gEOMETRIA ESPACIAL

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1 
 
LICEU MUNICIPAL PREFEITO CORDOLINO AMBRÓSIO 
 
Apostila de Matemática – 3º Bimestre 
3001 – 3002 – 3003 
 
1 PRISMA 
 
1.1 Conceito 
 
 
 
 Suas superfícies são constituídas de polígonos; 
 Cada um tem pelo menos duas faces contidas 
em planos paralelos; 
 Os planos que contêm as outras faces 
interceptam-se dois a dois em retas paralelas 
entre si.
 
 
 
 
Considerando α e β como sendo dois planos 
paralelos diferentes, podemos considerar uma região 
poligonal contendo n lados que está contida em α e 
uma reta r que interrompe os planos α e β nos pontos 
A e B respectivamente. 
Podemos chamar de prisma, a união dos diversos 
segmentos paralelos ao segmento da reta AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 Elementos 
 
 
 
 
 
 
 bases (polígonos); 
 faces (paralelogramos); 
 arestas das bases (lados das bases); 
 arestas laterais (lados das faces que não 
pertencem às bases); 
 vértices (pontos de encontro das arestas); 
 altura (distância entre os planos das bases).
Edward
Realce
Edward
Realce
Edward
Lápis
Edward
Retângulo
Edward
Lápis
Edward
Caixa de texto
 null GEOMETRIA ESPACIALnull 2° ANO MATEMÁTICA - UNIPARnull PROFESSOR : EDWARD JUNIOR GALINAnull
 2 
 
1.3 Classificação 
 
1.3.1 Quanto ao número de lados 
 
Classifica-se quanto ao número de lados dos polígonos de cada base: triangular, quadrangular, pentagonal, etc. 
 
 
 
1.3.2 Quanto à inclinação 
 
Classifica-se devido à inclinação de suas arestas laterais em relação aos planos das bases. 
 
 
 
 
1.4 Paralelepípedo 
 
Um prisma cujas bases são paralelogramos é chamado paralelepípedo. 
O paralelepípedo pode ser: 
 
 Oblíquo: a superfície total é a reunião de seis paralelogramos. 
 
 
 Reto: a superfície total é a reunião de quatro retângulos (faces laterais) com dois paralelogramos (bases). 
 
 
 3 
 Retângulo ou reto-retângulo: a superfície total é a reunião de seis retângulos. 
 
 
 
 Cubo (paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes): a superfície total é a reunião de seis 
quadrados. 
 
 
 
 
1.4.1 Paralelepípedo Retângulo 
 
Vamos considerar o paralelepípedo representado na figura abaixo, no qual os lados do retângulo da base medem 
a e b e a altura mede c; dizemos que a, b e c são as dimensões do paralelepípedo. 
 
 
 
 
1.4.1.1 Cálculo da área total 
 
 
 
Fazendo uma planificação do paralelepípedo 
retângulo dado, observa-se que a sua área total S é 
igual à soma das áreas de seis retângulos, dois a dois 
congruentes. 
 
Assim: 
 
321 .2.2.2 AAAS 
 
 
ou seja: 
 
bcacabS 222 
 
 
Note que: 
 
Área lateral 
bcacSl 22 
 
Área das bases 
abSb 2
 
 4 
1.4.1.2 Cálculo da diagonal 
 
 
 
 
Sejam d a medida da diagonal do paralelepípedo e d’ a medida da diagonal da base, observe que os triângulos 
BAD e D’DB são retângulos: 
 
 
 
 
Temos: 
 
No ∆BAD: 
222' bad 
  (1) 
No ∆D’DB: 
222 ' cdd 
  (2) 
 
Substituindo (1) em (2) temos: 
2222 cbad 
 
 
ou seja  222 cbad  
 
 
 
 
 
1.4.1.3 Cálculo do volume 
 
 
 
O volume V de um paralelepípedo retângulo de 
dimensões a, b e c é dado pela fórmula: 
 
cbaV ..
 
 
Sendo 
ba.
 a área da base 
bA
 e 
c
 a altura h do 
paralelepípedo, temos: 
 
 cbaV ..
  
hAV b .
 
 5 
Exemplo 1 
 
 
Um marceneiro deve construir um tabuleiro de xadrez na forma de um paralelepípedo retângulo, para construí-
lo recebeu as seguintes instruções: 
 As dimensões do tabuleiro deveriam ser de 40 cm de comprimento por 20 cm de largura, por 5 cm de 
altura; 
 Ele deveria ser envernizado apenas na superfície superior e nas superfícies laterais; 
 A madeira deveria ser o ipê. 
 
 
 
a) Se esse marceneiro gasta, em média, R$ 15,00 para revestir de verniz uma superfície de 1m², quanto gastará 
para envernizar o tabuleiro? 
 
Primeiro, calculemos a área S da superfície a ser envernizada. 
Essa superfície é composta de uma das bases e das quatro 
faces laterais do paralelepípedo retângulo de dimensões 
a=40cm, b=20cm e c=5cm. 
Assim, 
bcacabS 22 
, e temos: 
 
22 14,01400
200400800
5.20.25.40.220.40
mcmS
S
S



 
 
 
O custo para envernizar o tabuleiro pode ser obtido pela regra de três simples: 
 
xm
reaism


2
2
14,0
151 reaisxx 10,215.14,0 
 
 
 
 
 
b) Se por 1m³ de ipê ele paga R$ 900,00 ao seu fornecedor, qual será o custo da madeira a ser usada na 
confecção do tabuleiro? 
 
O volume V da madeira a ser usada na confecção do tabuleiro é igual ao volume do paralelepípedo retângulo de dimensões a=40cm, 
b=20cm e c=5cm. 
Assim, 
cbaV ..
, e temos: 
33 004,04000
5.20.40
mcmV
V

 
 
O custo da madeira pode ser obtido pela regra de três: 
 
xm
reaism


3
3
004,0
9001 reaisxx 60,3900.004,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
1.4.2 Cubo 
 
 
O cubo é um paralelepípedo retângulo cujas seis faces 
são quadrados. Assim, suas 12 arestas são congruentes 
entre si. 
Já temos as fórmulas da área, da diagonal e do 
volume de um paralelepípedo retângulo que são: 
 
bcacabS 222 
 222 cbad  
hAV b .
 
 
Fazendo 
cba 
, em cada fórmula temos: 
 
1.4.2.1 Área do cubo S 
 
aaaaaaS 222 
  26aS  
 
1.4.2.2 Diagonal do cubo d 
 
222 cbad 
 = 
23a
  
3ad 
 
 
1.4.2.3 Volume do cubo V 
 
aaaV ..
  3aV  
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
 
Na figura ao lado tem-se um peso feito de ferro. 
Ele tem a forma de um cubo, cuja área total é de 150 
cm². 
Sabendo-se que a densidade do ferro é 7,8 g/cm³, 
qual é a massa desse peso? 
 Sabe-se que a área total de um cubo de aresta a é dada por: 
cmaaaaS 52561506 222 
 
 
 O volume do peso (cubo) é: 
333 1255 cmVVaV 
 
 
 Como a densidade do ferro é 7,8g/cm³, isto é, a massa de 1cm³ de ferro é igual a 7,8g, a regra de três nos permite obter a 
massa do peso: 
 
xm
gcm


3
3
125
8,71 gxx 9758,7.125 
 
 
 
 
 
 7 
Exercícios propostos 
 
 
1- Calcule a diagonal, a área e o volume de cada um dos paralelepípedos, cujas medidas estão indicadas abaixo: 
 
a) cubo 
 
 
b) paralelepípedo retângulo 
 
 
c) paralelepípedo retângulo 
 
 
2- Represente, por meio de expressões algébricas, a diagonal, a área total e o volume de cada um dos 
paralelepípedos cujas medidas estão indicadas abaixo: 
 
a) cubo 
 
 
b) paralelepípedo retângulo 
 
 
c) paralelepípedo retângulo 
 
 
3- Calcule a terceira dimensão de um paralelepípedo, sabendo que duas delas medem 4 cm e 7 cm e que sua 
diagonal mede 
103
cm. 
 
 
 
4- Determine a diagonal de um paralelepípedo, sendo 62cm² sua área total e 10 cm a soma de suas dimensões. 
 
 
 
5- Para revestir a superfície do cubo representado na 
figura ao lado, um artesão usou 300 cm² de papel. Se 
ele usou a menor quantidade possível de papel, 
determine: 
 
a) a aresta do cubo; 
b) o volume do cubo. 
 
 
 
 
5- Calcule a aresta de um cubode 27 m³ de volume. 
 
 
6- Calcule a diagonal, a área total e o volume de um cubo cuja soma das medidas das arestas vale 30 cm. 
 8 
7- (UF-PR, adaptado) Pelo regulamento de uma companhia de transportes aéreos, é permitido levar a bordo 
objetos de tamanho tal que a soma de suas dimensões (comprimento, largura e altura) não exceda a 115 cm. 
Assim, quais das afirmações seguintes estão corretas? 
 
a) É permitido levar uma caixa em forma de cubo com altura de 0,35 m. 
b) É permitido levar um pacote com 55 cm de comprimento, 30 cm de largura e 40 cm de altura. 
c) Para que possa ser levada a bordo uma caixa de comprimento, largura e altura, respectivamente indicados 
por a, b e c, em centímetros, é necessário que as medidas verifiquem a condição 
115 cba
. 
d) Um pacote com formato de paralelepípedo reto de base quadrada de lado 30 cm poderá ser levado a bordo 
se qualquer face lateral tiver uma de suas diagonais medindo 
530
cm. 
e) Se um objeto a bordo tem formato de paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 20 cm, 30 cm e 40 cm, 
então o seu volume é 100% maior do que o volume de outro objeto com mesmo formato e de dimensões 
10 cm, 15 cm e 80 cm. 
 
 
 
8- (UF-AL, adaptado) Considere o paralelepípedo retangular representado abaixo. 
 
Assinale V ou F, conforme as proposições seguintes sejam, respectivamente, verdadeiras ou falsas. 
 
a) ( ) Seu volume é 
xxx 107 23 
. 
b) ( ) A área da face ABCD é 
xx 22 
. 
c) ( ) Se a área da face ABCD é 24cm², então x = 6 cm. 
d) ( ) A área total é 
10216 2  xx
. 
e) ( ) Se x = 2 cm, então a área total é 10 cm². 
 
 
 
1.5 Áreas e Volumes de um Prisma 
 
1.5.1 Área da base (
bA
) 
 
Como a base de um prisma é um polígono, a área da base de um prisma é a área de um polígono. 
 
Por exemplo, se a base de um prisma for um quadrado de lado a, então 
2aAb 
; se a base do prisma for um 
triângulo de base b e altura h, então 
2
.hb
Ab 
. 
 
1.5.2 Área lateral (
lA
) 
 
Como a superfície lateral de um prisma é a reunião de suas faces laterais, então a área dessa superfície é a soma 
das áreas das faces laterais. 
lA
= soma das áreas das faces laterais 
 
 9 
1.5.3 Área total (
tA
) 
 
Como a superfície total de um prisma é a reunião da superfície lateral com as bases, a área total de um prisma é 
dada por: 
blt AAA .2
 
 
1.5.4 Volume (
V
) 
 
O volume de um prisma, como o de um paralelepípedo retângulo, é igual ao produto da área da base pela medida 
da altura: 
hAV b .
 
 
 
 
Exemplo 3 
 
 
Uma marmoraria fabrica mesas como a mostrada 
na figura ao lado, a qual é composta de dois 
prismas de mármore acoplados: 
 
 O tampo, com 0,5 m de altura, é um 
prisma regular hexagonal cuja aresta da 
base mede 0,70 m; 
 O suporte do tampo é um paralelepípedo 
retângulo que tem 0,70m de altura e cuja 
base é um quadrado com 0,50 m de lado. 
 
 
Considerando esses dados, responda: 
 
a) Qual o volume do mármore que compõe a estrutura da mesa? 
 
Devemos calcular o volume dos dois prismas. 
 
V1: volume do prisma regular hexagonal 
 
4
3
2
2
3
.
2
3
2
.
2
.
l
A
l
l
A
l
h
hl
A
eq



















, assim 
2
3
.3
4
3
.6
22 ll
Ahex 
 
Logo, a área da base é: 
2
2
3735,0
2
349,0
.3
2
3.7,0
.3 mAhex 
 
227,1 mAhex 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como 
hAV b .1 
, então: 
3
11 064,005,0.3735,0 mVV 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
 
V2: volume do paralelepípedo retângulo 
 
  222 25,050,0 mlAb 
 
3
222 175,070,0.25,0. mVVhAV b 
 
 
Volume total do mármore: 
3
21 239,0175,0064,0 mVVVVV 
 
 
 
 
b) Se para aplicar uma resina impermeabilizante na pedra o fabricante cobra R$ 20,00 o metro quadrado, quanto 
custaria aplicar essa resina na superfície dos dois prismas que compõem a mesa? 
 
Vamos calcular as áreas totais dos dois prismas. 
 
At:área total do prisma regular hexagonal 
 
 
)____.(2)____.(6 regularhexágonoumdeárealateralfaceumadeáreaAt 
 
 
Como






),___(27,1___
035,005,0.70,0____
2
2
anterioritemnocalculadamregularheágonodoárea
mmmlateralfaceumadeárea 
Temos: 
275,227,1.2035,0.6 mAA tt 
 
 
 
A’t:área total do paralelepípedo retângulo 
 
 
 
   
2
2
90,1'
50,0.270,0.50,0.4'
)___.(2)____.(4'
mA
A
quadradoumdeárealateralfaceumadeáreaA
t
t
t



 
 
Logo, a área total a ser impermeabilizada é: 
265,490,175,2' mAA tt 
 
 
Se o fabricante cobra R$ 20,00 para aplicar a resina em uma superfície de 1 m², então pagará pela aplicação nas superfícies dos 
prismas: 
9320.65,4 
reais. 
 
 
 11 
Exercícios propostos 
 
 
9- Calcule a área lateral, a área total e o volume de cada um dos prismas abaixo. 
 
a) prisma reto (triangular) 
 
 
b) prisma regular (hexagonal) 
 
 
c) prisma oblíquo (base 
quadrado) 
 
 
 
 
10- Represente, por meio de expressões algébricas, a área lateral, a área total e o volume de cada um dos prismas. 
 
a) prisma regular (triangular) 
 
 
b) prisma regular (hexagonal) 
 
 
c) prisma reto (triangular) 
 
 
11- A base de um prisma de 10 cm de altura é um triângulo retângulo isósceles de 6 cm de hipotenusa. Calcule a 
área lateral e o volume do prisma. 
 
 
12- Determine a área lateral e o volume de um prisma reto de 25 cm de altura, cuja base é um hexágono regular 
de apótema 
34
cm. 
 
 
13- Determine a aresta da base de um prisma triangular regular, sendo seu volume 8 m³ e sua altura 80 cm. 
 
 
 
14- Um prisma reto tem por base um hexágono regular. Qual é o lado do hexágono e a altura do prisma, sabendo-
se que o volume é de 4 m³ e a superfície lateral de 12 m²? 
 
 
 
15- Um prisma pentagonal regular tem 8 cm de altura, sendo 7 cm a medida da aresta da base. Calcule a área 
lateral desse prisma. 
 12 
16- (UF-GO) A figura ao lado representa um prisma 
reto, de altura 10 cm e cuja base é um pentágono 
ABCDE. Sabendo-se que AB = 3 cm e BC = CD = 
DE = EA = 2 cm, calcule o volume do prisma. 
 
 
 
 
17- (Vunesp-SP) Um tanque para criação de peixes tem a forma da figura abaixo. 
 
 
 
Em que ABCDEFGH representa um paralelepípedo retângulo e EFGHII, um prisma cuja base EHI é um triângulo 
retângulo (com ângulo reto no vértice H e ângulo α no vértice I tal que 
5
3
sen
). A superfície interna do tanque 
será pintada com material impermeabilizante líquido. Cada metro quadrado necessita de 2 litros de 
impermeabilizante, cujo preço é R$ 2,00 o litro.Sabendo-se que AB = 3 m, AE = 6 m e AD = 4 m, determine: 
 
a) as medidas EI e HI; 
b) a área da superfície a ser pintada e quanto será gasto, em reais. 
 
 
 
18- (UF-MG) O volume de uma caixa cúbica é 216 litros. A medida de sua diagonal, em centímetros é: 
 
a) 
38,0
 
b) 6 
c) 60 
d) 
360
 
e) 
3900
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
2.0 PIRÂMIDE 
 
2.1 Conceito 
 
Consideremos um polígono num plano α e um 
ponto V fora de α. Tomemos segmentos de reta, cada 
um com uma extremidade em V e a outra num ponto 
do polígono: a reunião desses segmentos é um sólido 
chamado pirâmide. 
 
Note que, na figura ao lado, o polígono ABCD é 
um quadrilátero – daí a pirâmide ser chamada de 
pirâmide quadrangular.2.2 Elementos 
 
 
Considerando a pirâmide VABCDE, temos: 
 
 V (vértice da pirâmide); 
 O polígono ABCDE (base da pirâmide); 
 Os lados AB, BC, CD, DE e EA (arestas da base); 
 Os segmentos VA, VB, VC, VD e VE (arestas 
laterais); 
 Os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE e VEA 
(faces laterais); 
 Distância de V ao plano da base (altura da pirâmide) 
 
 
 
2.3 Classificação 
 
São classificadas de acordo com as bases. 
 
 
 
 
2.3.1 Pirâmide regular 
 
Sua base é um polígono regular e suas arestas laterais são congruentes entre si. 
 14 
Uma pirâmide regular tem as seguintes características: 
 
 A projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base; 
 As faces laterais são triângulos isósceles congruentes; 
 O apótema da pirâmide regular, indicado por g, é a altura de uma face lateral. 
 Relação notável: 
222 hmg 
 
 
 
 
2.3.1.1 Áreas e Volume 
 
 
2.3.1.1 Área da base (
bA
) 
 
Calcula-se pela área do polígono de base. 
 
2.3.1.2 Área lateral (
lA
) 
 
A superfície lateral de uma pirâmide é constituída de triângulos, então: 
 
lateraisfacesdasáreasdassomaAl _____
 
 
2.3.1.3 Área total (
tA
) 
 
lbt AAA 
 
 
 15 
2.3.1.4 Volume ( V ) 
 
)__).(__(
3
1
alturadamedidabasedaáreaV 
 
hAV b .
3
1

 
 
 
2.4 Tetraedro regular 
 
Tetraedro regular é uma pirâmide que tem as quatro 
faces congruentes. Observe na figura: 
 
 As seis arestas são congruentes; 
 As faces ABC, ACD, ABD e BCD são 
triângulos eqüiláteros, e qualquer uma delas 
pode ser considerada base do tetraedro 
regular. 
 
2.4.1 Área total (
tA
) 
 
tA
 é quatro vezes a área de uma face, que é um triângulo equilátero de lado a. 









4
3
.4.4
2a
AAA tfacet
 
32aAt 
 
 
 
2.4.2 Altura (
h
) 
 
Para calcular a altura, olhando a pirâmide, temos: 
     222 BOAOAB 
, onde procuramos AO. 
 
3
3
..
a
h equiltriang 
 Como: 











3
3a
OB
hAO
aAB
 
 
Aplicando no teorema de Pitágoras temos: 
 
9
6
9
6
9
39
9
3
9
3.
3
3 222
22
2
2
22
2
22
2
22 ah
a
h
aa
h
a
ah
a
ha
a
ha 










 
3
6a
h 
 
 16 
2.4.3 Volume (
V
) 
 
Temos a fórmula para calcular o volume de uma pirâmide 
hAV b .
3
1

, assim: 









3
6
4
3
)__(___
2
a
h
a
equiláterotriângulofaceumadeáreaAb
 
 
Aplicando na fórmula: 

3.4.3
23
3.4.3
18
3
6
.
4
3
.
3
1
.
3
1 332 a
V
a
V
aa
VhAV b
 
12
23a
V 
 
 
 
Exemplo 
 
 
Quando a pirâmide de Quéops terminou de ser 
construída tinha 146 m de altura e 233 m de aresta da 
base. 
Sabendo que essa pirâmide é uma pirâmide regular 
quadrangular, vamos calcular sua área e seu volume. 
 
Área 
 
A área da base é: 
    222 289.54233 mmABAb 
 
 
A área lateral é a soma dos quatro triângulos isósceles: 
 
     
   
 
2
2
2
22
222
78,186
25,34888
25,1357221316
2
233
146
mVM
VM
VM
VM
MHVHVM











 
  
  
248,039.8778,186.2332
..2
2
.
.4
.4
mA
VMABA
VMAB
A
AA
l
l
l
AVBl



 
 
 
A área total é: 
248,328.14148,039.87289.54 mAAA lbt 
 
 
 
Volume 
   32 67,064.642.2146.289.54.
3
1
.
3
1
mmmhAV b 
 
 
 
 
 
 17 
Exercícios propostos 
 
 
1- Classifique em cada caso a pirâmide, sabendo que possui: 
 
a) 6 faces b) 8 faces c) 12 arestas d) 20 arestas 
 
 
2- Calcule a área lateral, a área total e o volume da cada uma das pirâmides regulares. 
 
a) 
 
b) 
 
 
 
3- Sabendo que a aresta de um tetraedro regular mede 3 cm, calcule sua altura, sua área total e seu volume. 
 
 
 
4- Determine a área lateral e a área total de uma pirâmide regular triangular de 7 cm de apótema, sendo 2 cm o 
raio do círculo circunscrito à base. 
 
 
 
5- Uma pirâmide tem por base um retângulo cujas dimensões valem 10 cm e 24 cm, respectivamente. As arestas 
laterais são iguais à diagonal da base. Calcule a área total da pirâmide. 
 
 
 
6- A base de uma pirâmide de 6 cm de altura é um quadrado de 8 cm de perímetro. Calcule seu volume. 
 
 
 
7- Pretende-se construir um obelisco de concreto, de forma piramidal regular, no qual a aresta da base 
quadrangular mede 6 m e a aresta lateral mede 
53
m. Determine: 
 
a) a área total do obelisco; 
b) o volume do obelisco; 
c) o ângulo α, de inclinação, entre cada face lateral e a base do obelisco. 
 
 
 
8- Calcule o volume de uma pirâmide de 12 cm de altura, sendo a base um losango cujas diagonais medem 6 cm e 
10 cm. 
 
 18 
9- De uma pirâmide regular de base quadrada sabe-se que a área da base é 32 dm² e que o apótema da pirâmide 
mede 6 dm. Calcule: 
 
a) a aresta da base(l); 
b) o apótema da base(m) 
c) a altura da pirâmide(h); 
d) a aresta lateral(a); 
e) a área lateral(Al); 
f) a área total(At). 
 
 
 
10- Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular, sendo 24 cm o perímetro da base e 30 cm a soma dos 
comprimentos de todas as arestas laterais. 
 
 
 
11- Uma pirâmide regular hexagonal de 12 cm de altura tem aresta da base medindo 
3
310 cm. Calcule: 
 
a) o apótema da base; 
b) o apótema da pirâmide (g); 
c) a aresta lateral; 
d) a área da base (Ab); 
e) a areal lateral (Al); 
f) a área total (At); 
g) o volume (V). 
 
 
 
12- Um grupo de amigos foi acampar e levou uma barraca de lona que, depois de montada, tinha a forma de uma 
pirâmide regular hexagonal cuja aresta da base media 2 m. Se, depois de montada, o ar em seu interior ocupava 
um volume de 
35
m³, quantos metros quadrados de lona tinha a barraca? 
 
 
 
13- Calcule a aresta da base de uma pirâmide regular, sabendo que o apótema da pirâmide mede 6 cm e a aresta 
lateral, 10 cm. 
 
 
 
14- (Ucsal-BA) A aresta de um Tetraedro regular mede 4 cm. Sua área total, em centímetros quadrados, é: 
 
a) 
32
 
b) 
34
 
c) 
38
 
d) 
316
 
e) 
332
 
 
 
 
 19 
3 CILINDRO 
 
3.1 Conceito 
 
Um cilindro possui as seguintes características: 
 
 Apresenta duas superfícies regulares de 
raios congruentes, que se situam em planos 
paralelos; 
 
 Sua superfície lateral é constituída de todos 
os segmentos congruentes que têm 
extremidades nas circunferências dos 
círculos e são paralelos à reta que contém 
os centros desses círculos. 
 
 
 
3.2 Elementos 
 
No cilindro representado abaixo, temos: 
 
 
 Os círculos de centro O e O’ e raio r (bases 
do cilindro); 
 Os segmentos paralelos a OO’, com 
extremidades em pontos das circunferências 
das bases (geratrizes do cilindro); 
 A reta OO’ (eixo do cilindro); 
 A distância h, entre os planos das bases 
(altura do cilindro).
 
 
3.3 Classificação 
 
Quanto à inclinação da geratriz em relação aos planos de suas bases, os cilindros classificam-se em: 
 
 Cilindro oblíquo – geratriz oblíqua às 
bases; 
 
 
 
 Cilindro reto – geratriz perpendicularàs 
bases. Nesse caso, a geratriz é a altura do 
cilindro. 
 
 20 
Obs.: O cilindro reto é também 
chamado de cilindro de revolução, 
por ser gerado pela rotação de um 
retângulo em torno de um de seus 
lados. 
 
 
3.4 Áreas e volume 
 
3.4.1 Área da base (
bA
) 
 
A área de um círculo de raio r é a área da base: 
2.rAb 
 
 
3.4.2 Área lateral (
lA
) 
 
Área lateral refere-se à um retângulo de base 
r.2
, 
em que r é o raio do cilindro e h é sua altura. 
 
Isso pode ser visualizado se planificarmos a 
superfície lateral do cilindro. 
 
Assim, 
retânguloumdelateraláreaAl ____
 
hrAl ..2
 
 
 
3.4.3 Área total (
tA
) 
 
A superfície total de um cilindro é a reunião da 
superfície lateral com os cículos das bases. 
Assim, a área total é: 
 
blt AAA .2
 
 
Temos: 





2.
..2
rA
hrA
b
l

 
 
Substituindo na fórmula: 
 2..2..2 rhrAt  )(.2 rhrAt  
 
 
 
 
 
3.4.4 Volume (
V
) 
 
Seu volume é obtido da mesma forma que o volume de um prisma: 
hAV b .
 
Como 
2.rAb 
, temos: 
hrV .. 2 
 21 
3.5 Seção meridiana e cilindro eqüilátero 
 
Seção meridiana de um cilindro é a interseção deste com um plano que contém o segmento OO’. 
 A seção meridiana de um cilindro oblíquo é 
um paralelogramo. 
 
 
 A seção meridiana de um cilindro reto é um 
retângulo. 
 
 
Cilindro eqüilátero é um cilindro cuja seção meridiana é um quadrado, onde 
rhg .2
 
 
Como obter a área lateral(
lA
), a área total (
tA
) e o volume (V) de um cilindro eqüilátero de raio r: 
 
 
Área lateral 
 





rrA
rh
hrA
l
l
.2..2
.2
..2  2.4 rAl 
 
 
Área total 
 








22
2
2 ..2.4
.
.4
2
rrA
rA
rA
AAA
t
b
l
blt


 2.6 rAt  
 
Volume 
 





rrV
rh
hrV
.2..
.2
. 2
2

3.2 rV  
 
 
Exemplo 
 
Uma vela tem a forma de um cilindro reto, com área 
total de 108π cm² e raio de base igual a 
5
1
 da altura. 
Vamos determinar sua área lateral e seu volume. 
 
Sendo r a medida do raio da base e h a medida da altura, temos: 
 







108
5
1
tA
hr Se 
blt AAA .2
, então 
 
 
2
2
54
54
..2108
..2...2108
rrh
rhr
rhr
rhr






 
 22 
Substituindo 
hr
5
1

: 
1522561350
2525
5
54
255
54
5
1
.
5
1
54
54
2
22
22
2
2











hhh
hh
hh
hhh
rrh
Agora calculamos o raio: 
315.
5
1
5
1


rr
hr
 
 
Logo






322
2
_13515.3...
_9015.3.2..2
cmVVhrV
cmAAhrA lll

 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1- Calcule a área lateral de um cilindro circular reto, sabendo que o raio da base mede 4 cm e a geratriz, 10 cm. 
 
 
 
2- O raio de um cilindro circular reto mede 3 cm e a altura, 3 cm. Determine a área lateral, a área total e o volume 
desse cilindro. 
 
 
 
3- Qual a altura de um reservatório cilíndrico, sendo 150 m o raio da base e 900π m² sua área lateral? 
 
 
 
4- Calcule a área lateral, a área total e o volume dos sólidos abaixo. 
 
 
a) cilindro equilátero 
 
b) cilindro reto 
 
c) semicilindro reto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23 
5- Na decoração de uma festa foram usadas 
lanterninhas orientais, como as mostradas na figura 
ao lado. Determine a área da superfície lateral de 
uma lanterninha, sabendo que ela tem a forma de um 
cilindro eqüilátero cuja geratriz mede 15 cm. 
 
 
 
6- Determine a área total de um cilindro, sabendo que sua área lateral é de 80 cm² e sua seção meridiana é um 
quadrado. 
 
 
 
 
7- A cúpula do abajur mostrado na figura ao lado tem a 
forma de um cilindro reto cuja área da base é 144π cm². 
Se a altura da cúpula é igual a 
3
5
 do raio da base, 
determine a área de sua superfície lateral. 
 
 
 
8- Determine a área lateral e o volume de um cilindro de altura 10 cm, sabendo que a área total excede em 50π 
cm² sua área lateral. 
 
 
 
 
9- O bolo mostrado na figura ao lado tem a forma de 
um cilindro reto cuja área total é 720π cm². Se a 
altura desse bolo é igual a 
5
3
 do raio da base, qual é 
o seu volume? 
 
 
 
 
10- Determine a altura e o raio de um cilindro reto, sendo 
5
9
 sua razão, nessa ordem, e 270π cm² a área lateral. 
 
 
 
 24 
11- Um fabricante de goiabada vende seu produto em latas cilíndricas (figura 1), ao preço de R$ 2,40 a lata. Ele 
pretende substituir a embalagem que usa por outra lata, também cilíndrica, mostrada na figura 2. Se o preço de 
venda de uma lata é diretamente proporcional ao volume de goiabada no seu interior, por quanto ele deverá 
vender a nova lata? 
 
 
 
 
 
12- O volume de um cilindro de revolução é 96π cm³ e a área de sua seção meridiana é 48 cm². Qual é a área total 
desse cilindro? 
 
 
 
13- Uma lata, cheia de manteiga, tem a forma de um cilindro eqüilátero de 8 cm de altura. Que volume ocupa a 
manteiga no seu interior? (Use π = 3,14.) 
 
 
 
14- O desenvolvimento de uma superfície cilíndrica de revolução é um retângulo de 4 cm de altura e 7 cm de 
diagonal. Calcule o raio do cilindro. 
 
 
 
15- (Ucsal-BA) Pode-se fabricar um cilindro reto, de volume V1, curvando-se uma placa metálica retangular de 
maneira que coincidam os dois lados maiores: 
 
 
Pode-se fabricar outro cilindro reto, de volume V2, com outra placa de mesmas dimensões, curvando-a de maneira 
que coincidam os lados menores: 
 
 
Nessas condições, de acordo com as medidas dadas nas figuras, expresse V2 em função de V1. 
 
 
 
 25 
4 CONE 
 
4.1 Conceito 
 
 
Consideremos um círculo de centro O e raio r, 
situado num plano α, e um ponto V, fora de α. 
 
Chama-se cone circular, ou cone, a reunião dos 
segmentos com uma extremidade em V e a outra em 
um ponto do círculo. 
 
4.2 Elementos 
 
 
 
 Ponto V ( vértice do cone ); 
 Círculo de raio r ( base do cone ); 
 Cada segmento com uma extremidade em V 
e outra num ponto da circunferência da 
base ( geratriz do cone ); 
 Distância h do vértice ao plano da base ( 
altura do cone ). 
 
4.3 Classificação 
 
Classifica-se quanto à inclinação da reta 
OV
em relação ao plano da base. 
 
 Cone oblíquo: 
 
 Cone reto: 
 
 
Obs.: O cilindro reto é também 
chamado de cilindro de revolução, 
por ser gerado pela rotação de um 
retângulo em torno de um de seus 
lados. 
 
 26 
4.4 Áreas e volume 
 
4.4.1 Área da base (
bA
) 
 
É a área de um círculo de raio r: 
2.rAb 
 
 
4.4.2 Área lateral (
lA
) 
 
É a área de um setor circular cujo raio é g (geratriz do cone) e cujo comprimento do arco é 
r.2
(perímetro da 
base): 
 
 
Observe que o raio do setor é g e o comprimento do arco do setor é 
r.2
. 
A área do setor circular de raio g e comprimento de arco 
r.2
, isto é, a área lateral 
lA
, é obtida pela regra de 
três: 
 
  

g
rg
Al 

2
.22
 
rgAl .
 
 
4.4.3 Área total (
tA
) 
 
É a reunião da superfície lateral com o círculo da 
base: 
lbt AAA 
 
Substituindo 
rgAl .
 e 
2.rAb 
, temos: 2.. rrgAt   rgrAt  .
 
 
 
4.4.4 Volume (V) 
 
Assim como a pirâmide: 
hAV b .
3
1

 
Como 
2.rAb 
, temos: 
hrV ..
3
1 2
 
 
 27 
4.5 Seção meridiana e cone eqüilátero 
 
Seção meridiana de um cone é a interseção dele 
com um plano que contém o segmento 
OV
. 
Cada seção meridiana de um cone reto é um 
triângulo isósceles. 
 
Cone equilátero é um cone reto cuja seção 
meridiana é um triângulo eqüilátero. 
Num cone eqüilátero, 
rg 2
. 
 
 
4.5.1 Áreas e volume do cone eqüilátero 
 
4.5.1.1 Área lateral 
 






rrA
rg
grA
l
l
.2..
.2
..  2.2 rAl 
 
 
4.5.1.2 Área total 
 






22
2
..2
.
rrA
rA
AAA
t
b
blt 
2.3 rAt 
 
 
4.5.1.3 Volume 
 
hrV ..
3
1 2
 
 
Obs.: Para calcular a altura h: 
 
   22222222 32 rhrrhgrh 3rh 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 
 
 
O receptáculo da taça mostrada a seguir tem a 
forma de um cone reto de geratriz 7,5 cm e raio da 
base 4,5 cm. Vamos determinar quantos milímetros 
de uma bebida ocupariam 
3
2
 de sua capacidade. 
 
 28 
Vamos primeiro determinar a altura h da taça, visto no esquema abaixo. 
 
No 
AVOret
: 
        cmhhhh 6365,45,75,75,4 2222222 
 
Logo: 
  mlcmVVhrV 17,12717,1276.5,4.14,3.
3
1
..
3
1 322   
Agora temos: 
mlV 78,8417,127.
3
2
3
2

 
Resposta: 84,78 ml da bebida ocupariam 
3
2
da capacidade do receptáculo. 
 
 
Exemplo 2 
 
 
A superfície lateral de um cone reto desenvolvida num plano é um setor circular de 120º e 6 cm de raio. 
Calculemos a área lateral, a área total e o volume desse cone. 
 
 
Área lateral 
 12
360
6..120
______120
6.______360 22





lo
o
l
l
o
o
AA
A
 
 
 
 
Para calcular a área total precisamos ter o valor do raio. 
 
Raio 
Como 
grAl ..
 e 
6g
, vem: 
cmrrrgrAl 2
6
12
6..12..  
 
Área total 
Como 
2.rAb 
e 
2r
, vem: 
22 _164122.12 cmAAAAAA tttblt   
 
 
Para calcular o volume, precisamos antes calcular a altura. 
Altura (h) 
Como 
222 ghr 
, temos: 
cmhhhh 243236462 22222 
 
 
Volume 
    322 _
3
216
24.4.
3
1
24.2..
3
1
...
3
1
..
3
1
cmVVVhrVhAV b   
 
Resposta: A área lateral é 12π cm², a área total é 16π cm² e o volume é 

3
216
cm³ 
 29 
Exercícios propostos 
 
1- Determine a medida da altura de um cone reto cuja geratriz mede 10 cm, sendo 12 cm o diâmetro de sua base. 
 
 
 
2- Determine a medida do raio da base de um cone de revolução cuja altura mede 3 cm e cujo volume é 9π cm. 
 
 
 
3- A geratriz de um cone reto mede 14 cm e a área da base, 80π cm². Calcule a medida da altura e o volume desse 
cone. 
 
 
 
4- O chapéu do bruxo mostrado na figura ao lado 
tem a forma de um cone de revolução de 12 cm de 
altura e 100π cm³ de volume. Se ele é feito de 
cartolina, quanto desse material foi usado para fazer 
a superfície lateral? 
 
 
 
 
5- Calcule a área lateral, a área total e o volume de cada uma das figuras. 
 
a) cone equilátero 
 
b) cone reto 
 
c) semicone 
 
 
 
6- Determine a altura de um cone eqüilátero cuja área total é 54π cm². 
 
 
 
7- Calcule a área total e o volume de um cone eqüilátero, sabendo que a área lateral é igual a 24π cm². 
 
 
 
8- Determine a altura de um cone, sendo 42 cm o diâmetro da base e 1050π cm² sua área total. 
 
 30 
9- Em uma festa foi servido doce de leite em cones 
retos, cada um com 2 cm de raio da base e geratriz 
medindo 
53
cm. Determine quantos litros de doce 
de leite foram necessários para encher 600 cones que 
foram servidos nessa festa. 



.
.
Use 




7
22

 
 
 
 
 
10- Determine a área total de um cone, sendo 40 cm o diâmetro de sua base e 420 cm² a área de sua seção 
meridiana. 
 
 
 
11- Determine a geratriz de um cone de revolução, sabendo que a área da base é equivalente à seção meridiana do 
cone e que sua altura é 9π cm. 
 
 
 
12- Determine o volume de um cone de revolução, sendo 126π cm² sua área lateral e 200π cm² sua área total. 
 
 
 
13- Um semicone reto tem altura igual ao raio e seu volume é 576π cm³. Calcule a área lateral do semicone. 
 
 
 
14- A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2 e um de seus ângulos agudos mede 60°. Girando-se o 
triângulo em torno do cateto menor, obtém-se um cone. Qual é o volume desse cone? 
 
 
 
15- Determine a área lateral, a área total e o volume do sólido que segue. 
 
 
 
 31 
5 ESFERA 
 
 
 
5.1 Conceito 
 
1º) A superfície esférica é gerada pela rotação de uma semicircunferência em torno de um eixo que contém seu 
diâmetro. 
 
 
2º) A esfera é o sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o 
diâmetro. 
 
 
 
 
 
5.2 Elementos 
 
A nomenclatura seguinte deve-se ao fato de a Terra ser considerada aproximadamente uma esfera, tomando-se e 
como eixo de rotação. 
 
 
 Interseções da superfície com o eixo (Pólos 
1P
 e 
2P
). 
 Seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo 
centro da superfície (Equador). 
 Seção (circunferência) paralela ao Equador (Paralelo) 
 Seção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo 
(Meridiano)
 
 
 32 
5.3 Seção da esfera 
 
Toda seção plana de uma esfera é um círculo. 
 
Na figura ao lado, o plano α determina uma seção 
plana na esfera de centro O e raio r. 
 
Sendo d a distância de α ao centro O e s o raio da 
seção, temos: 
MOA
 é retângulo 
222 dsr 
 
 
Se o plano secante passa pelo 
centro da esfera, temos como 
seção um círculo máximo da 
esfera. 
 
 
5.4 Área e volume 
 
5.4.1 Área da esfera (A) 
2.4 rA  
 
5.4.2 Volume da esfera (V) 
3.
3
4
rV 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 
 
 
Considere que as superfícies das bolhas de sabão 
mostradas na figura têm áreas de 64π cm² e 100π cm². 
Vamos calcular: 
 
a) a razão entre os raios da menor e da maior 
bolha; 
b) o volume de ar contido no interior de cada 
bolha. 
 
 
 
a) Temos 
1A
 e 
2A
 as áreas das superfícies das bolhas maior e menor: 
cmrrrrrA
cmrrrrrA
525
4
100
100.4.4
416
4
64
64.4.4
2
2
2
2
2
2
2
2
22
1
2
1
2
1
2
1
2
11






 
Logo: 
5
4
2
1 
r
r
 
 33 
b) Temos 
1V
 e 
2V
 os volumes das esferas representadas pelas bolhas menor e maior: 
3
22
3
2
3
22
3
11
2
1
3
11
3
500
125.
3
4
5.
3
4
.
3
4
3
256
64.
3
4
4.
3
4
.
3
4
cmVVVrV
cmVVVrV




 
Logo, o volume de ar no interior da bolha menor é 
3
3
265
cm

 e na bolha maior é 
3
3
500
cm

. 
 
 
 
Exemplo 2 
 
 
Duas esferas são concêntricas, e a menor tem 9 cm de raio. A área da seção feita na esfera maior por um plano 
tangente à esfera menor é 144π cm². 
Calculemos a área e o volume da esfera maior e o comprimento de sua circunferência máxima. 
 
 
 
 
 
 
Interpretando o problema, temos a figura ao lado, na qual: 
 
 d – raio da esfera menor = 9cm 
 s – raio da seção r – raio da esfera maior 
 
12
144
144.144 22  sssAseção 
 
 
 
Substituindo d=9 e s=12 na relação 
222 dsr 
, vem: 
1522514481129 22222222  rrrrdsr
 
 
 
Substituindo r=15 nas expressões dos valores pedidos, vem: 
Área da esfera  900225.415.4.4 22  AAArA 
Volume da esfera  4500
3
13500
3375.
3
4
15.
3
4
.
3
4 33  VVVVrV
 
Circunferência máxima  3015.2.2  CCrC 
 
 
Logo, a área é 
900
cm², o volume é 
4500
cm³ e a circunferência mede 
30
cm. 
 
 
 
 
 
 34 
Exercícios propostos 
 
1- Calcule a área e o volume de cada uma das esferas. 
 
a) 
 
b) 
 
 
 
 
 
2- Determine a área e o volume de uma esfera de 58 cm de diâmetro. 
 
 
 
3- Um fabricante de sucos vende seu produto em embalagens cilíndricas, todas com 6 cm de diâmetro da base e 
12 cm de altura. Ele pretende substituir essas embalagens por outras de forma esférica. Qual deve ser o diâmetro 
da nova embalagem para que possa conter a mesma quantidade de suco que a primeira? 
 
 
 
4- Determine o raio de uma esfera de superfície 36π cm². 
 
 
 
5- Determine a área uma esfera, sendo 2 304π cm³ o seu volume. 
 
 
 
6- Considerando a Terra uma esfera cujo diâmetro é 
12 800 km e considerando a Lua uma esfera cujo 
diâmetro é 
4
1
do da Terra, calcule a razão entre os 
volumes dos dois astros. 
 
 
 
 
7- Considere uma esfera de 6 cm de raio, feita com massa de modelar. Divide-se essa massa em quatro partes 
iguais e são construídas quatro novas esferas. Qual o raio de cada uma dessas quatro esferas? 
 
 35 
8- Obtenha o raio de uma esfera, sabendo que um plano determina na esfera um cículo de raio 20 cm, sendo 21 
cm a distância do plano ao centro da esfera. 
 
 
 
9- Um plano seciona uma esfera de 34 cm de diâmetro. Determine o raio da seção obtida, sendo 8 cm a distância 
do plano ao centro da esfera. 
 
 
 
10- Um aquecedor a gás tem a forma de um cilindro 
com duas semiesferas acopladas em suas 
extremidades, conforme mostra a figura ao lado. Se o 
diâmetro do aquecedor é 0,90 m e seu comprimento 
total é 1,50 m, calcule: 
 
a) a área de sua superfície; 
b) o volume máximo de gás que o seu interior 
pode conter. 
 
 
 
 
 
11- A seção plana de uma esfera feita a 35 cm do centro tem 144π cm² de área. Calcule a área do círculo máximo 
dessa esfera. 
 
 
 
12- Determine a área de uma superfície esférica, sendo 26π cm o comprimento da circunferência do círculo 
máximo. 
 
 
 
13- Determine a área da superfície e o volume de uma esfera, sabendo que o seu raio mede 
5
1
 do raio de outra 
esfera cujo volume é 4 500π cm³. 
 
 
 
14- Os raios de duas esferas concêntricas medem, respectivamente, 15 cm e 8 cm. Calcule a areada seção feita na 
esfera maior por um plano tangente à outra esfera. 
 
 
 
15- (UF-CE) Um silo tem a forma de um cilindro 
circular reto (com fundo) encimado por uma 
semiesfera, como na figura ao lado. 
Determine o volume e a área da superfície desse silo, 
sabendo que o raio do cilindro mede 2 m e que a 
altura do silo mede 8 m.