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Calculo Diferencial e Integral II - EAD Unidade III 
 
José Fernando Santiago Prates 1 
 
Coordenadas Polares 
 
Um sistema de coordenadas polares no plano consiste em: 
 
Polo (ou origem) O 
Raio com origem no polo r 
O ponto P com coordenadas cartesianas P = (x, y) 
O ponto P com coordenadas polares P = (r, α) 
Ângulo entre o eixo polar e o raio  
Relação entre coordenadas cartesianas e coordenadas polares x = r.cos  e y = r. sen . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ilustração de equivalências entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 0,
𝜋
4
 
= 0,
𝜋
6
 
= 0, 0 
= 0,
𝜋
3
 
= 0,
11𝜋
6
 
 0,
2𝜋
3
 = 
 0,
3𝜋
4
 = 
 0,
3𝜋
6
 = 
 0, 𝜋 = 
 0,
7𝜋
6
 = 
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Exercícios 
 
1) Determine a equação polar da círculo determinada pela equação cartesiana x2 + (y - 3)2 = 9 
Solução: 
De: x2 + (y - 2)2 = 9  x2 + y2 - 6y + 9 = 9  x2 + y2 - 6y = 0 
  x2 + y2 = 6y 
Como: x2 + y2 = r2 
x = r.cos  e y = r.sen  
 r2 = 6.r.sen  
 r = 6.sen  
 
 
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2) Determine a equação polar da circunferência dada pela equação cartesiana x2 + (y + 2)2 = 4 
Solução: 
x2 + (y + 2)2 = 4  x2 + y2 + 4y + 4 = 4  x2 + y2 + 4y = 0 
 x2 + y2 = – 4y 
Como: x2 + y2 = r2 
x = r.cos  e 
y = r.sen   r2 = – 4.r.sen   r = – 4.sen  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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José Fernando Santiago Prates 4 
 
3) Encontre a equação polar dada pela equação cartesiana da reta y = -2. 
Solução: 
Como: x2 + y2 = r2 
x = r.cos  e 
y = r.sen  
De y = -2  - 2 = r.sen  
 r = 
−𝟐
𝐬𝐞𝐧 
 = – 2 
𝟏
𝐬𝐞𝐧 
 
 r = – 2 
𝟏
𝐬𝐞𝐧 
 
 r = – 2.cosec  
 
 
 
 
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4) Represente em um sistema de coordenadas polares os seguintes pontos: 
 
P1 = 2,
𝜋
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P2 = −2,
𝜋
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P3 = −2,−
𝜋
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P4 = 2,−
𝜋
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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José Fernando Santiago Prates 6 
 
5) Encontrar as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são P = −4,
7𝜋
6
 
Solução: 
Como: P2 = −4,
7𝜋
6
  x = 4 (-4 significa que está em sentido contrário) 
   = 
7𝜋
6
 = 
6𝜋+𝜋
6
 = 
6𝜋
6
+
𝜋
6
 = 2𝜋 + 
𝜋
6
 = 2𝜋 + 
𝜋
6
 
x = r.cos   x = −4 . 𝑐𝑜𝑠 
𝜋
6
 = −4 . 𝑐𝑜𝑠 30 = 2√3 
y = r.sen   x = −4 . 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
6
 = −4 . 𝑠𝑒𝑛 30 = 2 
 
Logo, as coordenadas cartesianas são: P = (𝟐√𝟑 , 𝟐) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6) Determine a equação cartesiana para a equação polar r = 6cos(θ) 
Solução: 
Como: x2 + y2 = r2 
x = r.cos   
𝑥
𝑟
= 𝑐𝑜𝑠  
y = r.sen  
De r = 6.cos θ e 
𝑥
𝑟
= 𝑐𝑜𝑠   r = 6. 
𝑥
𝑟
  r2 = 6x 
De x2 + y2 = r2  x2 + y2 = 6x  x2 + y2 - 6x = 0 
Logo, a equação cartesiana é x2 + y2 - 6x = 0 
Obs: x2 + y2 - 6x = 0  x2 - 6x + 9 - 9 + y2 = 0  (x – 3)2 + y2 = 9 
 Centro C = (3, 0) 
 Raio = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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José Fernando Santiago Prates 8 
 
7) Converter a equação polar r = 8( sen(θ) + cos(θ) ) em equação cartesiana. 
Solução: 
Como: x2 + y2 = r2 
x = r.cos   
𝑥
𝑟
= 𝑐𝑜𝑠  
y = r.sen   
𝑦
𝑟
= 𝑠𝑒𝑛  
De r = 8(sen(θ) + cos(θ) )  r = 8. 
𝑥
𝑟
+
𝑦
𝑟
 
 r = 8. 
𝑥+𝑦
𝑟
 
 r2 = 8.(x + y) 
De x2 + y2 = r2  x2 + y2 = 8.(x + y)  x2 + y2 - 8x - 8y = 0 
 
Logo, a equação cartesiana é x2 + y2 – 8x – 8y = 0 
Obs: 
x2 + y2 - 8x – 8y = 0  x2 - 8x + 16 - 16 + y2 - 8y + 16 - 16 = 0 
 (x – 4)2 + (y – 4)2 = 32 
 Centro C = (4, 4) 
 Raio = √32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8) Marque o ponto P = (2, 0º) no sistema de coordenadas polares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Marque o ponto P = (3, 180º) no sistema de coordenadas polares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10) Marque o ponto P = (3, /2) no sistema de coordenadas polares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Determine todas as coordenadas polares do ponto P = (2, /6) 
 
 
 
 
 





 
 K2
6
,2
 Para k  N* 
 
 
 
 
 
 
 
 





 

 k2
6
11
,2
 Para k  N* 
 
 
 
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