Sistema de Coordenadas Cartesianas

Prévia do material em texto

Unidade 04
Aula 01
Sistema de Coordenadas Cartesianas
Bem-vindo estudante!
Na matemática um sistema de coordenadas nos permite localizar a posição de qualquer ponto (objeto).
Existem diversos sistemas de coordenadas e somos livres para escolher qual o sistema de coordenadas
trabalharemos para uma dada situação física. Um exemplo muito usual de um sistema de coordenadas é o
tabuleiro de xadrez, em que as colunas verticais são nomeadas por letras enquanto as colunas horizontais
por letras.
Dessa forma podemos localizar qualquer peça no tabuleiro, indicando em qual coluna vertical e horizontal
a peça está localizada. Entre os principais sistemas de coordenadas podemos citar o sistema de
coordenadas cartesianas, coordenadas polares, coordenadas esféricas e coordenadas cilíndricas, os quais
serão expostos a seguir.
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 1/37
Eixo de Coordenadas Cartesianas
O sistema de coordenadas cartesianas é constituído de um par de retas perpendiculares entre si.
Essas retas se interceptam em um ponto denominado de origem do sistema de coordenadas.
Normalmente uma dessas retas é horizontal é chamada de eixo “x” nomeado de eixo das
abcissas. Sendo o eixo das abcissas normalmente horizontal, a outra reta forma um eixo vertical,
eixo “y” e chamado de eixo das ordenadas.
SAIBA MAIS
O
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 2/37
Localização de um Ponto no Sistema de
Coordenadas Cartesianas
Uma escala numérica é colocada ao longo desses eixos (números pertencente ao conjunto dos
reais), dessa forma um ponto pode ser localizado por um par de valores, chamado de par
ordenado com um valor referente ao eixo x e outro ao eixo y semelhante ao tabuleiro
de xadrez.
SAIBA MAIS
P (x, y)
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 3/37
Os Quatro Quadrantes
A intersecção dessas retas é denominada de origem e localizada pelo ponto , dessa
forma em relação ao eixo das abscissas todos os números a direita do ponto são positivos,
enquanto os a direita são negativos. Com relação ao eixo das ordenadas, todos os números
acima do ponto são positivos, enquanto os abaixo são negativos. Assim percebemos que o
plano de coordenadas cartesianas é formada por quatro regiões, denominadas de quadrantes. O
primeiro quadrante está localizado na parte superior direita, os demais são obtidos no sentido
anti-horário.
Para melhor fixar e aprimorar os conhecimentos sobre como localizar um ponto no plano
cartesiano, assista ao vídeo a seguir.
Coordenadas cartesianas
SAIBA MAIS
O (0, 0)
O
O
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 4/37
https://www.youtube.com/watch?v=S-XgwNioHCA
Translação dos Eixos
Seja o vetor de translação, pelo diagrama temos:
Quando dois sistemas de coordenadas cartesianas no plano têm eixos correspondentes
paralelos e com mesma orientação dizemos que um sistema é obtido dou outro por uma
translação de eixos. Esta transformação consiste em deslocar a origem do primeiro sistema para
e extremidade de um vetor, então chamado de vetor de translação.
SAIBA MAIS
→v = (a, b)
OP ′ = →u + →v
−→
↓
(x, y) = (x ′ + y′) + (a, b)
↓
{
x = x ′ + a
y = y′ + b
↓
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 5/37
{
x − a = x ′
y − b = y′
Para exemplificar o fenômeno, efetua-se uma translação de eixos de modo que a nova origem
seja o ponto . Vamos calcular as novas coordenadas do ponto . Como a nova
origem é o ponto ,concluímos que o vetor de translação é o vetor , dessa forma:
NA-PRATICA
O ′ (1, 2) P (3, − 1)
O ′ →v = (1, 2)
{
x − a = x ′
y − b = y′
↓
{
3 − 1 = x ′
− 1 − 2 = y′
↓
{
2 = x ′
− 3 = y′
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 6/37
SAIBA MAIS
Para complementar o conteúdo estudado, assista à videoaula a seguir.
32. Geometria Analítica - Translação de Eixos
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 7/37
https://www.youtube.com/watch?v=G3VM04qx3y4
Rotação dos Eixos
Considere o sistema obtido pela rotação dos eixos coordenados do sistema de um
ângulo no sentido anti-horário.
A rotação transforma:
Assim:
SAIBA MAIS
⋅xo ⋅y xoy
θ
⎧⎪⎨⎪⎩ e1 = u1
e2 = u2
→−→
→−→
↓
⎧⎪⎨⎪⎩ u1 = (cos θ, senθ)
u2 = (− senθ, cos θ)
−→
−→
(x, y) = ⋅x ⋅ u1 + ⋅y ⋅ u2
−→−→
↓
(x, y) = (x̄ ⋅ cos θ − ȳ ⋅ senθ, x̄ ⋅ senθ − ȳ ⋅ cos θ
↓
{
x̄ = x ⋅ cos θ + y ⋅ senθ
ȳ = − x ⋅ senθ + y ⋅ cosθ
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 8/37
Para exemplificar o fenômeno, vamos calcular as novas coordenadas do ponto após uma
rotação de radianos nos eixos.
NA-PRATICA
P (1, 2)
π
3
{
x̄ = x ⋅ cos θ + y ⋅ senθ
ȳ = − x ⋅ senθ + y ⋅ cosθ
↓
{
x̄ = 1 ⋅ cos π
3
+ 2 ⋅ sen π
3
ȳ = − 1 ⋅ sen π
3
+ 2 ⋅ cos π
3
↓
{
⋅x = 1
2
+ 2 ⋅ √ 3
2
⋅y = 1 − √ 3
2
SAIBA MAIS
Complemente seu estudo sobre rotação de eixos à videoaula disponível a seguir.
33. Geometria Analítica - Rotação de Eixos
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 9/37
https://www.youtube.com/watch?v=kTxnH1dO2aw
Unidade 04
Aula 02
Sistema de Coordenadas Polares
Estudante, nessa aula estudaremos outra forma de localizar um ponto no plano, embora o sistema
cartesiano seja muito utilizado, existem curvas no plano que a equação se torna mais simples em relação a
um referencial não cartesiano.
O sistema de coordenadas polares tem a mesma função que o sistema de coordenadas cartesianas, ou seja,
podemos utilizar para localizar pontos no plano e dessa forma representar lugares geométricos através de
equações. Esse sistema foi utilizado pela primeira vez em 1691 por Jacob Bernoulli, matemático suíço,
tornando-se o primeiro sistema de coordenadas após o de coordenadas cartesianas.
Coordenadas Polares
Para localização de um ponto em coordenadas polares, vamos considerar um semi reta horizontal,
denominada de eixo polar, com origem no ponto , denominado polo.O
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 10/37
Dado um ponto no plano, suas coordenadas no sistema polar são dois valores e , sendo a
distância de a e a medida do ângulo do eixo polar para semi reta . Dessa forma
localizamos o ponto da seguinte forma: 
SAIBA MAIS
P r θ r
P O θ OP
P = (r , θ)
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 11/37
Transformação entre Coordenadas Polares e
Cartesianas
Para o caso de transformar de coordenada cartesiana para polar, vamos admitir o ponto
 localizado em coordenadas cartesianas conforme a seguinte figura:
O ponto é a origem do sistema, agora vamos considerar o triângulo retângulo em .
Dessa forma podemos aplicar as funções trigonométricas em relação ao ângulo , assim:
Dessa forma obtemos o valor do ângulo , restando apenas descobrir o valor de que é
exatamente a hipotenusa do triangulo analisado. Para isso utilizamos o teorema de Pitágoras,
assim:
A partir do valor da coordenada cartesiana do ponto obtemos as coordenadas polares
através das seguintes equações:
SAIBA MAIS
P (x, y)
O ⋅OP X x
θ
tan θ =
y
x
↓
θ = arctan
y
x
θ OP = r
OP 2 = x2 + y2
↓
r = √ x2 + y2
P (x, y)
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/412/37
{
θ = arctan y
x
r = √ x2 + y2
Para exemplificar a transformação de coordenada cartesiana para coordenada polar vamos
considerar o ponto , localizado em coordenadas cartesianas. Assim:
NA-PRATICA
P (2, 2)
{
θ = arctan y
x
r = √ x2 + y2
↓
{
θ = arctan 2
2
r = √ 22 + 22
↓
{
θ = arctan 1
r = √ 8
↓
{
θ = 45∘
r = 2√ 2
↓
P ( 2 ⋅ √ 2, 45∘)
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 13/37
Para o caso de transformar de coordenada polar para cartesiana, vamos admitir o ponto 
. Vamos considerar o mesmo triângulo , nesse caso nosso objetivo é obter os
comprimentos dos catetos a partir da hipotenusa ( ) e o ângulo interno .
SAIBA MAIS
P (r , θ)
⋅OP X
r (θ)
{
senθ = y
OP
cosθ = y
OP
↓
{
senθ = y
r
cosθ = y
r
↓
{
y = senθ ⋅ r
x = cosθ ⋅ r
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 14/37
Para exemplificar a transformação de coordenada polar para coordenada cartesiana vamos
considerar o ponto , localizado em coordenadas polares. Assim:
Como era esperado obtemos o valor de visto que fizemos o caminho inverso do
exemplo anterior.
NA-PRATICA
P ( 2 ⋅ √ 2, 45∘)
{
y = senθ ⋅ r
x = cosθ ⋅ r
↓
{
y = sen45∞ ⋅ 2 ⋅ √ 2
x = cos45∞ ⋅ 2 ⋅ √ 2
↓
{
y = 2
x = 2
↓
P (2, 2)
P (2, 2)
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 15/37
Igualdade entre Dois Pontos em Coordenadas
Polares
SAIBA MAIS
Sabemos que o ponto determina um único ponto no plano. Porém, a volta não é
verdadeira, isso porque um ponto pode ser representado por 
onde , em radianos e , dessa forma temos:
P (r , θ)
P (r , θ) P (r , θ + 2 ⋅ k ⋅ π)
r ∈ R θ k ∈ Z
P (r , θ) = (r , θ + 2 ⋅ k ⋅ π), k ∈ Z
NA-PRATICA
Para exemplificar a igualdade entre dois pontos em coordenadas polares vamos assumir o
ponto , esse ponto é o mesmo que o ponto , verifique plotando o gráfico.P (4, π
3
) Q (4, 7⋅π
3
)
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 16/37
Distância entre Dois Pontos em Coordenadas
Polares
Se tivermos dois pontos localizados no plano em coordenadas polares podemos calcular a
distância entre esses pontos. Sejam e de acordo com a figura seguinte
temos:
Aplicando a lei dos cossenos no triangulo , obtemos:
SAIBA MAIS
P 1 (r 1, θ1) P 2 (r 2, θ2)
⋅OP 1P 2
δ2 = r 2
1 + r 2
2 − 2 ⋅ r 1 ⋅ r 2 ⋅ cos (θ1 − θ2)
↓
DP 1P 2 = √ r 2
1 + r 2
2 − 2 ⋅ r 1 ⋅ r 2 ⋅ cos (θ1 − θ2)
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 17/37
Dados os pontos e , vamos calcular a distância entre eles, ou seja:
NA-PRATICA
P (10, 45∘) Q (25, 45∘)
DP Q = √ r 21 + r 22 − 2 ⋅ r 1 ⋅ r 2 ⋅ cos (θ1 − θ2)
↓
DP Q = √ 102 + 252 − 2 ⋅ 10 ⋅ 25 ⋅ cos (45∘ − 45∘)
↓
DP Q = √ 102 + 252 − 2 ⋅ 10 ⋅ 25 ⋅ cos (0∘)
↓
DP Q = √ 100 + 625 − 500 ⋅ 1
↓
DPQ = √ 725 − 500
↓
DPQ = √ 225 = 15
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 18/37
Unidade 04
Aula 03
Lugares Geométricos em Coordenadas
Polares
Caro(a) estudante, a partir desta aula obteremos as equações das retas e das circunferências em
coordenadas polares. Especificamente no caso das retas, apesar da simplicidade das equações obtidas no
plano cartesiano, as equações em coordenadas polares são de grande importância quando as retas estão
SAIBA MAIS
Complemente seu estudo acerca do Sistema de Coordenadas Polares acessando o link e
assistindo ao vídeo a seguir. Divirta-se e bom estudo!
 Coordenadas polares
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 19/37
https://www.youtube.com/watch?v=acbOnil9WK8
associadas a outras curvas as quais possuem equações no sistema de coordenadas polares forma mais
simples. Na sequência estudaremos a equação da circunferência no sistema de coordenadas polares.
Equação Polar da Reta
Para melhor entendimento do conteúdo dividiremos esse conteúdo em duas etapas, sendo a
primeira o estudo da equação polar da reta de uma reta que não passa pelo polo. Em seguida
obteremos a equação polar da reta que passa pelo polo.
Equação Polar da Reta que não Passa pelo Polo
Para obtenção dessa equação vamos analisar a seguinte figura:
reta_polar1.jpg
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 20/37
Nosso objetivo é obtermos a equação da reta que não passa pelo polo. Para isso vamos
considerar os pontos pertencentes à reta e que esses pontos formem com o
polo um triangulo retângulo no ponto . Daí,
Das transformações trigonométrics temos:
Como já estudamos, temos:
Dessa forma conseguimos obter a equação cartesiana da reta a partir da equação polar.
SAIBA MAIS
s
P (r , θ)eN (ρ, α) s
N
cos (θ − α) =
ρ
r
↓
cos (θ − α) ⋅ r = ρ
cos (θ − α) = cos θ ⋅ cos α + senθ ⋅ senα
↓
(cos θ ⋅ cos α + senθ ⋅ senα) ⋅ r = ρ
↓
(r ⋅ cos θ ⋅ cos α + r ⋅ senθ ⋅ senα) = ρ
{
y = senθ ⋅ r
x = cosθ ⋅ r
↓
(y ⋅ senα + x ⋅ cos α) = ρ
↓
(y ⋅ senα + x ⋅ cos α) − ρ = 0
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 21/37
Equação polar da reta que passa pelo polo
Essa definição se torna mais simples, pois a reta que passa pelo polo é o lugar geométrico dos
pontos em que o ângulo .
Na sequência analisaremos dois casos, a equação polar da reta que é paralela ao eixo polar e a
equação polar da reta que é perpendicular ao eixo polar.
Uma reta é paralela ao eixo polar se e somente se possui um ângulo vetorial congruente ao
ângulo da forma:
Para exemplificar esse caso, vamos considerar a reta de equação polar ,
para obtermos a equação cartesiana dessa reta utilizamos a equação:
NA-PRATICA
r r ⋅ cos (θ − π
3
) = 2
(y ⋅ senα + x ⋅ cos α) − ρ = 0
↓
( y ⋅ sen
π
3
+ x ⋅ cos
π
3
) − 2 = 0
↓
( y ⋅
√ 3
2
+ x ⋅
1
2
) − 2 = 0
P (r , θ) θ = α
reta_polar2.jpg
π
2
+ k ⋅ π, K ∈ Z
↓
cos ( θ −
π
2
+ k ⋅ π) ⋅ r = ρ
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 22/37
Sendo a equação polar da reta paralela ao eixo polar. Uma reta é perpendicular
ao eixo polar se e somente se possui um ângulo vetorial congruente ao ângulo da forma:
Utilizando o mesmo raciocínio para obter a equação polar da reta paralela ao eixo polar, temos:
Sendo a equação polar da reta perpendicular ao eixo polar.
↓
cos ( θ −
π
2
) ⋅ r = ρ
↓
( cos θ ⋅ cos
π
2
+ senθ ⋅ sen
π
2
) ⋅ r = ρ
↓
(cos θ ⋅ 0 + senθ ⋅ 1) ⋅ r = ρ
↓
(senθ) ⋅ r = ρ
ρ = (senθ) ⋅ r
k ⋅ π, K ∈ Z
cos (θ − k ⋅ π) ⋅ r = ρ
↓
cos (θ) ⋅ r = ρ
ρ = (cosθ) ⋅ r
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 23/37
Assim podemos apresentar o seguinte resumo a respeito das equações polares das retas. “Seja
 o conjunto de coordenadas polares da pé da normal traçada de qualquer reta no sistema
de coordenadas polares até o polo. A equação na forma polar da reta é definida por
. Se a reta intercepta o polo sua equação é dada apenas pelo ângulo ,
. Se a reta é paralela ao eixo com distância ao polo de unidades sua equação é dada
por . Por fim, se a reta for perpendicular ao eixo polar com distância de 
unidades teremos .
SAIBA MAIS
(ρ, α )
ρ = cos (θ − α) ⋅ r θ
0 ≤ θ ≤ π ρ
± ρ = (senθ) ⋅ r ρ
cos (θ) ⋅ r = ± ρ
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 24/37
Equação Polarda Circunferência
Como estudado, uma circunferência de centro e raio é o lugar geométrico dos
pontos cuja distância até vale . Analogamente, em coordenadas polares, uma
circunferência de centro e raio é o lugar geométrico dos pontos cuja
distância até vale , ver figura.
Como , temos:
Sendo a equação polar
da circunferência.
SAIBA MAIS
C (x0, y0) r
P (x, y) C r
C (ρ, α) R P (r , θ)
C R
cincunferencia_poolar.jpg
d (C, P ) = r
↓
R 2 = r 2 + ρ2 − 2 ⋅ r ⋅ ρ ⋅ cos (θ − α)
↓
r 2 + ρ2 − 2 ⋅ r ⋅ ρ ⋅ cos (θ − α) − R 2 = 0
cos (θ − α) = cos θ ⋅ cos α + senθ ⋅ senα
r 2 + ρ2 − 2 ⋅ r ⋅ ρ ⋅ cos (θ − α) − R 2 = 0
↓
r 2 + ρ2 − 2 ⋅ r ⋅ ρ ⋅ (cos θ ⋅ cos α + senθ ⋅ senα) − R 2 = 0
↓
r 2 + ρ2 − 2 ⋅ (ρ ⋅ cos θ ⋅ r ⋅ cos α) − 2 ⋅ (ρsenθ ⋅ r ⋅ senα) − R 2 = 0
r 2 + ρ2 − 2 ⋅ (ρ ⋅ cos θ ⋅ r ⋅ cos α) − 2 ⋅ (ρsenθ ⋅ r ⋅ senα) − R 2 = 0
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 25/37
Equação Polar da Circunferência
Unidade 04
Aula 04
Coordenadas Esféricas e Cilíndricas
Para descrever de forma mais simplificada algumas curvas e regiões, introduzimos as coordenadas polares.
No espaço existem dois sistemas de coordenadas que nos fornecem uma maneira mais conveniente de
descrever superfícies. Nesta aula iremos estudar os dois principais sistemas de coordenadas do depois
R 3
R 3
SAIBA MAIS
Aprofunde-se mais com informações sobre outros lugares geométricos em coordenadas
polares acessando o link e assistindo ao vídeo a seguir.
Apostila
 Secções cônicas em coordenadas polares (parte 1)
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 26/37
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/EADG1347/nova_novo/files/acervo/texto4.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=WiuMIa9jW9E
do sistema de coordenadas cartesianas retangulares: os sistemas de coordenadas esféricas e cilíndricas.
Com o emprego das coordenadas esféricas e cilíndricas, os problemas que envolvem o cálculo de área e
volume (cálculo) são muito simplificados.
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 27/37
Sistema de Coordenadas Esféricas
De acordo com a figura seguir, vamos considerar o ponto um ponto qualquer do
espaço e sua projeção no plano . Chamemos de a distância , como em coordenadas
polares. Chamaremos o ângulo de , sendo positivo e variando de zero a cento e oitenta
graus ( . Vamos designar o ângulo por , assim os símbolos 
recebem o nome de coordenadas esféricas do ponto e representamos por . Onde 
é o raio vetor, é a longitude e é a co-latitude de 
Do triângulo , temos:
Já do triângulo , temos:
Portanto,
Assim dadas às coordenadas cartesianas esféricas de um ponto no espaço, com as equações
demonstradas conseguimos obter o ponto em coordenadas cartesianas retangulares.
SAIBA MAIS
P (x, y, z)
Q xy ρ OP
ZOP ∅ ∅
0∘ ≤ ∅≤ 180∘) X OQ θ ρ, θe∅
P P (ρ, θ, ∅) r
θ ∅ P .
esfericas.jpg
⋅OP Q
{
OQ = ρ ⋅ sen∅
P Q = ρ ⋅ cos∅
⋅OM Q
{
OM = OQ ⋅ cosθ
M Q = OQ ⋅ senθ
⎧⎪⎨⎪⎩ x = OM = ρ ⋅ sen∅⋅ cos θ
y = QM = ρ ⋅ sen∅⋅ senθ
z = QP = ρ ⋅ cos∅
P
P
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 28/37
O processo inverso, ou seja, obter as coordenadas esféricas a partir das coordenadas
cartesianas retangulares é definido pelas seguintes equações:
⎧⎪⎨⎪⎩ ρ = ± √ x2 + y2 + z2
θ = arctan y
x
∅= arccos z
ρ
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 29/37
Para exemplificar tal situação, dado o ponto definido em coordenadas cartesianas
retangulares, vamos localiza-lo em coordenadas esféricas. Assim temos:
NA-PRATICA
P (1, 2, 2)
⎧⎪⎨⎪⎩ ρ = ± √ x2 + y2 + z2
θ = arctan y
x
∅= arccos z
ρ
↓
⎧⎪⎨⎪⎩ ρ = ± √ 12 + 22 + 22
θ = arctan 2
∅= arccos 2
ρ
↓
⎧⎪⎨⎪⎩ ρ = 3
θ = arctan 2
∅= arccos 2
3
↓
⎧⎪⎨⎪⎩ ρ = 3
θ = 63, 43∘
∅= 48, 18∘
↓
P (3; 63, 43∞ ; 48, 18∞ )
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 30/37
SAIBA MAIS
Para aperfeiçoar a técnica de transformação entre coordenadas esféricas e cartesianas
retangulares, pratique com o exercício “Coordenadas Esféricas” disponível clicando aqui ou
acessando o acervo da disciplina.
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 31/37
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/EADG1347/nova_novo/files/acervo/exercicio1.pdf
Sistema de Coordenadas Cilíndricas
O processo inverso, ou seja, obter as coordenadas cilíndricas a partir das coordenadas
cartesianas retangulares é definido pelas seguintes equações:
De acordo com a figura seguir, vamos considerar o ponto um ponto qualquer do
espaço e sua projeção no plano . Esse ponto é localizado pelas coordenadas ,
observamos ainda que são as coordenadas polares da projeção do ponto no plano .
Sendo o triângulo retângulo em , temos:
Assim dadas às coordenadas cartesianas cilíndricas de um ponto no espaço, com as equações
demonstradas conseguimos obter o ponto em coordenadas cartesianas retangulares.
SAIBA MAIS
P (x, y, z)
Q xy P (r , μ, z)
reθ Q P xy
cilindricas.jpg
⋅OM Q M
⎧⎪⎨⎪⎩ cos θ = x
r
senθ = y
r
z = z
↓
⎧⎪⎨⎪⎩ r ⋅ cos θ = x
r ⋅ senθ = y
z = z
P
P
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 32/37
⎧⎪⎨⎪⎩ r = ± √ x2 + y2
μ = arctan y
x
z = z
Para exemplificar tal situação, dado o ponto definido em coordenadas cartesianas
retangulares, vamos localiza-lo em coordenadas cilíndricas. Assim temos:
NA-PRATICA
P (1, − 2, 8)
⎧⎪⎨⎪⎩ r = ± √ x2 + y2
μ = arctan y
x
z = z
↓
⎧⎪⎨⎪⎩ r = ± √ 12 + (− 2)2
μ = arctan (− 2)
z = 8
↓
⎧⎪⎨⎪⎩ r = √ 5
μ = 296, 56∘
z = 8
↓
P ( √ 5; 296, 56∞ ; 8)
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 33/37
Para fixar as transformações entre os sistemas de coordenadas analisados, vamos determinar as
coordenadas cartesianas e esféricas de um ponto cujas coordenadas cilíndricas são
. Primeiramente encontraremos as coordenadas retangulares definidas pelas
equações:
Agora encontraremos as coordenadas esféricas a partir das retangulares definidas pelas
equações:
NA-PRATICA
P
P (6, 45∞ , 4)
⎧⎪⎨⎪⎩ r ⋅ cos θ = x
r ⋅ senθ = y
z = z
↓
⎧⎪⎨⎪⎩ 6 ⋅ cos 45∘ = x
6 ⋅ sen45 = y
4 = z
↓
⎧⎪⎨⎪⎩ 3 ⋅ √ 2 = x
3 ⋅ √ 2 = y
4 = z
↓
P ( 3 ⋅ √ 2, 3 ⋅ √ 2, 4)
⎧⎪⎨⎪⎩ ρ = ± √ x2 + y2 + z2
θ = arctan y
x
∅= arccos z
ρ
↓
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 34/37
⎧⎪⎨⎪⎩ ρ = √ ( 3 ⋅ √ 2)
2
+ ( 3 ⋅ √ 2)
2
+ 42
θ = arctan 1
∅= arccos 4
ρ
↓
⎧⎪⎨⎪⎩ ρ = 2 ⋅ √ 13
θ = 45∘
∅= arccos 2
√ 13
↓
⎧⎪⎨⎪⎩ ρ = 2 ⋅ √ 13
θ = 45∘
∅= 56, 35∘
↓
P ( 2 ⋅ √ 13; 45∘ ; 56, 35∘)
SAIBA MAIS
Para aperfeiçoar a técnica de transformação entre coordenadas cilíndricas e cartesianas
retangulares, pratique com o exercício “Coordenadas Cilíndricas” disponível clicando aqui ou
acessando o acervo da disciplina.
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 35/37
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/EADG1347/nova_novo/files/acervo/exercicio2.pdf
Unidade 04
Amplie seu conhecimento
Glossário
Circunferência É o lugar geométrico dos pontos cuja a distância do centro C é igual ao raio R.
Coordenadas
Cartesianas
É um esquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado"espaço com dimensões.
Coordenadas Polares
Um sistema de coordenas polares é um sistema de coordenadas bidimensionais, no qual cada ponto de um plano é determinado pela sua distância em relação a um ponto
fixo e do ângulo em relação a uma direção fixa.
Distância entre dois
pontos
É a hipotenusa do triângulo formado por esses dois pontos e o eixo das abcissas.
Elipse
Uma elipse é uma secção cônica: se uma superfície cônica é cortada com um plano que não passe pela base e que não intersecte as duas folhas do cone, a intersecção entre
o cone e o plano é uma elipse.
Espaço euclidiano Espaço euclidiano é um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno.
Hipérbole
Uma hipérbole é uma seção cônica definida como a interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa através das duas metades do cone, sem
que esse plano seja paralelo à linha oposta ao corte.
Parábola É uma seção cônica gerada pela interseção de uma superfície cônica de segundo grau e um plano paralelo à reta geratriz do cone, sendo que o plano não contém a reta.
Plano É um objeto geométrico infinito a duas dimensões.
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 36/37
Pontos colineares São três pontos que pertencem à mesma reta.
Reta É um comprimento sem largura.
Retas ortogonais Se o quociente entre os coeficientes angulares de duas retas for igual a -1, essas retas são ortogonais.
Retas paralelas São duas retas que possuem o mesmo coeficiente angular.
Versor Versor de um vetor é outro vetor que possui módulo igual a 1 e possui o mesmo sentido e mesma direção do vetor dado.
Vetor Vetor é um símbolo matemático utilizado para representar a direção, o sentido e o módulo de uma grandeza.
Vetores ortogonais Dois vetores são ortogonais entre si quando o produto escalar entre esses vetores for nulo.
Referências
REIS, G. L. dos; SILVA, V. V. da. Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: LTC, 1996.
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books, 2000.
17/06/2025, 19:08 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG1347/impressao/4 37/37