Matemática financeira 6ed. Mathias

.466 
- 4 .349 
- 4 .233 
- 4 .116 
Fluxo de Caixa 
(2) - (1 ) 
(12.157) 
(29.622) 
(3 .749) 
1.397 
5.397 
5.280 
5.1 64 
5.048 
4.931 
4.815 
4 .698 
4.582 
4 .466 
4.349 
4 .233 
4 .11 6 
Empréstimos 325 
Obs.: Os valores do fluxo de caixa entre parênteses são negativos. A taxa de retorno 
do fluxo de caixa é a taxa de juros i*, tal que: 
'* _ (12.157) (29.622) (3.749) 
V(,) - (1 + i*)° + (1+ ()1 + (1+()2 
1.397 
+ + (1 + ()3 
4.233 4.116 = O 
+ ... + ( * 14 + (1 + ,·*)15 1 + i ) 
Onde V (i*) é o valor atual do f luxo de caixa à taxa de juros i*. 
A determinação da taxa i* é feita por tentativa e erro. No caso da taxa de retorno 
de uma planilha de financiamento, sabemos que i* será igual ou maior que a taxa 
de juros cobrada. 
a) 1 "iteração: calculando o valor atual do fluxo, à taxa de 2,91% a.q., teremos: 
i1 = 2,91 % a.q => V (i1) = 842,48 
Como o valor atual é positivo, à taxa de 2,91 % a.q., "arrisca-se" uma taxa um 
pouco superior, digamos, 4% a.q.: 
i2 = 4% a.q. => V (i2) = - 2.726,09 
Esta situação pode ser visualizada graficamente como segue: 
Valor Atual 
842,48 
Taxa de Retorno 
o 1--~ ~ ~ ~_;_-'---'=-..,._,~~~~~~~___. 
- 2.726,09 
', 4 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' 
' ' . 
i",o a.q. 
Podemos obter uma estimativa da taxa de retorno, interpolando linearmente en-
tre os dois valores atuais, visto que: 
326 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
Então: 
rc
4
2 •• 
0
9
10
.:EJ 842,48 ~ 
~ :2.:=J 
j' - 2,91 
4,00 - 2,91 
O - 842,48 
= ~~~~~~~~ 
- 2.726,09 - 842,48 
i' = 2,91 + 1,09 (0,236083) 
:. i' = 3,17% a.q. 
Calculando-se o valor atual à taxa de 3, 17% a.q., vem: 
i'=3,17%a.q.::::::, V(i') = - 50,16 
Portanto, o valor atual ainda não é nulo. Caso se deseje uma taxa mais aproxima-
da, interpola-se entre os novos valores. 
b) 2 ª iteração: processando-se a segunda interpolação, temos: 
~iFJ 
3, 17 
i " -2,91 
3,17 - 2,91 
O - 842,48 
- 50, 16 - 842,48 
i" = 2,91 + 0,26 (0,943807) 
: . i" = 3, 1554% a.q. 
:42,48 ~ 
-5::-=J 
Calculando-se o valor atual à taxa de 3, 1554% a.q., obtemos: 
/" = 3, 1554% a.q. ::::::, V (i'1 = - O, 75 
Por conseguinte, o custo efetivo do empréstimo é de 3, 1554% a.q., ou em termos 
anuais: 
1 + i = (1,031 554)3 
1 + i = 1,097680 
:. i = 0,097680 ou i = 9,77% a.a. 
Empréstimos 327 
1 O. A uma pequena empresa são emprestados $ 50.000,00, a serem pagos pelo Siste-
ma Francês de amortização. As condições do financiamento são as seguintes: 
a) Prazo: 1 O semestres. 
b) Juros: 6% a.s. 
c) Despesas contratuais: 2% sobre o valor do financiamento a ser pago no ato. 
d) Imposto sobre Operações Financeiras (IOF): 1 % sobre o total do financiamento 
mais encargos. 
Qual é o custo efetivo anual cobrado pela agência financiadora? Separar os custos 
financeiros período a período. 
Resolução: 
a) Prestação (R): 
P=R ·an1; 
P = 50.000 
r = 6% a.s. 
n = 1 O semestres 
50.000 = R · a 1Õl
6 
50.000 = R {7,360087) 
R= 
50.000 
7,360087 
R = $ 6.793,40 
b) Despesas Contratuais (DC): 
DC = 0,02P 
DC = 0,02 (50.000) 
:. DC = $ 1.000,00 
c) Imposto sobre Operações Financeiras (IOF): 
IOF = 0,01 [R · n + DC] 
Como nas prestações estão incluídos os juros e a amortização do principal, então 
R · n = Principal + Juros 
IOF = 0,01 [6. 793,40 (1 O) + 1.000,00] 
IOF = 0,01 (68.934,00) 
IOF = $ 689,34 
328 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
PLANILHA DE FINANCIAMENTO 
($) 
Semestres Saldo Amor- Juros Prestação IOF Despesas 
(k) Saque Devedor tização (Jk) (Ak + Jk) (2) Contrato (Sdk) (A.) (1) (3) 
o 50.000,00 50.000,00 - - - 689,34 1.000,00 
1 - 46.206,60 3.793,40 3.000,00 6.793,40 - -
2 - 42. 185,60 4.021 ,00 2.772,40 6.793,40 - -
3 - 37.923,34 4 .262,26 2.531,14 6.793,40 - -
4 - 33.405,34 4.518,00 2.275,40 6.793.40 - -
5 - 28.616,26 4.789,08 2.004,32 6.793,40 - -
6 - 23.539,84 5.076.42 1.716,98 6.793.40 - -
7 - 18.158,83 5.381,01 1.412,39 6.793,40 - -
8 - 12.454,96 5.703,87 1.089,53 6.793,40 - -
9 - 6.408,86 6.046, 10 747,30 6.793,40 - -
10 - - 6.048,86 384,54 6.793,40 - -
Total - - 50.000,00 17 .934,00 67.934,00 689,34 1.000,00 
O fluxo de caixa será: 
1.689,34 6.793,40 6.793.40 6.793.40 6.793,40 
I, 1 1 1 J 9 1 O (Semestres) 2 
50.000,00 
Desembolso 
Total 
(1) + (2) + (3) 
1.689,34 
6.793,40 
6 .793,40 
6.793,40 
6.793,40 
6.793,40 
6.793,40 
6.793,40 
6.793,40 
6.793,40 
6.793,40 
69.623,34 
Portanto, a agência f inanciadora empresta à empresa $ 48.310,66, ou seja, 
50.000 - 1.689,34, e recebe 1 O prestações semestrais de $ 6. 793,40. 
e 
O custo efetivo será a taxa de juros, tal que: 
48.310,66 = 6.793,40 ª,o1; 
Ou seja, recaímos no modelo básico de anuidades. 
48.310,66 
6.793,40 = ~ ; 
7, 111 411 = ª ,o1; 
Procurando-se na tabela financeira (ou fazendo-se o cálculo do a •. ), temos: 
m, 
ª ,o16 = 7 ,360087 
ª,o17 = 7,023582 
Interpolando-se linearmente, vem: 
i'- 6 7,11 141 1- 7,360087 
7 - 6 7,023582 - 7,360087 
i'- 6 - 0,248676 
1 - 0,336505 
i = 6 + 1 (0,7390) 
7,360087~ 
7, 111411 
7,023582 
:. i' = 6,739% a.s. ou i' = 6,74% a.s. 
Testando-se, obtém-se o seguinte fator: 
ª 1Õ16,74 = 7' 108777 
Na segunda iteração, vem: 
i" - 6 7,111411- 7,360087 
6, 7 4 - 6 7, 108777 - 7,360087 
i" - 6 -0,248676 
0,74 - 0,25131 0 
j" = 6 + 0,74 (0,9895) 
:. i" = 6,732% a.s. 
Testando-se, temos: 
ªi"õ16,732 = 7' 111424 
Emprést imos 329 
Portanto, o custo efetivo do empréstimo é de 6, 732% a.s., ou em termos anuais. 
1 + i = (1,06732)2 
1 + i = 1, 13917 
:. i = O, 13917 ou i = 13,92% a.a. 
330 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
11 . O Banco Irmãos & Primos S.A. concede a uma empresa o financiamento de 
$ 200.000,00, a ser liberado em 3 parcelas anuais de $ 20.000,00 (1 2 ano), 
$ 100.000,00 (2 2 ano) e$ 80.000,00 (3 2 ano) . A taxa de juros contratada é de 20% 
a.a. e a amortização será feita pelo Sistema Americano. As principais característi-
cas do financiamento são: 
a) Prazo Total: 6 anos, incluindo 3 anos de carência, período este em que não 
serão pagos os juros. 
b) Despesas Contratuais: $ 2.000,00 a serem pagos no ato da assinatura do 
contrato de financiamento. 
A empresa, prevendo a amortização que deverá efetuar ao fim do 6!l ano, resol-
ve constituir um fundo de amortização (Sinking Fund), efetuando 4 depósitos 
iguais, anuais, a partir do 32 ano, em uma instituição que paga 15% a.a. sobre o 
saldo credor. 
De posse de todos os dados expostos. pergunta-se: 
12) Qual é o custo efetivo do empréstimo do Banco Irmãos & Primos S.A.? 
22 ) Qual é o custo efetivo final deste empréstimo para a empresa financiada? 
Resolução: Para responder a essas questões devemos primeiro calcular a planilha 
do financiamento do banco e em segundo lugar, considerando o fundo 
de amortização, calcular o fluxo de caixa líquido da empresa. 
Ano 
(k) Saque 
o 20 .000,00 
1 100.000,00 
2 80.000,00 
3 -
4 -
5 -
6 -
Total -
PLANILHA DE FINANCIAMENTO 
($) 
Saldo Juros Amortização 
Devedor (Jk) (Ak) 
(Sdk) (1) (2) 
20.000,00 - -
124.000,00 - -
228.800,00 - -
228.800,00 45.760,00 -
228.800,00 45.760,00 -
228.800,00 45.760,00 -
228.800,00 45.760,00 228.800,00 
- 183.040,00 228.800,00 
Despesas 
Contrato 
(3) 
2.000,00 
-
-
-
-
-
-
2.000,00 
O sa ldo devedor do período 1 (Sd1) foi obtido por: 
Sd, = 20.000 (0,20) + 20.000 + 100.000 
Sd, = 4.000 + 20.000 + 100.000 = $ 124.000,00 
Prestação 
(1) + (2) + (3) 
2.000,00 
-
-
45.760,00 
45.760,00 
45.760,00 
274.560,00 
421 .840,00 
Empréstimos 331 
Os juros são incorporados ao saldo devedor porque não foram pagos. O mesmo