Apostila Curso de Nivelamento Matemática

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Definição: representa uma coleção de objetos. 
 
A = O conjunto de todos os brasileiros. 
B = O conjunto de todos os números naturais. 
C = O conjunto de todos os números reais tal que: x² - 4 = 0. 
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.; 
 
Elemento: é um dos componentes de um conjunto. 
 
a) José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros. 
b) 1 é um elemento do conjunto dos números naturais. 
c) -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x² - 4 = 0. 
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, 
b, c, ..., z. 
 
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. 
 
a) José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros. 
b) O número 1 pertence ao conjunto dos números naturais. 
c) O numero - 2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x² - 4=0. 
 
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo  
que se lê: "pertence"; caso o elemento não pertença a esse conjunto utilizamos o símbolo  
que se lê: “não pertence” 
Para afirmar que o número 1 é um número natural ou que o número 1 pertence ao conjunto 
dos números naturais, assim podemos escrever que 1  N. 
Para afirmar que o número - 5 não é um número natural ou que o número - 5 não pertence 
ao conjunto dos números naturais, escrevemos: 0  N 
 
 
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Formas de Representação de Conjuntos 
 
Enumeração: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves {e}. 
 
A={a,e,i,o,u} 
N={1,2,3,4,...} 
M={João,Maria,José} 
 
Compreensão: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades. 
 
A={x/ x é uma vogal} 
N={x/ x é um número natural} 
M={x/ x é uma pessoa da família de Maria} 
 
Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente. 
 
 
Subconjuntos 
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A  B, se todos 
os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está 
propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, 
contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o 
conjunto B é o que contém A. 
 
Importante saber 
Na maioria dos livros didáticos no Brasil é 
adotada a filosofia da escola Americana que 
interpreta o zero como pertencente aos números 
Naturais, no entanto, para a escola Francesa o 
zero não pertence a este conjunto numérico. Para 
as provas do Enem, UERJ e outros vestibulares, 
usaremos sempre a interpretação da escola 
Americana. 
 
 
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Classificação de Conjuntos – Quanto à quantidade de elementos 
 
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por 
Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos. 
Conjunto unitário: É um conjunto que possui apenas 1 elemento. 
 
Conjunto finito: É um conjunto que podemos enumerar todos os seus elementos. 
 
Conjunto infinito: É um conjunto que “não” podemos enumerar todos os seus elementos. 
 
Operações entre Conjuntos 
A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao 
conjunto A ou ao conjunto B. 
A  B = { x / x  A ou x  B } 
Exemplo: Se A = {a, e, i, o} e B = {3, 4} então podemos afirmar A  B = {a, e, i, o, 3, 4}. 
 
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao 
conjunto A e ao conjunto B. 
A  B = { x / x  A e x B } 
Exemplo: Se A = {a, e, i, o, u} e B = {1, 2, 3, 4} então A  B = Ø; pois não existe 
nenhum elemento que pertence aos dois conjuntos ao mesmo tempo. 
 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem 
ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. 
A - B = {x / x  A e x  B} 
Importante saber 
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o 
conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são 
disjuntos. 
 
Importante saber 
Os principais símbolos de inclusão: 
 - Está contido 
 - Não está contido 
 - Contém 
Esses símbolos são utilizados para 
relacionarmos dois conjuntos. 
 
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Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como: 
 
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença 
entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao 
conjunto A e não pertencem ao conjunto B. 
CAB = A - B = {x / x  A e x  B} 
Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por: 
 
 
 
EXERCíCIOS 
 
01. Numa escola com 500 alunos, 300 praticam judô, 180 praticam karatê e 90 não 
praticam qualquer modalidade de arte marcial. O número de alunos que praticam apenas 
karatê é: 
 
(A) 60 
(B) 70 
(C) 110 
(D) 130 
(E) 180 
 
 
02. Sendo A = {2, 3, x, 5, 6} e B = {3, 4, 5, y, 7} e A  B = {3, x, 5, y}, então x e y 
valem, respectivamente: 
 
(A) 4 e 6 
(B) 6 e 14 
(C) 5 e 6 
(D) 4 e 5 
 
 
 
 
5 
 
03. Numa escola existem 195 alunos, 55 alunos estudam Física, 63 estudam Química e 100 
alunos não estudam nenhuma das duas matérias. Os alunos que estudam as duas matérias 
são: 
 
(A) 23 
(B) 2 
(C) 95 
(D) 32 
(E) 40 
 
 
04. Numa companhia de 496 alunos, 210 fazem natação, 260 musculação e 94 estão 
impossibilitados de fazer esportes. Neste caso, o número de alunos que fazem só natação é: 
 
(A) 116 
(B) 142 
(C) 166 
(D) 176 
(E) 194 
 
 
 
05. Sejam os conjuntos U = {1, 2, 3, 4} e A={1, 2}. O conjunto B tal que B  A = {1} e 
B U A = U é: 
 
(A) 0 
(B) {1} 
(C) {1,2} 
(D) {1,3,4} 
(E) U 
 
06. Dados os conjuntos  4,3,2,1A  ,  5,4,3B  e  5,2,1C  . Ao determinar o conjunto 
M, tal que:  4,3,2,1MA  ,  5,4,3MB  , BAMC   , podemos concluir que M 
é um conjunto: 
 
(A) vazio 
(B) que possui dois elementos 
(C) unitário 
(D) que possui três elementos 
 
 
 
 
6 
 
07. Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam 
voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e 
voleibol e 2 fazem os três esportes. Qual o valor de n, sabendo-se que todos os cadetes 
desse grupo praticam pelo menos um desses esportes? 
 
(A) 31 
(B) 37 
(C) 47 
(D) 51 
 
 
08. Entrevistando 100 oficiais da AFA, descobriu-se que 20 deles pilotam a aeronave 
TUCANO, 40 pilotam o helicóptero ESQUILO e 50 não são pilotos. Dos oficiais 
entrevistados, quantos pilotam o TUCANO e o ESQUILO? 
 
(A) 5 
(B) 10 
(C) 15 
(D) 20 
 
 
 
 
 
09. (EN_2008) Os 36 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova de 3 
questões para estabelecer a antiguidade militar. Sabendo que dentre estes alunos, 5 só 
acertaram a 1ª questão, 6 só acertaram a segunda, 7 só acertaram a terceira, 9 acertaram a 
primeira e a segunda, 10 acertaram a primeira e a terceira, 7 acertaram a segunda e a 
terceira e, 4 erraram todas as questões, podemos afirmar que o número de alunos que não 
acertaram todas as questões é igual a: 
 
(A) 6 
(B) 8 
(C) 26 
(D) 30 
(E) 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
 
 
Números Naturais 
Definição: Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos incluindo o 
zero. Representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar 
sempre entre chaves. 
 
Exemplo:N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,...} 
 
Números Inteiros 
Definição: é representado pela letra Z maiúscula. Os números positivos são representados 
com o sinal de (+) positivo na frente ou com sinal nenhum (+2 ou 2), já os números 
negativos são representados com o sinal de negativo (-) na sua frente (-2). 
 
Exemplo: Z={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5...} 
 
Aplicação: 
Inteiro é frequentemente um tipo primitivo em linguagem de programação normalmente com 1, 2, 4, ou 8 
bytes de comprimento (8, 16, 32, ou 64 bits). Observe, porem que um computador pode apenas representar 
um subconjunto dos inteiros com estes tipos, já que os inteiros são infinitos e uma quantidade de bits fixa 
limita a representação a um máximo de 2 à potência do número de bits (2
8
 para bytes, 2
32
 para 32-bit 
arquitecturas, etc). No entanto, o uso de técnicas de Inteligência Artificial permitem que computadores 
representem e raciocinem sobre o conjunto dos inteiros. 
Fonte: Wikipédia 
 
 
Números Racionais 
Importante saber 
O conjunto dos inteiros possui alguns 
subconjuntos, eles são: 
- Inteiros não negativos 
Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, …} 
- Inteiros não positivos 
Z- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
- Inteiros positivos 
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} 
Z*+ = N* 
- Inteiros não positivos e não nulos 
São todos os números do conjunto Z- excluindo 
o zero. Representa-se por Z*-. 
Z*- = {… -4, -3, -2, -1} 
 
 
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Definição: O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula. 
Pertencem a essa classe todos os números naturais, inteiros, e os números decimais, frações 
e etc... 
 
Exemplos: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 0,4444... = 4/9 
 
 
 
Números Irracionais 
Definição: O número irracional é aquele que não admite a representação em forma de 
fração (contrário dos números racionais) e também quando escrito na forma de decimal ele 
é um número infinito e não periódico. 
 
Exemplo: 0,232355525447... é infinito e não é dízima periódica (pois os algarismos depois 
da vírgula não repetem periodicamente), então é irracional. 
 
Exemplo: Se calcularmos em uma calculadora veremos que √2 , √3 , π são valores que 
representam números irracionais. 
 
 
 
Números Reais 
Definição: Para chegarmos ao estudo dos números reais, temos que ter passado pelos 
números: naturais, inteiros, racionais e irracionais. Pois o conjunto dos números reais é a 
união do conjunto dos racionais com os irracionais. Ele é representado por R maiúsculo. 
 
 
 
 
Importante saber 
Os números Racionais também podem ser 
interpretados como aqueles que podem ser 
escritos em forma de fração como destacamos 
nos exemplos anteriores. Matematicamente 
escrevemos assim: 
}0 e , com , |{  bZbZa
b
a
xxQ
 
 
...7320508,13
...4142135,12


 
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Diagrama de alguns subconjuntos dos Reais: 
 
 
Intervalos numéricos 
Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de números reais 
compreendidos entre p e q, podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites 
do intervalo, sendo a diferença p - q, chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo 
incluir p e q, o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCíCIOS 
 
10. Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F): 
 
( ) Z+ N 
( ) Z
*
+ N 
( ) Z – Z - = * 
( ) ( Z+ Z - )  N
*
 = N 
( ) Z – Z+ = Z – 
Assinale a seqüência correta: 
 
a) F – F – V – V – F 
b) F – F – V – V – V 
c) V – F – V – F – F 
d) V – F – V – V – F 
 
 
 
 
 
 
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11. Sendo a um número tal que a > 5 e a 9, os valores que a pode assumir são: 
 
(A) {5, 6, 7, 8, 9} 
(B) {6, 7, 8, 9} 
(C) {6, 7, 8} 
(D) {5, 6, 7, 8} 
 
12. O conjunto resultante da operação Z+ Z- é: 
 
(A) ø 
(B) Z 
(C) {0} 
(D) Z
* 
 
13. Seja a sucessão de números racionais: 
 
 
 
 
 
 , reescreva 
essa sucessão em ordem decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. Sejam os conjuntos U={1, 2, 3, 4} e A={1, 2}. O conjunto B tal que B  A = {1} e 
B U A = U é: 
 
(A) 0 
(B) {1} 
(C) {1,2} 
(D) {1,3,4} 
(E) U 
 
15. Assinale a alternativa FALSA. 
 
(A)  – IN = conjunto dos números inteiros negativos 
 
(B) Q –  = conjunto dos números racionais não-inteiros 
 
(C) =  
 
(D) * = conjunto dos números inteiros não nulos 
 
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16. Utilizando-se de arredondamento, os números 10,34 e 0,185 podem ser escritos com 
uma casa decimal, de tal forma que o produto de seus novos valores seja: 
 
(A) 22,6 
(B) 18,6 
(C) 2,06 
(D) 1,06 
 
 
 
 
 
 
 
Chamamos de potenciação, um número real a e um número natural n, com n ≠ 0,escrito na 
forma aⁿ. Observe o seguinte produto de fatores iguais. 
2 x 2 x 2 este produto pode ser escrito da seguinte forma, 2³ onde o número 3 representa 
quantas vezes o fator 2 esta sendo multiplicado por ele mesmo. 
 
 
 
Expoente informa quantas vezes o fator vai ser multiplicado por ele mesmo. 
 
Base informa o fator a ser repetido. 
 
Potência é o resultado desta operação 
 
2³ = lê-se, dois elevado a 3ª potencia ou dois elevado ao cubo. 
 
 
 
* Todo número elevado a expoente um é igual a ele mesmo. 
2¹ = 2, 3¹ = 3, 5¹ = 5, 6¹ = 6, 13¹ = 13, (1,2)¹ = 1,2 
 
* Todo número diferente de zero elevado a expoente zero é igual a um. 
4° = 1, 6° = 1, 8° = 1, 34° = 1, 26° = 1, (3,5)° = 1 
 
* Potências de base 1 
1° = 1, 1¹ = 1, 1² = 1, 1³ = 1, 1¹² = 1, toda potência de 1 é igual a 1. 
Importante saber 
 
 
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* Potências de base 10 
10° = 1, 10² = 100, 10³ = 1000, toda potência de 10 é igual ao número formado pelo 
algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente. 
 
 
PROPRIEDADES 
 
1ª) Multiplicação de potência de mesma base. 
Somamos os expoentes e conservamos a base, observe. 
2³ x 2² = 2³+² = 2
5
 = 32 
 
2ª) Divisão de potência de mesma base. 
Subtraímos os expoentes e conservamos a base, observe. 
2³ : 2² = 2
3 – 2 
= 2¹ = 2 
 
3ª) Potência de potência. 
Conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 
 (3²)² = 3²x² = 3 = 81 
 
[(3²)³]² = 3
2 x 3 x 2
 = 3¹² = 531441 
 
 
 
 
Potência com Expoente Negativo 
Não existe potência com expoente negativo, o que devemos fazer é inverter a base e 
transformar o expoente negativo em positivo, conforme exemplo a seguir: 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
 Uma potência que possui a sua base negativa e o seu expoente par terá um 
resultado positivo; 
 Uma potência que possui a sua base negativa e o seu expoente ímpar terá um 
resultado negativo 
 
 
 
 
 
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Radiciação é a operação inversa a potência. Define – se como sendo um número x que ao 
ser multiplicado por ele mesmo, resulta no núemro que está no lugar do radicando, 
lembrando que temos raiz quadrada, raiz cúbica, raiz quarta, raiz quinta e etc... 
 
 
 
 
 
Raiz de um número real 
 
1º caso: a > 0 e n é par. 
 
Vamos calcular a onde n = 2 (par) e a = 49 (número positivo). Sendo assim, temos 
que: ( - 7)² = 49 e (+ 7)² = 49; então dizemos que . 
 
 
2º caso: a > 0 e n é ímpar. 
 
Vamos calcular a 
 
 onde n = 3 (ímpar) e a = 125 (número positivo). Sendo assim, 
temos que: 5³ = 125; então dizemos que= 5. 
 
 
 
3º caso: a < 0 e n é ímpar. 
 
Vamos calcular a 
 
 onde n = 3 (ímpar) e a = - 8 (número negativo). Sendo assim, 
temos que: (- 2)³ = - 8; então dizemos que 
 
 = - 2. 
 
 
4º caso: a < 0 e n é par. 
 
Vamos calcular a onde n = 2 (par) e a = - 81 (número negativo). Sendo assim, temos 
que: ( - 9)² = 81 e (+ 9)² = 81; como podemos observar não existe um número que quando 
elevado ao quadrado tenha resultado negativo, logo essa raiz não existe. 
 
Encontrando raízes quadradas de números decimais 
Na sequência, darei alguns exemplos de extração de raízes quadradas de números decimais 
finitos e positivos, ou seja, os quocientes de divisões exatas. 
 
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Exemplo 1: Calcule em . 
 
Método I 
Pela definição, temos que encontrar um número a, tal que a² seja igual a 0,64. 
Tome 1² = 1 e 2² = 4. Veja que só pode ser menor 1. 
Como . Por simples especulação, tem-se: 
(0,5)² = 0,25. Como o resultado ficou abaixo do que estamos procurando, teremos que 
fazer uma nova tentativa, desta vez com um número um pouco maior. 
(0,7)² = 0,49. Este resultado ainda é menor do que o procurado. 
(0,8)² = 0,64. Portanto, = 0,8, pois (0,8)² = 0,64. 
 
Método II 
Pode-se ainda utilizar o método da conversão da raiz quadrada decimal na raiz de uma 
fração decimal – que por sinal é bem mais fácil de chegar ao resultado. Veja: 
 
 
Exemplo 2: Encontre no conjunto dos números racionais positivos. 
 
 
Método I 
Veja que se 1² = 1 e 2² = 4, então . 
Por simples especulação: 
(1,1)² = 1,21. Resultando distante do que estamos procurando. 
(1,2)² = 1,44. Resultado próximo, mas ainda não é o que procuramos. 
(1,3)² = 1,69. Portanto, podemos afirmar que , pois (1,3)² = 1,69. 
 
Método II 
Pelo método da fração decimal, temos: 
 
 
 
Propriedades 
 
As seguintes propriedades da função raiz quadrada são válidas para todos os números 
reais positivos x e y: 
 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
EXERCíCIOS 
 
 
17. Qual é o valor da expressão : 
 
a) 1024 
b) 512 
c) 256 
d) 2048 
e) 32 
 
 
18. O número √18 - √8 - √2 é igual a: 
 
a) √18 
b) √18 - √6 
c) √6 
d) 0 
e) 4 
 
19. O valor numérico da expressão: , para x = 12 e y = 3, é igual a: 
a) 0 
b) - 3 
c) 9 
d) - 9 
e) 3 
 
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20. Simplificando a expressão abaixo, qual o resultado teremos? 
 
 
 
 
 
a) 
b) 1,5 
c) 2,25 
d) 2 
e) 1 
 
 
 
21. (FUVEST-SP) Efetue a expressão 
3
3028
10
22 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22. (ESsA_1997) A expressão 
 
 
 é equivalente a: 
 
a. 1 + 
b. 
c. 
d. 
 
 
 
e. 
 
 
 
 
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23. (OBM) O valor de 4
4
.9
4
.4
9
.9
9
 é igual a: 
 
a. ( ) 13
13
 
b. ( ) 13
36
 
c. ( ) 36
13
 
d. ( ) 36
36
 
e. ( ) 1296
26
 
 
 
24. (CESP-SP) Desenvolvendo  2128  , obtemos o resultado 2ba  , com a e b 
racionais. Calcule a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Durante muito tempo, os números naturais eram os únicos números que o homem 
utilizava. Mas, com o passar do tempo, o homem foi encontrando situações mais difíceis 
para resolver. No antigo Egito, por exemplo, as terras próximas ao rio Nilo eram muito 
disputadas por isso os faraós tinham funcionários que mediam e demarcavam os terrenos. 
Eles usavam cordas com nós separados sempre pela mesma distância. Em muitos casos, 
principalmente para efetuar medições, precisou criar outros números que não fossem 
apenas os números naturais. Surgiram assim, os números fracionários ou racionais. 
Para representar os números fracionários foi criado um símbolo, que é a fração. Sendo a e 
b números racionais e b ≠ 0, indicamos a divisão de a por b com o símbolo a : b ou, ainda 
 
 
. 
Chamamos o símbolo a/b de fração. Assim, a fração 10/2 é igual a 10 : 2 Na fração a/b, a é 
o numerador e b é o denominador Efetuando, por exemplo, a divisão de 10 por 2, obtemos 
o quociente 5. Assim, 10/2 é um número natural, pois 10 é múltiplo de 2. 
 
18 
 
Mas efetuando a divisão de 3 por 4 não obtemos um número natural. Logo ¾ não é um 
número natural. A fração envolve a idéia de alguma coisa que foi dividida em partes 
iguais. 
 
Exemplo: 
Agenor comeu ¾ de uma barra de chocolate. Que quantidade de chocolate Agenor comeu? 
Que parte da barra de chocolate sobrou? 
 
Dividindo o chocolate em 4 partes, iguais temos; Agenor comeu ¾ , portanto sobrou ¼ 
 
 
 
LEITURA DE UMA FRAÇÃO 
 
Algumas frações recebem nomes especiais: as que têm denominadores 2,3,4,5,6,7,8,9 
 
½ um meio 
 
¼ um quarto 
 
1/6 um sexto 
 
1/8 um oitavo 
 
2/5 dois quintos 
 
9/8 nove oitavos 
 
1/3 um terço 
 
1/5 um quinto 
 
1/7 um sétimo 
 
1/9 um nono 
 
4/9 quatro nonos 
 
16/9 dezesseis nonos 
 
 
 
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as que tem denominadores 10, 100, 1000, etc............. 
 
1/10 um décimo 
 
1/100 um centésimo 
 
1/1000 um milésimo 
 
7/100 sete centésimos 
 
 
 
as decimais que são lidas acompanhadas da palavra avos : 
 
1/11 um onze avos 
 
7/120 sete cento e vinte avos 
 
4/13 quatro treze avos 
 
1/300 um trezentos avos 
 
5/19 cinco dezenove avos 
 
6/220 seis duzentos e vinte avos 
 
 
 
TIPOS DE FRAÇÕES 
 
a) Fração própria : é aquela cujo o numerador é menor que o denominador. 
Exemplos : 2/3, 4/7, 1/8 
 
b) Fração imprópria: é a fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador 
Exemplo: 3/2, 5/5 
 
c) Fração aparente: é a fração imprópria cujo o numerador é múltiplo do denominador 
Exemplo: 6/2, 19/19, 24/12, 7/7 
 
 
 
 
20 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS ABSOLUTOS (FRAÇÕES) 
 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
 
1°) Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de 
fração de denominadores iguais 
 
Conclusão: Somamos os numeradores e conservamos o denominador comum. 
 
Exemplo: 
 
a) 5/7 – 2/7 = 3/7 
 
b) 4/9 + 2/9 = 6/9 = 2/3 
 
c) 3/5 – 1/5 = 2/5 
 
 
2°) Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de 
fração de denominadores diferentes. 
 
Conclusão: Quando os denominadores são diferentes fazemos o m.m.c. dos 
denominadores. 
 
Exemplo: 
 
a) 2/3 +1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6 
 
b) 2/3 – ¼ = 8/12 – 3/12 = 5/12 
 
 
MULTIPLICAÇÃO 
 
Vamos Calcular : 2/3 x 4/5 = 8/15 
 
Conclusão : multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si 
 
Exemplo: 
 
a) 4/7 x 3/5 = 12/35 
 
b) 5/6 x 3/7 = 15//42 = 5/14 simplificando 
 
21 
 
 
DIVISÃO 
 
Vamos calcular ½ : 1/6 
 
Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira fração pela inversa da 
segunda. 
 
Assim: ½ : 1/6 = ½ x 6/1 = 6/2 = 3 
 
Exemplos: 
 
a) 2/3 : 5/2 = 2/3 x 2/5 = 4/15 
 
b) 7/9 : 1/5 = 7/9 x 5/1 = 35//9 
 
c) 3/7 : 4 = 3/7 x ¼ = 3/28 
 
 
 
POTENCIAÇÃO 
 
Vamos calcular a potência (2/5)³= 2/5 x 2/5 x 2/5 = 8/125 
 
Conclusão: para elevar uma fraçãoa um expoente, elevam-se o numerador e o 
denominador da fração desse expoente. 
 
Exemplo 
 
a) (5/7)² = 5²/ 7² = 25/49 
 
1) Toda fração de expoente 1 dá como resultado a própria fração 
Exemplo: (3/8)¹ = 3/8 
 
2) Toda a fração elevada ao expoente zero dá como resultado o número 1 
Exemplo : (3/4)⁰ = 1 
 
 
RAIZ QUADRADA DE NÚMEROS RACIONAIS (FRAÇÃO) 
 
Sabemos que : 
 
 
22 
 
 
√25 = 5 
√49 = 7 
√25/49 = 5/7 
 
Conclusão: Para extrair a raiz quadrada de um número fracionário, extraem-se a raiz 
quadrada do numerador e a raiz quadrada do denominador. 
 
Exemplos: 
 
a) √4/9 = 2/3 
 
b) √1/36 = 1/6 
 
 
 
EXPRESSÕES COM NÚMEROS RACIONAIS 
 
As expressões com números racionais devem ser resolvidas obedecendo à seguinte ordem 
de operações: 
 
1°) Potenciação e Radiciação 
2°) Multiplicação e Divisão 
3°) Adição e subtração 
 
Essas operações são realizadas eliminando: 
 
1°) Parênteses 
2°) Colchetes 
3°) Chaves 
 
 
Exemplos: 
 
1) 1/5 + 4/5 x 1/3 = 
 1/5 + 4/15 = 
 3/15 + 4/15 = 
 7/15 
 
2) (3/5)² + 2/5 x ½ = 
 9/25 + 2/10 = 
 18/50 + 10/50 = 
 = 28/50 ou 14/25 
 
23 
 
 
3) ( 4 + ½ ) – 1/5 : 2/3 = 
 ( 8/2 + ½ ) – 1/5 : 2/3 = 
 9/2 – 1/5 : 2/3 = 
 9/2 – 1/5 x 3/2 = 
 9/2 – 3/10 = 
 45/10 – 3/10 = 
 = 42/10 ou 21/5 
 
 
PROBLEMAS COM NÚMEROS RACIONAIS 
 
Os problemas com números racionais absolutos são geralmente resolvidos da seguinte 
forma : 
 
 
1°) Encontrando o valor de uma unidade fracionária 
 
2°) obtendo o valor correspondente da fração solicitada 
 
Exemplo: 
 
Eu tenho 60 fichas, meu irmão tem ¾ dessa quantidade. Quantas fichas tem o meu irmão ? 
60 x ¾ = 180/4 = 45 
R: O meu irmão tem 45 fichas 
 
 
EXERCICIOS 
 
1) Determine 2/3 de R$ 1200,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Numa caixa existem 80 bombons. Calcule 2/5 desses bombons. 
 
 
 
 
 
24 
 
 
 
 
 
3) O comprimento de uma peça de tecido é de 42 metros. Quanto medem 3/7 dessa peça? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Um automóvel percorreu 3/5 de uma estrada de 600 km. Quantos quilômetros 
percorreu? 
 
 
 
 
 
 
 
5) Numa viagem de 72 km, já foram percorridos ¾ . Quantos quilômetros já foram 
percorridos? 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMEROS DECIMAIS / FRAÇÃO DECIMAL 
 
Chama-se fração decimal toda fração cujo denominador é 10 ou potência de 10 ex 10, 100, 
100...como: 
 
a) 7/10 
 
b) 3/100 
 
 
25 
 
c) 27/1000 
NÚMEROS DECIMAIS 
 
a) 7/10 = 0,7 
 
b) 3/100 = 0,03 
 
c) 27/1000 = 0,027 
 
 
Nos números decimais , a vírgula separa a parte inteira da parte decimal. 
 
 
 
 
 
LEITURA DO NÚMERO DECIMAL 
 
Para ler um, número decimal, procedemos do seguinte modo: 
 
1°) Lêem -se os inteiros 
 
2°) Lê-se a parte decimal, seguida da palavra: 
 
décimos - se houver uma casa decimal 
centésimos - se houver duas casas decimais 
milésimos - se houver três casas decimais 
 
Exemplos: 
 
a) 5,3 - lê-se cinco inteiros e três décimos 
 
b) 1,34 - lê-se um inteiro e trinta e quatro centésimos 
 
c) 12,007 - lê-se doze inteiros e sete milésimos 
 
quando a parte inteira for zero, lê-se apenas a parte decimal 
 
a) 0,4 - lê-se quatro décimos 
 
b) 0,38 - lê-se trinta e oito centésimos 
 
 
 
26 
 
TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO DECIMAL EM NÚMERO DECIMAL 
 
Para transformar uma fração decimal em número decimal, escrevemos o numerador e 
separamos, à direita da virgula, tantas casas quanto são os zeros do denominador 
Exemplos: 
 
a) 42/10 = 4,2 
 
b) 135/100 = 1,35 
 
c) 135/1000 = 0,135 
 
Quando a quantidade de algarismos do numerador não for suficiente para colocar a vírgula, 
acrescentamos zeros à esquerda do número. 
 
 
Exemplos: 
 
a) 29/1000 = 0,029 
 
b) 7/1000 = 0,007 
 
 
 
TRANSFORMAÇÃO DE NÚMERO DECIMAL EM FRAÇÃO 
 
Procedimentos: 
 
1) O numerador é um número decimal sem a virgula 
 
2) O denominador é o número 1 acompanhado de tantos zeros quantos forem os algarismos 
do número decimal depois da vírgula. 
 
Exemplos: 
 
a) 0,7 = 7/10 
 
b) 8,34 = 834 /100 
 
c) 0,005 = 5/ 1000 
 
 
 
 
27 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
 
Colocamos vírgula debaixo de vírgula e operamos como se fossem números naturais. 
 
Exemplos 
 
1) Efetuar 2,64 + 5,19 
 
2,64 
5,19 + 
---- 
7,83 
 
2) Efetuar 8,42 - 5,61 
 
8,42 
5,61 – 
---- 
2,81 
 
 
Se o número de casas depois da virgula for diferente, igualamos com zeros à direita 
 
3) Efetuar 2,7 + 5 + 0,42 
 
2,70 
5,00 + 
0,42 
---- 
8,12 
 
4) efetuar 4,2 - 2,53 
 
4,20 
2,53 – 
------ 
1,67 
 
 
 
28 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS 
 
Multiplicamos os números decimais como se fossem números naturais. O números de 
casas decimais do produto é igual a soma do número de casas decimais dos fatores. 
 
Exemplos 
 
1) efetuar 2,45 x 3,2 
 
2,46 
X 3,2 
----- 
7,872 
 
 
2) efetuar 0,27 x 0,003 
 
0,27 
X 0,003 
------- 
0,00081 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO POR POTENCIA DE 10 
 
Para multiplicar por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vírgula para a direita, uma, duas, 
três, etc casas decimais. 
 
Exemplos: 
 
a) 3,785 x 10 = 37,85 
 
b) 3,785 x 100 = 378,5 
 
c) 3,785 x 1000 = 3785 
 
d) 0,0928 x 100 = 9,28 
 
 
 
 
29 
 
 
DIVISÃO 
 
Igualamos as casas decimais do dividendo e do divisor e dividimos como se fossem 
números naturais. 
 
Exemplos 
 
1) efetuar 17,568 : 7,32 
Igualando as casas decimais fica : 17568 : 7320 = 2,4 
 
 
2) Efetuar 12,27 : 3 
Igualando as casas decimais fica: 1227 : 300 = 4,09 
 
 
 
DIVISÃO POR POTÊNCIA DE 10 
 
Para dividir por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda, uma, duas três, 
etc casas decimais. 
 
Exemplos 
 
a) 379,4 : 10 = 37,94 
 
b) 379,4 : 100 = 3,794 
 
c) 379,4 : 1000 = 0,3794 
 
d) 42,5 ; 1000 = 0,0425 
 
 
 
POTENCIAÇÃO 
 
A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. 
 
Exemplos: 
 
1) (1,5)² = 1,5 x 1,5 = 2,25 
 
2) (0,4)³ = 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064 
 
30 
 
 
 
Vamos lembrar que: são válidas as convenções para os expoentes um e zero. 
 
Exemplos: 
 
1) (7,53)¹ = 7,53 
 
2) ( 2,85)⁰ = 1 
 
 
 
TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÕES EM NÚMEROS DECIMAIS 
 
Para transformar uma fração em números decimais, basta dividir o numerador pelo 
denominador (obs o numerador é o números de cima da fração e o denominador o números 
debaixo). 
 
Exemplos 
 
transformar em números decimais as frações irredutíveis 
 
1) 5/4 = 5 : 4 = 1,25 que será um, número decimal exato 
 
2) 7/9 = 7 : 9 = 0,777... é uma dizima periódica simples 
 
3) 5/6 = 5: 6 = 0,8333...... é uma dizima periódica composta 
 
 
outros exemplos 
 
a) 4,666... dízima periódica simples (período 6) 
 
b) 2,1818....dízima periódica simples (período 18) 
 
c) 0,3535.... dízima periódica simples (período 35) 
 
d) 0,8777.... dízima periódica composta (período 7 e parte não periódica 8) 
 
e) 5,413333.... dízima periódica composta (período 3 eparte não periódica 41) 
 
 
 
 
31 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
25. Qual é a fração aparente? 
 
a) 1/2 
b) 8/3 
c) 3/10 
d) 9/3 
e) 16/48 
 
 
 
 
26. Um edifício A tem 27,6 metros de altura, enquanto um edifício B tem 27,45 metros de 
altura. Qual dos dois edifícios é mais alto? Por quê? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27. Dado o número decimal, diga a que fração corresponde: 
a) 0,566 = 
 
b) 0,13 = 
 
c) 0,00098 = 
 
d) 0,077 = 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
28. Resolva as operações abaixo: 
 
a) 4/9 + 5/9 = 
 
 
b) 2/6 + 1/6 + 2/6 = 
 
 
c) 2/7 + 4/7 + 6/7 = 
 
 
 
d) 2/5 + 3/4 + 5/8 = 
 
 
 
e) 2/3 + 5 = 
 
 
 
f) 15/2 – 3/2 = 
 
 
 
g) 7/9 – 4/9 = 
 
 
 
h) 9/4 –2/4 – 4/4 = 
 
 
 
i) 120 . 2/3 = 
 
 
 
j) 18 . ¾ = 
 
 
 
k) 5 x ¾ = 
 
 
 
33 
 
 
l) 12 : 21/2 = 
 
 
 
m) 2 : 9/2 = 
 
 
 
n) 3/4 : 21 = 
 
 
 
o) 5/9 : 10 = 
 
 
 
p) 3/7 : 5 = 
 
 
29. (Saresp – SP) A figura abaixo representa um pomar onde estão plantados vários tipos 
de frutas: 
 
 maçãs peras bananas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
É correto afirmar que: 
 
a) 0,01 são maçãs, 0,013 são pêras e 0,020 são bananas; 
b) 0,10 são maçãs, 0,13 são pêras e 0,20 são bananas; 
c) 10,0 são maçãs, 13,0 são pêras e 20,0 são bananas; 
d) 1,10 são maçãs, 1,13 são pêras e 1,20 são bananas. 
 
 
30. A capacidade total de uma piscina é de 720.000 litros. A piscina está cheia até os seus 
3/5. Quantos litros tem a piscina, no momento? 
 
 
 
 
 
31. Da quantia que recebo mensalmente, aplico 2/5 em caderneta de poupança, que 
corresponde a uma aplicação de R$ 100.000,00. Qual é a quantia que recebo mensalmente? 
 
 
 
 
 
32. Numa prova de Matemática, Júnior acertou 18 questões, que corresponde a 3/5 do 
número total de questões da prova. Quantas questões havia na prova? 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
33. Um aluno já fez 4/7 do número de exercícios de Matemática que devem ser feitos 
como tarefa. Restam, ainda, 6 exercícios para serem feitos. Quantos exercícios foram 
dados na tarefa? 
 
 
 
 
 
34. Um automóvel já percorreu 5/8 da distância entre São Paulo e Rio de Janeiro. Restam, 
ainda, para percorrer, 150 km. Qual é a distância entre São Paulo e Rio de janeiro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
35. Na eleição para a diretoria de um clube, 1/3 dos sócios votou na chapa A, 1/5 dos 
sócios na chapa B, e 210 sócios votaram na chapa C. Quantos sócios votaram na eleição? 
 
 
 
 
 
 
36. Fiz um empréstimo para pagar em três meses. No primeiro, devo pagar 1/3 do 
empréstimo; no segundo, devo pagar 1/4 do empréstimo, e no terceiro devo pagar R$ 
40,000. Qual foi a quantia que tomei emprestada? 
 
 
 
 
 
36 
 
 
37. Sônia tinha uma certa quantia. Da quantia, gastou 2/5 no supermercado e 1/3 no 
açougue. Deste modo, já gastou R$ 330,00. Qual é a quantia que Sônia possuía antes das 
compras? 
 
 
 
 
 
 
38. De uma mesma peça de tecido, um comerciante vendeu 1/4 para um freguês A e, a 
seguir, mais 1/3 para um freguês B. Desse modo, o comerciante já vendeu 14 metros da 
peça. Qual é o comprimento da peça? 
 
 
 
 
 
39. A quantia que recebo como mesada é R$ 80.000,00. Da quantia, deposito 2/5 em 
caderneta de poupança. Qual é quantia que deposito na poupança? 
 
 
 
 
 
 
 
40. Uma prova de matemática contém 50 questões. Um aluno acertou 7/10 das questões. 
Quantas questões o aluno acertou? 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
 
 
 
O conceito de razão é a forma mais comum e prática de fazer a comparação relativa entre 
duas grandezas. Ao dividir uma grandeza por outra, estamos comparando a primeira com a 
segunda, que passa a ser a base da comparação. 
Por exemplo, se a área de um retângulo mede 300 cm² e a área de um outro retângulo mede 
210 cm², ao fazermos a razão das áreas, temos: 
 
 
 
 
 
 
Estamos calculando o quanto a área menor representa da maior. Em outras palavras, a área 
menor representa 0,7, ou 70%, da área maior. Isso é uma comparação muito significativa e 
fácil de ser feita. 
 
RAZÃO 
 
Dados dois números reais a e b, com b diferente de zero, chamamos de razão entre a e 
b ao quociente a.b = k. 
 
Observe que k é um número real. O numerador a chamamos de antecedente, e o 
denominador b chamamos de consequente dessa razão (lê-se “a está para b”). A razão 
k indica o valor do número a quando comparado ao número b, tomando-o como unidade. 
 
Exemplo: Uma escola tem 1200 m² de área construída e 3000 m² de área livre. A razão da 
área construída para a área livre é: 
 
A) 6/5 
 
B) 3/5 
 
C) 4/5 
 
D) 1/10 
 
E) 2/5 
 
Solução: 
Razão 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
Isso significa que a área construída representa 2 / 5 = 0,4,ou 40%, da área livre. 
 
APLICAÇÕES DO CONCEITO DE RAZÃO 
 
Escala. 
Ao compararmos mapas com os lugares a serem representados por eles, representamos as 
distâncias em escala menor que a real. O conceito é dado pela seguinte razão: 
 
Escala = medida no mapa / medida real; (ambos na mesma unidade de medida). 
 
Exemplo: a escala da planta de um terreno na qual o comprimento de 60 metros foi 
representado por um segmento de 3 cm é: 
 
A) 1 : 10.000 
 
B) 1 : 2.000 
 
C) 1 : 3.000 
 
D) 1 : 6.000 
 
E) 1 : 4.000 
 
Solução 
Primeiramente, transformamos os 60 m para centímetros, para trabalharmos no mesmo 
sistema de unidades: 
60 m = 60⋅100 cm = 6000 cm 
Portanto, a Escala = 3cm / 6000cm = 1 / 2000 = 1: 2000 (letra B) 
 
 
Velocidade Média. 
É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. A velocidade média será 
sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades escolhidas para calcular 
distância e tempo. Alguns exemplos de unidades para a velocidade média são km/h, m/s, 
cm/s etc. 
 
Velocidade média = distância percorrida / tempo total de percurso 
 
Exemplo: A distância entre as cidades do Rio de Janeiro e São Paulo é de, 
aproximadamente, 400 km. Um carro levou 5 horas para percorrer esse trajeto. Determine 
sua a velocidade média. 
 
Solução 
 
39 
 
Velocidade distância percorrida / tempo total de percurso = 
400km / 5h = 80 km/h 
 
O significado desse valor é que a cada hora o carro percorreu, aproximadamente, 80 km. 
 
 
Densidade. 
A densidade de um corpo é a razão entre a sua massa e o seu volume. A densidade também 
será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades escolhidas para 
medir a massa e o volume. Alguns exemplos de unidades para a densidades são g/cm³, 
kg/m³ etc. 
Densidade = massa / volume = m / v 
 
Exemplo: Uma quantidade de óleo de cozinha ocupava completamente uma jarra com 1 
litro de volume. Sabe-se que a densidade do óleo é de, aproximadamente, 0,86 g/cm³. 
Determine a massa do óleo, em gramas. 
 
Solução 
Como a densidade é dada em g/cm³, isso significa que o volume deve ser dado em cm³. 
Assim, fazendo a conversão, 1l = 1 dm³ = 1000 cm³. 
Daí, densidade = massa / volume⇒ 0,86 = m/ 1000⇒ m = 0,86⋅1000 = 860 g 
Portanto, a massa de óleo contida na jarra é de 860 g. 
 
 
PROPORÇÃO 
 
Chamamos de proporção a igualdade de duas razões. 
 
 
 
 
 
 (também escrito por ), onde são 
números reais com diferentes de zero. O número k é o que chamamos de constante 
da proporção (Lê-se “ está para assim como está para ). 
O antecedente da primeira razão ( ) e o consequente da segunda ( ) são chamados 
de extremos, enquanto o consequente da primeira razão ( ) e o antecedente da segunda 
razão ( ) são chamados de meios. Os nomes são sugestivos quando consideramos a 
segunda forma de expressar a proporção ( ) 
 
Propriedade fundamental da proporção 
 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. O que denotamos por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
 
 
Exemplo: 
(ENEM_2012) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos 
e utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de 
água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, 
conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). 
Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária 
não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária 
ecológica? 
 
A) 24 litros 
B) 36 litros 
C) 40 litros 
D) 42 litros 
E) 50 litros 
 
Solução: Chamando de “x” o número de litros de água despejados pela bacia ecológica. 
Daí, 
 
 
 
 litros. 
Logo, podemos afirmar que a economia será de 60 – 24 = 36 litros. (letra B) 
 
EXERCÍCIOS 
 
41. Numa prova de 50 questões, acertei 35, deixei cinco em branco e errei as demais. Qual 
é a razão do número de questões certas para o número de questões erradas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
42. Paula resolveu 20 problemas de matemática e acertou 18. Roberta resolveu 30 e 
acertou 24. Quem apresentou melhor desempenho? 
 
 
 
 
 
41 
 
 
43. Um produto custa R$ 7,00 para ser fabricado e é vendido por R$ 21,00. Determine a 
razão do lucro para o preço de venda. Explique o que isto significa. 
 
 
 
 
 
 
 
44. Num regime Marta emagreceu 2 kg em 30 dias e Rosa emagreceu 6 kg em 3 meses. 
Quem teve melhor desempenho no regime? 
 
 
 
 
 
 
 
 
45. Numa sala há 58 alunos, se 23 são homens, a razão entre o número de homens e 
mulheres é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46. Calcule o valor de x e y, sabendo que x está para y, assim como 12 está para 9 e que a 
soma deles é igual a 7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
47. (UFLA) Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, 
respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da firma 
acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes 
diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sócio receberá, respectivamente: 
 
a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00 
b) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00 
c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00 
d) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00 
e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00 
 
 
 
 
 
 
Alguns assuntos básicos são pré-requisitos para o estudo de funções. São eles plano 
cartesiano, produto cartesiano e relações. 
 
Plano Cartesiano 
 
O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que 
se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é 
o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os 
números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal. 
 
 
Cada ponto P = (a, b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, 
indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado 
representa as coordenadas de um ponto. 
O primeiro número indica a medida do deslocamento a partir da origem para a direita (se 
positivo) ou para a esquerda (se negativo). 
 
 
43 
 
O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou 
para baixo (se negativo). Observe no desenho que: (a, b) (b, a) se a b. 
Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes, sendo que tais 
eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus). Os 
nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti-horário, conforme a figura, com as 
cores da bandeira do Brasil. 
Segundo Quadrante Primeiro Quadrante 
Terceiro Quadrante Quarto Quadrante 
 
Produto Cartesiano 
Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, 
denotado por A x B, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x 
pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B. 
A x B = {(x, y): x  A e y  B} 
Observe que A x B B x A, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por 
definição: A x Ø = Ø = Ø x B. 
Se A possui m elementos e B possui n elementos, então 
A x B possui m x n elementos. 
Exemplo: Dados A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3}, o produto cartesiano A x B, terá 12 pares 
ordenados e será dado por: A x B = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3), 
(d,1), (d,2), (d,3)} 
 
 
 
 
Vamos estudar o conceito de função observando as relações seguintes e analisando se é 
apenas uma relação ou se é uma função: 
 
Importante saber 
 
Já a relação basta perceber que todas serão 
formadas como subconjuntos de produtos 
cartesianos !!!! 
 
 
44 
 
 
 
Exemplo 1: R1 = {(x; y) A X B / y = x - 1}com A = {1,2,3,4} e B = {1,2,3,4,5,6} 
 
 
 
Concluímos que R1 = {(2,1), (3,2), (4,3)}. 
Observando o conjunto A, percebemos que o elemento 1 não está ligado a nenhum 
elemento do conjunto B, com isso essa relação não é uma função. 
Domínio (R1) = {2, 3, 4} e Imagem (R1) = {1, 2, 3} 
 
 
 
Exemplo 2: R2 = {(x; y) A x B / y² = x}com A = {0,1,4,9} e B = {-2,0,1,2,3} 
 
 
Concluímos que R2 = {(0,0), (1,1), (4,2), (9,3), (4,-2)}. Observando o conjunto A e o 
elemento 4, percebemos que ele está relacionado com dois elementos do conjunto B, como 
isso a relação R2 não é uma função. 
 
 
 
 
 
Importante saber 
 
O Domínio de uma função é sempre o conjunto 
de partida da relação. E o conjunto imagem é 
composto por elementos do conjunto de 
chegada que recebem seta. 
 
 
45 
 
Exemplo 3: R3 = {(x; y) A x B / y = x + 4}com A = {1,2,3,4} e B = {5,6,7,8,9,10} 
 
 
 
Concluímos que R3 = {(1,5), (2,6), (3,7), (4,8)}. Observando o conjunto A percebemos que 
todos os seus elementos estão ligados apenas a um elemento do conjunto B, com isso a 
relação R3 é uma função. 
Domínio (R3) = A 
Imagem (R3) = {5,6,7,8} 
 
 
 
48. (EEAR_2008) Ao comparar o valor de f(1) e f(-1) da função 
 , obtém – se: 
 
(A) f(1) < f(-1) 
(B) f(1) = f(-1) 
(C) f(1) > 2f(-1) 
(D) f(1) = 2f(-1) 
 
 
 
49. (EEAR/2001) Dois números, x e y, estão relacionados da seguinte forma: "a cada 
número x corresponde um único número y, que é o dobro do quadrado de x menos 8 
unidades". Nessas condições, é falso afirmar que: 
 
(A) y é função de x 
(B) se y = 32, x = 
(C) se x = , y = 18 
(D) x = é função de y 
Importante saber 
 
De modo geral,dados dois conjuntos, A e B, e 
uma relação f de A em B, dizemos que f é uma 
aplicação ou função de A em B se, e somente se, 
para todo x A existe um único y B, de modo 
que (x , y) f. 
 
 
46 
 
50. (EFOMM/2006) Dados A = {2, 3, 4} e B = {1, 6, 8, 12}, a relação R1 = {(x, y)A x B 
/ y = x+4} de A em B é dada por: 
 
(A) {(3,6), (4,8)} 
(B) {(2,6), (4,8)} 
(C) {(6,2), (8,4)} 
(D) {(2,6), (3,12), (4,8)} 
(E) {(2,1), (3,6), (4,8)} 
 
 
 
Função Sobrejetora 
 
Vamos analisar o diagrama de flechas ao lado: 
Como sabemos o conjunto A é o domínio da função e o conjunto B é o 
seu contradomínio. 
É do nosso conhecimento que o conjunto imagem é o conjunto formado por todos os 
elementos do contradomínio que estão associados a pelo menos um elemento 
do domínio e neste nosso exemplo, todos os elementos de B estão associados a pelo menos 
um elemento de A, logo nesta função o contradomínio é igual ao conjunto imagem. 
Classificamos como sobrejetora as funções que possuem o contradomínio igual 
ao conjunto imagem. 
Note que em uma função sobrejetora não existem elementos no contradomínio que não 
estão flechados por algum elemento do domínio. 
Nesta função de exemplo temos: 
Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 } 
Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 } 
Conjunto Imagem: Im(f) = { 12, 3, 27 } 
Esta função é definida por: 
 
Substituindo a variável independente x, de 3x
2
, por qualquer elemento de A, iremos obter o 
elemento de B ao qual ele está associado, isto é, obteremos f(x). 
Do que será explicado a seguir, poderemos concluir que embora esta função 
seja sobrejetora, ela não é uma função injetora. 
 
 
 
 
47 
 
Função Injetora 
 
Vejamos agora este outro diagrama de flechas: 
Podemos notar que nem todos os elementos de B estão associados aos elementos de A, isto 
é, nesta função o conjunto imagem difere docontradomínio, portanto esta não é 
uma função sobrejetora. 
Além disto podemos notar que esta função tem uma outra característica distinta da função 
anterior. 
Veja que não há nenhum elemento em B que está associado a mais de um elemento de A, 
ou seja, não há em Bqualquer elemento com mais de uma flechada. Em outras palavras não 
há mais de um elemento distinto de A com a mesma imagem em B. 
Nesta função temos: 
Domínio: D(f) = { 0, 1, 2 } 
Contradomínio: CD(f) = { 1, 2, 3, 5 } 
Conjunto Imagem: Im(f) = { 1, 3, 5 } 
Definimos esta função por: 
 
Veja que não há no D(f) qualquer elemento que substituindo x em 2x + 1, nos permita 
obter o elemento 2 do CD(f), isto é, o elemento 2 do CD(f) não é elemento da Im(f). 
 
 
Função Bijetora 
 
Na explicação do último tipo de função vamos analisar este outrodiagrama de flechas: 
Do explicado até aqui concluímos que este é o diagrama de uma função sobrejetora, pois 
não há elementos em B que não foram flechados. 
Concluímos também que esta é uma função injetora, já que todos os elementos 
de B recebem uma única flechada. 
Esta função tem: 
Domínio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 } 
Contradomínio: CD(f) = { 4, 0, -4, -8 } 
 
48 
 
Conjunto Imagem: Im(f) = { 4, 0, -4, -8 } 
Esta função é definida por: 
 
Ao substituirmos x em -4x, por cada um dos elementos de A, iremos encontrar os 
respectivos elementos de B, sem que sobrem elementos em CD(f) e sem que haja mais de 
um elemento do D(f) com a mesma Im(f). 
Funções que como esta são tanto sobrejetora, quanto injetora, são classificadas 
como funções bijetoras. 
 
51.(EEAR/2005) Se 
 
 
 
 
 
 
 define uma função , então 
 
(A) f é apenas injetora. 
(B) f é bijetora. 
(C) f não é injetora, nem sobrejetora. 
(D) f é apenas sobrejetora. 
 
 
FORMA ALGÉBRICA DE UMA FUNÇÃO 
 
Na Matemática, o conceito de função é inteiramente ligado às questões de dependência 
entre duas grandezas variáveis. Toda função possui uma lei de formação algébrica que 
relaciona dois ou mais conjuntos através de cálculos matemáticos. 
Por exemplo, podemos estabelecer uma relação de dependência entre o preço do litro do 
combustível e a quantidade de litros usados no abastecimento de um carro. Suponhamos 
que o preço do litro de gasolina seja R$ 2,50, dessa forma, podemos determinar a seguinte 
função y = 2,5.x, que determina o preço a pagar y em decorrência da quantidade de litros 
abastecidos x. 
A partir dessa função podemos construir a seguinte tabela de valores: 
 
 
 
49 
 
 
Toda situação problema envolvendo relações entre grandezas, é determinada por uma lei 
de formação algébrica. Observe mais um problema relacionado a uma situação cotidiana. 
Numa viagem, um automóvel mantém uma velocidade constante de 60 km/h. Com o 
passar do tempo, esse veículo irá percorrer uma determinada distância. De tal modo, 
podemos determinar a distância percorrida pelo veículo relacionando a velocidade média e 
o tempo do movimento utilizando a seguinte expressão matemática, D = V * t, onde D: 
distância, V: velocidade média e t: tempo. Observe a tabela de valores para essa função: 
 
Observe que nesse caso a variável dependente é a velocidade e a variável independente é o 
tempo. 
As funções possuem grande aplicabilidade nas situações em geral relacionadas ao ensino 
da Matemática. Utilizamos funções na Administração, na Economia, na Física, na 
Química, na Engenharia, nas Finanças, entre outras áreas do conhecimento. 
Observe o exemplo: 
Uma indústria de brinquedos possui um custo mensal de produção equivalente a R$ 
5.000,00 mais R$ 3,00 reais por brinquedo produzido. Determine a lei de formação dessa 
função e o valor do custo na produção de 2.000 peças. 
A lei de formação será formada por uma parte fixa e outra variável. Observe: 
C = 5000 + 3 * p, onde C: custo da produção e p: o número de brinquedos produzidos. 
Como serão produzidos 2.000 brinquedos temos: 
C = 5000 + 3 * 2000 
C = 5000 + 6000 
C = 11.000 
O custo na produção de 2.000 brinquedos será de R$ 11.000,00. 
 
De uma maneira geral, podemos escrever toda função do primeiro grau na sua forma 
algébrica: 
 
 
 
 
50 
 
FUNÇÃO AFIM 
 
Para a confecção de apostilas uma gráfica cobra um valor de R$ 5,00 referentes ao custo da 
capa, contra-capa e da encadernação, mais um valor de R$ 0,50 para cada página da 
apostila. 
Repare que há uma relação de dependência entre duas grandezas, o número de páginas da 
apostila e o seu custo total. 
Para cada número de páginas existe um valor único para a apostila. Estamos então diante 
de uma função que pode ser definida como: 
 
Ou, se trabalharmos com números fracionários, por: 
 
 
Graficamente temos a seguinte representação da função no plano cartesiano: 
Toda função na forma , com a ( e ) é 
denominada função afim, ou função polinomial do 1° grau. Como sabemos, o 
polinômio ax + b é um polinômio do primeiro grau na variável x. 
Como podemos observar o gráfico desta função é formado por umareta. Toda função 
afim é representada no plano cartesiano por uma reta não paralela ao eixo x, ou eixo das 
abscissas. 
Normalmente f(x) é representado pela letra y, como no caso deste gráfico. Então a função 
também pode ser definida por: 
 
 
 
Representação Gráfica de uma Função Afim 
 
Para montarmos o gráfico de uma função polinomial do 1° grau basta conhecermos 
dois pares ordenados cujo primeiro elemento pertence ao domínio da função e o segundo 
pertence à sua imagem. 
 
51 
 
 
 
Para o primeiro par ordenado vamos escolher aquele onde x = 0. 
Substituindo x por 0 na regra de associaçãoou lei de formação da função, temos: 
 
Então o nosso par ordenado será (0, 5) representado no gráfico ao lado pelo ponto A: 
Voltando ao problema da apostila, o ponto (0, 5) do gráfico da função nos indica que caso 
a apostila não tenha nenhuma página, o seu custo será de R$ 5,00 referentes ao custo da 
capa, contra-capa e da encadernação apenas. 
Para o outro par ordenado, arbitrariamente podemos escolher o ponto com abscissa igual 
a 4 e realizarmos os cálculos como no caso do primeiro ponto, agora trocando x por 4: 
 
 
Tal ponto pode ser observado neste outro gráfico, representado pelo ponto B: 
O ponto (4, 7) do gráfico da função nos aponta que o custo de uma apostila com 4 páginas 
é deR$ 7,00. 
Como sabemos que o gráfico de uma função polinomial do 1° grau é uma reta, basta 
traçarmos uma reta unindo tais pontos, como podemos ver no gráfico abaixo: 
 
52 
 
 
 
 
Observe que obtivemos o mesmo gráfico do início das explicações deste tópico. 
Neste exemplo partimos da lei de formação da função, escolhemos arbitrariamente dois 
pontos conhecidos e a partir deles montamos o gráfico da função. Agora vamos obter a 
regra de associação da função a partir de quaisquer dois pontos conhecidos pertencentes à 
função. 
 
Raiz da Função Afim 
 
Observe no gráfico acima que a reta da função intercepta o eixo das abscissas no ponto 
(-10, 0). 
Este valor de x = -10 que leva a y = 0 é denominado raiz da função ou zero da função. 
Sendo a função, para encontramos a sua raiz basta substituirmos y por 0 e 
solucionarmos a equação do primeiro grau obtida: 0 = 
 
 
 
 
 
 
 
Obtendo a Lei de Formação de uma Função Afim a partir de Dois Pontos da Reta 
 
No gráfico acima vemos que o ponto (0, 5) pertence à função, então na 
sentença podemos trocar x por0 e y por 5, quando então iremos obter 
que b = 5: 
 
Novamente segundo o gráfico o ponto (-10, 0) também pertence à função e já 
que b = 5 temos: 
 
Observe que substituímos y, x e b por 0, -10 e 5 respectivamente, obtendo a = 
1
/2. 
Visto que a = 
1
/2 e b = 5, temos: 
 
 
Portanto a função cujo gráfico passa pelos pontos (-10, 0) e (0, 5) é definida por: 
 
 
 
53 
 
EXERCÍCIOS 
 
52. Seja f: , 
 
 
. Calcule o produto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53. (PUC_BH) A função R (t) = at + b expressa o rendimento “R”, em milhõe de reais, de 
uma determinada empresa do ramo de alimentos. O tempo “t” é contado em meses, tal que: 
R(1) = –1 e R(2) = 1. Nessas condições, determine o rendimento obtido nessa aplicação, 
em quatro meses. 
 
(A) R$ 5 milhões 
(B) R$ 10 milhões 
(C) R$ 1 milhão 
(D) R$ 3,5 milhões 
 
 
 
54. (UFMG) Suponha que o número f(x) de funcionários necessários para distribuir, em 
um dia, contas de luz entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado 
pela função 
 
 
 
. Se o número de funcionários necessários para distribuir, em um dia, 
as contas de luz foi 75, a porcentagem de moradores que as receberam é: 
 
(A) 40 
(B) 15 
(C) 55 
(D) 30 
 
 
54 
 
55. (FATES) Um taxista cobra por corrida o valor fixo de R$ 20,00, denominado 
bandeirada, e um acréscimo de R$ 0,80 por cada quilômetro rodado. Sabendo que seu João 
Paulo tomou esse táxi e pagou ao taxista o valor de R$ 84,00. Determine quantos 
quilômetros seu João rodou nesse táxi. 
 
(A) 64 km 
(B) 32 km 
(C) 16 km 
(D) 80 km 
 
 
56. (PUC – MG) O lucro de uma loja, pela venda diária de “x” peças, é dado por: 
L(x) = 100.(10 – x).(x – 4). Com base nessas informações podemos afirmar que o lucro 
máximo, por dia, dessa loja será obtido com a venda de: 
 
(A) 17 peças 
(B) 15 peças 
(C) 10 peças 
(D) 07 peças 
 
57. Na revelação de um filme, uma óptica calcula o preço a ser cobrado pelo serviço 
através da fórmula P = 12,00 + 0,65.n, onde P = preço a ser cobrado pelo serviço e N = 
número de fotos reveladas do filme. Sabendo que seu José Carlos pagou o valor de R$ 
33,45 pela revelação de suas fotos. Determine quantos fotos ele revelou. 
 
(A) 18 
(B) 20 
(C) 33 
(D) 45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
58. (UNICAMP – SP) Para fazer a transformação das unidades de temperatura Fahrenheit 
em Celsius, utiliza – se a fórmula: 
 
 
, onde F é o número de graus em Fahrenheit 
e C é o número de graus em Celsius. Com base nessa informação, determine qual é a 
temperatura (em graus Celsius) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número 
de graus Celsius? 
 
(A) 320º C 
(B) 20º C 
(C) 160º C 
(D) 240º C 
 
 
59. (FATEC) Através de um estudo sobre o consumo de energia elétrica de uma 
fábrica, chegou-se à equação C = 400t, em que C é o consumo em kWh e T é o 
tempo em dias. Quantos dias são necessários para que o consumo atinja 4800 kWh? 
 
(A) 24 dias 
(B) 18 dias 
(C) 16 dias 
(D) 12 dias 
 
 
60. (PUC - MG) A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, 
então, podemos afirmar que f(1) é igual a: 
 
(A) 2 
(B) -2 
(C) 0 
(D) 3