Relatório Coordenadas Polares

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO 
CEARÁ 
IFCE CAMPUS MARACANAU 
LICENCIATURA EM QUÍMICA 
 
 
ARIANA ESTEVES BRITO 
ITALO BANDEIRA MACIEL 
 
 
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MARACANAÚ 
2021 
ARIANA ESTEVES BRITO 
ITALO BANDEIRA MACIEL 
 
 
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES 
 
 
Trabalho de Conclusão da Disciplina de Cálculo II 
apresentado ao Curso de Licenciatura em Química, do 
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do 
Ceará (IFCE) - Campus Maracanaú, como requisito 
parcial para obtenção da aprovação na disciplina de 
Cálculo II. 
Orientadora: Profa. Ma. Ana Shirley Monteiro da Silva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MARACANAÚ 
2021 
RESUMO 
 
Coordenadas polares são um tipo de notação de coordenadas que se colocam num 
plano bidimensional, como um tipo especial de plano semelhante ao Cartesiano, só 
que utiliza outros parâmetros. Usando uma definição mais matemática, pode-se dizer 
que é um plano de coordenadas (r, θ), sendo r = raio e θ = a um ângulo qualquer, 
aplicadas sobre um plano, conhecido como polo (origem) equivalente ao eixo x nas 
coordenadas cartesianas. Uma vez escolhido o raio que se quer, traça-se na direção 
do ângulo θ uma semirreta (raio). A semirreta OA é chamado eixo polar e OP=r é o 
raio vetor. A direção especificada por um ângulo θ em radianos, medida a partir de 
OA. Este ângulo θ é positivo se for medido no sentido anti-horário e negativo se for 
medido no sentido horário exatamente como se faz na Trigonometria. A distância é 
dada pela distância orientada r, medida a partir da origem ao longo do lado terminal 
do ângulo θ, Os dois números r e θ escritos nesta ordem e denotados por (r,θ) 
chamam-se coordenadas polares do ponto. As coordenadas polares (x e θ) podem 
ser convertidas para coordenadas cartesianas (x e y) usando as funções 
trigonométricas seno (x= r cosθ) e cosseno (r sinθ). O gráfico de uma equação em 
coordenadas polares (r e θ) são todos os pontos P que possuem pelo menos um par 
de coordenadas que satisfaçam a equação, se a equação de um gráfico for dada em 
coordenadas polares, ela irá se chamar equação polar. 
 
Palavras-chave: Eixo polar. Radianos. Coordenadas polares. Equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABSTRACT 
 
Polar coordinates are a type of coordinate notation that is placed on a two-dimensional 
plane, like a special type of plane similar to the Cartesian plane, except that it uses 
other parameters. Using a more mathematical definition, it can be said that it is a plane 
of coordinates (r, θ), with r = radius and θ = at any angle, applied to a plane, known as 
pole (origin) equivalent to the x axis in Cartesian coordinates. Once the radius you 
want is chosen, a semi-line (radius) is drawn in the direction of angle θ. The semi-
straight OA is called the polar axis and OP = r is the vector radius. The direction 
specified by an angle θ in radians, measured from OA. This angle θ is positive if it is 
measured counterclockwise and negative if it is measured clockwise exactly as it is 
done in Trigonometry. The distance is given by the oriented distance r, measured from 
the origin along the terminal side of the angle θ. The two numbers r and θ written in 
this order and denoted by (r, θ) are called polar coordinates of the point. Polar 
coordinates (x and θ) can be converted to Cartesian coordinates (x and y) using the 
trigonometric functions sine (x = r cosθ) and cosine (r sin θ). The graph of an equation 
in polar coordinates (r and θ) are all points P that have at least one pair of coordinates 
that satisfy the equation, if the equation of a graph is given in polar coordinates, it will 
be called a polar equation. 
 
Keywords: Polar axis. Radians. Polar coordinates. Equation. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1 – Representação geométrica do Eixo Polar e da Origem. 8 
Figura 2 – Representação geométrica do ponto (2, /4). 9 
Figura 3 – Representação geométrica do ponto (5, /2). 9 
Figura 4 – Representação geométrica do ponto (4,5/6). 9 
Figura 5 – Representação geométrica do ponto (4, -7/6). 9 
Figura 6 – Representação geométrica do ponto 4, 17/6). 9 
7(a) – Representação geométrica do ponto (3,-2/3). 10 
7(b) – Representação geométrica do ponto (-3, /3). 10 
7(c) – Representação geométrica do ponto (3,-4/3). 10 
Figura 8 – Representação geométrica do ponto P nos Sistemas 
Cartesiano e Polar. 11 
Figura 9 – Representação geométrica do ponto (-6, 7/4). 12 
Figura 10 – Representação geométrica do ponto (2, 7/6). 12 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. Introdução ............................................................................................................... 7 
1.1. Contextualização .................................................................................................. 7 
2. Coordenadas Polares .............................................................................................. 8 
2.1. Relação entre o Sistema de Coordenadas Cartesianas e o Sistema de 
Coordenadas Polares. ............................................................................................... 10 
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................... 14 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ..................................................................................... 15 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 16 
 
 
 
7 
 
1. Introdução 
1.1. Contextualização 
A ideia básica da Geometria Analítica, simbolizada por pontos no plano ou 
espaço são denominadas de coordenadas. Na Antiguidade, o os egípcios já faziam o 
uso do sistema das mesmas, em construções de templos e pirâmides. 
Mas, o estudo da Geometria Analítica ocorreu graças a sua adesão à álgebra. 
Unir a aritmética a formas geométricas, gráficos e números, foi um grande avanço 
tecnológico que ocorreu no século XVII e se deve a dois franceses importantíssimos 
Pierre de Fermat (1601 − 1665) e René Descartes (1596 − 1650), que apesar de não 
serem matemáticos, dedicaram-se a estudar essa ciência. 
Os sistemas de coordenadas são artifícios que nos permitem usar métodos 
algébricos para entender a geometria. René Descartes com o objetivo de localizar 
alguns pontos no espaço criou O Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais 
conhecido com Plano Cartesiano. Este método trata-se de dois eixos perpendiculares 
que pertencem a um plano em comum. Por mais que a representação do Sistema 
Cartesiano seja mais comum, em determinadas situações, veremos que há outra 
maneira de expressar a posição de um ponto no plano, distinta da forma cartesiana, 
que são os sistemas de coordenadas polares. 
 Isaac Newton (1643-1727), em seus estudos se deparou com problemas os 
quais não poderiam ser resolvidos por meio do sistema de coordenadas retangulares, 
mas que seriam solucionados por outra forma de localizar um ponto no plano. Ele 
precisou criar outra forma para isto, criou um outro sistema de coordenadas que 
funcionam com o Sistema de Coordenadas Polares. Esse sistema apresenta um ponto 
no espaço como um ângulo de rotação ao redor da origem e um raio a partir dela. 
As coordenadasPolares são de suma importância, pois certas curvas possuem 
equações mais simples quando esse sistema é utilizado em matemática para 
demonstração e manipulação de números complexos, em física na derivação das leis 
de Kepler e no estudo dos movimentos orbitais em astronomia e viagens espaciais. 
8 
 
Neste trabalho apresentaremos o sistema de coordenadas polares e a relação 
que é estabelecida com o sistema cartesiano, com apresentação de conceitos e 
exercícios resolvidos. 
2. Coordenadas Polares 
Segundo Leithold (1994) as Coordenadas Polares são um sistema de 
coordenadas bidimensionais que consistem em uma distância orientada na medida 
de um ângulo relativo a um ponto fixo e a um semieixo fixo. O ponto fixo é denominado 
de pólo ou (origem), representado pela letra O, enquanto que o semieixo é chamado 
de eixo polar (ou reta polar) e é designado por AO, como mostra a figura (1). 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Adaptado de [1], p. 608. 
 
Seja P um ponto qualquer do plano, diferente de O, e seja  a medida do ângulo 
AÔP em radianos, determina-se o conjunto do par ordenado (r, θ), em que |r| 
representa a distância entre a origem e o ponto P e . Quando AÔP for apresentado 
no sentido anti-horário teremos  > 0, e sentido horário  < 0. 
Exemplo 1: Marque os seguintes pontos (2, /4) e (5, /2) utilizando o conjunto de 
coordenadas polares. 
Solução: O ponto (2, /4) é determinado primeiro ao desenharmos o ângulo com 
medida /4 rad, tendo seu vértice na origem e seu lado inicial ao longo do eixo polar. 
O ponto no lado terminal que é 2 unidades da origem é o ponto (2, /4). Veja a Figura 
(2). Analogamente, obtemos os pontos mostrados na Figura (3). 
 Figura 1 – Representação 
geométrica do Eixo Polar e da 
Origem. 
Ana Shirley Monteiro da Silva
Ficou muito bom o desenvolvimento, exceto pelo fato de não incluir uma seção para tratar das Aplicações do tema.
9 
 
 
Fonte: [1], p. 609. 
A Figura 4 mostra o ponto (4, 5/6). Outro conjunto de coordenadas polares 
para esse ponto é (4, -7/6), veja a Figura 5. Além disso, as coordenadas polares (4, 
17/6) também resultam o mesmo ponto, como mostra a Figura 6. 
 
Fonte: [1], p. 609. 
 
 As coordenadas (4, 5/6 + 2n), onde n é um número inteiro qualquer são do 
mesmo ponto, designado com (4, 5/6). Assim, um dado tem número ilimitado de 
conjuntos de coordenadas polares. Nisso o sistema polar é diferente do sistema 
cartesiano retangular, onde existe uma correspondência biunívoca entre as 
coordenadas e os pontos do plano. Para as coordenadas polares tal correspondência 
inexiste. Outro exemplo é obtido considerando as coordenadas polares da origem. Se 
r = 0 e  é qualquer número real, temos a origem, que é designada por (0, ). 
Podemos considerar coordenadas polares com r negativo. Nesse caso, o ponto 
estará no prolongamento do lado terminal do ângulo de medida  rad, o conjunto de 
coordenadas polares de P será (r, ), onde r = -│OP│. O ângulo é normalmente 
medido em radianos, assim um conjunto de coordenadas polares de um ponto é um 
 
 
 
Figura 2 – Representação 
geométrica do ponto (2, /4). 
Figura 3 – Representação 
geométrica do ponto (5, /2). 
Figura 4 – Representação 
geométrica do ponto (4,5/6). 
 
Figura 1 – Representação 
geométrica do ponto (4, -7/6). 
Figura 6 – Representação 
geométrica do ponto 4, 17/6). 
10 
 
par ordenado de números reais. Para cada par ordenado de números reais existe um 
único ponto no plano tendo-o como coordenadas polares. Entretanto vimos que cada 
ponto pode ser dado por um número ilimitado de pares ordenados de números reais. 
Se o ponto P não for a origem e se restringirmos r e  de tal forma que r > 0 e 0 ≤  
< 2, então existirá um único par ordenado de coordenadas polares para P. 
Exemplo 2: (a) Marque num gráfico o ponto com coordenadas polares (3,-2/3). Ache 
outro conjunto de coordenadas polares desse ponto para as quais (b) r < 0 e 0 <  < 
2; (c) r > 0 e 0 <  < 2. 
Solução: Para encontrar o ponto no gráfico, traçamos o ângulo cuja medida em 
radianos é -2/3 na direção horária, a partir do eixo polar. Como r > 0, P está sobre o 
lado terminal do ângulo a três unidades da origem, veja a Figura 7(a). As respostas 
dos itens (b) e (c) são respectivamente ( -3, /3) e (3, 4/3). As figuras estão ilustradas 
em 7(b) e 7(c). 
 
Fonte: [1], p. 610. 
 
2.1. Relação entre o Sistema de Coordenadas Cartesianas e o Sistema de 
Coordenadas Polares. 
Quando queremos nos referir às coordenadas de um ponto nos dois sistemas 
de coordenadas cartesianas e polares, tomamos a origem do primeiro sistema 
coincidindo com a origem do segundo, o eixo polar como o semieixo x positivo e a 
semirreta para a qual  = /2 com o semieixo y positivo. Suponha que P seja o ponto 
que tenha (x,y) como representação num sistema de coordenadas cartesianas 
 
 
 
 
 
 
 
 7(a) – Representação 
geométrica do ponto (3,-2/3). 
7(b) – Representação 
geométrica do ponto (-3, /3). 
7(c) – Representação 
geométrica do ponto (3,-4/3). 
11 
 
retangulares e seja (r,  ) a representação de P em coordenadas polares. Distinguimos 
dois casos: r > 0 e r < 0. No primeiro caso, se r 
> 0, P está sobre o lado terminal do ângulo cuja 
medida é  rad e r = │OP│. 
 Tal caso está na Figura 8, e temos que: 
cos  = x / │OP│ → cos  = x / r 
 sen  = y /│OP│→ sen  = y / r 
Desta forma: 
 x = r cos  e y= r sen  (1) 
 Fonte: [1], p. 611. 
Dessa equação podemos obter as coordenadas cartesianas retangulares de 
um ponto cujas coordenadas polares são conhecidas, e vice-versa. Para obtermos as 
equações que dão um conjunto de coordenadas polares de um ponto quando 
coordenadas cartesianas retangulares são conhecidas, vamos elevar ao quadrado os 
membros de cada equação em (1), obtendo: 
 x2 = r2 cos2 e y2 = r2 sen2 
Somando membro a membro teremos: 
 x2 + y2 = r2 cos2 + r2 sen2 
 x2 + y2 = r2 (cos2 + sen2 ) 
 x2 + y2 = r2 
 r = ± √ (x2 + y2) (2) 
Dividindo as equações (1) teremos: 
 
𝑟 𝑠𝑒𝑛
r cos
=
𝑦
𝑥
 → 𝑡𝑔 =
𝑦
𝑥
 (3) 
ILUSTRAÇÂO 1: O ponto cujas coordenadas polares são (-6, 7/4) está representado 
no gráfico da Figura 9. Vamos encontrar suas coordenadas cartesianas retangulares. 
Da equação (1): 
 Figura 8 – Representação geométrica do 
ponto P nos Sistemas Cartesiano e Polar. 
12 
 
 x = r cos  y = r sen  
 x = -6 x cos 7/4 y = -6 x sen 7/4 
 𝑥 = −6 𝑥
√2
2
 𝑦 = −6(−
√2
2
) 
 x = -3√2 y = 3√2 
 Assim, o ponto é (-3√2, 3√2). 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: [1], p. 612. 
 
Exemplo 3: Ache a equação polar do gráfico cuja equação cartesiana é x2 + y2 – 4x=0. 
Solução: 
 Substituindo x = r cos  e y= r sen  em x2 + y2 – 4x=0, temos 
 r2 cos2 + r2 sen2 – 4 cos  = 0 
 r2 – 4cos  = 0 
r(r– 4 cos  ) = 0 
Logo, 
r = 0 ou r– 4 cos  = 0 
 
 
 Figura 9 – Representação geométrica 
do ponto (-6, 7/4). 
13 
 
O gráfico de r =0 é a origem, contudo, ela é um ponto do gráfico de r– 4 cos  = 0 
pois r = 0 quando  = π /2. Logo, a equação polar do gráfico é r = 4 cos  . O gráfico 
de x2 + y2 – 4x = 0 é uma circunferência. A equação pode ser escrita na forma 
(𝑥 − 2)2 + 𝑦2 = 4, que é a equação de uma circunferência com centro em (2,0) e raio 
2. 
 
Exemplo 4: Ache (r,  ) se r > 0 e 0 ≤  < 2π para o ponto cuja representação é ( -√3, 
-1). 
Solução: O ponto ( -√3, -1) está colocado no gráfico da Figura 10. Utilizaremos a 
equação (2), como r > 0, temos 
𝑟 = √3 + 1 
r = √4 = 2 
De (3), 𝑡𝑔 = −
1
−√3
, e como π <  < 
3π
2
 
 = 
7π
6
 
Assim, o ponto é (2, 
7π
6
). 
 Fonte: [1], p. 612. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 – Representação 
geométrica do ponto (2, 7/6). 
 
14 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Concluímos que as coordenadas polares são de suma importância, pois está 
em uma variedade de aplicabilidades. Muitas vezes em alguns casos, esse sistema 
de coordenadas apresentam uma maior simplicidade em construções de gráficos, 
curvas, tais como a curva descrita por um planeta em torno do sol. É mais vantajoso 
usar o sistema de coordenadas polares cuja posição de um ponto é descrita por sua 
direção a partir da origem, e por sua distância da origem. 
Vale ressaltar também o uso do sistema de coordenadas polares em cálculo de 
integrais para a obtenção do comprimento de um arco e área de uma curva polar. 
Além do que, as coordenadas polares foram bastante utilizadas em navegações 
marítimas, os quais os navegantes se baseavam na posição e na direção que se 
encontravam a partir de sua origem de partida, ou seja, determinavam o seu 
descolamento por uma certa distância (r) e um certo ângulo(θ), que facilitavam a sua 
localização no oceano. 
Portanto, ter conhecimento sobre o que são as coordenadas polares bem como 
suas aplicações é de fato fundamental, o qual o seu uso vai de simples determinações 
de um ponto às curvas descritas por um planeta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ana Shirley Monteiro da Silva
Seria importante uma seção ou subseção para tratar dessas aplicações, ao invés de somente mencioná-las brevemente na conclusão.
15 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Ache as coordenadas cartesianas retangulares dos pontos cujas coordenadas 
polares são dadas: 
a) (3, ). 
b) (-4, 2/3) 
c) (2, /3) 
2) Dado que a equação polar de um gráfico é r2 = 4 sen 2θ, ache a equação cartesiana. 
3) Encontre as coordenadas polares cujas coordenadas cartesianas são: 
a) (2√3, 2) 
b) (-1,1) 
Gabarito: 
1. a) (-3,0) 
b) (2, -2√3) 
c) (1, √3) 
 2. (x2 + y2)2 = 8xy 
 3. a) (4, /6) 
 b) (-√2, 3/4) 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
REFERÊNCIAS 
 
[1] LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica: um. 3. ed.São Paulo: 
Harbra, 1994. v.1. 685 p., iI. ISBN 8529400941 (broch.). 
[2] GABBI, Angéli Cervi; NEHRING, Cátia Maria. Aspectos históricos do conceito 
de coordenadas polares. Atena Editora, v.4. p. 206-211, Paraná. 
[3] DELGADO, J; FRENSEL, K; CRISSAFF, L. Geometria Analítica. 1. ed. Rio de 
Janeiro: SBM, 2013.