Matematica Financeira

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Thiago Dias Parente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª Edição 
Sobral/2017 
 
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INTA - Instituto Superior de Teologia Aplicada 
PRODIPE - Pró-Diretoria de Inovação Pedagógica 
 
 
Diretor-Presidente das Faculdades INTA 
Dr. Oscar Rodrigues Júnior 
 
Pró-Diretor de Inovação Pedagógica 
Prof. PHD João José Saraiva da Fonseca 
 
Coordenadora Pedagógica e de Avaliação 
Profª. Sonia Henrique Pereira da Fonseca 
 
Professores Conteudistas 
Thiago Dias Parente 
 
Assessoria Pedagógica 
Sonia Henrique Pereira da Fonseca 
 
Transposição Didática 
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Evaneide Dourado Martins 
 
Design Instrucional 
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Revisora de Português 
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Revisora Crítica/Analista de Qualidade 
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Produção Audiovisual 
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Operador de Câmera 
José Antônio Castro Braga 
 
Pesquisadora Infográfica 
Anacléa de Araújo Bernard
 
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SUMÁRIO 
1 Noções básicas de Matemática Financeira 
1.1 – Juros, Capital e Montante 
1.2 - Taxa de Juros 
1.2.1 – Taxa Percentual 
1.2.2 – Taxa Unitária 
1.3 Juro Exato e Juro Comercial 
 
2. Tipos de Juros 
2.1 Regime de Capitalização Simples 
2.2 Regime de Capitalização Composta 
2.3 Diferença entre capitalização Simples e Composta 
2.4 Regime de Juros Simples 
2.5 Regime de Juros Compostos 
2.6 Taxa de Equivalência no Tempo 
2.6.1 No Regime de Juros Simples 
2.6.2 No Regime de Juros Compostos 
2.7 Taxas efetivas e nominais 
 
3. Desconto 
3.1 Desconto Simples 
 
4. Series Uniformes de Pagamentos 
4.1 – Anuidades (pagamentos iguais): 
4.2 FÓRMULAS PARA RESOLVER ANUIDADES 
4.3 – Fluxos não Uniformes. 
 
5. Sistemas de Amortização 
5.1 - Conceitos Gerais 
5.2 - Sistemas de Amortização 
 
6. Métodos de Análise de Fluxos de Caixa
 
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NOÇÕES 
BÁSICAS DE 
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
1 
 
 
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Introdução 
A Matemática Financeira é uma ferramenta de auxílio à tomada de decisão 
financeira ótima. As decisões financeiras ótimas são aquelas que visam à maximização 
da riqueza dos investidores. 
 
Existe o valor do dinheiro no tempo. Um real hoje vale mais do que um real no futuro. 
 
Exemplo: 
Se você pode aplicar R$ 100,00, a uma taxa de juros de 10% ao mês, ao final de 
um mês de aplicação você terá R$ 110,00. 
 
Conclusão: 
R$ 100,00, hoje, equivalem a R$ 110,00 daqui a um mês. 
Receber R$ 100,00, hoje, vale mais do que receber R$ 100,00, daqui a um mês. 
 
Exemplos de aplicação desse princípio: 
1) Suponha que você esteja vendendo um equipamento por R$ 100,00. Você 
recebe duas propostas: a proposta “A” é um pagamento à vista de R$ 100,00 e a 
proposta “B” é um pagamento de R$ 110,00 daqui a um mês. O que é melhor? 
Receber R$ 100,00, hoje, ou receber R$ 110,00, daqui a um mês? 
 
Resposta: Se a taxa de juros para aplicações é 6,5% ao mês, você deve preferir 
receber os R$ 110,00 daqui a um mês, pois caso contrário, em um mês, terá R$ 106,50, 
que é menos do que os R$ 110,00. 
 
Do que trata a Matemática Financeira? 
 
A Matemática Financeira trata dos cálculos que nos permitem manipular valores 
financeiros (dinheiro) ao longo do tempo, com o objetivo de fazer comparações 
consistentes entre diferentes alternativas de investimentos. 
 
E qual é o objetivo deste curso de Matemática Financeira? 
 
 
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Apresentar aos futuros empresários e executivos o fundamento teórico 
acompanhado da metodologia para efetuar cálculos financeiros e, simultaneamente, 
oferecer um treinamento prático, em nível executivo, por meio de exemplos numéricos, 
resolvidos em conjunto com uma série de exercícios propostos, com as respectivas 
soluções e respostas. 
 
Na prática, para que serve a Matemática Financeira? 
 
Para calcular o valor de uma prestação; para calcular o saldo devedor de um 
financiamento; para decidir qual o melhor financiamento dentre vários; para saber se um 
determinado investimento vai dar lucro ou prejuízo; para saber se é melhor alugar ou 
comprar um equipamento; para saber quanto você deve poupar mensalmente para 
atingir um determinado objetivo... 
 
As operações de aplicação e empréstimos são geralmente realizadas por uma 
instituição financeira, que capta recursos no mercado e os empresta a outros com taxas 
maiores. A diferença entre a captação e o empréstimo é a remuneração (lucro) da 
instituição. 
 
Investidores têm várias opções de aplicação à sua disposição, e cada opção tem 
sua taxa em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos. 
 
 
Juros, Capital e Montante 
 
Do ponto de vista matemático, um determinado valor a qualquer época é chamado de 
Capital, e a soma dos juros de determinado tempo a esse Capital é chamada de 
Montante. 
 
Operações financeiras envolvem três conceitos. Valor Presente (VP), Valor Futuro (VF) e 
Juros. 
 
Valor Presente identifica a quantia que um das partes (tomador) necessita, ou o valor 
atual sem o juros . Valor Futuro define o valor a ser devolvido a outra parte (credor) ao 
 
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termino do prazo da operação, ou o valor presente corrigido pela valorização do tempo. 
A diferença entre VP e VF chamamos de Juros. 
 
Conclusão: VF = VP + Juros 
Consequentemente: VP = VF – Juros ou Juros = VF – VP 
 
Taxas de Juros 
 
Taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do juro, a razão entre os juros 
recebidos (ou pagos) e o capital inicial aplicado (ou emprestado). 
 
Exemplo: 
 
Você vai investir $200,00 em um fundo que remunera a taxa de 30% ao ano. Quanto 
você terá em 1 ano? 
 
Calculo dos Juros 
Juros = VP x Taxa de Juros 
Juros = 200 x 0,3 
Juros = 60 
 
Ao se emprestar um recurso a taxas de juros deve-se ser eficiente de maneira a 
remunerar os seguintes fatores importantes: 
 
• risco: probabilidade de o tomador do empréstimo não resgatar a dívida, sendo a 
incerteza como futuro; 
 
• perda do poder de compra do capital motivado pela inflação: a inflação é um fenômeno 
que corrói o capital, é a desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o 
prazo do empréstimo, diminuindo o poder de compra de um bem pelo mesmo capital; 
 
• ganho (ou lucro): fixado em função das demais oportunidades de investimentos; 
justifica-se pela privação da utilidade do capital pelo seu dono; 
 
12 
 
• despesas (nos dias atuais): todas as despesas operacionais, contratuais e tributárias 
para a formalização do empréstimo e à efetivação da cobrança. 
 
As taxas de juros referem-se sempre a uma unidade de tempo (dia, mês, 
semestre, ano etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: 
taxa percentual e taxa unitária (fração decimal). 
 
Taxa percentual 
Trata-se dos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima 
parte do capital. Esse valor é um acréscimo sobre o valor inicial em forma de fração, 
onde o denominadoré sempre 100, conhecido como porcentagem (%). 
 
Se falarmos em 10% (dez por cento), significa que, a cada grupo de 100, haverá um 
acréscimo de 10. 
 
Exemplo 
Um capital de R$2.000,00, aplicado a 20% ao ano, rende de juros, ao final deste 
período: 
 
Juros = 
 
 
 x 20 
 
Juros = $ 20,00 x 20 = $ 400,00 
 
O capital de R$ 2.000,00 tem vinte centos. Como cada um deles rende 20, a 
remuneração total da aplicação no período é de $ 400,00. 
 
Taxa unitária 
É o rendimento de cada unidade de capital em certo período. 
A transformação da taxa percentual em unitária é processada pela divisão da notação 
em percentagem por 100. 
 
 
 
 
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Exemplo 
Um capital de R$2.000,00, aplicado a 20% ao ano, rende de juros, ao final deste 
período. 
 
A taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20 (20% / 100) por cada 
unidade de capital aplicada, ou seja: 
 
Juros = R$ 2000,00 x 
 
 
 
 
Juros = R$ 2.000,00 x 0,20 = $ 400,00 
 
Juro exato e juro comercial 
 
Comum nas operações de curto prazo – onde predominam as aplicações com 
taxas referenciadas em juros simples – ter o prazo definido em número de dias. Nesses 
casos, o número de dias pode ser calculado: 
 
1. Pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O 
juro apurado desta maneira denomina-se juro exato; 
 
2. Pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Tem-se, 
por este critério, a apuração do denominado juro comercial ou ordinário. 
 
Exemplo 
15% ao ano equivalem, pelo critério de juro simples, à taxa diária de: 
 
a) Juro exato: 15% / 365 dias= 0,041096% ao dia. 
b) Juro comercial: 15% / 360 dias= 0,041667% ao dia 
 
Equivalência de Taxas de Juros 
Imaginemos uma situação em que eu saiba, hoje, que dentro de um ano terei de 
efetuar um pagamento no valor de $1200,00. 
 
 
14 
 
Entretanto, eu disponho de dinheiro hoje para quitação desse débito. Será 
melhor eu efetuar o pagamento hoje? A resposta é não. 
 
Se eu efetuar esse pagamento hoje, terei de desembolsar $1200,00 sendo que 
eu poderia aplicar $1000,00 no prazo de um ano a uma taxa de 20% ao ano. 
 
Percebemos que o dinheiro não tem o mesmo valor ao passar do tempo (mesmo 
não existindo inflação), e essa argumentação foi feita com termos estritamente 
econômicos e não pessoais. 
 
Pagamentos diferentes em sua magnitude total, mas que são feitos em datas 
diferentes, podem ser equivalentes. Capitais são ditos equivalentes quando os seus 
valores, transferidos para a mesma data, com a mesma taxa de desconto (custo de 
oportunidade), são iguais. 
 
Em termos gerais: 
 
Valor Atual = Valor Futuro / (1 + i) e, também, 
 
Valor futuro = Valor Atual x (1 + i), onde i é a taxa de desconto referente ao período 
considerado. Como i corresponde ao período inteiro em consideração, é chamado de 
taxa simples. 
 
O termo (1 + i) permite a comparação entre valores em tempos diferentes. 
 
A taxa de desconto pode corresponder a um custo de oportunidade. 
 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UM FLUXO DE CAIXA 
 
O movimento de dinheiro (fluxo de caixa) pode ser representado graficamente 
para facilitar a comunicação da seguinte forma 
 
 
 
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Dados: 
t = 0; $ 200,00 (Investimento) 
t = 1; $ 180,00 (1º saque) 
t = 2; $ 240,00 (2º investimento) 
t = 3; $ 130,00 (2º saque) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TIPOS DE 
JUROS 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Regime de Capitalização dos Juros 
 
Os juros são normalmente classificados em simples ou compostos, dependendo 
do processo de cálculo utilizado. 
 
Regime de capitalização Simples: 
Nessa categoria, os juros de cada período são sempre calculados em função do 
capital inicial. (Juros simples são aqueles calculados em função do capital inicial.) 
 
Exemplo: Considere um poupador que colocou em CDB R$ 1000,00, fazendo uma 
aplicação que lhe renderá juros simples com taxa de 10% a.a. Qual será o saldo, ao final 
de 5 anos? 
 
 
 
 
Nesse caso, é importante realçar que o banco X sempre aplicou a taxa de juros 
de 10% a.a. sobre o capital inicial de R$ 100,00 e nunca permitiu que o aplicador 
retirasse os juros de cada período. Assim, apesar de os juros estarem à disposição do 
banco, eles nunca foram remunerados. 
 
Caso o banco permitisse ao aplicador a retirada dos juros, ainda que 
continuasse a não remunerar os juros remanescentes, o poupador passaria a ter uma 
 
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entrada nova de capital, por conta da eventual aplicação que pudesse fazer com os juros 
recebidos. 
 
Nesse caso, o poupador estaria recebendo 10% mais a taxa de remuneração 
sobre a aplicação dos juros e essa não mais seria uma situação de juros simples. 
 
Regime de Capitalização Composta: 
Nessa categoria, os juros de cada período são calculados sempre em função do 
saldo existente no início de cada respectivo período. 
 
Exemplo: Considere um poupador que colocou em CDB R$ 1000,00, fazendo uma 
aplicação que lhe renderá juros compostos com taxa de 10% a.a. Qual será o saldo, ao 
final de 5 anos? 
 
 
 
 
 
Diferença entre Capitalização Simples e Composta: 
 
Visualização da evolução de valor $1.000,00 aplicado por 10 anos, a uma taxa 
de 10% ao ano, com Capitalização Simples e com Capitalização Composta. Podemos 
 
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montar um gráfico que mostra a evolução ao longo do tempo de um capital aplicado a 
Juros Simples VERSUS o mesmo capital aplicado a Juros Compostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Só existem cinco perguntas: 
 
Como podemos observar só existem quatro variáveis: i = taxa de juros; VP = 
valor presente; VF = valor futuro e n = número de períodos ou prazo da operação. 
Assim sendo, só existem cinco tipos básicos de pergunta que podemos formular. Todas 
as questões relativas a juros simples podem ser reduzidas a essas questões básicas: 
 
1. Qual é o valor futuro VF, dados VP, i, n? 
2. Qual é o valor presente VP, dados VF, i, n? 
3. Qual é o número de períodos (prazo da aplicação), dados VP, i, VF? 
4. Qual é a taxa de juros da aplicação i, dados VP, VF, n? 
5. Qual são os juros da aplicação: Juros = VP x i x n, dados VP, i, n? 
 
Atenção! 
 
A atenção na leitura dos enunciados dos problemas (ou exercícios) e a correta 
Identificação do que é que se pede são as chaves para resolver qualquer problema. A 
maior dificuldade enfrentada pelos que iniciam os estudos de Matemática Financeira 
talvez seja o problema do Português! 
 
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Por experiência em sala de aula, os maiores problemas são: 
 
Português Financeiro: Leitura atenta e entendimento do enunciado dos Problemas. 
 
Dedo torto: Digitação errada dos números na maquina. A pessoa quer digitar o numero 
8 e digita o numero 9. Repete o problema e faz o mesmo erro. 
 
Olho que não vê: A pessoa olha o numero 5.000 e lê o numero 5. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Suponha que você deveria pagar hoje R$ 100,00 para quitar uma dívida junto ao 
departamento de crédito de uma loja. A única multa por atraso no pagamento é 
calculada a juros simples, com uma taxa de 10% ao ano sobre a dívida não paga no 
vencimento. Se você não pagar essa dívida, quanto estará devendo em 3 anos? 
Resposta: Você estará devendo R$ 130,00. 
 
2) Se você aplicar hoje R$ 100,00 em um Certificado de Depósito Bancário (CDB) que 
paga juros compostos, com uma taxa de 10% ao ano, quanto terá em 3 anos? 
Resposta: Você terá R$ 133,10.3) Em uma operação de aplicação financeira Sr. Joao aplicou $10.000,00. Pagou-se ao 
Sr. Joao $2.000,00 a titulo de juros ao final de 1 ano. Qual é a taxa de juros anual que 
esta operação rende? 
Resposta: A taxa de juros é 20% ao ano. 
 
4) Você investiu $25.000,00 e recebeu ao final de 1 ano $32.500,00. Qual é o valor dos 
juros e qual é a taxa de juros anual desta aplicação. 
Resposta: Os juros são $7.500,00 e a taxa de juros é 30% ao ano. 
 
 
 
 
 
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REGIME DE JUROS SIMPLES 
 
O regime de juros simples tem como particularidade a incidência dos juros sobre 
o valor principal do empréstimo, isto é, os cálculos dos montantes (capital + juros) serão 
realizados com referência no valor principal, independente do período. Sobre os juros 
gerados a cada período, não incidirão novos juros. 
 
Partindo do CONCEITO: Valor Futuro = Valor Presente + Juros 
 
Definindo os JUROS no regime SIMPLES como sendo o produto do valor principal (VP) 
vezes a taxa de juros (i) vezes o prazo (n): 
 
 
Juros = VP . i . n 
 
 
A fórmula que relaciona valor presente VP, taxa de juros i, prazo n e o valor futuro VF é: 
 
VF = VP + VP . i . n 
 
ou seja: 
 
VF = VP ( 1 + i . n ) 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Se você aplicar, hoje, R$ 100,00 em um título de renda fixa que pague juros simples, 
com uma taxa de 15% ao ano, quanto deverá valer a aplicação em 1 ano? e em 2 anos? 
Resposta: Sua aplicação deverá valer R$ 115,00 em um ano e R$ 130,00 em dois 
anos. 
 
2) Suponha que você deveria pagar hoje R$ 100,00 para quitar uma dívida junto ao 
departamento de crédito de uma loja. A única multa por atraso no pagamento é 
 
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calculada a juros simples, com uma taxa de 20% ao ano sobre a dívida não paga no 
vencimento. Se você não pagar essa dívida, quanto estará devendo em 3 anos? 
Resposta: Você estará devendo R$ 160,00. 
 
3) Professor Julião recebeu $1.000,00 e aplicou a juros simples (taxa de 2% ao mês) 
antes de entrar de férias. Ao voltar das férias prof. Julião encontrou um saldo de 
$1.060,00. Quanto tempo ele esteve de férias? 
Resposta: Professor Julião tirou 3 meses de férias. 
 
4) Suponha que você queira aplicar R$ 100,00 a uma taxa de 10% ao mês pelo prazo de 
1 mês. Quanto você deverá receber de juros? 
Resposta: Os juros que você deve receber totalizam R$ 10,00. 
 
REGIME DE JUROS COMPOSTOS 
 
O regime de juros compostos é comumente usado no sistema financeiro e, com 
isso, o mais usual para cálculos de problemas financeiros do cotidiano. 
 
Uma particularidade dos juros compostos é que são juros gerados a cada 
período e incorporados ao principal para serem referência no cálculo dos juros do 
período seguinte, isto é, juros sobre juros. 
 
O momento quando os juros são incorporados ao valor principal é quando ocorre 
a capitalização. 
 
Partindo do CONCEITO: Valor Futuro = Valor Presente + Juros 
 
A fórmula que relaciona valor presente VP, taxa de juros i, prazo n e o valor futuro VF 
quando a capitalização é composta é: 
 
VF = VP (1 + i )n 
 
ou seja: 
 
 
23 
 
VF = VP ( 1 + i )n 
 
EXERCÍCIOS 
Dica: Não se esqueça de colocar na maquina VP com sinal diferente do VF 
 
1) Suponha que você tenha pedido emprestados R$ 1.000,00, hoje, para pagar esse 
empréstimo com juros de 10% ao ano, capitalizados de forma composta. Qual será o 
valor de sua dívida em 1 ano? 
Resposta 1): O valor da dívida será de R$ 1.100,00. 
 
2) Suponha que você tenha pedido emprestados R$ 1.000,00, hoje, para pagar esse 
empréstimo com juros de 10% ao ano, capitalizados de forma composta. Qual será o 
valor de sua dívida em 2 anos? 
Resposta 2): O valor da dívida será de R$ 1.210,00. 
 
3) Suponha que você tenha pedido emprestados R$ 1.000,00, hoje, para pagar esse 
empréstimo com juros de 10% ao ano, capitalizados de forma composta. Qual será o 
valor de sua dívida em 3 anos? 
 
Resposta 3): Podemos concluir que R$ 1.331,00 é o valor equivalente a R$ 1.000,00, 
aplicados durante 3 anos a uma taxa de 10% ao ano. Por quê? Porque,se aplicarmos R$ 
1.000,00, durante 3 anos, a uma taxa de 10% ao ano, teremos R$ 1.331,00. 
 
4) Suponha que você tenha pedido emprestados R$ 1.000,00, hoje, para pagar esse 
empréstimo com juros anuais, capitalizados de forma composta. Supondo que você 
deva pagar, para quitar o empréstimo, R$ 1.210,00, daqui a 2 anos, qual é a taxa de 
juros que incide sobre esse empréstimo? 
 
Resposta 4): A taxa de juros é de 10% ao ano. 
 
Taxa de Equivalência no Tempo 
 
No Regime de Juros Simples 
 
 
24 
 
I mensal x 12 = I anual 
 
Ou: im x 12 = ia 
 
Onde: im é a taxa de juros mensal e ia é a taxa de juros anual. 
Tratando-se de Juros Simples, a equivalência é, de fato, simples. Por exemplo: se você 
tem uma taxa mensal de 1%, a taxa semestral equivalente é simplesmente 1% x 6 = 6%. 
 
Observe: tratando-se de Juros Simples, o que ocorre é uma simples proporcionalidade. 
Você pode efetuar os cálculos por regra de três, se quiser. 
 
Generalizando: 
 
Taxa mensal (im) para taxa anual (ia) ia = im x 12 
Taxa mensal (im) para taxa semestral (is) is = im x 6 
Taxa diária (id) para taxa mensal (im) im = id x 30 
Taxa anual (ia) para taxa mensal (im) im = ia / 12 
Taxa mensal (im) para taxa diária (id) id = im / 30 
 
No Regime de Juros Compostos 
 
(1 + im)12 = (1 + ia) 
 
Onde: im é a taxa de juros mensal e ia é a taxa de juros anual. 
 
Observe: tratando-se de Juros Compostos, o que ocorre NÃO é uma simples 
proporcionalidade. Você NÃO pode efetuar os cálculos por regra de três. 
 
Generalizando: 
 
Taxa mensal (im) para taxa anual (ia): (1 + im)12 = (1 + ia) 
Taxa mensal (im) para taxa semestral (is): (1 + im)6 = (1 + is) 
Taxa diária (id) para taxa mensal (im): (1 + id)30 = (1 + im) 
E assim sucessivamente. 
 
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EXEMPLO A: 
Calculando taxas equivalentes, utilizando a fórmula: 
Se você quiser encontrar, por exemplo, a taxa composta anual equivalente a 1% com 
juros compostos ao mês, deve realizar as seguintes operações: 
 A fórmula para conversão é: (1 + im)12 = (1 + ia) 
 substituindo os valores: (1 + 0,01)12 = (1 + ia) 
 calculando: (1,01)12 = (1 + ia) 
 1,12682503 = 1 + ia 
 1,12682503 – 1 = ia 
invertendo os lados: ia = 0,12682503 = 12,6825% ao ano 
 
Na prática: 
Podemos calcular, de modo bastante simples, taxas equivalentes de juros 
compostos, utilizando a calculadora financeira: 
 
Se você quiser encontrar, por exemplo, a taxa anual composta equivalente a 1% com 
juros compostos ao mês com auxílio da calculadora: 
 
tecle 100 PV porque utilizando 100 torna-se mais fácil interpretar o 
montante; 
digite 1 i que é a taxa mensal de juros, expressa no enunciado; 
digite 12 n para repetir 12 vezes a taxa mensal; 
digite 0 PMT pois não existe nenhum depósito ou retirada antes de t=12; 
 
FV = ? = – 112,6825 
 
Em resumo: quem investiu 100 e tem 112,6825, ganhou 12,6825% ao ano. 
 
Exemplo B: Qual é a taxa mensal equivalente a 12% ao ano, no regime simples e no 
regime composto? 
Solução: 100 PV – 112 FV 
 12 n 0 PMT 
 i = ? = 0,9488% 
Resposta: a) Regime simples: 1% ao mês. b) Regime Composto: 0,9488% a mês 
 
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Exemplo C: Qual é taxa de inflação anual se a taxa mensal se mantiver estável em 4% 
ao mês pelos próximos 12 meses. 
Solução: 100 PV 4 i 
 12 n 0 PMT 
 FV = ? = – 160,10 
Resposta: 60,10% a.a. 
Exemplo D: Você paga prestações anuais a uma taxa de 32% a.a. Você quer trocar 
para prestações mensais. Qual seria a taxa de juros equivalente mensal? 
 
Solução: 100 PV –132 FV 
 12 n 0 PMT 
 i = ? = 2,3406% 
Resposta: 2,3406% a.m. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Qual é a taxa semestral composta equivalente a uma taxa mensal de 1%? 
Resposta 1): A taxa de juros semestral equivalente é de 6,15201506% a.s. 
 
2) Qual é a taxa anual equivalente a uma taxa mensal com capitalização simples de 2% 
ao mês? 
Resposta 2): A taxa anual equivalente é de 24% a a. 
 
3) Qual é a taxa anual equivalente a uma taxa mensal de 3% no regime de capitalização 
composta? 
Resposta 3): A taxa anual equivalente é de 42,576% a a. 
 
4) Qual é a taxa anual equivalente a uma taxa mensal de 3% no regime de capitalização 
Simples?. 
Resposta 4): A taxa anual equivalente é de 36% a a. 
 
Nomenclatura das Taxas de Juro 
 
 
27 
 
A nomenclatura das taxas de juros não é difícil, basta sabermos o que cada uma 
significa. Nesta seção veremos as suas definições e teremos alguns exemplos e 
exercícios. 
 
Taxas Nominais são as taxas expressas para um período inteiro, que pode ou não 
coincidir com o período da capitalização. Devemos fazer a equivalência das taxas 
nominais para o seu período de capitalização pela proporcionalidade dos Juros Simples. 
Exemplo: Desta forma um taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal 
significa que a taxa efetiva é 2% ao mês. Desta forma uma taxa nominal de 12% ao ano 
com capitalização mensal significa que a taxa de juros efetiva é 1% ao mês. 
 
Taxa Efetiva é a taxa que nos fornece o valor dos juros produzidos a serem 
efetivamente pagos ou recebidos. Se temos uma taxa de 1% ao mês com capitalização 
mensal temos uma taxa efetiva de 1% ao mês. Se desejarmos obter a taxa equivalente 
anual devemos fazer a equivalência para o novo período decapitalização no regime 
composto. 
Exemplo: A taxa anual equivalente a 1% ao mês com capitalização mensal é 12,6825% 
ao ano, efetivos. 
Taxas Nominais são transformadas em taxas efetivas sendo levadas para o período de 
capitalização no regime de capitalização simples: 
Taxa Mensal x 12 = Taxa Anual 
Taxa Mensal x 6 = Taxa Semestral 
 
Resumo: 
Taxa NOMINAL não pode ser usada em nossas contas, pois é dada em um período e a 
capitalização em outro. Taxa EFETIVA é a taxa pronta para ser usada em nossas contas 
 
Convertendo 
 
Taxas Nominais e Taxas Efetivas em 
 
Taxas Efetivas e Taxas Efetivas 
 
Regime SIMPLES e Regime COMPOSTO 
 
28 
 
 
EXEMPLO 
Qual é a taxa efetiva que obteremos se aplicarmos $100,00 a uma taxa nominal de 24% 
ao ano com capitalização mensal por um período de um ano? 
 
Solução: 
Primeiro devemos trazer a taxa nominal para o período de capitalização no regime de 
capitalização simples 
Taxa efetiva mensal: 24% / 12 = 2% ao mês efetivo 
Segundo devemos calcular normalmente a aplicação 
PV = 100,00 I = 2% 
N = 12 meses PMT = 0 
FV = -126,8242 
Resposta: Obteremos uma taxa efetiva anual de 26,8242% . 
 
EXERCÍCIOS 
1) Calcular a taxa efetiva anual para uma taxa anunciada da seguinte forma: 
* Taxa de 3% ao mês para calculo de prestações mensais* 
Resposta 1): Taxa efetiva anual é 42,576% anuais 
 
2) A caderneta de poupança em seu contrato apresenta uma taxa de juros de 6% ao 
ano. Esta é uma taxa nominal ou uma efetiva? Qual seria a taxa efetiva mensal? E qual 
seria a taxa efetiva anual paga pela caderneta de poupança? 
Resposta 2): A taxa efetiva mensal é 0,5% ao mês. A taxa efetiva anual é 6,17% aa. 
 
3) Prestação da Casa Própria. Você quer comprar um imóvel avaliado em $200.000,00. 
Você vai dar de entrada $80.000,00 e financiar a diferença em 10 anos com prestações 
semestrais, iguais, a uma taxa de juros de 24% ao ano. Qual é o valor de cada 
prestação? 
Resposta 3): A prestação semestral é $ 16.065,45 
4) Você trabalha no banco. A taxa de juros do cheque especial é 7% a.m. cobrada 
mensalmente. Qual seria a taxa de juros NOMINAL anual e EFETIVA anual do cheque 
especial? Qual destas taxas você usaria para fazer os anúncios do banco? 
Resposta 4): Nominal 84%, Efetiva 125,21%. Usar taxa mais baixa para atrair clientes. 
 
29 
 
 
Taxas de Juros REAL 
 
O significado de taxa de juros real pode ser melhor compreendido a partir dos conceitos 
e taxas apresentados a seguir. Todas as taxas referem-se a um mesmo período. 
 
Exemplo: 
Num determinado período seu salário de $1.000,00 foi reajustado em 50%. 
Sabendo-se que a inflação no mesmo período foi de 40%, em quanto aumentou ou 
diminuiu seu poder de compra do salário (ganho u perda real) no período, em termos de 
taxa e valor? 
Solução: 
Dados do problema; I = 50% , inflação = 40%. 
( 1 + taxa Real) ( 1 + Taxa Inflação ) = ( 1 + Taxa i ) 
( 1 + taxa Real) ( 1 + 0,4 ) = ( 1 + 0,5 ) 
Taxa Real = 0,0714 = 7,14% 
 
Em outras palavras 
Seu salário de $1.000,00 passou a ser $1.500,00 
Para poder comprar $1.000,00 em bens agora você necessita de $1.400,00 
O ganho Real foi de 1.500 – 1.400 = 100,00 
 
Taxas de Juros Prefixada e Pós-fixada 
 
As operações de mercado podem ser classificadas em: 
a) operações de renda fixa (títulos ou fundos por exemplo) 
b) operações de renda variável (ações por exemplo). 
 
Uma operação de renda fixa pode ser: 
a) prefixada 
b) pós-fixada 
 
Renda Prefixada 
 
30 
 
O aplicador e o devedor conhecem no dia da transação a taxa de retorno e também o 
valor do titulo no dia do resgate (encerramento). 
 
Renda Pós-fixada 
O aplicador e o devedor só conhecerão no dia da liquidação (encerramento) da 
transação a taxa de retorno e também o valor do titulo. 
 
Exemplo: 
Um investidor se depara com as seguintes alternativas de taxas de juros para aplicação 
de um capital por um período: 
 
a) Taxa efetiva prefixada de 24% 
b) Taxa Real de 6,5% 
 
Qual a melhor taxa? 
 
Solução: 
Dados do problema; Taxa I = 24% , Taxa Real = 6,5%. 
A taxa Real é a taxa acima da inflação 
Somente vamos saber de verdade qual é a melhor taxa quando soubermos qual terá 
sido a inflação do período. 
 
Vamos calcular qual a taxa de Inflação que iguala as duas aplicações 
( 1 + taxa Real) ( 1 + Taxa Inflação ) = ( 1 + Taxa i ) 
( 1 + 0,065) ( 1 + Taxa Inflação ) = ( 1 + 0,24 ) 
Taxa Inflação = 16,43% 
 
Ou seja, se a inflação deste período futuro fuçar abaixo de 16,43% terá sido melhor 
aplicar em prefixado. Caso contrario em pós fixado. 
 
No jargão do mercado a taxa efetiva de uma aplicação em renda fixa prefixada é 
chamada taxa aparente 
 
 
 
31 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) No período de um ano seu salário de $2.000,00 foi reajustado em 10%. Sabendo-se 
que a inflação no ano foi de 12%, em quanto aumentou ou diminuiu seu poder de 
compra do salário (ganho u perda real) no período, em termos de taxa e valor? 
Resposta 1): Taxa Real = – 1,786% (negativa). A perda Real foi de +/– $36,00 
 
2) Um investidor se depara com as seguintes alternativas de taxas de juros para 
aplicação de um capital por um período: Taxa efetiva prefixada de 12% a.a ou 
alternativamente Taxa pós-fixada Real de 4% ao ano. Considerando que a inflação para 
este ano venha a ser de 7,5%, qual seria a melhor alternativa, pré ou pós? 
Resposta 2): A melhor alternativa é investir em prefixado, pois a taxa de inflação que 
igualaria as duas aplicações é 7,69% ao ano. 
 
3) No período de um ano seu salário de $3.000,00 foi reajustado em 12%. 
Sabendo-se que a inflação no ano foi de 8%, em quanto aumentou ou diminuiu seu 
poder de compra do salário (ganho ou perda real) no período, em termos de taxa e 
valor? 
Resposta 3): Taxa Real = 3,7%. O ganho Real foi de $120,00 
 
4) Um investidor se depara com as seguintes alternativasde taxas de juros para 
aplicação de um capital por um período: Taxa efetiva prefixada de 14% a.a ou 
alternativamente Taxa pós-fixada Real de 6% ao ano. Considerando que sua previsão 
para inflação este ano seja de 8%, considerando que você acerte na sua previsão, qual 
a melhor alternativa, pré ou pós? 
Resposta 4): A melhor alternativa é investir em pós-fixado, pois a taxa de inflação que 
igualaria as duas aplicações é 7,547% ao ano. 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
DESCONTOS 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
Operação de Descontos 
 
DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU “POR DENTRO” 
 
Desconto simples racional, também chamado de desconto “por dentro”, assume 
os conceitos e relações básicas de juros simples. 
 
Desconto simples racional, também chamado de desconto “por dentro”, 
assume os conceitos e relações básicas de juros simples. Tanto no comercio como 
na indústria é frequente operarmos com desconto simples quando fazemos desconto de 
duplicatas. 
 
De modo geral, uma operação de desconto visa estabelecer o valor presente 
pelo qual determinado ativo – que apresenta um valor numa data futura, o valor futuro – 
pode ser negociado hoje. 
 
Operações de desconto de duplicatas e títulos no MERCADO são feitas no 
regime SIMPLES. Tanto no comercio como na indústria é frequentes operarmos com 
desconto simples quando fazemos desconto de duplicatas. 
 
Fórmula para desconto simples: VP = VF – Juros 
 VP = VF – VF . i . n 
 VP = VF (1 – i . n) 
 
 
EXEMPLO de mercado 1: 
Uma duplicata com valor de face de $1.000,00 e prazo de vencimento de 2 meses é 
descontada com uma taxa de 4% ao mês. Determine o valor do desconto e o valor 
descontado deste título. 
 
Solução: 
Dados valor Futuro = 1.000 o prazo de 2 meses e taxa de 4% podemos fazer: 
VP = VF (1 – i . n) 
VP = 1.000 (1 – 0,04 x 2) 
 
34 
 
VP = 1.000 – 80 = 920 
Valor do desconto = $80,00 
Valor Presente do titulo descontado = $920,00 
 
EXEMPLO de mercado 2: 
Vamos verificar agora quanto o agente financiador esta recebendo como taxa de retorno 
por fazer este desconto de duplicata do exemplo 1 (anterior) 
Solução: 
Quem esta investindo $920,00 para receber em 2 meses $1.000,00, esta recendo 
efetivamente a seguinte taxa de juros compostos: 
PV = – 920 N = 2 
FV = 1.000 PMT = 0 
I = ??? 
Resposta: A taxa de retorno é 4,26% ao mês. O que você pode concluir disto? 
 
Desconto Simples – Com vários títulos (Borderô) 
Na pratica não se opera com um titulo isoladamente. Em geral, desconta-se um conjunto 
de títulos com prazos de vencimento distintos. 
 
EXEMPLO de mercado 3: 
Para cobrir o caixa da sua empresa você quer descontar o borderô a seguir. A taxa de 
desconto simples é 4,5% ao mês. 
 
 
 
35 
 
Solução 
 
PRIMEIRO Reunindo em grupos com a mesma data de vencimento 
Prazo Valor Acumulado 
30 dias $ 3.000,00 
60 dias $ 3.500,00 
90 dias $ 13.300,00 
 
SEGUNDO Descontando a 4,5% ao mes 
Prazo Valor Acumulado Valor Descontado 
30 dias $ 3.000,00 $2.865,00 
60 dias $ 3.500,00 $3.185,00 
90 dias $ 13.300,00 $11.504,50 
 
Total a receber hoje $17.554,50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
 
SÉRIES 
UNIFORMES DE 
PAGAMENTOS 
4 
 
 
 
37 
 
Anuidades (pagamentos iguais): Uma anuidade consiste numa série uniforme de 
pagamentos (ou recebimentos) iguais e sucessivos feitos ao final de cada período de 
tempo. Pode ser uma mensalidade, semestralidade ou anuidade. 
 
Exemplo a: Suponha que você deposite $100,00 hoje e mais $100,00 a cada final de 
ano durante 3 anos em uma poupança que rende 10% ao ano. Quanto você poderá 
retirar ao final destes três anos? Nesse caso, o nosso interesse é calcular o Valor Futuro 
desta anuidade. 
Solução: 
T=0 t=1 t=2 t=3 
100 100 100 100 
VF = PV (1+i)3 + PMT (1+i)2 + PMT (1+i) + PMT 
VF = 100 x 1,13 + 100 x 1,12 + 100 x 1,1 + 100 = 464,10 
 
Exemplo b: Suponha que você precise retirar $100,00 a cada final de ano durante 3 
anos em uma poupança que rende 10% ao ano. Quanto você precisa ter hoje 
depositado nesta poupança? Nesse caso, o nosso interesse é calcular o Valor Presente 
desta anuidade. 
 
Solução: 
T=0 t=1 t=2 t=3 
VP = ? – 100 – 100 – 100 
VP = PMT / (1+i) + PMT / (1+i)2 + PMT / (1+i)3 
VP = 100 / 1,1 + 100 / 1,12 + 100 / 1,13 = 248,68 
 
Exemplo c: Suponha que você emprestou $2.000,00 hoje e emprestou mais $100,00 a 
cada final de ano durante 3 anos ao seu cunhado. Vocês acertaram um taxa de juros de 
10% ao ano. Quanto você deverá receber ao final destes três anos? Nesse caso, o 
nosso interesse é calcular o Valor Futuro desta anuidade. 
Solução: 
T=0 t=1 t=2 t=3 
–2.000 –100 –100 –100 
VF = PV (1+i)3 + PMT (1+i)2 + PMT (1+i) + PMT 
VF = 2.000 x 1,13 + 100 x 1,12 + 100 x 1,1 + 100 = 2.993,00 
 
38 
 
Exemplo d: Suponha que você deposite $2.000,00 hoje na sua poupança, que rende 
10% ao ano. Suponha agora que você vai retirar $100,00 a cada final de ano durante 3 
anos. Quanto você poderá ainda retirar ao final destes três anos? Nesse caso, o nosso 
interesse é calcular o Valor Futuro desta anuidade. 
 
Solução: 
T=0 t=1 t=2 t=3 
2.000 –100 –100 –100 
VF = PV (1+i)3 – PMT (1+i)2 – PMT (1+i) – PMT 
VF = 2.000 x 1,13 – 100 x 1,12 – 100 x 1,1 – 100 = 2.331,00 
 
FÓRMULAS PARA RESOLVER ANUIDADES 
PARA QUEM NÃO GOSTA DE USAR CALCULADORA: 
PV = PMT { [(1 + i)n - 1] / i (1+ i)n } 
PMT = PV { i (1+ i)n / [(1 + i)n - 1] } 
FV = PMT { [(1 + i)n - 1] / i } 
PMT = FV { i / [(1 + i)n - 1] } 
n = Log (FV / PV) / Log (1+i) 
Onde: i é a taxa de juros composta, 
n é o período de duração do financiamento ou empréstimo. 
 
EXERCÍCIOS 
1) Você quer trocar seu auto velho por um auto novo. Seu auto velho foi avaliado em 
$12.000,00 o auto novo custa $32.000,00. Você pode financiar a diferença em 12 
prestações iguais mensais com uma taxa de juros de 1,99% a.m. Qual é o valor da 
prestação ? 
Resposta 1): O valor da prestação é $ 1.890,03 
 
2) Torradeira CARVÃOZINHO é a melhor. Compre a sua torradeira a vista por 
$200,00, ou a prazo com $80,00 de entrada e o restante em 4 pagamentos 
mensais iguais com uma taxa de juros de 2,50% ao mês. Qual é o valor de cada 
prestação ? 
Resposta 2): O valor da prestação é $31,89 
 
 
39 
 
3) Você lê o seguinte anuncio: “AutoBOM a vista por $23.000,00. Ou com 40% de 
entrada e mais 24 prestações de $830,00, com juros de 2% ao mês.” É propaganda 
enganosa? 
 
Resposta 3) : SIM é enganosa pois a taxa de juros cobrada é 3,17%. Ou então deoutra 
forma, SIM é enganosa pois com esta taxa a prestação deveria ser $729,00. 
 
4) Você vai comprar uma TV na loja. O preço da TV a vista é $640,00. Você pode 
comprar esta TV financiada em 3 prestações iguais dando como entrada no ato da 
compra apenas $200,00. Sabendo que taxa de juros é 17,27% ao mês qual é o valor de 
cada prestação? 
 
Ou então podemos checar pela prestação e veríamos que a prestação deveria ser de 
$729,62. Por esta razão podemos afirmar que a propaganda é enganosa. 
Resposta 4): O valor da prestação é $200,00 mensais 
 
Perpetuidades: É uma anuidade que não tem prazo para acabar. 
Lembrando da nossa MONOFORMULA: VF = VP ( 1 + i )n 
 
Podemos calcular o Valor Presente: 
VP = FCn / ( 1 + i )n 1 FC 
VP = Σt=1t=n FC’s/(1+i) n n FC’s 
VP = FC1 / i ∞ FC’s 
 
A formula para o calculo do valor de uma perpetuidade é: 
 
 VP(0) = FC(1) /iExemplo A: 
Você quer alugar um imóvel. O imóvel esta avaliado em $100.000,00. A taxa de retorno 
para alugueis nesta região é 0,5% ao mês. Calcular o aluguel. 
 
 
 
 
 
40 
 
Exemplo B: 
Você vai alugar um imóvel. O aluguel é $1.000,00. A taxa de retorno para alugueis nesta 
região é 1,0% ao mês. Qual deve ser o valor deste imóvel 
Exemplo C: 
O seu imóvel esta avaliado em $200.000,00. Você consegue alugar facilmente no 
mercado por $1.000,00. Qual é a taxa de retorno que você esta obtendo? 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Um imóvel vale $150.000,00. A taxa de retorno é 1% ao mês. Qual é o valor do 
aluguel mensal? 
Resposta 1): $1.500,00 mensais 
 
2) Um titulo publico, perpétuo, paga ao investidor juros mensais de $1.000,00. A taxa de 
retorno deste titulo é 2% ao mês. Qual é o VP deste titulo? 
Resposta 2): Valor de mercado é $50.000,00 
 
3) Um imóvel comercial esta alugado por $2.000,00 mensais. A taxa de retorno para 
aluguel é 1% ao mês. Qual é o valor de mercado deste imóvel? 
Resposta 3): Valor de mercado é $200.000,00 
 
Fluxos não Uniformes. 
 
Uma anuidade tem como característica básica o fato de ser uma série constante de 
pagamentos (ou recebimentos). Muitas vezes, no entanto, nos deparamos com uma 
serie de pagamentos que não tem relação entre si, especialmente na análise de fluxos 
de caixa de projetos de investimento de empresas. 
Exemplo numérico: 
T=0 t=1 t=2 t=3 
0 294.000 616.000 938.000 
 
 
 
 
 
41 
 
Calculando o Valor Presente de um fluxo não uniforme pela formula 
 
O Valor Presente de um fluxo não uniforme pode ser calculado achando-se o Valor 
Presente de cada fluxo individualmente, e somando-se depois todos os valores 
encontrados. Supondo uma taxa de juros de 20% por período, temos: 
T=0 t=1 t=2 t=3 
0 294.000 616.000 938.000 
 
VP (FC1) = FC1/ (1+i)1 = 245.000,00 
VP (FC2) = FC2/ (1+i)2 = 427.777.78 
VP (FC3) = FC3/ (1+i)3 = 542.824,07 
Total (t=0) = 245.000,00 + 427.777,78 + 542.824,07 = 1.215.601,85 
 
Calculando o Valor Presente de um fluxo de caixa não uniforme na calculadora 
 
Alternativamente podemos utilizar a calculadora financeira, ou mesmo a planilha Excel 
para automatizar os cálculos necessários. Considere o mesmo fluxo anterior. 
 
O procedimento passo a passo para HP 12c envolve o uso das teclas azuis, que são 
acessadas sempre que se digita a tecla “g” , é o seguinte: 
1 0 g CFo 
2 294.000 g CFj 
3 616.000 g CFj 
4 938.000 g CFj 
6 20 i 
7 f NPV 
 
Obtemos então 1.215.601,85 
 
EXERCÍCIOS 
1) Qual é o Valor Presente de um conjunto de 15 pagamentos (anuidades) no valor de 
$13.000,00 cada uma. A taxa de desconto é 25% ao ano. 
Resposta 1): O Valor Presente é $50.170,41 
 
 
42 
 
2) Um projeto obtém como retorno liquido das Operações um fluxo de caixa constante e 
perpetuo no valor de $4.000,00 anuais. Qual é o Valor Presente deste retorno? 
Considere a taxa de desconto como sendo 18% ao ano. 
Resposta 2): O VP é $22.222,22 
 
 
3) Qual é o Valor Presente do seguinte fluxo de caixa anual ? 
 T=0 t=1 t=2 t=3 t=4 
 200 730 120 440 
Considere que a taxa de desconto seja 12% ao ano. 
Resposta 3): O VP é $1.125,56 
 
4) Considerando a taxa de desconto de 4%, calcular o Valor Presente dos seguintes 
Fluxos de Caixa: 
Data 1 2 3 
Fluxo de Caixa 8.820,00 17.920,00 25.900,00 
Resposta 4): O VP é 48.073,82. 
 
5) Qual é o Valor Presente do seguinte fluxo de caixa anual ? 
T=0 t=1 t=2 t=3 t=4 
245.000 427.777,78 542.824,07 0,00 
Considere que a taxa de desconto seja 20% ao ano. 
Resposta 5): O VP é $815.368,87 
 
6) Qual é o Valor Presente do seguinte fluxo de caixa anual ? 
T=0 t=1 t=2 t=3 
0 60.000 80.000 420.000 
Considere que a taxa de desconto seja 18% ao ano. 
Resposta 6): O VP é $363.927,18 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS DE 
AMORTIZAÇÃO 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
Conceitos Gerais 
 
O processo de quitação de um empréstimo consiste em efetuar pagamentos 
periódicos (prestações) de modo a liquidar o saldo devedor. 
Amortização é a parte da prestação que serve para reduzir o principal de uma dívida, já 
que a outra parte equivale aos juros. Podemos dizer que cada prestação é composta de 
uma parte para amortização da dívida e outra parte para pagar os juros dessa mesma 
dívida. Prestação é o pagamento periódico que fazemos para liquidar um empréstimo ao 
longo do tempo, composta de Juros mais Amortização. 
 
Amortização do Principal + Juros do Período = Prestação 
 
Sistema de Amortização é um sistema qualquer pelo qual são calculadas as 
prestações para amortização de um empréstimo. Em outras palavras, os sistemas de 
amortização são as diferentes maneiras pelas quais se torna possível o pagamento de 
um empréstimo. 
 
Sistemas de Amortização 
 
1- Sistema PRICE também é conhecido como Sistema Francês de amortização. 
2- Sistema SAC é o sistema onde as amortizações são constantes. 
3- Sistema SAA é o sistema de amortização americano. Pagamento Final. 
 
1- Sistema PRICE também é conhecido como Sistema Francês de amortização. Sua 
característica principal é apresentar prestações iguais. É bastante utilizado nos 
financiamentos comerciais (crédito direto ao consumidor - CDC), financiamentos 
imobiliários, dentre outros. (Richard Price, matemático inglês século XVIII). 
 
Exemplo: 
Um empréstimo de $100.000,00 será pago pelo sistema de amortização francês em 5 
prestações mensais postecipadas. A taxa e juros é 5% a.m. 
 
Mês Prestação Juros Amortização Saldo devedor 
 
45 
 
0 0,00 0,00 0,00 100.000,00 
1 23.097,48 5.000,00 18.097,48 81.902,52 
2 23.097,48 4.095,13 19.0002,35 62.900,17 
3 23.097,48 3.145,01 19.952,47 42.947,70 
4 23.097,48 2.147,38 20.950,10 21.997,60 
5 23.097,48 1.099,88 21.997,60 0,00 
 
Período de Carência 
 
a) É o período onde não se paga o principal, apenas os juros são pagos. Após o período 
de carência inicia-se pagamento do principal. 
b) É o período onde nada é pago. Após o período de carência inicia-se pagamento do 
principal e dos juros. 
 
Exemplo 1 – Carência do Principal: 
 
Um empréstimo de $100.000,00 será pago pelo sistema de amortização francês em 5 
prestações mensais postecipadas. A taxa e juros é 5% a.m. Considere um período de 
carência de 2 meses, pagando apenas os juros. 
 
Mês Prestação Juros Amortização Saldo devedor 
0 0,00 0,00 0,00 100.000,00 
1 5.000,00 5.000,00 0,00 100.000,00 
2 5.000,00 5.000,00 0,00 100.000,00 
3 23.097,48 5.000,00 18.097,48 81.902,52 
4 23.097,48 4.095,13 19.002,35 62.900,17 
5 23.097,48 3.145,01 19.952,47 42.947,70 
6 23.097,48 2.147,38 20.950,10 21.997,60 
7 23.097,48 1.099,88 21.997,60 0,00 
 
 
 
 
 
 
46 
 
Exemplo 2 – Carência de Juros e do Principal: 
 
Um empréstimo de $100.000,00 será pago pelo sistema de amortização francês em 5 
prestações mensais postecipadas. A taxa e juros é 5% a.m. Considere um período de 
carência de 2 meses, não pagando nada, carência de juros e do principal e dos juros. 
 
Mês Prestação Juros Amortização Saldo devedor 
0 0,00 0,00 0,00 100.000,00 
1 0,00 0,00 0,00 105.000,00 
2 0,00 0,00 0,00 110.250,00 
3 25.464,97 5.512,50 19.952,47 90.297,53 
4 25.464,97 4.514,88 20.950,09 69.347,44 
5 25.464,97 3.467,37 21.997,60 47.349,84 
6 25.464,97 2.367,37 23.097,48 24.252,36 
7 25.464,97 1.212,61 24.252,36 0,00 
 
 Soma 110.250,00 
 
CALCULO DO SALDO DEVEDOR, NO SISTEMA PRICE, EM 2 PASSOS: 
 
Passo 1: Fornecer as informações para calculadora. 
Passo2: Fornecer a data e pedir o Saldo Devedor, FV. 
 
Exemplo: 
Um empréstimo de $100.000,00 será pago pelo sistema de amortização francês em 4 
prestações mensais postecipadas. A taxa e juros é 72% a.a. 
 
Passo 1 – Calculo da prestação PRICE 
PV = -100.000 
FV = 0 
N = 4 
I = 6% 
PMT = 28.859,15 
 
 
47 
 
Passo 2 – Fornecer para a calculadora a data do Saldo Devedor 
N = 3 
Obtemos o Saldo Devedor: FV = 27.225,61 
 
EXERCICIO 
 
Há 2 anos você trocou seu auto velho (avaliado em $12mil) por um auto novo ($30mil). 
Na época você financiou a diferença pelo sistema PRICE (prestações mensais) em 4 
anos com uma taxa de juros de 2,99% a.m. Qual é o seu saldo devedor hoje ? 
Resposta: SD = 12.055,61 
 
2- Sistema SAC é o sistema onde as amortizações são constantes. Lembrar que a 
amortização do principal é uma parte da prestação, enquanto a outra parte corresponde 
aos juros do período. 
 
Receita para calcular a prestação SAC: 
 
a) Calcular a amortização de cada período 
b) Calcular o saldo devedor de cada período após a amortização 
c) Calcular os juros do período 
d) Calcular a prestação somando os juros MAIS a amortização 
 
Exemplo: 
Um empréstimo de $100.000,00 será pago pelo sistema SAC em 5 prestações mensais. 
A taxa de juros é 5% a.m. Calcular as prestações. Mês, Amortização, Saldo devedor, 
Juros e Prestação 
0 0,00 100.000,00 0,00 0,00 
1 20.000,00 80.000,00 5.000,00 25.000,00 
2 20.000,00 60.000,00 4.000,00 24.000,00 
3 20.000,00 40.000,00 3.000,00 23.000,00 
4 20.000,00 20.000,00 2.000,00 22.000,00 
5 20.000,00 0,00 1.000,00 21.000,00 
 Soma 100.000,00 
 
 
48 
 
EXERCICIO 
Um financiamento de $120.000,00 será pago pelo sistema SAC em 6 prestações anuais. 
A taxa de juros é 10% a.a. Calcular as prestações. 
Resposta 
As prestações dos próximos 6 meses são respectivamente 
$32.000,00, $30.000,00, $28.000,00, $26.000,00, $24.000,00 e $22.000,00 
 
3- Sistema SAA é o sistema de amortização americano. Pagamento Final juros mais o 
prinicipal. Sistema de Amortização com Pagamento no Final, é o sistema onde o 
financiamento é pago, de uma única vez, ao final de dado prazo. Os juros são 
incorporados à aplicação ao final de cada período (mês ou ano), porem não pagos. Essa 
modalidade de pagamento é utilizada em: papéis de renda fixa (letras da câmbio ou 
certificados de depósito com renda final) e empréstimos de capital de giro e hot money. 
 
Sistema de Pagamento Periódico de Juros é o sistema onde somente o 
pagamento de juros é realizado ao final de cada período e, ao final do prazo do 
empréstimo, paga-se, além dos juros do último período, também o principal integral. 
Essa modalidade é utilizada em: papéis de renda fixa com renda paga periodicamente, 
letras de câmbio com renda mensal, certificados de depósito com renda mensal, 
trimestral etc. 
 
Período de Carência 
a) É o período onde apenas os juros são pagos. Após o período de carência iniciase 
pagamento do principal. 
 
b) É o período onde nada é pago. Após o período de carência inicia-se pagamento do 
principal e dos juros. 
 
Exemplo: 
Calcular as prestações de um empréstimo de $1.000.000,00 a ser pago em 4 anos, a 
juros efetivos de 6% a.a., pelo sistema de amortização americano. Apresentar a planilha 
completa do sistema de amortização americano, com carência do principal. 
 
Solução: 
 
49 
 
Inicialmente vamos calcular o valor dos juros anuais, com base nos 6% a.a. 
 
Ano Amortização Saldo devedor Juros Prestação 
0 0,00 1.000.000,00 0,00 0,00 
1 0,00 1.000.000,00 60.000,00 60.000,00 
2 0,00 1.000.000,00 60.000,00 60.000,00 
3 0,00 1.000.000,00 60.000,00 60.000,00 
4 1.000.000,00 0,00 60.000,00 1.060.000,00 
 Soma 1.000.000,00 
 
EXERCÍCIOS 
1) Você teve de efetuar, junto a sua instituição bancária, um empréstimo no valor de R$ 
2.000,00, com uma taxa de juros de 4% ao ano, para cobrir despesas hospitalares 
emergenciais. Calcule o valor das prestações anuais que liquidariam esse empréstimo 
em 4 anos, usando o sistema PRICE. 
 
2) Você abriu uma poupança com R$ 3.000,00 e, a partir de então, ao final de cada mês, 
você depositou mais R$ 400,00 durante 18 meses. Assumindo que a taxa de juros da 
poupança seja de 1% ao mês, quanto você poderá retirar ao final do décimo oitavo mês? 
 
3) Você abriu uma poupança com R$ 4.800,00 e, a partir de então, você retirou ao final 
de cada mês, R$ 300,00, durante 15 meses. Assuma que a taxa de juros da poupança 
seja de 0,8% ao mês. Quanto você poderá retirar da poupança, ao final do décimo 
quinto mês? 
 
4) Calcular as prestações mensais do sistema SAC para um empréstimo de 
$36.000,00 a ser pago em 4 prestações com uma taxa de juros de 4% ao mês. 
 
5) Você deve pagar um empréstimo de R$ 30.000,00 (que você recebeu hoje) pelo 
sistema de amortização com pagamento final. Em outras palavras, trata-se daquele 
sistema onde você capitaliza juros e paga todos eles mais o principal, de uma só vez, no 
final do prazo do empréstimo. Assuma que o prazo do empréstimo foi de 3 anos e que a 
taxa de juros composta adotada foi de 20% ao ano. Qual deve ser o valor das 
prestações? 
 
50 
 
6) Você deve pagar um empréstimo de R$ 50.000,00 pelo sistema de amortização com 
pagamento periódico anual de juros. Em outras palavras, trata-se daquele sistema onde 
você paga, a cada ano, apenas os juros, não amortizando nada do principal, e, ao final, 
no último período, você paga os juros do período mais o principal. Assuma que o prazo 
do empréstimo foi de 3 anos e que a taxa de juros composta adotada foi de 15% ao ano. 
Qual deve ser o valor das prestações? 
 
7) Você deve pagar um empréstimo de R$ 20.000,00 pelo sistema de amortização 
conhecido como sistema Price. Em outras palavras, trata-se daquele sistema onde você 
paga prestações idênticas, a cada ano, até a amortização total do empréstimo. Assuma 
que o prazo do empréstimo foi de 3 anos e que a taxa de juros composta adotada foi de 
15% ao ano. Qual deve ser o valor das prestações PRICE anuais? Qual deve ser o valor 
das Prestações pelo sistema SAC ? 
 
Respostas: 
1) Pelo sistema PRICE, as prestações são constantes. 
Calculando o valor de cada uma é de R$ 550,98. 
 
2) Você poderá retirar R$ 11.434,34 ao final do décimo oitavo mês. 
 
3) Você poderá retirar R$ 648,45 ao final do décimo quinto mês. 
 
4) O valor de cada uma das prestações pode ser dado pelo seguinte quadro: 
 Período t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 
 Prestação 0,00 10.440 10.080 9.720 9.360 
 
5) O valor de cada uma das prestações pode ser dado pelo seguinte quadro: 
 Período t=0 t=1 t=2 t=3 
 Prestações 0,00 0,00 0,00 R$ 51.840,00 
 
6) O valor de cada uma das prestações pode ser dado pelo seguinte quadro: 
 Período t=0 t=1 t=2 t=3 
Prestações 0,00 R$ 7.500,00 R$ 7.500,00 R$ 57.500,00 
 
 
51 
 
7) O valor de cada uma das prestações pode ser dado pelo seguinte quadro: 
 Período t=0 t=1 t=2 t=3 
Prestações PRICE 0,00 $ 8.759,54 $ 8.759,54 $ 8.759,54 
 Prestações SAC 0,00 $ 9.666,66 $ 8.666,66 $ 7.666,66 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 
MÉTODOS DE 
ANALISE DE 
FLUXOS DE CAIXA 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
Estudaremos dois critérios importantes para analise de projetos: VPL & TIR VPL 
significa Valor Presente Líquido. VPL é a diferença aritmética entre o custo do 
investimento e o seu valor. 
 
O VPL deve ser maior do que zero para que um projeto seja considerado viável. 
Isto significa que o valor do projeto tem queser maior do que o custo do projeto. Se um 
projeto custa mais do que vale, o investidor não deve investir nesse projeto, pois a 
diferença será um prejuízo. Se por outro lado um projeto vale mais do que custa, o 
investidor deve investir, pois a diferença será o seu lucro. 
 
TIR significa Taxa Interna de Retorno. TIR é a taxa de retorno que um projeto 
fornece ao seu investidor. Se a TIR de um projeto é maior do que a taxa do custo do 
capital investido no projeto, o investidor deve investir, pois o projeto retorna uma taxa 
suficiente para pagar o capital do projeto. A diferença para mais significa que o 
investidor terá lucro. Se por outro lado a TIR for menor do que a taxa do custo do capital 
investido, o investidor não deve investir, pois estará pagando mais do que consegue 
receber. 
 
Nas máquinas financeiras, geralmente, tanto o VPL como a TIR estão 
representados por suas siglas em inglês: NPV (Net Present Value) e IRR (Internal Rate 
of Return). 
 
Na calculadora HP 12C estas funções (VPL e TIR) são acessadas pela 
seqüência das teclas “f ” NPV e “f ” IRR, respectivamente. Onde “f ” é a tecla amarela. 
 
TMA significa Taxa Mínima de Atratividade, que é a taxa mínima que o investidor 
esta disposto a receber para aplicar seu capital em um investimento. Se um investidor 
tem recursos aplicados no banco X a uma taxa de 10% e recebe uma proposta para 
investir no banco Y, a TMA é 10%. 
 
FÓRMULAS 
 
VPL = Valor Presente das ENTRADAS – Valor Presente das SAIDAS 
VPL = Σ FC’s / ( 1 + i ) n – CFo 
 
54 
 
 
TIR é a taxa de desconto que faz o VPL ser igual a zero. 
VPL = 0 = Σ FC’s / ( 1 + TIR ) n – CFo 
 
EXEMPLOS 
1) O projeto XINGU custa hoje $2.000.000,00. O valor presente operacional do projeto 
XINGU é $2.800.000,00. Qual é o VPL do projeto XINGU ? Você faria este 
investimento? 
 
Solução: 
Não precisamos calcular o VP pois o enunciado já fornece o valor como sendo 
$2.800.000,00. Não precisamos calcular o Investimento hoje pois o enunciado já fornece 
o custo como sendo $2.000.000,00 
VPL = Valor - Custo = 2.800.000,00 – 2.000.000,00 = 800.000,00 
 
Resposta: VPL = $800.000,00. Sim você faria o investimento pois o VPL é positivo. 
 
2) Uma empresa deseja projetar se será bom investir em um terreno. Para isto devera 
analisar o fluxo e caixa de investimento (convencional) no terreno, sendo o investimento 
inicial de $10.000,00. Devido a localização do terreno, estima-se que será possível 
vende-lo após 4 anos por $11.000,00. Sabendo-se que a taxa mínima de atratividade 
desta empresa é 13% ao ano, e que estão previstas entradas de caixa relativas ao 
aluguel do terreno por terceiros apresentadas na tabela a seguir: 
Ano Entradas 
1 500,00 
2 450,00 
3 550,00 
4 0,00 (sem alugar) 
Calcular o VPL deste projeto. 
Determine se investir neste projeto é atraente para a empresa ou não. 
 
Solução: 
 T=0 t=1 t=2 t=3 t=4 
 -10.000 500 450 550 11.000 
 
55 
 
 
VPL = Valor Presente das ENTRADAS – Valor Presente das SAIDAS 
VPL = – 2.077,42 (negativo) 
Este projeto proporcionará prejuízo e por esta razão deve ser rejeitado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
Bibliografia 
 
AGUSTINI, Carlos Alberto Di e ZELMANOVITS, Nei Schilling. Matemática aplicada à 
gestão de negócios. Rio de Janeiro: FGV, 2005. 
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo: 
Atlas, 2012. 
BRUNI, Adriano Leal; FAMÁ, Rubens. Matemática financeira com hp12c e excel. 5 ed. 
São Paulo: Atlas, 2008. 
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática financeira: fácil. 14. ed. São Paulo: Saraiva, 
2010. 
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática financeira com hp12c e excel: uma 
abordagem descomplicada. 2. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2010. 
MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2010. 
PUCCINI, Aberlado de Lima. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 9. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2011. 
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira: edição compacta. 3ª ed. São 
Paulo: Atlas, 2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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