Geometria Analítica e Álgebra Linear

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03/04/2013
CIENCIA DA COMPUTA00
Disciplina: Geometria AnaRica e Algebra Linear
Periodo: 29	 Turno: Matutino
Professor: Zeca Dutra
Geometria Analitica e Algebra Linear
Veto res
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VETOR
Definicao
Considere o segmento orientado AB(um segmento esta
orientado quando nele se escolhe urn sentido de
percurso, considerado positivo). Definimos par vetor , o
conjunto formado par todos os segmentos orientados
que possuem a mesma direcao, o mesmo sentido e o
mesmo comprimento que AB, esse conjuntb representa o
mesmo vetor, que sera indicado par
onde A é a origem e B a extremidade do segmento. 0
vetor tambem costuma ser indicado por uma letra
• mirulscula encimada par uma flecha(i)).
Quando escrevemos 0 r-- AB(figura abaixo), estamos afirmando que o
vetor 0 e determinado pelo segmento orientado AB. Porem,
qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma direcao e
mesmo sentido de AB representa tambem o vetor
o mOdulo, a direcao e o sentido de um vetor 0 é o modulo, a direcao
cc sentido qualquer urn dos seus representantes. Indica-se o
modulo de -0 per
101 ou 11011.
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TRATAMENTO ALGEBRICO
Vetores no Plano
Sejam dois vetores iJj e i5 nao-paralelos, representados corn
a origem no ponto 0, sendo r1 e 7-2 retas contendo estes
representantes. Figura a seguir.
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Os vetores it, 13, Vv. ,	 e 3-3, representados na
figura, sao expressos em lung -a° de DT e /72' por
5 kr: ± q 	 -,---+
 tlib 3 ‘Z'
- —	 v -.1 	 3 trl — \r-z.
kr,j -t ;i--;	 C; 0 C r";
 t 2 ::
De maneira generica dados dois vetores
quaisquer rfc_ e 17 nao-paralelos, para cada vetor
representado no mesmo piano de 14 e
existe uma so dupla de mlmeros reais a 1 e a2 tat
que:
Os vetores I eW so nao-paralelos quaisquer e
urn vetor arbitrario do piano determinado por 17; e 13"
, como ilustra a figura.
Quando o vetor fi é expresso como na equagao 1,
dizemos que i e combinagao linear de 17-; ei-E. 0
conjunto B (17; , if2') é chamado de base do piano.
Mas qualquer conjuntos de dois vetores rtho-
paralelos constitui uma base no piano.
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o conjunto base do piano é ordenado. Entao, dada
uma base qualquer no piano, todo vetor desse piano
é combinacao linear dos vetores dessa base, de modo
o nomeros a1 e a2 da igualdade (1) so chamados
componentes ou coordenadas de j na base B.
o vetor ii da igualdade (1) pode ser representado
tambem por Ty; = (al , a2)
Na pratica as bases mais utilizadas so as ortogonais.
Dentre as infinitas bases ortogonais(vetores
ortogonais e unitarlos) no piano, uma delas é
particularmente importante. Trata-se da base que
determina o sistema cartesiano ortogonal x0y. Os
vetores ortogonais e unitarios, neste caso, s5o
Simbolizados por I ef, ambos corn origem ern 0 e
extremidades em (1, 0) e (0, 1), respectivamente,
sendo a base C = ,j) chamada canonica. Portant°,
(1,0) e Y .-- (0,1).
Nos estudo trataremos somente da base canonica.
(o,$)
(A,G)
Dado urn vetor v qualquer do plano, existe uma s6
dupla de numeros x e y tal que:
-c3"7 )-(11
	 9:j- (7-)
5
Os nOmeros x e y cat) componentes de !Ina base
canonica.
Yit
X 
0 vetor 1 em (2) sera tambern representado por 1 = (x,
Y) (3)
Como na representacao (3) nao ha referencia, podemos
ter a definica'o:
Vetor no piano é urn par ordenado (x, y)de nUmeros
reais.
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0 par ordenado (x, y) é chamado express5o anon-flea de
Para entenderrnos meihor, vejamos alguns exemplos,
sejam os vetores e suas correspondentes expressees
analiticas:
Obs: A escolha proposital da base (r, j) deve-se
exclusivamente a simplificac5o. A cada ponto P(x, y) do
piano x0y correspondente ao vetor
f.; OP = it + y 7. As componentes do vetor OP na base
canonica. Em geral, deixa-se de indicar nos eixos os
vetores Z ef como se ve na figura a seguir.
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Operacoes corn Vetores
Sejam os vetores II = (x1, yi ) e = (x2 ,31 2 ) e a E R.
Define-se:
1) + = (x1 , yi ) + (x2 ,y2 ) = (x1 + x2 , yi + yz)
2) all = a (x1 , yi ) = (axi , a yi)
Considerando estes mesmos vetores, tern-se ainda:
- U = (- 1) U = (- X 1 , - yi)
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0 piano pode ser encarado como urn conjunto de pontos
ou urn conjunto de vetores.
lgualdade de Vetores
Dols vetores it = (x1 , yi) e = (x2 ,y2 ) sao iguais se, e
somente se, x1 = x2 e	 yz, entao it =
Exemplo: Determine x e y para que o vetor it = (x + 1, 4)
e o vetor i = (5, 2y -6) sejam iguais.
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3) Encontrar os nomeros a 1 e a2 tais que
= a1iJ;	 a2 V-2) , sendo i3 = (10, 2), -171:= (3,5) e
= (-1, 2).
Vetor Definielo par Dais Pontos
Consideremos o vetor AB de no ponto A(x i , yi ) e
extremidade em B(x 2 , y2 ). Veja figura abaixo.
Os vetores OA e OB tern
A
expressees analiticas:
OA =(x1 yi ) e OB = (X2f 312)
Por outro lado, do triangulo OAB da
figura, temos que:
OA + AB = OB ou AB = OB - OA ou
AB = (x2, Y2)- (x1, YID = (x2- X1, Y2 - Yi)
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fi -13 = a (-	 =	 yi) + 1- x2, - Y2) =	 x2,	 - Y2)
Ja sabemos que:
a) para quaisquer vetores it, 1 e 0, tern-se
+ = +	 +	 = +	 )
+ =	 + (- fi) =
b) para quaisquer vetores it e 13 e os numeros reais cc
e fi, tern-se
	
(P I)) 7= (CC int"	 (0C fl )ii =	 + flitCC 
+ -0) = oc fl+oc-13	 ii= i
Exemplos:
1) Dados os vetores II= (2, -3) e i3 = (-1, 4), determinar
+ 2 .13 e 313 - 213.
2) Determinar o vetor na igualdade 	 + 2/-1. =	 +
cnnrin = 17 -11 P	 (-1 Al
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As componentes de AB sac) obtidas subtraindo-se das
coordenadas da extremidade B as coordenadas da
origem A, ralao pela qual tambem se escreve
AB = B — A.
E importante lembrar que urn vetor tern infinitos
representantes que s5o os segmentos orientados de
mesmo comprimento, mesma direg5o e mesmo sentido.
E, dentre os infinitos representantes do vetor AB, o que
"melhor o caracteriza" é aquele que tern origem 0(0, 0) e
extremidade em P (x2 - xl , y2 -
0 vetor i = OP e tambem channado vetor posicao ou
representante natural de AB. Veja a representag5o
grafica na figura.
Na figura seguinte fica claro que o fato dos segmentos
orientados OP, AB e CD ocuparem posigoes diferentes, é
irrelevantes. 0 que importa, é que eles tenham o mesmo
comprimento, a mesma direc5o e o mesmo sentido para
representar o mesmo vetor.
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vamos para outra ilustracao
na figura ao lad°, os vertices
do triangulo sac) os pontos
A(4, 1), B(5, 3) e C(3, 5) e
os vetores ii, 13, e V indicados
s'ao:
it= AB = B — A = (1, 2)
--()= BC = C — B (- 2, 2)
-v) = CA = A — C = ( 1 , - 4 )
Observe que fi+	 + w = -04 = (0, 0)
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3=P—O=B—A=C—D=(3,1)
(1,4)
A(- 2, 3)	
	 D(4, 3)
2	 (1, 2)
P (3, 1)
11
2	 0	 1	 3	 4
Por outro !ado, sempre que tivermos
13 = AB ou = B — A
concluimos que B = A + ou B = A + AB
o vetor v transporta n o ponto inicial A para o ponto
extremo B.
Pela figura o vetor 13 = (3, 1), tern-se:
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	- 	 Y - Yi) (x2--x , Y2 -
	
-	 = x2 - X e y -Yi = 3/2 - y
Resolve ndo em relagao a x e y,
ternos:
x i
 +x2	 371.+Y2 
	
X =	 e y =
2	 2
Portanto
Rx ix1+x-2 Yi-FY2‘
" I° z ' z
Paralelismos de dois Vetores
Quando dois vetores 17i= (x1 , yi ) e -0 = (x21y2 ) so
paralelos, existe urn numero real octal que ii = oc ii, ou
seja,
yi ) = (x2 ,y2 ) ou(x1 , yi ) = ( cc x21 oc y2 )
resolvendo a igualdade ternos:
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Exemplos
1) Dados os Oontos A(- 1, 2), B(3 01 -1) e C(- 2, 4),
determinar o pont° D de modo que CD = 1 AB.
2
2) Sendo A(- 2, 4) e B(4, 1) extremidades de urn
segment°, determinar os pontos F e G que dividenn
AB em tres segmentos de mesmo comprimento.
Ponto Medic*
Seja o segmento de extremos
	 yi) e B(x21y2).
Sendo M (x, y) o pont° medio de AB, podemos
expressar de forma vetorial como AM = MB. Veja a
figura a seguir.
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Modulo de um uetor
Seja o vetor = (x, y)
representado na figura.
0 modulo de é dado por:
Observacties
a) Distancia entre dois pontosA = (x1 , 3/1 ) e B = (x2,Y2) 6
comprimento do vetor A.
Como AB = B — A =
temos:
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Entao, dois vetores sao paralelos quando suas
componentes forem proporcionais.
Exemplo
Os vetores U = (- 2, 3) e = (- 4, 6) sao paralelos pois
Observageies
a) Considera-se o vetor 15 = (0, 0) paralelo a qualquer
vetor.
b) Se uma das componentes de urn vetor for nula, a
componente correspondente de urn vetor paralelo
tambern é nula.
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b) Vetor Unitario
Na multiplicacao de raimero real par urn vetor, para cada
vetor tiT, V # e prAsivel associar dois vetores unitarios
_>paralelos a v:—I (é o versor de U) e seu oposto - —RI •IV
Exemplo
0 versor de V4 = (3, -4) é:
0 versor é, na verdade, urn vetor unitario.
importante observar que este versor fi é tambern
versor de todos as vetores multiplos de U que tiverem o
mesmo sentido dele.
Exempla: 0 versor de 2V) = 2(3, -4) = (6, - 8) é:
Exemplos:
1) Dados os pontos A(2, -1) e B(-1, 4) e os vetores
fib = (-1, 3) e U = (-2, 1), determinar
a) NI	 c)	 —
b) lit + UI
	
d) a distancia entre os pontos A e B
2) Determinar, no eixo Ox, urn ponto P que seja
equidistante dos pontos A(-1, -2) e B(5, -4).
3) dado o vetor U = (-2, 1), achar o vetor paralelo a V' que
tenha.
a) 0 mesmo sentido de iir) e tres o modulo de V.;
b) sentido contrarios ao de V' e a metade do modulo V.;
c) o mesmo sentido de V e mOdulo 4;
d) sentido contrario ao de U e modulo 2.
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Vetores no Espaco
Vimos ern Vetores no Plano que a base canonica , j) no piano
determina o sistema cartesiano ortogonal x0y e que a urn ponto P(x,
y) qualquer desse piano corresponde o vetor OP = x	 y 7, isto é, as
preprias coordenadas x e y do ponto P sao as componentes do vetor
OP na base canonica.
No espaco, de forma aniloga, consideraremos a base canemica (1,
7,	 como aquela que ira determinar o sistema cartesiano ortogonal
Oxyz, onde estes tres vetores unitirios e dois a dois ortogonais estao
representados corn origem no ponto 0. Este ponto e a direcao de
cada urn dos vetores da base detenninam os tr ies eixos cartesianos: o
eixo Ox ou eixo dos x (abscissas) con-esponde ao vetori, o eixo Oy
ou eixo dos y (ordenadas) corresponde ao vetor j e o eixo Oz ou eixo
dos z (das cotas) corresponde ao vetor As setas nessa figura
indicam o sentido positivo de cada eixo, chamado tambem de So
coordenado.
Fiaura a seauit
Cada dupla de vetores de base determina uma dupla de eixos, e cada
dupla de eixos, deterrnina urn piano coordenado. Portant°, temos tres
pianos coordenados: o piano x0y ou xy, o piano x0z ou xz e o piano
yOz ou yz. As figuras I e II &do idela dos pianos xy e xz,
respectivamente.
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figura I	 figura II
Assim como no piano, a cada panto P (x, y, z) do espaco ira
conesponder o vetor OP x t + yf + z k, isto é, as proprias
coordenadas x, y e z do pont° P sao as componentes do vetor OP na
base candnica. As coordenadas x, y e z sa p denominadas abscissa,
ordenada e cota, respectivamente. A figura Ill . apresenta urn ponto
P(x, y, z) no espaco e a figura IV o correspondente ao vetorii = OP,
que representa a diagonal do paralelepipedo cujas arestas sao
definidas pelop vetores	 ez 17.
figura III	 figura IV
0 vetor v = xi+ y 7 + z ic tambem pode ser representado pot
que é a expressao analitica de -0 . Para exemplificar
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e ern particular r= (1, 0, 0), j= (0, 1, 0) e rc = (0, 0, 1)
Para algumas observacees, tomemos o paralelepipedo da figura a
seguir, onde P(2, 4, 3), faremos consideracOes a porrtos como
tarnbem podemos fazer a correspondencia corn vetores.
Corn base na figura, o ponto (x, y, z) está no
a) eixo dos x quando y = 0 e z = 0, tern-se A (2, 0 ,0);
b) eixo dos y quando x = 0 e z = 0, tern-se C (0, 4, 0)
c) eixo dos z quando x = 0 e y = 0, tern-se E (0, 0 ,3);
d) piano xy quando z = 0, tern-se B (2, 4 ,0);
d) piano xz quando y = 0, tern-se F (2, 0 ,3);
d) piano yz quando x = 0, tern-se D (0, 4 ,3);
o ponto B é a projecao de P no piano xy, assim como D e F sao as
projecees de P nos pianos yz e xz, respectivamente. 0 ponto A(2, 0,
0) é a projecao de P(2, 4, 3) no eixo dos x, assim como C(0, 4, 0) e
E(0, 0, 3) sao as projeceies de P nos eixos dos y e dos z,
respectivamente.
a) PDEF distam 3 unidades do piano xy e estao acima dele, sao
pontos de cota z = 3, isto 6, sao pontos do tipo (x, y, 3);
b) PBCD distam 4 unidades do piano xz e estaio a direita dele, sao
pontos de ordenada y = 4, isto 6, sao pontos do tipo (x, 4, z);
c) PFAB distam 2 unidades do piano yz e estao A frente dele, sao
pontos de abscissa x 2, isto é, sao pontos do tipo (2, y, z). 
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x = 0
=0
x = 0
(0, 0,z)
• (0, y, z)
Observacao:
Os pontos podem estã localizados sobre os eixos ou em determinado
piano, logo e importante termos esses casos em mente. Veja os casos
na figura abaixo.
v=0
• (x, 0, z)
	 fx 0
(z =- 0(0, y, 0)
• (x, y, 0)
.••(x, y, 0)	 z = 0
= 0
tz = 0
Para marcar urn ponto no espaco, digamos A(3, -2, 4) procedemos da
seguinte forma:
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1°) Marca-se o ponto A'(3, -2, 0) no piano xy;
2°) desloca-se A' paralelamente ao eixo dos z, 4 unidades para cima.
Os tres pianos coordenados se interceptam segundo os fres eixos
dividindo o espaco em oito regioes denominadas octantes. A cada
octante correspondem pontos cujas coordenadas tern sinais de acordo
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Corn o sentido positivo adotado para os eixos. 0 primeiro octante é
constituido dos pontos de coordenadas todas positiva. Os demais
octantes acima do piano xy se sucedem em ordem numerica, a partir
do primeiro, no sentido positvo. Os octantes abaixo do piano xy se
sucedem na mesma ordem a partir se sucedem na mesma ordem a
partir do quint° que, por convencao, se situa sob o primeiro.
A figura apresenta os pontos A, B, C e D situados acima do piano do
piano xy e todos de cota igual a 2, enquanto os pontos A', B', C',e D'
estao abaixo desse piano e tern cota — 2:
ponto A(6, 4, 2), situado no 10 octante;
ponto B(-5, 3, 2), situado no 2° octante;
ponto C(-6, -5, 2), situado no 3° octante;
ponto D(5, -3, 2), situado no 4° octante;
ponto A'(6, 4, -2), situado no 50 octante;
ponto B'(-5, 3, -2), situado no 6° octante;
ponto C'(-6, -5, -2), situado no 7° octante;
ponto D'(5, -3, -2), situado no 8° octante.
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Para encontrar as coordenadas do ponto B, somarn-se
ordenadamente as coordenadas do ponto inicial a corn as
componentes do votor
A(oc i	 + z1)
(axy + by 1 + ezi
=	 C)
1V) Se A (x1 ,	 z1) e B (x2 , y2 , z2) sac) pontos extremos de
urn segment°, o ponto medio M. de AB é
V) Sc os vetores U = (x 1 , v1 ,
 
z1) e	 (x2, Sr2, z2) sao naralelos,
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Igualdade, Operaciies, Vetor defmido por dois pontos,
Ponto media, Paralelismo, Modulo de um vetor.
As definigties e conelusoes no espago, Sao andlogas as do
piano:
I) Dois vetores U = (x i, y, zi ) e = (x 2 , yz, z2 ) sao
iguais se, e sornente se; x 1 = x2 , Y = yz e z i = zz.
II) dados os vetores U = (x i ,	 z1) e = 0C2, yz, z2 ) e
CC E R, define-se:
ii + V = (x1+ x2 , yi+ y2 , z 1 + z2)
a = (cc +a Yi +cc z1)
III) Sc A (x 1 , yi , z1 ) e B (x2 , yz, z2 ) sao dois pontos
quaisquer no espago, entao já vimos que: se V = B — A,
entao B =A+ U.
Veja ilustragao na figura a seguir.
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temos:
VI)o modulo do vetor = (x, y, z)é dado por
Exemplos:
1) Dados os pontos A(0, 1, -1) e B(1, 2, -1) e os vetores
fi = (-2, -1, 1), V = (3, 0, -1) e W= (-2, 2, 2), verificar se existem os
nitmeros al , az e a3 tais que Vv. = aiAB + a 2fi. + a3U.
2. Encontrar o vertice oposto a B no paralelogramo ABCD, sendo
dodos A(3. -2, 4), B(5, 1, -3) e C(0, I, 2).
3. Sabendo que o ponto P(-3, m, n) pertence a reta que passa pelos
pontos A(1, -2,4) e B(-1, -3, 1), determinar men.
4. Seja o triangulo de vertices A(4, -1, -2), B(2, 5, -6) e C(1, -1, -2).
Calcular o cornprimento da rnediana do triangulorelativa ao lado AB.
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