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7. Me´todos de integrac¸a˜o Conteu´do da Segunda avaliac¸a˜o 7.1 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Trigonome´tricas 7.2 Integrac¸a˜o de Algumas Func¸o˜es Envolvendo Func¸o˜es Trigonome´tricas 7.3 Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o Trigonome´trica 7.4 Problemas 7.5 Integrac¸a˜o de func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais 7.6 Problemas 7.7 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais de Seno e Cosseno 7.8 Integrais Envolvendo Expresso˜es da Forma √ ax2 + bx+ c(a 6= 0) 7.9 Problemas Segunda avaliac¸a˜o Aulas da Segunda Unidade 7.1 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Trigonome´tricas 7.1.1 As integrais ∫ senudu e ∫ cosudu 7.2 Integrac¸a˜o de Algumas Func¸o˜es Envolvendo Func¸o˜es Trigonome´tricas 7.2.1 As integrais ∫ sennudu e ∫ cosnudu onde n e´ um nu´mero positivo Nestas integrais, podemos usar artificios de ca´lculo com aux´ılio das identidades trigonome´tricas sen2x+ cos2x = 1 (1) sen2x = 1− cos2x 2 (2) cos2x = 1 + cos2x 2 (3) 7.2.2 Exemplos 1) Calcular as integrais: a) ∫ cos5xdx Soluc¸a˜o: Como cos5x = cosx− 2sen2xcosx+ sen4xcosx, Portanto,∫ cos5xdx = ∫ (cosx− 2sen2xcosx+ sen4xcosx)dx∫ cos5xdx = ∫ cosxdx− 2 ∫ (sen2xcosx)dx+ ∫ (sen4xcosx)dx c) ∫ sen4xdx Soluc¸a˜o: Como sen4x = 3 8 − 1 2 cos2x− 1 8 cos4x, Portanto,∫ sen4xdx = ∫ (3 8 − 1 2 cos2x− 1 8 cos4x)dx∫ sen4xdx = ∫ (3 8 )dx− 1 2 ∫ (cos2x)dx− 1 8 ∫ (cos4x)dx∫ sen4xdx = 3x 8 − 1 4 sen2x+ 1 32 sen4x+ C Observamos que o racioc´ınio usado neste exemplo e´ va´lido para as poteˆncias pares. 7.2.3 As integrais ∫ senmucosnudu onde m e n sa˜o inteiros positivos. quando pelo menos um dos expoentes e´ impar, usamos a identidade (1) e, quando os dois expoentes sa˜o pares, usamos (2) e (3) e, eventualmente, tambe´m (1). 7.2.4 Exemplos 1 Calcular as integrais: 1) ∫ sen5xcos2xdx Soluc¸a˜o: sen5xcos2x = cos2xsenx− 2cos4xsenx+ cos6xsenx∫ (sen5xcos2x)dx = ∫ (cos2xsenx)dx− 2 ∫ (cos4xsenx)dx+ ∫ (cos6xsenx)dx∫ (sen5xcos2x)dx = −1 3 cos3x+ 2 5 cos5x− 1 7 cos7x+ C 2) ∫ sen2xcos4xdx Soluc¸a˜o: sen2xcos4x = 1 16 − 1 16 cos4x+ 1 8 cos2xsen22x∫ (sen2xcos4x)dx = ∫ 1 16 − 1 16 ∫ (cos4x)dx+ 1 8 ∫ (cos2xsen22x)dx∫ (sen2xcos4x)dx = x 16 − 1 64 sen4x+ 1 48 sen32x 7.2.5 As integrais ∫ tagnudu e ∫ cotgnudu onde n e´ inteiro positivo. Na preparac¸a˜o do integrando, usamos as identidades tan2u = sec2u− 1 e cotg2u = cosec2u− 1 Os artificios sa˜o semelhantes aos usados nas sec¸o˜es anteriores. Temos: tannu = tann−2tan2u = tann−2(sec2u− 1) e cotgnu = cotgn−2cotg2u = cotgn−2(cosec2u− 1) 7.2.6 Exemplos Calcular as integrais: 1) ∫ tan33θdθ Soluc¸a˜o: Preparando o integrando temos: tan33θ = tan3θtan23θ = tan3θsec23θ − tan3θ∫ (tan33θ)dθ = ∫ (tan3θsec23θ)dθ − ∫ (tan3θ)dθ∫ (tan33θ)dθ = 1 6 tan23θ + 1 3 ln|cos3θ|+ C 2) ∫ cotg42xdx Soluc¸a˜o: Preparando o integrando temos: cotg42x = cotg22xcosec22x− cosec22x+ 1. Portanto,∫ (cotg42x)dx = ∫ (cotg22xcosec22x)dx− ∫ (cosec22x+ 1)dx.∫ (cotg42x)dx = −1 6 cotg32x+ 1 2 cotg2x+ x+ C 7.2.7 As integrais ∫ secnudu e ∫ cosecnudu onde n e´ inteiro positivo. Estas integrais, para o caso de n ser um nu´mero par, sa˜o resolvidas utilizando as identidades (5) e (6). Temos secnx = (sec2x) n−2 2 sec2x = (tan2x+ 1) n−2 2 sec2x e cosecnx = (cosec2x) n−2 2 cosec2x = (cotg2x+ 1) n−2 2 cosec2x. Quando n for impar, devemos aplicar o me´todo da integrac¸a˜o por partes visto na sec¸a˜o 6.5. 7.2.8 Exemplos Calcular as integrais: 1) ∫ cosec6xdx Soluc¸a˜o: Preparando o integrando temos: cosec6x = (cosec2x)2cosec2x = (cotg2x+ 1)2cosec2x = (cotg4x+ 2cotg2x+ 1)cosec2x cosec6x = cotg4xcosec2x+ 2cotg2xcosec2x+ cosec2x Portanto, 2 ∫ cosec6xdx = ∫ (cotg4xcosec2x)dx+ 2 ∫ (cotg2xcosec2x)dx+ ∫ (cosec2x)dx∫ cosec6xdx = −1 5 cotg5x− 2 3 cotg3x− cotgx+ C 2) ∫ sec3xdx Soluc¸a˜o: Nesta integral aplicar o me´todo da integrac¸a˜o por partes. Seja secx −→ du = secx.tanxdx sec2xdx −→ v = ∫ secxdx = tanx Enta˜o∫ (sec3x)dx = secx.tanx− ∫ (tanx.secx.tanx)dx∫ (sec3x)dx = secx.tanx− ∫ (tan2x.secx)dx∫ (sec3x)dx = secx.tanx− ∫ (sec2x− 1).secxdx∫ (sec3x)dx = secx.tanx− ∫ (sec3x)dx+ ∫ secxdx Adicionando ∫ (sec3x)dx a cada membro, obtemos: 2 ∫ (sec3x)dx = secx.tanx+ ∫ secxdx 2 ∫ (sec3x)dx = secx.tanx+ ln|secx+ tanx|∫ (sec3x)dx = 1 2 secx.tanx+ 1 2 ln|secx+ tanx|+ C 7.2.9 As integrais ∫ tanmusecnudu e ∫ cotgmucosecnudu onde m e n sa˜o inteiros positivos. 7.2.10 Calcular as integrais: 1) ∫ tan7xsec6xdx Soluc¸a˜o: tan7xsec6x = tan11xsec2x+ 2tan9xsec2x+ tan7xsec2x∫ tan7xsec6xdx = ∫ (tan11xsec2x)dx+ 2 ∫ (tan9xsec2x)dx+ ∫ (tan7xsec2x)dx Portanto,∫ tan7xsec6xdx = 1 12 tan12x+ 1 5 tan5x+ 1 8 tan8x+ C∫ tan7xsec5xdx Soluc¸a˜o: tan7xsec5x = (sec10xx− 3sec8x+ 3sec6x− sec4x)secxtanx∫ tan7xsec5xdx = ∫ (sec10xx− 3sec8x+ 3sec6x− sec4x)secxtanxdx Portanto,∫ tan7xsec5xdx = 1 11 sec11x− 1 3 sec9x+ 3 7 sec7x− 1 5 sec5x+ C 7.2.11 Fo´rmulas de Reduc¸a˜o ou Recorreˆncia As mais usadas sa˜o:∫ sennudu = −1 n senn−1ucosu+ n−1 n ∫ senn−2udu∫ cosnudu = 1 n cosn−1usenu+ n−1 n ∫ cosn−2udu∫ secnudu = 1 n−1sec n−2utanu+ n−2 n−1 ∫ secn−2udu∫ cosecnudu = −1 n−1sec n−2ucotgu+ n−2 n−1 ∫ cosecn−2udu 7.2.12 Exemplo Aplicar uma fo´rmula de recorreˆncia para calcular a integral 1) ∫ sen52xdx Fazendo u = 2x e du = 2dx∫ sen52xdx = 1 2 ∫ sen5udu = −1 10 sen4ucosu− 2 15 sen2ucosu− 4 15 cosu+ C∫ sen52xdx = 1 2 ∫ sen5udu = −1 10 sen42xcos2x− 2 15 sen22xcos2x− 4 15 cos2x+ C 7.2.13 Integrac¸a˜o de func¸o˜es envolvendo seno e cosseno de arcos diferentes senacosb = 1 2 [sen(a+ b) + sen(a− b)] senacosb = 1 2 [cos(a− b)− cos(a+ b)] cosacosb = 1 2 [cos(a+ b) + cos(a− b)] 7.2.14 Exemplos Calcular as integrais: 1) ∫ sen4xcos2xdx 3 Soluc¸a˜o: sen4xcos2x = 1 2 [sen6x+ sen2x]∫ sen4xcos2xdx = 1 2 ∫ [sen6x+ sen2x]dx = −1 4 [1 3 cos6x+ cos2x] + C 2) ∫ sen5xsen2xdx Soluc¸a˜o: sen5xsen2x = 1 2 [cos3x− cos7x]∫ sen5xsen2xdx = 1 2 ∫ [cos3x− cos7x]dx = 1 2 [1 3 sen3x− 1 7 sen7x] + C 3) ∫ cos5xcos3xdx Soluc¸a˜o: cos5xcos3x = 1 2 [cos8x+ cos2x]∫ sen5xsen2xdx = 1 2 ∫ [cos8x+ cos2x]dx = 1 4 [1 4 sen8x+ sen2x] + C 7.3 Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o Trigonome´trica a) A func¸a˜o integrando envolve √ a2 − u2. Neste caso usamos u = asenθ. Enta˜o du = acosθdθ. Supondo que −pi 2 ≤ θ ≤ pi 2 , temos√ a2 − u2 = √a2 − a2sen2θ = √ a2(1− sen2θ) = √ a2(cos2θ) = acosθ b) A func¸a˜o integrando envolve √ a2 + u2. Neste caso usamos u = atgθ. Enta˜o du = asec2θdθ. Supondo que −pi 2 < θ < pi 2 , temos√ a2 + u2 = √ a2 + a2tan2θ = √ a2(1 + tan2θ) = √ a2(sec2θ) = asecθ. c) A func¸a˜o integrando envolve √ u2 − a2. Neste caso usamos u = asecθ. Enta˜o du = asecθtanθdθ. Supondo que 0 ≤ θ < pi 2 ou pi ≤ θ < 3pi 2 , temos√ u2 − a2 = √a2sec2θ − a2 = √ a2(sec2θ − 1) = √ a2(tan2θ) = atanθ 7.3.1 Exemplos Calcular as integrais: 1) ∫ √9−x2 2x2 usamos x = 3senθ. Enta˜o dx = 3cosθdθ. Assim√ 9− x2 = 3cosθ, para −pi 2 ≤ θ ≤ pi 2 , logo,∫ √9−x2 2x2 = 1 2 ∫ 3cosθ 9sen2θ 3cosθdθ = 1 2 ∫ cotg2θdθ∫ √9−x2 2x2 = 1 2 ∫ (cosec2θ − 1)dθ = 1 2 (−cotgθ − θ) + C como θ = arcsenx 3 cotgθ = 9−x 2 x , Portanto,∫ √9−x2 2x2 dx = 1 2 (− √ 9−x2 x − arcsenx 3 ) + C 2) ∫ x2 3 √ x2+4 dx =√ x2 + 4 = 2secθ, para −pi 2 < θ < pi 2 Logo,∫ x2 3 √ x2+4 dx = 1 3 ∫ 4tan2θ 2secθ 2sec2θdθ = 4 3 ∫ tan2θsecθdθ∫ x2 3 √ x2+4 dx = 4 3 ∫ (sec3θ − secθ)dθ = 2 3 secθtanθ − 2 3 ln|secθ + tanθ|+ C∫ x2 3 √x2+4 dx = 1 6 x √ x2 + 4− 2 3 ln( √ x2 + 4 + x) +D onde D = C + 2 3 ln2 7.4 Problemas 35 problemas das pag 309-312. 7.5 Integrac¸a˜o de func¸o˜es Racionais por Frac¸o˜es Parciais Seja f(x) uma func¸a˜o racional definida como o quociente de duas func¸o˜es polinomiais, ou seja, 4 f(x) = p(x) q(x) onde p(x) e q(x) sa˜o polinoˆmios 7.5.1 Proposic¸a˜o Se p(x) e´ um polinoˆmio com coeficientes reais, p(x) pode ser expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadra´ticos, todos com coeficientes reais. 7.5.2 Exemplos 1) O polinomio q(x) = x2 − 3x + 2 pode ser escrito como o produto dos fatores lineares x− 2 e x− 1, ou seja, q(x) = (x− 2)(x− 1) 2) O polinomio q(x) = x3 − x2 + x − 1 pode ser expresso como o produto do fator linear x− 1 pelo fator quadra´tico irredut´ıvel x2 + 1, isto e´, q(x) = (x2 + 1)(x− 1) As diversas situac¸o˜es sera˜o exploradas nos exemplos. Caso 1 Os fatores de q(x) sa˜o lineares e distintos. Neste caso, podemos escrever q(x) na forma q(x) = (x− a1)(x− a2)...(x− an) onde os ai i = 1...n, sa˜o distintos dois a dois. A decomposic¸a˜o da func¸a˜o racional f(x) = p(x) q(x) em frac¸o˜es mais simples e´ dada por: f(x) = A1 x−a1 + A2 x−a2 + ...+ An x−an onde A1, A2, ...,An sa˜o constantes que devem ser determinadas 7.5.3 Exemplos 1) Calcular I = ∫ x−2 x3−3x2−x+3dx Soluc¸a˜o: Temos x−2 x3−3x2−x+3 = x−2 (x−1)(x+1)(x−3) = A1 x−1 + A2 x+1 + A3 x−3 . Pelo Me´todo de Heavidise determinamos A1, A2, A3. para x = 1 A1 = (x−2)(x−1) (x−1)(x+1)(x−3) = −1 (2)(−2) = 1 4 para x = −1 A2 = (x−2)(x+1)(x−1)(x+1)(x−3) = −3(−2)(−4) = −38 para x = 3 A3 = (x−2)(x−3) (x−1)(x+1)(x−3) = 1 (2)(4) = 1 8 Portanto, a decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais e´ dada por: x−2 (x−1)(x+1)(x−3) = 1/4 x−1 + −3/8 x+1 + 1/8 x−3 Enta˜o I = 1 4 ∫ dx x−1 − 38 ∫ dx x+1 + 1 8 ∫ dx x−3 I = 1 4 ln|x− 1| − 3 8 ln|x+ 1|+ 1 8 |x− 3|+ C 2) Calcular I = ∫ x−4 x3−3x2−x+3dx Soluc¸a˜o: Temos x−4 x3−3x2−x+3 = x−2 (x−1)(x+1)(x−3) = A1 x−1 + A2 x+1 + A3 x−3 . Pelo Me´todo de Heavidise determinamos A1, A2, A3. para x = 1 A1 = (x−4)(x−1) (x−1)(x+1)(x−3) = −3 (2)(−2) = 3 4 para x = −1 A2 = (x−4)(x+1)(x−1)(x+1)(x−3) = −5(−2)(−4) = −58 para x = 3 A3 = (x−4)(x−3) (x−1)(x+1)(x−3) = −1 (2)(4) = −1 8 Portanto, a decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais e´ dada por: x−2 (x−1)(x+1)(x−3) = 3/4 x−1 + −5/8 x+1 + −1/8 x−3 Enta˜o I = 3 4 ∫ dx x−1 − −58 ∫ dx x+1 + −1 8 ∫ dx x−3 I = 3 4 ln|x− 1| − −5 8 ln|x+ 1|+ −1 8 |x− 3|+ C Caso 3 Os fatores de q(x) sa˜o lineares e quadra´ticos irredut´ıveis, e os fatores quadra´ticos na˜o se repetem. 5 A cada fator quadra´tico x2 + bx+ c de q(x) correspondera´ uma frac¸a˜o parcial da forma Cx+D x2+bx+c 7.5.5 Exemplos 1) Calcular I = ∫ 2x2+5x+4 x3+x2+x−3 Soluc¸a˜o: Temos q(x) = (x− 1)(x2 + 2x+ 3). Assim 2x2+5x+4 x3+x2+x−3 = A x−1 + Cx+D x2+2x+3 Pelo me´todo de Heaviside: para x = 1 A = (2x 2+5x+4)(x−1) x3+x2+x−3 = 11 6 Eliminando os denominadores, vem o sistema A+ C = 2 2A− C +D = 5 3A−D = 4 Como A = 11 6 temos que C = 1 6 e D = 9 6 Portanto, 2x2+5x+4 x3+x2+x−3 = 1 6 1 x−1 + 1 6 x+9 x2+2x+3 e de essa forma I = 1 6 ∫ dx x−1 + 1 6 ∫ x+9 x2+2x+3 dx = 11 6 ln|x− 1|+ 1 6 I1 + C onde I1 = ∫ x+9 x2+2x+3 dx substituindo u = x+ 1 e x = u− 1 com dx = du I1 = ∫ x+9 x2+2x+3 dx = ∫ u−1+9 u2+2 du = udu u2+2 + 8 ∫ du u2+2 I1 = 1 2 ln(u2 + 2) + 8√ 2 arctg u√ 2 + C I1 = 1 2 ln(x2 + 2x+ 3) + 8√ 2 arctg x+1√ 2 + C Logo, I = 11 6 ln|x− 1|+ 1 6 [1 2 ln(x2 + 2x+ 3) + 8√ 2 arctg x+1√ 2 ] + C 7.6 Problemas pag:325-326. bf 7.7 Integrac¸a˜o de Func¸o˜es Racionais de Seno e Cosseno Usar a substituic¸a˜o: t = tg x 2 − pi < x < pi (4) Quando fazemos a substituic¸a˜o t = tg x 2 , podemos utilizar as fo´rmulas senx = 2t 1 + t2 ; cosx = 1− t2 1 + t2 e dx = 2dt 1 + t2 (5) Por isso, ela tambe´m e´ conhecida como a substituic¸a˜o universal para a integrac¸a˜o de ex- presso˜es trigonome´tricas. 7.7.1 Exemplos 1) Calcular I = ∫ dx 3+5cosx Fazendo x = tg t 2 e usando (5), vem I = ∫ 2dt 1+t2 3+5 1−t2 1+t2 6 I = − ∫ dt t2−4 Resolvendo esta integral pelo me´todo das frac¸o˜es parciais, vem I = − ∫ dt t2−4 = −[−14 ∫ dt t+2 + 1 4 dt t−2 ] I = 1 4 ln|t+ 2| − 1 4 ln|t− 2|+ C = 1 4 ln |t+2||t−2| + C Finalmente substituindo t = tg x 2 , obtemos I = 1 4 ln |tg x 2 +2| |tg x 2 −2| + C 7.8 Integrais Envolvendo Expresso˜es da Forma √ ax2 + bx+ c(a 6= 0) Algumas integrais que envolvem a expressa˜o √ ax2 + bx+ c podem ser resolvidas usando-se uma substituic¸a˜o conveniente. Podemos completar o quadrado do trinoˆmio ax2 + bx + c para visualizar a substuic¸a˜o. 7.8.1 Exemplos 1) Calcular I = ∫ dx√ x2+8x+15 Vamos completar o quadrado do trinomio x2 + 8x+ 15. Temos: x2 + 8x+ 15 = (x+ 4)2 − 1 Substituir u = x+ 4 e du = dx que transforma a integral I numa integral tabelada (ver6.1.10− (22)) Temos: I = ∫ du√ u2−1 = argcoshu+ C = ln|u+ √ u2 − 1|+ C Portanto, I = argcosh(x+ 4) + C = ln|x+ 4 +√x2 + 8x+ 15|+ C 2) Calcular I = ∫ dx√ x2+6x+8 Vamos completar o quadrado do trinomio x2 + 6x+ 8. Temos: x2 + 6x+ 8 = (x+ 3)2 − 1 Substituir u = x+ 3 e du = dx que transforma a integral I numa integral tabelada (ver6.1.10− (22)) Temos: I = ∫ du√ u2−1 = argcoshu+ C = ln|u+ √ u2 − 1|+ C Portanto, I = argcosh(x+ 3) + C = ln|x+ 3 +√x2 + 6x+ 8|+ C 3) Calcular I = ∫ dx√ x2+4x+3 Vamos completar o quadrado do trinomio x2 + 4x+ 3. Temos: x2 + 4x+ 3 = (x+ 2)2 − 1 Substituir u = x+ 2 e du = dx que transforma a integral I numa integral tabelada (ver6.1.10− (22)) Temos: I = ∫ du√ u2−1 = argcoshu+ C = ln|u+ √ u2 − 1|+ C Portanto, I = argcosh(x+ 2) + C = ln|x+ 2 +√x2 + 4x+ 3|+ C 7.9 Problemas Paginas 333-334. 7
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