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Engenharia Civil Hiperestática Lista 1 Método da Carga Unitária www.profwillian.com 7 Anhanguera-Uniderp 6) Calcule o deslocamento vertical no meio do vão AB da viga biapoiada vista na figura abaixo. Considere a viga trabalhando fundamentalmente à flexão com inércia EI = 8000 kN.m2. B A 8,9 kN 4,3m 1,1m C 1,2m D 9,8 kN Solução: B A 8,9 kN 4,3m 1,1m C 1,2m D 9,8 kN VA VB B A 4,3m 1,1m C 1,2m D VA VB 1 Reações de apoio para o carregamento original 0Mz , ou seja, tomando um eixo z que passa pelo ponto B temos: kN87674,8V01,18,95,59,83,4V AA 0Fy , temos: kN82326,9V08,99,8VV BBA Tomando a origem de x em A, a equação de esforços no trecho AB é: m3,4x0)2,1x(9,8x87674,8)x(M)2,1x(9,8xV)x(M ABAAB Procedendo de maneira análoga para a carga unitária, temos as seguintes equações de esforços: m3,4x15,2)15,2x(1x5,0)x(M m15,2x0x5,0)x(M AB AB Assim o deslocamento no meio do vão é: m00310,0 8000 524,7997 EI 524,7997 524,7997dx15,2x5,0)2,1x(9,8x87674,8dxx5,0)2,1x(9,8x87674,8EI C 3,4 15,2 15,2 0 C Resposta: Deslocamento vertical no meio do vão é =3,10 mm (para cima) Engenharia Civil Hiperestática Lista 1 Método da Carga Unitária www.profwillian.com 8 Anhanguera-Uniderp 7) Calcule o deslocamento vertical do ponto C da viga biapoiada com balanço vista na figura abaixo. Considere a viga trabalhando fundamentalmente à flexão. Adote uma rigidez da seção transversal constante para todo o comprimento da viga E.I = 609,44 kN.m2. B A 4,5 m 1,5 kN/m 2,0 m C Solução: B A 1,5 kN/m 4,5 m 2 m C VA VB HA B A 4,5 m 2 m C VA VB HA 1 Reações de apoio para o carregamento original 0Mz , ou seja, tomando um eixo z que passa pelo ponto B temos: kN70833,2V025,1)5,65,1(5,4V AA 0Fy , temos: kN04167,7V0)5,65,1(VV BBA Tomando a origem de x em A, as equações de esforços nos trechos AB e BC serão: 2 BCBABC 2 ABAAB x75,0x75,96875,31)x(M)5,4x(V 2 xx5,1xV)x(M x75,0x70833,2)x(M 2 xx5,1xV)x(M Procedendo de maneira análoga para a carga unitária, temos as seguintes equações de esforços: 5,6x)x(M)5,4x(VxV)x(M x444,0)x(MxV)x(M BCBABC ABAAB Assim o deslocamento em C: m001,0 44,609 6094,0 EI 6094,0 6094,0dx5,6xx75,0x75,96875,31dxx444,0x75,0x70833,2EI C 5,6 5,4 2 5,4 0 2 C Resposta: Deslocamento vertical do nó C é =1,00 mm (para baixo) Engenharia Civil Hiperestática Lista 1 Método da Carga Unitária www.profwillian.com 9 Anhanguera-Uniderp 8) Calcule o deslocamento vertical da extremidade C da viga biapoiada vista na figura abaixo. Considere a viga trabalhando fundamentalmente à flexão com inércia EI = 1000 kN.m2. B A 10 kN 4 m C 1 m Solução: B A 10 kN 4 m C 1 m VA=12,5 kN VB B A 4 m C 1 m VA=1,25 VB 1 Reações de apoio para o carregamento original 0Mz , ou seja, tomando um eixo z que passa pelo ponto B temos: kN5,12V00,5100,4V AA 0Fy , temos: kN5,2V010VV BBA Tomando a origem de x em C, a equação de esforços nos trechos CA e AB são: m0,5x0,1x5,25,12)x(M)1x(Vx10)x(M m0,1x0,0x10)x(M ABAAB AC Procedendo de maneira análoga para a carga unitária, temos as seguintes equações de esforços: m0,5x0,1x25,025,1)x(M m0,1x0,0x)x(M AB AC Assim o deslocamento no meio do vão é: m0167,0 1000 3/50 EI 3/110 3/50dxx25,025,1x5,25,12dxxx10EI m 0,5 0,1 0,1 0,0 m Resposta: Deslocamento vertical da extremidade C da viga é C = 1,67 cm (para baixo) Engenharia Civil Hiperestática Lista 1 Método da Carga Unitária www.profwillian.com 10 Anhanguera-Uniderp 9) Calcule o deslocamento vertical da extremidade (nó C) da viga biapoiada vista na figura abaixo. Considere a viga trabalhando fundamentalmente à flexão com inércia EI = 11250 kN.m2. B A 6 kN/m 4m 1m C Solução: B A 6 kN/m 4m 1m C VA VB HA B A 4m 1m C VA VB HA 1 Reações de apoio para o carregamento original 0Mz , ou seja, tomando um eixo z que passa pelo ponto B temos: kN25,11V05,1)56(4V AA 0Fy , temos: kN75,18V0)56(VV BBA Tomando a origem de x em A, as equações de esforços nos trechos AB e BC serão: 2 BCBABC 2 ABAAB x3x3075)x(M)4x(V 2 xx6xV)x(M x3x25,11)x(M 2 xx6xV)x(M Procedendo de maneira análoga para a carga unitária, temos as seguintes equações de esforços: 5x)x(M)4x(VxV)x(M x 4 1)x(MxV)x(M BCBABC ABAAB Assim o deslocamento em C: m001,0 11250 25,11 EI 25,11 25,1175,012dx5xx3x3075dxx 4 1x3x25,11EI C 5 4 2 4 0 2 C Resposta: Deslocamento vertical do nó C é =1,00 mm (para cima) Engenharia Civil Hiperestática Lista 1 Método da Carga Unitária www.profwillian.com 11 Anhanguera-Uniderp 10) Calcule o deslocamento vertical do nó B do quadro isostático visto na figura abaixo. Considere o quadro trabalhando fundamentalmente à flexão com inércia constante nas duas barras EI = 135500 kN.m2. B A C 6 m 8 kN 4 m 1 kN Solução: B A C 6 m 8 kN 4 m 1 kN B A C 6 m 1 4 m Equações de momentos para o carregamento original Barra BC origem do eixo x em B m6x0x8)x(MBC Barra AC origem do eixo x em C m4x0x148)x(MBD Equações de momentos para a carga unitária Barra BC origem do eixo x em B m6x0x)x(MBD Barra AC origem do eixo x em C m4x06)x(MBD m0124,0 135500 1680 EI 1680 1355dx6x48dxxx8MMEI VB 4 0 6 0 VB Resposta: Deslocamento vertical do nó B é VB=1,24 cm (para baixo) Engenharia Civil Hiperestática Lista 1 Método da Carga Unitária www.profwillian.com 12 Anhanguera-Uniderp 11) Calcule os deslocamentos horizontal e vertical do nó B do quadro isostático representado pela figura abaixo. Considere o quadro trabalhando basicamente à flexão com inércia EI = 80000 kN.m2. B A C D 12 kN/m 5 m 2 m 20 kN 2 m Solução: B A C D 12 kN/m 5 m 2 m 20 kN 2 m B A C D 5 m 2 m 2 m 1 Equações de momentos para o carregamento original Barra BD origem do eixo x em B m2x0x20)x(MBD Barra CD origem do eixo x em D m5x040x6)x(M 2BD Barra AC origem do eixo x em C m4x0x20190)x(MBD Equações de momentos para a carga unitária Barra BD origem do eixo x em B m2x0x)x(MBD Barra CD origem do eixo x em D m5x02)x(MBD Barra AC origem do eixo x em C m4x02x)x(MBD m01325,0 80000 1060 EI 1060 1060dx2xx20190dx240x6dxxx20MMEI HB 4 0 5 0 2 2 0 HB Deslocamento horizontal do nó B = 0,01325 m. Resposta: Deslocamento horizontal do nó B é =13,3 mm (para esquerda) Engenharia Civil Hiperestática Lista 1 Método da Carga Unitária www.profwillian.com 13 Anhanguera-Uniderp 12) Calcule o deslocamento horizontal do apoio B do pórtico hiperestático representado pela figura abaixo. Considere as barras 1 e 3 de inércia EI=20000 kN.m2 e a barra 2 de inércia 4EI, todas trabalhando fundamentalmente à flexão. 1 2 B A C D 5 m 3 8 kN Solução: B A C D 8 kN 1,6 kN 1,6 kN 8 kN B A C D 1 0,20,2 1 Equações de momentos para o carregamento original Barra BD origem do eixo x em B m3x0x8)x(MBD Barra CD origem do eixo x em D m5x0x6,124)x(MCD Barra AC origem do eixo x em A m4x0x8)x(MAC Equações de momentos para a carga unitária Barra BD origem do eixo x em B m3x0x)x(MBD Barra CD origem do eixo x em D m5x0x2,03)x(MCD Barra AC origem do eixo x em A m4x0x)x(MAC m0183,0 20000 366 EI 366dx EI )x(8dx EI4 x2,038dx EI )x(8 dx EI xx8dx EI4 x2,036,124dx EI xx8 EI MM HB 4 0 25 0 23 0 2 HB 4 0 5 0 3 0 HB Resposta: Deslocamento horizontal do nó B é =18,3 mm (para esquerda)
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