APOSTILA DE MATEMATICA FINANCEIRA - DIOGO EDUARDO PASQUAL PENNA

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Diogo Eduardo Pasqual Penna – deppenna@gmail.com – 54 99647-0481 
Professor Diogo Eduardo Pasqual Penna – Departamento de Matemática e Estatística 
 
UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL 
NÚCLEO UNIVERSITÁRIO DE GUAPORÉ 
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS 
PROFESSORA: IVANETE ROCHA DE MIRANDA 
 MATERIAL ORGANIZADO PELAS PROFESSORAS: 
CÍNTIA PAESE; HELENA SLOCZINSKI; IVANETE ROCHA DE MIRANDA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
 
 
 
 
 
 
 
Diogo Eduardo Pasqual Penna – deppenna@gmail.com – 54 99647-0481 
Professor Diogo Eduardo Pasqual Penna – Departamento de Matemática e Estatística 
 
 2 0 0 7
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 3  
Índice 
 
Introdução à Matemática Financeira .............................................................................. 4 
 .............................................................................................................. 11 
JUROS: SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO ................................................................... 11 
Sistema de Capitalização de Juros Simples ................................................................ 16 
Problemas complementares: ................................................................................. 19 
Ex.1: Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00 foram aplicados em juros 
simples durante 36 dias e 156 dias respectivamente. Durante quanto tempo deve-se aplicar 
a soma destes capitais, a mesma taxa, para obter o mesmo juro? ................................. 22 
Obs.: Os prazos deverão ser expressos na mesma unidade de tempo. (Todos em dias, ou 
todos em meses ou todos em anos....). ..................................................................... 22 
Desconto simples .................................................................................................. 23 
 Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que 
entregue ao credor um título de crédito (por exemplo, nota promissória, letra de câmbio, 
duplicata), que é o comprovante da dívida. ............................................................... 23 
Desconto comercial, bancário ou Desconto “Por Fora” .............................................. 23 
Desconto Bancário .............................................................................................. 27 
Desconto racional ou Desconto “Por Dentro” ........................................................... 30 
 JURO COMPOSTO, OU SEJA, CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ...................................... 33 
Taxas proporcionais e equivalentes ....................................................................... 36 
Taxas efetivas (if) ............................................................................................... 38 
2. Um banco oferece empréstimo a taxa de 72% a.a.em capitalização mensal (taxa 
nominal). Qual a taxa efetiva anual cobrada pelo banco? (R: 101,2196% a.a.) .......... 39 
3. Sendo 12% a.m. a taxa de juro, determinar a taxa para:(R: 0,3785% a.d.; 14,135% 
a.p.; ............................................................................................................... 39 
 
289,60% a.a.). ................................................................................................... 39 
Taxa real e taxa aparente .................................................................................... 40 
Taxa acumulada .................................................................................................... 41 
Desconto composto ................................................................................................ 43 
Exercícios complementares. (juro composto, taxas e desconto) .................................... 45 
Equivalência de capitais a juros compostos ................................................................ 46 
7. Um banco oferece empréstimo a taxa de 48% a.a.em capitalização mensal (taxa 
nominal). Qual a taxa efetiva anual cobrada pelo banco? ....................................... 50 
 ANALISE DE INVESTIMENTOS .................................................... 52 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 4  
 No estudo de um fluxo de caixa usa-se, para análise de investimento, o cálculo da Taxa 
Interna de Retorno (TIR) o cálculo do valor Presente Líquido. ...................................... 52 
Valor Presente Líquido (VPL). .................................................................................. 52 
 Renda postecipada ou imediata ..................................... 58 
 Renda antecipada ...................................................... 62 
Renda Diferida ...................................................................................................... 64 
 Equivalência de fluxos de caixa ................................................... 66 
 Planos de amortização de empréstimos ............................................ 67 
 Sistema Americano ...................................................... 68 
Sistema Francês ou sistema de Amortização Progressiva ou Tabela Price ....................... 68 
 Sistema de Amortização constante .............................................. 71 
 Sistema de Amortização Misto ................................................... 73
 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 5  
Introdução à Matemática Financeira 
Razão do número a para o número b, com b  0 é o quociente de a por b, ou seja 
b
a
. 
Razão de duas grandezas dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira 
grandeza e a medida da segunda. 
3
2
3
2

m
m
 h/km
h
km
100
2
200
 
Proporção é uma igualdade entre duas razões. 
4
20
3
15
 . Nas proporções o produto dos 
extremos é igual ao produto dos meios. 
EExxeerrccíícciiooss:: 
1) Verifique se as seguintes equações são ou não proporções: 
a)
270
72
15
4
 b)
16
15
4
3
 c) 
5,3
4,2
2,1
5,0
 
2) Calcule x nas proporções: a) 
x
60
20
15
 b)
2
3
56
7

x
 c) 1
180
250
2650

x
,
,
,
 
 Conceitos básicos para o cálculo de porcentagem 
Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100. 
Taxa percentual ( r): é o numerador de uma fração cujo denominador é 100. 
Porcentagem (p): é o valor que representa a quantidade tomada de outra, 
proporcionalmente a uma taxa. 
 Ex.: 25% = 25/100 3,2%= 3,2/100 
Principal (P): é o valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem. 
Obs.: Quando estamos trabalhando com Sistema monetário, podemos considerar o Valor 
principal por capital inicial (C) ou valor presente (PV). 
 Em um sistema proporcional, para cálculo da porcentagem utiliza-se a Regra de Três: 
P ou (C) ________ 100% 
100Pr
Taxa
incipal
mPorcentage
 
 P ________ r Porcentagem x 100 = Principal x Taxa 
 100
.rP
p  PP== r
p 100.
 rr== P
p 100.
 
 Onde é P de principal podemos escrever C de capital. 
Se dividirmos a taxa por cem, obtemos a taxa unitária (i). Ex.: 25% = 0,25 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 6  
Funções de Porcentagem na HP 12 C1- Para calcular porcentagem : C ENTER r % 
( se em seguida for clicada a tecla +, o valor será somado ao principal. Se for 
pressionada a tecla -, o valor será subtraído do principal) 
2- Para calcular o principal: r ENTER p %T 
3- Para calcular diferença de percentual (entre a e b): a ENTER b Δ% 
4- Para calcular a taxa de porcentagem: C ENTER p %T 
 
Resolver os problemas: 
1. Em um colégio 26% dos estudantes são meninas. Quantos alunos o colégio possui, 
se elas são em número de 182? R: 700 
2. Um automóvel foi adquirido por R$ 50.000,00 e vendido com um lucro de R$ 
4.000,00. Qual a porcentagem de lucro? R: r=8% 
3. Em uma liquidação uma calça que custava R$ 70,00 foi vendida com 15% de 
abatimento. De quanto foi o abatimento? R: R$10,50 
4. Uma pessoa devia R$20.000,00 e pagou R$ 7.400,00. Quantos por cento da dívida 
foram pagos? R: r=37% 
5. Uma mercadoria foi comprada por R$ 80,00 e vendida por R$ 108,00. Calcular a 
taxa percentual do lucro? R: 35% 
6. Uma mercadoria foi vendida por R$ 32,66. Sabendo-se que sofreu um aumento de 
42% em relação ao preço anterior, qual era esse preço? R: R$ 23,00 
7. Uma mercadoria foi vendida por R$ 36,00. Sabendo-se que foi concedido um 
desconto de 20% sobre o preço de tabela, qual este preço? R: R$ 45,00 
8. Qual o valor líquido a ser pago por uma mercadoria que possui um preço de R$ 
125,00 se é oferecido um desconto de 6%? R: R$ 117,50 
9. O salário de um operário foi aumentado em 4% e passou a r$ 546,00. Qual era o 
salário deste operário? R: R$ 525,00 
10. Numa cidade 25% são italianos, 12% são alemães, 10% são japoneses e os 
restantes 118.720 são brasileiros. Quantos são os alemães? R: 26.880 
 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 7  
 ABATIMENTOS SUCESSIVOS 
 No meio comercial é muito comum o uso de abatimentos sucessivos, isto é, calcular os 
abatimentos sobre os valores líquidos encontrados anteriormente. 
 O cálculo do valor líquido ou Valor final (VF) ou (FV) é dado pela seguinte fórmula: 
 
 
 Sendo: VF= valor real a ser pago. 
 C= valor principal (sempre corresponde a 100%) 
 i1, i2, ......., in: taxas unitárias sucessivas. 
 Ex. 1: Sobre uma fatura de R$ 124 000,00 são dados os seguintes descontos sucessivos: 
20% + 10% + 5%. Qual o valor líquido a ser pago? 
Solução: HP 12C 
 124 ENTER 20% - 10% - 5% - 
 Resultado: 84,816 
 
 
 Ex. 2: Por uma mercadoria foi pago R$ 70,00. Sabendo-se que sobro o preço constante na 
tabela foram dados descontos sucessivos de 30% + 20%, qual o preço da tabela? 
Solução: HP 12C 
 70 ENTER 0,7 ENTER 0,8 X : 
 Resultado: 125,00 
 
 
 Ex. 3: Sobre os valores constantes numa tabela de preços são dados os descontos 
sucessivos de 50% + 30% + 20%. Na realidade qual o desconto oferecido pela empresa? 
 Solução: HP 12C 
 100 ENTER 50% - 30% - 20% - 100 - CHS 
 Resposta 72% 
 
 
 
Obs.: Sempre que apresentar resultado negativo, representa percentual de desconto. 
 Nos cálculos desprezamos o sinal e escrevemos a interpretação, na calculadora HP, trocamos 
o sinal clicando CHS. 
Resolver 
1. Na compra de um produto cujo valor inicial era de R$ 565,00, foram obtidos os seguintes 
descontos sucessivos: 15% e 2%. Pergunta-se: 
a) Qual o valor líquido da compra? R:(470,00) 
 b) Qual a taxa total de abatimento? R: (16,7%) 
VF= C(1- i1) (1 – i2) …..(1 –in) 
i=(1 – i1) (1 – i2)…(1 – in) -1 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 8  
 ACRESCIMOS SUCESSIVOS: 
 Para acréscimos sucessivos valem as seguintes fórmulas: 
Cálculo do valor final (VF) 
 
Ex.1: O preço de uma mercadoria era de R$ 8,00, no início de um determinado mês. Durante 
o mês sofreu aumentos sucessivos de 2,5% + 5%. Pergunta-se: 
a) Qual o preço dessa mercadoria no final do mês? 
Solução: HP 12C 
 8 ENTER 2,5% + 5% + 
 Resposta: 8,61 
 
 
b) Qual foi percentual de aumento? HP 12C 
 100 E 100 ENTER 2,5% + 5% + 100 - 
 Resposta: 7,625% 
 
 
Ex. 2: Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 20% + 15%. Sabendo-se que na 
venda foi concedido um desconto de 25%, pagando o comprador R$144,90, qual era o valor 
da mercadoria? 
Solução: HP 12C 
 144,9 ENTER 1,2 ENTER 1,15 ENTER 0,75 x x : 
 Resposta: R$ 140,00 ou 
 100 E 20% + 15% + 25% - 144,9 %T 
 
 
DIFERENÇA PERCENTUAL ENTRE DOIS VALORES 
Para calcular a diferença percentual entre dois valores (do principal para o valor final), 
utiliza-se a seguinte fórmula: 
 HP 12C 
 Valor inicial ENTER 
 Valor final % 
Ex.1: O preço de uma mercadoria era R$ 8,00, no início de um determinado mês. Durante o 
mês sofreu aumentos sucessivos de 2,5% + 5%, passando a custar R$ 8,61. Calcular o 
percentual total do aumento. 
Solução: 
 
VF= C(1 +i1) (1 + i2) ....(1 +in) 
i=(1 + i1) (1 + i2).....(1 + 1n) -1 
1
C
VFi
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 9  
Exercícios propostos 
1. Uma mercadoria que custava R$ 24,00 foi vendida com abatimentos sucessivos de 30% + 20% + 
10%. Pergunta-se: 
a) Por quanto foi vendida a mercadoria? R: R$ 12,10 
b) Qual o percentual total do abatimento? R: 49,6% 
 
2. Na compra de uma mercadoria foram obtidos abatimentos sucessivos de 20% + 10% + 5%. Se o 
total pago foi R$ 273,60, pergunta-se: 
a) Qual o valor da mercadoria antes dos abatimentos? R: R$ 400,00 
b) Qual o percentual total dos abatimentos? R: r=31,6% 
 
3. Um produto cujo preço era R$ 36,00, sofreu aumentos sucessivos de 30% + 25%. Pergunta-se: 
a) Qual o preço atual? R: R$ 58,50. 
b) qual foi o percentual do aumento? R: r= 62,5% 
 
4. O preço de um objetofoi aumentado, sucessivamente 10%, 10% e 20%, passando a custar 
R$ 450,12. Qual era o preço inicial? R: R$ 310,00 
 
5. Uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos de 20%. Na venda foi concedido um 
desconto de 15%, pagando o comprador R$ 24,48. Qual era o preço inicial dessa mercadoria? 
R: R$20,00 
 
6. Uma categoria profissional, por ocasião do dissídio coletivo, deverá ter um reajuste salarial de 
36% sobre o salário base do ano anterior. Se um funcionário já recebeu 25% de antecipação 
e está ganhando R$ 525,00, quanto passará a ganhar de salário? 
R: R$ 571,20 
 
7. Na compra de uma mercadoria foram obtidos abatimentos sucessivos de 10% + 2%. Se o 
valor pago foi R$ 110,25, Pergunta-se: 
a) Qual o valor da mercadoria antes dos abatimentos? R: R$ 125,00 
b) Qual o percentual total do abatimento? R: r=11,8% 
 
8. Um produto cujo preço era R$ 712,00, sofreu aumentos sucessivos de 6% + 3%. Pergunta-
se: 
a) A que preço será vendida? R: R$ 777,36 
b) Qual foi o percentual total de aumento? R: r=9,18% 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 10  
 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIA 
 Utilizando o processo da porcentagem pode-se facilmente calcular, partindo do preço 
de custo, o preço de venda de mercadorias considerando o lucro sobre o preço de custo ou 
lucro sobre o preço de venda. 
Lucro sobre o preço de custo: 
 Para calcular o preço de venda com lucro sobre o preço do custo, considera-se sempre o 
preço de custo (C) como valor correspondente a 100% ou (1). O preço de venda (V) será 
sempre equivalente a (100% + r) ou (1 + i), sendo (r) a taxa percentual do lucro. 
 
Cálculo do preço de venda(v) com lucro sobre o preço d custo(C): 
 Para calcular o preço de venda, com lucro sobre o preço de custo, multiplica-se o preço 
de custo pelo valor de (1 + i). 
 HP 12C 
 C ENTER r % + 
 
Ex.: Uma mercadoria foi comprada por R$ 120,00. Por quanto deverá ser vendida se o lucro 
desejado é de 40% sobre o preço de compra? (R$ 168,00) 
 
 
 
Lucro sobre o preço de venda: 
 Neste caso considera-se a venda(V) como sendo o valor correspondente a 100% ou (1). 
O custo correspondente a (100% - r) ou (1 – i). 
 
Cálculo do preço de venda(V) com lucro sobre o preço de venda(V): 
 Para calcular o preço de venda, com lucro sobre o preço de venda, divide-se o preço de 
custo (C) por (1 – i). 
 HP 12C 
 100 ENTER r % - C %T 
 
 
Ex. 1: Por quanto deverá ser vendida uma mercadoria, comprada por R$ 20,00, desejando-se 
obter um lucro de 20% sobre o preço de venda? (R$ 25,00) 
Solução: 
 
 
 
Ex.2: Um comerciante compra uma mercadoria por R$ 15,60 e pretende vendê-la com um 
lucro de 40% sobre o preço de venda. Por quanto deve vende-la? (R$26,00) 
Solução: 
V = C(1 + i) 
V = 
i
C
1
 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 11  
Problemas de aplicação 
1. Uma mercadoria foi comprada por r$ 24,00. por quanto deverá ser vendida para que o 
lucro seja de 30% sobre o preço de compra? R: R$ 31,20 
 
2. Uma mercadoria foi vendida por R$ 50,75 com lucro de 45% sobre o preço de compra. 
Quanto custou esta mercadoria? R: R$ 35,00 
 
3. Uma casa foi vendida por R$ 54 000,00, com um lucro de R$ 6 000,00, sobre o preço de 
compra. Quanto por cento corresponde este lucro? R: 12,5%; 
 
4. Um terreno foi vendido por R$ 135 000,00 com lucro de 25% sobre o valor total despedido 
na compra do mesmo. Qual o valor de compra do terreno se foi gasto R$ 8 000, de escrituras 
e impostos de transmissão R: R$ 100 000,00 
 
5. Uma mercadoria foi comprada por R$ 240,00 e deverá ser vendida com um lucro de 40% 
sobre o preço de venda. Qual o preço de venda? R: R$ 400,00; 
 
6. Um terreno foi comprado por R$ 4 750,00 e vendido com um lucro de 5% sobre o preço de 
venda. Por quanto foi vendido? R: R$ 5 000,00; 
 
7. Uma mercadoria foi vendida por R$ 12,50 com um lucro de 40% sobre o preço de venda. 
Quanto custou esta mercadoria? R: R$ 7,50 
 
8. Uma mercadoria foi comprada por R$ 120,00 e vendida por R$ 150,00. Pergunta-se: 
 a) Qual a taxa percentual de lucro sobre o preço de compra? R: r= 25% 
 b) Qual a taxa percentual de lucro sobre o preço de venda? R: r= 20% 
 
9. Um terreno foi vendido por R$ 165 000,00 com lucro de 10%. Em seguida foi revendido 
por R$ 207 000,00. O lucro total das duas operações representa, sobre o custo inicial do 
terreno, um percentual de quanto? R: r=38% 
 
10. Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 150,00 e colocou a venda com uma 
margem de lucro de 40% sobre o preço de compra. Ao vende-la concedeu um desconto de 
20%. Pede-se: a) Por quanto foi vendido essa mercadoria? R: R$ 168,00 
 b) Qual a taxa de lucro? R: r= 12% 
 
Problemas complementares 
1. Uma certa categoria profissional, por ocasião do dissídio coletivo, deverá ter um reajuste 
salarial de 18% sobre o salário base do ano anterior. Se um funcionário já recebeu 15% de 
antecipação, e está ganhando R$ 552,00, pede-se: 
a) Quanto passará a ganhar de salário? R: R$566,40 
b) Qual será o percentual de aumento sobre o salário atual? R: 2,6087 % 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 12  
2. Um funcionário de uma determinada empresa recebe o salário, já descontado o valor do INSS, 
de R$ 1.350,00.Sabendo-se que sobre este valor incide IRF (imposto retido na fonte) de 15% 
diminuído de R$ 135,00, qual o valor líquido recebido pelo funcionário? 
R: R$ 1.282,50 
 3. Uma empresa precisa efetuar um pagamento líquido, no valor de R$ 3.200,00, a um prestador 
de serviços. Sabendo-se que o valor bruto incide IRF, no percentual de 27,5%, porem com um 
investimento de R$ 360,00 sobre o valor do IRF, calcular o valor bruto a ser pago pelo 
serviço? R: R$ 3.917,24 
 4) Uma pessoa ao fazer um passe bancário desembolsou R$ 32.764,00. Sabendo-se que o banco 
cobrou uma comissão de 2% e mais outras despesas no valor de R$ 124,00. Qual o valor 
líquido recebido pelo destinatário? R: R$32.000,00 
 5) Um cliente obteve de um certo comerciante um desconto de 10% sobre o preço de venda de 
uma mercadoria. Sabendo-se que está mercadoria estava sendo vendida com um lucro de 20% 
sobre o preço de venda, qual a taxa do lucro sobre o preço de compra? R: 12,5% 
6) Uma mercadoria foi comprada por R$ 250,00 e vendida por R$ 290,50. Pergunta-se: 
a) Qual a taxa percentual de lucro sobre o preço de compra? R: r=16,20% 
 b) Qual a taxa percentual de lucro sobre o preço de venda? R: r=13,94% 
7) Um comerciante comprou uma mercadoria por R 150,00 e colocou-a a venda com uma margem 
de lucro de 40% sobre o preço de compra. Ao vendê-la concedeu um desconto de 20%. Pede-se: 
a)Por quanto foi vendida está mercadoria? R$ 168,00 
b) b) Qual a taxa de lucro? R: r=12% 
 
JUROS: SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO 
Fluxo de caixa é o conjunto de entradas e saídas de dinheiro do caixa de uma empresa ou 
de uma pessoa física relativas a um certo período de tempo. 
 O fluxo de caixa pode ser esquematizado por um diagrama, no qual aparece uma linha 
horizontal, chamada linha do tempo e setas perpendiculares e esta linha apontando para 
cima quando existe recebimento (retorno) de valores e apontadas para baixo quando existe 
pagamento (investimento). 
Exemplo 1: 
Data Valor 
07/08 +3.200 
14/08 -760 
21/08 -546 
28/08 +1.112 
 
 
 
 
 
 (recebimentos) 1.112,00 
 07/08 14/08 21/08 
 28/08 agosto 
 aplicação -760,00 - 546,00 
 3.200,00 (pagamentos) 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 13  
 
Exemplo 2: 
Um rádio custa R$ 150,00 à vista ou R$ 194,40 em seis prestações de R$ 32,40. O fluxo de 
caixa sob o ponto de vista do vendedor é: 
 
 
 Toda a aplicação de um capital (valor monetário) deverá proporcionar, no final de um certo 
tempo, o direito de resgate. 
 A diferença entre o valor dos retornos e o valor da aplicação é a remuneração (juro) 
recebida no investimento. 
 O mais simples dos fluxos de caixa é aquele que possui somente dois fluxos. Um de saída 
e outro de entrada ou vice-versa. 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.3: supondo o seguinte fluxo de caixa: 121,00 (capital e juro) 
 0 
 2 meses 
 
 100,00 
 A taxa de juro (i) é o quociente entre o juro e o capital aplicado. A taxa será referente 
ao período da aplicação. 
 
 
Conceito: 
 O conceito de juro pode ser fixado através das expressões: 
Dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros 
colocado a nossa disposição. 
Remuneração do capital emprestado em atividades produtivas, ou ainda remuneração 
recebida sobre capital aplicado. 
Unidade de medida: 
 
150,00 
32,40 
 
 Resgate 
 Remuneração = juro 
 0 
 n linha do tempo 
 aplicação 
 juro 
i = =.......................... x 100=............ 
 capital 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 14  
 O juro é fixado através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade 
de tempo: ano, semestre, mês, etc. 
 Exs.: 12% a. a. = doze por cento ao ano. 
 3% a. t. = três% por cento ao trimestre. 
 1% a. m. = um% por cento ao mês. 
 É importante observar que no cálculo de juro a taxa unitária, corresponde a centésima 
parte da taxa percentual. 
Ex.: 12% a. a. = 12/100 = 0,12 
 3% a. t. = 3/100 = 0,03 
 1% a. m. = 1/100 = 0,01 
 A representação percentual é comumente usada, entretanto todos os cálculos e 
desenvolvimento de fórmulas serão feitos através da notação em fração decimal (taxa 
unitária). 
 
Regime de capitalização: 
 Entende-se por regime de capitalização o processo de formação do juro. 
 Há dois tipos de regimes de capitalização: a juro simples e a juro composto. 
 No regime de capitalização a juro simples, apenas o capital inicial rende juro, isto é, o 
juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa não é incorporado ao capital, 
para também render juro no período seguinte, ou seja, os juros não são capitalizados. 
 No regime de capitalização a juro composto, o juro formado no fim de cada período é 
incorporado ao capital que tínhamos no início do período, passando esse montante a 
render juro no período seguinte, ou seja, os juros são capitalizados. 
 
Juro simples 
J1=J2=...=Jn 
Juro composto 
J1J2...Jn 
Exemplo: 
 A empresta “B” a empresa “A” emprestou R$ 10.000,00 para serem pagos no final de 
quatro meses, à taxa de 25% a.m. 
Juro Simples Juro Composto 
Mês Juro do mês Montante Mês Juro do mês Montante 
1 2.500,00 12.500,00 1 2.500,00 12.500,00 
2 2.500,00 15.000,00 2 3.125,00 15.625,00 
3 2.500,00 17.500,00 3 3.906,25 19.531,25 
4 2.500,00 20.000,00 4 4.882,81 24.414,06 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 15  
1 2 3 4
M eses
 
Crescimento linear (gráfico 1) 
 
1 2 3 4
M eses
 
Crescimento exponencial (gráfico 2) 
Em relação ao gráfico um (juro simples) pode observar-se que: 
a) O crescimento do dinheiro se dá de forma linear no decorrer do tempo. 
b) No sistema de capitalização simples à juro simples o dinheiro cresce em progressão 
aritmética. 
c) Os juros sempre são calculados sobre o valor do capital inicial, período por período. 
Em relação ao gráfico dois (juros compostos) pode ser observado que: 
a) O crescimento do dinheiro cresce de forma exponencial ao longo do tempo. 
b) No sistema de capitalização composta, à juro composto o dinheiro cresce em 
progressão geométrica. 
c) Os juros são capitalizados período por período; a cada período o juro vai sendo 
acumulado no capital inicial. 
 Quem possui recursos pode utilizá-lo na compra de bens de consumo, ou de serviços, 
na aquisição de bens de produção, na compra de imóveis para uso próprio ou venda 
futura; pode emprestá-lo a terceiros ou adquirir títulos de renda fixa ou variável, deixá-lo 
depositado para atender a “eventualidades”, ou guardá-lo na expectativa de uma 
oportunidade melhor para sua utilização, ou ainda pela simples satisfação de ter dinheiro. 
 Ao se dispor a emprestar, o possuidor de dinheiro, para avaliar a taxa de 
remuneração para os seus recursos, deve atentar para os seguintes fatores: 
a) Risco: probabilidade de o tomador do empréstimo não resgatar o dinheiro. 
b) Despesas: todas as despesas operacionais, contratuais e tributárias para a 
formalização do empréstimo e à efetivação da cobrança. 
c) Inflação: Índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o 
prazo do empréstimo. 
d) Ganho (ou Lucro): fixado em função das demais oportunidades de investimentos 
(“custo de oportunidade”); justifica-se pela privação, por parte do seu dono, da 
utilidade do capital. 
 Portanto, a receita de juros deve ser suficiente para cobrir o risco, as despesas e a 
perda do poder aquisitivo do capital emprestado, além de proporcionar certo lucro ao seu 
aplicador. 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 16  
 Do ponto de vista do tomador do empréstimo, a taxa de juros é influenciada pelo uso 
que fará dos recursos emprestados. A taxa de juros poderá ser tanto maior, quanto maior 
for o grau de premência desses recursos. Se o tomador pretende utilizar o empréstimo 
em um negócio qualquer, com objetivo de lucro, sua despesa de juros deverá ser menor 
do que a receita prevista. 
 No caso específico dos Bancos e das Financeiras, as taxas de remuneração dos 
recursos captados devem ser menores que as taxas cobradas nas operações de 
empréstimos ou financiamentos, sendo que a diferença deve ser suficiente para cobrir as 
despesas proporcionar lucro; o aspecto inflacionário, neste caso, não será relevante se as 
operações estiverem “casadas”, isto é, se os valores e os prazos das operações de 
captação (obtenção de recursos) estiverem compatíveis com os valores e os prazos das 
operações de empréstimo (aplicaçãode recursos). 
Capital (C): qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época. 
Também, é conhecido como “Principal” ou Valor Presente (Pv). 
Tempo (n): Período durante o qual o capital fica aplicado. 
Taxa (i): Valor do juro por unidade de capital/tempo. Refere-se sempre a um dado 
período financeiro, por exemplo, ao dia (a.d), ao mês (a.m), ao semestre (a.s), ao ano 
(a.a), etc. Pode estar sob forma porcentual (2% a.m, 0,1% a.d, etc.) ou sob forma 
unitária (0,02 a.m, 0,001 a.d, etc.). Como já dissemos, trabalharemos com taxa unitária. 
Juro (J): remuneração resultante da aplicação de um capital em determinado tempo, 
com um taxa definida. Os juros são normalmente classificados em juros simples e juros 
compostos. 
Montante (M): Valor resultante da soma dos juros ao capital, ou valor futuro (Fv). 
Período de capitalização: Período de tempo ao fim do qual os juros são somados ao 
capital. 
No exemplo inicial, temos que: 
R$100,00  capital inicial, principal (C) ou valor presente(Pv)  Dinheiro ou bem sobre 
os quais recaem os juros. 
R$ 25,00  juro (J)  Remuneração deste capital durante um intervalo de tempo que 
denominamos período financeiro ou período de capitalização. Em outras palavras, juro é a 
quantia que se paga, a título de compensação, pelo uso de um dinheiro emprestado. 
R$ 125,00  montante (M) ou valor Futuro (Fv)  Soma do valor de uma aplicação com os 
juros computados sobre essa mesma aplicação. M=C+J ou Fv = Pv + j 
Um ano  período (n) 
Taxa de juro (i) é 
100
25
 ao ano, ou seja, 25% ao ano ou ainda 0,25 a.a. 
C
J
i  
Taxa unitária (simbolizada por i): Valor referencial a unidade  25,0%25
100
25
i 
1. Qual a taxa unitária correspondente a 45%?................... 
2. Qual a taxa percentual correspondente a 0,05?............... 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 17  
Sistema de Capitalização de Juros Simples 
No regime de capitalização a juro simples apenas o capital inicial rende juro, e os juros 
não são capitalizados. 
Período Juro do período Juro acumulado 
1 C x i (C x i) 
2 C x i (C x i) + (C x i) 
3 C x i (C x i) + (C x i) + (C x i) 
... 
n C x i n x (C x i) 
 
 
 
 ou 
 
 Atividade: Partindo da Fórmula geral, encontrar uma fórmula para encontrar uma das 
outras grandezas. 
 
OBS: O prazo e a taxa devem sempre estar na mesma unidade. Ex. Mês, Ano, Trimestre. 
 Quem estiver usando calculadora financeira, por exemplo, HP 12C ou equivalente, no 
cálculo de juros simples, não diferencia muito de outras calculadoras, mas pode se usar 
algumas teclas especiais para facilitar o processo. No Brasil, utilizamos o ponto para 
separar as classes, portanto, para introduzir esse sistema, basta desligar a calculadora e 
pressionando a tecla do ponto . e ligá-la, novamente. 
Exemplos: 
1. Tomou-se emprestada a importância de R$ 12.000,00 pelo prazo de dois anos, à taxa 
de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago? E, qual o valor a ser pago 
(montante)? 
C=12.000 n=2 anos i = 30% a.a = 0,3 a.a. 
Como J = C x i x n  J = 12.000 x 0,30 x 2 = 7.200 
O juro a ser pago é R$ 7.200,00 
M = C + J  12.000 + 7.200  O valor a ser pago é de R$ 19.200,00 
Uso da HP 12C  12.000 ENTER  12.000  Valor do empréstimo 
 30 %  3.600  Valor anual dos juros 
 2 X  7.200 Valor total dos juros 
 12.000 +  19.200  Valor a ser pago (montante). 
Ou ainda pela Hp 12C: 720 n ; 30 i ; 12000 CHS PV f INT + 
J = C x i x n 
M = C + J  M = C + (C x i x n) 
M = C (1+i x n) 
J = Pv x i x n 
Fv = Pv + J  Fv = Pv + (Pv x i x n) 
Fv = Pv (1+i x n) 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 18  
 
2. Uma aplicação de R$ 50.000,00, pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de 
R$ 8.250,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? 
Pv = C= 50.000n=180 dias ou 180 ÷ 360 = 0,5 anos J = 8.250 i = ? a.a 
Como J = C x i x n  8.250 = 50.000 x i x 0,5 
5,0000.50
250.8
x
i   i = 0,33 ou 33% ao ano. Logo, a taxa anual é de 33%. 
Usando a HP 12C  50.000 ENTER  50.000  Valor da aplicação 
 180 X  9.000.000 Valor da aplicação x prazo 
 8250 xy ÷  0,001  Taxa diária (forma unitária). 
 360 X  0,33  0,33  Taxa anual (forma unitária). 
 100 X  33%  Taxa anual (forma porcentual). 
Ou ainda, utilizando a HP 12C: 8.250 ENTER 
 50.000 ENTER 
 0,5 X ÷ 
 100 X  Resposta em taxa percentual, 33% 
3. Sabendo-se que os juros de R$ 600,00 foram obtidos com a aplicação de R$ 7.500,00 
à taxa de 0,8% ao trimestre, calcular o prazo dessa aplicação. 
C= 7.500 J = 600 i = 0,008 a.t. (unitária) n = ? 
Como J = C x i x n  600 = 7.500 x 0,08 x n 
 
008,0500.7
600
x
n   n = 10 trimestres. Logo, o período de aplicação foi de 10 
trimestres. 
Usando a HP 12C  600 ENTER 
 7.500 ENTER 
 0,008 X ÷  10  Prazo em número de trimestre 
 
 Taxa Efetiva: 
 Para calcular a taxa efetiva de uma aplicação, basta apenas dividir o valor do resgate 
(Montante) pelo valor aplicado (Capital), diminuindo 1 (um) do quociente, ou seja, 
calcular a diferença percentual entre o capital e o montante. 
 1
C
M
i HP 12C C ENTER M Δ% 
 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 19  
Ex.: Uma empresa aplicou R$ 32.000. No fim de 48 dias resgatou R$ 35.072,00. 
Determinar a taxa de juro efetiva que a empresa ganhou na aplicação? 
 35.072,00 A taxa 9,6% a.p. representa 
 0 48 a taxa de juro Efetiva 
 32.000,00 no período de 48 dias. 
Solução: 
 
 
A taxa anual de juro simples será: r= (9,6 / 48) x 360 = 72% a.a. 
 
 
 
Exercícios: 
1. Aplicou-se a importância de R$ 30.000,00 pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% a.m. 
Qual o valor do juro a receber? R: R$1.080,00 
 
 
2. Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 92.000,00, à taxa de 5% a.t., 
durante 3 meses. R: R$4.600,00 
 
 
3. Um capital de R$ 56.000,00 foi empregado à taxa de 0,75% a.m., durante 4 meses. 
Calcule o juro produzido. R: R$ 1.680,00 
 
 
4. Calcular o montante de uma aplicação de U$ 80.000,00 a 0,9% a.m., pelo prazo de 9 
meses. R: R$ 86.480,00 
 
 
5. Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 148.000,00 daqui a 18 
meses, a uma taxa de 48% a.a., no regime de juros simples? R: R$86.046,51 
 
 
6. Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 800.000,00, à taxa de juro de 
16% ao ano, pra obtermos o montante de R$ 832.000,00? R: 3 meses 
 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 20  
7. Uma loja vende um carro por R$ 15.000,00 à vista. A prazo, vende por R$ 16.540,00, 
sendo R$ 4.000,00 de entrada e o restante após 4 meses. Qual a taxa de juro mensal 
cobrada? R: 3,5% a.m 
 
8. Uma empresa aplicou R$ 50.000,00no dia 18/04/2006 e resgatou R$ 53.000,00 no dia 
24/05/ 2006. Qual a taxa efetiva de juro recebida na aplicação? 
R: r = 7,2% a.p. de 36 dias. 
 
 
Problemas complementares: 
1. Que capital deve ser empregado em juros simples a taxa de 60% a. a. para que se obtenha 
um juro de R$ 240,00 em 72 dias? (ano comercial, 360 dias mê). (R: R$ 2000,00) 
 
2. Um título de R$ 22.000,00 vencido em 24/06/95 é liquidado em 08/08/95, foi penalizado com 
juros de R$1.650,00. Qual a taxa mensal de juro simples cobrada? (obs.: os dias são contados 
data a data, através do ano civil ) (R: 5% a.m.) 
 
3. Um capital de R$ 15.000, foi aplicado em juro simples a texa de 4,5% a.m.. Na época do 
resgate o juro recebido foi de R$ 1.485,00. Qual foi o tempo da aplicação? (R: 66 dias) 
 
4. Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado em juro simples num prazo fixo de 3 meses a taxa de 7,2% 
a.a.. Qual o valor do resgate? (R: R$ 20.360,00) 
 
5. Qual o valor a ser aplicado, em juro simples, durante 42 dias a taxa de 4% a.m. para resgatar 
no final desse tempo R$ 12.672,00? (R$ 12.000,00) 
 
6. O senhor José aplicou R$ 32.000,00 em 19/07/05 e resgatou em 05/09/05 R$ 35.072,00. Qual a taxa 
anual de juro simples obtida na aplicação? (R: 6% a. m. ou 72% a.a.) 
 
7. U ma empresa aplicou R$ 50.000,00 no dia 18/04/05 e resgatou R$ 53.600,00 no dia 24/05/05. Qual a 
taxa efetiva de juro recebida na aplicação? (7,2% após 36 dias) 
 
 Taxas proporcionais e equivalentes 
 Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a 
elas referidos, reduzidos à mesma unidade. 
 Tratando-se de juros simples, 
k
i
ik  , onde ik é a taxa proporcional ao período e k é o número 
de períodos “menores” existentes no período “maior”. 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 21  
Por exemplo, uma taxa de 30% a.a. equivale a 2,5% a.m. 
k
i
ik  então, sendo i=0,30 e o ano contendo 12 meses, a taxa mensal é 025012
300
,
,
ik  a.m. 
ou 2,5% a.m. 
Duas taxas são equivalentes se aplicadas ao mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, 
geram o mesmo juro. 
 
Juro produzido ao capital de 20.000 
à taxa de 4% a.m. durante 6 meses 
J = 20.000 x 0,04 x 6 
J = 4.800 
Juro produzido ao capital de 20.000 à 
taxa de 12% a.t. durante 2 trimestres 
J = 20.000 x 0,12 x 2 
J = 4.800 
Como os juros são iguais, podemos dizer que 4% a.m. e 12% a.t. são taxas equivalentes. 
No regime de capitalização a juros simples as taxas proporcionais são também 
equivalentes. 
EExxeerrccíícciiooss:: 
1. Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre. R: 32% 
 
2. Calcule a taxa mensal e anual proporcional a 0,08% ao dia. R: 2,4% a.m R: 28,8% 
 
3. Calcule a taxa mensal proporcional a 24% ao semestre. R: 4 a.m 
 
4. Um capital de R$2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determinar 
o juro obtido. R: R$ 499,80 
 
5. Calcular o juro correspondente a um capital de R$18.500,00 aplicado durante 2 anos, 4 meses 
e 10 dias à taxa de 30% ao ano. R: R$ 13.098,00 
 
 
6. Calcular o juro de um capital de R$1.500,00, aplicado a um taxa mensal de 1,2%, durante 3 
anos. R: R$648,00 
 
7. Um capital de R$630,00 foi aplicado durante 3 meses e 10 dias e rendeu um juro de R$37,80. 
Qual foi a taxa mensal empregada? R: 1,8% a.m 
 
8. Um empréstimo de R$ 23.000,00 é liquidado por R$ 29.000,00 no final de 152 dias. Calcular a 
taxa mensal de juros. (R: 5,15% a m.) 
 
9 Qual o prazo que uma aplicação de R$ 35.000,00 pode gerar um montante de R$ 53.375,00, 
considerando-se uma taxa de 30% ao ano? (R: 1,75 ano, ou 21 meses). 
 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 22  
Juro comercial e Juro exato 
 A técnica que considera 1 ano com 360 dias é utilizada para juro comercial 
simples. Entretanto, podemos obter o juro fazendo uso do número exato de dias do ano 
(365 dias ou 366, se bissexto). Neste caso, o resultado é denominado juro simples exato. 
No Brasil contamos apenas uma das datas extremas. 
Podemos obter o número exato de dias entre duas datas de 4 maneiras diferentes: 
 Contando os dias num calendário, lembrando que apenas um dos dias extremos deve 
ser incluído. 
 Adicionando períodos como, por exemplo, de um mês a outro e entre períodos do 
mesmo mês. Exemplo: de 11 de março até 18 de maio: 11 de março a 11 de abril = 31 
dias, 11 de abril até 11 de maio = 30 dias e de 11 a 18 de maio = 7 dias. Logo teremos 
68 dias. 
 Usando a Tabela para Contagem de Dias (ver anexo). No exemplo anterior, 18 de maio 
na tabela corresponde a 138 dias e 11 de março, a 70 dias. Fazendo a subtração, 
obteremos 68 dias. 
Obs.: Utilizando as teclas da calculadora HP 12C: Digita a data mais antiga e aperta a 
tecla enter, digita a data mais recente e aperta as teclas g ΔDYS 
Como digitar datas? 
Se estiver trabalhando no formato dia-mês-ano, aperta as teclas g do D.MY digita o 
dia com um ou dois dígitos e aperta a tecla do . , digita o mês com dois dígitos e o ano 
com 4 dígitos. 
Você pode trabalhar com a calculadora HP 12C programada no formato mês-dia-ano, 
clicando antes das datas as teclas g M.DY . 
 
 Exercícios: 
1. Um empréstimo de R$ 8.500,00 foi realizado em 20/07/05 e pago em 25/11/05 do 
mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 45% ao ano, qual o juro total a ser pago? Qual 
o montante a ser devolvido? R: ano civil R$ 9.841,37 e ano comercial R$ 9.860,00. 
 
2. Qual o valor do capital que, aplicado durante 1 ano e 6 meses, à taxa de 1,2% ao mês, 
rendeu R$19.008,00? R: R$ 88.000,00 
 
3. Uma aplicação de R$ 8.000,00, pelo prazo de 6 meses, obteve um rendimento de 
R$ 840,00. Qual a taxa anual correspondente? Qual o valor resgatado? R: i= 21% a.a. 
 
4. Durante quanto tempo devemos aplicar R$ 4.800,00, à taxa de 36% ao ano, para 
obtermos R$ 2.376,00 de juro? n= 0,2097 anos, ou 2,52 meses, ou ainda 75,5 dias 
 
5. Um capital inicial de R$16.000,00, à taxa de 36% ao ano, rendeu R$2.192,00 de juro. 
Sabendo que a aplicação foi feita no dia 15/05/1988, qual foi a data de vencimento do 
contrato, considerando ano comercial? R: 29/09/1988 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 23  
Prazo Médio 
 
 Sejam os capitais C1, C2, C3, ......,cm, todos empregados em juro simples, a uma 
mesma taxa i durante os tempos t1, t2, .....tm, respectivamente. Chama-se prazo médio 
aquele no qual se deve empregar a soma dos capitais, a mesma taxa, para obter um juro 
igual a soma dos juros de cada capital determinado separadamente. 
 
 
 
 
 
 
 SE: C1 = C2 = C3 = ...= Cm 
 
 
Então: 
 
Ex.1: Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00 foram aplicados em juros 
simples durante 36 dias e 156 dias respectivamente. Durante quanto tempo deve-se 
aplicar a soma destes capitais, a mesma taxa, para obter o mesmo juro? 
Solução: 
 
 
 
 
Obs.: Os prazos deverão ser expressos na mesma unidade de tempo. (Todos em dias, ou 
todos em meses ou todos em anos....). 
Ex. 2: Uma pessoa deposita R$ 2.000,00 no início de cada mês, a taxa de 5% a.m., em juro 
simples. Calcular o montante constituído no final de um ano. 
Solução: sendo C1 = C2 = C3 =......C12= R$2.000,00 
 t1 = 12 meses t2= 11 meses t12 = 1 mês 
 
 
Então: 
 
 Obs.: Quando os capitais forem iguais e os tempos (prazos) estiverem em progressão 
aritmética, pode-se determinar o prazo médio através da média aritmética dos tempos 
extremos. t = (1 + 2)/ 2= 6,5 meses 
 M = 24.000 (1 + 0,05 X 6,5)=r$ 31.800,00 
 Obs.: Sempre que for utilizado o prazo médio deve-seconsiderar, no cálculo, a soma dos 
capitais. 
 
 
 C1t1 + C2t2 + C3t3 + ...+ Cmtm 
t = 
 C1 + C2 + C3 + ...+ Cm 
 t1 + t2 + t3 + tm 
t= 
 m 
 2.000x36 + 5.000x60 + 3.000x156 
t= = 84 dias 
 2.000 + 5.000 + 3.000 
 12 + 11 + 10 + … + 9 + 8 + …3 + 2 + 1 
t= = 6,5 meses 
 12 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 24  
Desconto simples 
 Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que 
entregue ao credor um título de crédito (por exemplo, nota promissória, letra de câmbio, 
duplicata), que é o comprovante da dívida. 
 O título de crédito tem uma data de vencimento. Para os títulos resgatados 
antecipadamente, pode-se obter um abatimento, que é denominado desconto. 
 O desconto pode ser feito de duas formas : 
- considerando-se como capital o valor nominal (valor futuro - Fv) - desconto comercial, 
também chamado desconto por fora. 
- Considerando-se como capital o valor atual (valor presente - Pv) - desconto racional, 
também chamado desconto por dentro. 
 
Desconto comercial, bancário ou Desconto “Por Fora” 
 Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro 
simples produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e à 
taxa fixada. 
 
 
 
 Ou Se N = Fv e A = Pv, temos: 
 
 
 
dc = valor do desconto comercial  quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a 
diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
N = valor nominal do título  valor indicado no título (importância a ser paga no dia do 
vencimento). Pode ser chamada de Fv (Valor futuro) 
A = valor atual comercial ou valor descontado comercial  valor líquido pago ou recebido 
antes do vencimento. Pode ser chamado Pv (valor presente) 
n = tempo  período compreendido entre o dia em que se negocia o título e seu 
vencimento (Obs: inclui um dos dias extremos, o primeiro ou o último) 
i = taxa de desconto 
OBS: o desconto comercial só deve ser empregado para períodos curtos, pois para prazos longos 
o valor do desconto pode até ultrapassar o valor nominal do título. 
Exemplos: 
dc = N x i x n 
 A = N - dc 
 A = N – (N x i x n) 
 A = N (1 – i x n) 
dc = Fv x i x n 
 Pv = Fv - dc 
 Pv = Fv – (Fv x i x n) 
 Pv = Fv (1 – i x n) 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 25  
1. Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% a.m. Faltando 45 dias 
para o vencimento do título, determine o valor do desconto comercial e o valor atual 
comercial. 
N= 60.000 n= 45 d = 1,5 m i = 0,021 a.m. 
Sendo dc=N x i x n = 60.000 x 0,021 x 1,5 = 1.890 
O valor do desconto comercial é R$ 1.890,00 
A = N – dc = 60.000 – 1.890 = 58.110 Usando a HP 12C 
 Ou A = N (1 – i x n)  60000 E 
 A = 60.000 (1 – 0,021 x 1,5) 1 E 
 A = 58.110 0,021 E 
 1,5 X - ÷ 
 (O valor atual comercial do título é R$ 58.110,00) 
 
 OU ainda, usando a HP 12C  60000 ENTER 60.000  Valor do título 
 2,1 % 30 ÷  42 Valor do desconto diário 
 45 X  1.890  Valor total do desconto. 
 60000 - CHS  58.110  Valor atual. 
 
2. Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 6 meses, cujo valor de 
resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00? 
 N= 1.000 n= 6 m A = 880 i = ? a.m. 
Sendo A = N (1 – i x n) 
 880 = 1000 (1 – i x 6) 
 i61
1000
880
 
 6i = 1 – 0,88 
  i = 0,12 ÷ 6 = 0,02 ou seja 2% ao mês 
 Com HP 12C  1000 ENTER 
 880 -  120  Valor do desconto 
 1000 ÷ 100 X  12 Taxa de desconto (em%) para 6 meses 
 6 ÷  2  Valor da taxa mensal de desconto. 
 
Ou ainda com HP 12C  1 E; 880 E; 1000 ÷ -; 6 ÷; 100 x 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 26  
EExxeerrccíícciiooss:: 
1. Uma duplicata, cujo valor nominal é de R$ 20.000,00 foi resgatada 2 meses antes do 
vencimento, à taxa de 30% a.a. De quanto foi o desconto comercial? R: R$ 1.000,00 
 
 
2. Um título de R$ 4.500,00 foi resgatado antes do vencimento por R$ 3.950,00. Sabendo que a 
taxa de desconto comercial é de 32,4% a.a., calcule o tempo de antecipação do resgate. 
R: 0,37722 anos, ou 4,53 meses ou 135,8 dias 
 
 
3. Um título de R$ 280.000,00 sofreu um desconto comercial (por fora) 39 dias antes de seu 
vencimento, a uma taxa de desconto de 6% a.m.. Calcular desconto e o valor atual a ser 
pago. R: R$ 21.840,00; R$ 258.160,00. 
 
4. Um título de R$ 240.000,00 sofreu um desconto bancário, 27 dias antes de seu vencimento, 
numa instituição financeira que opera com uma taxa de desconto de 7% a.m.. Sabendo-se 
que é cobrada uma comissão de 0,5% sobre o valor nominal (valor futuro) qual o valor líquido 
recebido pelo portador? R:R$ 223.680,00 
 
 
5. Uma empresa desconta 5 títulos no valor total no valor de R$ 18.000,00 vencíveis em 36 dias, 
num banco que opera com a taxa de desconto de 4,5% a.m.. Sabendo-se que o banco cobra 
uma comissão antecipada de 0,5% sobre o valor nominal dos títulos, mais despesas para 
cobrança no valor de R$ 4,00 por título e mais o IOF (imposto sobre operações financeiras) 
que é de 0,123% a.m., qual o valor líquido creditado na conta da empresa? 
 R: R$ 16.891,43 
 
 Taxa de juro efetiva (ver pág. 16 e 17) 
 Numa operação de desconto, a taxa efetiva de juro é calculada levando-se em conta o valor 
nominal dos títulos (N), o prazo médio destes títulos (n) e o valor líquido (VL) recebido pelo 
portador. 
 É a taxa de juros que aplicada sobre o valor descontado, comercial ou bancário gera no 
período considerado um montante igual ao valor nominal. 
Seu cálculo pode ser realizado utilizando a fórmula: 
 
 
 
 N Fv D 
i f = - 1 ou if = -1 , if = 
 VL Pv A.n 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 27  
Nota: Os valores correspondentes ao Desconto e ao valor Atual – são utilizados tanto para juro 
comercial, quanto bancário. 
Ex.: Um título de R$ 3.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,4% ao mês. Faltando 50 dias para 
o vencimento do título, determine: 
(a) O valor do desconto comercial (b) O valor atual comercial (c) A taxa efetiva de juros 
 
 
 
 
Exercícios: 
1. Um título de $ 5.500,00 é descontado à taxa de 30% a.a., 3 meses antes de seu vencimento. 
Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 30% a.a. 
a) Qual o valor do desconto comercial? (R: R$ 412,50) 
 
b) Quanto recebeu o proprietário do título? (R: R$ 5.087,50) 
 
 
c) Qual a taxa efetiva de juros que incidiu sobre o valor atual? R: r= 32,43%a. a. ou 8,1% ao 
período 
 
2. Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de resgate 
é de $ 1.000,00 e cujo valor atual é de $ 880,00?(R: 3% ao mês). 
 
 
 
 
3. Uma empresa descontou um título de R$ 20.000,00, 39 dias antes de seu vencimento, 
num banco que opera com uma taxa de desconto de 6% a.m.. Qual a taxa efetiva de juro 
paga pela empresa nesta operação? (R: 8,46% ao período ou 6,5% a.m.) 
 
 
 
 
 
4. Se no exercício “3” fosse cobrada uma comissão de 0,4% sobre o valor nominal do título, 
qual seria a taxa efetiva de juro do período? (R: 8,93% ao periodp ou 6,87% a. m.) 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 28  
Desconto Bancário 
 Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa pré-fixada, cobrada 
sobre o valor nominal. 
 Essa taxa de despesas bancárias é referida freqüentemente como sendo as 
despesas administrativas (h) do banco ou instituição que faz a operação. O desconto 
bancário pode ser entendido como uma extensão do desconto comercial. 
Dessa forma, temos: 
 
 
 
 valor do desconto bancário.  valor atual bancário. 
Ex.: Um título de R$ 1.500,00 foi descontado no Banco A, que cobra 1,5% como despesa 
administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 2 meses antes de seu 
vencimento e que a taxa corrente em desconto comercial é de 24% a.a. 
Qual o valor do desconto bancário? R$ 82,50 
Quanto recebeu o proprietário do título? R$ 1.417,50 
Qual taxa efetiva de juros que incidiu sobre o valor atual?  34,92% ao ano 
Dados: N = 1.500 n = 2 meses 
 i = 24% ao ano ou 0,24 ao ano  corresponde a 0,02 ao mês. 
 h = 1,5% ou 0,015 sobre o valor. 
Db = N(i.n + h) Db = 1.500 (0,02 x 2 + 0,015)  Db = 82,50 
Ab = N – Db Ab = 1.500 – 82,50 = 1.417,50 
nA
D
i f .
 
250,417.1
50,82
x
i f   if = 0,0291 ou 2,91% ao mês e 34,92% ao ano 
Obs.: A taxa efetiva pode ser calculada por: 
 
 
 
 
Exercícios: 
1. Um título de R$ 5.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra 2% como despesa 
administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 3 meses antes de seu vencimento e 
que a taxa corrente em desconto comercial é de 30% a.a. 
Db= dc + db 
Db = N.i.n + N.h 
Db = N(i.n + h) 
Ab = N – Db 
Ab = N – (N * i * n + N * 
h) 
Ab = N[1 – (i.n + h)] 
 N Fv 
i f = - 1 ou if = -1 
 VL Pv 
 Queremos encontrar a taxa efetiva a.d., a.m ou a.a, devemos dividir esta 
equação pelo tempo dado no problema. 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 29  
a) Qual o valor do desconto bancário? R: R$522,50 
b) Quanto recebeu o proprietário do título? R: R$4.977,50 
c) Qual taxa efetiva de juros que incidiu sobre o valor atual? R: r=10,49% nos 3 meses. 
 
 
2. Um título de R$ 4.800,00 foi descontado no Banco Y, que cobra 1,8% como despesa 
administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 2 meses antes de seu vencimento e que 
a taxa corrente em desconto comercial é de 30% a.a. 
a) Qual o valor do desconto bancário? R: R$326,40 
b) Quanto recebeu o proprietário do título? R: R$ 4.473,60 
c) Qual taxa efetiva de juros que incidiu sobre o valor atual? R: r= 43,78% no ano ou 7,2% no 
período. 
 
3. Uma duplicata de R$ 23.000,00 foi resgatada 112 dias antes de seu vencimento por R$ 
21.068,00. Determine a taxa de desconto e a taxa efetiva. (R: r=2,25a.m.% e 9,17% ao 
período ou 2,46%a.m.) 
 
 
Equivalência de Capitais (ou de títulos) no Desconto Comercial. 
Às vezes temos necessidade de substituir um título (ou mais) por outro (ou outros) 
com vencimento diferente ou, ainda, de saber se duas formas de pagamento são 
equivalentes. Esses problemas estão ligados, de modo geral, à equivalência de 
capitais diferidos1. 
Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa 
época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais. 
Para a solução: estabelecer um data de comparação e comparar os valores atuais dos 
títulos nessa data. No regime de juros simples, a data deve ser a data zero (data de 
contração da dívida). 
Ex.1: Uma pessoa que substituir um título de R$5.000, vencível em 3 meses, por outro 
com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa 
de 3,5% ao mês, qual o valor nominal comercial do novo título? (R$ 5.424,24). 
Dados: N1 = 5.000 
 i1 = i = 3,5% a. m. = 0,035 a. m. 
 n1 = 3 meses n = 5 meses 
A = A1  N(1 – i x n) = N1(1 – i1 x n1) 
 
1 Capitais diferidos – são aqueles cujos vencimentos têm datas diferentes. Por exemplo, títulos de crédito 
com vencimentos diferentes. 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 30  
 A = N(1 – 0,035 x 5)  A = 0,825 N 
 A1 = 5.000(1 – 0,035 x 3)  A1 = 4.475 
donde vem: 0,825N = 4.475  logo o valor do novo título é de R$5.424,24 
Ex. 2: Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal de R$3.000 e o outro 
de R$ 3.600, vencíveis, respectivamente, dentro de 2 e 6 meses, por um único título 
vencível em 4 meses. Sendo a taxa de juro igual a 3% ao mês. Qual será o valor do novo 
título? (R$6.559,09) 
Dados: N1 = 3.000 N2 = 3.600 
 i1 = i2 = i = 3% a. m. = 0,03 a. m. 
 n1 = 2 meses n2 = 6 meses n = 4 meses 
A = A1 + A2  N(1 – i x n) = N1(1 – i1 x n1) + N2(1 – i2 x n2) 
 A = N(1 – 0,03 x 4)  A = 0,88 N 
 A1 = 3.000(1 – 0,03 x 2)  A1 = 2.820 
 A2 = 3.600(1 – 0,03 x 6)  A2 = 2.952 
Daí: 0,88 N = 2.820 + 2.952  0,88 N = 5.772  N = 6.559,09 
 Logo o valor do novo título é de R$ 6.559,09 
Ex. 3: Queremos substituir dois títulos, um de R$ 5.000 para 90 dias e outro de R$ 
12.000 para 60 dias, por três outros, com o mesmo valor nominal, vencível, 
respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcule o valor nominal comum, sabendo que a 
taxa de desconto comercial da transação é de 3% ao mês. (R$ 5.613,47). 
Dados: N1 = 5.000 N2 = 12.000 
 i1 = i2 = i = 3% a. m. = 0,03 a. m. 
 n1 = 3 meses n2 = 2 meses 
 n1’ = 1 mês n2’ = 2 meses e n3’ = 3 meses 
Para essa equivalência, devemos ter: 
A1’ + A2’ + A3’ = A1 + A2  N1’ = N2’ = N3’ = N 
N1’ (1 – i x n1’) + N2’ (1 – i x n2’) + N3’ (1 – i x n3’)= N1(1 – i1 x n1) + N2(1 – i2 x n2) 
 A1’ = N(1 – 0,03 x 1)  A1’ = 0,97 N 
 A2’ = N(1 – 0,03 x 2)  A2’ = 0,94 N 
 A3’ = N(1 – 0,03 x 3)  A3’ = 0,91 N 
 A1 = 5.000(1 – 0,03 x 3)  A1 = 4.550 
 A2 = 12.000(1 – 0,03 x 2)  A2 = 11.280 
Daí: 0,97N + 0,94N + 0,91 N = 4.550 + 11.280  2,82N = 15.830  N = 5.613,47 
Logo, o valor nominal de cada um dos novos títulos será de R$ 5.613,47. 
Exercícios: 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 31  
1. Um título de valor nominal igual a R$ 6.300 para 90 dias deverá ser substituído por outro 
 para 150 dias. Calcule o valor nominal do novo título, à taxa de 2,5% ao mês. (R: R$6.660) 
 
 
2. Um industrial deve pagar dois títulos: um de R$ 14.400 para 2 meses e outro de R$ 19.200 
para 3 meses. Entretanto, não podendo resgata-los no vencimento, propõe ao credor 
substituí-los por um novo título para 4 meses. Qual o valor nominal do novo título, sendo a 
taxa igual a 3,8% ao mês. (R: R$35.751) 
 
 
3. Substitua 3 títulos, um de R$ 4.000 para 30 dias, outro de R$ 10.000 para 60 dias e outro de 
R$ 16.000 para 90 dias, por dois outros títulos de iguais valores nominais, vencíveis em 90 e 120 
dias, respectivamente. Qual o valor nominal comum dos novos títulos, sabendo que a taxa de 
desconto comercial da transação é de 3,5% ao mês? (R: R$ 15.658,00). 
 
 
 
Desconto racional ou Desconto “Por Dentro” 
 Chamamos de desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo 
valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente. 
 Na prática somente o desconto comercial é utilizado, entretanto os conceitos de 
desconto racional são utilizados no descontocomposto. 
 
 
 
 
 
 
dr = valor do desconto racional Ar = valor atual ou valor descontado racional 
Ex.: Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% a.m. Faltando 45 dias 
para o vencimento do título, determine o valor do desconto racional e o valor atual 
racional. 
N= 60.000 n= 45 d = 1,5 m i = 0,021 a.m. 
288321
5102101
51021000060
1
,.
,x,
,x,x.
in
Nin
dr 


 
O valor do desconto racional é R$ 1.832,28 
Ar = N – dr = 60.000 – 1.832,28 = 58.167,72 
O valor atual racional do título é R$ 58.167,72 
OBS: comparando os valores obtidos com o desconto racional e com o comercial percebe-
se que o desconto racional é menor que o comercial. 
Exercício: 
dr = Ar x i x n 
Ar = N – dr 
Ar = N - Arin 
Ar + Arin= N 
Ar(1+ in)= N 
ni
N
A r 

1
 
dr = N - Ar 
dr = N - dr 
 in 
dr .in = Nin - dr 
 
 Nin 
dr = 
 (1 + in) 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 32  
1. Sabe-se que o desconto racional de uma operação financeira é de R$ 149,60, que o valor atual 
é de R$ 680,00 e que a taxa de juro de 2% a.m. 
a) Calcule o tempo de antecipação. R: 11 meses 
b) b) Qual o valor nominal do título. R: R$829,60 
 
 
 
2. Uma pessoa pretende saldar um título de R$ 5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. 
Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 30% a.a. 
a) Qual o desconto racional que vai obter? R: R$383,72 
b) Qual o valor a ser pago pelo título? R: R$ 5.1116,28 
c) Qual a taxa efetiva? R: i= 29,99% a.a. ou 30%ª.ª., 7,5% no período) 
 
 
 
3. Determinar o valor do desconto o valor atual racionais de um título de R$ 50.000,00, 
disponível dentro de 40 dias, à taxa de 3% ao mês. R: R$ 1.923,00 e R$ 48.077,00 
 
 
4. Uma dívida de R$ 12.000,00 será saldada 4 meses antes de seu vencimento. Que desconto 
racional será obtido, se a taxa de juros contratada for de 27% ao ano? R: $ 990,83 
 
 
 
5. Por quanto posso comprar um título com vencimento daqui a 6 meses, se seu valor nominal for 
de $ 20.000,00 e eu quiser ganhar 30% ao ano? R: $ 17.391,30. 
 
 
 
6. Qual o valor atual racional de um título de R$ 120.000,00 vencível ao final de 60 dias, sendo 
10% a.m., a taxa de juros simples? R$ 100.000,00 
 
 
 
7. No exercício “6”, qual é o valor do desconto racional? R: R$ 20.000,00 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 33  
 8. Um título de valor nominal R$ 5.3000,00 foi descontado racionalmente a taxa de 18% a.a.. 
Sabendo-se que o desconto sofrido foi de R$ 300,00, quantos dias antes do vencimento efetuou-
se a operação? R: 4 meses 
 
 
 
9. Uma nota promissória de valor nominal igual a R$ 8.856,00, com vencimento para 4 meses, foi 
comprada por R$ 8.000,00. Qual a taxa do desconto racional exigida pelo comprador? R: 
2,675% a.m. 
 
 
10. Qual é o valor futuro, que uma pessoa deverá receber se colocou o valor de R$ 5.600,00, a 
juro simples, sob uma taxa de 15% a.a.durante o período de 05/03/2005 a 28/09/2005? R: R$ 
6.083,00 (não comercial; ou R$6.076,38 se for ano civil) 
 
 
 
Exercícios complementares 
1. Calcule o valor futuro de um capital de R$ 3.600,00, colocado a juro à uma taxa de 12% a.a. 
de 2 de janeiro de 2004 a 28 de maio de 2005; (512 dias)? R: R$ 4.214,40 
2. Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juros simples, a que taxa foi i empregado 
esse capital? R: 12,5% 
3. Uma empresa pagou um título de R$ 16.240,00 com atraso de 18 dias. Se a empresa credora 
cobra juro simples à taxa de 5% a.m.. Qual o juro pago pela empresa devedora? R: R$ 487,20 
4. Um equipamento é importado e seu valor é financiado em 12 parcelas mensais iguais, 
acrescidas de juros simples de 12% ao ano, no seu vencimento. Sabendo-se que o total dos juros 
pagos no financiamento é de R$ 19.500,00, qual é o valor do financiamento? R$ 300.000,00. 
5. Uma mercadoria é vendida a prazo nas seguintes condições: R$ 100,00 de entrada, R$ 100,00 
em 36 dias, e R$ 100,00 em 66 dias. Sendo 3,3% a.m. a taxa linear de juros até que preço é 
interessante comprar a mercadoria à vista? R: R$ 289,42 
6. O desconto por fora, incide sobre uma letra de vencível em três meses e quinze dias, é de R$ 
560,00. Se a taxa cobrada pelo banco é de 1,6% a m., calcule o valor nominal. R:R$10.000,00 
7. Um título cujo valor nominal é R$ 12.400,00, foi descontado, num banco que opera com uma 
taxa de desconto de 5% a.m. 27 dias antes de seu vencimento. Sabendo-se que o banco cobra, 
ainda, uma taxa de IOF de 0,0041% a.d. e mais uma taxa de despesas administrativas de 0,8% 
sobre o valor nominal do título, determine: a) O valor do desconto. b) O valor das despesas 
administrativas. c) O valor do IOF. d) O valor líquido do título. e) A taxa de juros efetiva para o 
período paga pelo cliente. f) A taxa de juros simples mensal paga pelo cliente. 
 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 34  
 JURO COMPOSTO, OU SEJA, CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 Dizemos que um capital está empregado em juros compostos se no final de cada 
período financeiro, previamente estipulado, o juro simples produzido é somado ao capital 
passando a render juros no período seguinte. 
Período Juro do período Montante 
1 J1 = C x i M1 = C +J1 = C + (C x i) = C(1+i) 
2 
J2 = M1 x i 
M2 = M1 + J2 = M1 + M1 x i = M1 (1+i) = 
 C (1+i)(1+i) = C (1+i)2 
 
3 
J3 = M2 x i 
M3 = M2 + J3 = M2 + M2 x i = M2 (1+i) = 
 C (1+i)2 (1+i) = C (1+i)3 
 
... 
n Jn = Mn-1 x i Mn = C (1+i)
n 
 
 
 O mesmo que: O mesmo que: 
 
 
OBS: (1+i)n corresponde ao fator de capitalização. 
Exemplos: 
1. Considere uma aplicação inicial de R$1.000,00, à taxa de 20% ao ano, durante o período de 4 
anos. 
 Se você for usar uma calculadora eletrônica que possui a tecla xy, então o processo de 
cálculo pode ser assim verificado, usando o exemplo: 
Fator de capitalização é 1,24 1,2  xy 4 = 2,074 que multiplica com o capital inicial e resulta o 
Montante 1,2  xy 4 = 2,0736 x 1.000 = 2.073,60, ou seja, Fv =1.000 (1 + 0,2)4 =............ 
 Se você usa a calculadora HP 12C, então: 
Limpa os valores financeiros anteriores, se porventura existirem: f CLEAR FIN 
1000 CHS PV 4 n 20 i FV = 2.073,60 
Se você não usar a tecla CHS, o valor aparecerá no visor como sendo negativo. Teste. 
PV  Valor Presente – ou valor atual FV  Valor futuro ou Montante 
n  número de períodos (tempo) i  taxa em porcentagem 
 Quando não se tem calculadora apropriada, pode se usar uma tábua financeira. 
 Nos exemplos seguintes, analise os dados apresentados para inserir na calculadora. 
2. Calcule o montante produzido por R$ 20.000,00, aplicados no regime de juro composto a 5% 
ao mês, durante três meses. 
C= 20.000 n= 3 meses i = 0,05 a.m. 
50152230501000201 33 ,.),(.M)i(CM
n
n  
Mn = C (1 + i)n Jn = C i (1+i)n-1 
Jn = Pv i (1+i)n-1 Fv = Pv (1 + i)n 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 35  
ou utilizando a HP 12C f CLEAR FIN 
 20.000 CHS PV; 3 n; 5 i; 
 FV = 23.152,50 
Na calculadora HP 12C, podemos utilizar as 5 primeiras teclas da parte de cima lado 
esquerdo: n; i; PV; CHS; FV, naordem que desejar, observando que a grandeza que 
está sendo calculada deverá ser clicada por último. 
 No exemplo acima, temos: 3 n; 5 i; 20.000 CHS PV; FV 
 
3. Uma pessoa toma R$ 30.000,00 emprestados, a juro de 3% a.m., pelo prazo de 10 
meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? 
C= 30.000 n= 10 meses i = 0,03 a.m. (R$ 40.317,49). 
 
 
 
4. Calcule o capital inicial que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês produziu o montante 
de R$ 40.575,00. 
C= ? M5=40.575 n= 5 meses i = 0,03 a.m. (R: capital inicial é de R$ 35.000,35). 
 Pela fórmula: 
 
 
 Com HP 12C: 5 n; 3 i; 40.575,00 CHS FV; PV 
 
5. Uma loja financia um bem de consumo durável no valor de R$ 320.000,00, sem 
entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 404.900,00 no final de 6 meses. 
Qual a taxa cobrada pela loja? 
C= 320.000 M6=404.900 n= 6 meses i = ? a.m 
%,,i,i,)i()i(,
)i(,)i(
.
.
)i(..)i(CM nn
4040104001040011265311126531
1265311
000320
900404
10003209004041
66 66
666


 
 
Pode ser calculado utilizando as propriedades operatórias dos log (Logaritmo decimal) ou ln 
(logaritmo natural), aplicados na fórmula: 
 
 
 
 
Podemos ainda utilizar a HP 12C: 6 n; 404.900 FV; 320.000 CHS PV; i 
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6. Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000,00 pode ser quitado em único 
pagamento de R$ 22.125,00, sabendo que a taxa de juro contratada é de 15% ao 
semestre, em regime de juro composto. 
C= 11.000 Mn=22.125 n= ? semestres i = 0,15 a.t. 
 Utilizando a fórmula e as propriedades dos logaritmos: (R: 5 semestres, ou 2 anos e 6 meses). 
 
 
 
 Utilizando HP 12C: 15 i; 22125 FV; 11000 CHS PV; n 
 
AAttiivviiddaaddeess ddee ffiixxaaççããoo 
11.. UUmmaa ppeessssooaa rreecceebbee uummaa pprrooppoossttaa ddee iinnvveesstt iirr,, hhoojjee,, uummaa qquuaannttiiaa ddee RR$$ 112200..000000,,0000 ppaarraa 
rreecceebbeerr RR$$ 116611..227700,,0000 ddaaqquuii aa 1100 mmeesseess.. QQuuaall aa ttaaxxaa ddee rreennttaabbii ll iiddaaddee mmeennssaall ddoo iinnvveessttiimmeennttoo 
pprrooppoossttoo nnoo rreeggiimmee ddee jjuurrooss ccoommppoossttooss?? RR:: 33%% 
 
 
 
2. O capital de R$ 87.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, elevou-se no 
fim de certo tempo s R$ 114.536,00. Calcule este tempo. R: 8 meses 
 
 
 
3. Que capital deve ser empregado a juro composto a taxa de 12% a.t., para que em dois anos, 
em capitalização composta trimestral, constituir um montante de R$ 838.426,00? (Obs. passar o 
tempo para trimestre). R: R$ 338.626.13 
 
 
 
4. No final de quanto tempo, em capitalização mensal, a aplicação de um capital de R$ 
120.000,00 à uma taxa de 6% a.m. oportuniza um resgate de R$ 287.586,98? R: 15 meses 
 
 
 
5. Um capital empregado a juro composto com capitalização mensal, constitui, no final de 10 
meses, um montante de R$ 44.407,33. Se tivesse sido colocado durante dois anos, nas mesmas 
condições, teria constituído um montante de R$76.899,13. Determine o capital aplicado. R: R$ 
30.000,00 
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6.Uma empresa tomou emprestado R$ 98.000,00 e comprometeu-se pagá-la no final de 8 
meses mediante um pagamento de R$ 158.570,43. Calcular a taxa mensal de juro, sabendo que a 
capitalização é mensal. R: 6,2% 
 
 
 
 
7. O capital de R$ 50.000,00 ficou empregado durante 6 meses, sendo que nos dois primeiros à 
taxa de 4,7% a.m., nos dois seguintes à taxa de 4,9% a.m. e nos dois últimos à taxa de 5,3% 
a.m. Qual o montante constituído no final dos seis meses? R$ 66.876,12 
 
 
 
 
 8. Uma divida de R$ 100.000,00 está sendo paga com 132 dias de atraso, sob uma taxa de 12% 
ao mês. Qual deverá ser o valor cobrado se o cálculo é realizado no sistema de convenção 
exponencial. R$ 164.649,08. 
 
 
 
Taxas proporcionais e equivalentes 
 Taxas proporcionais: quando seus valores formam uma proporção com os tempos 
a elas referidos, reduzidos à mesma unidade. 
 Assim, 12% ao ano é proporcional a 1% ao mês  
mêsmesesano 1
%1
12
%12
1
%12
 
 Taxas equivalentes são aquelas que produzem o mesmo montante quando o tempo é 
o mesmo. Por exemplo: 
 taxa anual taxa trimestral 
 capitalização anual capitalização trimestral 
 Obs.: Em juros compostos as taxas proporcionais não são equivalentes. 
Exemplo: 
 Em um regime de juros compostos, relativo ao capital de R$ 1.000,00, calcule o 
montante nas duas situações: 
Durante 1 ano, à taxa de 24% a.a. 
 1)24,01(000.1)1( nn iCM .................... 
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Durante 12 meses, à taxa de 2% a.m. 
 12)02,01(000.1)1( nn iCM ............... 
 Como os dois montantes obtidos não são iguais, as taxas não são equivalentes, mas 
são proporcionais. 
Taxas equivalentes: Duas, ou mais taxas são equivalentes quando, referindo-se a 
períodos e capitalizações diferentes, fazem com que capitais iguais constituam, no final 
de determinado tempo, montante igual. 
Para as frações do ano, no regime de capitalização a juros compostos, as relações são: 
 (1 + id)360 = (1 + im)12 = (1 + it)4 = (1+is)2 = (1+ ia) 
Exemplo: 
Qual a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano? 
ia=30% a.a = 0,30 a.a 
Como (1 + it)4 = (1+ ia) então (1 + it)4 = (1+ 0,30) 
%,,i,)i(,)i( 78606780067811311 44 4  A taxa trim. É de 6,78% a.t. 
 
 Fórmula: C (1 + i) = C (1 + im)m 
 (1 + i) = (1 + im)m 
 i = (1 + im)m - 1 (fórmula 1) ou im = (1 + i)1/m - 1 (fórmula 1) 
 
 
Podemos utilizar também o modelo matemático: 
 
 Onde: i = taxa conhecida 
 iikk == ttaaxxaa aa sseerr ccaallccuullaaddaa 
 k = tempo do período da taxa a ser calculada. 
 mm == tteemmppoo ddaa ttaaxxaa ccoonnhheecciiddaa,, eemm rreellaaççããoo aa kk 
Exemplos: Sendo 18% a.m. a taxa efetiva de juro, determine a taxa efetiva para: 
a) Um dia. i(1) = (1 + 0,18)
1/30 –1 = ......... 
 
b) Quarenta dias. i(40) = (1 + 0,18)
40/30 –1 = ......... 
 
c) Um ano i(18)= (1 + 0,18)12/1 –1 = .......... 
 
ik = (1 + i)
k/m -1 
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EExxeerrccíícciioo:: 
1. Empreguei um capital de R$ 25.000,00 em regime de juros compostos, à taxa de 36% 
a.a. durante 6 meses. Calcular a taxa equivalente ao mês e o montante no final do 
tempo. R: R$ 29.153,94; R: 2,595% a.a.m 
 
 
 
 
Taxas nominais 
 Na prática é comum utilizar, por exemplo, juros de 48% ao ano, capitalizado 
semestralmente. Nestes casos onde o período de capitalização não coincide com o 
período a que a taxa se refere diz-se que a taxa é nominal. 
 Para resolver problemas que trazem em seu enunciado uma taxa nominal, adotamos, 
por convenção, que a taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa 
nominal. 
 Se, por exemplo, a taxa de capitalização é de 10% a.m., a taxa nominal será de: 
10% x 12m= 120% a.a. capitalizada mensalmente. 
Exemplo: 
Qual o montante de um capital de R$ 50.000,00, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao 
ano,