Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo

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Trigonometria 
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Marcio Eugen 
Revisão Textual:
Prof. Ms. Claudio Brites 
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• Introdução
• Exemplificando o Teorema de Pitágoras
Realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça todos os exemplos e anote suas 
dúvidas. Assista as apresentações narradas de alguns exercícios.
Fique atento às atividades avaliativas e aos prazos de entrega.
Iniciaremos esta unidade pela classificação dos ângulos, depois 
passaremos a conhecer os elementos de um triangulo retângulo, 
onde identificaremos os catetos e a hipotenusa em relação ao 
angulo estudado.
Nesta unidade, também estudaremos a definição de seno, 
cosseno e tangente no triangulo retângulo. Conheceremos os 
valores dos ângulos denominados notáveis, calculando o seno, 
cosseno e a tangente dos ângulos de 30º, 45º e 90º.
Ao término dessa unidade, desejamos que você seja capaz de 
resolver atividades que envolvam as razões trigonométricas no 
triângulo retângulo.
Razões Trigonométricas no Triângulo 
Retângulo
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Unidade: Razões Trigonométricas no Triângulo Retangulo
Contextualização
Veja algumas situações-problema em que usamos as razões trigonométricas no triangulo retângulo
1. Ao encostar uma escada de 10 metros em uma parede, formamos um ângulo de 45º em 
relação ao solo e ao pé da escada. Qual a altura do topo da escada ao solo nessa parede?
a) Fazendo um esboço da situação apresentada, quais são os catetos e a hipotenusa nesse caso?
b) A inclinação da escada interfere de que maneira nesse problema?
c) Quais os valores do seno, cosseno e tangente do ângulo formado pela escada?
d) Que relações matemáticas estão envolvidas na resolução desse exercício?
2. Na pista de um aeroporto, um avião bimotor percorre uma trajetória retilínea, quando 
levanta voo forma com o solo certo ângulo. Depois de percorrer 1 000 metros, a altura 
atingida pelo avião foi de 500 metros. Qual o ângulo formado no momento da decolagem?
a) É possível determinar o ângulo no momento da decolagem?
b) Qual a influência do ângulo no momento de levantar o voo?
c) Esboce a situação e determine as relações envolvidas, calculando o ângulo e identificando quais 
relações matemáticas estão envolvidas. 
3. Ao empinar uma pipa, um garoto a enrosca no alto de um poste com 7 metros de altura. 
Com a lata de linha esticada, no chão pode-se observar que a mesma esta a 4 metros do 
poste em relação ao solo. Qual o ângulo formado entre o solo e a linha esticada?
a) Qual seria a relação utilizada para resolver essa?
b) Qual o ângulo formado? 
c) Qual seria o comprimento da linha da lata até o alto do poste?
4. Sabendo que o sol forma um angulo de 45º, podemos determinar a sombra produzida por 
uma árvore de 12 metros de altura?
 
a) Qual a relação entre o ângulo formado e a sombra produzida?
b) Quanto maior o ângulo formado, maior a sombra?
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Introdução
O termo trigonometria vem do grego e significa “medida do triângulo”. É a área da Matemática 
que estuda a relação dos lados de um triângulo e esta relação com os ângulos envolvidos.
Para compreender essas relações, tomaremos como ponto inicial o entendimento do Teorema 
de Pitágoras.
O Teorema de Pitágoras consiste em determinar um dos três lados de um triângulo retângulo 
tendo como base os valores dos outros dois lados.
Por definição, o Teorema de Pitágoras é dado pela hipotenusa elevada ao quadrado, que é 
igual à soma dos quadrados dos catetos. Algebricamente, temos:
h2= c2 + c2
Exemplificando o Teorema de Pitágoras
Vamos considerar um triângulo retângulo cujas medidas são respectivamente 3 unidades, 4 
unidades e 5 unidades.
 
Logo, sabemos que os catetos medem 3 e 4 unidades respectivamente e a hipotenusa 5 unidades. 
Aplicando o teorema de Pitágoras:
h2 = c2 + c2
52 = 32 + 42
25 = 9 + 16
25= 25
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Unidade: Razões Trigonométricas no Triângulo Retangulo
Podemos verificar que a hipotenusa ao quadrado se comprova como sendo a soma dos 
quadrados dos catetos.
Vamos ver outros exemplos.
1) Dado um quadrado de lado com medida “l” e diagonal com medida “d”, qual é o valor 
da medida “d” em função da medida “l”?
Podemos observar que a metade do quadrado se trata de um triângulo retângulo, onde 
temos os catetos com medida de lado l e a hipotenusa com medida d.
Aplicando o Teorema de Pitágoras, teremos:
h2 = c2 + c2
d2 = l 2+ l
d2 = l 2+ l 2
d2 = 2 l 2
d = l 2
2) Com um pedaço de barbante de 24cm certa pessoa desenhou um triângulo retângulo. 
Sabendo que a hipotenusa desse triângulo mede 10 cm, e um dos catetos mede 6 cm, qual 
é o valor do outro cateto?
h2 = c2 + c2
102 = 62 + c2
100 = 36 + c2
100 - 36 = + c2
64 = + c2
c2 = 64
c = 64
c= 8cm
Depois de ter compreendido o Teorema de Pitágoras, vamos iniciar nossos estudos sobre as 
relações métricas no triângulo retângulo.
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Elementos do Triângulo Retângulo:
Tomando por base o triângulo na figura a seguir, podemos identificar em A o ângulo reto, 
assim dizemos que o triângulo ABC é retângulo em A.
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180º, podemos afirmar que 
B + C = 90º, logo em B e C temos ângulos agudos (maiores que 0o e menores que 90º).
A hipotenusa do triângulo é o lado oposto ao ângulo reto.
Os catetos são respectivamente b e c.
Os termos cateto e hipotenusa são usados somente em triângulos retângulos.
Seno, Cosseno e Tangente no Triângulo Retângulo:
Tomando como base a figura apresentada a seguir, definiremos as relações de seno, cosseno 
e tangente respectivamente.
Sen α = Cateto oposto ao ângulo α
 Hipotenusa
Cos α = Cateto adjacente ao ângulo α
 Hipotenusa
tg α = Cateto oposto ao ângulo α
 Cateto adjacente ao ângulo α
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Unidade: Razões Trigonométricas no Triângulo Retangulo
Com base nas definições de seno, cosseno e tangente, vamos explorar o caso do sen 45º, cos 
45º e tg 45º no quadrilátero a seguir:
 
Nesse quadrado de lado “l ” podemos afirmar que a diagonal “d” divide os ângulos de 90º 
em dois ângulos de 45º, logo teremos dois triângulos com os respectivos ângulos 45º, 45º e 
90º. Tomando por base esse triângulo, podemos determinar as relações trigonométricas para o 
ângulo de 45º.
Sen 45º = cateto oposto a 45º
 Hipotenusa
Sen 45º = l / d
Como sabemos que a diagonal “d” que foi resolvida anteriormente vale l √2, podemos calcular:
Sen 45º = l / l 2 
Simplificando, temos:
Sen45º = 1/ 2 
Lembrando que no denominador não se deve deixar radicais, multiplicamos numerador e 
denominador por 2, obtendo:
Sen 45º = 22 / 2 
Com o cálculo do cosseno, a situação será a mesma, pois ambos os catetos, oposto e 
adjacente, têm a mesma medida, l, assim, o Cos 45º será dado por:
Cosn 45º = cateto Adjacente a 45º
 Hipotenusa
Sen 45º = l / d
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Como sabemos que a diagonal “d”, que foi resolvida anteriormente, vale l 2 , podemos calcular:
Cos 45º = l / 
Simplificando, temos: 
Cos 45º = 1/ 2 
Lembrando que no denominador não devemos deixar radicais, multiplicamos numerador e 
denominador por 2 , obtendo:
Cos 45º = 2 / 2 
Para o caso da Tangente de 45º, temos:
tg 45º = Cateto oposto ao ângulo α
 Cateto adjacente ao ângulo α
Como os catetos tem a mesma medida l, temos:
tg 45º = l / l 
tg 45º = 1
 Sen 45º = 2 / 2 Cos 45º = 2 / 2 Tg 45º = 1 
Ângulos de 30o e 60o
Observando o triângulo equilátero de lado l, é possível fazer algumas observações:
 
 triângulo com ângulos de 30º,60º e 90º tem uma hipotenusa AC que mede l. Um dos catetos 
CH com medida l/2 e o outro cateto AH com medidada altura h do triângulo.
 
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Unidade: Razões Trigonométricas no Triângulo Retangulo
Para se determinar a altura h, podemos recorrer ao teorema de Pitágoras mais uma vez, já 
que sabemos os valores de um dos catetos e da hipotenusa:
h2 = c2 + c
Substituindo os valores, temos:
l 2 =( l/2)2 + h 2
Isolando h, temos:
h 2= l 2 - ( l /2) 2
h 2= l 2 - l 2/4
h 2= 3 l 2 /4
h = l 32
Conhecendo os lados desse triângulo, podemos determinar as relações para os ângulos 
de 30º e 60º.
Para o ângulo A = 30º, temos:
Sen 30º = Cateto oposto
 Hipotenusa
Sen 30º = l /2 = 1/2
 1
Sen 30º = Cateto adjacente
 Hipotenusa
Cos 30º = h/ l
Cos 30º = (l ) / l32
Cos 30º = 32
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Tg de 30º = Cateto oposto
 cateto adjacente
tg 30º = l 3h
tg 30º = l /2
l 3
2
tg 30º = 1/ 3
tg 30º = 3 / 3 
 Sen 30º = 1/2 tg 30º = √3/ 3Cos 30º = 32
Já para o ângulo C = 60º, teremos:
Sen 60º = Cateto oposto
 Hipotenusa
Sen 60º = h / l
Sen 60º = l / l3
2
Sen 60º = 3
2
Sen 60º = Cateto adjacente
 Hipotenusa
Cos 60º = l 2
l
Cos 60º =1/2
tg 60º = Cateto oposto
 Cateto adjacente
tg 60º = h
2 / l
tg 60º = (l ) / (l / 2)3
2
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Unidade: Razões Trigonométricas no Triângulo Retangulo
tg 60º = 3
Sen 60º = 32 Cos 60º =1/2 Tg 60º = 3
 
De posse desses ângulos, podemos construir uma tabela com os valores das razões encontradas:
 
Exemplo:
Conhecendo os valores de seno, cosseno e tangente do ângulo de 60º, que foram 
trabalhados nesta unidade, determine os valores de x e y com base nos dados apresentados 
na figura a seguir:
 
• Primeiro passo é identificar os catetos e a hipotenusa;
• Como o ângulo em questão é o de 60º, o cateto oposto será 12√3;
• O cateto adjacente ao ângulo de 60º será y;
• A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto A, logo será x.
Hipotenusa= x
Cateto oposto = 12√3
Cateto adjacente= y
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Com base na tabela construída anteriormente, sabemos que:
Sen 60º = 32 Cos 60º =1/2 Tg 60º = 3
Primeiramente, vamos calcular o valor de x (hipotenusa):
Sen 60º = Cateto oposto
 Hipotenusa
Substituindo o valor do cateto oposto por 12√3, temos:
Sen 60º = 12 3X
Agora vamos substituir o sen 60o pelo valor correspondente na tabela discutida anteriormente:
3 = 12 3 
2 x
Multiplicando, temos:
x . 3 = 2. 12. 3 
x . 3 = 24. 3 
x = 24 . 3 
3
x = 24
Para o cálculo do cateto adjacente y, temos:
Sen 60º = Cateto adjacente
 Hipotenusa
Cos 60º = y / x
Como o x foi calculado anteriormente, podemos substituí-lo:
Cos 60º = y / 24
Sabendo que cos 60º é dado na tabela construída, temos:
0,5 = y / 24
Passando o 24 multiplicando, teremos:
0,5 . 24 = y
y = 12
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Unidade: Razões Trigonométricas no Triângulo Retangulo
Material Complementar
Para aprofundar seus estudos sobre relações trigonométricas no triângulo retângulo, consulte 
as indicações a seguir:
1) A dissertação de mestrado intitulada Descobrindo as razões trigonométricas no triangulo 
retângulo, de Henrique Oliveira. Esse texto tem o objetivo de investigar as razões 
trigonométricas no triângulo retângulo com uma abordagem baseada no uso de materiais 
em sala de aula e com o uso do software livre de geometria dinâmica chamado Geogebra. 
 http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/317/2011_00180_
HENRIQUE_OLIVEIRA.pdf?sequence=1
2) http://www.infoescola.com/trigonometria/triangulo-retangulo/
3) http://www.brasilescola.com/matematica/trigonometria-no-triangulo-retangulo.htm
4) http://www.matematicamuitofacil.com/trianguloret.html
5) A parte 4 do livro Matemática do Ensino Médio (volume I), de Antonio dos Santos Machado 
(São Paulo: Atual, 1996).
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Referências
GIOVANNI, José Ruy. Matemática Completa. 2. ed. São Paulo: FTD, 2005
IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicações para o Ensino médio. 6. ed. 
São Paulo: Saraiva, 2010.
MACHADO, Antonio dos Santos. Matemática na escola: Ensino Médio. v. 1. 2. ed. 
São Paulo: Atual, 1996.
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. V. 1. São Paulo: Ática, 2011.
PAIVA, M. Matemática: volume único. São Paulo: Moderna, 1999.
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Anotações
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