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Funções Trigonométricas Prof.o Ricardo Reis Universidade Federal do Ceará 12 de julho de 2013 1 Ângulos e Medidas de Arcos Um ângulo é uma medida de abertura entre duas retas ou dois planos. O en- contro das retas ou dos planos é chamado de origem do ângulo cuja representação é normalmente feita utilizando-se uma letra grega (α, β, γ, θ e etc). Veja o esquema, α A medida de um ângulo é feita normal- mente em graus ou em radianos. Um ân- gulo entre retas paralelas é zero grau (0◦) ou zero radiano (0 rad). Se duas retas for- mam entre si um quarto de volta então o ângulo entre elas é de 90◦ ou pi/2 rad. No caso de meia volta tem-se 180◦ ou pi rad. No caso de três quartos de volta tem-se 270◦ ou 3pi/2 rad. Por fim, no caso de uma volta completa tem-se 360◦ ou 2pi rad. De uma maneira geral, para o caso de uma volta circular, ângulos variam entre 0◦ e 360◦ (me- dida em graus) ou entre 0 rad e 2pi rad (me- dida em radianos). A relação entre entre ângulos em graus e radianos é dada por, θr = θg × pi 180 (1) onde θr representa ângulos em radianos, θg representa ângulos em graus e pi é o nú- mero irracional de valor aproximadamente igual a 3.14159235. Nota: dada quais- quer circunferências de diâmetro D e com- primento de arco C, D C tem-se que, pi = D C ILUSTRAÇÃO 1 Converter 200◦ em radianos, SOLUÇÃO θr = 200× pi 180 = 10pi 9 rad ILUSTRAÇÃO 2 Converter 3pi rad em graus, SOLUÇÃO 3pi = θg × pi 180 θg = 3× 180 = 540◦ Em uma circunferência de raio R uma dada fatia compreendendo um ângulo θ é chamada setor e normalmente é represen- tada por algo semelhante a, θ R 1 A linha da circunferência de um setor é chamada de arco do setor. O comprimento de um arco é proporcional ao ângulo de seu setor correspondente. Matematicamente, L = θ ×R (2) onde L é o comprimento do arco, θ o ân- gulo do setor e R o valor do raio. O compri- mento C de uma circunferência equivale ao comprimento de um arco de 2pi rad que, da equação-2, vale, C = 2piR ILUSTRAÇÃO 3 Em um fio de 5 m de compri- mento dobrado em forma de circunferência, quantos graus possui um setor cujo arco possui 1 m? SOLUÇÃO Calculando o raio R obtemos, 2piR = 5 R = 5 2pi Por fim, da equação-2, 1 = θ × 5 2pi θ = 2pi 5 rad = 2pi × 180 5× pi = 72◦ 2 Triângulo Retângulo O triângulo retângulo é aquele que pos- sui um de seus ângulos internos igual a 90◦ ou pi/2 rad (ângulo reto). O lado oposto ao ângulo de 90◦ é denominado de hipotenusa cujo comprimento é comumente represen- tado por a. Os outros dois lados são cha- mados de catetos e seus comprimentos são normalmente denotados por b e c. Esque- maticamente, Cateto (b) C at et o (c ) hipotenusa (a) O teorema de Pitágoras relaciona os lados de um triângulo retângulo pela equação, a2 = b2 + c2 (3) Os demais ângulos de um triângulo re- tângulo (aqueles opostos aos catetos) são agudos, ou seja, valem necessariamente menos que 90◦. No esquema, b c a α β estes ângulos são representados por α e β. Diz-se que α é oposto ao cateto c e adjacente ao cateto b e de forma similar diz-se que β é oposto ao cateto b e adjacente ao cateto c. ILUSTRAÇÃO 4 Determine o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles de perímetro igual a 10. SOLUÇÃO Sendo isósceles então os catetos tem mes- mas dimensões, digamos x. Se y denotar o comprimento da hipotenusa então pode-se escrever que,{ x2 + x2 = 2x2 = y2 x+ x+ y = 2x+ y = 10 Da segunda equação tem-se que x = 10−y 2 . Substituindo-se este resultado na primeira equação temos, 2 ( 10− y 2 )2 = y2 100− 20y + y2 = 2y2 y2 + 20y − 100 = 0 2 No método de Báskhara, ∆ = 202 − 4(1)(−100) = 800 y = −20±√800 2(1) = −20± 20√2 2 = 10(−1± √ 2) Como necessariamente y > 0 então y = 10( √ 2− 1). 3 Operadores 3.1 Seno, Cosseno e Tangente Seno, cosseno e tangente de um ângulo θ são medidas adimensionais calculadas so- bre proporções entre as dimensões de um dado triângulo retângulo contento um de ângulos internos igual a θ. Seja θ um ângulo agudo (menor que 90◦) disposto em um triângulo retângulo de di- mensões a, b e c conforme figura, b c a θ então diz-se que o seno de θ, ou sin θ, é a ra- zão entre o cateto oposto pela hipotenusa, ou matematicamente, sin θ = c a O cosseno de θ, ou cos θ, é definido como a razão entre o cateto adjacente pela hipote- nusa, ou matematicamente, cos θ = b a Por fim a tangente de θ, ou tan θ, é definida como a razão entre o cateto oposto e o ca- teto adjacente, ou matematicamente, tan θ = c b Como os valores dessas três medidas são calculadas utilizando-se proporções então elas não dependem das dimensões do triân- gulo utilizado o que as caracterizam como funções únicas do ângulo θ. Em outras pa- lavras o seno, cosseno e a tangente são me- didas angulares independente de qualquer associação geométrica sejam com triângu- los ou outros objetos geométricos. A tabela seguinte lista seno, cosseno e tangente de importantes ângulos, sin cos tan 0◦ 0 1 0 30◦ 1 2 √ 3 2 √ 3 3 45◦ √ 2 2 √ 2 2 1 60◦ √ 3 2 1 2 √ 3 90◦ 1 0 - 3.2 Secante, Cossecante e Cotangente A secante de um número real x é definida como, secx = 1 cosx A cossecante de um número real x é defi- nida como, cossecx = 1 sinx Note que estes operadores, ao contrário de sin e cos, não operam todos os núme- ros (ângulos) reais. Matematicamente secx existe se cosx não é nulo ou x 6= pi 2 + npi com n ∈ Z. Similarmente cossecx existe se sinx é não nulo ou x 6= npi com n ∈ Z. A cotangente de um número real x é defi- nida como, cotanx = cosx sinx = 1 tanx De forma similar ao operador tan, cotanx não opera quando sinx = 0. 3 3.3 Círculo Trigonométrico Uma técnica geométrica para determinar valores de seno, cosseno e tangente de ân- gulos numa volta completa (0◦ a 360◦) é o círculo trigonométrico. Corresponde a um rebatimento, de uma circunferência de raio unitário, sobre um trio de eixos, cada um representando um dos operadores como in- dica a Figura-1. cos sin tan E B A P O C θ Figura 1: Círculo trigonométrico Os dois primeiros eixos do círculo trigo- nométrico (eixo dos senos e dos cossenos) divide o círculo em quatro quadrantes refe- renciados conforme intervalo angular como indica a tabela, Quadrante Intervalo Angular (θ) 1 0 < θ < pi 2 2 pi 2 < θ < pi 3 pi < θ < 3pi 2 4 3pi 2 < θ < 2pi Note que 0, pi 2 , 3pi 3 e 2pi tecnicamente não per- tencem a nenhum quadrante. Nos parágrafos a seguir explanaremos a determinação geométrica do seno, cosseno e tangente, de um ângulo θ (0 ≤ θ ≤ 2pi), utilizando como base a Figura-1. Para determinar sin θ deve-se projetar o ponto P sobre o eixo dos senos 1. O valor do seno é dado então pelo comprimento do 1projetar um ponto P sobre uma reta r significa determinar o ponto em r cruzado pela reta que é perpendicular a r e passa por P . segmento OA. Como o raio da circunferên- cia é unitário então o valor do seno neces- sariamente será em módulo menor ou igual a 1. A determinação geométrica do cosseno é feita projetando-se P sobre o eixo dos cos- senos. O valor do seno é dado então pelo comprimento do segmento OB. Sendo o raio unitário, então o valor do cosseno tam- bém necessariamente deverá ser em mó- dulo menor ou igual a 1. A determinação da tangente é feita estendendo-se a reta OP até o eixo das tan- gentes. O valor da tangente é dado pelo comprimento do segmento CE. No primeiro quadrante o valor do seno e do cosseno são ambos positivos. No se- gundo quadrante o seno se mantém posi- tivo, mas o cosseno é negativo. No terceiro quadrante ambos,seno e cosseno, são ne- gativos. No quarto quadrante o cosseno é positivo, mas o seno é negativo. Nos primeiro e terceiro quadrantes as ex- tensões de OP ocorrem no lado positivo do eixo das tangentes 2, ou seja, E fica acima de C. Assim, para ângulos nestes quadran- tes, a tangente é positiva. Nos demais qua- drantes a tangente é negativa pois a exten- são de OP ocorre na parte negativa do eixo das tangentes (E fica abaixo de C). ILUSTRAÇÃO 5 Determinar sinais do seno, cosseno e tangente do ângulo θ = 3000◦. SOLUÇÃO Como θ está fora da faixa {0, 2pi} então ex- traímos dele todas as voltas completas res- tando uma fração de volta cujos valores de seno, cosseno e tangente são os mes- mos. Matematicamente este valor equivale ao resto de divisão de θ por 360◦, ou seja, 3000◦ 360◦ (120◦) 8 Sendo o resto 120◦ então, como este ângulo fica no segundo quadrante, temos que o si- nal do seno é positivo, do cosseno é nega- tivo e da tangente é negativo. 2O eixo das tangentes tem origem no ponto em que se intercepta com o eixo dos cossenos sendo ainda positivo acima deste e negativo abaixo 4 4 Relações Trigonométricas Sejam A e B dois ângulos dados. Então são válidas as relações, sin2A+ cos2A = 1 (4) sin(A±B) = sinA cosB ± sinB cosA (5) cos(A±B) = cosA cosB ∓ sinA sinB (6) tan(A±B) = tanA± tanB 1∓ tanA tanB (7) Destas relações podem ser deduzidas vá- rias outras. Casos especiais frequentes são, sec2A = 1 + tan2A (8) cossec 2A = 1 + cotan 2A (9) sin 2A = 2 sinA cosA (10) cos 2A = cos2A− sin2A (11) = 1− 2 sin2A (12) = 2 cos2A− 1 (13) tan 2A = 2 tanA 1− tan2A (14) ILUSTRAÇÃO 6 Determinar sin(120◦). SOLUÇÃO Como 120 = 2·60, utilizamos a equação-(10), sin 120 = sin 2(60) = 2 sin(60) cos(60) = 2 √ 3 2 1 2 = √ 3 2 ILUSTRAÇÃO 7 Determinar tan 15◦. SOLUÇÃO Fazendo, na equação-(14), A = 15◦ e x = tan 15 (valor procurado) obtemos, tan 30◦ = 2x 1− x2√ 3 3 = 2x 1− x2√ 3− √ 3x2 = 6x√ 3x2 + 6x− √ 3 = 0 x2 + 2 √ 3x− 1 = 0 ∆ = 4(3)− 4(1)(−1) = 16 x = −2√3± 4 2 x = − √ 3± 2 Do círculo trigonométrico tem-se que tan 15◦ > 0 e assim, tan 15◦ = 2− √ 3 ILUSTRAÇÃO 8 Determinar cos 75◦. SOLUÇÃO Sendo 75◦ = 30◦ + 45◦ aplicamos a equação- (6), cos 75◦ = cos 30◦ cos 45− sin 30◦ sin 45◦ = √ 3 2 · √ 2 2 − 1 2 · √ 2 2 = √ 2 4 ( √ 3− 1) 5 Funções Trigonométricas 5.1 Função Seno A função seno, dada por f(x) = sinx, pos- sui domínio D(f) = R e imagem Im(f) = {y ∈ R | − 1 ≤ y ≤ 1}. O gráfico tem aspecto, 5 −6 −4 −2 2 4 6 −1 −0.5 0.5 1 A função seno é periódica, ou seja, mantém um mesmo comportamento da imagem em intervalos consecutivos e de mesmo tama- nho no domínio. O período de uma função periódica equivale ao comprimento no do- mínio destes intervalos. O período da fun- ção seno é dado por P (f) = 2pi. A função seno possui infinitas raízes re- ais pois, devido sua periodicidade ela cruza regularmente o eixo x. As raízes da função seno podem ser equacionadas por, n · pi (15) onde n ∈ Z. Em outras palavras toda me- dida angular formada de uma quantidade inteira de meias voltas possui seno igual a zero. São exemplos de raízes da função seno, −pi, 0, pi, 5pi, 1001pi e etc. A função seno cruza o eixo das ordenadas em y = 0, ou seja, passa pela origem haja vista x = 0 ser uma raiz. A amplitude de uma função periódica é a medida absoluta entre os dois valores extremos de imagem (mínimo e máximo), quando existem. Como os valores mínimo e máximo de imagem na função seno valem respectivamente y = −1 e y = 1 então a amplitude desta função vale A(f) = (1)− (−1) = 2. 5.2 Função Cosseno A função cosseno, dada por f(x) = cosx, possui domínio D(f) = R e imagem Im(f) = {y ∈ R | − 1 ≤ y ≤ 1}. O gráfico tem aspecto, −6 −4 −2 2 4 6 −1 −0.5 0.5 1 A função cosseno também é periódica e seu período, assim como o da função seno, tam- bém vale P (f) = 2pi. A função cosseno também possui infini- tas raízes reais pois, devido sua periodici- dade cruza regularmente o eixo x. As raízes da função cosseno podem ser equacionadas por, pi 2 + n · pi (16) onde n ∈ Z. Em outras palavras toda me- dida angular formada por um quarto de volta e mais uma quantidade inteira de meias voltas possui cosseno igual a zero. São exemplos de raízes da função cosseno, −pi 2 , pi 2 , 3pi 2 e etc. A função cosseno cruza o eixo das or- denadas em y = 1, ou seja, cos(0) = 1. Como os valores mínimo e máximo de ima- gem na função cosseno valem, assim como na função seno, respectivamente y = −1 e y = 1 então a amplitude desta função vale A(f) = 2. 5.3 Função Tangente Analisaremos nessa sessão a função tan- gente, f(x) = tan x. No intervalo de 0 a 2pi não existem as tangentes dos ângulos pi 2 e 3pi 2 e consequentemente, no conjunto R, existem infinitos números (ângulos) para os quais a tangente não existe. Note que estes valores são justamente aqueles cujos cos- senos são nulos, ou seja, pi 2 + n · pi onde n ∈ Z. Assim o domínio da função f(x) = tan x é dado por, 6 D(f) = R− {pi 2 + n · pi } onde n ∈ Z. Da definição de tangente, todo número real pode ser tangente de um ân- gulo (apesar de nem todo ângulo possuir tangente) e assim a imagem da função tan- gente são todos os reais, Im(f) = R. Em consequência disso a função tangente não possui valor de amplitude. O gráfico da função tangente é ilustrado a seguir, −4 −2 2 4 −10 −5 5 10 As linhas tracejadas são assíntotas verti- cais. De um modo geral, na função f(x) = tanx, em todo x onde não existir tangente (pi 2 + n · pi para todo n ∈ Z) ocorrerá uma as- síntota vertical. O comportamento da função tangente en- tre duas assíntotas consecutivas é repeti- tivo de forma que o período desta função é a diferença entre dois ângulos consecuti- vos cujas tangentes não existem. Logo o pe- ríodo de f(x) = tan x vale P (f) = pi 2 −(−pi 2 ) = pi (Note que difere das funções seno e cos- seno). 5.4 Função Secante A função secante, dada por f(x) = sec x, possui mesmo domínio da função cosseno excetuando-se os valores em que cosx = 0. Matematicamente D(f) = R − {pi 2 + npi} (n ∈ Z). A imagem da função secante são todos os reais, Im(f) = R. O gráfico tem aspecto, −6 −4 −2 2 4 6 −10 −5 5 10 As linhas verticais tracejadas são assínto- tas verticais e ocorrem nos valores x onde cosx = 0. O padrão de repetição da função é constituído de um par de curvas consecu- tivas com concavidades voltadas para lados opostos. Tais curvas não se cruzam entre si nem o eixo x, mas cobrem a faixa 2pi sendo este portanto o valor do período da função, P (f) = 2pi. A função secante, como se veri- fica no gráfico, não possui raízes. A função cosseno cruza o eixo das orde- nadas em y = 1, ou seja, sec(0) = 1 cos 0 = 1 1 = 1. A presença de assíntotas indica que os valores de imagem não possuem mínimo ou máximo e logo a função secante não possui amplitude. 5.5 Função Cossecante A função cossecante, dada por f(x) = cossecx, possui mesmo domínio da fun- ção seno excetuando-se os valores em que sinx = 0. Matematicamente D(f) = R− {npi} (n ∈ Z). A imagem da função cossecante são todos os reais, Im(f) = R. O gráfico tem as- pecto, −6 −4 −2 2 4 6 −10 −5 5 10 As linhas verticais tracejadas são assínto- tas verticais e ocorrem nos valores x onde sinx = 0. O padrão de repetição da função é 7 constituído de um par de curvas consecu- tivas com concavidades voltadas para lados opostos. Tais curvas não se cruzam entre si nem o eixo x, mas cobrem a faixa 2pi sendo este portanto o valor do período da função, P (f) = 2pi. A função cossecante, como se verifica no gráfico, não possui raízes. A função cossecantenão cruza o eixo das ordenadas. A presença de assíntotas indica que os valores de imagem não possuem mí- nimo ou máximo e logo a função cossecante não possui amplitude. 5.6 Função Cotangente Analisaremos nessa sessão a função co- tangente, f(x) = cotanx. No intervalo de 0 a 2pi não existem as cotangentes dos ângu- los 0 e pi e consequentemente, no conjunto R, existem infinitos números (ângulos) para os quais a cotangente não existe. Note que estes valores são justamente aqueles cujos senos são nulos, ou seja, n · pi onde n ∈ Z. Assim o domínio da função f(x) = cotan x é dado por, D(f) = R− {n · pi} onde n ∈ Z. Da definição de cotangente, todo número real pode ser cotangente de um ângulo (apesar de nem todo ângulo pos- suir cotangente) e assim a imagem da fun- ção cotangente são todos os reais, Im(f) = R. Em consequência disso a função cotan- gente não possui valor de amplitude. O grá- fico da função cotangente é ilustrado a se- guir, −2 2 4 6 −10 −5 5 10 As linhas tracejadas são assíntotas ver- ticais. Na função f(x) = cotanx, em todo x onde não existir cotangente (n · pi para todo n ∈ Z) ocorrerá uma assíntota vertical. O comportamento da função cotangente entre duas assíntotas consecutivas é repe- titivo de forma que o período desta função é a diferença entre dois ângulos consecutivos cujas cotangentes não existem. Logo o pe- ríodo de f(x) = cotan x vale P (f) = pi− (−0) = pi. 5.7 Generalização Consideremos a seguinte generalização trigonométrica, f(x) = m+ n · g(u(x)) (17) onde {m,n} ∈ R, u(x) é uma função real e g pode ser quaisquer umas das funções pe- riódicas mostradas anteriormente. O domí- nio de f é a intersecção do domínio de u(x) e g(x). A imagem e amplitude de f dependem de m, n, g(x) e u(x) como indicam ilustra- ções a seguir. ILUSTRAÇÃO 9 Determinar domínio, ima- gem e amplitude da função, f(x) = 1 + 2 sin(x2 − 1) SOLUÇÃO O domínio de f é a intersecção do domain da função seno, que é R, e da função po- linomial x2 − 1, que também é R. Assim D(f) = R. Os valores limites de imagem ocorrem quando o seno atinge −1 e 1. As- sim, ylim1 = 1 + 2(−1) = −1 ylim2 = 1 + 2(1) = 3 Assim a imagem vale, im(f) = {y ∈ R | − 1 ≤ y ≤ 3} E consequentemente a amplitude vale, A(f) = 3− (−1) = 4 Um gráfico da função é mostrado a seguir, 8 −30 −20 −10 10 20 30 −1 1 2 3 Esta função não é periódica. ILUSTRAÇÃO 10 Determinar domínio, ima- gem e amplitude da função, f(x) = 5− 2 cos ( x 1− x2 ) SOLUÇÃO A intersecção do domínio da função cos- seno, que é R, com o da função racional x 1− x2 , que é R − {−1, 1}, define o domínio de f em D(f) = R−{−1, 1}. Os valores limi- tes de imagem ocorrem quando o cosseno atinge −1 e 1. Assim, ylim1 = 5− 2(−1) = 7 ylim2 = 5− 2(1) = 3 Assim a imagem vale, im(f) = {y ∈ R | 3 ≤ y ≤ 7} E consequentemente a amplitude vale, A(f) = 7− (3) = 4 Um gráfico da função é mostrado a seguir, −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 Esta função não é periódica. ILUSTRAÇÃO 11 Determinar domínio, ima- gem e amplitude da função, f(x) = 11− tan ( 3 12− 4x ) SOLUÇÃO A intersecção do domínio da função tan- gente, que é R − {pi 2 + npi } (n ∈ Z), com o da função racional 3 12− 4x , que é R−{3}, define o domínio de f em D(f) = R − {3, pi 2 + npi } (n ∈ Z). A função tangente tem por imagem R que, neste caso, é também imagem de f . Não há amplitude. 6 Cálculo de Período Consideremos as funções reais f(x) e g(x) onde g(x) é periódica de período p. Se, f(x) = m+ n · g(ax+ b) com {m,n, a, b} ∈ R e a, n 6= 0, então f(x) é também periódica e o valor de seu período é dado por, P (f) = p |a| ILUSTRAÇÃO 12 Determinar período da função f(x) = sin x 3 . SOLUÇÃO Neste caso m = 0, n = 1, a = 1 3 e b = 0. Como o período da função sin() vale 2pi então, P (f) = 2pi∣∣∣∣13 ∣∣∣∣ = 6pi ILUSTRAÇÃO 13 determinar período da fun- ção f(x) = 3 tan ( 2x 3 − pi 4 ) . 9 SOLUÇÃO Neste caso m = 0, n = 3, a = 2 3 e b = −pi 4 . Como o período da função tangente vale pi então obtemos, P (f) = pi∣∣∣∣23 ∣∣∣∣ = 3pi 2 ILUSTRAÇÃO 14 Determinar período da função f(x) = 4− 3 cos−pix. SOLUÇÃO Neste caso m = 4, n = −3, a = −pi e b = 0. Sendo o período da função cosseno igual a 2pi então o período de f vale, P (f) = 2pi |−pi| = 2 ILUSTRAÇÃO 15 Determinar período da função f(x) = sin2 x. SOLUÇÃO Note que esta função não segue o modelo m+ n · g(x). Mas, da equação-(12), cos(2x) = 1− 2 sin2 x sin2 x = 1− cos(2x) 2 = 1 2 − 1 2 cos(2x) e assim f se reescreve como, f(x) = 1 2 − 1 2 cos(2x) onde m = 1 2 , n = −1 2 , a = 2 e b = 0. Sendo o período da função cosseno igual a 2pi então o período de f é dado por, P (f) = 2pi |2| = pi Sejam f(x) e g(x) funções periódicas de períodos pf e pg respectivamente. Se pf 6= pg e ainda, pf pg = m n com m e n inteiros e primos entre si, então f + g e f · g são periódicas e ainda, P (f + g) = P (f · g) = n · pf = m · pg ILUSTRAÇÃO 16 Determinar período da função, h(x) = tan 3x+ cos 4x SOLUÇÃO Fazendo f(x) = tan 3x e g(x) = cos 4x obte- mos que, pf = pi 3 pg = 2pi 4 = pi 2 Dividindo-se um período pelo outro obte- mos, pf pg = pi/3 pi/2 (18) = 2 3 (19) 3pf = 2pg (20) Dado que pf 6= pg então o valor de período é, P (f + g) = 3 pi 3 = pi ILUSTRAÇÃO 17 Determinar período da função h(x) = cos x 2 sin 3x SOLUÇÃO Neste caso calculamos o período de f · g onde f(x) = cos x 2 e g(x) = sin 3x. Assim, pf = 2pi 1/2 = 4pi pg = 2pi 3 pf pg = 4pi 2pi/3 = 6 ⇒ pf = 6pg 10 Dado que pf 6= pg então o valor de período é, P (f · g) = 4pi ILUSTRAÇÃO 18 Determinar período da função h(x) = secx− sinx SOLUÇÃO Tomando f(x) = sec x e g(x) = sin x obtemos que pf = pg = 2pi. Logo o método anunci- ado não poderá ser aplicado. Entretanto é possível mudar f utilizado a relação trigo- nométrica da equação-(10), f(x) = sec x− sinx = 1 cosx − sinx = 1− sinx cosx cosx = 1− 1 2 sin(2x) cosx = [ 1− 1 2 sin(2x) ] secx Fazendo f(x) = 1 − 1 2 sin(2x) e g(x) = secx obtemos, pf = 2pi 2 = pi pg = 2pi 1 = 2pi pf 6= pg ⇒ pf pg = pi 2pi = 1 2 ⇒ 2pf = pg Assim o período de h vale, P (f · g) = 2pi. 7 Exercícios Converta os ângulos a seguir de grau em ra- dianos, 1. 300◦ 2. 1200◦ 3. 30pi◦ 4. 1980◦ 5. −600◦ Converta os ângulos a seguir de radianos para grau, 6. 56pi rad 7. pi2 rad 8. 2 pi rad 9. 600 rad 10. −100pi 3 rad Dados um comprimento de arco L e um va- lor de raio R, encontre o ângulo nos casos seguintes, 11. L = 2 | R = 5 12. L = 100 | R = 1 13. L = 3pi | R = 1 2 14. L = 12pi | R = pi 15. L = √ 7 | R = √3 Resolva os problemas relacionados a triân- gulo retângulo a seguir, 16. Qual a área de um triângulo retângulo isósceles de perímetro igual a 100? 17. Seja um triângulo retângulo isósceles de perímetro P . Se os catetos valem x então escreva o valor da área A do tri- ângulo como função de P e x. 18. Os lados de um triângulo retângulo es- tão em progressão aritmética de razão 2. Qual o comprimento da hipotenusa? 19. Os lados de um triângulo retângulo de perímetro 15 estão em progressão geo- métrica. Qual o comprimento da hipo- tenusa? 20. Num dado triângulo retângulo, de pe- rímetro 12, a soma dos comprimentos dos catetos é o dobro do comprimento da hipotenusa. Determine as dimen- sões d triângulo. 11 Resolva as equações a seguir, 21. sin(2x− pi) = 1 2 22. sin(2x− pi) + 4 tanx = 0 23. √ 3 sin 2x = 3 sin x 24. sin2 x− 3 2 sinx+ 1 = 0 25. tan (2x) = 5 tan(x) 26. 2 sec2 x− tan22x = 2 Utilizando relações trigonométricas resolva os problemas a seguir, 27. Se A = sin 3◦ e B = cos 7◦ então escreva cos 10◦ em função de A e B. 28. Se n = tan 3◦ então escreva tan 9◦ em função de n. 29. Seja x um ângulo tal que 0 < x < pi 2 e ainda sin(x) = 1 3 . Então determine o va- lor de θ na equação, sin(x+ θ) cos(x− θ) = tan (2x) 30. Se a = sin(1◦) então determine cos(11◦) em função de a. Nas funções a seguir determine domínio, imagem, período e amplitude, 31. f(x) = sin(3x− pi) 32. f(x) = 11 sin 3x− 4 33. f(x) = cos(pi/3− x/3) 34. f(x) = −3 cos (−2x) + 1/2 35. f(x) = tan(2x− 1) 36. f(x) = sinx− cos2x 37. f(x) = 2 sin 4x+ 4 cos x 2 38. f(x) = tan 3x+ cos 4x 39. f(x) = sin2 x 40. f(x) = sin3 x 41. f(x) = secx+ sinx 42. f(x) = sec x 2 sin 3x 43. f(x) = cos 3x cotan 8x 44. f(x) = tan2 x 45. f(x) = sin 4x 46. f(x) = 5 + 4 sin(nx) n 6= 0 47. f(x) = sin x 3 + cossec 3x 48. f(x) = tan 2x− sec 5x 3 49. f(x) = cos 4x tan 2x 3 50. f(x) = sin 3x 8 cos 4x 5 12
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