PO I Parte 1

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SOLUÇÃO: 
 
1. Identificação das variáveis de decisão: 
 
 
 
 
 
 
 
2. Identificação do objetivo: 
 
 
 
 
 
 
Caderno de Exercícios (Parte 1): PO – Programação Matemática 
 
Nome: ___________________________________ CPF: ________________________ 
 
Tópico 1: Modelagem Matemática 
 
Um modelo é uma representação de um sistema real, que pode já existir ou ser um projeto 
aguardando execução. No primeiro caso, o modelo pretende reproduzir o funcionamento do 
sistema, de modo a aumentar sua produtividade. No segundo caso, o modelo é utilizado para 
definir a estrutura ideal do sistema. 
 
Em um modelo matemático, são incluídos três conjuntos principais de elementos: 
 variáveis de decisão e parâmetros: variáveis de decisão são as incógnitas a serem 
 determinadas pela solução do modelo. 
 restrições: de modo a levar em conta as limitações físicas do sistema 
 função objetivo: é uma função matemática que define a qualidade da solução em 
função das variáveis de decisão. 
 
Em diversas áreas do mundo real existe a escassez de um certo produto ou matéria-prima. 
Esta dificuldade gera problemas para empregar melhor estes recursos escassos de forma 
eficiente e eficaz. Busca-se, portanto, maximizar ou minimizar uma quantidade (Lucro, Custo, 
Receita, n de produtos, entre outros), chamada de objetivo, que depende um ou mais recursos 
escassos. Estes processos de otimização de recursos são aplicadas a diversos problemas e entre 
eles podemos citar os que se seguem nos próximos tópicos. 
 
 
o Problemas de Capacidade 
 
Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele 
necessita transportar pelo menos 200 caixas de laranja a R$20,00 de lucro por caixa, pelo menos 
100 caixas de pêssegos a R$10,00 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a 
R$30,00 de lucro por caixa. 
 
De que forma ele deverá carregar o caminhão para obter o lucro máximo? 
 
3. Identificação das Restrições: 
 
R1: __________________________________________ 
R2: __________________________________________ 
R3: __________________________________________ 
R4: __________________________________________ 
R5: __________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
1. Identificação das variáveis de decisão: 
 
 
 
 
 
 
 
2. Identificação do objetivo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
o Problemas do Mix de Produção 
 
A Brinquedos S.A. fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é 
vendido por R$27 e usa R$10 de matéria-prima. Cada soldado fabricado aumenta os custos 
diretos de mão-de-obra e custos indiretos em R$14. Um trem é vendido a R$21 e utiliza R$9 de 
matéria-prima. Cada trem aumenta os custos de mão-de-obra e indiretos em R$10. A fabricação 
requer dois tipos de mão-de-obra: carpinteiro e pintor. A fabricação de um soldado requer 2 
horas de um pintor e 1 hora de um carpinteiro. Um trem demanda 1 hora de pintura e 1 hora de 
carpintaria. Para cada semana, a Brinquedos pode conseguir toda a matéria-prima necessária, 
mas apenas 100 horas de pintura e 80 horas de carpintaria. A demanda para os trens é ilimitada, 
mas a de soldados é de no máximo 40 por semana. 
 
A Brinquedos S.A. quer maximizar o lucro semanal (receitas menos custos). O modelo a ser 
formulado deve atender às restrições do problema ao mesmo tempo que maximiza o lucro da 
empresa. Qual poderia ser esse modelo? 
 
3. Identificação das Restrições: 
 
R1: __________________________________________ 
R2: __________________________________________ 
R3: __________________________________________ 
R4: __________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o Problemas da Dieta 
 
A anemia é uma doença decorrente de baixos níveis de hemoglobina no sangue, proteína esta 
responsável pelo transporte de oxigênio. A "ferropriva" é a anemia mais comum e é causada 
pela deficiência de ferro no organismo. Para sua prevenção, deve-se adotar uma dieta rica em 
ferro, vitamina A, vitamina B12 e ácido fólico. Esses nutrientes podem ser encontrados em 
diversos alimentos, como espinafre, brócolis, agrião, tomate, cenoura, ovo, feijão, grão de bico, 
soja, carne, fígado e peixe. A Tabela abaixo apresenta as necessidades diárias de cada nutriente, 
a respectiva quantidade em cada um dos alimentos e o preço referente a 100g de cada alimento. 
A fim de prevenir que seus pacientes apresentem esse tipo de anemia, o Hospital Metrópole está 
estudando uma nova dieta. O objetivo é selecionar os ingredientes, com o menor custo possível, 
que farão parte das duas principais refeições diárias (almoço e jantar), de forma que 100% das 
necessidades diárias de cada um desses nutrientes sejam atendidas nas duas refeições. Além 
disso, o total ingerido nas duas refeições não pode ultrapassar 1,5kg. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Identificação das variáveis de decisão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Identificação do objetivo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Identificação das restrições 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o Problemas de Transporte 
 
Imagine que a Abecitrus (Associação Brasileira de Cítricos), que congrega as empresas 
produtoras e exportadoras de sucos e assemelhados, esteja interessada em ajudar na 
coordenação e otimização dos custos de transporte da indústria. Suponha que existam 3 regiões 
produtoras no Brasil e 5 destinos (mercados) importante para os produtos. As quantidades 
produzidas, os volumes consumidos pelos mercados, assim como os custos de transporte entre 
origens e destinos podem ser vistos na seguinte Tabela. 
 
 
 
O interesse da Abecitrus é escoar toda a produção, atendendo aos mercados consumidores com 
custo de transporte mínimo. Neste caso, as variáveis de decisão devem ser relacionadas com as 
quantidades enviadas das regiões produtoras para os mercados consumidores. Qual poderia ser 
esse modelo? 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o Problemas de Orçamento de Capital 
 
A Alva Electric Co., programou a construção de novas hidrelétricas daqui a cinco, dez e 20 anos 
a partir de agora para atender às necessidades da população crescente na região onde atua. Para 
cobrir pelo menos os custos de construção, a empresa precisa investir parte do seu dinheiro para 
atender necessidades futuras de fluxo de caixa. A empresa pode comprar apenas três tipos de 
ativos financeiros, cada um dos quais custa US$ 1 milhão por unidade. Também é possível 
comprar unidades fracionárias. Os ativos geram receita daqui a cinco, dez e 20 anoscontados a 
partir de agora e essa receita é necessária para cobrir pelo menos as necessidades de caixa 
nesses anos. A tabela a seguir mostra tanto a receita gerada por cada ativo como também o 
mínimo de receita necessária para cada um dos períodos futuros quando uma nova hidrelétrica 
será construída. 
 
 
 
A empresa quer determinar o mix de investimentos nesses ativos que cobrirão as necessidades 
de fluxo de caixa e, ao mesmo tempo, minimizando a quantia total investida. Formule um 
modelo de programação linear para esse problema. 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Praticando o conteúdo 
 
Melhor forma de identificar e modelar problemas é PRATICAR, PRATICAR e PRATICAR!!! 
 
 
1. Uma certa agroindústria do ramo alimentício tirou de produção uma certa linha de 
produto não lucrativo. Isso criou um considerável excedente na capacidade de 
produção. A gerência está considerando dedicar essa capacidade excedente a um ou 
mais produtos, identificados como produtos 1, 2 e 3. A capacidade disponível das 
máquinas que poderia limitar a produção está resumida na tabela a seguir: 
 
 
 
 
O número de horas de máquina requerido por unidade dos respectivos produtos é conhecido 
como coeficiente de produtividade (em horas de máquina por unidade), conforme representado 
a seguir: 
 
 
O lucro unitário estimado é de $ 30, $ 12 e $ 15, respectivamente, para os produtos 1, 2 e 3. 
Formule um modelo de programação linear para esse problema, considerando que a empresa 
deseja maximizar o seu lucro. 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Uma determinada empresa quer utilizar do melhor modo possível os recursos de 
madeira de uma de suas regiões florestais. Dentro dessa região, há uma serraria e uma 
fábrica de compensados, o que possibilita que as toras possam ser convertidas em 
madeira beneficiada ou compensada. Produzir uma mistura comercializável de 1 m³ de 
produtos beneficiados requer 1 m³ de pinho e 4 m³ de canela. Produzir 100 m² de 
madeira compensada requer 2 m³ de pinho e 4 m³ de canela. A região em questão 
dispõe de 32 m² de pinho e 72 m³ de canela. Compromissos de vendas exigem que 
sejam produzidos, durante o período em planejamento, pelo menos 5 m³ de madeira 
beneficiada e 12 m² de madeira compensada. As contribuições ao lucro são de $ 45 por 
1 m³ de produtos beneficiados e $ 60 por 100 m² de madeira compensada. Formule um 
modelo de programação linear para esse problema, considerando que a empresa deseja 
maximizar o seu lucro. 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Uma fábrica de implementos agrícolas produz os modelos A, B e C, que proporcionam 
lucros unitários da ordem de $ 16, $ 30 e $ 50, respectivamente. As exigências de 
produção mínimas mensais são de 20 para o modelo A, 120 para o modelo B e 60 para 
o modelo C. Cada tipo de implemento requer uma certa quantidade de tempo para a 
fabricação das partes componentes, para a montagem e para testes de qualidade. 
Especificamente, uma unidade do modelo A requer três horas para fabricar, quatro 
horas para montar e uma para testar. Os números correspondentes para uma unidade de 
unidades do modelo B são 3,5, 5 e 1,5; e para uma unidade do modelo C, são 5, 8 e 3. 
Durante o próximo mês, a fábrica tem disponíveis 120 horas de tempo de fabricação, 
160 horas de montagem e 48 horas de testes de qualidade. Formule o problema de 
programação de produção como um modelo de programação linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. A tabela a seguir sintetiza as informações-chave sobre dois produtos, A e B, e os 
recursos, Q, R e S, necessários para produzi-los. 
 
 
 
Formule um modelo de programação linear para esse modelo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. A empresa de manufatura Ômega descontinuou a produção de uma determinada linha 
de produtos não lucrativa. Esse fato acabou criando um considerável excesso de 
capacidade produtiva. A direção está levando em conta a possibilidade de dedicar esse 
excesso de capacidade produtiva para um ou mais produtos. A estes vamos chamá-los 
de produtos 1, 2 e 3. A capacidade disponível nas máquinas que poderiam limitar a 
produção está sintetizada na tabela a seguir: 
 
 
 
O número de horas-máquina exigidas para cada unidade do respectivo produto é: 
 
 
 
O departamento de vendas sinaliza que o potencial de vendas para os produtos 1 e 2 excede a 
taxa de produção máxima e que o potencial de vendas para o produto 3 é de 20 unidades por 
semana. O lucro unitário seria, respectivamente, de US$ 25 para os produtos 1, 2 e 3. O objetivo 
é determinar quanto de cada produto a Ômega deveria produzir para maximizar os lucros. 
Formule um modelo de programação linear para esse problema. 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Uma certa corporação tem três fábricas filiais com capacidade de produção excedente. 
As três unidades têm capacidade para fabricar um certo produto, tendo a gerência 
decidido utilizar parte dessa capacidade de produção excedente para fazê-lo. Ele pode 
ser feito em três tamanhos - grande, médio e pequeno -, os quais geram um lucro 
unitário líquido de $ 140, $ 120 e $ 100, respectivamente. 
 
As fábricas l, 2 e 3 têm capacidade excedente de mão-de-obra e de equipamento para 
produzirem 750, 900 e 450 unidades do produto por dia, respectivamente, independentemente 
do tamanho ou combinação de tamanhos envolvidos. 
 
Entretanto, a quantidade de espaço disponível para estoque de produtos em processo também 
impõe um limite às taxas de produção. As fábricas 1, 2 e 3 têm 1.170, 1.080 e 450 metros 
quadrados de espaço disponível para estoque de produtos em processo, em um dia de produção, 
sendo que cada unidade dos tamanhos grande, médio e pequeno, produzida por dia, requer 1,8, 
1,35 e 1,08 metros quadrados, respectivamente. 
 
As previsões indicam que podem ser vendidas, por dia, 900, 1.200 e 750 unidades dos tamanhos 
grande, médio e pequeno, respectivamente. 
 
A gerência deseja saber a quantidade de produto, por tamanho, que deveria ser produzida em 
cada uma das fábricas, para maximizar o lucro 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tópico 2: Programação Linear 
 
Os problemas de alocações de recursos escassos a atividades competitivas são 
resolvidos pelas técnicas de Programação Linear (PL). Essas técnicas são apropriadas 
para os casos em que variáveis do problema estão linearmente relacionadas entre si. A 
sua aplicação tem sido grande no contexto industrial e produzem às vezes uma 
respeitável economia. 
Resumidamente, a PL é definida como sendo um conjunto de técnicas matemáticas 
com as quais pode ser determinada uma solução ótima para problemas que apresentam 
várias soluções possíveis. 
Uma padronização de termos deve ser introduzida a fim de facilitar o 
entendimento: 
 Solução é qualquer especificação de valores para as variáveis de decisão,independente de se tratar de uma escolha desejável ou permissível. 
 Solução viável é uma solução em que todas as restrições são satisfeitas. 
 Solução ótima é uma solução viável que tem o valor mais favorável da 
função-objetivo (FO), isto é, maximiza ou minimiza a FO em toda região 
viável, podendo ser única ou não. 
 
4. Como X1 e X2 devem ser ≥ 0, o ponto que maximiza o valor de Z deve estar no 1º quadrante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
1. Identificação das variáveis de decisão: 
 
 
 
 
 
 
2. Identificação do objetivo: 
 
 
 
 
 
 
3. Identificação das Restrições: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tópico 3: Método Gráfico 
 
Quando um problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução ótima de 
um problema de PL pode ser encontrada graficamente, como se observa nos exemplos 
abaixo: 
 
Uma empresa fabrica 2 produtos (Produto 1 e Produto 2). Na fabricação destes 
produtos, 2 recursos são críticos: as quantidades de matéria prima e a mão de obra 
disponíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolva o problema graficamente seguindo os seguintes passos: 
 
 
5. Elimine as desigualdades das restrições e depois represente no gráfico abaixo a linha 
reta resultante da localização de dois pontos distintos: 
 
Restrição 1: *Todos os pontos da reta para baixo são pontos que satisfazem a restrição 
 
 
 
 
 
Restrição 2: *Todos os pontos da reta para baixo são pontos que satisfazem a restrição 
 
 
 
 
 
 
Restrição 3: *Todos os pontos da reta para a esquerda são pontos que satisfazem a restrição 
 
 
 
 
 
 
Restrição 4: *Todos os pontos da reta para baixo são pontos que satisfazem a restrição 
 
 
 
 
 
6. Com todas as restrições traçadas temos o chamado Espaço de Solução que é o 
conjunto de todos os pontos candidatos a serem o ponto ótimo, ou seja, todos os pontos 
que “obedecem” a todas as restrições do modelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Encontrar soluções básicas viáveis: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução ótima se encontra no ponto ( , ) com valor da função objetivo igual a _________. 
A produção diária de P1 deve ser de _____ unidades e a de P2 igual a ______. Assim, o lucro 
máximo diário será de R$ ____________. 
 
 
Praticando o Conteúdo 
 
1- Expresse o seguinte modelo de programação linear como um problema de 
maximização na forma padrão. (Resp.: x1 = 6; x2 = 0; Z = 12) 
 
 
 
 
 
2- Expresse o seguinte modelo de programação linear como um problema de 
minimização na forma padrão. (Resp.: x1 = 4; x2 = 0; Z = 28) 
 
 
3- Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por 
hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 
unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. 
Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro 
unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades 
monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o 
objetivo é maximizar seu lucro por hora. Resolva o problema pelo método 
gráfico. (Resp.: x1 = 3; x2 = 0; Z = 15) 
 
 
4- A empresa Alfa produz tintas para interiores e exteriores com base em duas 
matérias primas, M1 e M2. A tabela abaixo apresenta os dados básicos do 
problema: 
 
 
 
Uma pesquisa de mercado indica que a demanda diária de tintas para interiores não 
pode ultrapassar a de tintas exteriores por mais de uma tonelada. Além disso, o limite de 
demanda diária de tinta para interiores é de 2 toneladas. A empresa Alfa quer 
determinar o mix ótimo de produtos de tintas para interiores e exteriores que maximize 
o lucro total diário. Resolva o problema pelo método gráfico. (Resp.: x1 = 3; x2 = 15; Z = 21) 
 
5- A Ozark Farms usa no mínimo 800 quilogramas de ração especial por dia. Essa 
ração especial é uma mistura de milho e soja, cujas composições são fornecidas 
na tabela abaixo: 
 
 
Os requisitos nutricionais da ração especial são de no mínimo 30% de proteína e de no 
máximo 5% de fibra, isto do total da mistura da ração. A Ozark Farms quer determinar a 
mistura que gera a ração de menor custo diário. (Resp.: x1 = 470,59; x2 = 329,41; Z = 437,65) 
 
6- Uma empresa fabrica dois produtos, A e B. O volume de vendas de A é de no 
mínimo 80% do total de vendas de ambos (A e B). Contudo a empresa não pode 
vender mais do que 100 unidades de A por dia. Ambos os produtos usam uma 
matéria-prima cuja disponibilidade máxima diária é de 240 kg. As taxas de 
utilização da matéria-prima são de 2kg por unidade de A e 4 kg por unidade de 
B. Os lucros unitários para A e B são R$ 20 e R$ 50, respectivamente. 
Determine o mix de produto ótimo para a empresa. (Resp.: x1 = 80; x2 = 20; Z = 2.600) 
 
 
 
 
 
 
Ração Proteína (kg) Fibra (kg) Custo (R$/kg)
Milho 0,09 0,02 0,30
Soja 0,60 0,06 0,90
Composição da Ração Ozark Farms
7- Um indivíduo quer investir R$ 5000 no próximo ano em dois tipos de 
investimento: o investimento A rende 5% e o investimento B rende 8%. 
Pesquisas de mercado recomendam uma alocação de no mínimo 25% em A e no 
máximo 50% em B. Além do mais, o investimento em A deve ser no mínimo 
metade do investimento em B. Como o fundo deveria ser alocado aos dois 
investimentos? (Resp.: x1 = 2.500; x2 = 2.500; Z = 325) 
 
8- Uma linha de montagem que consiste em três estações consecutivas produz dois 
modelos de rádio: HiFi-1 e HiFi-2. A tabela abaixo mostra os tempos de 
montagem para as três estações de trabalho. 
 
 
 
 
 
 
A manutenção diária para as estações 1, 2 e 3 consome 10%, 14% e 12%, 
respectivamente, de um máximo disponível de 480 minutos para cada estações por dia. 
Determine o mix ótimo de produtos que minimizará as horas ociosas nas três estações 
de trabalho. (Resp.: x1 = 50,88; x2 = 31,68; Z = 28,8) 
 
9- Uma central industrial de reciclagem usa dois tipos de sucata de alumínio, A e 
B, para produzir uma liga especial. A sucata A contém 6% de alumínio, 3% de 
silício e 4% de carbono. A sucata B contém 3% de alumínio, 6% de silício e 3% 
de carbono. Os custos por tonelada das sucatas A e B são R$ 100 e R$ 80, 
respectivamente. As especificações da liga especial requerem que: 
 
o O teor de alumínio deva ser no mínimo 3% e no máximo 6% 
o O teor de silício deve ficar entre 3% e 5% 
o O teor de carbono deve ficar entre 3% e 7% 
Determine o mix ótimo (de mínimo custo) de sucatas que deve ser usado para 
produzir 1000 toneladas da liga especial. (Resp.: x1 = 333,33; x2 = 666,67; Z = 86.666,6) 
 
 
 
 
 
ETAPAS DO MÉTODO SIMPLEX: 
 
1. Transformação das desigualdades em igualdades através da introdução de variáveis de folga 
(falta ou excesso) 
 Inequações de sinal ≤ adiciona-se a variável de folga 
 Inequações de sinal ≥ subtrai-se a variável de folga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tópico 4: Método Simplex 
A resolução de um problema de Programação Linear (PL) consiste basicamente em 
resolver sistemas de equações lineares e calcular o valor da função-objetivo (FO). Comparando 
os diversos valores da FO, escolhe-se como solução do problema o resultado do sistema de 
equações que fornece o maior valor (problema de maximização) ou menor valor (problema de 
minimização). 
Esse procedimento é bastante trabalhoso,já que temos de resolver todos os sistemas para 
podermos escolher o que dá maior ou menor valor para a FO. Em um problema real de PL, o 
qual pode-se ter, por exemplo 40 equações e 50 variáveis, o nº de sistemas de equações que 
deveríamos resolver é extremamente elevado, o que é impraticável, mesmo para um 
computador. 
Assim para termos condições de resolver o problema de PL, precisamos de uma 
sistemática que nos diga: 
 
 Qual o sistema de equações que deve ser resolvido; 
 Qual o próximo sistema a ser resolvido que nos fornecerá uma solução melhor que 
as anteriores; 
 Como identificar uma solução ótima, uma vez que tenhamos encontrado. 
 
Essa sistemática é o método Simplex, que é um processo interativo que permite melhorar a 
solução da FO em cada etapa. O processo finaliza quando não é possível continuar melhorando 
este valor, ou seja, quando se obtenha a solução ótima (o maior ou menor valor possível, 
segundo o caso, para que todas as restrições sejam satisfeitas). 
As etapas no método para atender as 3 questões descritas acima se encontram no exemplo 
referente a um problema de maximização. 
 
Resolva o problema abaixo, de maximização de lucro, pelo Método Simplex: 
 
MAX (LUCRO) Z = 3x1 + 5x2 
 
Sujeito a: 
 
x1 ≤ 4 
2x2 ≤ 12 
3x1 + 2x2 ≤ 18 
x1, x2 ≥ 0 
 
2. Montar o Quadro Simplex 
Transferir os coeficientes de todas as variáveis com os respectivos sinais, da função objetivo, das variáveis nas 
equações e os termos independentes na tabela que é a Solução Básica Inicial (SBI) do problema. 
 
Variáveis 
na Solução 
Variáveis de Decisão 
Valores da 
Solução 
 
 
 
 
 
Obs.: A solução inicial será sempre obtida fazendo as variáveis originais do modelo iguais a zero e achando o 
valor das demais. 
 
1º Passo: Identificar a variável que entra (variável que mais contribui para a FO: maior negativo) 
A variável que entra é _____ 
 
 
2º Passo: Identificar a linha que sai (variável que menos prejudica a FO: menor quociente entre os valores da 
solução pelas variáveis da coluna que entra) 
 
____ ÷ ____ = _____ 
 
____ ÷ ____ = _____ 
 
____ ÷ ____ = _____ 
 
A linha que sai (linha pivô) é _____ 
 
Obs.: Valores negativos não convém. 
 
 
3º Passo: Identificar o elemento pivô (elemento que está no cruzamento entre a coluna que entra e a linha que sai) 
O elemento pivô é _____ 
 
 
4º Passo: Calcular a nova linha pivô (linha que sai): Nova Linha Pivô = 
𝑳𝒊𝒏𝒉𝒂 𝒅𝒐 𝑷𝒊𝒗ô
𝑬𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑷𝒊𝒗ô
 
 
 
 Linha Pivô ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 Elemento Pivô ( ÷ _____ ) ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 
 
A nova linha pivô é: ____ ____ ____ ____ ____ ____ (NLP) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Variáveis 
na Solução 
Variáveis de Decisão 
Valores da 
Solução 
 
 
 
 
 
 
5º Passo: Calcular as novas linhas: Nova Linha = Linha Anterior - (Coeficiente da Coluna de Entrada) x (NLP) 
 
 
 NLP ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 Coef. da Coluna de Entrada - ( x _____ ) ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 Linha Anterior ____ ____ ____ ____ ____ ____ (+) SOMA 
 
 Nova Linha ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 
 
 
 NLP ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 Coef. da Coluna de Entrada - ( x _____ ) ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 Linha Anterior ____ ____ ____ ____ ____ ____ (+) SOMA 
 
 Nova Linha ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 
 
 
 NLP ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 Coef. da Coluna de Entrada - ( x _____ ) ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 Linha Anterior ____ ____ ____ ____ ____ ____ (+) SOMA 
 
 Nova Linha ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 
 
Chegamos a uma solução ótima? 
 
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
3. Repetir o processo 
Transferir os coeficientes de todas as variáveis com os respectivos sinais, da função objetivo, das variáveis nas 
equações e os termos independentes na tabela abaixo: 
 
Variáveis 
na Solução 
Variáveis de Decisão 
Valores da 
Solução 
 
 
 
 
 
 
1º Passo: Identificar a variável que entra (variável que mais contribui para a FO: maior negativo) 
A variável que entra é _____ 
 
 
2º Passo: Identificar a linha que sai (variável que menos prejudica a FO: menor quociente entre os valores da 
solução pelas variáveis da coluna que entra) 
 
____ ÷ ____ = _____ 
 
____ ÷ ____ = _____ 
 
____ ÷ ____ = _____ 
 
A linha que sai (linha pivô) é _____ 
 
Obs.: Valores negativos não convém. 
 
 
3º Passo: Identificar o elemento pivô (elemento que está no cruzamento entre a coluna que entra e a linha que sai) 
O elemento pivô é _____ 
 
 
4º Passo: Calcular a nova linha pivô (linha que sai): Nova Linha do Pivô = 
𝑳𝒊𝒏𝒉𝒂 𝒅𝒐 𝑷𝒊𝒗ô
𝑬𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑷𝒊𝒗ô
 
 
 
 Linha Pivô ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 Elemento Pivô ( ÷ _____ ) ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 
 
A nova linha pivô é: ____ ____ ____ ____ ____ ____ (NLP) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Variáveis 
na Solução 
Variáveis de Decisão 
Valores da 
Solução 
 
 
 
 
 
 
5º Passo: Calcular as novas linhas: Nova Linha = Linha Anterior - (Coeficiente da Coluna de Entrada) x (NLP) 
 
 
 NLP ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 Coef. da Coluna de Entrada - ( x _____ ) ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 Linha Anterior ____ ____ ____ ____ ____ ____ (+) SOMA 
 
 Nova Linha ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 
 
 
 NLP ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 Coef. da Coluna de Entrada - ( x _____ ) ____ ____ ____ ____ ____ ____Linha Anterior ____ ____ ____ ____ ____ ____ (+) SOMA 
 
 Nova Linha ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 
 
 
 NLP ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 Coef. da Coluna de Entrada - ( x _____ ) ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 Linha Anterior ____ ____ ____ ____ ____ ____ (+) SOMA 
 
 Nova Linha ____ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
 
 
Chegamos a uma solução ótima? 
 
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Praticando o Conteúdo – Problemas de Maximização 
 
1- Resolva pelo Método Simplex o problema: (Resp.: x1 = 4; x2 = 1; Z = 9) 
 
MAX Z = 2x1 + x2 
 
Sujeito a: 
 
x1 + x2 ≤ 5 
x1 + 2x2 ≤ 8 
x1 ≤ 4 
x1, x2 ≥ 0 
 
 
2- Empregando o método simplex, resolva: (Resp.: x1 = 3; x2 =2 ; x3 = 0; Z = 27) 
 
MAX Z = 7x1 + 3x2 + 2x3 
 
Sujeito a: 
 
5x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 19 
2x1 + x2 + 2x3 ≤ 8 
x1, x2, x3 ≥ 0 
 
 
3- Resolva pelo método Simplex, o problema de programação linear: (Resp.: x1 = 1,33; x2 
=7,33 ; x3 = 0; Z = 18,67) 
 
MAX Z = 3x1 + 2x2 + x3 
 
Sujeito a: 
 
2x1 + x2 + x3 ≤ 10 
x1 + 2x2 ≤ 16 
x1 + x2 ≤ 12 
x1, x2, x3 ≥ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4- Uma certa agroindústria do ramo alimentício tirou de produção uma certa linha de 
produto não lucrativo. Isso criou um considerável excedente na capacidade de 
produção. A gerência está considerando dedicar essa capacidade excedente a um ou 
mais produtos, identificados como produtos 1, 2 e 3. A capacidade disponível das 
máquinas que poderia limitar a produção está resumida na tabela a seguir: 
 
 
 
 
O número de horas de máquina requerido por unidade dos respectivos produtos é conhecido 
como coeficiente de produtividade (em horas de máquina por unidade), conforme representado 
a seguir: 
 
 
 
O lucro unitário estimado é de $ 30, $ 12 e $ 15, respectivamente, para os produtos 1, 2 e 3. 
Considerando que a empresa deseja maximizar o seu lucro, encontre a solução ótima do 
problema, ou seja quais quantidades dos produtos 1, 2 e 3 devem ser produzidas para que se 
possa obter o lucro máximo. (Resp.: x1 = 0; x2 = 87,5 ; x3 = 47,5; Z = 1762,50) 
 
 
 
 
IMPORTANTE: 
 
 
 
 
 
 
Praticando o Conteúdo: Problema de Minimização 
 
 
1- Resolva o problema de Minimização de Custo com o auxílio do método Simplex: (Resp.: 
x1 = 0; x2 = 10; x3 = 0; Z = 40) 
 
MIN Z = 3x1 - 4x2 + x3 
 
Sujeito a: 
 
x1 + x2 + x3 ≤ 10 
2x1 + x2 - x3 ≤ 20 
x1, x2, x3 ≥ 0 
 
 
2- Resolva com o auxílio do método Simplex: (Resp.: x1 = 0; x2 = 10; Z = -20) 
 
 
MIN Z = 4x1 - 2x2 
 
Sujeito a: 
 
2x1 + x2 ≤ 10 
x1 - x2 ≤ 8 
x1, x2 ≥ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tópico Especial: Técnicas para Concursos 
 
(PETROBRAS: Eng. de Produção Júnior) Considere o seguinte problema de programação 
linear: (Resp.: letra d) 
 
MAX Z = 5x1 +2 x2 
 
Sujeito a: 
 
x1 ≤ 3 
x2 ≤ 4 
x1 + 2x2 ≤ 9 
x1, x2 ≥ 0 
 
Nesse problema, verifica-se que: 
 
(A) x1 = 0 e x2 = 5 é uma solução viável para o problema. 
(B) x1 = 3 e x2 = 4 é uma solução viável para o problema. 
(C) x1 = 1 e x2 = 4 é uma solução inviável para o problema. 
(D) x1 = 3 e x2 = 3 é uma solução viável e a ótima do problema. 
(E) x1 = 0 e x2 = 4 é uma solução viável e a ótima do problema.