Aula 04 Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Geometria Analitica 
e 
Álgebra Linear 
 
 
 
 
 
Aula 
Matrizes 3 
 
 
 
 
Prof.: José Fernando Santiago Prates 
Universidade de Franca – UNIFRAN 
Franca - 2018 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
Prof. José Fernando Santiago Prates 2 
 
 
 Determinantes 
 
1.1. Definição 
 
A qualquer a matriz A = (aij) de ordem n, podemos associar um único número real chamado 
de determinante da matriz; 
 
Notações:  Det(A), 
 |A| 
 
 
1.2. Determinante de uma matriz de ordem 1 
 
O determinante de uma matriz A = [
11a
] de ordem 1 é dado por: Det(A) = a11 
 
1.2.1. Exemplos 
 
1) A =
 5
 
Solução: 
Det(A) = 5 
2) A =
 7
 
Solução: 
Det(A) = -7 
 
1.3. Determinante de uma matriz de ordem 2 
 
Seja a matriz A = 






2221
1211
aa
aa de ordem 2. O determinante de A é dado por: 
 
Det(A) = 
2221
1211
aa
aa = a11 . a22 - a21 . a12 
 
1.3.1. Exemplos 
Encontre o determinante das seguintes matrizes. 
1) A =






43
21 
Solução: 
Det(A) = 
43
21 = (1).(4) – (3).(2) = -2 
Inverte o sinal das multiplicações 
 
Mantém o sinal das multiplicações 
 
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1.4. Determinante de uma matriz de ordem 3 pela regra de Sarrus 
 
Seja a matriz A = 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 de ordem 3. O determinante de A é dado pela seguinte 
Regra: 
1º) Repetir as duas primeiras colunas à direita da terceira coluna. 










3231333231
2221232221
1211131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
 
2º) Fazer o produto da diagonal principal e das paralelas. 
3º) Fazer o produto da diagonal secundária e das paralelas invertendo o sinal. 
4º) Somar os resultados. 
 
 
Det(A) = Det 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
= 
3231333231
2221232221
1211131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
 
 
 
 
Det(A) = a11 .a22 . a33 + a12 .a23 . a32 + a13 .a21 . a32 – a31 .a22 . a13 - a32 .a23 . a11 - a33 .a21 . a12 
 
1.4.1. Exemplo 
 Encontre o determinante da seguinte matrize por sarrus. 
 
1) A =










1641
931
421
 
Solução: Det(A) =
411641
31931
21421
 = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inverte o sinal das 
multiplicações 
 
Mantém o sinal das 
multiplicações 
 
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Linha i 
C
o
lu
n
a j 
1.5. Determinante de uma matriz de ordem n por Laplace 
 
Seja a matriz A = (aij) de ordem n. 
 
 
A = (aij) =
nnnnnj3n2n1n
inij3i2i1i
n3j3333231
n2j2232221
n1j1131211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa






























 
 
 
1.5.1. Cofator 
 
Cof(aij) = (-1)i + j . Det(Aij) 
 
Onde Det(A)ij é o determinante da matriz inicial A suprindo a linha i e a coluna j, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Aij) =



























nn1nj1nj2n1n
n1i1j1i1j1i12i11i
n1i1j1i1j1i12i11i
n21j21j22221
n11j11j11211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa







 
 
Sem a Linha i 
S
em
 a C
o
lu
n
a j 
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1.5.2. Matriz cofator 
 
No caso de uma matriz de ordem 3 temos: 
A matriz que se obtém ao substituir cada elemento aij de A, por seu cofator Aij 
chamamos Matriz dos Cofatores de A e representamos por 
CA
ou Cof(A). 
 
Matriz cofator = 
CA
 = 










)a(Cof)a(Cof)a(Cof
)a(Cof)a(Cof)a(Cof
)a(Cof)a(Cof)a(Cof
333231
232221
131211
 para n=3. 
 
A transposta da Matriz dos Cofatores de A é a Matriz Adjunta de A e a 
representamos por Adj(A). 
 
 Exemplos 
1) Seja a matriz A =










987
654
321
. Obter os seguintes cofatores Cof(a12), Cof(a22) e Cof(a13). 
Solução 
a) Cof(a12) = (-1)1+2 Det(A12) 
A12 = [
𝟏 𝟐 𝟑
4 𝟓 6
7 𝟖 9
] =






97
64 .  (matriz inicial A suprindo a linha i=1 e a coluna j=2) 
Cof(a12) = (-1)1+2 Det






97
64 = 6 
 
 
b) Cof(a22) = (-1)2+2 Det(A22) 
A22 = [
1 𝟐 3
𝟒 𝟓 𝟔
7 𝟖 9
] =






97
31 .  (matriz inicial A suprindo a linha i=2 e a coluna j=2) 
Cof(a22) = (-1)2+2 Det






97
31 = –12 
 
 
c) Cof(a13) = (-1)1+3 Det(A13) 
A13 = [
𝟏 𝟐 𝟑
4 5 𝟔
7 8 𝟗
] =






87
54 .  (matriz inicial A suprindo a linha i=1 e a coluna j=3) 
Cof(a13) = (-1)1+3 Det






87
54 = –3 
 
 
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2) Seja a seguinte matriz A =
















1420
4531
0312
3121
. Encontre o seguinte cofator Cof(a32). 
Solução 
Cof(a32) = (-1)3+2 Det(A32) 
A32 = 
















1420
4531
0312
3121
=












140
032
311
. 
Cof(a32) = (-1)3+2 Det












140
032
311
 = 29 
 matriz inicial A suprindo a 
linha i=3 e a coluna j=2 
 
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1.5.3. Teorema de Laplace 
 
O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é dado pela soma dos produtos dos 
elementos de uma das linhas pelos correspondentes cofatores. 
 
 
Det(A) = (-1)i+1.ai1 .Det
]A[ 1i
 + (-1)i+2.ai2 .Det
]A[ 2i
 +....+(-1)i+n.ain .Det
]A[ in
 
 



n
1j
iji j
ji )Det(Aa)1()A(Det
, 
Onde Aij é matriz inicial sem a linha i e sem a coluna j e i é uma das linhas escolhida. 
 
1.5.4. Exemplos 
 
Encontre o determinante das seguintes matrizes. 
 
 
1) A =










1641
931
421
 
Solução: Escolhendo a primeira linha temos: 
 
Det(A) = (-1)2.a11 .Det
]A[ 11
 + (-1)3.a12 .Det
]A[ 12
 +(-1)4.a13 .Det
]A[ 13
 
 
Det(A) = 1.Det






164
93 – 2 .Det






161
91 + 4 .Det






41
31 
= 1.(12) – 2.(7) + 4.(1) = 2 
 
 
 
2) A =










987
654
321
 
Solução: Escolhendo a primeira linha temos: 
 
Det(A) = (-1)2.a11 .Det
]A[ 11
 + (-1)3.a12 .Det
]A[ 12
 +(-1)4.a13 .Det
]A[ 13
 
 
Det(A) = 1.Det






98
65 – 2 .Det






97
64 + 3 .Det






87
54 
= 1.(-3) – 2.(-6) + 3.(-3) = 0 
 
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Escolhendo a Linha i=1 
 
3) A =
















1420
4531
0312
3121
 
Solução: Escolhendo a primeira linha temos: 
 
Det(A) = (-1)1+1.a11 .Det
]A[ 11
+(-1)1+2.a12.Det
]A[ 12
+(-1)1+3.a13.Det]A[ 13
+(-1)1+4.a14.Det
][ 14A
 
 
Det(A) = 1.Det












142
453
031
 
– (–2).Det













140
451
032
 
+ 1.Det













120
431
012
 
– 
(3).Det












420
531
312
 
= 1.(44) – (–2).( –19) + 1.(23) – 3.( –54) = 191 
 
 
4) Determinar o valor de x de modo que Det(A) = -6, sendo A = 













x11
11x1
122x
 
 Solução: 
 Det(A) = -6 
Det(A) = x3 - x2 - 2x - 4  x3 - x2 - 2x – 4 = -6 
 x3 - x2 - 2x + 2 = 0 
 (x – 1)(x2 – 2) = 0 
 x1 = 1, x2 = 2 , x3 = 2 
 
 
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Exercícios 
 
 
1) Seja a um número real, a matriz 














x
xa
x
A
140
10
213
e seja 
)A(Det)x(p 
. 
Pede-se: 
a) Para a = 1, encontre as raízes reais da equação p(x) = 0. 
b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x) = 0 tenha uma única raiz real. 
a) 3 
b) 
{a IR | 3 a 5}   
 
 
2) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças 
de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o 
peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, onde 















3
2
20
03
111
xA 
Com base na fórmula p(x) = det A, determine: 
1) o peso médio de uma criança de 5 anos; 
2) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg. 
 a) 18 kg 
b) 11 anos 
 
3) O conjunto solução da equação 
11
10
121


x
x = 1 é 
{1} 
 
4) Obter o resultado na operação com os 
000006
000050
000400
003000
020000
100000
50000
04000
00300
00020
00001

 
5) Encontre o valor de x na matriz 







x3
21
A
sabendo que Det(A-1)= 0,25. 
-10 
 
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6) Obter os valores x que verificam a igualdade dos determinantes 
x2
9x2
 = 
x213
132
x321


 
{0, 3} 
7) Considere a matriz A=(aij) de ordem 23 com aij=3i+4j e a matriz B=(bij) de ordem 32 com 
bij=2j - i. Sabendo que C=A.B. Obter o determinante da matriz C. 
-144 
8) Para quais valores de x o Det(A)  0, sendo 












111x
11x
02x
A
2
. 
(-, -1]  [1, ) 
9) Dadas as matrizes A=






 11
25 , B=





 
10
22 e X=






dc
ba , tais que 2A – X = B encontre o 
determinante da matriz X. 
20 
10) Sejam as matrizes 







51,0log
23
A
 e 








34
001,0log
B
. Calcule o determinante da matriz 
(A.B) 
102 
11) Se D1 = 
012
12n
012
n
n
n

 e D2 = 
n
n2n
21
22

, com n ≠ 0, então o quociente 
1
2
D
D é igual: 
2n 
12) Sendo A = 






 42
11 , B = 






 13
11 e C = 






 31
21 , então Det [ TT )BC.()BA(  ] é 
igual a: 
40