Medidas de Tendência Central e Dispersão em Física Experimental

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Notas de Aula de Física Experimental 1
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Paulo Quintairos
Paulo QuintairosPaulo Quintairos
Paulo Quintairos 
 
 
José Henrique Fernandez
José Henrique FernandezJosé Henrique Fernandez
José Henrique Fernandez 
 
 
 
 
 
 
 
 
200
200200
2009
99
9 
 
 
2 
 
1. Medidas de Tendência Central e Medidas de 
Dispersão 
 
1.1. Introdução: Por que usar Estatística? 
 
Medidas experimentais, mesmo quando efetuadas 
com esmero e cuidado, implicam erros e variação. 
Segundo Oguri (2006), 
 
“Todo experimento em Física envolve a 
medição duma ou várias grandezas. Mesmo 
que as medições tenham sido realizadas com 
todo esmero, os valores encontrados (medidas) 
estão sujeitos, inevitavelmente, a incertezas. A 
análise de erros é o estudo que nos permite 
estimar essas incertezas e, em muitos casos, 
pode nos ajudar a reduzi-las ou controlá-las”. 
 
Para elucidar a relevância do processo de Análise 
de Dados, tomemos como exemplo, um experimento 
feito para comprovar um resultado bastante 
conhecido da Geometria plana. Sabe-se que a soma 
dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 
1800. Entretanto, ao medirmos os ângulos internos de 
alguns triângulos e somarmos os valores obtidos para 
cada um deles, não obteremos 1800 para todos. É 
bastante provável que o valor correto, conhecido a 
priori, não seja encontrado para nenhum dos objetos 
medidos. Isso quer dizer que as medidas estão 
erradas ou que o valor teórico de 1800 está errado? 
Considerando que as medidas foram feitas 
corretamente e que os triângulos são bem feitos, a 
resposta é que tal variação é inerente ao processo de 
medição. Assim sendo, o uso da Estatística é 
imprescindível para estabelecermos resultados 
experimentais. Podemos resumidamente concluir que 
é impossível eliminar o erro nos processos de 
medida, porém é possível controlar tais erros usando 
Estatística e a Teoria dos Erros, que será objeto de 
estudo da disciplina Física Experimental 1. 
 
1.2. Medidas de Tendência Central 
 
Consideremos a seguinte situação problema: 
temos a tarefa de medir o comprimento de uma barra 
metálica usando uma trena milimetrada. Para reduzir 
o erro envolvido no processo, o comprimento da barra 
foi aferido cinco vezes por uma mesma pessoa. Os 
resultados obtidos foram: 
 
ℓ(mm) 
125,4 
124,4 
125,3 
124,8 
124,6 
 
Como os cinco valores encontrados foram obtidos 
pela mesma pessoa, com a mesma trena e a 
intervalos de tempo próximos, não é possível admitir 
que uma das medidas seja melhor que as demais. 
Cabe então a pergunta: qual o comprimento da 
barra? Usualmente considera-se que a média 
aritmética simples (doravante média) dos valores 
obtidos é o melhor resultado, ainda que não 
corresponda a nenhum dos valores do conjunto. Para 
3 
 
obter a média de um conjunto de dados temos de 
somar todos os valores obtidos e dividir pelo número 
de valores. Para a tabela acima teremos: 
 
MÉDIA ARITMÉTICA: 
N
N
i
i∑
=
=
1
l
l 
 
�
�
 = (125,4 + 124,4 + 125,3 + 124,8 + 124,6)÷ 5 
�
�
 = 124,9 mm 
 
Devido a variação encontrada para os valores da 
mesma medida (o comprimento da barra), foi 
solicitado a uma outra pessoa que efetuasse também 
cinco medidas do comprimento da mesma barra, 
utilizando a mesma trena. A tabela a seguir apresenta 
os resultados obtidos pelos dois medidores, com as 
respectivas médias. 
 
 
ℓ(mm) ℓ´(mm) 
 125,4 126 
 124,4 124,8 
 125,3 125,3 
 124,8 124,1 
 124,6 123,8 
Média = 124,9 124,8 
 
Os dois conjuntos de medidas apresentam médias 
diferentes, apesar de terem sido obtidos com o 
mesmo cuidado e utilizando o mesmo instrumento de 
medida. Qual das duas médias pode ser considerada 
como o resultado mais confiável? 
 
1.3. Medidas de Dispersão 
 
Para estabelecermos qual das duas médias é a 
mais confiável, é preciso introduzir algumas 
definições de medidas que mostrem a dispersão dos 
dados. Partiremos do princípio que quanto menos 
dispersos forem os dados, mais confiáveis são as 
medidas. Podemos calcular quanto que cada um dos 
valores obtidos difere da média e depois calcular a 
média dos desvios. Os valores obtidos para os dois 
conjuntos de dados são apresentados na tabela 
abaixo. 
 
 
ℓ(mm) ℓ -�� (mm) ℓ´(mm) ℓ´ - �� ´ (mm) 
 125,4 0,5 126 1,2 
 124,4 -0,5 124,8 0,0 
 125,3 0,4 125,3 0,5 
 124,8 -0,1 124,1 -0,7 
 124,6 -0,3 123,8 -1,0 
Média = 124,9 0,0 124,8 0,0 
 
Na tabela é possível notar que a soma dos desvios 
para ambos os conjuntos de medidas é zero. Isso não 
é uma coincidência, mas sim uma conseqüência da 
definição de média aritmética simples. Para 
estabelecer uma medida de dispersão, utiliza-se 
então os quadrados dos desvios dos valores com 
relação à média. A medida de dispersão que 
4 
 
adotaremos é o desvio padrão (símbolo σ), que pode 
ser calculado da seguinte forma: 
 
ℓ(mm) ℓ - �� (mm) (ℓ - ��)2 (mm2) 
125,4 0,5 0,3 
124,4 -0,5 0,3 
125,3 0,4 0,2 
124,8 -0,1 0,0 
124,6 -0,3 0,1 
Média = 124,9 0,0 0,9 
 
ℓ´(mm) ℓ´ - �� ´ (mm) (ℓ´ - �� ´)2 (mm2) 
126,0 1,2 1,4 
124,8 0,0 0,0 
125,3 0,5 0,3 
124,1 -0,7 0,5 
123,8 -1,0 1,0 
Média = 124,8 0,0 3,2 
 
O desvio padrão é calculado pela raiz quadrada da 
soma dos valores quadráticos dividida pelo número de 
medidas menos um, ou seja, 
 
DESVIO PADRÃO: ( )
1
1
2
−
−
=
∑
=
N
N
i
i ll
σ 
 
mm5,0
15
9,0
=
−
=σ e mm9,0
15
2,3
´ =
−
=σ 
 
 
A partir dos resultados obtidos para o desvio padrão, 
podemos finalmente dizer que o primeiro conjunto de 
medidas é o mais confiável, pois apresenta dispersão 
mais baixa. 
 
 
1.4. Exercício 
 
A área de uma superfície retangular é calculada como 
sendo o produto da largura pelo comprimento. Na tabela 
abaixo são apresentadas seis medidas (todas confiáveis) 
obtidas a partir de um tampo de uma mesa retangular. 
(a) Calcule o valor da largura e do comprimento do 
tampo e o desvio padrão para as medidas de largura e 
comprimento. (b) Qual das duas medidas (comprimento e 
largura) é a mais confiável? 
 
Comprimento (cm) Largura (cm) 
180,55 130,10 
179,58 129,55 
180,70 130,43 
189,80 130,00 
180,10 129,95 
 
Resposta: 
 
 Comprimento (cm) Largura (cm) 
Média 182.15 130.01 
Desvio Padrão 4.30 0.32 
 
5 
 
2. Incertezas do Tipo A e do Tipo B 
 
2.1. Tipos de Incerteza 
 
Conforme vimos anteriormente, para obter o valor de 
uma grandeza temos de repetir o processo de medição 
algumas vezes para, posteriormente, adotar o valor 
médio do conjunto de medidas como sendo o valor 
medido. Vimos também que o cálculo do desvio padrão 
nos dá uma estimativa do erro atrelado à medida obtida. 
Neste capítulo, veremos que o desvio padrão é somente 
uma das incertezas associadas a uma medida 
experimental. 
As incertezas associadas a uma medida são de dois 
tipos: 
 
• Tipo A: é a incerteza de natureza Estatística; 
mede a dispersão dos valores encontrados nas 
repetições das medições feitas. Estima, portanto, 
o erro devido a fatores aleatórios e espúrios como, 
por exemplo, a habilidade de quem coleta os 
dados. Adotaremos, como usual, o desvio padrão 
como sendo a incerteza do tipo A. 
 
• Tipo B: é a incerteza devido a fatores 
sistemáticos, não-estatísticos, como as incertezas 
inerentes ao instrumento de medição e ao arranjo 
experimental utilizado. Adotaremos apenas a 
incerteza instrumental como sendo a incerteza do 
tipo B. A definição operacional de σB depende se o 
instrumentousado na medição for analógico ou 
digital. 
 
 
2.2. Incerteza Tipo B: instrumentos analógicos 
 
Adotaremos, ao longo de nosso curso, que a 
incerteza σB para instrumentos analógicos é igual a 
metade da menor graduação da escala do 
instrumento (com exceção do paquímetro). Por 
exemplo, para uma régua milimetrada, cuja menor 
escala é 1 mm, teremos que σB = 0,5 mm. Já para um 
paquímetro analógico, como o que será usado em 
nosso laboratório, a menor escala é 0,05mm e, neste 
caso, está já será a sua incerteza. 
 
2.3. Incerteza Tipo B: instrumentos digitais 
 
A incerteza do tipo B para instrumentos digitais é 
um pouco mais complexa de ser calculada. O valor de 
σB é obtido a partir da variação do último dígito do 
instrumento e de um valor informado pelo fabricante. 
Como, em laboratórios didáticos, a incerteza do tipo A 
costuma ser maior que a do tipo B, quando são 
usados instrumentos digitais de boa qualidade e, 
ainda, devido a complexidade de calcular o valor do 
erro para estes casos, não utilizaremos a incerteza do 
tipo B nos experimentos em que o instrumento de 
medida seja digital. 
 
2.4. Combinação das incertezas A e B 
 
Conforme foi dito anteriormente, a incerteza 
associada a uma medida experimental é composta da 
incerteza de natureza estatística (σA) e a incerteza 
sistemática, ou não estatística, (σB). O valor da 
incerteza de uma medição é calculado a partir dos 
6 
 
valores de σA e de σB a partir da seguinte definição, 
que é a soma de módulo de dois vetores: 
 
� =
�
�
�
�
+ �
	
�
 
 
2.5. Exemplo: medida do comprimento de uma 
barra 
 
Vamos agora retomar o exemplo usado no capítulo 
anterior para a medida do comprimento de uma barra, 
utilizando uma régua milimetrada. Vimos que duas 
pessoas efetuaram cinco medidas da barra, cada 
uma. Os resultados obtidos a partir dos dois 
conjuntos de dados foram: 
 
a) �� = 124,9 mm σA = 0,5 mm 
b) �� ´ = 124,8 mm σA´ = 0,9 mm 
 
Lembrando que os dois conjuntos de medidas 
foram obtidos a partir de uma mesma régua 
milimetrada, temos que a incerteza do tipo B será 
igual a 0,5mm para ambos os conjuntos de medidas. 
Assim, σB = 0,5mm. 
Portanto, podemos agora calcular a incerteza 
contida em cada uma das medidas, l e l´, combinando 
os dois tipos de incertezas. Para o primeiro conjunto 
de medidas temos: 
 
a) σA = 0,4mm e σB = 0,5mm 
� =
�
0,5
�
+ 0,5
�
= 0,6�� 
 
b) σA = 0,9mm e σB = 0,5mm 
� =
�
0,9
�
+ 0,5
�
= 1,0�� 
 
Podemos finalmente apresentar as medidas 
obtidas para a barra de forma tecnicamente correta: 
 
a) ℓ = (124,9 ± 0,7) mm 
b) ℓ´= (125 ± 1) mm 
 
 
2.6. Exercício 
 
A área de uma superfície retangular é calculada como 
sendo o produto da largura pelo comprimento. Na tabela 
abaixo são apresentadas cinco medidas (todas 
confiáveis) obtidas a partir de uma barra metálica 
retangular. (a) Calcule o valor da largura e do 
comprimento da barra, o desvio padrão e a incerteza final 
para as medidas de largura e comprimento. (b) Qual das 
duas medidas (comprimento e largura) é a mais 
confiável? 
 
Comprimento (mm) Largura (mm) 
180,5 130,1 
179,5 129,5 
180,7 130,3 
189,8 130,0 
180,1 129,5 
Resposta: 
 Comprimento (mm) Largura (mm) 
Média 182,12 129,88 
Desvio Padrão 4,32 0,36 
Incerteza 4,35 0,62 
 
 
7 
 
2.7. Algarismos Significativos e arredondamento 
 
Uma dúvida bastante comum dentre os iniciantes 
da Física Experimental se a refere ao número de 
algarismos (casas decimais) que devem ser 
considerados em uma medida. A resposta é que se 
deve sempre considerar o número de “algarismos 
significativos”. Segundo Oguri (2006), 
 
“Algarismos significativos de uma medida ou 
estimativa indicam a sua precisão e, portanto, 
são determinados pelo erro a ela associado. 
Desse modo, somente após o cálculo do erro é 
possível estimar o número de algarismos com 
que um resultado deve ser expresso”. 
 
A partir da definição de algarismos significativos, 
podemos distinguir duas formas diferentes para obtê-
los, cada uma delas aplicável a uma situação 
diferente. 
 
2.8. Algarismo significativos em medições diretas 
 
Ao realizarmos uma medição direta, como por 
exemplo uma medição do comprimento de uma barra, 
a única incerteza envolvida é o erro sistemático do 
próprio instrumento de medida usado, ou seja, a 
incerteza do tipo B. Voltemos novamente ao exemplo 
das medições do comprimento de uma barra. Em 
cada uma das dez medidas apresentadas (cinco de 
cada operador) a incerteza do instrumento de medida 
— a régua milimetrada — é igual a 0,5mm. Portanto, 
observe que todos os valores apresentados 
continham algarismos até os décimos de milímetro, 
isto é, uma casa decimal em milímetros. 
 
2.9. Algarismos significativos 
 
Quando o valor de uma grandeza é determinado 
pela média de diversas repetições de uma mesma 
medida, o número de algarismos significativos será 
determinado pelo erro experimental, sendo que o erro 
experimental (incerteza) deve ser apresentado com 
apenas um dígito diferente de zero. Novamente 
voltando ao exemplo das medidas do comprimento da 
barra, temos que a primeira medida é 
 
ℓ = (124,9 ± 0,7) mm ; 
 
note que a medida contém até décimos de milímetros, 
pois a incerteza da medida é igual a quatro décimos 
de milímetros. O valor obtido a partir do segundo 
conjunto de medidas foi apresentado como 
 
ℓ´= (125 ± 1) mm ; 
 
note que agora a medida contém apenas até as 
unidades de milímetros, pois a incerteza da medida 
calculada foi 1,0 mm e, como a incerteza deve ser 
expressa com apenas um dígito diferente de zero, 
tem-se σ´ = 1 mm. 
 
2.10. Exercício: 
Joãozinho mediu a altura do “pé direito” da casa onde 
mora; fez seis medidas em pontos diferentes de uma 
mesma sala, usando uma trena cuja menor marcação 
era um milímetro. Os valores obtidos por Joãozinho 
8 
 
são expressos na tabela abaixo, a partir deles calcule 
o valor do pé direito da casa e apresente-o da forma 
tecnicamente mais correta. 
Neste caso, apesar da precisão da trena ser de 
5,0=iσ mm devemos também considerar o “arranjo” 
experimental, ou seja, as condições em que a medida 
é feita. Quem já usou uma trena (milimetrada) para 
obter medidas em uma construção sabe que seria 
absurdo afirmar que o erro sistemático (erro tipo B) é 
de apenas 0,5 mm (existem também outros erros 
como paralelismo, etc que serão discutidos mais 
adiante no curso). Considere, portanto, um erro tipo B 
dez vezes maior 
⇒ 5,0=Bσ cm. 
 
295,0 298,5 294,7 
296,2 297,0 295,5 
Tab. 2.10: Medidas para o “pé direito” da casa de Joãozinho. Valores em cm. 
 
Resposta: cmh )2296( ±= 
9 
 
3. Medições de Tempo 
 
Neste capítulo todas as técnicas anteriormente 
apresentadas serão utilizadas para obtermos o valor do 
período de oscilação de um pêndulo simples. Iniciaremos 
o capítulo com as definições básicas do que é um 
pêndulo simples e posteriormente será apresentado um 
exemplo de todo o processo de tomada das medidas e 
do tratamento dos dados experimentais. 
 
3.1. O pêndulo simples 
 
Podemos definir um pêndulo simples como um 
pequeno corpo, cujas dimensões são desprezíveis, 
suspenso por um fio inextensível e de massa 
desprezível. Uma das extremidades do fio é fixa e a outra 
está presa à partícula. Desprezando os efeitos da 
resistência do ar e possíveis efeitos do atrito na 
extremidade fixa do fio, a partícula oscila, para frente e 
para trás, em um plano vertical, quando a partícula for 
deslocada da posição de equilíbrio e abandonada. 
 
3.2. O pêndulo real 
 
Uma simples análise de um pêndulo real evidencia 
que ele é bastante diferente de um pêndulo simples(ideal). Entretanto, na prática científica, é muito comum 
introduzir aproximações dos objetos reais com relação 
aos objetos e situações ideais. Analisando um pêndulo, é 
fácil notar que há muitas discrepâncias entre o modelo e 
o real: a massa presa na extremidade do fio não tem 
dimensão desprezível, o fio tem massa e não é 
totalmente rígido, existe atrito entre o fio e o sistema de 
fixação do mesmo e, ainda, existe atrito entre o pêndulo 
e o ar durante o movimento de oscilação. Uma prova 
cabal da existência de todos esses atritos é que a 
amplitude de oscilação do pêndulo vai sendo reduzida 
com o passar do tempo, até que o pêndulo finalmente 
pare de oscilar. Como sabemos que a energia é sempre 
conservada, tem-se que a energia mecânica de oscilação 
foi convertida em energia térmica (note o aumento da 
temperatura das partes atritadas). 
Apesar de tantas discrepâncias entre o pêndulo ideal 
e o real, podemos observar que: 
 
• o tamanho da massa presa na extremidade do fio é 
pequena em relação ao comprimento total do 
pêndulo; 
• a massa do fio é pequena em relação a massa da 
esfera; 
• para a massa presa na extremidade do fio, a 
deformação sofrida pelo mesmo é imperceptível; F 
P 
θ 
θ 
10 
 
• quando o ângulo de deslocamento inicial do pêndulo 
for de até 100, a redução da amplitude do pêndulo ao 
longo de dez oscilações será quase imperceptível. 
 
Podemos então dizer que o pêndulo real que será 
utilizado em nossa atividade prática é uma boa 
aproximação de um pêndulo simples ideal. 
 
3.3. Período 
 
O período de um movimento periódico qualquer é 
definido como o tempo necessário para completar uma 
oscilação completa. A partir dessa definição, podemos 
então dizer que o período do pêndulo simples é o tempo 
gasto pelo pêndulo para realizar um movimento de ida e 
vinda do objeto. 
 
3.4. Como medir o período de um pêndulo 
simples? 
 
 A primeira idéia que um estudante pode ter de como 
medir o período de um pêndulo simples é simplesmente 
cronometrar o tempo que pêndulo demora para executar 
um oscilação (ida e volta). Entretanto tal procedimento 
conduz a uma medida pouco confiável. É bem sabido 
que todos os seres humanos têm um tempo de reação 
entre ver um fenômeno e acionar o cronômetro, seja para 
iniciar ou para terminar a contagem do tempo. Isso quer 
dizer que ao cronometrar diretamente um período esse 
erro será cometido duas vezes, e obviamente fará parte 
da medida. Usando a cronometragem manual não 
podemos, obviamente, eliminar o tempo de reação das 
nossas medidas. Entretanto, podemos adotar uma 
sistemática de tomada de tempos capaz de reduzir o erro 
contido nas medidas. Se ao invés de cronometrar um 
período de oscilação, cronometrarmos dez períodos de 
oscilações e, depois, dividirmos o resultado por dez, o 
erro de reação contido na medida será dez vezes menor. 
Como foi visto nos capítulos anteriores, uma medida 
deve ser repetida diversas vezes para, a partir do cálculo 
da média e do desvio padrão, estabelecer o valor da 
medida e a confiabilidade da mesma. Por esse motivo, 
para medirmos o período do pêndulo simples, 
adotaremos o procedimento de repetir a medida (de dez 
oscilações) cinqüenta vezes. A partir dos cinqüenta 
valores medidos será possível obter um valor para o 
período e estabelecer a precisão do mesmo; através do 
cálculo da incerteza da medida. 
 
3.5. Procedimento Experimental 
 
O procedimento experimental para uma boa tomada 
de dados pode ser feito seguindo os seguintes passos: 
 
• Desloque o pêndulo em relação a posição de 
equilíbrio de um ângulo de até 100; 
• Cronometre o tempo que o pêndulo gasta para 
completar dez oscilações (dez idas e vindas); 
• Anote o resultado, com as duas casas decimais (em 
segundos), obtido com o cronômetro. 
• Repita os procedimentos acima 50 vezes; 
• Ordene todas as medidas obtidas em ordem 
crescente; 
• Divida cada uma das cinqüenta medidas por 10 e 
mantenha duas casas decimais; 
• Calcule a média e o desvio padrão para o conjunto 
das cinqüenta medidas. 
11 
 
3.6. Exemplo 
 
Seguindo o procedimento experimental descrito na 
secção anterior, cada bancada irá obter uma tabela 
como a apresentada a seguir: 
 
TEMPO PARA 10 OSCILAÇÕES(s) 
18.54 18.71 18.76 18.83 18.89 
18.55 18.74 18.77 18.85 18.90 
18.56 18.74 18.77 18.85 18.91 
18.57 18.75 18.78 18.87 18.93 
18.65 18.75 18.78 18.87 18.93 
18.65 18.75 18.79 18.88 18.95 
18.67 18.75 18.81 18.88 18.97 
18.69 18.76 18.82 18.89 19.03 
18.69 18.76 18.83 18.89 19.06 
18.69 18.76 18.83 18.89 19.09 
 
e 
 
Período(s) 
1.85 1.87 1.88 1.88 1.89 
1.86 1.87 1.88 1.89 1.89 
1.86 1.87 1.88 1.89 1.89 
1.86 1.88 1.88 1.89 1.89 
1.87 1.88 1.88 1.89 1.89 
1.87 1.88 1.88 1.89 1.90 
1.87 1.88 1.88 1.89 1.90 
1.87 1.88 1.88 1.89 1.90 
1.87 1.88 1.88 1.89 1.91 
1.87 1.88 1.88 1.89 1.91 
 
Para estabelecer o valor do período (T) de oscilação 
do pêndulo, temos de calcular o valor médio das 
cinqüenta medidas e o respectivo desvio padrão. 
 Fazendo os cálculos, para a tabela exemplo os 
valores encontrados foram: 
 
sT 88,1=
 e s01,0=σ 
ou, ainda, 
( ) sT 01,088,1 ±=
 
 
3.7. Comparação dos dados com o padrão da 
gaussiana 
 
Para um conjunto de medidas estar de acordo com os 
padrões da distribuição de Gauss (curva de Gauss), é 
necessário que as medidas estejam concentradas em 
torno da média da seguinte forma: 
 
 Intervalo (s) Freqüência (%) 
1 σσ +<<− TTT 68.3% 
2 σσ 22 +<<− TTT 95.5% 
3 σσ 33 +<<− TTT 99.7% 
 
A coluna intitulada freqüência indica o percentual 
mínimo de medidas que tem de estar no intervalo 
especificado. Especificamente para o exemplo do qual 
estamos tratando, vejamos como fica a análise: 
 
Intervalo (s) Medido Mínimo 
1.87 a 1.89 82% 68.30% 
1.86 a 1.90 94% 95.50% 
1.85 a 1.91 100% 99.70% 
 
Como todos os percentuais medidos ficaram acima 
dos percentuais mínimos, podemos concluir que as 
medidas estão boas. 
12 
 
4. Leitura de uma escala milimetrada 
 
4.1. Objetivo da Experiência 
 
O objetivo desta prática é analisar a precisão de 
medidas de comprimentos feitas com uma régua 
milimetrada. Para atingirmos esse objetivo, vamos 
comparar as medidas de comprimentos obtidas com uma 
régua milimetrada de boa qualidade e as medidas de 
referência, para os mesmos comprimentos, apresentadas 
em uma tabela em anexo. 
 
4.2. Medindo comprimentos com uma régua 
 
Ao usarmos uma régua milimetrada para medir um 
comprimento, a melhor leitura é feita computando todos 
os algarismos de leitura direta mais o primeiro algarismo 
avaliado. 
A figura abaixo exemplifica uma típica leitura feita 
com uma régua milimetrada. 
 
 
A 
melhor leitura do comprimento da barra é: 
( )mm5,06,128 ±=l , onde a incerteza é somente a tipo B, 
isto é, proveniente somente do erro sistemático. Como 
somente uma leitura foi realizada, a incerteza do Tipo A 
(estatística) é igual a zero e a incerteza da medida é 
igual a σB. 
Observe que a presença dos décimos de milímetros é 
obrigatória na leitura do comprimento. No exemplo da 
figura abaixo a baixo, a melhor leitura é 
( )mm5,00,125 ±=l , onde o zero na casa dos décimos de 
milímetros indica que o final da barra coincide com o 
traço 125 da régua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3. Procedimento Experimental 
 
Com o intuito de comparar a leitura feita com uma 
régua de boa qualidade com a leitura feita por um 
instrumento mais preciso, cada aluno deverá medir a 
distância entre as marcas (traços) de todas as barras 
da caixa de barras. 
 
 
 
 
 
 
 
12 13 
cm 
12 13 
cm 
Medir esta distância 
13 
 
Além de anotar o valor medido, o aluno deve também 
anotaro número impresso na barra, pois é com este 
código que será possível saber a medida de 
referência da barra. Sendo assim, é aconselhável 
preencher a seguinte tabela: 
 
Número 
da Barra 
Distância entre as marcas Diferença 
Medida (mm) Referência (mm) (Med - Ref)(mm) 
 
 
 
 
 
 
4.4. Análise dos dados 
 
Após preencher a tabela, podemos iniciar a 
análise dos dados. Note que como o objetivo da 
prática é avaliar a precisão da leitura feita com a 
régua milimetrada, a variável que iremos analisar é a 
diferença entre as medidas, ou seja, os valores 
contidos na última coluna à direita da tabela acima. 
Os valores lá contidos expressam as diferenças, 
positivas e negativas, entre as leitura feitas com a 
régua e os chamados valores de referência. Assim 
sendo, os δ ´s expressam os erros cometidos na 
leitura direta feita com a régua. 
O primeiro passo é calcular a média dos deltas, δ , 
e o desvio padrão σ. Teremos então que o erro médio 
cometido ao medir comprimentos com uma régua 
será: σδδ ±= . O passo seguinte na análise da 
precisão de leitura é verificar se as medidas obtidas 
satisfazem as condições estabelecidas a partir da 
gaussiana. Isto quer dizer que devemos fazer verificar 
se as medidas estão de acordo com o seguinte 
padrão: 
 
 Intervalo (mm) Freqüência (%) 
1 σδδσδ +<<− 68.3% 
2 σδδσδ 22 +<<− 95.5% 
3 σδδσδ 33 +<<− 99.7% 
 
4.5. Interpretação dos dados 
 
Se os dados obtidos para os δ ´s estiverem de acordo 
com a tabela acima, isso significa que o erro cometido ao 
medir comprimentos usando uma régua é 
aproximadamente “constante”. Contrariamente, se os δ
´s não satisfizerem os três sigmas, isso mostra que o 
erro cometido ao medir comprimentos com a régua é 
aleatório e, portanto, que o aluno deve ser mais atento 
ao fazer tais leituras. 
 
 
14 
 
4.6. Tabelas 
 
CONJUNTO A 
Peça D(mm) Peça D(mm) Peça D(mm) Peça D(mm) 
1 125,750 10 125,460 19 144,955 28 144,790 
2 125,630 11 125,210 20 144,915 29 144,565 
3 125,600 12 125,130 21 144,890 30 145,160 
4 125,325 13 125,425 22 144,800 31 144,780 
5 125,420 14 125,420 23 145,150 32 144,835 
6 125,445 15 125,500 24 145,000 33 144,955 
7 125,485 16 125,065 25 145,140 34 145,190 
8 125,310 17 125,380 26 144,770 35 144,980 
9 125,285 18 125,250 27 144,650 36 144,820 
 
 
 
 
CONJUNTO B 
Peça D(mm) Peça D(mm) Peça D(mm) Peça D(mm) 
1 117,240 10 113,810 19 126,535 28 
2 114,685 11 113,870 20 128,865 29 
 
3 117,250 12 117,780 21 118,910 30 
 
4 122,980 13 122,000 22 119,270 31 144,780 
5 115,475 14 114,500 23 116,690 32 144,835 
6 121,110 15 116,660 24 
 
33 144,955 
7 125,250 16 123,375 25 
 
34 145,190 
8 120,580 17 120,790 26 
 
35 144,980 
9 119,360 18 121,215 27 36 144,480 
 
15 
 
5. Medidas com paquímetro 
 
Nesta aula iniciaremos o uso do paquímetro como 
instrumento de medida. Paquímetros são instrumentos 
de precisão de grande utilidade; podem ser usados para 
medir diâmetros externos e internos de objetos, 
comprimento e também profundidade. A precisão das 
medidas realizadas com paquímetros é 
consideravelmente maior do que a conseguida com 
réguas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.1. Por que o paquímetro é mais preciso que a 
régua? 
 
Réguas contem apenas uma escala milimetrada 
fixa, ao passo que um paquímetro possui duas 
escalas: uma fixa e uma móvel (nônio). A escala 
móvel funciona como uma ampliação do 
espaçamento entre dois traços (milímetros) 
consecutivos da escala fixa. 
 
5.2. Incerteza do Tipo B 
 
O paquímetro que será utilizado em nosso 
laboratório é do tipo analógico. Sua incerteza, 
incerteza do instrumento (erro sistemático), será dada 
pela menor escala de medida do instrumento. Em 
particular, a menor escala do nônio (ou vernier) do 
paquímetro que utilizaremos é 0,05mm, pois o nônio 
possui 20 divisões, dividindo a escala principal 
(milimetrada) em 20 partes iguais: 
 
mm
mm
B 05,020
1
==σ 
 
5.3. Incerteza 
 
A incerteza de uma medida experimental feita 
repetidas vezes é uma combinação da incerteza do 
Tipo A (estatística) e a incerteza do Tipo B (não 
estatística). A composição dos dois tipos de 
incertezas é feita da seguinte forma: 
 
22
BA σσσ += . 
 
Para a incerteza do tipo A será usada em nosso curso 
o próprio desvio padrão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
5.4. Parte prática 
 
O objetivo da prática deste capítulo é, usando um 
paquímetro, medir o diâmetro de um prego e avaliar 
se esse diâmetro é constante ao longo do objeto. 
Para realizarmos o experimento, cada um dos grupos 
deve seguir o seguinte procedimento: 
• Use o paquímetro e meça o diâmetro do 
prego em 20 pontos diferentes; 
• Calcule a média d e o desvio padrão σA do 
conjunto de valores; 
• Escreva o diâmetro do prego da seguinte 
forma: mmdd BA )( σσ ±±= ; 
• Calcule a incerteza σ da medida a partir das 
incertezas σA e σB usando a equação 
22
BA σσσ += ; 
• A partir dos valores obtidos, avalie o 
número de algarismos significativos que a 
medida deve conter; 
• Escreva corretamente o valor final da 
medida, ou seja, mmdd )( σ±= 
• Usando os valores de d e σ, avalie o 
conjunto de medidas de acordo com os 
níveis de segurança da gaussiana (três 
sigmas). 
 
 
 
 
5.5. Conclusões 
 
Caso as medidas não satisfaçam os níveis de 
segurança, será possível concluir que o diâmetro do 
prego não é constante. Ao contrário, caso as medidas 
satisfaçam os níveis de segurança, será possível 
concluir que o diâmetro do prego é constante. 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
6. Incerteza em medidas indiretas (Propagação de 
Incertezas) 
 
Todas as medidas obtidas até este ponto de nosso 
curso foram relacionadas à medidas diretas. O 
comprimento das distâncias entre as marcas das barras 
e o diâmetro dos pregos são grandezas medidas 
diretamente, com um instrumento apropriado. Vimos 
também que a incerteza nessas medidas diretas é 
composta da incerteza estatística (σA), adotada neste 
curso como o desvio padrão, e da incerteza não 
estatística (σB). 
A partir desta aula, iniciaremos o estudo das medidas 
obtidas de forma indireta, i.e., de uma composição de 
medidas diretas. Especificamente analisaremos o 
problema de como medir a área de uma placa, a partir 
das medidas diretas dos lados da placa. 
 
6.1. Como medir a área de uma placa 
 
Da geometria plana sabemos que a área de uma 
placa, como a da figura ao lado, é calculada a partir do 
produto dos lados da placa. 
 
 
 
 
Observemos, entretanto, que para medir a área da placa 
usando um paquímetro, temos de medir o comprimento 
dos lados L e C para, de forma indireta (através de 
cálculos), obter o valor de S. 
Vimos nas aulas anteriores, que para medir 
comprimentos, temos de fazer uma série de medidas e, 
posteriormente, calcular o valor médio e a incerteza 
relacionados às medidas. Assim sendo, os valores de L e 
de C deverão ser expressos como: 
 
mmLL L )( σ±= 
e 
mmCC C )( σ±= . 
 
Seguindo este mesmo tipo de tratamento, devemos 
esperar que a área da placa seja expressa como: 
 
 
 
 
Como σS pode ser obtido? É intuitivo que o valor de 
σS depende dos valores de σL, σC, L e <C>. A tabela em 
apêndice mostra detalhadamente como as incertezas de 
medidas indiretas podem ser obtidas. Especificamente 
para a área de uma placa, a incerteza da área é dada da 
seguinte forma: 
 
 
6.2. Parte prática 
 
Para medir a área da placa, siga o seguinte roteiro: 
 
a. Usando um paquímetro, meça L em dez pontos 
diferentes da placa; 
CLS ×=
( ) 2mmSS Sσ±=22






+






××=
CL
CL CLS
σσ
σ
18 
 
b. Usando um paquímetro, meça C em dez pontos 
diferentes da placa; 
c. Calcule o valore médio L e o desvio padrão (σA)L; 
d. Calcule o valore médio C e o desvio padrão (σA)C; 
e. Calcule as incertezas das medidas de L e de C da 
seguinte forma: 
 
( ) ( )22
PaquímetroBLAL
σσσ +=
 
 
( ) ( )22
PaquímetroBCAC
σσσ +=
 
 
f. Calcule o valor de <S> da seguinte forma: 
 
CLS ×=
 
 
g. Calcule a incerteza de S da seguinte forma: 
 
22






+






××=
CL
CL CLS
σσ
σ
 
 
h. Expresse a área da placa, utilizando o número correto 
de algarismos significativos: 
 
2)( mmSS Sσ±= 
19 
 
7. Incerteza em medidas indiretas: Volume 
 
Nesta aula faremos mais um exercício de aplicação 
relativo às medidas obtidas de forma indireta. Conforme 
foi mostrado na aula anterior, o cálculo da incerteza de 
uma medida indireta envolve as médias e as incertezas 
das medições diretas. O objeto de estudo desta vez será 
o volume de um cilindro. 
 
7.1. Volume do Cilindro 
 
O volume de um cilindro, como o da figura abaixo, é 
dado pelo produto da área da base pela altura do 
cilindro. Por sua vez, a área da base é calculada a partir 
da medida do raio da base como: 2RSBASE pi= . É fácil de 
ver que, usando um paquímetro, o que podemos medir 
diretamente não é o raio do cilindro, mas sim o diâmetro. 
Assim, 2
2
42
DSDS BASEBASE
pi
pi =⇒






= . O volume do 
cilindro é então: 
 
HDHSV BASE
2
4
pi
=×=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.2. Incerteza do Volume do Cilindro 
 
Para medir o volume de um cilindro, as grandezas 
que são diretamente medidas são o diâmetro e a 
altura do cilindro. Assim o volume é dado por: 
HDV ⋅⋅= 2
4
pi
 
e a incerteza da medida do volume é dada por: 
 
















+






⋅
⋅=
222
HD
V HDV
σσ
σ
 
H 
D 
20 
 
7.3. Prática 1 
 
Para medir o volume do cilindro, siga o seguinte 
roteiro: 
 
a. Usando um paquímetro, meça D em dez pontos 
diferentes do cilindro; 
b. Usando um paquímetro, meça H em dez pontos 
diferentes do cilindro; 
c. Calcule o valore médio D e o desvio padrão (σA)D; 
d. Calcule o valore médio H e o desvio padrão (σA)H; 
e. Calcule as incertezas das medidas de H e de D da 
seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
f. Calcule o valor de <V> da seguinte forma: 
 
HDV ⋅⋅= 2
4
pi
 
 
g. Calcule a incerteza de V da seguinte forma: 
 
















+






⋅
⋅=
222
HD
V HDV
σσ
σ
 
 
h. Expresse o volume do cilindro, utilizando o número 
correto de algarismos significativos: 
 
 
3)( cmVV Vσ±=
( ) ( )22
PaquímetroBDAD
σσσ +=
( ) ( )22
PaquímetroBHAH
σσσ +=
21 
 
7.4. Prática 2 
 
Para medir o volume do cilindro vazado, siga o 
seguinte roteiro: 
 
a. Usando um paquímetro, meça o diâmetro interno d 
em dez pontos diferentes do cilindro; 
b. Usando um paquímetro, meça a profundidade (altura 
interna) h em dez pontos diferentes do cilindro; 
c. Calcule o valore médio d e o desvio padrão (σA)d; 
d. Calcule o valore médio h e o desvio padrão (σA)h; 
Calcule as incertezas das medidas de h e de d da 
seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
e. Calcule o valor de ernoVint da seguinte forma: 
 
hdV erno ⋅⋅=
2
int 4
pi
 
 
f. Calcule a incerteza de V da seguinte forma: 
 
















+






⋅
⋅=
22
intint
2
hd
V hdernoerno
σσ
σ
 
 
g. Expresse o volume interno do cilindro, utilizando o 
número correto de algarismos significativos: 
 
 
 
3
intintint )( cmVV ernoernoerno σ±=( ) ( )22
PaquímetroBhAh
σσσ +=
( ) ( )22
PaquímetroBdAd
σσσ +=
22 
 
h. Usando um paquímetro, meça o diâmetro externo D 
em dez pontos diferentes do cilindro; 
i. Usando um paquímetro, meça a altura externa H em 
dez pontos diferentes do cilindro; 
j. Calcule o valore médio D e o desvio padrão (σA)D; 
k. Calcule o valore médio H e o desvio padrão (σA)H; 
Calcule as incertezas das medidas de H e de D da 
seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
l. Calcule o valor de <VExterno> da seguinte forma: 
 
HDVexterno ⋅⋅=
2
4
pi
 
 
m. Calcule a incerteza de Vexterno da seguinte forma: 
 
















+






⋅
⋅=
222
HD
V HDexternoiexterno
σσ
σ
 
 
n. Expresse o volume externo do cilindro, utilizando o 
número correto de algarismos significativos: 
 
 
 
o. Calcule o volume do cilindro a partir dos volumes 
externo e interno, da seguinte forma: 
 
ernoexterno VVV int−= 
 
p. Calcule a incerteza da medida de V componto as 
incertezas das medidas dos volumes externo e 
interno, da seguinte forma: 
 
( )22int externoernoV σσσ += 
 
3)( cmVV externoexternoexterno σ±=
( ) ( )22
PaquímetroBHAH
σσσ +=
( ) ( )22
PaquímetroBDAD
σσσ +=
8. Escalas Lineares 
 
Uma das ferramentas mais importantes nos processos 
de análises de dados é a análise de gráficos, os quais 
são obtidos a partir dos experimentais. A análise gráfica 
é poderosa pois permite avaliar o comportamento de 
uma variável em relação a outra. Por exemplo, é possível 
saber se o movimento de uma partícula é acelerado 
não) pela forma do gráfico da posição da partícula em 
relação ao tempo de movimento. 
Usualmente, na Física Experimental, bem como na 
Ciência em geral, busca-se a relação entre grandezas 
que influenciam fenômenos, com o intuito de determinar 
as causas desses fenômenos; também é comum o uso 
de gráficos quando o objetivo é, simplesmente, descrever 
um determinado fenômeno ou movimento. Gráficos 
permitem uma análise visual e global dos dados obtidos
Nesta aula iniciaremos o estudo da análise de dados 
via gráficos, pelo estudo das escalas lineares. Ao longo 
do curso de Física Experimental 1 serão estudadas, 
ainda, as escalares logarítmicas (mono-log e di
Antes de iniciarmos o estudo dos gráficos propriament
dito, faremos uma breve revisão das funções lineares.
 
Uma das ferramentas mais importantes nos processos 
é a análise de gráficos, os quais 
são obtidos a partir dos experimentais. A análise gráfica 
é poderosa pois permite avaliar o comportamento de 
uma variável em relação a outra. Por exemplo, é possível 
saber se o movimento de uma partícula é acelerado (ou 
não) pela forma do gráfico da posição da partícula em 
Usualmente, na Física Experimental, bem como na 
se a relação entre grandezas 
que influenciam fenômenos, com o intuito de determinar 
esses fenômenos; também é comum o uso 
de gráficos quando o objetivo é, simplesmente, descrever 
um determinado fenômeno ou movimento. Gráficos 
permitem uma análise visual e global dos dados obtidos 
iniciaremos o estudo da análise de dados 
via gráficos, pelo estudo das escalas lineares. Ao longo 
do curso de Física Experimental 1 serão estudadas, 
log e di-log). 
Antes de iniciarmos o estudo dos gráficos propriamente 
dito, faremos uma breve revisão das funções lineares. 
8.1. Funções Lineares 
 
De forma geral, podemos definir uma função linear 
como sendo uma função do tipo: 
 
( ) abxxf += ; 
 
onde os coeficientes b e a são denominados, 
respectivamente, coeficiente angular e coeficiente linear.O gráfico de uma função linear tem a forma de uma reta, 
por isso a equação acima é também conhecida como 
equação da reta. 
Vejamos o seguinte exemplo: seja a função 
23)( += xxf ; o gráfico desta função é obtido confo
figura a seguir. 
x Y 
-3 -7 
-2 -4 
-1 -1 
0 2 
1 5 
2 8 
3 11 
23 
 
De forma geral, podemos definir uma função linear 
; 
onde os coeficientes b e a são denominados, 
angular e coeficiente linear. 
O gráfico de uma função linear tem a forma de uma reta, 
por isso a equação acima é também conhecida como 
Vejamos o seguinte exemplo: seja a função 
; o gráfico desta função é obtido conforme a 
 
8.1.1. Significado dos Coeficientes
 
O coeficiente angular de uma reta fornece a 
inclinação da reta, na verdade ele é a tangente do ângulo 
de inclinação da reta. A figura a seguir mostra o gráfico 
de duas funções lineares cujos coeficientes lineares são 
iguais, 521 == aa , mas os angulares são diferentes, 
21 bb ≠ . 
 
 
O coeficiente linear, por outro lado, indica o ponto em 
que a reta corta o eixo-y. A figura ao lado
gráfico de duas funções lineares cujos 
lineares são diferentes, 21 aa ≠ , mas os angulares são 
iguais, 2
2
4
21 === bb . 
Significado dos Coeficientes 
O coeficiente angular de uma reta fornece a 
inclinação da reta, na verdade ele é a tangente do ângulo 
mostra o gráfico 
es lineares são 
, mas os angulares são diferentes, 
O coeficiente linear, por outro lado, indica o ponto em 
y. A figura ao lado mostra o 
gráfico de duas funções lineares cujos coeficientes 
, mas os angulares são 
 
8.2. Construção de Gráficos de escala lineares
 
8.2.1. Módulos de Escala 
 
Para representar a dependência funcional entre duas 
variáveis físicas é necessário, primeiramente, obter os 
valores dos pares (x,y) a serem estudados; é necessário 
também criar uma escala para desenhar o gráfico. A 
escala fornece a relação entre a grandeza a ser 
representada e o comprimento que a irá representar no 
papel. O módulo de escala pode ser obtido da seguinte 
forma: 
 
Maior
X X
oXComprimentM =
 e Y
ComprimentM =
 
24 
 
Gráficos de escala lineares 
Para representar a dependência funcional entre duas 
ssário, primeiramente, obter os 
valores dos pares (x,y) a serem estudados; é necessário 
para desenhar o gráfico. A 
escala fornece a relação entre a grandeza a ser 
representada e o comprimento que a irá representar no 
de escala pode ser obtido da seguinte 
MaiorY
oYCompriment
. 
25 
 
8.2.2. Representação das Incertezas 
 
É bem sabido que toda medida experimental tem uma 
incerteza (erro) a ela associado; tal erro deve também 
fazer parte de uma representação gráfica da medida. Tal 
representação gráfica é feita com uma linha (em escala) 
em torno do ponto demarcado no desenho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.3. Prática: Exercício sobre escalas lineares 
 
I. Faça o gráfico ( ) ( )y m x s× para a função 
( ) 2 3y x x= + para os valores de x da tabela; coloque 
na tabela, explicitamente, os fatores de escala 
adotados. Utilizando o gráfico calcule os 
coeficientes a e b. 
 
X(s) Y(m) X(s) Y(m) 
0 3 4 15 
1 5 5 17 
2 8 6 20 
3 11 7 23 
 
II. A tabela abaixo apresenta dados experimentais 
para um movimento retilíneo uniforme, medido no 
CGS. Os dados obedecem a função tvsts ⋅+= 0)( . 
Trace melhor a reta ( ) ( )s cm t s× e escreva na tabela, 
explicitamente, os fatores de escala adotados. A 
partir do gráfico, calcule os valores de s0 e de v. 
 
( )t s ( )( )s cm 
1,0 1,3 
2,5 3,7 
3,6 5,4 
5,0 7,3 
6,4 9,5 
8,0 11,8 
10,0 14,5 
12,0 17,7 
14,5 21,3 
17,0 25,2 
 
 
y 
σx 
σy 
x 
26 
 
9. Lei de Hooke 
 
Na aula de hoje será analisado o comportamento de 
uma mola, fixa em uma extremidade, sujeita à ação de 
uma força (peso). Será visto que, nesse sistema, a 
aplicação da força (causa) implica um efeito, que é a 
deformação da mola. Parte das ferramentas de análise 
experimental que foram vistas até aqui serão utilizadas 
para descobrir as regularidades que existem na resposta 
da mola (efeito) à força (causa) sobre ela aplicada. 
Os conhecimentos necessários para a atividade 
prática desta aula são: medidas de comprimento usando 
escala milimetrada e confecção de um gráfico linear, em 
papel milimetrado. 
 
9.1. A lei de Hooke 
 
O cientista inglês Robert Hooke (1635 - 1703) 
estudou assuntos como Instrumentos Científicos, 
Arquitetura, Navegação, Cartografia e Aparelhos 
Mecânicos. Em 1676 ele sintetizou partes dos 
conhecimentos que adquiriu sobre o comportamento de 
corpos sujeitos a tensões da 
seguinte forma: "a tensão 
resultante da aplicação de 
uma força em um material é 
diretamente proporcional à sua 
deformação". Esta expressão 
ficou conhecida como Lei de 
Hooke. 
Para um sistema massa-
mola, como o da figura ao 
lado, a lei de Hooke implica 
que a deformação do comprimento da mola é 
diretamente proporcional à foca aplicada. 
Matematicamente, temos que: 
 
xkF r
r
= ; 
 
onde k é a constante elástica da mola. Cada mola tem 
uma constante k que a caracteriza. 
 
9.2. Aplicações da lei de Hooke 
 
A lei de Hooke tem diversas aplicações na vida 
cotidiana. Uma das mais comuns é a balança de molas, 
cujo princípio de funcionamento é 
basicamente a lei de Hooke. 
Para construir uma balança de molas é 
preciso de uma mola e um conjunto de 
massas conhecidas. Medindo o 
comprimento que a mola assume em 
resposta a aplicação dos pesos conhecidos 
é possível obter a constante k da mola. A 
partir daí, quando uma massa 
desconhecida é pendurada na extremidade 
da mola, é possível medir o novo 
comprimento (deformado) da mola e obter 
o valor do peso a partir da lei de Hooke, ou 
seja, P = kx. É basicamente isso que a 
escala (linear) de uma balança de molas faz. 
 
 
27 
 
9.3. Roteiro da Experiência 
 
a. Usando uma escala milimetrada, obtenha o 
comprimento da mola quando sujeita às forças 
0,0N, 1,0N, 1,5N, 2,0N, 2,5N e 3,0N. 
b. Repita o procedimento acima cinco vezes. 
c. Calcule a média das medidas obtidas para cada 
um dos pesos aplicados. 
d. Calcule o desvio padrão das medidas obtidas para 
cada um dos pesos aplicados. 
e. Sabendo que a incerteza tipo B de uma escala 
milimetrada é 0,5mm, calcule a incerteza 
combinada das medidas obtidas para cada um 
dos pesos aplicados. 
f. Usando os valores obtidos e uma folha de papel 
milimetrado, construa um gráfico comprimento X 
peso. 
g. Obtenha a inclinação da reta experimental. 
 
9.4. Exemplo 
 
Comprimento da Mola (mm) 
Peso (N) M1 M2 M3 M4 M5 X D.P. σ 
83.0 83.8 83.4 83.6 83.5 83.5 0.3 0.6 0.0 
88.0 85.0 87.0 86.0 86.3 86.5 1.1 1.2 1.0 
90.0 87.0 86.0 89.5 90.0 88.5 1.9 1.9 1.5 
91.0 89.0 89.5 89.0 90.0 89.7 0.8 1.0 2.0 
90.0 92.0 90.0 90.5 91.0 90.7 0.8 1.0 2.5 
93.0 92.5 92.0 92.0 92.0 92.3 0.4 0.7 3.0 
 
82 84 86 88 90 92 94
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
P
e
s
o
 
(
N
)
X (mm)
 
Cálculo da constante elástica: 
 
∆X 
∆Y 
mmN
M
X
M
Y
k
X
Y /












∆
∆
=
28 
 
10. Correlação e Regressão Linear 
 
Como é possível saber se a relação entre duas 
variáveis, x e y, é linear? A partir de um conjunto de 
dados experimentais para as variáveis, é possível obter 
um diagrama de dispersão e, a partir deste, observar se 
os pontos do diagrama indicam que a relação é linear, ou 
seja, se o gráfico x X y é uma reta. Esse método gráfico 
foi utilizado no capítulo anterior. A partir do método 
gráfico é também possível obter os coeficientes angular e 
linear da reta, conforme feito na análise de dados daexperiência sobre a lei de Hooke. 
Um outro método usado para identificar o tipo de 
relação existente entre duas variáveis é o estudo da 
correlação. Se a análise da correlação entre as variáveis 
x e y indicar que há uma relação linear entre elas, é 
então possível determinar a melhor reta que se ajusta 
aos valores experimentais usando o Método dos Mínimos 
Quadrados. Neste capítulo serão apresentados estes 
métodos numéricos de análise de dados. 
 
10.1. Coeficiente de Correlação 
 
A partir de um conjunto (tábua) de valores 
experimentais de duas variáveis (x e y), é possível 
calcular o nível de correlação entre os valores. O 
coeficiente r, que é definido como: 
 
 A definição de r implica que seu valor varia entre -
1 e +1. Tal coeficiente indica que quanto mais próximo de 
+1 mais perfeita será a correlação positiva. Quanto mais 
próxima de -1, mais perfeita será a correlação negativa. 
Um coeficiente r próximo de 0 indica que não há 
correlação entre as variáveis, ou seja, os valores de y 
não são influenciados pelos de x, indicando que não há 
uma relação causal entre as variáveis. 
 
10.2. Cálculo de r: exemplo numérico 
 
Utilizando os dados obtidos para o experimento da lei 
de Hooke, vamos mostrar como é possível obter o valor 
de r. Os dados são: 
 
 
 
Peso (N) 
 
 X(mm) XxPeso X^2 Peso^2 
 83.5 0.0 0.0 6965.6 0.0 
 86.5 1.0 86.5 7475.3 1.0 
 88.5 1.5 132.8 7832.3 2.3 
 89.7 2.0 179.4 8046.1 4.0 
 90.7 2.5 226.8 8226.5 6.3 
 92.3 3.0 276.9 8519.3 9.0 
TOTAL 531.1 10.0 902.3 47065.0 22.5 
 
As últimas três colunas da tabela acima, bem 
como a última linha, serão usadas para o cálculo de r. O 
valor de r para os dados acima será, então: 
 
{ }))610(5,22())61,531(0,47065(
)6101,5313,902(
22
÷−×÷−
÷×−
=r 
 
1~996,0 rr ⇒≅ 
( ) ( )








−⋅








−
⋅
−
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑ ∑
n
y
y
n
x
x
n
yx
xy
r
2
2
2
2
29 
 
Note que o cálculo de r nos leva à mesma 
conclusão que a análise gráfica, ou seja, há uma forte 
correlação positiva entre as variáveis comprimento da 
mola e peso a ela aplicado. 
 
10.3. Cálculo dos coeficientes angular e linear 
 
Quando o valor do coeficiente r for próximo dos seus 
extremos, -1 ou +1, há uma clara indicação de que a 
relação entre as variáveis x e y é linear. Isso implica a 
existência de dois coeficientes a e b tais que 
 
abxxy +=)( . 
 
O método dos mínimos quadrados (MMQ) permite 
calcular os valores de a e b, a partir da imposição da 
minimização da função S(a,b), a qual é definida como: 
 
[ ] [ ]
∑∑
==
−−=−=
N
i
ii
N
i
ii abxyxyybaS
1
2
1
2)(),(
 
 
A imposição da condição de mínimo à função 
S(a,b) leva aos seguintes resultados: 
Os valores de a e b para o exemplo numérico que 
estamos usando serão: 
 
Na
mmNb
9,246)1,5313,010(
/03,0))61,531(0,47065(
)6101,5313,902(
2
−≅÷×−=
≅
÷−
÷×−
=
 
 
Note que o coeficiente angular b, é a própria 
constante elástica da mola, ou seja, o k. 
O coeficiente linear negativo indica que a mola, 
quando submetida a pesos pequenos não responde 
linearmente com sua deformação. Esse fato foi também 
visto com a análise gráfica ao encontrarmos que o 
primeiro dos pontos do gráfico não fazia parte da reta 
que melhor alinhava os demais pontos experimentais. 
 
10.4. Parte Prática 
 
Usando os dados obtidos experimentalmente, na aula 
anterior, calcule: 
6. O coeficiente de correlação entre as variáveis X(mm) 
e P(N); 
7. Calcule os valores dos coeficientes angular e linear 
entre os mesmos valores. 
 ( )
∑
∑
∑
∑ ∑
−
−
=
n
x
x
n
yx
xy
b 2
2
n
x
b
n
y
a
∑∑
−=
30 
 
11. Princípio de Arquimedes 
 
Arquimedes foi um sábio que viveu entre os anos 287 
a.C. e 212 a.C., em Siracusa, na Grécia. Ele estudou o 
comportamento de corpos submersos em líquidos. Em 
particular, ele analisou a relação entre a diferença de 
peso de um objeto dentro e fora do meio líquido e a 
densidade do material. As conclusões de Arquimedes 
destes estudos são de grande importância e 
aplicabilidade até os dias de hoje. 
 
11.1. O Princípio de Arquimedes 
 Por que um navio não afunda na água, mas um 
pequeno prego sim? Por que é mais fácil levantar alguém 
quando estamos dentro de uma piscina do que quando 
estamos fora? Perguntas como essas podem ser 
facilmente respondidas a partir do estudo do Princípio de 
Arquimedes: 
Todo corpo completa ou parcialmente 
mergulhado em um fluido experimenta uma 
força de flutuação (empuxo) para cima, cujo 
valor é igual ao peso do fluido deslocado pelo 
corpo. 
 Para compreender o 
princípio acima enunciado, 
imagine que seja possível 
observar isoladamente uma 
porção de água de um copo 
contendo água (ver figura). Se a 
porção de água observada 
permanece em repouso é 
porque uma força atua sobre ela 
de forma a equilibrar a ação da força peso; tal força é 
denominada Empuxo. Se o cubo de água fosse 
substituído por outro de mesmo tamanho e forma, mas 
constituído por outra substância que não a água, a força 
E continuaria a mesma a ser exercida sobre o cubo. 
Entretanto, a força peso P seria alterada. Se P for maior 
do que E, o cubo deverá afundar mais; se P for menor do 
que E, o cubo deverá subir mais em direção à superfície 
da água. A partir dessas observações, é fácil intuir que o 
módulo da força E é igual ao peso do volume de água 
deslocado, ou seja, 
 
 
 
Na equação acima, ρ é a densidade do líquido, V o 
volume do objeto e g o módulo da aceleração local da 
gravidade. Logo, se o material for mais denso que o 
líquido fundará, se for menos denso flutuará. 
 
 
 
P 
E 
gVE ××= ρ
31 
 
11.2. Parte Prática 
 
O objetivo da presente experiência é verificar a 
veracidade do princípio de Arquimedes, através da 
medição do valor do empuxo da água sobre um cilindro 
via dois procedimentos diferentes. 
 
11.2.1. Medir o volume do cilindro 
 
• Medir o diâmetro do cilindro em 10 pontos diferentes. 
• Medir a altura do cilindro em 10 pontos diferentes. 
• Calcular a média, o desvio padrão e a incerteza para 
D e H . 
• Calcular o volume do cilindro e a incerteza de tal 
medida. 
HDV ⋅⋅= 2
4
pi
 
 
















+






⋅
⋅=
222
HD
V HD σσσ
 
 
 
11.2.2. Medir a densidade do cilindro 
 
• Medir a massa do cilindro usando a balança digital. 
• Calcular a densidade do cilindro e a incerteza desta 
medida. 
 
11.2.3. Cálculo do empuxo de Arquimedes 
 
• O empuxo, de acordo com a teoria de Arquimedes 
será dado por: 
 
 
 
• Considere 
 
 
 
 
 
11.2.4. Cálculo empírico do empuxo 
 
• Usando o dinamômetro, obtenha o peso do cilindro 
não mergulhado em água; 
• Usando o dinamômetro, obtenha o peso do cilindro 
mergulhado em água; 
• A diferença entre os dois valores obtidos é o empuxo, 
ou seja, 
 
 
 
11.2.5. Comparação dos resultados 
 
 
 
 
 
%100
2
×








+
−
=
ArquimedesEmpírico
ArquimedesEmpírico
EE
EE
e
V
M
Volume
Massa
==ρ














+






×=
22
VM
VM σσρσ ρ
gVE cilindroáguaArquimedes ××= ρ
33
33
3 /10110 cmkg
cm
g
m
Kg
água
−
===ρ
SubmersoSecoEmpírico PPE −=
12. Primeira Lei de Newton 
 
12.1. Primeira Lei de Newton 
 
A primeira lei de Newton, também chamada de Lei da 
Inércia, estabelece as condições de equilíbrio(estático 
ou dinâmico) para uma partícula. Ela pode ser enunciada 
da seguinte forma: 
Todo corpo mantém seu estado de equilíbrio 
(repouso ou MRU) a menos que alguma força seja 
aplicada sobre ele. 
Observe que o enunciado acima prescinde da existência 
de um referencial onde a lei é válida, o qual é 
usualmente denominado referencial inercial. De acordo 
com a Lei de Inércia, a resultante de todas as forças que 
atuam sobre uma partícula em repouso tem de ser zero; 
o objetivo da presente prática é verificar essa afirmação.
 
12.2. Decomposição de forças 
 
Forças são grandezas vetoriais e sendo assim
ser decompostas nas chamadas componentes 
cartesianas.Fx e Fy. 
 
 
 
Fx = F.cos
 
Fy = F.sen
y 
F 
θ 
Fx 
Fy 
x 
A primeira lei de Newton, também chamada de Lei da 
Inércia, estabelece as condições de equilíbrio (estático 
ou dinâmico) para uma partícula. Ela pode ser enunciada 
Todo corpo mantém seu estado de equilíbrio 
(repouso ou MRU) a menos que alguma força seja 
Observe que o enunciado acima prescinde da existência 
de um referencial onde a lei é válida, o qual é 
cial. De acordo 
com a Lei de Inércia, a resultante de todas as forças que 
atuam sobre uma partícula em repouso tem de ser zero; 
o objetivo da presente prática é verificar essa afirmação. 
Forças são grandezas vetoriais e sendo assim podem 
ser decompostas nas chamadas componentes 
12.3. Um Sistema em equilíbrio
 
O sistema da figura abaixo está em equilíbrio. 
 
Consideremos, em 
particular, o ponto 
Sobre 
três forças e como P 
está em equilíbrio,
devem ter resultante 
nula.
 
 
a soma das três forças 
é realmente nula, temos 
de obter as intensidades 
de cada uma delas e as 
respectivas direções.
 
= F.cosθ 
= F.senθ 
F2 
β 
32 
 
Um Sistema em equilíbrio 
está em equilíbrio. 
Consideremos, em 
particular, o ponto P. 
Sobre esse ponto atuam 
três forças e como P 
está em equilíbrio, elas 
devem ter resultante 
nula. 
F1 + F2 + F3 = 0 
Para verificar se 
a soma das três forças 
é realmente nula, temos 
de obter as intensidades 
de cada uma delas e as 
respectivas direções. 
x 
x
y 
F1 
P 
α 
33 
 
 
12.4. Parte Prática 
 
 
 
1. Obtenha as intensidades de F1, F2 e F3, a partir da 
leitura dos dinamômetros. 
2. Usando um transferidor, obtenha os valores de α e β. 
3. Obtenha os valores de F1x, F1y, F2x, F2y, F3 : 
4. F1x = F1 cos(α) 
5. F1y = F1 sen(α) 
6. F2x = F2 cos(β) 
7. F2y = F2 sen(β) 
 
 
8. Comparação de valores para eixo-x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Comparação de valores para eixo-y 
 
 
 
 
 
 
Eixo-x: 
 
Eixo-y: 
 
F1.cosα = F2.cosβ F1.senα + F2.senβ = P 
 
%100
2
21
21
×
+
−
=
xx
xx
x FF
FF
e
%100
2
)(
)(
321
321
×
++
−+
=
FFF
FFF
ey
yy
yy
34 
 
13. Movimento Unidimensional: Tubo de Óleo 
 
O movimento unidimensional de uma partícula é 
caracterizado pela existência de somente um grau de 
liberdade. Assim sendo, para descrever tal tipo de 
movimento basta utilizar uma única coordenada (eixo-x). 
Um movimento unidimensional pode ser do tipo uniforme, 
cuja característica é velocidade ser constante, 
uniformemente acelerado e acelerado. No movimento 
uniforme (MRU) a partícula se desloca sob a ação de 
uma força resultante nula. No movimento retilíneo 
uniformemente acelerado (MRUV), a partícula se desloca 
sob a ação de uma força resultante constante; um dos 
principais exemplos deste tipo de movimento é a queda 
livre. Já no movimento acelerado, a partícula se desloca 
sob a ação de uma força variável. 
 
13.1. Movimento no tubo de óleo 
 
O objetivo da presente prática é analisar o movimento de 
uma pequena esfera que se desloca ao longo de um tubo 
de óleo. Para estudar o movimento de uma partícula é 
necessário conhecer a posição dela em determinados 
instantes de tempo. Assim, para classificar o movimento 
da esfera no tubo é necessário cronometrar o tempo que 
a esfera gasta para alcançar cada uma das posições 
previamente marcadas no tubo, bem como a distância de 
cada uma das marcas em relação à posição inicial, a 
qual será adotada como marco zero da trajetória. 
O tubo contém dez braçadeiras; como a primeira será o 
ponto s0 = 0cm, há nove posições demarcadas ao longo 
de toda a trajetória. 
 
13.2. Parte Prática 
 
• Usando a trena, meça (em centímetros) a distância 
de cada uma das nove braçadeiras em relação à 
braçadeira adotada como zero da trajetória. 
• Usando o ímã desloque a esfera até a posição inicial. 
• Solte a esfera e cronometre o tempo que ela gasta 
para alcançar a primeira posição (s1). Repita essa 
medida seis vezes. 
• Repita todo o procedimento acima para cada um dos 
pontos demarcados, ou seja, de s2 até s9. 
• Verifique se as posições das braçadeiras não foram 
alteradas ao longo da tomada de dados. 
• Após ter feito todas as medidas, os resultados devem 
ser expressos em uma tabela como a abaixo: 
N t1(s) t2(s) t3(s) t4(s) t5(s) t6(s) t (s) σ(s) S(cm) 
S1 2.07 2.23 2.38 2.19 2.09 2.02 2.16 0.13 7.40 
S2 3.94 4.05 4.23 3.86 4.03 3.75 3.98 0.17 14.70 
S3 5.53 5.23 5.83 5.92 5.77 5.77 5.68 0.25 20.75 
S4 7.50 7.58 7.83 7.48 7.65 7.28 7.55 0.18 28.50 
S5 9.31 9.27 9.54 9.42 9.30 9.23 9.35 0.11 35.60 
S6 10.91 10.96 11.17 10.76 11.06 10.75 10.94 0.17 41.50 
S7 12.50 12.64 12.86 12.45 12.33 14.43 12.87 0.79 47.90 
S8 13.03 14.23 14.35 14.01 14.27 13.85 13.96 0.49 54.00 
S9 15.85 15.73 15.95 15.73 15.49 15.55 15.72 0.17 60.30 
35 
 
• Note que na tabela já foram calculadas as médias dos 
tempos obtidos para cada uma das posições, bem 
como as respectivas incertezas. 
• Para analisar o movimento é necessário construir o 
gráfico de x = x(t), conforme o exemplo a seguir: 
 
t (s) σ(s) S (cm) 
2.16 0.13 7.40 
3.98 0.17 14.70 
5.68 0.25 20.75 
7.55 0.18 28.50 
9.35 0.11 35.60 
10.94 0.17 41.50 
12.87 0.79 47.90 
13.96 0.49 54.00 
15.72 0.17 60.30 
2.16 3.98 5.68 7.55 9.35 10.94 12.87 13.96 15.72
0
10
20
30
40
50
60
S
 
(
c
m
)
t (s)
 
• O gráfico mostra que a relação entre S = S (t) é do 
tipo linear; portanto trata-se de um MRU. 
• Note que a inclinação da melhor reta obtida 
graficamente fornece o módulo da velocidade da 
esfera, pois, 
v
t
S
Mx
X
M
Y
y
=
∆
∆
=∆
∆
. 
 
• Utilizando os valores da tabela ao lado, calcule o 
coeficiente de correlação entre as variáveis t (s) e S 
(cm). Para os dados tomados como exemplo, o 
resultado encontrado foi r = 0,996, indicando uma 
forte correlação positiva entre as variáveis. Este 
resultado confirma àquele encontrado pelo gráfico: 
relação linear. 
36 
 
• O cálculo do coeficiente angular da reta (inclinação) 
feio via regressão linear levou a velocidade de 
3,89cm/s. 
• O módulo da velocidade calculado via regressão 
linear deve ser confrontado com àquele obtido pelo 
método gráfico. 
• Responda ainda a seguinte pergunta: como o 
movimento da esfera é do tipo MRU se ela se 
movimenta sob a ação da força gravitacional? 
 
37 
 
 
14. Escalas Logarítmicas 
 
Antes de prosseguir com a abordagem da Física 
Experimental para o estudo do movimento 
uniformemente acelerado, será apresentada uma revisão 
sobre logaritmos e uma breve introdução às escalas 
logarítmicas. 
Escalas logarítmicas são muito mais comuns, na 
natureza, do que as escalas lineares; sendo assim, o 
estudo deste tópico é de grande relevância para o curso 
de Física Experimental. 
 
 
14.1. Por que estudar logaritmos? 
 
Há uma longa lista de excelentes argumentos para 
mostrar o quão importante é o estudo dos logaritmos. 
Algunsdos motivos diretamente ligados à Física 
Experimental são: 
• Logaritmos existem para facilitar a execução de 
alguns cálculos; 
• Usando logaritmos é possível “transformar” uma 
potenciação em produto, um produto em uma 
subtração e uma divisão em subtração. 
• Usando logaritmos é possível linearizar alguns 
gráficos, o que facilita muito a análise gráfica de 
dados experimentais. 
 
14.2. Definição 
 
É possível intuir a definição de logaritmos a partir de 
alguns exemplos com: 
 
225log255
38log82
5
2
2
3
=⇔=
=⇔=
 
 A definição de logaritmo é dada por: 
 
aYYX X
a
=⇔= log 
 
Na equação acima, X é chamado de base do 
logaritmo, Y é o logaritmando e a é o logaritmo 
propriamente dito. 
 
14.3. Bases de Logaritmos 
 
As bases mais usadas (padrão) para os logaritmos 
são o número de Neper (e ~ 2,718...) e o número 10. 
Quando a base adotada é o e, utiliza-se a terminologia 
de “logaritmo neperiano” ou “logaritmo natural”, cujo 
símbolo é ln. Já quando a base adotada é o número 10, 
a nomenclatura usada é “logaritmo decimal” e o símbolo 
é simplesmente log. 
Em resumo: 
 
10loglog
logln
=
= e
 
 
38 
 
14.4. Propriedades Básicas 
 
A partir da definição dos logaritmos, é possível 
obter uma série de propriedades interessantes, as 
quais os tornam uma poderosa ferramenta de cálculo 
e de análise de dados. A seguir algumas dessas 
propriedades serão apresentadas: 
 
a. bbbb =⇒= 11log 
 
b. 0;101log 0 ≠∀=⇒= bbb 
 
c. ana b
n
b loglog ⋅= 
 
Prova: 
n
bb
n
b
xnnx
b aanaxnbaabax loglogloglog =⋅⇒=⋅⇒=→=→=
⋅
 
d. xxxb bbxb =⇒=log 
 
e. ( ) ( ) ( )caca bbb logloglog +=⋅ 
 
Prova: 
cbcy
abax
y
b
x
b
=→=
=→=
log
log
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cacayxcabbbca bbbbyxyx loglogloglog +=⋅⇒+=⋅⇒=⋅=⋅ +a
 
f. ( ) ( )ca
c
a
bbb logloglog −=





 
 
Prova: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cacaca
c
a
bbbbbb loglogloglogloglog
11
−=+=⋅=






−−
 
 
14.5. A Escala Logarítmica 
 
Para compreender a escala logarítmica é 
necessário analisar o comportamento da função y = 
log (x). O figura a seguir mostra como o valor de y 
varia em função de x. 
 
39 
 
No quadro abaixo são apresentados valores 
numéricos para a função y = log(x). 
 
X y = log(x) X y = log(x) 
1 0 10 1 
2 0.30103 20 1.30103 
3 0.477121 30 1.477121 
4 0.60206 40 1.60206 
5 0.69897 50 1.69897 
6 0.778151 60 1.778151 
7 0.845098 70 1.845098 
8 0.90309 80 1.90309 
9 0.954243 90 1.954243 
10 1 100 2 
 
Observe como o crescimento de y é cada vez 
mais lento, à medida que aumenta x. 
 
X y = log(x) X y = log(x) 
100 2 1000 3 
200 2.30103 2000 3.30103 
300 2.477121 3000 3.477121 
400 2.60206 4000 3.60206 
500 2.69897 5000 3.69897 
600 2.778151 6000 3.778151 
700 2.845098 7000 3.845098 
800 2.90309 8000 3.90309 
900 2.954243 9000 3.954243 
1000 3 10000 4 
 
 
14.6. Aplicação ao Movimento de Queda Livre 
 
Consideremos o exemplo de uma partícula em 
queda livre, próxima a superfície da Terra. 
Considerando um movimento como o mostrado na 
figura, a equação cinemática que descreve tal 
movimento é: 
2
2
1)( tgty ⋅⋅= . 
Observe que o 
gráfico da função y = 
y(t) é uma parábola; 
portanto um gráfico 
bastante difícil de 
construir, e de analisar, 
a partir de dados 
experimentais de t e y. 
Entretanto, a partir da equação anterior, aplicando 
logaritmo aos dois lados da igualdade, obtém-se que: 
 
)log(2)
2
log()log( tgy ⋅+= . 
 
Fazendo log(y) = Y, log(t) = T e log(g/2) = A, a 
equação acima será escrita como: 
 
TATY 2)( += , 
 
que é a equação de uma reta, cujo coeficiente linear é A 
e o angular é 2. 
 
0m 
g 
40 
 
14.7. Exercício 
 
Usando os dados da tabela abaixo, referentes a um 
movimento de queda livre, construa o gráfico da 
posição em função do tempo, usando papel di-log. 
 
t(s) y(cm) 
1 4.9 
4 78.5 
6 176.6 
8 313.9 
10 490.5 
20 1962.0 
30 4414.5 
40 7848.0 
50 12262.5 
60 17658.0 
 
41 
 
15. Conservação da Energia: Lançamento Horizontal 
 
No âmbito da Mecânica são definidos basicamente 
dois tipos de energia: a de repouso, chamada de 
potencial, e a de movimento, que é usualmente 
denominada cinética. Quando consideramos um sistema 
isolado e no qual seja possível desprezar as forças de 
atrito, a energia mecânica é conservada ao longo de um 
movimento. 
A prática proposta neste capítulo tem por objetivo 
verificar conservação da energia mecânica de um 
sistema aproximadamente isolado. 
 
15.1. Energia Mecânica 
 
A energia mecânica é usada para descrever o 
comportamento de sistemas mecânicos em movimento. 
Ela é obtida pela soma das energias potencial e cinética 
de um mesmo sistema, ou corpo. 
A energia potencial é àquela que pode vir a ser 
transformada em cinética. Por exemplo, um objeto 
suspenso a uma altura h em relação ao solo tem uma 
energia potencial associada à possibilidade dele entrar 
em movimento de queda livre, quando for solto. 
Um corpo qualquer (não pontual) pode ter seu 
movimento decomposto em translação e rotação. Como 
conseqüência, a energia cinética de um corpo pode 
também ser dividida em energia cinética de rotação e 
energia cinética de rotação. 
Para melhor introduzir as definições de energia, 
vamos analisar o movimento de uma esfera em uma 
rampa de lançamento como a da figura a seguir. 
Inicialmente a esfera é colocada, em repouso, no ponto 
A. A energia em A 
é somente 
potencial, pois a 
esfera entrará em 
movimento assim 
que for solta. É 
intuitivo que 
quanto maior for a 
altura h, maior 
será a velocidade que a esfera atingirá ao chegar em B; 
portanto a energia potencial depende da altura do objeto. 
Também é intuitivo que a energia do movimento em B 
será tanto maior quanto maior for a massa da esfera. 
Basta lembrar que quanto mais massivo for um corpo, 
mais difícil será parar seu movimento. Assim sendo, a 
energia potencial pode ser definida como: 
hgmEP ⋅⋅= , 
onde h é o módulo da aceleração gravitacional. 
 À medida que a esfera se deslocar entre os pontos 
A e B, ela perderá energia potencial, haja vista que sua 
altura em relação ao solo (zero potencial) decrescerá à 
medida que o objeto se aproxima de B. Por outro lado, 
quanto mais próxima estiver a esfera da posição B, maior 
será sua velocidade. Isso mostra que a energia potencial 
vai sendo transforma em energia de movimento. A 
energia cinética de um corpo rígido pode ser definida 
como: 
22
2
1
2
1
ωImvEC += ; 
 
A 
B h 
42 
 
o primeiro termo do lado direito da igualdade é a energia 
cinética de translação, ao passo que o segundo é a de 
rotação. A equação anterior, m é a massa da esfera e v 
sua velocidade de translação. I representa a inércia de 
rotação do objeto (é o momento de inércia do corpo) e ω 
(ômega) representa a velocidade angular do referido 
corpo. Observe que as definições das energias cinética 
de translação e de rotação são análogas. 
 O momento de inércia de um corpo rígido, o qual 
representa a inércia de um corpo ao movimento de 
rotação, depende da massa do corpo e de sua forma. 
No experimento que será realizado, é possível 
desprezar o momento de inércia da esfera. Assim sendo: 
 
2
2
1
mvEC = 
 
A energia mecânica da esfera ao longo da trajetória 
AB será obtida pela soma das energias potencial e 
mecânica. Assim, para o exemplo em questão: 
 
mghmvE += 2
2
1
. 
 
 
15.2. Conservação da Energia 
 
Um dos resultados mais importantes da Mecânica, e 
da Física como um todo, é o chamado teorema da 
conservação da energia. Segundo ele, a energia de um 
sistema sempreé conservada. Em particular, quando a 
energia mecânica de um sistema não é conservada, isso 
é conseqüência da ação de forças dissipativas, cujo 
efeito é transformar parte da energia mecânica (ou toda 
ela) em outra(s) forma(s) de energia. Voltando ao 
exemplo da esfera descendo a rampa de lançamento, se 
ao longo da trajetória AB ocorrer deslizamento da esfera. 
Isso terá como conseqüência que parte da energia 
mecânica da esfera será transformada em energia 
térmica, devido à ação das forças de atrito (entre a 
superfície da esfera e da rampa) 
Para o movimento da esfera na rampa, sendo 
possível desconsiderar a ação de forças dissipativas, a 
conservação da energia implica a energia (mecânica) 
nos pontos A e B serem iguais, ou seja, 
 
BA EE = . 
 
As energias em A e B são dadas por: 
 
2
2
1
mvE
mghE
B
A
=
=
. 
 
Impondo a conservação da energia, obtém-se: 
 
ghvmvmgh B 22
1 22
=⇒= . 
 
O resultado anterior mostra que a velocidade de 
lançamento da esfera pode ser obtida em função, 
43 
 
simplesmente, da altura de onde a esfera foi solta, em 
relação ao nível de lançamento. 
 
 
15.3. Como verificar a conservação da 
energia? 
 
De acordo com o resultado obtido na seção 
anterior, é possível verificar se a energia mecânica é 
conservada no movimento de lançamento de uma 
esfera medindo a altura de lançamento (h) e a 
velocidade (linear) da esfera no ponto de lançamento 
(vB). Entretanto, há muitas dificuldades em fazer a 
medição da velocidade instantânea em B. 
Uma alternativa para o problema de verificar a 
conservação da energia é utilizar a relação entre a 
velocidade de lançamento de um projétil e seu 
alcance (horizontal). Dos estudos de cinemática, 
sabe-se que a distância D pode ser obtida a partir da 
altura H e da velocidade de lançamento (vB) da 
seguinte forma: 
22 2
Bvg
HD ⋅= . 
 
Substituindo o valor de vB2, obtido via conservação 
da energia, na equação acima, obtém-se: 
 
HhD 42 = . 
 
A equação acima mostra que a conservação da 
energia mecânica implica uma relação linear entre o 
alcance horizontal da esfera e a altura h de 
lançamento. Portanto, uma alternativa interessante 
para comprovar a conservação da energia no 
lançamento de uma esfera é obter o gráfico da 
relação h X D2 e verificar se ele é do tipo linear. 
 
 
A 
B 
C 
H 
h 
D 
44 
 
15.4. Experiência: Lançamento Horizontal 
 
 
 
• Usando uma folha de papel em branco, uma folha 
de “papel carbono” e uma trena, obtenha dez 
medidas de D para cada uma das alturas h, 
conforme a tabela abaixo.�� 
 Alcance (cm) 
h(cm) D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 �� σA. σ 
 
 
 
 
• Calcule os valores médios de D e os respectivos 
valores de desvio padrão. 
• Calcule as incertezas das medidas de ��, 
lembrando que: 
( )22 05,0. += σσ . 
 
• Utilizando uma folha di-log, a partir da tabela, 
construa o seguinte gráfico: 
 
D(cm) 
h(cm) 
A 
B 
C 
H 
h 
D 
45 
 
F 
P 
θ 
θ 
16. Movimento Periódico: Pêndulo Simples 
 
16.1. Movimento Periódico 
 
Um movimento é dito periódico quando se repete em 
intervalos de tempo iguais. A partir de dessa definição 
geral é possível encontrar vário exemplos aproximados 
desse tipo de movimento. Em particular, neste capítulo, 
estudaremos o movimento de um pêndulo simples, 
semelhante àquele usado no terceiro capítulo destas 
notas. 
 
16.2. Período de um Pêndulo Simples 
 
Um período T 
corresponde ao tempo 
que o pêndulo leva para 
realizar um movimento 
completo (ida e volta). 
Considerando o 
movimento do pêndulo 
tal que sen(θ) ~ θ, o que 
é uma boa aproximação 
para ângulos até 100, é 
possível mostrar que o 
período (T) depende do 
comprimento do fio (L) e da aceleração local da 
gravidade (g) da seguinte forma: 
 
 
 
 
 A relação entre o período e comprimento do 
pêndulo, T = T(L), não é, portanto, do tipo linear. 
Tomando o logaritmo (decimal) de ambos os lados da 
igualdade, obtém-se: 
)2log()log( 2/12/1 LgT ⋅=
pi
. 
Usando propriedades de logaritmos, é fácil 
mostrar que: 
)log(5,0)2log()log( 2/1 LgT ⋅+=
pi
. 
 A equação acima mostra que usando uma escala 
di-log é possível construir um gráfico como o da figura 
abaixo. 
 
 
 
 
T(s) 
L(cm) L1 L2 L3 L4 L5 
T1 
T2 
T3 
T4 
T5 
g
LT pi2=
46 
 
16.3. Procedimento experimental 
 
o Usando a trena, meça o comprimento L5 (em cm e 
com duas casas decimais!) 
o Obtenha (10 vezes) o tempo gasto para o pêndulo, de 
comprimento L5, completar 10 oscilações. Divida cada 
um dos valores medidos por 10, para assim obter o 
valor do período. 
o Repita os procedimentos anteriores para L4, L3, L2 e 
L1 . 
o Calcule a média e o desvio padrão para cada um dos 
valores de T. 
o Construa uma tabela como a que aparece abaixo: 
 
L (cm) T(s) 
L1 ± σL <T1> ± σT 
L2 ± σL <T2> ± σT 
L3 ± σL <T3> ± σT 
L4 ± σL <T4> ± σT 
L5 ± σL <T5> ± σT 
 
o Usando uma folha de papel di-log, construa o gráfico 
L x T
 
e calcule o valor da inclinação da reta. 
 
 
)log(5,0)2log()log( 2/1 LgT ⋅+=
pi
 
T(s) 
L(cm) L1 L2 L3 L4 L5 
T1 
T2 
T3 
T4 
T5 
47 
 
17. Lei de Newton do Resfriamento 
 
Uma xícara contendo café quente, quando é deixada 
sobre uma mesa, irá se resfriar lentamente até que atinja 
a mesma temperatura dos demais objetos a sua volta, ou 
seja, a temperatura ambiente. É fácil observar que o 
mesmo comportamento se repete para uma porção de 
água quente e de qualquer outro líquido, sólido ou gás. 
É interessante observar que o resfriamento dos 
objetos não ocorre de forma linear com o passar do 
tempo. Observa-se que a queda de temperatura torna-se 
cada vez mais lenta à medida que o tempo passa. Em 
outras palavras, quanto mais próxima a temperatura do 
objeto estiver, mais lenta será a queda de temperatura. 
O comportamento acima descrito é matematicamente 
descrito (e quantificado) pela chama Lei de Newton do 
Resfriamento, a qual será objeto de estudo deste 
capítulo. Entretanto, antes de iniciar o estudo da lei, será 
necessário discutir brevemente alguns conceitos básicos. 
 
17.1. Conceitos Básicos 
 
A noção de quente e frio dos seres humanos é tão 
intuitiva quanto relativa. O que é quente e o que é frio? 
Um habitante da região tropical de nosso planeta 
considera que uma temperatura de 300C seja típica de 
um dia bastante agradável, ao passo que um habitante 
da distante Sibéria certamente consideraria um dia 
excessivamente quente. Assim sendo, é necessário 
quantificar a noção intuitiva de quente e frio; é preciso 
estabelecer padrões para medir àquilo que se 
convencionou chamar de temperatura de um corpo, para 
que assim seja possível medir, e comparar, as 
temperaturas dos corpos. 
 
17.2. Temperatura 
 
A escala de temperatura mais usada em nosso 
país é a escala Celsius, também denominada centígrado. 
Para obter um termômetro graduado em tal escala basta 
atribuir o valor zero à temperatura da mistura de água e 
gelo, deixada ao nível do mar e a pressão atmosférica. 
Em seguida deve-se atribuir o valor 100 à temperatura da 
água fervendo, estando ela nas mesmas condições que 
a mistura de água e gelo. Deve-se, então, dividir o 
espaço (no termômetro) contido entre a marca 00C e 
1000C em 100 intervalos iguais. Obtém se, assim, um 
termômetro (instrumento de medir temperaturas) 
graduado na escala Celsius. 
 
17.3. Calor 
 
Quando dois objetos, cujas temperaturas sejam 
diferentes, são colocados em contato térmico, estando 
ambos isolados termicamente, nota-se que a