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Matemática financeira   6ed. Mathias

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que o juro e o principa l são devidos apenas no fim do prazo de ap licação, 
a menos que haja mudança de convenção: 
Juros 
,--~. 
: i 
_J I 
; 1 ! 
o 2 3 4 Períodos 
Veja que, apesar de a fórmula representar uma função contínua, pela convenção 
adotada ela se comporta de modo descontínuo. 
Um outro ponto importante diz respeito ao fato de que o prazo de aplicação (n) 
deve estar expresso, nas fórmulas, na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa 
(i) considerada. 
Exemplo: Quanto rende um principal de $ 100,00 aplicado à taxa de 5% ao se-
mestre e por um prazo de 2 anos? 
Resolução: e = 100,00 
i = 5% a.s. ou i = 0,05 a.s. 
n = 2 anos = 4 semestres 
Então, tem-se: 
J = Cin 
) = 1 ÜÜ,ÜÜ X Ü,05 X 4 = $ 20,00 
Juro e Montante 9 
4 Montante 
Define-se como montante de um capital, aplicado à taxai e pelo prazo de n perío-
dos, como sendo a soma do juro mais o capital inicial. 
Sendo C o principal, aplicado por n períodos e à taxa de juros i, temos o montante 
(N) como sendo: 
N = C + J 
N = C + Cin 
J N = e (1 + in) 1 
De modo análogo ao visto para o juro, dados 3 valores da fórmula poderemos 
obter o quarto valor: 
;; 
N = e (1 + in) " 
;; 
Exemplo: Qual é o montante de um capital de$ 1.000.00 aplicado à taxa de 10% 
a.a. pelo prazo de 2 anos? 
Resolução: e= 1.000,00 
i = 0,10a.a. 
n = 2 anos 
E sendo: 
N = C (1 + in) 
Substituindo-se os valores, tem-se: 
N = 1.000 (1 + 0, 1 O x 2) 
N = 1.000 (1 + 0,20) 
N = 1.000 x 1,20 
N = $ 1 .200,00 
1 O Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
É possível resolver o problema, seguindo-se a definição dada para montante: 
a) Calculando o juro devido: 
J = Cin 
) = 1 .000,00 X 0, 1 0 X 2 = $ 200,00 
b) Somando-se o juro com o principal: 
N = C + J 
N = 1.000.00 + 200,00 = $ 1.200,00 
5 Taxa proporcional 
Consideremos duas taxas de juros arbitrárias i 1 e i2, relacionadas respectivamente 
aos períodos n, e n2, referidos à unidade comum de tempo das taxas. 
Estas taxas se dizem proporcionais se houver a igualdade de quociente das taxas 
com o quociente dos respectivos períodos, ou seja, se 
Como em uma proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, 
temos: 
Ou seja, podemos escrever a fórmula do seguinte modo: 
Vejamos esta relação de modo gráfico, através de semelhança de triângulos: 
Juro e M onta nt e 11 
Exemplo: Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são propor-
cionais. 
Resolução: 
Temos: i 1 = 5% a.t. = 0,05 a .t. 
i2 = 20% a.a . = 0,20 a.a . 
n 1 = 3 meses 
n2 = 12 meses 
Como: 
S b . . d I 0,05 3 u st1tuin o-se os va ores: - - = -
0,20 12 
que são grandezas proporcionais, porque o produt o dos meios (0,20 x 3) é igual ao 
produto dos extremos (0,05 x 12). Lo
1
go, as taxas d adas são proporcionais. 
Exemplo: Sendo dada a taxa de juros de 24% a o ano, dete rminar a taxa propor-
cional mensal. 
Resolução: 
Tem-se: i1 = 0,24 a.a. 
n, = 12 meses 
i2 = ? 
tem-se: 
n2 = 1 mês 
0,24 12 
i2 
. . . 0,24 O . 2º' 0,24 x 1 = ,2 x 12 . . 12 = U = ,02 a.m. ou , = 'º a .m . 
Este problema (achar-se a taxa proporcional a uma fração de período) merece ser 
estudado com um pouco mais de cuidado. Sendo ia taxa de juros correspondente a 1 
período e admitindo-se que queremos determinar a taxa proporcional im, correspon-
dente à fração 1/m de um período, tem-se: 
1-.. - -·1-.. -,---+ ·1-.. -,- ·I 
m m m 
12 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
~ 
Ou seja, o intervalo de tempo unitário correspondente à taxa de juros i foi d iv idido 
em m partes iguais. 
Temos então: 
Como 
tem-se 
Portanto: 
I = 1 
n1 = período 
j2 = jm =? 
n 2 = __1_ de período m 
!J_ n, 
i2 n2 
\ 
1 ~ 1 
m 
Ou seja, para achar-se a taxa proporcional a uma fração de um período basta 
dividir a taxa dada pelo denominador da fração. Esta fórmula é a mesma que seria 
obtida caso a tàxa i se referisse a n períodos, dos quais se considerasse a fração n/m 
para cálculo da taxa proporcional i,,,, como o leitor pode verificar: 
n 
n 
m 
. I 
I = -
m m 
Exemplo: Sendo dada a taxa de 10% ao semestre, achar a taxa trimestral que lhe 
é proporcional. 
Resolução: i = O, 1 O a.s. 
Como: 
temos: 
m = 2 (porque um semestre tem dois trimestres) 
. i 
I =-
m m 
;
2 
= O, 1 O = 0,05 a.t. ou: í2 = 5% a.t. 2 
6 Taxa equivalente 
Duas taxas se dizem equivalentes se, aplicado um mesmo capital às duas taxas e 
pelo mesmo intervalo de tempo, ambas produzirem o mesmo juro. 
Juro e Montante 13 
r 
Sejam as taxas de juros i, referente a 1 período e im referente à fração 1/m, supos-
tas equivalentes. 
Pela definição dada, seja: 
J; = C . i . 1 = Ci 
que é o juro gerado quando se aplica o principal (C) à taxa dada (i) por um período. 
Por outro lado, como o período da taxa i foi dividido em m partes, então o princi-
pal (C) deverá ser aplicado por m períodos à taxa im: 
Como as taxas são supostas equivalentes, ambas devem ter gerado o mesmo juro, 
ou seJa: 
J. = )· 
, lm 
Portanto: Ci = Cimm 
' . I Isto e: ,m = ~ 
m 
Torna-se então evidente que, no regime de juros simples, as taxas de juros propor-
cionais são igualmente equivalentes. É, portanto, indiferente falar-se que duas taxas 
de juros são proporcionais ou que são equivalentes. 
Exemplo: Seja um capital de$ 10.000,00, que pode ser aplicado alternativamente 
à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 
anos, verificar se as taxas são equivalentes. 
Resolução: Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2 anos, teremos 
o juro de: 
) = 10.000,00 X 0,02 X 24 = $ 4.800,00 
Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% a.a., por 2 anos, teremos 
um juro igual a: 
) = 10.000,QO X 0,24 X 2 = $ 4.800,00 
Constatamos que o juro que será gerado é igual nas duas hipóteses e, 
nestas condições, concluímos que a taxa de 2% a.m. é equivalente à 
taxa de 24% a.a. 
7 Períodos não-inteiros 
Já vimos que o juro e o principal se supõem devidos apenas no final do prazo de 
aplicação. Entretanto, podem ocorrer situações em que o prazo de aplicação (n) não é 
14 Matemática Fina nceira • Mathias e Gomes 
um número inteiro de períodos a que se refere a taxa dada, sendo necessário conside-
rarem-se frações de períodos para que não se cometa erro no valor final. 
A solução pode ser obtida em duas etapas: 
1ª etapa: calcula-se o juro correspondente à parte inteira de períodos. 
2ª etapa: calcula-se a taxa proporcional à fração de período que resta e o juro 
correspondente. 
O juro total será igual à soma do juro referente à parte inteira de períbdos com o 
juro da parte fracionária. O montante será a soma do principal com o juro total. 
Exemplo: Qual o juro e qual o montante de um capital de $ 1.000,00 que é apli-
cado à taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos 
e 9 meses? 
Resolução: Sabemos que em 5 anos e 9 meses existem: 
5 x 2 semestres = 1 O semestres 
9 meses= 1 semestre e 3 meses 
Ou seja, em 5 anos e 9 meses temos 11 semestres e 3 meses. 
a) Cálculo do juro: 
1 ª etapa: J
1 
= 1.000,00 x O, 12 x 11 = $ 1.320,00 
2ª etapa: Calculamos a taxa de juros proporcional ao trimestre: 
im = _!__ = O, 12 = 0,06 a.t. 
m 2 
Portanto: J2 = 1.000,00 x 0,06 x 1 = $ 60,00 
Logo, o total de juros é: 
J = J, + ) 2 
J 1.320,00 + 60,00 
J $ 1.380,00 
Observe-se que a solução se obtém mais rapidamente lembrando-se que 3 meses é 
igual a 0,5 semestre e, nestas condições, 5 anos e 9 meses equivalem a 11,5 semestres: 
J = 1.000,00 x 0,12 x11,5 =$1.380,00 
Juro e M ontant e 15 
b) Montante: 
O montante é: 
N = C+J 
N = 1.000,00 +. 1.380,00 :. N = $ 2.380,00 
Evidentemente poderíamos obter o mesmo resultado raciocinando por etapas 
para obter

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