob a ação dessa 
pressão. O termo p γ que é homogêneo a um comprimento, é denominado altura 
representativa de pressão, altura de pressão estática, energia específica de pressão, 
cota piezométrica ou piezocarga. 
Ele representa a altura de urna coluna líquida, de peso específico γ , supostamente em 
repouso, e que exerce sobre sua base uma pressão unitária p, não estando sua 
extremidade superior submetida a pressão alguma. 
E comum, porém, nos casos correntes, vir a ter-se uma coluna líquida de altura h em 
contato com a atmosfera, como acontece na maioria das tubulações de recalque nas 
instalações de bombas, e desejar-se saber a pressão na base da coluna. Chamando de p a 
pressão na base e bp a pressão atmosférica ou barométrica, podemos escrever: 
bp h pγ= ⋅ + 
A altura representativa da pressão será, neste caso, 
bpp h
γ γ
= + 
 
 
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16
 
[ ]
2 2
2 3
M LT M LTp L
L Lγ
− −   ⋅ ⋅   
= ÷ =
      
 
O segundo termo do 2° membro bp γ é a altura representativa da pressão atmosférica, 
que passaremos a designar por bH . É também chamada de altura barométrica. 
Donde 
 
b
p h H
γ
= +
 (1.13) 
c) Energia cinética 
O termo 2 2P V g⋅ representa o trabalho que o peso P de líquido, dotado de velocidade 
inicial V, é capaz de realizar, elevando-se no vácuo a uma altura igual a 2 2V g acima 
do plano de referência. 
A essa capacidade denomina-se energia cinética ou energia de velocidade. 
O termo 2 2V g homogêneo de um comprimento é denominado altura representativa 
da velocidade, altura de pressão dinâmica, energia atual ou taquicarga. Ele representa 
também a altura a que se elevaria, no vácuo, um corpo pesado que fosse lançado 
verticalmente com velocidade inicial V. 
[ ]
212
22
LTV L
g LT
−
−
  
= =
  
 
 
Figura 1.5 – Representação da pressão em altura de coluna de líquido. 
 
 
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1.9. Queda Hidráulica. Altura de Elevação 
Da expressão (1.10), tiramos 
 
2 2
0 0 1 1
0 12 2
P V P VT H h h
P g gγ γ
   
= = + + − + +   
  
 (1.14) 
em que o 1° membro representa o trabalho realizado ou a energia cedida pela unidade 
de peso do líquido escoado ao longo do canal ou do dispositivo considerado. 
A grandeza convencionalmente designada por H é denominada queda hidráulica ou 
energia específica sempre que o líquido realiza trabalho ou cede energia, e altura de 
elevação quando o líquido ganha energia ou sobre ele se executa um trabalho, como 
ocorre nas máquinas hidráulicas geratrizes (bombas). 
A grandeza H representa, em kgm, a energia cedida ou recebida por 1 kgf do líquido ao 
atravessar o canal ou dispositivo; no primeiro caso, no sentido da seção ab para a seção 
a’b’ e, no segundo caso, em sentido contrário. 
Quando o líquidocede energia, o valor do trinômio é maior na entrada do que na saída 
e, ao contrário, quando recebe energia, o que é evidente. 
 
1.10. Perdas de Carga 
A grandeza H, quando representa energia cedida pelo líquido em escoamento devido ao 
atrito interno, atrito contra as paredes e perturbações no escoamento, chama-se perda de 
carga ou energia perdida, e se representa por J. Essa energia por unidade de peso de 
líquido, em última análise, se dissipa sob a forma de calor. Na Figura (1.6) vemos 
representadas a veia líquida, as linhas piezométrica e energética, as parcelas da energia 
nas seções 0 e 1, e a perda de carga H entre as referidas seções, que também 
representaremos por 10J . 
 
Figura 1.6 – Representação das linhas energética e piezométrica entre dois pontos de uma veia líquida. 
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A determinação da perda de carga J pode ser realizada medindo-se o desnível 
piezométrico entre os pontos nos quais se deseja conhecer a perda, supondo, no caso, 
que 0 1V V= . 
1 0 1
0
p pJ
γ
−
= 
 
Figura 1.7 – Perda de carga entre os pontos 0 e 1 de um tubo horizontal. 
 
1.11. Unidades de Pressão 
As unidades de pressão usuais são as seguintes: 
-2 4 -21 kgf cm 10 kgf m⋅ = ⋅ = 1 atmosfera técnica (at) = 735,6 torr = 100 kPa 
= 10 m.c.a. (metros de coluna de água) 
= 32,85 pés de coluna de água 
= 14,22 psi (lb/in2) 
= 0,9678 atm = 9,81 2N cm−⋅ 
1 atmosfera normal (atm) = 10,332 m.c.a. = bH 
= 760 mm de Hg (mercúrio) = 14,969 psi = 29,22 in Hg 
= 1,013 milibar 
= 1,033 2kgf cm−⋅ = 101,325 2kN m−⋅ 
Atmosfera local ou pressão barométrica local é a atmosfera normal referida ao local. 
1 Pascal = 1 2N m−⋅ = 610− bar 
1 kPa (quilopascal) = 0,1 m.c.a., 1 m.c.a. = 10kPa 
1 lb/pol.2 = 1 psi = 0,7 m.c.a. = 27 10−× -2kgf cm⋅ = 2,31 pés c.a. 
= 144 lb/pol.2 = 6.895 2N m−⋅ = 6.895 Pa 
= 51,71 mm de Hg 
= 0,068 atm 
1 torr (Torricelli) = 1 mm de Hg = 0,001359 -2kgf cm⋅ = 0,01934 psi 
1 bar = -2 5kgf cm 0,98 psi 0,689 10⋅ × = × = 2N m−⋅ = 14,504 
1 m.c.a. = 1.000 mm.c.a. = 1.000 2kgf m−⋅ = 0,10 2kgf cm−⋅ = 1,422 psi 
psia = Pressão absoluta em libras por polegada quadrada 
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psig = Pressão manométrica ou relativa em libras por polegada quadrada 
( )
( )
( )
-2
. . 
-3
kgf×m
kgf×mm c líquida
p
h
γ
= 
1 lb/pé2 = lb/ft2 = 1 psfoot = 47,88 2N m−⋅ = 47,88 Pa 
1 in Hg = 25,4 mm Hg = 3.386 2N m−⋅ 
1 in H2O = 249,1 2N m−⋅ 
Pés de coluna de líq. = 144psi
w
⋅ 
sendo 
w = peso específico em lb/pé cúbico. 
 
1.12. Pressão Absoluta e Pressão Relativa 
A superfície de um líquido a uma temperatura de 15°C, sujeita à pressão atmosférica, se 
diz submetida a uma atmosfera. Se considerarmos a pressão atmosférica ao nível médio 
do mar, essa pressão é de 10,33 m.c.a. ou 1,033 -2kgf cm⋅ , sendo, normalmente 
chamada de pressão barométrica e representada, como vimos, por bH . 
Se considerarmos a chamada atmosfera técnica, a pressão será de 10 m.c.a, 
correspondente a 1 -2kgf cm⋅ , sendo, pois, muito pequena a diferença entre as duas. 
 
Figura 1.8 – Pressão relativa e pressão absoluta. 
 
A ausência total de pressão representa o vácuo absoluto. Pressões inferiores à 
atmosférica são vácuos parciais, rarefações ou depressões. 
Pressão relativa positiva é a diferença entre a pressão no ponto considerado e a pressão 
atmosférica (ver Figura 1.8). 
. .
b
pos abs
p p H
γ γ
   
= −   
   
 
É medida com os manômetros, e por isso é denominada pressão manométrica. 
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Pressão relativa negativa é a diferença entre a pressão atmosférica e a pressão no ponto 
considerado. E chamada vácuo relativo. 
. .
b
neg abs
p pH
γ γ
   
= −   
   
 
É medida com os vacuômetros. 
Pressão absoluta positiva é a soma da pressão relativa positiva lida no manômetro com 
a pressão atmosférica. 
. .
b
abs pos
p p H
γ γ
   
= +   
   
 
Pressão absoluta negativa é a diferença entre a pressão atmosférica e a pressão no 
ponto considerado. 
. .
b
abs neg
p pH
γ γ
   
= −   
   
 
Para obter seu valor, tem-se de subtrair do valor da pressão atmosférica o valor da 
leitura obtida com o vacuômetro. 
 
1.13. Influência do Peso Específico 
Na Figura (1.9) acham-se representadas quatro colunas de líquidos diversos, produzindo 
todas uma pressão de 10 -2kgf cm⋅ , acusada nos manômetros. As alturas de coluna 
líquida correspondentes aos vários líquidos variam com o peso específico. 
A instalação de bomba que acusasse no início do recalque p = 10 -2kgf cm⋅ no 
manômetro indicaria que o líquido chegaria a alturas diferentes, conforme seu peso 
específico (Figura 1.9). 
 
Figura 1.9 – Altura de coluna líquida em função do peso específico do líquido. 
 
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Specific weight e specific gravity 
Specific weight (W), ou peso especifico ( )γ de um líquido, é o peso da unidade de 
volume desse líquido. Para a água a 20°C (68°F), é de 1 kgf/dm3, ou 62,3 lb de peso por 
pé cúbico. Specific gravity (S), ou densidade (ρ) de um líquido, é a relação entre pesos 
ou massas de volumes iguais de dois líquidos. Adota-se a água a 20°C como líquido de 
referência. A densidade não tem unidade. 
No sistema americano, 62,3W S= ⋅ , de modo que, para se passar da pressão H em 
lb/pol.2 (psi) para pés de coluna líquida de peso específico (W) ou densidade (S), tem-se: 
( )
2,31 62,3 144psipésH W W
×
= = e ( )
2,31psipésH S
= 
 
1.14. Exercício 
Uma tubulação de recalque de bombeamento tem 50,8 cm de diâmetro (20”) e uma 
curva de 90°. O líquido bombeado é óleo de densidade 0,850, e a descarga é de 
3 10,203 m s−⋅ . A perda de carga na curva é de 0,6 metro de coluna de óleo. A pressão na 
entrada 1 é de 30 lb/pol.2. (30 0,07× = 2,1 2kgf cm−⋅ ). Desprezando o peso de óleo, 
determinar a força resultante exercida pelo óleo sobre a curva (Figura 1.10). 
 
Figura 1.10 – Composição de forças exercidas pelo líquido numa curva.