12 z Idades Fracionadas p alunos

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1 
 
UNIVERDIDADE FEDERAL DA PARAÍBA 
CCSA – DFC 
Matemática Atuarial I - Professor: Azamor Cirne de Azevedo Filho 
 
 
IDADES FRACIONADAS 
A mortalidade entre duas idades inteiras x e x+1 pode se comportar de três principais modos, a saber: 
comportamento uniforme, comportamento exponencial e comportamento hiperbólico. O gráfico abaixo 
mostra de forma genérica o comportamento da mortalidade entre duas idades inteiras. Pode-se verificar 
que a mortalidade é mais acentuada no comportamento hiperbólico e menos acentuada no 
comportamento uniforme e o comportamento exponencial situa-se em uma posição intermediária. Esses 
comportamento são também denominados de interpolação, pois de certo modo também se está 
procurando determinar o número de sobrevivente em um certo intervalo de tempo a partir de dois outros 
conhecidos. 
 
As probabilidades entre duas idades inteiras serão calculadas nos seguintes intervalos de tempo como 
no gráfico abaixo: 
 
 
A) Mortalidade Com Comportamento Linear (interpolação Linear). 
Também denominada de interpolação linear. Neste tipo supõe-se que a mortalidade ocorre de maneira 
uniforme, ou seja, morrem quantidades iguais em intervalos de tempos iguais. Obtenção dos principais 
parâmetros na mortalidade com comportamento Uniforme. 
a) Sobreviventes na idade “x+t” anos. 
Observe que “t” encontra-se no intervalo: 
0 t 1 
 
x tl a b t   
 
Para t = 0 → 
x 0l a b 0   
 → 
xl a
 
2 
 
Para t = 1 → 
x 1l a b 1   
 → 
x 1 xl l b  
 → 
x 1 xb l l 
 
Substituindo “a” e “b” na equação tem-se: 
x t x x 1 xl l (l l ) t   
 → 
x t x x 1 xl l (l )t (l )t   
 → 
x t x x 1l (1 t)l t (l )   
 
Outra relação; 
x t x x 1 xl l (l l ) t   
 → 
x t x x x 1l l (l l ) t   
 → 
   x t x xl l t d
 
b) Probabilidade de uma vida na idade “x” falecer em t anos. 
Tem-se que: 
x t x xl l t d   
 dividindo ambos os membros por 
xl
 tem-se: 
x t x x
x x x
l l d
t
l l l
   
 → 
t x xp 1 t q  
 → 
t x x1 q 1 t q   
 → 
 t x xq t q
 
c) Probabilidade de uma pessoa na idade “x+t” falecer em mais “1- t” anos, ou seja, entre “x+t” e “x+1”. 
Tem-se que: 
   x t x t x 1 t x tq q ( p ) ( q )
 → 
 

 x t x1 t x t
t x
q q
q
p
 (I) 
Sabe-se que: 
t x xq t q 
 (II) 
Sabe-se que: 
    t x t x xp 1 q 1 t q
 (III) 
Substituindo (II) e (III) em (I), tem-se: 
Tem-se que: 
 
    
  
  
x t x x x x
1 t x t
t x t x x
q q q t q (1 t) q
q
p 1 q 1 t q
 (I) 
d) Probabilidade de uma pessoa na idade “x+t” falecer em mais “s” anos, ou seja entre “x+t” e “x+t+s” 
anos. 
0 s 1 t  
 
Tem-se que: 
t s x t x t x s x tq q p q   
 → 




t s x t x
s x t
t x
( q q )
q
p
 (I) 
Sabe-se que: 
t x xq t q 
 (II) 
t s x xq (t s)q  
 (III) 
Substituindo (III) e (II) em (I), tem-se: 
x x
s x t
x
(t s) q t q
q
1 t q

   

 
 → 



 
x
s x t
x
s q
q
1 t q
 
 
3 
 
A) Mortalidade Com Comportamento Exponencial (Interpolação Exponencial). 
Também denominada de interpolação exponencial. Neste tipo a mortalidade ocorre de forma 
exponencial. Obtenção dos principais parâmetros na mortalidade com comportamento Exponencial. 
Observe que “t” encontra-se no intervalo: 
0 t 1 
 
a) Sobreviventes na idade “x+t” anos. 
t
x tl a b  
 (I) 
Para t = 0 → 
0
x 0l a b  
 → 
x 0l a 1  
 → 
xl a
 
Para t = 1 → 
1
x 1l a b  
 → 
x 1 xl l b  
 → 
x 1
x
l
b
l

 
Substituindo “a” e “b” na equação (I) tem-se: 
t
x tl a b  
 → t
x 1
x t x
x
l
l l
l


 
   
 
 → t
x 1
x t x t
x
(l )
l l
(l )

  
 → 

  
1 t t
x t x x 1l (l ) (l )
 
b) Probabilidade de uma vida na idade “x” falecer em t anos. 
t
x 1
x t x
x
l
l l
l


 
   
 
 → t
x t x 1
x x
l l
l l
 
 
  
 
 → 
 
t
t x xp p
 → 
 
t
t x x1 q p 
 → 
  
t
t x xq 1 p
 
c) Probabilidade de uma pessoa na idade “x+t” falecer em mais “1-t” anos, ou seja, entre “x+t” e “x+1”. 
Tem-se que: 
x t x 1 t x tp p p  
 → 
x
1 t x t
t x
p
p
p
  
 (I) 
Sabe-se que: 
 
t
t x xp p
 (II) 
Substituindo (II) em (I), tem-se: 
x
1 t x t
t x
p
p
p
  
 → 
x
1 t x t t
x
p
p
(p )
  
 → 
(1 t)
1 t x t xp (p )

  
 
Outra relação: 
(1 t)
1 t x t xp (p )

  
 → 
(1 t)
1 t x t x1 q (p )

  
 → 

   
(1 t )
1 t x t xq 1 (p )
 
d) Probabilidade de uma pessoa na idade “x+t” falecer em mais “s” anos, ou seja entre “x+t” e “x+t+s” 
anos. 
0 s 1 t  
 
Tem-se que: 
t s x t x s x tp p p  
 → 
t s x
s x t
t x
p
p
p

 
 (I) 
4 
 
Sabe-se que: 
 
t
t x xp p
 (II) 
 
(t s)
t s x xp p

 
 (III) 
Substituindo (III) e (II) em (I), tem-se: 
t s x
s x t
t x
p
p
p

 
 → t s
x
s x t t
x
(p )
p
(p )

 
 → 
t s t
s x t x xp (p ) (p )
 
  
→ 
t s t
s x t xp (p )
 
 
 → 
s
s x t xp (p ) 
 
s
s x t xp (p ) 
 → 
s
s x t x1 q (p ) 
 → 
  
s
s x t xq 1 (p )
 
 
C) Mortalidade com comportamento Hiperbólico. 
Também denominada de Interpolação Harmônica ou de Balducci. Neste tipo a mortalidade ocorre de 
forma hiperbólica. Obtenção dos principais parâmetros na mortalidade com comportamento Hiperbólico. 
a) Sobreviventes na idade “x+t” anos. 
Observe que “t” encontra-se no intervalo: 
0 t 1 
. 
Neste tipo de interpolação supõe-se que a mortalidade ocorre segundo uma função hiperbólica do tipo 
1
f(x) y
a b x
 
 
 e que em termos atuariais é representada como 
x t
1
l
a b t
 
 
. 
Para t = 0 → 
x 0
1
l
a b 0
 
 
 → 
x
1
l
a

 → 
x
1
a
l

 
Para t = 1 → 
x 1
1
l
a b 1
 
 
 → 
x 1
1
l
a b
 

 → 
x 1
1
a b
l 
 
 → 
x x 1
1 1
b
l l 
 
 → 
x 1 x
1 1
b
l l
 
 
Substituindo “a” e “b” na equação 
x t
1
l
a b t
 
 
tem-se: 
x t
x x 1 x
1
l
1 1 1
( ) t
l l l



 
 → 
x t
x x 1 x
1
l
1 1 1
( ) t ( ) t
l l l



 
 → 



 
x t
x x 1
1
l
1 1
(1 t) t ( )
l l
 
 
1
1
x t
x x 1
1
l
1 1
(1 t) t ( )
l l




 
 
 
   
 
 → 
 
  
x t x x 1
1 1 1
(1 t) t ( )
l l l
 
 
5 
 
b) Probabilidade de uma vida na idade “x” falecer em t anos. 
Tem-se que: 
x t
x x 1
1
l
1 1
(1 t) t ( )
l l



 
 
x t
x x
x x 1
1 1 1
l
1 1l l
(1 t) t ( )
l l


 
    
    
       
 
 → 
x t
x xx
x x 1
l 1
l ll
(1 t) t ( )
l l



 
 → 
t x
x
1
p
1
(1 t) t ( )
p

 
 → 
t x
x
x
1
p
(1 t) p t
p

  
 → 

  
x
t x
x
p
p
t (1 t) p
 
Outra relação: 
x
t x
x
p
p
t (1 t) p

  
 = 
x
x
p
t (1 t)(1 q )  
 = 
x
xx
p
t 1 q t t q    
= 
x
x
p
1 (1 t) q  
= 
  
x
x
1 q
1 (1 t) q
 
Outra relação: 
x
t x
x
1 q
p
1 (1 t) q


  
 → 
x
t x
x
1 q
1 q
1 (1 t) q

 
  
 → 
x
t x
x
1 q
q 1
1 (1 t) q

 
  
 → 
→ 
x x
t x
x
1 (1 t) q (1 q )
q
1 (1 t) q
    

  
 → 
x x x
t x
x
1 q t q 1 q
q
1 (1 t) q
    

  
 → 

  
x
t x
x
t q
q
1 (1 t) q
 
c) Probabilidade de uma pessoa na idade “x+t” falecer em mais “1- t” anos, ou seja, entre “x+t” e “x+1”. 
Tem-se que: 
x t x 1 t x tp p p  
 → 
x
1 t x t
t x
p
p
p
  
 (I) 
e que: 
x
t x
x
p
p
1 (1 t) q

  
 (II) 
Substituindo (II) em (I) tem-se: 
x
1 t x t
x
x
p
p
p
1 (1 t) q
  
  
 → 
1 t x t xp 1 (1 t) q     
 → 
1 t x t x1 q 1 (1 t) q     
 → 
    1 t x t xq (1 t) q
 
d) Probabilidade de uma pessoa na idade “x+t” falecer em mais “s” anos, ou seja, entre “x+t” e “x+t+s” 
anos. 
0 s 1 t  
 
Tem-se que: 
t s x t x s x tp p p  
 → 
t s x
s x t
t x
p
p
p

 
 (I) 
6 
 
x
t x
x
1 q
p
1 (1 t) q


  
 (II) 
x
t s x
x
1 q
p
1 (1 (t s)) q



   
 (III) 
Substituindo (II) e (III) em (I) tem-se: 
x
x
s x t
x
x
1 q
1 (1 (t s)) q
p
1 q
1 (1 t) q


   


  
 → 
x
s x t
x
1 (1 t) q
p
1 (1 (t s)) q

  

   
 → 
→ 
x
s x t
x
1 (1 t) q
1 q
1 (1 (t s)) q

  
 
   
 → 
x
s x t
x
1 (1 t) q
q 1
1 (1 (t s)) q

  
 
   
 → 
 → 
x x
s x t
x
1 (1 (t s)) q (1 (1 t) q )
q
1 (1 (t s)) q

       

   
 → 
x x x
s x t
x
1 q (t s)) q 1 (1 t) q )
q
1 (1 (t s)) q

       

   
 → 
→ 
x x x x x
s x t
x
q t q s q q t q
q
1 (1 (t s)) q

       

   
 → 



   
x
s x t
x
s q
q
1 (1 t s) q
 
Resumo das Fórmulas: 
Mortalidade 
Probabilidade 
t xq
 
1-t x+tq
 
s x+tq
 
t xp
 
x+tl
 
Uniforme 
xt q
 
x
x
(1 t) q
1 t q
 
 
 
x
x
s q
1 t q

 
 
x1 t q 
 
x t x xl l t d   
 
Exponencial 
t
x1 (p )
 
(1 t)
x1 (p )

 
s
x1 (p )
 
t
x(p )
 t
x 1
x t x
x
l
l l
l


 
   
 
 
Balducci 
x
x
t q
1 (1 t) q

  
 
x(1 t) q 
 
x
x
s q
1 (1 t s) q

   
 
x
x
p
1 (1 t) q  
 
x t
x x 1 x
1
l
1 1 1
( )t
l l l



 
 
 
 
EXEMPLOS 
ex 01) Seja 
xq
= 0,02, calcule 
0,6 80,3p
supondo distribuição uniforme de mortalidade. 
Solução: 
Sabe-se que sob distribuição uniforme 
t x xq t q 
 
80,9 80,9 80 0,9 80 0,9 80
0,6 80,3
80,3 80,3 80 0,3 80 0,3 80
l l / l p 1 q
p
l l / l p 1 q

   

 
Substituindo a fórmula da mortalidade uniforme, tem-se: 
7 
 
0,9 80 80
0,6 80,3
0,3 80 80
1 q 1 0,9 q
p
1 q 1 0,3 q
  
 
  
 
0,9 80
0,6 80,3
0,3 80
1 q 1 0,9 0,02
p
1 q 1 0,3 0,02
  
 
  
 = 0,98793 
De outro modo: 
x
s x t
x
s q
q
1 t q



 
 → 
0,6 x 0,3
0,6 0,02
q
1 0,3 0,02



 
= 0,01207 
s x t s x tq 1 q  
 → 
s x tq 
 = 1 – 0,01207 = 0,98793 
ex 02) A partir da tábua abaixo e supondo a mortalidade uniforme calcule 
1,4 3q
 e 
1,4 3,5q
. 
x lx dx 
0 100.000 501 
1 99.499 504 
2 98.995 506 
3 98.489 509 
4 97.980 512 
5 97.468 514 
Solução: 
● Cálculo de 
1,4 3q
 
    1,4 3 1,4 3 3 0,4 4q 1 p 1 (p p )
 
Tem-se que: 
4
3
3
l
p
l

 e 
0,4 4 0,4 4p 1 q 
 
      41,4 3 3 1,4 4 0,4 4
3
l
q 1 (p p ) 1 (1 q )
l
 
Tem-se que na mortalidade uniforme 
t x xq t q 
, então: 
44 4 4
1,4 3 0,4 4 4
3 3 3 4
dl l l
q 1 (1 q ) 1 (1 0,4 q ) 1 (1 0,4 )
l l l l
             
 
Substituindo os valores tem-se: 
1,4 3
97980 512
q 1 (1 0,4 )
98489 97980
    
 = 0,00726 
● Cálculo de 
1,4 3,5q
 
1,4 3,5 1,4 3,5q 1 p 
 
8 
 
4,9
1,4 3,5 1,4 3,5
3,5
l
q 1 p 1
l
   
 
Na distribuição de mortalidade uniforme tem-se: 
   x t x xl l t d
, então: 
4,9 4 4
1,4 3,5 1,4 3,5
3,5 3 3
l l 0,9 d
q 1 p 1 1
l l 0,5 d
 
     
 
 
4 4
1,4 3,5
3 3
l 0,9 d
q 1
l 0,5 d
 
 
 
 → 
4
1,4 3,5
3
l 0,9 506
q 1
l 0,5 504
 
 
 
 = 0,007281 
De outro modo: 
x lx dx qx px 
0 100.000 501 0,00501 0,99499 
1 99.499 504 0,00507 0,99493 
2 98.995 506 0,00511 0,99489 
3 98.489 509 0,00517 0,99483 
4 97.980 512 0,00523 0,99477 
5 97.468 514 0,00527 0,99473 
● Determinação de 
1,4 3q
: 
Observação: Como as leis (linear, exponencial e Balducci) só valem no intervalo entre duas idades 
inteiras [x,x+1]. O cálculo das probabilidades de sobrevivência ou de mortalidade envolvendo idades 
fracionadas deve sempre que possível ser dividida em partes. Entende-se por idade fracionada 
qualquer idade entre duas idades inteiras, e seja “t” um número situado no intervalo 
0 t 1 
. O tempo 
a ser usado para o cálculo das referidas probabilidades a partir de uma certa idade, deve sempre que 
possível ser particionado de modo a se efetuar os cálculos probabilísticos envolvendo as seguintes 
partições: 
Primeiro - probabilidade no intervalo entre a idade fracionada em que se encontra e a idade inteira 
seguinte. 
Segundo - probabilidade nos intervalos entre todas as idades inteiras seguintes. 
Terceiro – probabilidade no intervalo entre a idade inteira mais avançada e essa idade somada a fração 
de idade restante. 
 
A probabilidade 
1,4 3q
deve ser particionada como: 
1,4 3 1 3 0,4 4q q q 
 
cálculo de 
0,4 4q
 
mortalidade uniforme: 
t x xq t q 
 → 
0,4 4q 0,4 0,00523 
 = 0,00209 
9 
 
1 3q
= 0,00517 
 1,4 3 1 3 0,4 4q q q
 → 
1,4 3q
= 0,00517 + 0,00209 = 0,00726 
● Determinação de 
1,4 3,5q
: 
1,4 3,5 0,5 3,5 0,9 4q q q 
 
cálculo de 
0,5 3,5q
 
x
s x t
x
s q
q
1 t q



 
 → 



 
3
0,5 3 0,5
3
0,5 q
q
1 0,5 q
 → 



 
0,5 3 0,5
0,000,5
q
1 0,5
517
0,00517
 = 0,00259 
cálculo de 
0,9 4q
 
mortalidade uniforme: 
t x xq t q 
 → 
0,9 4q 0,9 0,00523 
 = 0,00470 
1,4 3,5 0,5 3,5 0,9 4q q q 
= 0,00259 + 0,00470 = 0,00729 
 
ex 03) Se 
xq
= 0,1 calcule 
0,5 xq
e 
0,5 x 0,5q 
 supondo: 
a) distribuição uniforme de mortalidade 
b) distribuição exponencial de mortalidade 
c) distribuição de mortalidade hiperbólica ou interpolação harmônica ou Balducci 
Solução: 
●● Cálculo de 
0,5 xq
 
dados: 
xq
= 0,1 ; 
xp
= 0,9 ; t = 0,5 
● Uniforme: 
t x xq t q 
 → 
0,5 xq 0,5 0,1 
 = 0,05000 
● Exponencial: 
t
t x xq 1 (p ) 
 → 
0,5
0,5 xq 1 (0,9) 
 = 0,05132 
● Balducci: 
x
t x
x
t q
q
1 (1 t) q


  
 → 
0,5 x
0,5 0,1
q
1 (1 0,5) 0,1


  
 = 0,05263 
 
 
10 
 
●● Cálculo de 
0,5 x 0,5q 
 
dados: dados: 
xq
= 0,1 ; 
xp
= 0,9 ; t = 0,5 ; s = 0,5● Uniforme: 
x
s x t
x
s q
q
1 t q



 
 → 
x
0,5 x 0,5
0,5 0,1
q
1 0,5 0,1



 
 = 0,05263 
● Exponencial: 
s
s x t xq 1 (p )  
 → 
0,5
0,5 x 0,5q 1 (0,9)  
 = 0,05132 
● Balducci: 
x
s x t
x
s q
q
1 (1 t s) q



   
 → 
0,5 x 0,5
0,5 0,1
q
1 (1 0,5 0,5) 0,1



   
 = 0,05000 
 
ex 04) Sejam: x= 35 ; 
xq
= 0,4 ; t = 0,3 ; s = 0,5. Calcule: 
t xq
; 
1 t x tq 
; 
s x tq 
; 
t xp
. 
Solução: 
x qx px t 1 - t x+t s t + s 1 - (t + s) x+t+s 
35 0,4 0,6 0,30 0,70 35,30 0,50 0,80 0,20 35,80 
 
 
Mortalidade 
Probabilidade 
t xq
 
1-t x+tq
 
s x+tq
 
t xp
 
x+tl
 
Uniforme 0,12000 
 
0,3181818 
 
0,227273 
 
0,88000 
 
 
Exponencial 0,14208 
 
0,30063 
 
0,225403 
 
0,85792 
 
 
Balducci 0,16667 
 
0,28000 
 
0,217391 
 
0,83333 
 
 
 
ex 05) Sejam: 
xp
= 0,97 ; 
x 1p 
= 0,95 ; 
x 1,75e 
= 18,5. Calcule 
x 0,75e 
 supondo: 
a) mortalidade uniforme 
b) mortalidade exponencial 
c) mortalidade hiperbólica (Balducci) 
d) mortalidade uniforme entre x e x+1 e exponencial entre x+1 e x+2 
11 
 
Solução: lembrando que: 
x 1 x 2 x 3 xe p p p ...   
 
x 1 x x 1e p (1 e ) 
, tem-se: 
x 0,75 1 x 0,75 2 x 0,75 3 x 0,75e p p p ...      
 
x 0,75 1 x 0,75 1 x 0,75 1 x 1,75 1 x 0,75 2 x 1,75e p p p p p ...          
 
x 0,75 1 x 0,75 1 x 1,75 2 x 1,75 1 x 0,75 x 1,75e p (1 p p ...) p (1 e )          
 
x 0,75 1 x 0,75 x 1,75e p (1 e )   
 → 
x 0,75 1 x 0,75e p (1 18,5)  
 → 
x 0,75 1 x 0,75e p (19,5) 
 
Cálculo de 
1 x 0,75p 
. Tem-se que: 
1 x 0,75 0,25 x 0,75 0,75 x 1p p p   
 
●● Cálculo de 
0,25 x 0,75p 
 
dados: 
xp
= 0,97 ; 
xq
= 0,03 ; t = 0,75 ; s = 0,25 
● Supondo mortalidade uniforme: 
x
s x t
x
s q
q
1 t q



 
 → 
0,25 x 0,75
0,25 (0,03)
q
1 0,75 (0,03)



 
= 0,00767 
0,25 x 0,75 0,25 x 0,75p 1 p  
= 1 – 0,00767 = 0,99233 
 ● Supondo mortalidade exponencial: 
s
s x t xq 1 (p )  
 → 
0,25
0,25 x 0,75q 1 (0,97)  
= 0,00759 
0,25 x 0,75 0,25 x 0,75p 1 p  
= 1 – 0,00759 = 0,99241 
● Supondo mortalidade hiperbólica (Balducci): 
x
s x t
x
s q
q
1 (1 t s) q



   
 → 
0,25 x 0,75
0,25 0,03
q
1 (1 0,75 0,25) 0,03



   
= 0,00750 
0,25 x 0,75 0,25 x 0,75p 1 p  
= 1 – 0,00750 = 0,99250 
●● Cálculo de 
0,75 x 1p 
 
dados: 
x 1p 
= 0,95 ; 
x 1q 
= 0,05 ; t = 0,75 
● Supondo mortalidade uniforme: 
t x xq t q 
 → 
0,75 x 1q 0,75 (0,05)  
 = 0,03750 
t x t xp 1 q 
 → 
0,75 x 1 0,75 x 1p 1 q  
 = 1 – 0,03750 = 0,96250 
12 
 
● Supondo mortalidade exponencial: 
t
t x xq 1 (p ) 
 → 
0,75
0,75 x 1q 1 (0,95)  
 = 0,03774 
t x t xp 1 q 
 → 
0,75 x 1 0,75 x 1p 1 q  
 = 1 – 0,03774 = 0,96226 
● Supondo mortalidade hiperbólica (Balducci): 
x
t x
x
t q
q
1 (1 t) q


  
 → 
t x
0,75 0,05
q
1 (1 0,75) 0,05


  
= 0,03797 
t x t xp 1 q 
 → 
0,75 x 1 0,75 x 1p 1 q  
 = 1 – 0,03797 = 0,96203 
●● Cálculo de 
x 0,75e 
 
Tem-se que: 
x 0,75 1 x 0,75 x 1,75e p (1 e )   
 
1 x 0,75 0,25 x 0,75 0,75 x 1p p p   
 
x 1,751 e 
= 1 + 18,5 = 19,5 
● Cálculo de 
x 0,75e 
 - distribuição uniforme: 
1 x 0,75 0,25 x 0,75 0,75 x 1p p p   
= (0,99233)(0,96250) = 0,95512 
x 0,75 1 x 0,75 x 1,75e p (1 e )   
= 0,95512(19,5) = 18,62474 
● Cálculo de 
x 0,75e 
 - distribuição exponencial: 
1 x 0,75 0,25 x 0,75 0,75 x 1p p p   
= (0,99241)(0,96226) = 0,95496 
x 0,75 1 x 0,75 x 1,75e p (1 e )   
= 0,95496(19,5) = 18,62174 
● Cálculo de 
x 0,75e 
 - distribuição hiperbólica: 
1 x 0,75 0,25 x 0,75 0,75 x 1p p p   
= (0,99250)(0,96203) = 0,95481 
x 0,75 1 x 0,75 x 1,75e p (1 e )   
= 0,95481(19,5) = 18,61880 
●● Cálculo de 
x 0,75e 
 - distribuição uniforme entre x e x+1 e exponencial entre x+1 e x+2: 
1 x 0,75 0,25 x 0,75 0,75 x 1p p p   
= (0,99233)(0,96226) = 0,94763 
x 0,75 1 x 0,75 x 1,75e p (1 e )   
= 0,95512(19,5) = 18,47886