Relatório 17 - Estatística de Weibull

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA 
SETOR DE CIENCIAS AGRÁRIAS E DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE MATERIAIS 
 
AUGUSTO ARAUJO VUITIK 
KAROLINA MAIA 
WILLIAN DA MAIA 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA DE WEIBULL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PONTA GROSSA 
SETEMBRO/2014
 
AUGUSTO ARAUJO VUITIK 
KAROLINA MAIA 
WILLIAN DA MAIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA DE WEIBULL 
 
 
Relatório apresentado à disciplina de 
Ensaios e Caracterização de Materiais do 
Curso de Engenharia de Materiais, 3ª 
série, da Universidade Estadual de Ponta 
Grossa – UEPG. 
 
Prof. Cláudia Francine Machado Canova 
 
 
 
 
 
 
 
PONTA GROSSA 
SETEMBRO/2014 
 
SUMÁRIO 
 
1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................................ 3 
1.1 ENSAIO DE FLEXÃO ....................................................................................... 3 
1.2 ESTATÍSTICA DE WEIBULL ............................................................................ 4 
2 OBJETIVOS ..................................................................................................... 5 
3 MATERIAIS E MÉTODOS................................................................................ 6 
3.1 MATERIAIS ...................................................................................................... 6 
3.2 PROCEDIMENTO ............................................................................................ 6 
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO ....................................................................... 6 
5 CONCLUSÃO ................................................................................................... 7 
REFERÊNCIAS........................................................................................................... 8 
 
3 
 
 
1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
 
1.1 ENSAIO DE FLEXÃO 
 
O comportamento tensão-deformação de cerâmicas frágeis não é usualmente 
determinado por um teste de tração, por três motivos: Primeiramente, é difícil 
preparar e testar amostras com as geometrias exigidas para a realização do teste; 
em segundo lugar, é complicado prender na maquina de tração os materiais frágeis 
sem fraturá-los e finalmente, as cerâmicas falham após uma deformação de 
aproximadamente 0,1% exigindo assim um alinhamento perfeito do corpo de prova 
no maquinário para não existir fontes de tensão flexiva na amostra. Portanto, o mais 
adequado teste de flexão transversal é mais freqüentemente empregado, no qual 
uma amostra em forma de haste tendo uma seção circular ou retangular é dobrada 
até à fratura usando uma técnica de carregamento de 3 ou 4 pontos ; o esquema de 
carregamento de 3 pontos está ilustrado na Figura 3.1. [1] 
 
Figura 1: Um esquema de carregamento de 3 pontos para medição do comportamento tensão 
deformação e módulo de ruptura de cerâmicas frágeis. [1]. 
 
No ponto de aplicação de carga, a superfície superior do corpo de prova é 
colocado em um estado de compressão, enquanto a superfície inferior esta sob 
tração. A tensão de tração máxima atua na superfície inferior do corpo de prova, 
diretamente abaixo do ponto de aplicação de carga. Uma vez que os limites de 
resistência a tração dos materiais cerâmicos vale aproximadamente um décimo de 
suas resistências à compressão e considerando que a fratura ocorre na face do 
corpo de prova sob tração, observa-se que o ensaio de flexão é um substituto 
razoável para o ensaio de tração. 
4 
 
 
A tensão de ruptura da amostra, que é a medida de resistência à flexão, pode 
ser calculada de acordo com a seguinte fórmula, para um corpo de prova retangular: 
 
 
 
 
Equação 1: Tensão de ruptura. 
 
Onde: r é a tensão de ruptura, Ff é a carga no momento da fratura; L é a 
distância entre os apoios; b, a largura do corpo de prova; e d, a espessura. 
A resistência à fratura (resistência à flexão) depende da probabilidade de 
existência de uma falha capaz de iniciar a propagação de uma trinca. Esta 
probabilidade varia de amostra para amostra, mesmo sendo do mesmo material, e 
depende das técnicas de fabricação e posteriores tratamentos. O tamanho (volume) 
do corpo de prova também pode influenciar na sua resistência: quanto mais 
volumoso, maior a probabilidade de existência de falhas. 
Devido a esta dispersividade de resultados para um mesmo material, foram 
desenvolvidas ferramentas estatísticas para determinar a probabilidade de falha do 
material e a confiabilidade dos dados obtidos a partir do ensaio de um determinado 
lote de amostras [2]. 
 
1.2 ESTATÍSTICA DE WEIBULL 
 
A estatística de Weibull descreve a probabilidade acumulada de fratura de 
uma amostra cerâmica quando sujeitas a tensões de tração. De modo simplificado a 
estatística de Weibull pode ser utilizada para relacionar a probabilidade acumulada 
de fratura P e a tensão de tração aplicada a um material cerâmico em sua forma 
usual de dois parâmetros como na equação. 
 
 [ ∫ (
 
 
)
 
 
 
 
] 
Equação 2: Integral da probabilidade acumulada. 
 
Essa equação deve ser utilizada para uma peça de volume V, submetida a 
um estado de tensão qualquer maior que zero, onde m (módulo de Weibull) e σ0 
(constante escalar) são parâmetros característicos do material. 
5 
 
 
Para qualquer distribuição de tensões, a solução da integral resulta na 
equação [2]: 
 [ (
 
 
)
 
 (
 
 
)] 
Equação 3: Resultado da probabilidade acumulada 
 
Onde V0 é o volume efetivo, o qual pode ser entendido como o volume fictício 
de uma amostra que, se submetida à tração uniforme σmax em todo o volume, teria a 
mesma probabilidade de fratura que uma amostra de volume real V quando 
submetida a uma outra distribuição de tensões com a mesma σmax. 
Após um ensaio de um lote de n amostras, a estimativa dos parâmetros de 
Weibull de um determinado material só pode ser feito através de uma regressão 
entre a probabilidade acumulada de fratura P e os valores experimentais das 
tensões de fratura σ. O que pode ser feito dispondo o conjunto de dados 
experimentais de modo crescente e, de acordo com a posição “i” nesse arranjo, 
segundo a equação [2]: 
 
 
 
 
 
Equação 4: Posição do elemento na distribuição. 
 
 
Para proceder à regressão entre os valores de P e σ, utiliza-se o método dos 
mínimos quadrados lineares. Para isso, precisa-se linearizar a equação, 
reescrevendo-a como a equação [2]: 
 
 [ (
 
 
)] 
 
Equação 5: Linearização da distribuição de probabilidade. 
 
2 OBJETIVOS 
 
Determinar o coeficiente angular da curva da estatística de Weibull. 
 
6 
 
 
3 MATERIAIS E MÉTODOS 
 
3.1 MATERIAIS 
 
 Amostras retangulares de argila SV; 
 Paquímetro; 
 Máquina Universal AGI Shimadzu 10KN; 
 
3.2 PROCEDIMENTO 
 
As amostras tiveram largura e espessura aferidos, e esses dados foram 
inseridos na máquina universal de ensaios para realizar-se a flexão. Após o ensaio 
das 30 amostras, eliminou-se dois resultados de corpos de prova que haviam 
trincado. 
Os dados fornecidos pelo aparelho foram dispostos em ordem crescente de 
módulo de ruptura, e as amostras numeradas de 1 a 28. 
Calculou-se o valor de P para cada amostra utilizando a Equação 4, sendo 
plotado um gráfico relacionando os parâmetros conforme a mesma equação. A 
equação da linha de tendência deste gráfico nos fornece o parâmetro m. 
 
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
O coeficiente da reta tangente dado pela distribuição de Weibull informa se 
determinadolote de amostras cerâmicas é confiável quanto a uma propriedade, no 
caso, a resistência mecânica. 
A mesma análise pode ser feita para outros materiais, e sabe-se que metais 
praticamente isentos de fraturas possuem o módulo de Weibull em torno de 20, e a 
maioria das cerâmicas apresenta valores entre 5 e 10. Módulos abaixo de 5 são 
considerados impróprios para a maioria das aplicações cerâmicas [2]. 
Abaixo, pode-se observar o gráfico construído para as amostras de argila SV 
utilizadas, juntamente com a linha de tendência e sua equação. 
 
7 
 
 
 
Gráfico 1: Distribuição de Weibull da argila SV. 
 
Da equação apresentada na reta, o valor de m obtido na análise é pouco 
maior que 4, indicando que o lote de amostras analisado apresenta uma qualidade 
inferior, apesar de estar muito próximo do valor mínimo tolerado. 
A maior parte dos defeitos é decorrente do manuseio das amostras após a 
prensagem e após a queima, pois houve muito cuidado durante a preparação do pó 
e na prensagem dos corpos de prova. Um cuidado maior no manuseio pode 
acarretar um desempenho superior. 
 
5 CONCLUSÃO 
 
 
y = 4,3088x - 7,8444 
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3
ln
[l
n
(1
/1
-P
)]
 
ln(σ) 
8 
 
 
REFERÊNCIAS 
[1] CALLISTER, W. D. Materials science and engineering: an introduction. 5th 
edition, USA, p. 406-410, 1999. 
 
[2] MIGLIORI, Ângelo; ZANOTTO, Edgar. Sobre a determinação dos parâmetros 
de Weibull. Cerâmica, São Carlos, v. 38, n. 253, p. 7-8, jan/fev. 1992.