Lista 2 - Prof. Thaísa Tamusiunas

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Universidade do Vale do Rio dos Sinos
Prof.
a
Thaísa Tamusiunas
Lista 2 - Álgebra Linear
1. Em cada item abaixo, suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida
por operações sobre linhas de modo a obtermos a situação colocada. Resolva o sistema.
(a)
 1 0 0 −30 1 0 0
0 0 1 7
 (b)
 1 0 0 −7 80 1 0 3 2
0 0 1 1 −5
 (c)
 1 −6 0 0 3 −20 0 1 0 5 8
0 0 0 0 0 0
 (d)
 1 −3 0 00 0 1 0
0 0 0 1

2. Resolva os sistemas abaixo.
(a)

x + y + 2z = 8
−x − 2y + 3z = 1
3x − 7y + 4z = 10
(b)

2x + 2y + 2z = 0
−2x + 5y + 2z = 1
8x + y + 4z = −1
(c)

− 2y + 3z = 1
3x + 6y − 3z = −2
6x + 6y + 3z = 5
(d)

2x − 3y = 8
2x + y = 1
3x + 2y = 1
(e)

x − y + 2z − w = −1
2x + y − 2z − 2w = −2
−x + 2y − 4z + w = 1
3x − 3w = −3
(f)

3x + 2y − z = −15
5x + 3y + 2z = 0
3x + y + 3z = 11
−6x − 4y + 2z = 30
(g)

2x − y + 3z + 4w = 9
x − 2z + 7w = 11
3x − 3y + z + 5w = 8
2x + y + 4z + 4w = 10
(h)

x + y − z = 2
x − 3y + 3z = 0
2x + y + z = 6
(i)

x + y − z = 0
2x + 2y − z = 2
−x − y + z = 0
(j)

x − y − z = −2
−x + y + 2z = 0
2x − 2y + z = 1
(k)

x + y − 2z + w = 3
2x + 2y + z − 3w = 1
x − 2y + z + w = 3
x − y − z + 2w = 4
3. Calcule o determinante das matrizes abaixo usando Eliminação Gaussiana.
A =
 3 6 −90 0 −2
−2 1 5
 , B =
 1 −3 0−2 4 1
5 −2 2
 , C =

1 −2 3 1
5 −9 6 3
−1 2 −6 −2
2 8 6 1
 e D =

0 1 1 1
1
2
1
2 1
1
2
2
3
1
3
1
3 0
−13 23 0 0

4. Determine se as seguintes matrizes são ortogonais, justi�cando sua resposta.
A =
1√
5
[
1 2
2 −1
]
e B =
 0 −1 00 0 1
−1 0 0

5. Em cada situação dada, use a informação dada para encontrar A.
(a) (7A)−1 =
[ −3 7
1 −2
]
(b) (5AT )−1 =
[ −3 −1
5 2
]
(c) (I + 2A)−1 =
[ −1 2
4 5
]
6. Determine quais das matrizes abaixo são invertíveis. Para as que forem invertíveis, obtenha a inversa.
A =
[
3 1
5 2
]
, B =
[
2 3
4 6
]
, C =
[
2 0
0 3
]
, D =
[
cos θ −sen θ
sen θ cos θ
]
, E =
[
1
2(e
x + e−x) 12(e
x − e−x)
1
2(e
x − e−x) 12(ex + e−x)
]
F =
 3 4 −11 0 3
2 5 −4
 , G =
 −1 3 −42 4 1
−4 2 −9
 , H =
 1 0 10 1 1
1 1 0
 , I =

1 0 0 0
1 3 0 0
1 3 5 0
1 3 5 7
 , J =

2 0 0 0
1 2 0 0
0 1 2 0
0 0 1 2

K =

0 0 2 0
1 0 0 1
0 −1 3 0
2 1 5 −3
 e L =

1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 4 0
0 0 0 8

Respostas:
1. (a) Sistema com única solução dada por x1 = −3, x2 = 0 e x3 = 7.
(b) Sistema indeterminado, com solução da forma x1 = 8 + 7x4, x2 = 2 − 3x4, x3 = −5 − x4, x4 é variável
livre.
(c) Sistema indeterminado, com solução da forma x1 = −2 + 6x2 − 3x5, x3 = 7− 4x5, x4 = 8− x5, x2 e x5
são variáveis livres.
(d) Sistema impossível.
2. (a) x = 3, y = 1 e z = 2.
(b) x =
3y
4
− 1
4
, z = −7y
4
+
1
4
, y é variável livre.
(c) Sistema impossível.
(d) Sistema impossível.
(e) x = −1 + w, y = 2z, z e w são variáveis livres.
(f) Sistema impossível.
(g) x = −1, y = 0, z = 1 e w = 2.
(h) x =
3
2
, y =
7
4
e z =
5
4
.
(i) x = −y + 2, z = 2, y é variável livre.
(j) Sistema impossível.
(k) x = 2, y = −1 + w, z = −1 + w, w é variável livre.
3. detA = 30, detB = −17, detC = 39 e detD = −1
6
4. Ambas as matrizes são ortogonais, pois as suas inversas são iguais às suas transpostas.
5.
(a) A =
1
7
[
2 7
1 3
]
(b) A =
1
5
[ −2 5
−1 3
]
(c) A =
1
13
[ −9 1
2 −6
]
6.
A−1 =
[
2 −1
−5 3
]
, B não é invertível, C−1 =
[
1
2 0
0 13
]
, D−1 =
[
cos θ sen θ
−sen θ cos θ
]
,
E−1 =
[
1
2(e
x + e−x) −12(ex − e−x)
−12(ex − e−x) 12(ex + e−x)
]
, F−1 =
 32 −1110 −65−1 1 1
−12 710 25
 , G não é invertível,
H−1 =
1
2
 1 −1 1−1 1 1
1 1 −1
 , I−1 =

1 0 0 0
−13 13 0 0
0 −15 15 0
0 0 −17 17
 , J−1 =

1
2 0 0 0
−14 12 0 0
1
8 −14 12 0
− 116 18 −14 12
 ,
K−1 =

−45 35 15 15
3
2 0 −1 0
1
2 0 0 0
4
5
2
5 −15 −15
 e L−1 =

1 0 0 0
0 12 0 0
0 0 14 0
0 0 0 18
