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Matemática financeira   6ed. Mathias

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comercial e racional é de 1,06. Qual será o prazo de anteci-
pação se a taxa de juros for de 24% a.a.? 
34. O desconto comercial supera o desconto racional em $ 36,00 e o prazo de antecipação é 
de 90 dias. Qual é o desconto comercial, uma vez que o valor nominal do compromisso 
é $ 10.600,00? 
35. O quociente entre o desconto comercial e o valor nominal é de O, 135, ao passo que o quo-
ciente entre os descontos comercial e racional é de 1, 135. Qual será a taxa considerada, se 
a antecipação for de 6 meses? 
36. A diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial é de$ 416,51, sendo o pra-
zo de antecipação 8 meses e a taxa de juros 28,2% a.a. Qual é o valor nominal do título? 
37. O desconto bancário supera o desconto racional em $ 733,23, considerando-se a taxa de 
juros de 30,6% a.a. e antecipação de 4 meses. Qual será a taxa administrativa no desconto 
bancário se a diferença entre os descontos comercial e racional for de $ 283,23? 
Respostas 
1. a) $ 543,74 3. $ 13.043,48 
b) $ 559, 13 4. a) $ 218,38 
c) $ 1.582,65 b) $ 2.481,62 
d) $ 220,79 
5. 25,5% a.a. 
2. a) $ 19.567,88 
b) $ 11 .650,49 6. 300 dias 
c) $ 5.350,00 7. 70 dias 
d) $ 4.414,10 8. $ 2.100,00 
78 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
9. a) $ 3.211,80 
b) $ 1.575,00 
e) $ 3.733,33 
d) $ 2.178,00 
1 o. a) $ 9.288.20 
b) $ 16.425,00 
e) $ 16.266,67 
d ) $ 19.822,00 
11. $ 15.000,00 
12. $ 20.000,00 
13. 25% a.a. 
14. 80 dias 
15. $ 1.400,00 
16. $ 16.650,00 
17. $ 11.395,84 
18. 55 dias 
19.$ 619,79 
20. $ 15.453,00 
21. $12.000,00 
22. 32% a.a. 
23. 6% 
24. 5 meses 
25. 25% a.a.; 26,67% a.a. 
26. $ 470,00; 24,97% a.a. 
27. 44,44% a.a. 
28. a) 34.95% a.a. 
b) 33,03% a.a. 
d) 30,51% a.a. 
29. $ 320,00; 35,82% a.a. 
30 . $ 6.270,00; 35,60% a.a. 
31. a) 53,26% a .a. 
b) 38,36% a.a. 
e) 36,69% a.a. 
32. $ 9.500, 18 
33. 3 meses 
34. $ 636,00 
35. 27% a.a. 
36. $ 14.000,00 
37. 1,5% 
Parte li 
Juros Compostos 
3 
Juro e Montante 
Já foi analisado o regime de juros simples, caracterizado pelo fato de apenas o capital inicial render juros e este ser diretamente proporcional ao tempo e à taxa. 
No regime de juros compostos, que tem grande importância financeira por retra-
tar melhor a realidade, o juro gerado pela aplicação será incorporado à mesma passan-
do a participar da geração de juros no período seguinte. Dizemos então que os juros 
são capitalizados, e como não só o capital inicial rende juros mas estes são devidos 
também sobre os juros formados anteriormente, temos o nome de juros compostos. 
1 Diferença entre os regimes de capitalização 
A diferença entre um regime e outro pode ser mais facilmente verificada através 
de um exemplo: seja um principal de $ 1.000,00 aplicado à taxa de 20% a.a. por um 
período de 4 anos a juros simples e compostos. 
Temos: C0 = 1 .000,00 
= 20% a.a. 
n = 4 anos 
82 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
Juros simples Juros compostos 
n 
Juro por período Montante Juro por período Montante 
1 1 .000 X 0,2 = 200 1.200 1 .000 X 0,2 = 200 1.200 
2 1.000 X 0,2 = 200 1.400 1 .200 X 0,2 = 240 1.440 
3 1.000 X 0,2 = 200 1.600 1.440 X 0,2 = 288 1.728 
4 1 .000 X 0,2 = 200 1.800 1.728 X 0,2 = 346 2.074 
O gráfico a seguir permite uma comparação visual entre os montantes no regime 
de juros simples e de juros compostos . Verificamos que a formação do montante em 
juros simples é linear e em juros compostos é exponencial: 
Montante .. ··: 
($) 
-~ Juros compostos 
1.000 
2 3 4 Períodos 
2 Montante 
Recalculemos o montante de $ 2.074,00 obtido no exemplo anterior, utilizando 
uma notação literal: 
c1 = c0 (1 + i) = 
c2 = c1 (1 + i) = 
C3 = c2 (1 + i) = 
C4 = C3 (1 + i) = 
1.000 (1,2) = 1.200 
1.200 (1,2) = 1.440 
1.440 (1,2) = 1.728 
1.728 {1,2) == 2.074 
Constata-se que o cálculo do montante pode ser feito facilmente passo a passo, 
desde que se utilize em cada período o montante do período anterior. Tal modo de 
calcular o montante pode ser utilizado eficientemente quando se tem o recurso de 
máquinas de calcular. 
Entretanto, pode-se obter a fórmula do montante substituindo, no exemplo ante-
rior, os resultados já achados: 
c1 = c0 (1 + i) 
c2 = e, (1 + i) 
Substituindo-se o valor de e, na segunda expressão, tem-se: 
c2 = c0 (1 + i) (1 + ;) 
c2 = c0 (1 + ,y 
De modo análogo, temos: 
E, substituindo-se o valor já ca lculado de C
2
, tem-se: 
c3 = c0 (1 + 02 (1 + i) 
C3 = c0 ( 1 + ;p 
Repetindo o processo, obtém-se: 
C4 = C3 (1 + i) 
C4 = c0 (1 + i)3 (1 + i) 
Ou: :. C4 = C0 (1 +i)4 
Juro e Montante 83 
Pode-se generalizar o raciocínio anterior para se obter o montante ao final de n 
períodos à taxai de juros: 
Nesta fórmula, a taxa de juros i refere-se à mesma medida de t empo utilizada 
para os n períodos e, além disto, deve ser expressa na forma unitária porque estamos 
operando algebricamente. O leitor deve observar que a fórmula exprime o montante, 
ao fim de n períodos, como uma função exponencial do capital inicial aplicado. 
Exemplo: Uma pessoa toma $ 1.000,00 emprestado a juros de 2% a.m. pelo 
prazo de 1 O meses com capitalização composta. Qual o montante a ser 
devolvido? 
Resolução: C0 = 1.000 
= 2% a.m. 
n = 10 meses 
Temos: Cn = C0 (1 + t)n 
Portanto: C10 = C0 (1 + i)1º 
c,o = 1.000 (1 + 0,02)10 
84 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
c10 = 1.000 (1.02)1º 
c,o = 1.000 (1,218994) 
:.c10 = $ 1.218,99 
3 Cálculo do juro . 
Sabemos que o montante é igual à soma do principal (C0) aos juros que a aplica-
ção rende, no prazo considerado e à taxa de juros estipulada. 
Calculemos os juros, período a período, do exemplo de juros compostos dado no 
quadro do item 1: 
No primeiro período: 
1, = e, - c0 
J, = 1 .200 - 1 .000 = 200 
O valor dos juros devidos nos dois períodos iniciais é: 
Ji = c2 - eº 
}2 = 1.440 - 1.000 = 440 
É fácil calcular os juros nos quatro períodos iniciais: 
J4 = c4 - eº 
}4 = 2.074 - 1.000 = 1.074 
Para n períodos, podemos inferir que: 
J = C - C n n O 
Mas, sendo 
temos: 
A separação entre juros e principal apresenta aspectos práticos importantes, por 
exemplo, nos abatimentos fiscais que os juros geram para as pessoas física e jurídica. 
Exemplo: Qual o juro pago no caso do empréstimo de $ 1.000,00 à taxa de juros 
compostos de 2% a.m. e pelo prazo de 1 O meses? 
Resolução: C0 = 1.000 
I = 2% a.m. 
n =10 
Como: Jn = C0 [(1 + i)n - 1] 
Temos: ) 10 = 1.000 ((1 + 0,02)1º - 1] 
) 10 = 1.000 [(1,02)10 - 1) 
1, 0 = 1.000(1,21899-1] 
J10 = 1.000 [0,21899] 
:. ) 10 = $ 218,99 
4 Valor atual e valor nominal 
Juro e Montante 85 
O montante de um capital (C0) aplicado na data zero, à taxa de juros compostos 
(i), após n períodos, conforme já vimos, será dado por: 
O valor atual, como já visto em juros simples, corresponde ao valor da aplicação 
em uma data inferior à do vencimento. 
O valor nominal é o valor do título na data do seu vencimento. 
Vejamos estes conceitos aplicados ao regime de juros compostos: seja o montante 
dado (C), queremos saber qual é o valor atual do compromisso na data zero . 
Sejam: V= valor atual na data zero (C
0
) 
N = valor nominal na data n (C) 
Tem-se: N = V (1 + i)n 
Dividindo-se os dois membros por (1 + i)n: 
Logo: 
N ~ 
(1 + ;r J.l*1r 
V = -N-
(1 + ;r 
Deve ficar claro ao leitor que o valor atual pode ser calculado em qualquer data 
focal inferior à do montante, não precisando ser necessariamente a data zero que 
utilizamos na explicação. Constatamos que o cálculo do valor atual é apenas uma ope-
86 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
ração inversa do cálculo do montante. Nestas condições, o valor atual, aplicado à taxa 
de juros compostos contratada (i), da data do valor atual até à data