Cálculo Aplicado Técnicas de Integração

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Suma´rio
1 Te´cnicas de Integrac¸a˜o 2
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 O sı´mbolo
∫
f (x) dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Exercı´cio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Integrac¸a˜o e Regra da Cadeia - Me´todo de Substituic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Integrac¸a˜o por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6.1 A fo´rmula da integrac¸a˜o por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.8 Poteˆncias e produtos de func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.9 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
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Capı´tulo 1
Te´cnicas de Integrac¸a˜o
1.1 Introduc¸a˜o
O Teorema Fundamental do Ca´lculo garante a existeˆncia de primitivas de func¸o˜es contı´nuas e
permite calcular integrais definidas pela fo´rmula∫ b
a
f (x) dx = F(b) − F(a)
Para isso precisamos dispor de uma lei de definic¸a˜o de F em termos de func¸o˜es elementares,
tais como polinomiais e trigonome´tricas. Isso nem sempre e´ possı´vel. Vide o caso de f (x) =
1
x
,
para x > 0, que tem a func¸a˜o logaritmo como primitiva.
As te´cnicas de integrac¸a˜o, algumas das quais conheceremos nessa unidade, servem para isso:
expressar primitivas de func¸o˜es dadas em termos de func¸o˜es elementares, entre as quais agora
colocamos logaritmo e exponencial.
Essa parte do conteu´do de Ca´lculo e´ usualmente conhecida como integrac¸a˜o e reu´ne algu-
mas grandes ideias. Dominar essas te´cnicas e usa´-las com criatividade e´ parte importante da
formac¸a˜o matema´tica.
1.2 O sı´mbolo
∫
f (x) dx
Dada uma func¸a˜o f : I −→ R, definida no intervalo aberto I, usaremos a notac¸a˜o∫
f (x) dx = F(x) + C
para representar a famı´lia de primitivas de f , uma vez que duas primitivas nestamesma famı´lia
diferem por uma constante.
Chamamos
∫
f (x) dx a integral indefinida de f.
Observe bem,
∫
f (x) dx representa uma famı´lia de func¸o˜es, enquanto que
∫ b
a f (x) dx e´ um
nu´mero.
2
CAPI´TULO 1. TE´CNICAS DE INTEGRAC¸A˜O 3
Exemplo 1 Veja algumas integrais definidas conhecidas:∫
xn dx =
xn+1
n + 1
+ C, se n , −1
∫
cos x dx = sen x + C∫
sen x dx = −cos x + C∫
1
x
dx = `n x + C∫
ex dx = ex + C
1.3 Exercı´cio
1) Calcule:
(a)
∫
x
√
x dx
(b)
∫
x3 + 1
x
2) Calcule e verifique sua resposta por derivac¸a˜o:
(a)
∫
3 dx
(b)
∫
x5 dx
(c)
∫
5√
x2 dx
(d)
∫ (1
x
+
1
x2
)
dx
(e)
∫
x + 1
x
dx
3) Calcule:
(a)
∫ 1
0
e2x dx
(b)
∫ 2
1
(
x +
1
x
)
dx
(c)
∫ 1
−1
e−x dx
Usando essas fo´rmulas, podemos calcular integrais de combinac¸o˜es lineares dessas func¸o˜es.
CAPI´TULO 1. TE´CNICAS DE INTEGRAC¸A˜O 4
1.4 Integrac¸a˜o e Regra da Cadeia - Me´todo de Substituic¸a˜o
O processo de integrac¸a˜o e´ o reverso da derivac¸a˜o. E´ claro que o conhecimento dos processos
de derivac¸a˜o sera´ muito u´til. Comec¸aremos com o me´todo que corresponde, na derivac¸a˜o, a`
Regra da Cadeia. Esta te´cnica e´ conhecida como me´todo por substituic¸a˜o. Antes de qualquer
coisa, um exemplo.
Exemplo 2 Calcule
∫
(2x + 1)3 dx
Soluc¸a˜o:
(i) Fac¸amos u = 2x + 1 =⇒ du = 2dx =⇒ du
2
= dx
(ii) Segue que: ∫
(2x + 1)3 dx∫
u3
du
2
1
2
∫
u3 du
1
2
.
u4
4
+ C
u4
8
+ C
(iii) Por fim, como u = 2x + 1, temos:
u4
8
+ C
(2x + 1)4
8
+ C
Isto e´: ∫
(2x + 1)3 dx =
(2x + 1)4
8
+ C
1.5 Exercı´cios
1) Calcule:
(A)
∫
x
1 + x2
dx (Dica: Fac¸a u = 1 + x2)
(B)
∫
1
3x + 2
dx
(C)
∫
(3x − 2)3 dx
(D)
∫
1
3x − 2 dx
(E)
∫ √
3x − 2 dx
(F)
∫
x sen x2 dx
CAPI´TULO 1. TE´CNICAS DE INTEGRAC¸A˜O 5
1.6 Integrac¸a˜o por partes
A principal dificuldade que enfrentamos ao aplicar as te´cnicas de integrac¸a˜o e´ encontrar, para
cada situac¸a˜o, a te´cnica mais indicada. A experieˆncia levara´ ao reconhecimento de certos
indı´cios que facilitam a escolha.
1.6.1 A fo´rmula da integrac¸a˜o por partes
A ideia e´ usar a fo´rmula da derivada do produto de duas func¸o˜es. Suponhamos f e g definidas
num mesmo intervalo I. Temos:[
f (x) g(x)
]′ = f ′(x) g(x) + f (x) g′(x)
ou
f (x) g′(x) =
[
f (x) g(x)
]′ − f ′(x) g(x).
Supondo, enta˜o que f ′(x)g(x) admita primitiva em I e observandoque f (x) e g(x) e´ umaprimitiva
de
[
f (x)g(x)
]′, enta˜o f (x)g′(x) tambe´m admitira´ primitiva em I e∫
f (x)g′(x) dx = f (x)g(x) −
∫
f ′(x)g(x)
que e´ a fo´rmula da integrac¸a˜o por partes.
Fazendo u = f (x) e v = g(x) teremos:
u = f (x) =⇒ du = f ′(x)
e
v = g(x) =⇒ dv = g′(x)
o que nos permite escrever a fo´rmula usual:∫
u dv = u v −
∫
v du
Um boa dica para a escolha de u e´:
L: Logarı´tmica
I: Inversa Trigonome´trica
A: Alge´brica
T: Trigonome´trica
E: Exponencial
Exemplo 3 Calcule
∫
x cos x dx.
1.7 Exercı´cios
1) Determine
∫
x ex dx.
2) Determine
∫
x2 `n x dx.
3) Calcule
∫ 1
0 x
2 ex dx.
4) Determine a integral indefinida de
∫
e4x dx.
Dica: fac¸a u = 4x.
CAPI´TULO 1. TE´CNICAS DE INTEGRAC¸A˜O 6
1.8 Poteˆncias e produtos de func¸o˜es trigonome´tricas
Integrais do tipo
∫
sennx cosmx dx dividem-se em, basicamente, dois tipos de integrac¸a˜o:
substituic¸a˜o simples ou fo´rmulas de recorreˆncia. E´ preciso reconhecer qual e´ qual e usar as fo´rmulas
corretas. Veremos alguns exemplos.
Exemplo 4 Calcule ∫
sen2x cos3x dx
Soluc¸a˜o:
(i) A identidade trigonome´trica fundamental da´ cos2x = 1−sen2x e escrevemos o integrando na forma
sen2x cos3x = sen2x(1 − sen2x) cos x;
(ii) Fazendo a substituic¸a˜o u = sen x, que acarreta du = cos x dx, temos∫
sen2x cos3x dx =
∫
sen2x (1 − sen2x)cos x dx
=
∫
(sen2x − sen4x)cos x dx
=
∫
u2 − u4) du
=
∫
u2 du −
∫
u4 du
=
u3
3
− u
5
5
+ C
=
sen3x
3
− sen
5
5
+ C
O problema demanda intervenc¸a˜o trigonome´trica quando ambas as poteˆncias sa˜o pares.
Exemplo 5 Vamos calcular
∫
sen2x dx.
Soluc¸a˜o:
(i) Utilizemos, inicialmente, a integrac¸a˜o por partes e a escolha u = sen x e dv = sen x dx leva
a du = cos x dx e v = −cos x.
(ii) A fo´rmula de integrac¸a˜o por partes da´
I =
∫
sen2x dx = −sen x cos x +
∫
cos2 x dx
I = −sen x cos x +
∫
(1 − sen2x) dx
I = −sen x cos x +
∫
1 dx −
∫
sen2x dx
I = −sen x cos x + x − I
I + I = −sen x cos x + x
2I = −sen x cos x + x
2I = x − sen x cos x + C
I =
x − sen x cos x + C
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CAPI´TULO 1. TE´CNICAS DE INTEGRAC¸A˜O 7
1.9 Exercı´cios
1) Calcule as integrais a seguir:
(A)
∫
cos5x dx
(B)
∫ pi
6
0 sen
2x dx
(C)
∫
sen2x cos3x dx
(D)
∫
cos2x sen2x dx
2) Use a integrac¸a˜o por partes para deduzir a seguinte fo´rmula de reduc¸a˜o:∫
cosnx dx =
1
n
cosn−1x sen x + n − 1
n
∫
cosn−2x dx
3) Deduza fo´rmula semelhante para
∫
sennx dx.