APLICAÇÃO DA DERIVADA

Prévia do material em texto

APLICAÇÕES DA DERIVADA
EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE AO GRÁFICO
A equação da reta que passa em um ponto específico (xponto, yponto) é dada por:
Reescrevendo obtemos a equação da reta:
Em que no ponto 
Exemplo: escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função x2-5x+6 no ponto x=1 (fazer no quadro)
LIMITES DE FORMAS INDETERMINADADAS 0/0 OU (REGRA DE L’HÔPITAL)
Se
Então 
(provar o resultado no quadro)
Exemplo: calcule pela regra de L’Hôpital 
MÉTODO DE NEWTON (EXTRATOR DE RAÍZES)
O método de Newton foi desenvolvido por Isaac Newton para calcular numericamente raízes de funções. Sua forma é:
 
(provar no quadro)
Em que “c” é um valor qualquer para iniciarmos o cálculo (um chute), “” a função no ponto “x=c” e “” a derivada primeira da função no ponto “x=c”. Com o chute inicial calculamos um valor de “x”, em seguida esse valor será usado como um novo chute realiza-se outro cálculo, esse valor será um novo chute e assim repetidamente até obter dois valores iguais. 
Embora esse método tenha sido desenvolvido para calcular raízes de funções, , podemos usá-lo para resolver qualquer tipo de equação desde que a imagem da mesma seja zero. 
Para ilustrar esse procedimento vamos resolver a equação:
Essa equação é bem complicada para se obter por métodos analíticos, entretanto podemos resolvê-la facilmente com o método de Newton, para isso basta fazer:
Escolhendo aleatoriamente o valor do chute como “x=10”, vamos resolvê-la passo a passo na calculadora.
OTIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES (ENCONTRAR MÁXIMOS E MÍNIMOS)
Para encontrar o(s) ponto(s) de máximo OU mínimo para basta calcular.
Para saber se o ponto é de máximo ou mínimo basta calcular
Se:
O ponto é de máximo 
Caso contrário, ou seja:
O ponto é de mínimo. 
AJUSTE DE DADOS (MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS)
O Método dos mínimos quadrados (ou ) foi desenvolvido pelo grande matemático Gauss para achar os parâmetros desconhecidos de uma função. O método consiste em minimizar o somatório do quadrado da diferença entre o valor experimental y e o teórico Y, ou seja:
Vejamos alguns exemplos. 
Exemplo I (Cinética Química): 
Um engenheiro químico estudando em seu laboratório a velocidade da reação química encontrou os seguintes valores experimentais. 
	
	
	
	0,28
	1,44
	-6,9x10-7
	0,93
	1,44
	-7,5 x10-6
	2,69
	1,44
	-6,0 x10-5
	2,69
	0,066
	-3,0 x10-6
Com base na teoria da cinética química o mesmo sabe que tal velocidade pode ser descrita pela seguinte equação:
Em que “k”, “a” e “b” são constantes a serem determinadas a partir dos dados experimentais. 
Vamos usar o método dos mínimos quadrados para calcular essas constantes. 
Para simplificar a notação iremos escrever a equação da velocidade como: 
Aplicando logaritmos na equação anterior podemos escrever:[1: Em que definimos , x=[NO] e y=[O2]]
E o pode ser escrito como:[2: Em que definimos Q=lnk]
Minimizando com relação a cada parâmetro obtemos:
De onde tiramos três equações:
Essas 3 equações podem ser escritas em forma matricial como:
Exemplo II (Infiltração d’água no solo): 
Engenheiros estudando a infiltração d’água em um terreno obtiveram os seguintes dados experimentais. 
	Tempo (minutos)
	Infiltração (cm)
	5
	1,6
	10
	2,8
	15
	3,6
	20
	4,1
	30
	4,7
	45
	5,2
	60
	5,4
	90
	5,7
	120
	5,8
	150
	5,9
	180
	6,0
Para a descrição da infiltração existe uma equação empírica cuja forma é:
Em que “It” é a infiltração, “t” o tempo, “a” e “b” são constantes a serem determinadas. 
Vamos usar o método dos mínimos quadrados para obter essas constantes. 
Esse modelo não é linear, portanto, vamos linearizá-lo. Aplicando logaritmos nessa equação obtemos:
E o pode ser escrito como:
Minimizando com relação a cada parâmetro obtemos:
De onde obtemos 2 equações:
Que podem ser escritas em notação matricial como:
Exemplo III (Crescimento da população de Patos de Minas)
A população de Patos de Minas, em diversos anos, de acordo com o IBGE é dada por:
	Ano (t)
	População (P)
	1950
	45399
	1960
	72839
	1970
	76211
	1980
	86121
	1991
	102946
	1996
	112712
	2000
	123881
	2007
	133054
Para descrever o crescimento da população pode-se usar o modelo exponencial (o mais simples de todos os modelos de crescimento populacional)
Esse modelo não é linear, podemos linearizá-lo aplicando logaritmos, obtendo:[3: Em que definimos Q=lnC]
A função fica sendo, portanto, o quadrado da diferença entre lnP experimental e o teórico, ou seja:
Minimizando essa diferença em relação aos parâmetros do modelo obtém-se as seguintes derivadas parciais. 
de onde tiramos duas equações
e
Que podem ser escritas em notação matricial como:
Exemplo IV (Estudo do consumo de óleo no aquecimento de casas): 
A tabela abaixo mostra o consumo de óleo combustível (C) no aquecimento de algumas casas em função da temperatura externa (T) e da quantidade de isolamento das mesmas (I) 
	Consumo (galões) “C”
	Temperatura (0F) “T”
	Quantidade de Isolamento (pol) “I”
	275,3
	40
	3
	363,8
	27
	3
	164,3
	40
	10
	40,8
	73
	6
	94,3
	64
	6
	230,9
	34
	6
	366,7
	9
	6
	300,6
	8
	10
	237,8
	23
	10
	121,4
	63
	3
	31,4
	65
	10
	203,5
	41
	6
	441,1
	21
	3
	323
	38
	3
	52,5
	58
	10
Há uma relação linear entre as variáveis, portanto, o consumo de óleo pode ser estudado com o seguinte modelo:
Como o modelo já é linear, não precisa linearizá-lo com logaritmos, portanto a função pode ser escrita como:
Minimizando-a com relação aos parâmetros obtemos:
O qual dá origem a três equações:
Que podem ser resolvidas por matrizes (como nos exemplos anteriores). 
Exemplo V (exemplo aplicado a economia):
Em economia, um modelo de produção é uma relação matemática entre a saída de uma companhia ou um país e o trabalho de equipamento de capital necessário para produzir aquela saída. Um modelo que relaciona a saída (P) pode ser expresso em termos do trabalho (L) e equipamento de capital (K) na forma de uma equação: o modelo de Coob-Douglas:
Usando os dados do setor siderúrgico brasileiro (abaixo) ajuste-os ao modelo de Cobb-Douglas e calcule P para L=200 e K=300.[4: Esses dados podem estar diferentes dos que escrevi no quadro, em sala de aula (confiram, por favor).]
	P 
	L
	K
	657
	162
	280
	936
	214
	543
	1111
	186
	722
	1201
	246
	1168
	1053
	211
	812
	3406
	691
	4558
	2428
	453
	3070
	4257
	714
	5585
	1625
	321
	1619
	1272
	253
	1562
	1004
	236
	662
	599
	141
	875
	853
	145
	1697
	1166
	240
	1078
	1918
	537
	2109
Solução:
Como o modelo não é linear, é necessária linearizá-lo aplicando logaritmos:
O pode ser escrito como:[5: Em que definimos Q=lnC]
Minimizando com relação a cada parâmetro obtemos:
De onde tiramos três equações:
Que podem ser resolvidas por matrizes (como nos exemplos anteriores). 
APLICAÇÕES NA FÍSICA (VELOCIDADE E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA) 
Na física a velocidade instantânea de um corpo é dada por: 
 
Em que “x” é a posição do corpo em função do tempo. 
E a aceleração instantânea é dada por
 
Sendo que “v” é a velocidade do corpo em função do tempo. 
TAXAS DE VARIAÇÃO
TRAÇADO DE CURVAS