Matemática financeira 6ed. Mathias

Onde: 
Admitamos que a taxa de juros vigente na data 6 seja de 7% ao mês. Nestas 
condições, quanto a pessoa pode obter pelo título? 
A nova situação, em termos de representação gráfica, é a seguinte: 
o 6 12 (Meses) 
Chamemos de V o valor atual do título na data 6. Ou seja, 6 meses antes do 
seu vencimento. 
Para obter V, procedemos do seguinte modo: 
N = C (1 + i · n) 
N = 24.000,00 
C=V 
i = 7% ao mês 
n = 6 meses 
Logo, podemos calcular: 
24.000 = V (1 + 0,07 x 6) 
24.000 = V (1,42) 
V= 16.901,41 
Observe que a pessoa possui um título no valor de $ 24.000,00 na data 12 
(meses) e quer vendê-lo antes do vencimento. Foi por isto que "voltamos" 
6 meses no tempo, para a data em que está sendo tomada a decisão. Outra 
consideração importante é que a taxa de juros mudou desde que a pessoa 
fez a aplicação e o novo aplicador vai querer ganhar a taxa em vigor, pois 
esta passa a ser o custo de oportunidade do mercado. Isto é, a melhor op-
ção de ganho entre as alternativas disponíveis. 
22 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
Uma pergunta que surge naturalmente é: quanto valeria o título no mês 6 
se a pessoa o mantivesse consigo e o capitalizasse à taxa de aplicação de 
5% ao mês? 
Vejamos: 
N = 15.000 (1 + 0,05 x 6) 
N = 15.000 (1,3) 
N = 19.500,00 
Como pode-se observar, o valor obtido através da operação de desconto é 
bem menor. Este valor seria menor mesmo que a taxa de desconto utilizada 
fosse de 5% ao mês, como o leitor pode verificar. A razão para isto ficará 
evidente nos capítulos seguintes. 
d) Vamos admitir que a pessoa manteve o título em seu poder e que resolveu 
negociá-lo 3 meses antes do vencimento. Agora, a taxa de juros vigente no 
mercado é de 8% ao mês. Qual o valor do título nesta situação? 
Podemos representar a operação do seguinte modo: 
V' 24.000 
o 9 12 (Meses) 
Chamemos de V' o valor atual do título na data 9, isto é, quanto a pessoa 
vai obter em dinheiro se fizer a operação de desconto. 
Para obter V', procedemos de modo já explicitado: 
24.000 = V'(1 + 0,08 x 3) 
V' = 19.354,84 
Observe agora o que ocorre quando "capitalizamos" este valor atual à taxa 
de 8% ao mês: 
N = 19.354,84 (1 + 0,08 x 3) 
N = 24.000,00 
Isto quer dizer que o aplicador está recebendo seus 8% ao mês, como era 
esperado. 
Juro e Montante 23 
Podemos concluir que, em termos de-decisão financeira, o passado é irrelevante, 
pois são as condições atuais de taxa que determinam o valor dos títulos. Ou seja, ova-
lor atual da aplicação fica determinado pela taxa de juros, pelo valor nominal do título 
e pelo prazo de antecipação de vencimento. 
A taxa de juros é aquela fixada pelo mercado na data de cálculo do valor atual, 
isto é, o custo de oportunidade para o aplicador. Por custo de oportunidade entende-
se a taxa de juros que dê o maior ganho em determinada data para um mesmo nível 
de risco. 
9.4 Valor futuro 
Corresponde ao valor do título em qualquer data posterior à que estamos consi-
derando no momento. É o mesmo que montante, quando a data considerada for a do 
vencimento da aplicação. 
Exemplo: Considere que uma pessoa possui hoje a quantia de $ 10.000,00. 
A situação é a seguinte: 
1"ººº 
o n (Meses) 
a) Qual será o valor futuro se a pessoa aplicar esta importância à taxa de 5% ao mês, 
daqui a 3 meses? 
Temos: N = C (1 + i . n) 
Onde: N =? 
Logo: 
e = 10.000.00 
i = 0,05 
n = 3 meses 
N = 10.000 (1 + 0,05 x 3) 
N = 10.000 (1, 15) 
N = 11.500,00 
O valor futuro será de $ 11.500,00 daqui a 3 meses. 
24 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
b) Qual será o valor futuro dos mesmos $ 10.000,00 se a taxa for de 10% ao mês, 
daqui a 6 meses? 
Temos: N = C (1 + i · n) 
N = 10.000 (1 + O, 1 O x 6) 
N = 10.000 (1,60) 
N = 16.000,00 
Como o leitor já reparou, uma vez feita a aplicação, o valor futuro corresponde ao 
próprio montante ou valor nominal. 
1 O Exercícios resolvidos 
1. Calcular a taxa de juros trimestral proporcional às seguintes taxas: 
a) 24% a.a. 
b) 36% ao biênio 
c) 6% ao semestre 
Resolução: A proporção entre as taxas deve ser igual à proporção entre os períodos 
a que se referem. Portanto: 
Expressando os períodos em termos de meses, teremos que a taxa proporcional 
será obtida, em cada um dos casos, por: 
a) ,, = taxa trimestral 
;2 = 24% a.a. 
n, = 3 meses 
n2 = 12 meses 
,, 
. n, 
= /2 -
n2 
3 ,, = (24%) -
12 
:. i, = 6% a.t. 
b) i, = taxa trimestral 
'2 = 36% ao biênio 
n, = 3 meses 
n2 = 24 meses (visto que em cada ano temos 12 meses) 
3 
, , = (36%) -
. 24 
:. i, = 4,5% a.t. 
c) i, = taxa trimestral 
,2 = 6% a.s. 
n, = 3 meses 
n2 = 6 meses 
3 
i, = (6%) 6 
:. i, = 3% a.t. 
Juro e Montante 25 
2. Determinar a taxa de juros anual proporcional, dadas as seguintes taxas. 
a) 3% ao trimestre 
b) 27% ao quadrimestre 
c) 5% a.m. 
Resolução: Transformando os períodos em meses, teremos: 
a) i, = taxa anual 
12 = 3% a.t. 
n, = 12 meses 
n 2 = 3 meses 
Como: 
então 
12 i = (3%) -
1 3 
:. i, = 12% a.a. 
b) i, = taxa anual 
12 = 27% a.q. 
n, = 12 meses 
n2 = 4 meses 
26 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
i, 
. n, 
= /2-
n2 
i, 
12 
= (27%) -
4 
:. i, = 81% a.a. 
c) ,, = taxa anual 
;2 = 5% a.m. 
n, = 12 meses 
n 2 = 1 mês 
. n, 
,, = /2-
n 2 
12 
i, = (5%) -1 
:. i, = 60% a.a. 
3. Calcular o juro simples referente a um capital de $ 1.000.00 aplicado conforme 
hipóteses a seguir: 
Taxa de juros Prazo 
a) 15% a.a. 1 ano 
b) 17% a.a. 4 anos 
c) 21 % a.a. 5 meses 
d) 26,8% a.a. 30 meses 
e) 30,8% a.a. 5 anos e meio 
f) 38% a.a. 4 anos e 8 meses 
Resolução: O cálculo dos juros devidos será feito pela fórmula: 
J = Cin 
onde: J = juros 
C = capital inicial ou principal 
i = taxa de juros na forma unitária 
n = número de períodos da aplicação 
Nota: A taxa de juros nos cálculos, salvo situações em que a forma porcentual for 
explkitad~ encontrar-se-á sempre na /orma t//Jitáná. 
a) e = 1.000 
i = 15% a.a. 
n = 1 ano 
J = Cín 
) = 1.000 X 0,15 X 1 =$ 150,00 
bJ e = 1.000 
í = 17% a.a. 
n = 4 anos 
J = Cin 
J = 1.000 x O, 17 x 4 
) = 1 .000 X 0,68 = $ 680,00 
e) C = 1.000 
i = 21%a.a. 
n = 5 meses 
J = Cin 
)= 1.000 X o,21 X 5 
12 
Juro e Montante 27 
A taxa de juros i foi dividida por 12, porque a taxa é anual e o número de períodos 
se refere a meses. Prosseguindo, teremos: 
) = 1.000 X 0,0875 = $ 87,50 
d) e = 1.000 
í = 26,8% a.a. 
n = 30 meses 
J = Cin 
) = 1.000 X º' 268 X 30 
12 
) = 1.000 X 0,67 = $ 670,00 
e) e = 1.000 
i = 30,8% a.a. 
n = 5 anos e meio ou 5,5 anos 
J = Cin 
) = 1.000 X 0,308 X 5,5 
) = 1.000 X 1,694 = $ 1.694,00 
28 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
fJ e = 1.000 
i = 38% a.a. 
n = 4 anos e 8 meses 
J = Cin 
O 38 J = 1 .000 x -'- x 56; onde 56 = 4 anos e 8 meses 
12 
}= 1.000 X 1,77333 = $ 1.773,33 
Outro modo de se resolver o problema é transformar o número de períodos em 
termos anuais, onde os meses são representados por uma fração: 
} = 1.000 X 0,38 X ( 4 + 
1
8
2
) 
J = 1.000 X 0,38 X 4,666667 
} = 1.000 X 1,77333 = $ 1.773,33 
4. Que montante receberá um aplicador que tenha investido $ 5.000,00, se as hipó-
teses de taxas de aplicação e respectivos prazos forem: 
Taxa de juros Prazos 
a) 18% a.a. 6 meses 
b) 31,8% a.a. 2 anos e 7 meses 
c) 42% a.a. 4 anos e 3 meses 
Resolução: Considerando que o montante (N) é igual a 
N=C + J 
ou N = e (1 + in) 
podemos solucionar o problema de dois modos. No primeiro caso, calculamos inicial-
mente o valor dos juros, os quais serão adicionados ao capital investido, ou seja, o 
cálculo do montante (N) é feito em duas etapas. Na segunda expressão, este cálculo é 
efetuado diretamente. 
a) C = 5.000 
i