Matematica Financeira

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MÓDULO DE: 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA USANDO HP-12C 
 
 
 
 
 
 
AUTORIA: 
 
FREDERICO GOMES CARVALHAES 
 
 
 
 
 
Copyright © 2009, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil 
 
 
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Módulo de: Matemática Financeira Usando HP12C 
Autoria: Frederico Gomes Carvalhaes 
 
Primeira Edição: 2009 
 
 
CITAÇÃO DE MARCAS NOTÓRIAS 
 
Várias marcas registradas são citadas no conteúdo deste módulo. Mais do que simplesmente 
listar esses nomes e informar quem possui seus direitos de exploração ou ainda imprimir 
logotipos, o autor declara estar utilizando tais nomes apenas para fins editoriais acadêmicos. 
Declara ainda, que sua utilização tem como objetivo, exclusivamente a aplicação didática, 
beneficiando e divulgando a marca do detentor, sem a intenção de infringir as regras básicas 
de autenticidade de sua utilização e direitos autorais. 
E por fim, declara estar utilizando parte de alguns circuitos eletrônicos, os quais foram 
analisados em pesquisas de laboratório e de literaturas Já editadas, que se encontram 
expostas ao comércio livre editorial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Apresentação 
Prezado aluno, seja bem-vindo! 
Neste módulo você é convidado a aprofundar seus estudos em Matemática Financeira e, 
para tanto, utilizaremos como apoio aos cálculos a importante e muito difundida calculadora 
financeira HP-12C. 
No link “Estudos Complementares” estará disponibilizado o manual para o uso da 
calculadora HP-12C, que servirá de apoio para a compreensão de seu uso, bem como 
resolução dos exercícios. Este material é complementado por baterias de exercícios 
disponíveis na plataforma, as quais servirão de apoio para fixação dos conhecimentos 
adquiridos. 
Mantenha em dia seus estudos e não deixe acumular dúvidas. Sempre que preciso, entre em 
contato comigo. Estarei à disposição para auxiliá-lo na conclusão de mais esta etapa 
acadêmica. 
Bons Estudos E Sucessos! 
 
Prof. Frederico Gomes Carvalhaes 
Tutor ESAB 
 
 
 
 
 
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Objetivo 
 Conhecer os principais recursos oferecidos pela calculadora financeira HP-12C, 
habilitando o usuário no exercício de suas principais funções; 
 Analisar e interpretar os vários instrumentos da matemática financeira por meio de 
exercícios e "Cases"; 
 Realizar operações e cálculos financeiros, determinando o valor do dinheiro no tempo e 
sua importância; 
 Iniciar a avaliação e tomadas de decisões de investimento, estabelecendo técnicas de 
orçamentação de capital. 
 
 
Ementa 
A HP-12C e suas principais funções; Juros e capitalização simples; Diagrama do fluxo de 
caixa; Descontos simples comercial e racional; Juros e capitalização composta; Operações 
envolvendo taxas; Taxas nominal e efetiva; Período de tempo Fracionário; Índice, Correção 
Monetária e Inflação; Rendas Postecipadas, Antecipadas e Diferidas; Cálculo da Parcela 
Complementar; Fluxos de Caixa Não-Homogêneos; Sistema de Amortização - Empréstimos. 
 
 
 
 
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Sobre o Autor 
Com experiência docente desde 1996, atuando em instituições de ensino médio e superior, é 
graduado em Engenharia Elétrica, Matemática e Administração de Empresas. Possui pós-
graduação em Gestão de Negócios e Tecnologia da Informação e Mestrado em Ciências 
Contábeis (Área Contabilidade e Finanças, linha Administração Estratégica) e. 
Além de atuar na Educação à Distância, é professor de cursos presenciais de Pós-
Graduação, Graduação, Preparatório para Concursos, Pré-Vestibulares e Ensino Médio. 
É também consultor empresarial, especialmente ligado às áreas de educação e sistemas 
energéticos. 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
UNIDADE 1 ........................................................................................................... 8 
Conhecendo a HP-12C e suas principais funções ........................................................... 8 
UNIDADE 2 ......................................................................................................... 13 
Conhecendo a HP-12C e suas principais funções - Continuação ................................ 13 
UNIDADE 3 ......................................................................................................... 21 
Conhecendo a HP-12C e suas principais funções - Continuação ................................ 21 
UNIDADE 4 ......................................................................................................... 28 
Operações envolvendo DATAS utilizando a HP-12C ..................................................... 28 
UNIDADE 5 ......................................................................................................... 31 
Introdução .......................................................................................................................... 31 
UNIDADE 6 ......................................................................................................... 40 
Juros ou Capitalização Simples....................................................................................... 40 
UNIDADE 7 ......................................................................................................... 44 
Taxa e Tempo na mesma unidade ................................................................................... 44 
UNIDADE 8 ......................................................................................................... 57 
Desconto Simples ............................................................................................................. 57 
UNIDADE 9 ......................................................................................................... 70 
2. Desconto Simples Racional ou Por Dentro (Dr) ...................................................... 70 
UNIDADE 10 ....................................................................................................... 75 
Exemplos práticos de desconto racional simples ......................................................... 75 
UNIDADE 11 ....................................................................................................... 88 
Orientações importantes .................................................................................................. 88 
Juros ou Capitalização Composta ................................................................................... 89 
UNIDADE 12 ....................................................................................................... 96 
Taxa Nominal e Efetiva ..................................................................................................... 96 
UNIDADE 13 ..................................................................................................... 104 
 
 
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Utilização de n fracionário - O indicador de estado c ............................................... 104 
UNIDADE 14 ..................................................................................................... 109 
UNIDADE 15 ..................................................................................................... 112 
Correção Monetária......................................................................................................... 112 
UNIDADE 16 ..................................................................................................... 116 
UNIDADE17 ..................................................................................................... 120 
UNIDADE 18 ..................................................................................................... 124 
UNIDADE 19 ..................................................................................................... 129 
Introdução ........................................................................................................................ 129 
UNIDADE 20 ..................................................................................................... 136 
UNIDADE 21 ..................................................................................................... 142 
UNIDADE 22 ..................................................................................................... 146 
UNIDADE 23 ..................................................................................................... 150 
UNIDADE 24 ..................................................................................................... 154 
UNIDADE 25 ..................................................................................................... 158 
UNIDADE 26 ..................................................................................................... 163 
UNIDADE 27 ..................................................................................................... 169 
UNIDADE 28 ..................................................................................................... 174 
UNIDADE 29 ..................................................................................................... 180 
UNIDADE 30 ..................................................................................................... 197 
Sistemas de Amortização - Empréstimos ..................................................................... 197 
GLOSSÁRIO ..................................................................................................... 204 
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................ 205 
 
 
 
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UNIDADE 1 
Objetivo: Apresentar a calculadora HP-12C e suas principais funções. 
Conhecendo a HP-12C e suas principais funções 
 
Ligando e desligando sua calculadora 
Para começar a usar sua HP-12C, pressione a tecla [ ON ]. Observe que sua máquina não 
possui uma tecla específica para desligar (como OFF, por exemplo). Assim, se você 
pressionar [ ON ] novamente, a calculadora será desligada. 
Se a calculadora não for desligada manualmente, ela se desligará automaticamente de 8 a 
17 minutos após a sua última utilização, de acordo com a carga de sua bateria. 
 
Indicação de Bateria Fraca 
A sua calculadora, quando ligada, indica a condição de bateria fraca através de um asterisco 
(*) que fica piscando no canto inferior esquerdo do visor. Quando isso acontecer, desligue a 
calculadora e substitua as baterias por outras novas. 
 
Testando sua máquina 
Este teste indica se sua máquina está em perfeita condição de uso. Para iniciar o teste, 
permaneça com a máquina desligada. Execute em seguida os passos abaixo: 
1. Mantenha a tecla [ ON ] pressionada ; 
2. Pressione a tecla [ X ] (sinal de multiplicação) ; 
 
 
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3. Solte a tecla [ ON ] e em seguida a tecla [ X ] , de maneira quase simultânea ; 
4. Depois de algum tempo, durante o qual o visor apresenta a palavra “running”, irá 
aparecer -8,8,8,8,8,8,8,8,8,8, e uma série de anunciadores abaixo. 
5. Se estes aparecerem, PARABÉNS, sua máquina está perfeita; caso contrário, poderá 
ser um indício de que sua máquina não estará operando corretamente. Se isso correr, 
leve sua máquina a uma assistência técnica. 
 
Notação Brasileira para Números 
Sua máquina vem de fábrica com uma notação americana para escrita de números, ou seja, 
“.” (ponto) para separar a parte fracionária e “,” (virgula) para separar grupos de 3 dígitos da 
parte inteira (de mil em mil para facilitar a visualização do número). 
Para utilizar sua HP na notação brasileira, ou seja, “,” (virgula) para separar a parte decimal 
e “.” (ponto) para dividir a parte inteira em grupos de 3 dígitos, proceda da seguinte maneira: 
1. Com a máquina desligada, aperte a tecla [ . ] (ponto) e mantenha pressionada ; 
2. Ligue a máquina [ ON ] e mantenha pressionada ; 
3. Solte a tecla [ . ] (ponto) e em seguida a tecla [ ON ] , de maneira quase simultânea ; 
Com este procedimento, você alterou o formato de separação das casas decimais; para 
voltar à origem basta repetir estes passos. 
 
Números Negativos [ CHS ] 
Para fazer com que o número que estiver no visor fique negativo, basta pressionar a tecla 
[ CHS ] (CHange Sign = troca o sinal). Quando o visor contiver um número negativo, ao se 
pressionar [ CHS ] remove-se o sinal negativo do visor, fazendo com que o número fique 
positivo. Esta tecla é a mesma tecla ± das calculadoras comuns. 
 
 
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 As Teclas CLEAR 
Apagar um registrador ou o visor é a operação que substitui seus conteúdos originais por 
zero. A HP-12C possui diversas operações de apagar, conforme abaixo: 
 [ CLx ] → Apaga o visor (o registrador X) ; 
 [ f ] CLEAR [ ∑ ] → Apaga os registradores estatísticos (R1 a R6), os 
registradores da pilha operacional e o visor ; 
 [ f ] CLEAR [ PRGM ] → Apaga a memória de programação, quando 
pressionadas no modo PRGM ; 
 [ f ] CLEAR [ FIN ] → Apaga os registradores financeiros ; 
 [ f ] CLEAR [ REG ] → Apaga os registradores de armazenamento de 
dados, os registradores da pilha operacional e o visor. 
 [ f ] CLEAR [ PREFIX ] → Apaga as teclas de prefixo [ f ] ou [ g ] e também é 
empregada para se apresentar a mantissa (todos os 10 dígitos) de um número que 
esteja no visor. A mantissa do número que estiver no visor será apresentada por um 
momento após a tecla [ PREFIX ] ser solta. 
 
As teclas [ f ] e [ g ] 
Você já notou que em algumas teclas de sua máquina existem as cores branca, amarela e 
azul. Isso representa que cada tecla possui três diferentes funções, que poderão ser 
acionadas de acordo com o que se deseja. 
Para acionar estas funções utilizamos as teclas de prefixo [ f ] e [ g ] antes da tecla 
correspondente à função desejada. 
 
 
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A função em branco é ativada apenas apertando diretamente a própria tecla. Para ativar a 
função em amarelo é necessário apertar antes a tecla [ f ] e, para ativar a função em azul, 
deve-se apertar primeiro a tecla [ g ]. Você verá muitos exemplos nos itens seguintes. 
 
Limpando as memórias e dados internos da máquina 
Sempre, sempre, sempre que iniciar qualquer cálculo confirme que não exista nada 
armazenado nos registradores e na pilha operacional (veremos mais adiante). Para isto, 
basta pressionar as seguintes teclas, não simultaneamente: 
[ CLx ] [ x<>y ] 
f [ CLx ] f [ x<>y ] 
g [ CLx ] g [ x<>y ] 
 
Pronto, sua máquina já está com todas as memórias internas limpas, inclusive as memórias 
financeiras, que serão muito utilizadas mais adiante. 
 
Controlando o número de casas decimais no visor 
O número de casas no visor pode ser controlado apertando-se a tecla [ f ] e o n° de casas 
desejado. Por exemplo: 
 [ f ] [ 2 ] deixa o visor com duas casas decimais. 
 [ f ] [ 5 ] deixa o visor com cinco casas decimais. 
 [ f ] [ 9 ] deixa o visor com cinco casas decimais. 
 
 
 
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OBSERVAÇÕES: 
Mesmo alterando o número de casas decimais na exibição do visor, a máquina continua 
internamente com todas as casas decimais do número. 
Ao alterar o número de casas decimais do visor, a HP-12C se encarrega automaticamente de 
efetuar os arredondamentos matemáticos, considerando valores maiores ou iguais a 5 
objetos de arredondamento para cima. Por exemplo, se pressionarmos [ f ] [ 2 ] com o 
número: 
 1,424, o visor apresentará 1,42 ; 
 1,427, o visor apresentará 1,43 ; 
 1,425, o visor apresentará 1,43 ; 
 
Algarismos maiores ou iguais a 5 serão arredondados para cima. 
Em nosso módulo estaremos adotando o seguinte critério: trabalharemos com TODAS AS 
CASAS DECIMAIS (usaremos [ f ] [ 9 ]) durante os cálculos e SOMENTE NA RESPOSTA 
arredondaremos para duas casas decimais (usando [ f ] [ 2 ]). Arredondamentos parciais 
durante os cálculos poderão afetar sensivelmente os resultados procurados. 
 
 
 
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UNIDADE 2 
Objetivo: Apresentar a calculadora HP-12C e suas principais funções - Continuação da 
unidade anterior. 
Conhecendo a HP-12C e suas principais funções - Continuação 
 
Operações Aritméticas 
Examine sua máquina e verifique que a mesma não possui a tecla “=“ (igual). Isto porque a 
HP-12C usa um sistema chamado RPN (Reverse Polish Notation - Notação Polonesa 
Inversa). 
Por exemplo, para somar os números 5 e 3 em sua máquina comum teclamos o seguinte: 
5 + 3 = , ou seja, teclamos um número, dizemos a operação desejada, teclamos o segundo 
número e solicitamos que a máquina execute a conta apertando a tecla “=“. 
Na HP-12C o procedimento é o seguinte: você informa os números consecutivamente e em 
seguida a operação, e esta será realizada automaticamente. 
A mesma operação de soma mostrada anteriormente é feita na HP da seguinte forma: 
[ 5 ] [ENTER] 
[ 3 ] [ + ] 
 
O visor apresentará a resposta 8. A tecla [ENTER] é usada para separar a entrada de dados. 
 
 
 
 
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Pilha Operacional 
Para fazer as operações a HP-12C utiliza-se de um processo de armazenagem de dados 
que denominamos “Pilha Operacional”. 
Esta pilha possui 4 endereços de armazenamentos: X, Y, Z, e T onde o endereço X é o visor. 
Vamos mostrar como a Pilha Operacional trabalha com o seguinte exemplo: 
( 2 + 3 ) ( 4 - 2 ) 
Teclamos : 
[ 2 ] [ENTER] 
[ 3 ] [ + ] 
[ 4 ] [ENTER] 
[ 2 ] [ - ] [  ] 
Resposta apresentada no visor : 2,5 
 
Internamente, a HP-12C processou na Pilha operacional: 
Tecle 2 [ENTER] 3 + 4 [ENTER] 2 -  
Endereço X (visor) 2 2 3 5 4 4 2 2 2,5 
Endereço Y 2 2 5 4 4 5 
Endereço Z 5 5 
Endereço T 
 
 
 
 
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Toda operação na HP-12C é realizada do endereço Y para o endereço X. 
Memórias para cálculos 
A HP-12C, além de possuir várias memórias financeiras, o qual falaremos mais adiante, 
também possui outras 20 memórias operacionais numeradas de 0 a 9 e .0 a .9 (ponto zero a 
ponto nove). Os números contidos no visor (endereço X) podem ser guardados nas 
memórias através da tecla [STO], e para serem recuperados, utilizamos a tecla [RCL]. 
Exemplos: 
Teclar Visor Comentários 
1227 1.227 armazena o valor no endereço X (visor) 
[STO] 0 1.227,00 armazenou o valor na memória 0 
1285 1.285 armazenou o valor no endereço X 
[STO] .5 1.285,00 armazenou o valor na memória .5 
 
Para recuperarmos os valores armazenados nas memórias fazemos os seguintes 
procedimentos: 
Teclar Visor Comentários 
[RCL] 0 1.227,00 recuperamos o valor da memória 0 
[RCL] .5 1.285,00 recuperamos o valor da memória .5 
 
Observação: quando armazenamos um valor em qualquer memória, não sugerimos limpar 
totalmente a máquina através do comando [ f ] [REG], pois isso fará com que limpe também 
todas as memórias ou registradores. 
 
 
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As memórias de 0 a 4 possuem uma característica adicional que permite efetuar operações 
diretamente nestas memórias, através dos seguintes comandos: 
Teclas Comentários 
[STO] [ + ] adiciona o valor do visor ao conteúdo da memória 
[STO] [ - ] subtrai o conteúdo da memória o valor do visor 
[STO] [ x ] multiplica o valor do visor pelo conteúdo da memória 
[STO] [ ] divide o conteúdo da memória pelo visor 
 
Exemplo: 
Teclar Visor Comentários 
10 [STO] 4 10,00 armazenou 10 na memória 4 
5 [STO] [ + ] 4 5,00 somou 5 ao valor da memória 4 
[RCL] 4 15,00 recuperou memória 4 (visualizou) 
3 [STO] [ - ] 4 3,00 subtraiu 3 do valor da memória 4 
[RCL] 4 12,00 recuperou memória 4 (visualizou) 
2 [STO] [ x ] 4 2,00 multiplicou o valor da memória 4 por 2 
[RCL] 4 24,00 recuperou a memória 4 (visualizou) 
12 [STO] [  ] 4 12,00 dividiu o valor da memória 4 por 12 
[RCL] 4 2,00 recuperou o valor da memória 4 
 
 
 
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Para apagar uma determinada memória, basta colocarmos 0 (zero) nesta memória e para 
limparmos todas as memórias digitamos [ f ] [REG]. Aconselhamos a não guardar valores 
em memórias, pois isto poderá afetar cálculos financeiros. 
 
A tecla [ R  ] 
Esta tecla promove uma “troca” nos conteúdos das quatro memórias transitórias, conforme 
indicado a seguir: 
 Pressionar 1ª vez → conteúdo da memória Y é transferido para a memória X ; 
 Pressionar 2ª vez → conteúdo da memória X é transferido para a memória T ; 
 Pressionar 3ª vez → conteúdo da memória T é transferido para a memória Z ; 
 Pressionar 4ª vez → conteúdo da memória Z é transferido para a memória Y. 
 
Assim, o acionamento desta tecla por 4 vezes consecutivas permite conhecer os conteúdos 
das quatro memórias temporárias X, Y, Z e T (ao passarem pelo visor), e devolve a pilha de 
memórias para a sua posição inicial. 
 
A tecla de Intercâmbio [x<>y] 
Esta tecla promove uma “troca” exclusivamente nos conteúdos das memórias X e Y. Por 
exemplo, suponha que você queira subtrair R$ 25,83 de R$ 144,25 e por engano você fez o 
contrário, introduziu 25.83, pressionou [ENTER] e então introduziu 144.25. Neste instante 
você percebeu que, quando escrito no papel, o cálculo é lido como 144,25 - 25,83, mas você 
teve a infelicidade de introduzir a segunda parcela em primeiro lugar. 
Para corrigir este engano, basta intercambiar o primeiro e segundo números pressionando 
[x<>y], a tecla de intercâmbio. 
 
 
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Teclar Visor Comentários 
25.83 25,83 introdução, por engano, do segundo nº 
[ENTER] 25,83 no lugar do primeiro 
144.25 144,25 introdução do primeiro nº 
[x<>y] 25,83 troca o 1º e 2º números. O primeiro nº introduzido está 
agora no visor. 
[ - ] 118,42 obtenção da resposta 
 
A tecla [x<>y] é também muito útil para verificar se o primeiro número introduzido é o 
correto. Nesse caso, [x<>y] deve ser novamente pressionada antes de se pressionar a tecla 
da operação, para que o segundo número volte ao visor. Não importa o número de vezes 
que você pressione [x<>y], a calculadora sempre considerará o conteúdo do visor como o 
segundo número. 
 
A função [ RND ] 
A função amarela RND permite eliminar as casas decimais da memória X, e que não são 
mostradas no visor, mediante o critério de arredondamentomatemático. 
Exemplo: Efetuar a divisão de 8 por 3 com duas casas decimais 
Teclar Visor Comentários 
[ f ] [REG] [ f ] 2 0,00 limpa os registradores e fixa duas casas decimais no visor 
8 [ENTER] 8 nº 8 vai para as memórias X e Y 
3 3 entra com o denominador 3 
 
 
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 2,67 efetua a divisão de 8 por 3 e apresenta o resultado com 2 
casas decimais 
Entretanto, a HP-12C mantém internamente essa resposta com um número muito maior de 
casas decimais. 
Teclar Visor Comentários 
[ f ] 9 2,666666667 apresenta o resultado com 9 casas decimais 
[ f ] 2 2,67 retorna à situação anterior, apresentando o resultado 
com 2 casas decimais 
[ f ] [RND] 2,67 executa a função RND 
[ f ] 9 2,670000000 apresenta o resultado com 9 casas decimais, 
confirmando a atuação da função RND (demais 
casas foram transformadas em zeros). 
 
A tecla de Notação Científica [EEX] 
Como o visor não comporta números com mais de 10 dígitos, os números que forem maiores 
do que 9.999.999.999 e os menores que 0,000000001 não poderão ser introduzidos 
pressionando-se as teclas com todos os seus dígitos. 
No entanto, tais números podem ser facilmente introduzidos no visor se o número for 
expresso numa notação matemática abreviada, denominada “notação científica”. Para se 
converter um número à notação científica, desloque o ponto decimal até que sobre um único 
dígito não nulo à esquerda do ponto. O número resultante é denominado “mantissa” do 
número original, e o número de casas decimais que forem deslocadas é denominado 
“expoente” do número original. 
 
 
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Se você moveu o ponto decimal para a esquerda, o expoente é positivo; se o fez para a 
direita (o que ocorreria para números menores do que 1), o expoente é negativo. 
Para introduzir o número no visor, basta introduzir a mantissa, pressionar [ EEX ] (Enter 
EXponent = introduzir o expoente) e então digitar o expoente. Se o expoente for negativo, 
pressione [ CHS ] após [ EEX ]. 
 
Exemplo 1: Introduzir R$ 5.118.985.000.000,00 (cinco trilhões, cento e dezoito bilhões, 
novecentos e oitenta e cinco milhões de reais) 
 
Teclar Visor Comentários 
5,118985 [EEX] 12 [ENTER] 5,118985 12 o nº 5.118.985.000.000,00 foi 
introduzido em notação científica. 
 
Exemplo 2: Introduzir 0,000000000007 A ( sete pico-ampères) 
 
Teclar Visor Comentários 
7 [EEX] [CHS] 12 [ENTER] 7,000000 - 12 o nº 0,000000000007 foi introduzido em 
notação científica. 
Os números introduzidos em notação científica podem ser usados como quaisquer outros. 
Após a digitação, efetuamos em seguida as operações matemáticas desejadas. 
OBS: Limite máximo para o expoente na HP-12C : 99 ou - 99 (2 dígitos). 
 
 
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UNIDADE 3 
Objetivo: Apresentar a calculadora HP-12C e suas principais funções - Continuação da 
unidade anterior. 
Conhecendo a HP-12C e suas principais funções - Continuação 
Cálculo de Percentagem [%] 
Exemplo 3: Calcular 10% de R$ 1.250,00 
Teclar Visor Comentários 
[ f ] [REG] 0,00 Limpa todos os registradores 
1250 1.250 Introduz o valor no end. X 
[ENTER] 1.250,00 Armazena o valor no end. Y 
10 10 Introduz o valor em X 
[%] 125,00 Calcula 10% do valor armazenado em Y, ou seja, 10% de 1.250,00 
 
Partindo deste ponto, você tanto pode acrescentar como diminuir do valor principal. Veja a 
seguir: 
Exemplo 4: Calcular o preço líquido de um produto que custa R$ 1.250,00 e tem 10% de 
desconto: 
Teclar Visor Comentários 
[ f ] [REG] 0,00 Limpa todos os registradores 
1250 1.250 Introduz o valor no end. X 
[ENTER] 1.250,00 Armazena o valor no end. Y 
10 10 Introduz o valor em X 
[%] 125,00 Calcula 10% do valor armazenado em Y, ou seja, 10% de 1.250,00 
[ - ] 1.125,00 Deduz o valor obtido no percentual do valor principal. 
 
 
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E se o exemplo fosse ao contrário, ou seja: 
 
Exemplo 5: Qual o valor de um produto que custo R$ 1.250,00 e tem um imposto de 10% ? 
Para acrescer um determinado percentual ao valor principal, basta somente mudar o 
comando de “-” (menos) para “+” (mais) e então teríamos: 
Teclar Visor Comentários 
[ f ] [REG] 0,00 Limpa todos os registradores 
1250 1.250 Introduz o valor no endereço X 
[ENTER] 1.250,00 Armazena o valor no endereço Y 
10 10 Introduz o valor em X 
[%] 125,00 Calcula 10% do valor armazenado em Y, ou seja, 10% de 1.250,00 
[ + ] 1.375,00 Acrescentaria o valor obtido no cálculo de percentual ao valor 
principal. 
 
Cálculo de Diferenças de Percentuais [%] 
Utiliza-se este cálculo para conhecer quantos por cento de acréscimos ou decréscimos que 
um produto sofreu durante um determinado período. 
Para usar com segurança esta função, introduz primeiramente o valor mais antigo e depois o 
atual. Veja o exemplo a seguir: 
 
 
 
 
 
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23
Exemplo 6: Compramos ações de R$ 10.000,00 e conseguimos vendê-las por R$ 12.000,00. 
Qual o nosso lucro em relação à compra ? 
Teclar Visor Comentários 
[ f ] [REG] 0,00 Limpa todos os registradores 
10000 10.000 Introduz o valor da compra em X 
[ENTER] 10.000,00 Armazena o valor em Y 
12000 12.000 Introduz o valor da Venda em X 
[%] 20,00 Obtém-se o valor do acréscimo (lucro) em percentual. 
 
Exemplo 7: Qual o prejuízo que tivemos quando adquirimos ações de R$ 20.000,00 e as 
vendemos por R$ 18.000,00? 
Teclar Visor Comentários 
[ f ] [REG] 0,00 Limpa todos os registradores 
20000 20.000 Introduz valor compra em X 
[ENTER] 20.000,00 Armazena o valor em Y 
18000 18.000 Introduz o valor da Venda em X 
[%] - 10,00 Obtém o valor do prejuízo em percentual. 
 
Cálculo de Percentagem do Total [%T] 
Utiliza-se este cálculo quando de uma lista, quisermos conhecer a participação de cada valor 
em relação ao total desta. Veja o exemplo a seguir: 
Exemplo 8: Qual a representação de cada região, considerando que: a região 1 vendeu R$ 
25.000,00; a região 2 vendeu R$ 75.000,00 e a região 3 vendeu R$ 40.000,00. 
Teclar Visor Comentários 
[ f ] [REG] 0,00 Limpa todos os registradores 
25000 25.000 Introduz a Venda da região 1 em X 
 
 
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24
[ENTER] 25.000,00 Armazena em Y 
75000 75.000 Itroduz a Venda da região 2 em X 
[+] 100.000,00 Somou a região 1 e 2 
40000 40.000 Introduziu a região 3 
[+] 140.000,00 Obteve a somatória das regiões, 
25000 25.000 Entrou com as Vendas da região 1 
[%T] 17,86 Obteve a participação da região 1 
[CLX] 0,00 Apagou somente o visor 
75000 75.000 Entrou com as Vendas da região 2 
[%T] 53,57 Obteve a participação da região 2 
[CLX] 0,00 Apagou somente o visor 
40000 40.000 Entrou com as vendas da região 3 
[%T] 28,57 Obteve a participação da região 3 
 
 
Operação inversa [ 1/x ] 
Exemplo 9: Calcular o inverso de 2, 10 e 360 
Teclar Visor Comentários 
[ f ] [REG] 0,00 Limpa todos os registradores 
2 [1/x] 0,50 Obtém o inverso de 2 
[ f ] [REG] 0,00 Limpa todos os registradores 
10 [1/x] 0,10 Obtém o inverso de 10 
[ f ] [REG] 0,00 Limpa todos os registradores 
360 [1/x] 0,003 Obtém o inverso de 360 
 
 
 
 
 
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25
Potenciação [ yx ] 
Esta função será muito utilizada na matemática financeira, especialmenteem juros 
compostos. Ela eleva o valor da posição de memória de Y pelo valor armazenado em X. Veja 
os exemplos: 
Exemplo 10: Calcular as potenciações: 122 ; 425 ; 12
1
10 
Teclar Visor Comentários 
 [ f ] [REG] 0,00 Limpa todos os registradores 
12 [ENTER] 2 [yx] 144,00 Obtém o resultado de 12 elevado a 2 
[ f ] [REG] 0,00 Limpa todos os registradores 
42 [ENTER] 5 [yx] 130.691.232,00 Obtém o resultado de 42 elevado a 5 
[ f ] [REG] 0,00 Limpa todos os registradores 
10 [ENTER] 12 [1/x] [yx] 1,21 Obtém o resultado de 10 elevado ao inverso 
de 12 
 
 
Raiz Quadrada [g] [ √x ] 
Exemplo 11: Calcule as raízes quadradas de 4.761 e 7.225 
Teclar Visor Comentários 
 [ f ] [REG] 0,00 Limpa todos os registradores 
4761 [g] [ x ] 69,00 Obtém a raiz quadrada de 4.761 
[ f ] [REG] 0,00 Limpa todos os registradores 
7225 [g] [ x ] 85,00 Obtém a raiz quadrada de 7.225 
 
 
 
 
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26
Outras Raízes 
Nossa máquina pode também extrair qualquer raiz, seja 2√, 3√, 4√, 5√ ..., bastando para isto, 
elevar ao inverso do número que se quer a raiz. 
Observe que elevar um número a 1/12 é o mesmo que extrair a raiz 12ª deste número. Veja 
os exemplos: 
 
Exemplo 12: Extrair as seguintes raízes: 
3 728.1 e 
5 776.7 
Teclar Visor Comentários 
 [ f ] [REG] 0,00 Limpa todos os registradores 
1728 [ENTER] 3 [1/x] [yx] 12,00 Obtém o resultado 
[ f ] [REG] 0,00 Limpa todos os registradores 
7776 [ENTER] 5 [1/x] [yx] 6,00 Obtém o resultado 
 
Logaritmo Natural [ g ] [ LN ] 
Exemplo 13: Calcular o logaritmo natural de 3 e 20 
Teclar Visor Comentários 
3 [ g ] [LN] 1,0986 Obtém o resultado utilizando 4 casas decimais 
20 [ g ] [LN] 2,9957 Obtém o resultado utilizando 4 casas decimais 
 
Observação: Estes resultados provêm do logaritmo natural ou neperiano. Para cálculo do 
logaritmo comum (base 10), basta dividirmos o resultado obtido anteriormente pelo LN de 10, 
ou seja, dividir por 2,302585093. 
 
 
 
 
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27
Antilogaritmo [ g ] [ ex ] 
Como o próprio nome diz anti (ao contrário), ou seja, esta função calcula o contrário do 
logaritmo natural. Se tivermos o logaritmo natural de um número, obtém-se o número. Veja 
os exemplos abaixo: 
Teclar Visor Comentários 
1,0986 [ g ] [ex] 3,00 Obtém o logaritmo do número 
2,9957 [ g ] [ex] 20,00 Obtém o logaritmo do número 
 
Parte Inteira e Fracionária de um número [INTG] e [FRAC] 
Estas teclas servem para separar a parte inteira e fracionária respectivamente. São mais 
usadas em programas onde não se pode fracionar, ou seja, onde desejamos um resultado 
inteiro e quanto sobra. 
 
Exemplo 14: Dividir 110 alunos em 3 salas de aula. Quantos alunos por sala ? 
Teclar Visor Comentários 
110 [ENTER] 3 [ ] 36,66667 Obtém o resultado exato 
[ g ] [INTG] 36 Obtém o resultado inteiro 
 
E quantos alunos sobram? 
Teclar Visor Comentários 
110 [ENTER] 3 [ ] 36,66667 Obtém o resultado exato 
[ g ] [FRAC] 0,66667 Obtém o resultado fracionário 
3 [ x ] 2,00 Sobram 2 alunos 
Assim, verifica-se que, ao dividir 110 alunos em 3 salas de aula, teremos 36 alunos em cada 
sala e sobrarão 2 alunos. 
 
 
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28
UNIDADE 4 
Objetivo: Executar operações envolvendo datas na calculadora HP-12C.. 
Operações envolvendo DATAS utilizando a HP-12C 
 
Função Calendário - Teclas [DYS] e [DATE] 
Para usarmos a função calendário, primeiramente é necessário colocarmos a máquina em 
nosso formato de data (dia/mês/ano), e para isso, pressionamos [ g ] [ D.MY ] - tecla do 
algarismo 4. Note que na parte inferior do visor apresenta um enunciado D.MY. Isto feito, sua 
máquina já está preparada para calcular datas usando a notação brasileira. 
Observe que, se você pressionar [ g ] [ M.DY ] - tecla do algarismo 5 - o formato D.MY 
apaga do visor e a função que passa a ser ativa é M.DY, ou seja, formato mês/dia/ano, 
mesmo que o visor esteja sem essa indicação. Assim, sugerimos sempre deixar o formato 
D.MY ativo, pois não interfere em nenhuma outra operação. 
O comando [ g ] [ M.DY ] (formato americano de data), que considera mês/dia/ano, não irá 
apresentar nenhum anunciado no visor. 
Interessante observar que as informações de datas contidas na HP-12C compreendem o 
período entre 15 de outubro de 1.582 e 25 de novembro de 4.046. Além disso, a HP-12C 
reconhece neste período todos os anos que foram ou serão bissextos, ou seja, com 366 
dias (inclusão de 29 de fevereiro). 
Podemos calcular o número exato de dias existentes entre duas datas através do comando [ 
g ] [DYS] - tecla da função EEx - e dada uma data, e também podemos somar ou subtrair 
um determinado número de dias através do comando [ g ] [DATE] - tecla da função CHS. 
Este último comando também nos informa o dia da semana da respectiva data. 
 
 
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29
O dia da semana indicado pela função [ DATE ] pode diferir das datas históricas, nas épocas 
em que o calendário Juliano era empregado. O calendário Juliano foi adotado na Inglaterra e 
suas colônias até 14 de setembro de 1.752, dia em que o calendário Gregoriano entrou em 
vigor. O calendário Gregoriano foi adotado em outros países em épocas diferentes. 
Para cálculos com data, para facilitar a visualização, aconselhamos trabalhar com 6 casas, 
ou seja, usar [ f ] 6. Ao entrar com as datas, separe os dias dos meses e anos com um 
ponto. Ao pressionar ENTER, a HP-12C não exibirá o segundo ponto digitado, mas 
internamente ela saberá que se trata de uma data. 
Exemplo 15: Quantos dias existem entre 10/03/2007 e 05/02/2008? 
Teclar Visor Comentários 
[ f ] [ 6 ] 0,000000 Configura 6 casas decimais após a vírgula 
[ g ] [D. MY] D. MY Insere formatação dia-mês-ano 
10.03.2007 [ENTER] 10,032007 Introduz a data de 10/03/2007 
05.02.2008 [ g ] [DYS] 332,000000 Obtém o número de dias exatos que entre as datas 
 
Nossa máquina também calcula dias transcorridos com base no ano comercial (360 dias), 
bastando para isto, após o cálculo normal, (conforme vimos acima) pressionarmos a tecla 
[x<>y]. Veja a seguir: 
Exemplo 16: Quantos dias existem entre 10/03/2007 e 05/02/2008, com base no ano 
comercial? 
Teclar Visor Comentários 
[ f ] [ 6 ] 0,000000 Configura 6 casas decimais após a vírgula 
[ g ] [D. MY] D. MY Insere formatação dia-mês-ano 
10.03.2007 [ENTER] 10,032007 Introduz a data de 10/03/2007 
05.02.2008 [ g ] [DYS] 332,000000 Obtém o número de dias exatos. 
[x<>y] 325,000000 Obtém o número de dias com base no ano 
comercial. 
 
 
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30
 
Exemplo 17: Que data será 1.000 dias após 18/07/2007? 
Teclar Visor Comentários 
[ f ] [ 6 ] 0,000000 Configura 6 casas decimais após a vírgula 
[ g ] [D. MY] D. MY Insere formatação dia-mês-ano 
18.07.2007 [ENTER] 18,072007 Introduz a data de 18/07/2007 
1000 [ g ] [DATE] 13.04.2010 2 Obtém a data e também o dia da semana. 
 
A convenção da HP para dias de semana é a seguinte: 
1 - Segunda Feira ; 2 - Terça Feira ; 3 - Quarta Feira 
4 - Quinta Feira ; 5 - Sexta Feira ; 6 - Sábado ; 7 - Domingo 
Portanto, a data 13/04/2010 é uma terça-feira. 
 
Exemplo 18: Que data foi 800 dias antes de 14/11/2009? 
Teclar Visor Comentários 
[ f ] [ 6 ] 0,000000 Configura 6 casas decimais após a vírgula 
[ g ] [D. MY] D. MY Insere formatação dia-mês-ano 
14.11.2009 [ENTER] 14,112009 Introduz a data de 14/11/2009 
800 [CHS] [ g ] [DATE] 6.09.2007 4 Obtém a data e também o dia da semana.Portanto, a data 06/09/2007 é uma quinta-feira. 
 
Qual Dia Da Semana Você Nasceu ??? 
Confira Utilizando A Hp-12c ! 
 
 
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UNIDADE 5 
Objetivo: Introduzir os conceitos inicias sobre a Matemática Financeira e o sistema de 
capitalização simples. 
Introdução 
 
Ouvimos constantemente frases como estas: 
“Vou depositar meu dinheiro em uma caderneta de poupança, pois ele renderá juros”. 
“Vou comprar um lote de ações de determinada empresa, pois ela renderá juros”. 
“João empresta dinheiro a juros”. 
 
Todo nosso estudo de agora em diante será feito em função do crescimento de certa quantia 
em dinheiro aplicada no tempo, em decorrência dos juros. 
 
Veja um exemplo: 
Onofre emprestou a Gildete a importância de R$ 1.000,00 pelo prazo de um ano. Após este 
período, Gildete devolveu os R$ 1.000,00 a Onofre, acrescido de R$ 100,00 de uma 
“compensação financeira”. 
 
Esta compensação financeira é conhecida como JURO. 
 
 
 
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JURO 
É a remuneração pela utilização do capital (ou o rendimento dos recursos financeiros). 
Matematicamente é o valor adicional, recebido ou pago, em relação a um valor inicial, 
aplicado ou tomado emprestado. De forma simplificada, pode ser entendido como sendo o 
aluguel pago pelo uso do dinheiro. 
 
CAPITAL 
Do ponto de vista da matemática financeira, é qualquer valor expresso em moeda e 
disponível em determinada época. 
 
MONTANTE 
Valor total recebido ou pago. Representa a soma do capital e dos juros no período. 
 
Voltando ao exemplo, temos : 
R$ 1.000,00 => Capital emprestado = CAPITAL 
 + R$ 100,00 => Compensação Financeira do empréstimo = JURO 
R$ 1.100,00 => Valor total devolvido = MONTANTE 
 
1 ano => Tempo do Empréstimo = TEMPO 
 
%1010,0
00,000.1$R
00,100$R
CAPITAL
JURO

 
 TAXA DE JUROS 
 
 
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Observe que a TAXA DE JUROS é, na realidade, uma relação entre o JURO e o CAPITAL, 
durante determinado período. Podemos escrevê-la na forma unitária (0,10 , como no 
exemplo acima) ou na forma percentual (10% , conforme exemplo). 
Sempre que falamos em juro relativo a um capital, estamos nos referindo à remuneração 
desse capital durante um intervalo de tempo, que denominamos período financeiro ou 
período de capitalização. Dessa forma, expressamos uma taxa de juros indicando o 
intervalo de tempo a que ela se refere. 
No exemplo anterior, temos uma taxa de 10% e o período a que ela se refere é ANUAL. 
Logo, devemos escrever 10% ao ano, ou simplesmente 10% a.a.. 
Da mesma maneira, poderíamos ter uma taxa ao dia (a.d.), ao mês (a.m.), ao bimestre 
(a.b.) , ao trimestre (a.t.) ou ao semestre (a.s.). 
 
Regimes de Capitalização 
Entendemos por regime de capitalização o processo de formação do juro. Existem dois 
regimes de capitalização: simples e composto. 
No regime de capitalização composto, o juro formado no fim de cada período é 
incorporado ao capital que tínhamos no início desse período, passando esse montante a 
render juro no período seguinte; dizemos, então, que os juros são capitalizados, ou seja, 
temos um sistema de juros sobre juros. 
No regime de capitalização simples, apenas o capital inicial rende juro, isto é, o juro 
formado no fim de cada período a que a taxa se refere não é incorporado ao capital. Assim, 
dizemos que os juros NÃO SÃO capitalizados. 
 
 
 
 
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Capitalização Simples 
É aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; não incide, pois, sobre 
os juros acumulados. 
Neste regime de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo, ou seja, se 
quisermos converter a taxa diária em mensal, basta multiplicarmos a taxa diária por 30; se 
desejarmos uma taxa anual tendo a mensal, basta multiplicarmos esta por 12, e assim por 
diante. 
 
Fórmulas em Juros Simples 
O juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a 
taxa de juros por período o fator de proporcionalidade. 
Dessa forma, temos que: J = C.i.t , onde: 
J => Juro simples 
C => Capital inicial ou Principal 
i => Taxa de juros unitária 
t => Tempo de aplicação 
 
Importantíssimo: 
=> Esta fórmula só pode ser aplicada se o prazo de aplicação t for expresso na mesma 
unidade de tempo da taxa i considerada. 
=> Caso t e i não estejam na mesma unidade, deverão ser feitas transformações 
matemáticas de forma a manter equivalentes as informações do problema. 
 
 
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35
O Montante como já vimos no exemplo inicial, é a soma do Capital Inicial (ou Principal) com 
o juro relativo ao período de capitalização. 
Logo, temos: 
 Montante = Capital + Juros ou M = C + J 
 
Como J = C.i.t , substituindo as variáveis temos : 
 M = C + J 
 M = C + C.i.t 
Colocando C em evidência (termo comum), tem-se : 
M = C . ( 1 + i.t ) 
 
Usando a HP-12C 
A HP-12C considera que: 
J => Juro simples => INT 
t => Tempo de aplicação => n 
C => Capital inicial ou Principal => PV (Present Value ou Valor Presente) 
M => Montante ou Valor Futuro => FV (Future Value ou Valor Futuro) 
 
Assim : 
J = C.i.t equivale dizer que INT = PV . i . n 
M = C + J equivale dizer que FV = PV + INT 
 
 
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M = C . ( 1 + i.t ) equivale dizer que FV = PV . ( 1 + i.n ) 
 
Cálculo de Juros Simples na HP-12C 
A HP-12C calcula os juros simples na base de 360 dias e na base de 365 dias, 
simultaneamente. Você pode apresentar qualquer um dos resultados, como indicado em 
seguida. Além disso, se o valor dos juros acumulados estiver no visor, você poderá calcular a 
quantia total (o valor do principal somado aos juros acumulados), bastando pressionar a tecla 
[ + ]. 
Teremos os seguintes passos: 
1. Introduza ou calcule o nº de dias e então pressione [ n ] ; 
2. Introduza a taxa de juros anual, e então pressione [ i ] ; 
3. Introduza o valor do principal e então pressione [ CHS ] [ PV ] * ; 
4. Pressione [ f ] [ INT ] para calcular e apresentar os juros acumulados na base de 360 dias 
(ano comercial) ; 
5. Se você desejar apresentar o valor dos juros acumulados na base de 365 dias, pressione 
[ R  ] [ x <> y ] ; 
6. Pressione [ + ] para calcular o total do principal somado ao valor dos juros acumulados 
que está agora no visor. 
 
Os valores de n , i e PV podem ser fornecidos em qualquer ordem. 
 
* Ao pressionar [ PV ] você estará armazenando o valor do principal no registrador PV, 
o qual passará a conter o valor presente da quantia sobre a qual serão calculados os 
 
 
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juros acumulados. A tecla [ CHS ] é inicialmente pressionada para trocar o sinal do 
principal antes de armazená-lo no registrador PV. Isto é necessário devido à 
convenção de sinais do fluxo de caixa, que se aplica, primariamente, ao cálculo de 
juros compostos. 
 
Veja os exemplos abaixo: 
Exemplo 19: Um colega lhe pediu emprestado a quantia de R$ 45.000,00 por 60 dias. Você 
emprestou o dinheiro a juros simples de 7% a.a., a serem calculados na base de 360 dias. 
No fim de 60 dias, qual será o valor dos juros acumulados e a quantia total que ele lhe 
devolverá? 
Teclar Visor Comentários 
60 [ n ] 60,00 Armazena o nº de dias 
7 [i ] 7,00 Armazena a taxa de juros anual 
45000 [ CHS ] [ PV ] - 45.000,00 Armazena o principal 
[ f ] [ INT ] 525,00 Juros acumulados na base de 360 dias 
[ + ] 45.525,00 Valor do total: o principal mais os juros 
acumulados 
 
Exemplo 20: No exemplo anterior, o seu amigo concordou em pagar 7% a.a. de juros, mas 
solicitou que você os calculasse na base de 365 dias (ao invés de calculá-los na base de 360 
dias), Qual deverá ser o valor dos juros acumulados que ele deverá pagar a você em 60 dias, 
e qual o valor total a ser reposto? 
Teclar Visor Comentários 
60 [ n ] 60,00 Armazena o nº de dias 
7 [ i ] 7,00 Armazena a taxa de juros anual 
45000 [ CHS ] [ PV ] - 45.000,00 Armazena o principal 
 
 
 
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38
Se você não alterou o conteúdo dos registradores n , i e PV , definidos no exemplo 
anterior, a sequência de teclas anterior poderá ser ignorada. 
 [ f ] [ INT ] [ R ] [ x<>y ] 517,81 Juros acumulados na base de 365 dias 
[ + ] 45.517,81 Montante (principal mais juros acumulados) 
 
Observações importantes 
Para fazer os exercícios envolvendo JUROS e DESCONTOS SIMPLES, que serão 
estudados posteriormente, a solução na HP-12C é utilizar o método algébrico. A calculadora 
funcionará como uma calculadora comum, pois se tratam de OPERAÇÕES LINEARES. As 
teclas financeiras praticamente perdem sua funcionalidade no regime de capitalização 
simples. 
Em exercícios de juros simples a HP-12C é muito fraca nesta forma de cálculo. Ela somente 
calcula os JUROS, não sendo possível entrar com este valor e se perguntar outras coisas, 
como taxa, valor presente, montante e tempo no regime de juros simples. Isto já não vai 
mais ocorrer quando estivermos operando em JUROS COMPOSTOS. 
Para o cálculo de JUROS SIMPLES, o método algébrico (fórmula matemática) acaba sendo 
a melhor opção. 
 
Diagrama do Fluxo de Caixa 
O diagrama de fluxo de caixa é um valioso instrumento auxiliar para o uso de sua calculadora 
nos cálculos financeiros. O diagrama não é nada mais do que uma descrição gráfica 
temporal e direcional das transações financeiras, rotulada com termos correspondentes ao 
teclado da sua calculadora. 
O diagrama começa com uma linha horizontal denominada linha de tempo. Ela representa o 
período de duração do problema financeiro e é dividida em períodos de composição. Por 
 
 
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39
exemplo, um problema financeiro planejado para 6 meses, tendo uma composição de juros 
mensal, teria o seguinte diagrama: 
 
 
 
O intercâmbio do dinheiro num problema é desenhado com flechas verticais. O dinheiro 
recebido é representado por uma flecha apontada para cima, que se inicia no ponto da linha 
de tempo onde a transação ocorreu; o dinheiro pago é representado por uma flecha 
apontada para baixo. 
 
 
 Dinheiro recebido (entra no caixa)  Apresentado como um valor positivo ( + ) 
 Dinheiro pago (sai do caixa)  Apresentado como um valor negativo ( - ) 
 
 
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40
UNIDADE 6 
Objetivo: Apresentar noções de juros simples e desenvolver habilidade com a calculadora 
financeira HP-12C através de exemplos. 
Juros ou Capitalização Simples 
 
Quando calculamos juros simples não podemos calcular juros ou rendimentos sobre os juros, 
ou rendimentos de períodos anteriores, pois se fizermos isto, estaremos calculando juros ou 
capitalização composta. 
 
Juros Ordinários 
Neste caso consideramos a taxa para o ano comercial, ou seja, para 30 dias por mês ou 360 
por ano e estudaremos na próxima unidade a taxa e a unidade de tempo. 
 
Exemplo 21: Qual o valor dos juros do capital de $ 800,00, aplicado a juros simples à taxa 
de 5% a.m., durante 6 meses? 
PV = $ 800,00 (Valor Presente) 
i = 5% a.m. = 0,05 a.m. (taxa unitária mensal de juros) 
n = 6 meses (número de período, neste caso meses). 
INT = ? (INT = J = Juros Simples) 
Fórmula 1: J = C . i . n ou INT = PV . i . n 
 
 
 
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41
Utilizando HP-12C 
Pressione Visor Descrição 
[f] CLEAR [REG] 0,00 Apaga os registros. 
[f] 2 0,00 Apresenta 2 casas decimais. 
800 [CHS] [PV] -800,00 Dinheiro aplicado - sai do caixa - sinal negativo. 
5 [ENTER] 12 * [i] 60,00 Sempre informar a taxa em percentual por ano. 
6 [ENTER] 30 * [n] 180,00 O prazo deve ser informado sempre em dias. 
[ f ] [INT] 240,00 Valor dos juros. 
Resposta: O valor dos juros é $ 240,00. 
 
Exemplo 22: Qual o valor que aplicado durante 6 meses, à taxa de 5% a.m., rende de juros 
o valor de $ 240,00? 
i = 5% a.m. = 0,05 a.m. 
n = 6 meses 
INT = $ 240,00 
PV = ? 
Utilizaremos agora o processo algébrico, pois a HP-12C não determina PV em juros simples, 
conforme explicado anteriormente. 
INT = PV * i * n 
240 = PV * 0,05 * 6 
240 = PV * 0,3 
240 / 0,3 = PV 
PV = $ 800,00 
 
 
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42
Utilizando HP-12C 
Pressione Visor Descrição 
[f] CLEAR [REG] 0,00 Apaga os registros. 
[f] 2 0,00 Apresenta 2 casas decimais. 
240 [ENTER] 240,00 Valor dos juros. 
0,05 [ENTER] 0,05 Valor da taxa unitária. 
6 [ x ] 0,3 
[÷] 800,00 Valor de PV 
Resposta: O valor aplicado é $ 800,00. 
 
Exemplo 23: O valor de $ 800,00 foi aplicado a juros simples durante 6 meses, rendendo de 
juros $ 240,00. Calcule a taxa de juros. 
PV = $ 800,00 
i = ? 
n = 6 meses 
INT = $ 240,00 
Fórmula 1: INT = PV * i * n 
Analogamente ao exemplo anterior utilizaremos o processo algébrico. Temos que: 
INT = PV * i * n 
240 = 800 * i * 6 
240 = 4800 * i 
240 / 4800 = i 
i = 0,05 (formato unitário) 
 
 
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43
x 100 
i = 5% (formato percentual) 
Obs.: Como o tempo foi utilizado em meses, a taxa será ao mês. 
Resposta: A taxa de juros é 5% a.m.. 
 
Exemplo 24: O valor de $ 800,00 foi aplicado a juros simples, à taxa de 5% a.m., rendendo 
de juros $ 240,00. Quanto tempo ficou aplicado? 
PV = $ 800,00 
i = 5% a.m. = 0,05 a.m. 
n = ? 
INT = $ 240,00 
Fórmula 1: INT = PV * i * n 
Analogamente ao exemplo anterior utilizaremos o processo algébrico. Temos que: 
INT = PV * i * n 
240 = 800 * 0,05 * n 
240 = 40 * n 
240 / 40 = n 
n = 6 
Obs.: Como a taxa foi utilizada ao mês, o tempo será em meses. 
Resposta: Foi aplicado durante 6 meses. 
 
 
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44
UNIDADE 7 
Objetivo: Demonstrar a conversão temporal de juros e desenvolver habilidade com a 
calculadora financeira HP-12C através de exemplos. 
Taxa e Tempo na mesma unidade 
 
Começamos nosso estudo calculando Juros ou Capitalização Simples, tendo a taxa e o 
tempo na mesma unidade, isto é, se a taxa estava em meses o tempo também estava em 
meses, se a taxa estivesse em anos também o tempo ficaria em anos e assim por diante. 
Veremos agora quando isso não ocorrer. 
 
Taxa E Tempo Em Unidades Diferentes 
Vamos ver como efetuamos os mesmos cálculos anteriores quando o tempo e a taxa não 
estão na mesma unidade, ou seja, quando tivermos, por exemplo, a taxa ao mês e o tempo 
em dias, ou outra variação qualquer. 
Em nossos cálculos, iremos considerar o ano comercial, ou seja, com 360 dias. Assim, em 
nossas transformações consideraremos que: 
1 ano = 360 dias 
1 semestre = 180 dias 
1 trimestre = 90 dias 
1 bimestre = 60 dias 
1 mês = 30 dias 
 
 
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Entretanto, se tivermos condições de afirmar exatamente quantos dias são por sabermos 
quais são os meses envolvidos, ou tivermos definidas as datas, então contaremos de acordo 
com o ano civil, ou seja, de acordo com o calendário. Neste caso, iremos considerar os dias 
exatos envolvidos no problema. 
 
Exemplo 25: Qual o valor dos juros do capital de $ 1.200,00, aplicando a juros simples à 
taxa de 3% a.m., durante 8 meses e 20 dias. 
PV = $ 1.200,00 
i = 3% a.m. = 0,03 ÷ 30 = 0,001 ao dia 
n = 8 meses e 20 dias = 8*30+20 = 260 dias 
INT = ? 
Fórmula 1: INT = PV * i * n 
 
Novamente consideraremos o processo algébrico. Temos que: 
INT = PV * i * n 
INT = 1200 * 0,001 * 260 
INT = $ 312,00 
A calculadora financeira HP-12C permite este cálculo através dos registros financeiros. Para 
resolver pela calculadora, como se trata de encontrar os juros (única condição para 
capitalização simples na HP-12C), devemos transformar a taxa para anual e deixar o tempo 
em dias. Veja a seguir: 
 
 
 
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46
Utilizando HP-12C 
Pressione Visor Descrição 
[f] CLEAR [REG] 0,00 Apaga os registros. 
[f] 2 0.00 Apresenta 2 casas decimais. 
1200 [CHS] [PV] -1200,00 Dinheiro aplicado - sai do caixa - sinal negativo. 
3 [ENTER] 12 * [i] 36,00 Taxa transformada para anual. 
260 [n] 260,00 Tempo deve ser informado sempre em dias. 
f [INT] 312,00 Valor dos juros. 
Resposta: O valor dos juros é $ 312,00. 
 
Exemplo 26: Qual valor que, aplicado durante 8 meses e 20 dias, à taxa de 3% a.m., rendeu 
de juros o valor de $ 312,00? 
PV = ? 
i = 3% a.m. = 0,03 ÷ 30 = 0,001 ao dia 
n = 8 meses e 20 dias = 8*30+20 = 260 dias 
INT = $ 312,00 
 
Pelo processo algébrico, temos: 
Fórmula 1: INT = PV * i * n 
INT = PV * i * n 
312 = PV * 0,001 * 260 
312 = PV * 0,26 
312 / 0,26 = PV 
 
 
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47
PV = 1200 
Resposta: O valor aplicado foi $ 1.200,00. 
 
Exemplo 27: O valor de $ 1.200,00 foi aplicado a juros simples durante 8 meses e 20 dias, 
rendendo de juros $ 312,00. Calcule a taxa simples mensal de juros. 
PV = $ 1.200,00 
i = ? 
n = 8 meses e 20 dias = 260 dias 
INT = $ 312,00 
Pelo processo algébrico, temos: 
Fórmula 1: INT = PV * i * n 
INT = PV * i * n 
312 = 1200 * i * 260 
312 = 312000 * i 
312 / 312000 = i 
i = 0,001 (taxa unitária) 
x 100 => i = 0,1% (taxa percentual) 
Obs.: Como o tempo foi utilizado em dias, a taxa será ao dia, sendo assim a taxa de juros foi 
0,1% a.d.. Para saber a taxa ao mês, conforme solicita o enunciado, basta multiplicar por 30, 
que é a quantidade de dias que tem o mês (ano comercial). 
Assim, a taxa encontrada será de 0,1% x 30 = 3% ao mês 
 
 
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48
 
Exemplo 28: O valor de $ 1.200,00 foi aplicado a juros simples, à taxa de 3% a.m., rendendo 
de juros $ 312,00. Quanto tempo ficou aplicado? 
PV = $ 1.200,00 
INT = $ 312,00 
i = 3% a.m. = 0,03 ÷ 30 = 0,001 ao dia 
n = ? 
Fórmula 1: INT = PV * i * n 
Pelo processo algébrico, temos: 
INT = PV * i * n 
312 = 1200 * 0,001 * n 
312 = 1,2 * n 
312 / 1,2 = n 
n = 260 dias (como a taxa está diária, o tempo ficará em dias). 
Resposta: O tempo de aplicação foi de 260 dias, ou seja, 8 meses e 20 dias. 
 
Regra Dos Banqueiros 
Neste caso contamos os dias de acordo com o ano civil, ou seja, de acordo com o 
calendário, porém consideramos a taxa para o ano comercial. 
 
 
 
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49
Exemplo 29: O valor de $ 1.500,00 foi aplicado a juros simples durante os meses de julho e 
agosto, rendendo 3% a.m. de juros. Calcule o rendimento. 
PV = $ 1.500,00 
n = 62 dias (meses de julho e agosto) 
i = 3% a.m. = 0,03 ÷ 30 = 0,001 ao dia 
INT = $ ? 
Fórmula 1: INT = PV * i * n 
Pelo processo algébrico ou pela HP-12C (tempo em dias e taxa em ano), encontraremos que 
INT = 93,00. Confira você os cálculos! 
Resposta: O rendimento é $ 93,00. 
 
Juros Exatos 
Os juros exatos se diferenciam dos juros ordinários por considerarem a taxa para o ano civil, 
de acordo com o calendário. Os juros exatos consideram um ano com 365 dias e a HP-12C 
poderá resolver pelas teclas financeiras. Caso seja um ano bissexto (366 dias) deverá ser 
explicitado no problema e o cálculo deverá ser feito de forma manual (processo algébrico). 
Exemplo 30: Qual o valor dos juros exatos do capital de $ 1.200,00, aplicado à taxa de 3% 
a.m., durante 8 meses e 20 dias. 
PV = $ 1.200,00 
i = 3% a.m. = 0,03 a.m. = (0,03*12) a.a. = 36% a.a. 
n = 8 meses e 20 dias = 260 dias 
INT = $ ? 
 
 
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50
Obs.: Veja que a taxa que no problema estava ao mês foi transformada ao ano, por 
exigência da HP-12C para trabalhar com juros simples. 
Utilizando HP-12C 
Pressione Visor Descrição 
[f] CLEAR [REG] 0.00 Apaga os registros. 
[f] 2 0.00 Apresenta 2 casas decimais. 
1200 [CHS] [PV] -1200.00 Dinheiro aplicado - sai do caixa - sinal negativo. 
3 [ENTER] 12 * [i] 36,00 Entra com a taxa anual 
260 [n] 260,00 O prazo deve ser informado sempre em dias. 
f [INT] 312,00 Juros com base em um ano comercial (360 dias). 
R↓ 1.200,00 Aparecerá o valor aplicado. 
R↓ 307,73 Juros exatos (ano de 365 dias). 
Resposta: O valor dos juros é $ 307,73. 
 
Exemplo 31: Que valor, aplicado durante 8 meses e 20 dias, à taxa de 3% a.m., rendeu de 
juros exatos o valor de $ 307,73. 
INT = $ 307,73 
i = 3% a.m. = 0,03 a.m. = 0,36 a.a. = (0,36/365)a.d. = 0,000986301 a.d. (usamos TODAS AS 
CASAS DECIMAIS para que arredondamentos não afetem a resposta - usar [ f ] [ 9 ] ) 
n = 8 meses e 20 dias = 260 dias 
PV = $ ? 
Fórmula 1: INT = PV * i * n 
Pelo processo algébrico, temos: 
INT = PV * i * n 
307,73 = PV * 0,000986301 * 260 
 
 
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51
307,73 = PV * 0,256438356 
307,73 / 0,256438356 = PV 
PV = 1200,02 (arredondamento para 2 casas somente na resposta - usar [ f ] [ 2 ] ) 
Resposta: O valor aplicado é $ 1.200,02. 
 
Exemplo 32: O valor de $ 1.200,00 foi aplicado a juros simples exatos durante 8 meses e 20 
dias, rendendo de juros $ 307,73. Calcule a taxa simples anual de juros desta operação. 
PV = $ 1.200,00 
n = 8 meses e 20 dias = 260 dias 
INT = $ 307,73 
i = ? 
Fórmula 1: INT = PV * i * n 
Pelo processo algébrico, temos: 
INT = PV * i * n 
307,73 = 1200 * i * 260 
307,73 = 312000 * i 
307,73 / 312000 = i 
0,000986314 = i (taxa unitária diária) 
x 365 (para passar para taxa anual em juros exatos) 
i = 0,360004647 (taxa unitária anual) 
x 100 
 
 
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52
i = 36,00046474 (taxa percentual anual) 
[ f ] [ 2 ] (arredondamento para 2 casas decimais na resposta) 
i = 36% a.a. 
Resposta: A taxa de juros foi 36% a.a.. 
 
Exemplo 33: O valor de $ 1.200,00 foi aplicado a juros simples exatos, à taxa de 3% a.m., 
rendendo de juros $ 307,73. Quantos dias a quantia ficou aplicada? 
PV = $ 1.200,00 
INT = $ 307,73 
i = 3% a.m. = 0,03 a.m. = (0,03*12) a.a. = 0,36 a.a. 
n = ? 
Fórmula 1: INT = PV * i * n 
Pelo processo algébrico, temos: 
INT = PV * i * n 
307,73 = 1200 * 0,36 * n 
307,73 = 432 * n 
307,73 / 432 = n 
0,712337963 = n (tempo em anos, pois a taxa está anual) 
x 365 (para passar o tempo para dias usando juros exatos) 
n = 260,0033565 
[ f ] [ 2 ] (arredondamento para 2 casas decimais na resposta) 
 
 
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53
n = 260 dias 
Resposta: O tempo de aplicação foi de 260 dias. 
 
Valor Futuro Ou Montante 
O valor futuro ou montante é a soma do valor aplicado com o valor dos juros, dos 
rendimentos. 
 
Exemplo 34: O valor de $ 1.200,00, foi aplicado a juros simples durante 8 meses e 20 dias, à 
taxa de 3% a.m.. Calcule o montante. 
PV = $ 1.200,00 
i = 3% a.m. = 0,03 a.m. 
n = 8 meses e 20 dias = 260 dias 
FV = $ ? 
Fórmula 2: FV = PV * ( 1 + i * n) 
Utilizando HP-12C 
Pressione Visor Descrição 
[f] CLEAR [REG] 0,00 Apaga os registros. 
[f] 2 0.00 Apresenta 2 casas decimais. 
1200 [CHS] [PV] -1200,00 Dinheiro aplicado - sai do caixa - sinal negativo. 
3 [ENTER] 12 * [i] 36,00 Sempre informar a taxa em percentual por ano. 
260 [n] 260,00 O tempo deve ser informado sempre em dias. 
f [INT] 312,00 Valor dos juros. 
[+] 1.512,00 Valor montante 
Resposta: O montante é $ 1.512,00. 
 
 
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54
 
Exemplo 35: Um valor foi aplicado a juros simples durante 8 meses e 20 dias, à taxa de 3% 
a.m., formando o montante de $ 1.512,00. Calcule o valor aplicado. 
FV = $ 1.512,00 
i = 3% a.m. = 0,03 a.m. = (0,03/30) a.d. = 0,001 a.d. 
n = 8 meses e 20 dias = 260 dias 
PV = ? 
 
Fórmula 2: FV = PV * ( 1 + i * n) 
Pelo processo algébrico, temos: 
FV = PV * ( 1 + i * n ) 
1512 = PV * ( 1 + 0,001 * 260) 
1512 = PV * ( 1 + 0,26) 
1512 = PV * 1,26 
1512 / 1,26 = PV 
PV = 1.200,00 
Resposta: O valor aplicado foi $ 1.200,00. 
 
Exemplo 36: O valor de $ 1.200,00 foi aplicado a juros simples durante 8 meses e 20 dias, 
formando o montante de $ 1.512,00. Calcule a taxa simples mensal de juros. 
PV = $ 1.200,00 
 
 
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55
FV = $ 1.512,00 
n = 8 meses e 20 dias = 260 dias 
i = ? 
 
Fórmula 2: FV = PV * ( 1 + i * n) 
Pelo processo algébrico, temos: 
FV = PV * ( 1 + i * n ) 
1512 = 1200 * ( 1 + i * 260) 
1512 / 1200 = 1 + i * 260 
1,26 = 1 + i * 260 
1,26 - 1 = i * 260 
0,26 = i * 260 
0,26 / 260 = i 
0,001 = i 
i = 0,001 a.d. x 30 = 0,03 x 100 = 3% ao mês 
Resposta: A taxa de juros é 3% a.m. 
 
Exemplo 37: O valor de $ 1.200,00 foi aplicado a juros simples, à taxa de 3% a.m., formando 
o montante de $ 1.512,00. Quantos dias a quantia ficou aplicada? 
PV = $ 1.200,00 
FV = $ 1.512,00 
 
 
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56
i = 3% a.m. = 0,03 a.m. = 0,001 a.d. 
n = ? 
 
Fórmula 2: FV = PV * ( 1 + i * n) 
Pelo processo algébrico, temos: 
FV = PV * ( 1 + i * n ) 
1512 = 1200 * ( 1 + 0,001 * n) 
1512 / 1200 = 1 + 0,001 * n 
1,26 = 1 + 0,001 * n 
1,26 - 1 = 0,001 * n 
0,26 = 0,001 * n 
0,26 / 0,001 = n 
n = 260 dias 
Resposta: O tempo aplicado foi de 260 dias. 
 
 
 
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57
UNIDADE 8 
Objetivo:.Desenvolver o cálculo de desconto simples utilizando a calculadora financeira HP-
12C. 
Desconto Simples 
 
O Desconto Simples é dividido em dois tipos: Bancário e Racional. 
1. Desconto Simples Comercial ou Bancário ou Por Fora (Db) 
Denomina-se desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro simples, 
produzido pelo valor nominal do título, no período de tempo correspondente e à taxa fixada. 
Assim, temos que : Db = FV * i * n (Fórmula 3) 
Em que : 
Db => Desconto Bancário Simples 
FV => Valor Futuro (ou valor nominal do título) 
i => taxa de desconto bancário simples 
n => tempo de antecipação do título 
 
Exemplo 38: A duplicata de $ 1.800,00, com vencimento em 28/07/2000, foi descontada em 
26/04/2000, à taxa de desconto bancário simples de 6% a.m.. Calcule o valor do desconto 
bancário. 
FV = $ 1.800,00 
 
 
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58
Data de Desconto: 26/04/2000 
Data de Vencimento: 28/07/2000 
n = 93 dias (4 + 31 + 30 + 28) ou utilizando as teclas envolvendo operações com datas na 
HP-12C, conforme explicado na Unidade 4 
i = 6% a.m. = 0,06 a.m. = (0,06/30) a.d. = 0,002 a.d. 
Db = $ ? 
 
Fórmula 3: Db = FV * i * n 
Ainda utilizando o processo algébrico (pois continuamos em um sistema de capitalização 
simples), temos: 
Db = FV * i * n 
Db = 1800 * 0,002 * 93 
Db = $ 334,80 
Resposta: O valor do desconto bancário simples é $ 334,80. 
 
Exemplo 39: A duplicata de $ 1.800,00, com vencimento em 28/07/2000, foi descontada em 
26/04/2000, à taxa de desconto bancário simples de 6% a.m., I.O.F (Imposto de Operação 
Financeira) de 0,0082% a.d. Calcule o valor do I.O.F.. 
FV = $ 1.800,00 
Data = desconto: 26/04/2000 
Data = vencimento: 28/07/2000 
n = 93 dias 
 
 
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59
iIOF = taxa de IOF = 0,0082% a.d. = 0,000082 a.d. 
i = 6% a.m. = 0,06 a.m. = (0,06/30) a.d. = 0,002 a.d. 
Db = $ ? 
Primeiramente precisamos calcular o valor do desconto. 
Fórmula 3: Db = FV * i * n 
Utilizando o processo algébrico, temos: 
Db = FV * i * n 
Db = 1800 * 0,002 * 93 
Db = $ 334,80 
 
Com o valor do desconto calculado, podemos agora calcular o valor do I.O.F.. Este imposto 
incide sobre a diferença entre o valor nominal do título e o desconto bancário, ou seja, FV 
menos Db. Assim, temos que: 
Fórmula 4: I.O.F. = (FV - Db) * iIOF * n 
Utilizando o processo algébrico, temos: 
I.O.F. = (FV - Db) * iIOF * n 
I.O.F. = (1800 - 334,80) * 0,000082 * 93 
I.O.F. = 1465,20 * 0,000082 * 93 
I.O.F. = 11,17361520 
[ f ] [ 2 ] (arredondamento para 2 casas decimais na resposta) 
I.O.F. = $ 11,17 
 
 
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60
Resposta: O valor do I.O.F. é $ 11,17. 
O valor da taxa de IOF (iIOF) é definido pelo governo e foi alterado pelo decreto 6.339/2008. 
Maiores informações consulte: 
http://www.receita.fazenda.gov.br/legislacao/LegisAssunto/Iof.htm 
 
Exemplo 40: A duplicata de $ 1.800,00, com vencimento em 28/07/2000, foi descontada em 
26/04/2000, à taxa de desconto bancário simples de 6% a.m., I.O.F. de 0,0082% a.d. e tarifa 
de $ 2,30. Calcule o valor líquido creditado na conta. 
FV = $ 1.800,00 
i = 6% a.m. = 0,06 a.m. = (0,06/30) a.d. = 0,002 a.d. 
iIOF = 0,0082% a.d. = 0,000082 a.d. 
Tarifa = $ 2,30 
Data = desconto: 26/04/2000 
Data = vencimento: 28/07/2000 
n = 93 dias (4 + 31 + 30 + 28) 
PV = $ ? 
O valor líquido (PV) será o valor nominal do título (FV) subtraído de todas as despesas 
existentes na operação (Db, I.O.F. e tarifa). Podemos efetuar individualmente o cálculo de 
cada despesa e depois diminuir do valor do título. 
Fórmulas: (03), (04) e (05). 
(03) Db = FV * i * n 
(03) Db = 334,80 
 
 
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(04) I.O.F. = (FV - Db) * iIOF * n 
(04) I.O.F. = 11,17 
(05) PV = FV - (Db + I.O.F. + Tarifa) 
PV = 1800 - (334,80 + 11,17 + 2,30) 
PV = 1800 - 348,27 
PV = $ 1451,73 
Resposta: O valor líquido é $ 1.451,73. 
 
Exemplo 41: A duplicata com vencimento em 28/07/2000 foi descontada em 26/04/2000, à 
taxa de desconto bancário simples de 6% a.m. Sabendo que o valor do desconto foi de 
$ 334, 80, calcule o valor da duplicata. 
Data = desconto: 26/04/2000 
Data = vencimento: 28/07/2000 
n = 93 dias (4 + 31 + 30 + 28) 
i = 6% a.m. = 0,06 a.m. = (0,06/30) a.d. = 0,002 a.d. 
Db = $ 334,80 
FV = $ ? 
 
Fórmula 3: Db = FV * i * n 
Utilizando o processo algébrico, temos: 
Db = FV * i * n 
 
 
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334,80 = FV * 0,002 * 93 
334,80 = FV * 0,186 
334,80 / 0,186 = FV 
FV = 1800,00 
Resposta: O valor da duplicata é $ 1.800,00. 
 
Exemplo 42: A duplicata com vencimento em 28/07/2000, foi descontada em 26/04/2000, à 
taxa de desconto bancário simples de 6% a.m. e I.O.F. de 0,0082% a.d.. Sabendo que o 
valor do I.O.F. é de $ 11,17, calcule o valor da duplicata. 
FV = $ ? 
Data = desconto: 26/04/2000 
Data = vencimento: 28/07/2000 
n = 93 dias (4 + 31 + 30 + 28) 
i = 6% a.m. = 0,06 a.m. = (0,06/30) a.d. = 0,002 a.d. 
iIOF = 0,0082% a.d. = 0,000082 a.d. 
I.O.F. = $ 11,17 
 
Fórmulas: (03), (04) e (06) 
Substituir o valor do Db eq. (3) na eq. (4), teremos a seguinte equação: 
(03) Db = FV * i * n; 
(04) I.O.F. = (FV - Db) * iIOF * n; 
 
 
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I.O.F. = (FV - FV * i * n) * iIOF * n 
(06) I.O.F. = FV * (1 - i * n) * iIOF * n 
 
Utilizando o processo algébrico, temos: 
I.O.F. = FV * (1 - i * n) * iIOF * n 
11,17 = FV * (1 - 0,002 * 93) * 0,000082 * 93 
11,17 = FV * (1 - 0,186) * 0,007626 
11,17 = FV * 0,814 * 0,007626 
11,17 = FV * 0,006207564 
11,17 / 0,006207564 = FV 
FV = 1799,417614 
[ f ] [ 2 ] (arredondamento para 2 casas decimais na resposta) 
FV = 1799,42 
Resposta: O valor da duplicata é $ 1.799,42. 
 
Exemplo 43: A duplicata com vencimento em 28/07/2000, foi descontada em 26/04/2000, à 
taxa de desconto bancário simples de 6% a.m., I.O.F. de 0,0082% a.d. e tarifa de $ 2,30. 
Sabendo que o valor líquido foi de $ 1.457,31, calcule o valor da duplicata. 
FV = $ ? 
i = 6% a.m. = 0,06 a.m. = (0,06/30) a.d. = 0,002 a.d. 
iIOF = 0,0082% a.d. = 0,000082 a.d. 
 
 
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Tarifa = $ 2,30 
Data = desconto: 26/04/2000 
Data = vencimento: 28/07/2000 
n = 93 dias (4 + 31 + 30 + 28) 
PV = $ 1.457,31 
 
Fórmulas: (03), (04) e (05) 
Substituir o valor do Db eq. (3) e I.O.F. eq. (4), na eq. (5). Assim, teremos a equação (7): 
(03) Db = FV * i * n; 
(04) I.O.F. = (FV - Db) * iIOF * n; 
(05) PV = FV - (Db + I.O.F. + Tarifa); 
(07) PV = FV * (1 - i * n) * (1 - iIOF * n) - Tarifa 
 
Utilizando o processo algébrico, temos: 
PV = FV * (1 - i * n) * (1 - iIOF * n) - Tarifa 
1.457,31 = FV * (1 - 0,002 * 93) * (1 - 0,000082 * 93) - 2,30 
1.457,31 + 2,30 = FV * (1 - 0,186) * (1 - 0,007626) 
1.459,61 = FV * 0,814 * 0,992374 
1.459,61 = FV * 0,807792436 
1.459,61 / 0,807792436 = FV 
 
 
 
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FV = 1806,912191 
[ f ] [ 2 ] (arredondamento para 2 casas decimais na resposta) 
FV = 1806,91 
Resposta: O valor da duplicata é $ 1.806,91. 
 
Exemplo 44: A duplicata com vencimento em 28/07/2000, foi descontada em 26/04/2000, à 
taxa de desconto bancário simples de 6% a.m., I.O.F. de 0,0082% a.d. e tarifa de $ 2,30. 
Sabendo que o valor da duplicata menos a valor do desconto é $ 1.466,04, calcule o valor da 
duplicata. 
FV = $ ? 
i = 6% a.m. = 0,06 a.m. = (0,06/30) a.d. = 0,002 a.d. 
iIOF = 0,0082% a.d. = 0,000082 a.d. 
Tarifa = $ 2,30 
Data = desconto: 26/04/2000 
Data = vencimento: 28/07/2000 
n = 93 dias (4 + 31 + 30 + 28) 
FV - Db = $ 1.466,04 
 
Como Db = FV * i * n , temos que : 
FV - Db = FV - FV * i * n 
Fórmula 8: FV - Db = FV * (1 - i * n) 
 
 
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Logo, utilizando o processo algébrico, temos: 
FV - Db = FV * (1 - i * n) 
1466,04 = FV * (1 - 0,002 * 93) 
1466,04 = FV * (1 - 0,186) 
1466,04 = FV * 0,814 
1466,04 / 0,814 = FV 
FV = 1801,031941 
[ f ] [ 2 ] (arredondamento para 2 casas decimais na resposta) 
FV = 1801,03 
Resposta: O valor nominal é $ 1.801,03. 
 
Exemplo 45: A duplicata de $ 1.800,00 foi descontada em 26/04/2000, à taxa de desconto 
bancário simples de 6% a.m., com valor do desconto de $ 334,80. Quando é o vencimento 
da duplicata? 
FV = $ 1.800,00 
Db = $ 334,80 
i = 6% a.m. = 0,06 a.m. = (0,06/30) a.d. = 0,002 a.d. 
Data de desconto: 26/04/2000 
Data de vencimento: ? 
n = ? 
 
 
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Para resolver este problema, devemos encontrar o tempo n de antecipação do título, em 
dias, para depois acrescentar à data do desconto. 
 
Fórmula 3: Db = FV * i * n 
Utilizando o processo algébrico, temos: 
Db = FV * i * n 
334,80 = 1800 * 0,002 * n 
334,80 = 3,6 * n 
334,80 / 3,6 = n 
n = 93 
Data de vencimento = 26/04/2000 + 93 dias 
Utilizando as teclas envolvendo operações com datas na HP-12C, conforme explicado na 
Unidade 4, encontramos 28/07/2000, 6ª feira. 
Resposta: O vencimento será 93 dias após 26/04/2000, ou seja, 28/07/2000. 
 
Exemplo 46: A duplicata de $ 1.800,00, com vencimento em 28/07/2000, foi descontada em 
26/04/2000, sendo o valor do desconto de $ 334,80. Calcule a taxa de desconto bancário 
simples. 
FV = $ 1.800,00 
i = ? 
Data = desconto: 26/04/2000 
Data = vencimento: 28/07/2000 
 
 
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n = 93 dias (4 + 31 + 30 + 28) 
Db = $ 334,80 
 
Fórmula 3: Db = FV * i * n 
Utilizando o processo algébrico, temos: 
Db = FV * i * n 
334,80 = 1800 * i * 93 
334,80 = 167400 * i 
334,80 / 167400 = i 
i = 0,002 x 100 i = 0,2% ao dia x 30 = 6% ao mês 
Resposta: A taxa de desconto bancário simples é 0,2% a.d., ou 6% a.m.. 
 
Exemplo 47: A duplicata de $ 1.800,00, com vencimento em 28/07/2000, foi descontada em 
26/04/2000, sendo o valor do líquido de $ 1.457,31. Sabendo que o I.O.F. foi de 0,0082% 
a.d. e a tarifa de $ 2,30, calcule a taxa de desconto bancário simples. 
FV = $ 1.800,00 
i = ? 
iIOF = 0,0082% a.d. = 0,000082 a.d. 
Tarifa = $ 2,30 
Data = desconto: 26/04/2000 
Data = vencimento: 28/07/2000 
 
 
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n = 93 dias (4 + 31 + 30 + 28) 
PV = $ 1.457,31 
Fórmulas: (10) e (03) 
(10) (FV - Db) * (1 - iIOF * n) = (PV + Tarifa) 
(03) Db = FV * i * n 
Utilizando o processo algébrico, encontramos: 
(10) Db = 328,95 
 (03) i = 0,002 
Resposta: A taxa de desconto bancário simples é 0,2% a.d., ou, 6% a.m.. 
 
 
 
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UNIDADE 9 
Objetivo: Desenvolver o cálculo de desconto simples racional utilizando a calculadora 
financeira HP-12C. 
 
2. Desconto Simples Racional ou Por Dentro (Dr) 
Denomina-se desconto simples racional ou por dentro o equivalente ao juro simples, 
produzido pelo valor atual do título (PV), no período de tempo correspondente e à taxa 
fixada. 
Assim, temos que: Dr = PV * i * n 
Em que: 
Dr => Desconto Racional Simples 
PV => Valor Presente (ou valor atual do título) 
i => taxa de desconto bancário simples 
n => tempo de antecipação do título 
 
Mas sabemos que o desconto é o valor nominal menos o valor atual do título. Assim, temos 
que Dr = FV - PV, ou seja, PV = FV - Dr. Logo, substituindo PV na equação acima: 
Dr = PV * i * n 
Dr = (FV - Dr) * i * n 
Dr = FV * i * n - Dr * i * n 
 
 
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Dr + Dr * i * n = FV * i * n 
Dr * ( 1 + i * n ) = FV * i * n (Fórmula 11) 
Ou seja, 
Dr = FV * i * n / ( 1 + i * n ) 
Assim, conseguimos expressar o Desconto Racional (Dr) em função do valor nominal do 
título (FV), que é o valor que se tem na prática. 
 
Exemplo 48: A duplicata de $ 1.800,00, com vencimento em 28/07/2000, foi descontada em 
26/04/2000, à taxa