C04 modelagem quimicos v06 (1)

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Profa. Dra. Karen Pontes
Modelagem de Sistemas de 
Processos
Revisão: 10 de julho de 2018
Departamento de Engenharia Química
Conceitos Fundamentais
 Sistema fechado: permeável à troca de energia
 Sistema aberto: permeável à troca de massa e energia
Estabelecer fronteiras 
(Volume de Controle)
Leis Fundamentais
“Na Natureza nada se cria e nada se perde, 
tudo se transforma”
Químico francês (1743-1794)
“Em uma reação química feita em recipiente fechado, 
a soma das massas dos reagentes é igual à soma das 
massas dos produtos”
Leis Fundamentais
1. Conservação da massa Lei de Lavoisier
Balanço de massa
Balanço do componente
Leis Fundamentais
 Balanço de massa
 Balanço molar por componente 
௜ ௜
௡௨
௜ୀଵ
௝ ௝
௡௬
௝ୀଵ
௞
௞,௜ ௜
௡௨
௜ୀଵ
௞,௝ ௝
௡௬
௝ୀଵ
௞,௟ ௟
௡
௟ୀଵ
Sistema hidráulico
 Tanque de nível
taxa de acúmulo
da massa
dentro do tanque
=
taxa da massa
entrando
no tanque
−
taxa da massa
saindo
do tanque
Equações de balanço de massa:
ଶ
ଵ
𝐹: vazão volumétrica (m3.s-1)
V: volume (m3)
𝜌: massa específica (kg/m3)
ℎ: nível (m)
𝐴: área da seção transversal (m2)
dV𝜌
𝑑𝑡
= 𝐹ଵ𝜌ଵ − 𝐹ଶ𝜌
Hipótese: 𝜌ଵ = 𝜌
Se 𝑉 = 𝐴 ⋅ ℎ, 𝐴 é constante
𝐴
dℎ
𝑑𝑡
= 𝐹ଵ − 𝐹ଶ
ℎ variável de estado ℎ variável de saída
𝐹ଵ e 𝐹ଶ variável de entrada 𝐴 parâmetro
 Hipótese: constante (fluido incompressível)
Sistema sem reação
 Balanço de massa:
 Relações constitutivas:
 Identidade:
Sistema hidráulico
 Tanque de nível com área transversal variável
𝐹௘
𝐹௦
ℎ
𝐻
𝑅
௘ ௘ ௦ ௦ ௘ ௦
௦
ଶ ଶ
ଶ
ଷ
௘
ଶ
ଶ
ଶ
Sistema com reação isotérmico
Reação A  B
 Hipótese: constante (fluido incompressível)
Taxa de reação de 1ª ordem
Mistura perfeita
Isotérmico
 Taxa de reação: ଵ ଵ ஺
஺
஺଴ ଴ ஺ ଵ ஺ Balanço de massa para componente A:
஻
஻଴ ଴ ஻ ଵ ஺ Balanço de massa para componente B:
onde
𝑐௜: concentração do componente 𝑖 (kgmol.m-3)
𝑉: volume (m3)
𝐹: vazão volumétrica (m3.s-1)
𝑘: constante cinética (s-1)
Sistema com reação isotérmico
 Sabe-se que ou (mistura ideal )
ou
 Logo o balanço de massa global e os balanços por 
componente não são independentes!
 Para componentes, fazemos balanços por componente ou 
balanços por componente e um balanço de massa total
௜
௜
௜ ௜
௜
௜ ௜
௜
Sistema com reação isotérmico
Reação భ మ  Hipótese: constante (fluido incompressível)
Taxa de reação de 1ª ordem
Mistura perfeita
Isotérmico
 Taxa de reação: ଵ ଵ ஺
஺
஺଴ ଴ ஺ ଵ ஺ Balanço de massa para componente A:
஻
஻଴ ଴ ஻ ଵ ஺ ଶ ஻ Balanço de massa para componente B:
ଶ ଶ ஻
஼
஼଴ ଴ ஼ ଶ ஻ Balanço de massa para componente C:
Atividade 05
 Ver enunciado no Moodle
Sistema com reação isotérmico
 E se o sistema não for isotérmico?
 Necessário balanço de energia para determinar a temperatura!
ିா/ோ்
onde
: energia de ativação (J.kgmol-1.K-1)
: fator pré-exponencial
: constante dos gases ideias (8,314462 J.K-1.kgmol-1)
: temperatura (K)
: constante cinética (s-1)
Lei de Arrhenius
Leis Fundamentais
2. Conservação da energia
Primeira Lei da Termodinâmica
௖ ௣
௜ ௜ ௖೔ ௣೔
௡௨
௜ୀଵ
௝ ௝ ௝ ௖ೕ ௣ೕ
௡௬
௝ୀଵ
Leis Fundamentais
 Nomenclatura
: energia interna total do líquido (J)
: taxa de calor removido ou adicionado ao sistema (J/s)
: trabalho realizado pelo ou sobre o sistema (J/s)
௖: energia cinética total do líquido (J)
௣: energia potencial total do líquido (J)
: entalpia total do líquido (J)
: entalpia específica líquido (J/kg)
௣: capacidade calorífica do líquido (J.Kg-1.K-1)
௥௘௙: temperatura de referência onde a entalpia é zero (K)
: temperatura (K)
: massa específica do líquido (kg/m3)
: vazão volumétrica (m3/s)
: volume do líquido (m3)
: nível do líquido (m)
Leis Fundamentais
௣ ௥௘௙
௜ ௜ ௜
௡௨
௜ୀଵ
௝ ௝ ௝
௡௬
௝ୀଵ
 Hipóteses:
 Energia cinética e energia potencial desprezíveis
 Sistema incompressível (líquido)
௣ ௥௘௙ ௣
௖ ௣
Exemplo – Heater com jaqueta
Alimentação
Alimentação
da jaqueta
Produto
Saída da
jaqueta
௜ ௜
௝௜ ௝
௝ ௝
• Hipótese:
• Calor removido pela jaqueta:
௜
௦௦ ft3/s
௝ ௦௦ ft3/s
௜ ௦௦
oF
௝௜ ௦௦
oF
௣ Btu/oF/ft3
௝ ௣,௝ Btu/oF/ft3
Btu/oF/min
ft3
௝ ft3
௝
Exemplo – Heater com jaqueta
 Desenvolva o modelo do processo
 Simule o processo utilizando as seguintes opções:
 Simulink utilizando S-function
 Matlab
 Determine o estado estacionário do sistema
 Avalie o comportamento dinâmico do sistema para uma perturbação nas 
variáveis de entrada
Exemplo – Heater com jaqueta
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ ௝
ଵ
ଶ
ଷ
ସ
௝
௜
௝௜
estadossaídas
entradas
d𝑇
𝑑𝑡
=
𝐹(𝑡)
𝑉
𝑇௜ 𝑡 − 𝑇 𝑡 +
𝑈𝐴
𝑉𝜌𝐶௣
𝑇௝ 𝑡 − 𝑇 𝑡Balanço de energia no tanque:
d𝑇௝
𝑑𝑡
=
𝐹௝(𝑗)
𝑉௝
𝑇௝௜ 𝑡 − 𝑇௝ 𝑡 −
𝑈𝐴
𝑉௝𝜌௝𝐶௣,௝
𝑇௝ 𝑡 − 𝑇 𝑡Balanço de energia na jaqueta:
௣
௝
௝
௣,௝
parâmetros
Grau de liberdade = 0
Exemplo – Sistema com reação não isotérmico
 Reator CSTR com remoção de calor em uma jaqueta
𝜆 < 0 se reação exotérmica
𝜆 > 0 se reação endotérmica
 Calor gerado pela reação:
𝑄௚ = −𝜆𝑉𝑘𝐶஺
 Hipótese:
 Calor removido pela jaqueta:
 Taxa de reação:
𝑄 = 𝑚௩ ⋅ Δ𝐻௩௔௣(𝑇𝑐)
𝜌, 𝐶௣ e 𝑉 constante
𝑟 = 𝑘𝐶஺ 𝑘 = 𝐴𝑒ିா/ோ்
Alimentação
Alimentação
da jaqueta
Produto
Saída da jaqueta
𝑇଴ 𝑡 , 𝐹଴ 𝑡 , 𝐶஺଴(𝑡)
𝑇஼ 𝑇஼
𝑇 𝑡 , 𝐹 𝑡 , 𝐶஺ 𝑡
𝑉
A  B
𝐹଴ = 1.5 m3/h
𝐶஺଴ = 0.5 mol/h
𝐶஻଴ = 0 mol/h
𝑇଴ = 295 K
𝑉 = 3 m3
𝜌 = 650 kg/m3
𝐶௣ = 2.5 J/(kg.K)
Δ𝐻௩௔௣ 𝑇𝑐 = 2256 kJ/kg
𝑚௩ = 3,7 Kg/h
𝜆 = −2 ⋅ 10଻ J/(kmol)
𝐴 = 0,77 1/h
𝐸 = 80 J/mol
𝑅 = 8,314 J/(mol.K)
𝑈, 𝐴
entradas / parâmetros
Exemplo – Sistema com reação não isotérmico
 Desenvolva o modelo do processo
 Simule o processo utilizando o Matlab
 Determine o estado estacionário do sistema
 Avalie o comportamento dinâmico do sistema para uma perturbação 
degrau de 0.01 kmol/m3 em ஺଴.
 Qual o novo estado estacionário do sistema?
 Observe a dinâmica da resposta. O que você pode comentar da velocidade de resposta 
de 𝐶஺ e de 𝐶஻? Você esperaria que as duas respostas respondessem com o mesmo 
tempo?
Exemplo – Sistema com reação não isotérmico
C
A 
(k
m
ol
/m
3)
C
B 
(k
m
ol
/m
3)
Te
m
pe
ra
tu
ra
 (K
)
஺,଴ mol/m3
஺,௦௦ mol/m3
஻,௦௦ mol/m3
௦௦ K
஺,଴ mol/m3
஺,௦௦ mol/m3
஻,௦௦ mol/m3
௦௦ K
Exemplo – Série de CSTR’s com holdup variável
 Hipóteses:
 Massa específica constante
 Área da seção transversal constante
 Os reatores são isotérmicos 
 Taxa de reação :
 Vazão de saída:
௜ ௜ ஺,௜
௡
௜ ௜
𝑉ଵ(𝑡)
𝑘ଵ
𝐹ଵ 𝑡 , 𝐶஺,ଵ(𝑡)
𝐹଴(𝑡)
𝑉ଶ(𝑡)
𝑘ଶ
𝐹ଶ 𝑡 , 𝐶஺,ଶ(𝑡)
𝑉ଷ(𝑡)
𝑘ଷ
𝐹ଷ 𝑡
𝐶஺,ଷ(𝑡)
Exemplo – Série de CSTR’s com holdup variável
 Tanque 1:
 Balanço de massa global:
 Balanço por componente:
 Logo
dVଵ𝜌ଵ
𝑑𝑡
= 𝐹଴𝜌଴ − 𝐹ଵ𝜌ଵ → 𝐴ଵ
dhଵ
𝑑𝑡
= 𝐹଴ − 𝐹ଵ
𝐴ଵ
𝑑(𝐶஺,ଵℎଵ)
𝑑𝑡
= 𝐶஺଴𝐹଴ − 𝐶஺,ଵ𝐹ଵ − 𝑘ଵ 𝐶஺,ଵ
௡𝐴ଵℎଵ
௜
௜
௜ିଵ ௜
𝐴௜
𝑑(𝐶஺,௜ℎ௜)
𝑑𝑡
= 𝐶஺,௜ିଵ𝐹௜ିଵ − 𝐶஺,௜𝐹௜ − 𝑘௜ 𝐶஺,௜
௡𝐴௜ℎ௜
= 𝐶஺,௜
𝑑ℎ௜
𝑑𝑡
+ ℎ௜
𝑑𝐶஺,௜
𝑑𝑡
Substituindo,
𝐴௜ℎ௜
𝑑𝐶஺,௜
𝑑𝑡
= 𝐶஺,௜ିଵ𝐹௜ିଵ − 𝐶஺,௜𝐹௜ − 𝑘௜ 𝐶஺,௜
௡𝐴௜ℎ௜ − 𝐴௜𝐶஺,௜
𝑑ℎ௜
𝑑𝑡
𝑑𝐶஺,௜
𝑑𝑡
=
𝐶஺,௜ିଵ𝐹௜ିଵ − 𝐶஺,௜𝐹௜
𝐴௜ℎ௜
− 𝑘௜ 𝐶஺,௜
௡ −
𝐶஺,௜
ℎ௜
𝑑ℎ௜
𝑑𝑡
 𝑖 = 1,2,3
Exemplo – Série de CSTR’s com holdup variável
௜ ௜ିଵ
௜
௜
௜
𝑑𝐶஺,௜
𝑑𝑡
=
𝐶஺,௜ିଵ𝐹௜ିଵ − 𝐶஺,௜𝐹௜
𝐴௜ℎ௜
− 𝑘௜ 𝐶஺,௜
௡ −
𝐶஺,௜
ℎ௜
𝑑ℎ௜
𝑑𝑡
௜ ௜
Alternativamente, podemos tratar ஺,௜ ௜ como uma variável de estado substituta
௜ ௜
௜௜ିଵ
௜
௜
௜
௜ ஺,௜ ௜ ஺,௜ିଵ ௜ିଵ ஺,௜ ௜
௜
௜ ஺,௜
௡
௜
஺,௜
௜
௜
Exemplo – Série de CSTR’s com holdup variável
 Parâmetros:
 𝛼 = 0,5
 𝐴ଵ = 𝐴ଶ = 2 m3 ; 𝐴ଷ = 3 m3
 𝑛 = 1 
 𝑘ଵ = 0,45 ; 𝑘ଶ = 0,16 ; 𝑘ଷ = 0,12 sିଵ
 Condições iniciais:
 𝐶஺,ଵ 𝑡 = 0 = 𝐶஺,ଶ 𝑡 = 0 =𝐶஺,ଷ 𝑡 = 0 = 0
 ℎଵ 𝑡 = 0 = ℎଶ 𝑡 = 0 = ℎଷ 𝑡 = 0 = 1 m
 Variáveis de entrada:
 𝐶஺଴ = 10 kmol/mଷ
 𝐹஺଴ = 0,5 mଷ/𝑠
Exemplo – Série de CSTR’s com holdup variável
 Desenvolva o modelo do processo para determinar os perfis de nível e 
concentração de A nos três tanques ao longo do tempo.
 Determine o estado estacionário ஺ଵ ஺ଶ ஺ଷ
 Considere que o sistema está no estacionário. Pede-se:
1. Avalie o comportamento do sistema para uma perturbação degrau na concentração, 𝐶஺଴ = 12
kmol/mଷ. Qual o valor final (no novo estado estacionário) das concentrações 𝐶஺ଵ, 𝐶஺ଶ, 𝐶஺ଷ?
2. Como você analisa da dinâmica e o tempo de resposta dos três sistemas?
3. Avalie o comportamento do sistema para uma perturbação degrau na vazão de alimentação, 𝐹஺଴ =
0,7 mଷ/𝑠, sendo 𝐶஺଴ = 10 kmol/mଷ?
Exemplo – Série de CSTR’s com holdup variável
Perturbação: 𝐶஺଴ = 12 kmol/mଷ
0 10 20 30 40
1
1
tempo
h1
(t)
0 10 20 30 40
3.5
4
4.5
tempo
C1
(t)
0 10 20 30 40
1
1
1
tempo
h2
(t)
0 10 20 30 40
2
2.5
3
tempo
C2
(t)
0 10 20 30 40
1
1
1
tempo
h3
(t)
0 10 20 30 40
1.4
1.6
tempo
C3
(t)
0 10 20 30 40
0.5
1
1.5
tempo
h1
(t)
0 10 20 30 40
3.2
3.4
3.6
tempo
C1
(t)
0 10 20 30 40
0.5
1
1.5
tempo
h2
(t)
0 10 20 30 40
1.5
2
2.5
tempo
C2
(t)
0 10 20 30 40
1
1.2
1.4
tempo
h3
(t)
0 10 20 30 40
1
1.2
1.4
tempo
C3
(t)
Perturbação: 𝐹଴ = 0.55 mଷ/s
Atividade – CSTR’s não isotérmico
 Hipóteses:
 Massa específica e capacidade calorífica constantes
 Volume da jaqueta constantes
 Reação exotérmica
 Área de troca térmica constante
Alimentação
Alimentação da jaqueta
Produto
Saída da jaqueta
௜௡ ௜௡ ஺,௜௡
௝଴ ௝
௝ ௝
஺
A  B
Atividade – CSTR’s não isotérmico
 Relações constitutivas
 Taxa de reação:
 Constante cinética:
 Calor removido pela jaqueta:
𝐴௧ é a área de troca térmica, logo pode variar caso 𝑉 não seja constante
 Calor gerado pela reação:
 Entalpia (forma simplificada):
𝑟 = 𝑘𝐶஺
𝑘 = 𝐴𝑒ିா/ோ்
𝑄௝ = 𝑈𝐴௧(𝑇 − 𝑇௝)
𝑄௚ = −𝜆𝑉𝑟
ℎ෠ = 𝐶௣𝑇
Atividade – CSTR’s não isotérmico
஺
஺,௜௡ ௜௡ ஺ ஺
ିா/ோ்
௣ ௣ ௜௡ ௜௡ ௧ ௝ ஺
ିா/ோ்
௝ ௝ ௣,௝
௝
௝ ௝ ௣,௝ ௝଴ ௝ ௧ ௝
Rearrumando...
௜௡
Atividade – CSTR’s não isotérmico
஺
௥
஺,௜௡ ௜௡ ஺ ஺
ିா/ோ்
௥
௜௡ ௜௡
௣ ௥
௧ ௝ ஺
ିா/ோ்
௝ ௝
௝
௝଴ ௝
௧
௝ ௝ ௣,௝
௝
௥
௜௡
Atividade – CSTR’s não isotérmico
Parâmetro Valor Unidade Descrição
𝐴 7,08x1010 h-1 Constante de Arrhenius
𝐸 30000 Btu/lbmol Energia de ativação
𝑅 1,99 Btu/(lbmol.R) Constante universal dos gases
ρ 50 lbm/ft3 Densidade da mistura reacional
𝐶𝑝 0,75 Btu/(lbR) Calor específico a pressão constante da mistura reacional
𝑈 150 Btu/(h.ft2.R) Coeficiente global de troca térmica
𝐴௧ 250 ft2 Área de troca térmica
λ -30000 Btu/lbmol Calor de reação
𝑉𝑗 3,85 ft3 Volume da jaqueta
𝜌௝ 62,3 lbm/ft3 Densidade do fluido na jaqueta
𝐶𝑝𝑗 1 Btu/(lb.R) Calor específico a pressão constante do fluido da jaqueta
𝐾𝑣 240 Ganho proporcional do controlador
𝐾𝑐 4 ft3/(h.R) Ganho proporcional do ccntrolador
𝐴𝑟 24 ft2 Área da seção transversal do reator
Parâmetros
Atividade – CSTR’s não isotérmico
Entrada Valor Unidade Descrição
𝐹௜௡ 40 ft3/h Vazão de alimentação do reator
𝐶஺,௜௡ 0,5 lbmol/ft3 Concentração de alimentação de A
𝑇௜௡ 530 R Temperatura da vazão de alimentação do reator
𝑇௝଴ 530 R Temperatura de alimentação da jaqueta
𝐹j 49,9 R Vazão do fluido da jaqueta
Entradas
Atividade – CSTR’s não isotérmico
 Vamos avaliar inicialmente o estado estacionário
 Determine o estado estacionário ஺ ௝. Considere ft. Por que é 
necessário especificar o nível?
1. Para a estimativa inicial 𝐶஺ = 0,5 lbmol/ftଷ, 𝑇 = 𝑇௝ = 530𝑅, qual o valor 
estacionário encontrado?
2. Para a estimativa inicial 𝐶஺ = 0,2lbmol/ftଷ, 𝑇 = 580𝑅, 𝑇௝ = 530𝑅, qual o valor 
estacionário encontrado?
3. O mesmo estado estacionário é encontrado ? O que isso significa?
Atividade – CSTR’s não isotérmico
Alimentação
Alimentação da jaqueta
Produto
Saída da jaqueta
௜௡ ௜௡ ஺,௜௡
௝଴ ௝
௝ ௝
஺
A  B
௏௝ ௝ ஼
Controle de temperatura Controle de nível
Atividade – CSTR’s não isotérmico
 Relações constitutivas
 Taxa de reação:
 Constante cinética:
 Vazão de saída:
 Vazão do fluido na jaqueta:
 Calor removido pela jaqueta:
𝐴௧ é a área de troca térmica, logo pode variar caso 𝑉 não seja constante
 Calor gerado pela reação:
 Entalpia (forma simplificada):
𝑟 = 𝑘𝐶஺
𝑘 = 𝐴𝑒ିா/ோ்
𝑄௝ = 𝑈𝐴௧(𝑇 − 𝑇௝)
𝑄௚ = −𝜆𝑉𝑟
𝐹 = 𝐹ത − 𝐾௏𝐴௥(ℎത − ℎ) 
ℎ෠ = 𝐶௣𝑇
Assumindo um controlador de nível
𝐹௝ = 𝐹ത௝ − 𝐾஼(𝑇ത − 𝑇) controlador de temperatura
Atividade – CSTR’s não isotérmico
஺
஺,௜௡ ௜௡ ஺ ஺
ିா/ோ்
௏
௣ ௣ ௜௡ ௜௡ ௧ ௝ ஺
ିா/ோ்
௝ ௝ ௣,௝
௝
௝ ௝ ௣,௝ ௝଴ ௝ ௧ ௝
Rearrumando...
௜௡
௝ ௝ ஼
Atividade – CSTR’s não isotérmico
஺
௥
஺,௜௡ ௜௡ ஺ ஺
ିா/ோ்
௏
௥
௜௡ ௜௡
௣ ௥
௧ ௝ ஺
ିா/ோ்
௝ ௝
௝
௝଴ ௝
௧
௝ ௝ ௣,௝
௝
௥
௜௡
௝ ௝ ஼
Atividade – CSTR’s não isotérmico
 Considere que o sistema está no estacionário calculado com a segunda estimativa 
inicial. Pede-se:
1. Avalie o comportamento do sistema para uma perturbação degrau na concentração de 
A de +0.05 lbmol/ftଷ. Qual o valor final (no novo estado estacionário) dos estados?
2. E o valor de 𝐹௝? Trace o gráfico no tempo e determine o valor estacionário após a 
perturbação.
3. Feche as duas malhas (temperatura e nível) e dê uma perturbação degrau de +10
ftଷ/h na vazão de alimentação, mantendo a concentração no nível inicial. O que você 
observa de diferente na dinâmica do sistema? Qual o valor mínimo que 𝑇 alcança e 
qual o valor máximo que 𝐶஺ alcança?
4. Considere agora o 𝐹௝ e 𝐹 constantes, ou seja, abra a malha do controlador de 
temperatura. O que você conclui ao simular novamente o modelo? Qual o novo valor 
estacionário? Qual o valor máximo que a temperatura do reator e da jaqueta atingem? 
Qual o valor mínimo que 𝐶஺ alcança? Esta situação é desejável para o processo?
Sistema com equilíbrio de fases
 Flash multicomponente
𝐹௏, 𝑦௜, 𝑇, 𝑃
𝐹௅, 𝑥௜, 𝑇, 𝑃
𝐹௙, 𝑧௜, 𝑇௙, 𝑃௙
 Hipóteses
 Dinâmica da fase vapor desprezada
 Equilíbrio termodinâmico
 𝛥𝑈 = 𝛥𝐻
 Sem perda de calor 
 Mistura perfeita em ambas as fases
 Massa específica do líquido constante
 Área da seção transversal constante
Sistema com equilíbrio de fases
 Balanço base molar
 Global
 Componente
 Energia
𝑑𝑚
𝑑𝑡
=
𝑑𝜌௅𝑉௅
𝑑𝑡
= 𝜌௅𝐴
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 𝜌௙𝐹௙ − 𝜌௏𝐹௏ − 𝜌௅𝐹௅
𝑑𝑚𝑥௜
𝑑𝑡
= 𝜌௅𝐴
𝑑ℎ𝑥௜
𝑑𝑡
= 𝜌௙𝐹௙𝑧௜ − 𝜌௏𝐹௏𝑦௜ − 𝜌௅𝐹௅𝑥௜ 𝑖 = 1, … , 𝑛𝑐
𝑑𝑚ℎ௅
𝑑𝑡
= 𝜌௅𝐴
𝑑ℎℎ௅
𝑑𝑡
= 𝜌௙𝐹௙ℎ௙ − 𝜌௏𝐹௏ℎ௏ − 𝜌௅𝐹௅ℎ௅
ℎ௝: entalpia específica da fase 𝑗 (J/kg)
𝑧௜, 𝑥௜, 𝑦௜: frações mássicas da alimentação, fases líquida e vapor
𝐹௝: vazão volumétrica da corrente 𝑗 (m3/h)
ℎ: nível de líquido no vaso (m)
𝑚: massa total (kg)
𝜌௝: massa específica da fase 𝑗 (J/kg)
Sistema com equilíbrio de fases
 Relações constitutivas
 Equilíbrio onde
 Entalpias
 Massa específica
𝑦௜ = 𝐾௜𝑥௜ 𝐾௜ = 𝑓(𝑇, 𝑃, 𝑥, 𝑦)
ℎ௅ = 𝑓 𝑇, 𝑥 = ෍ 𝑥௜𝐶௣,௜(𝑇 − 𝑇௥௘௙)
௡௖
௜ୀଵ
ℎ௙ = 𝑓 𝑇௙, 𝑧 = ෍ 𝑧௜𝐶௣,௜(𝑇௙ − 𝑇௥௘௙)
௡௖
௜ୀଵ
ℎ௏ = 𝑓 𝑇, 𝑦 = ෍ 𝑦௜𝐶௣,௜(𝑇 − 𝑇௥௘௙)
௡௖
௜ୀଵ
+ 𝜆௠
𝜆௠ = ෍ 𝑦௜𝜆௜
௡௖௜ୀଵ
𝜌௅ = 𝑓 𝑇, 𝑃, 𝑥
𝜌௏ = 𝑓 𝑇, 𝑃, 𝑦 =
𝑀ഥ𝑃
𝑅𝑇
=
𝑃
𝑅𝑇
෍ 𝑦௜𝑀ഥ௜
௡௖
௜ୀଵ
Sistema com equilíbrio de fases
 Análise dos graus de liberdade
 Variáveis de entrada: 𝐹௙, 𝑇௙, 𝑃௙, 𝑧௜ 𝑖 = 1, … , 𝑛𝑐
 Variáveis restantes (5 + 2𝑛𝑐): ℎ, 𝐹௅, 𝐹௏, 𝑃, 𝑇, 𝑥௜ 𝑖 = 1, … , 𝑛𝑐 , 𝑦௜ 𝑖 = 1, … , 𝑛𝑐
 Número de equações: 2 + 2𝑛𝑐
Observação: Propriedades físicas não foram contabilidzadas no grau de liberdade já que são 
especificadas por relações específicas
GL=3 logo é necessário inserir 3 equações:
 Geralmente o nível é controlado pela vazão de saída de líquido e a pressão pela vazão 
de vapor. Neste caso, o problema está bem definido.
෍ 𝑥௜
௡௖
௜ୀଵ
= 1 𝐹௏ = 𝑓(𝑃) 𝐹௅ = 𝑓(ℎ)
Sistema com equilíbrio de fases
𝜌௅𝐴
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= 𝜌௙𝐹௙ − 𝜌௏𝐹௏ − 𝜌௅𝐹௅
𝜌௅𝐴
𝑑ℎ𝑥௜
𝑑𝑡
= 𝜌௙𝐹௙𝑧௜ − 𝜌௏𝐹௏𝑦௜ − 𝜌௅𝐹௅𝑥௜ 𝑖 = 1, … , 𝑛𝑐
𝜌௅𝐴
𝑑ℎℎ௅
𝑑𝑡
= 𝜌௙𝐹௙ℎ௙ − 𝜌௏𝐹௏ℎ௏ − 𝜌௅𝐹௅ℎ௅
෍ 𝑥௜
௡௖
௜ୀଵ
= 1
𝐹௏ = 𝑓(𝑃)
𝐹௅ = 𝑓(ℎ)
𝑦௜ = 𝐾௜𝑥௜ 𝑖 = 1, … , 𝑛𝑐
Depende de ௜ e de !!
As condições iniciais das equações diferenciais 
entram em conflito com esta equação
Equação algébrica !! Sistema DAE (differential algebraic system)
Destilação
Fonte: FERREIRA (2007)
Andar de equilíbrio genérico. Fonte: BERNARDO (2007)