Aula 05 (atualizado) Geometria Analitica e Álgebra Linear

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Geometria Analitica 
e 
Álgebra Linear 
 
 
 
 
 
Aula 
Matrizes 4 
 
 
 
 
Prof.: José Fernando Santiago Prates 
Universidade de Franca – UNIFRAN 
Franca - 2018 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
Prof. José Fernando Santiago Prates 2 
 
 
1. Matriz Inversa 
1.1. Definição 
 
 Seja a matriz A = (aij) i = 1, 2, 3,..., n, j = 1, 2, 3,... n. Se uma outra matriz B = (bij) i = 1, 2, 
3,..., n, j = 1, 2, 3,... n (de mesma ordem) satisfazer as condições AB = BA = I, onde I é a 
matriz identidade de mesma ordem, dizemos que B é Inversa de A. (e vice-versa) 
Notação: A matriz Inversa de A = (aij) é representada por A-1 
 
Ilustração 
Sejam as matrizes A=






32
75 e sua inversa B=








52
73
 
A.B=






32
75








52
73 =






10
01 
B.A =








52
73






32
75 =






10
01 
Portanto a matriz B é inversa da matriz A e a matriz A é inversa da matriz B. 
 
Conclusão: AA-1 = I e A-1A = I 
 
3) Sendo dada a matriz A=













z42
6y3
32x
 e sua inversa A-1=













102
313
321
 calcular x, y 
e z usando a definição de matriz inversa. 
Solução: De AA-1 = I temos 













z42
6y3
32x













102
313
321













6z010z2
15y36y15y3
3x32x2x
=










100
010
001
 
- x = 1  x = - 1 
- 2x – 2 = 0  x = - 1 
3x + 3 = 0  x = - 1  x = - 1 
3y + 15 = 0  y = - 5 
Y + 6 = 1  y = - 5 
- 3y – 15 = 0  y = - 5  y = - 5 
- 2z – 10 = 0  z = - 5 
z + 6 = 1  z = - 5  z = - 5 
 
Logo, os valores são x = -1, y = -5 e z = -5 
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1.2. Cálculo da matriz inversa usando a Matriz Cofator 
 
Seja a matriz A = (aij) i = 1, 2, 3, .. n, j = 1, 2, 3,.. n. 
Se A = (aij) é uma matriz tal que Det(A)≠0, então A é invertível e sua matriz inversa 
pode ser obtida através de: 
 TC
1 A
)A(Det
1
A 
 
Onde: 
 A =
















nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
a........aaa
.....
a........aaa
a........aaa
a........aaa
 
 
 

















)a(Cof........)a(Cof)a(Cof)a(Cof
.....
)a(Cof........)a(Cof)a(Cof)a(Cof
)a(Cof........)a(Cof)a(Cof)a(Cof
)a(Cof........)a(Cof)a(Cof)a(Cof
A
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
C
 
 
 Cof(aij) = (-1)i+j.Det(Aij) 
 
 Aij : Matriz inicial sem a linha i e coluna j 
 
 
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 Exemplos 
Obter a matriz inversa para as seguintes matrizes usando a matriz cofator. 
1) A=






32
75 
Solução: 
Det(A) = 15-14 = 1 
Cof(a11) = (-1)1+1.Det(3) = 3 
Cof(a12) = (-1)1+2.Det(2) = -2 
Cof(a21) = (-1)2+1.Det(7) = -7 
Cof(a22) = (-1)2+2.Det(5) = 5 
CA
 = 








)a(Cof)a(Cof
)a(Cof)a(Cof
2221
1211
 = 








57
23 
 TCA
 = 








52
73 
 TC
1 A
)A(Det
1
A 
= 














52
73
1
1
 = 








52
73 
Tirando a prova: 
A.A-1=






32
75 .








52
73 =








5.3)7.(2)2.(33.2
5.7)7.(5)2.(73.5 =






10
01 
 
 
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2) A=












411
410
121
 
Solução: 
 
Det(A) = 1 
Cof(a11) = (-1)1+1.Det








41
41 = -8 
Cof(a12) = (-1)1+2.Det








41
40 = 4 
Cof(a13) = (-1)1+3.Det






 11
10 = 1 
Cof(a21) = (-1)2+1.Det






 41
12 = 7 
Cof(a22) = (-1)2+2.Det






 41
11 = -3 
Cof(a23) = (-1)2+3.Det






 11
21 = -1 
Cof(a31) = (-1)3+1.Det






 41
12 = -9 
Cof(a32) = (-1)3+2.Det






 40
11 = 4 
Cof(a33) = (-1)3+3.Det






10
21 = 1 














149
137
148
AC
 
 TCA
= 













111
434
978
 
 TC
1 A
)A(Det
1
A 
= 



















111
434
978
1
1 = 













111
434
978
 
Tirando a prova: 
A.A-1= 












411
410
121
.













111
434
978
=










100
010
001
 
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3) Dadas as matrizes 









23
12
A
 e 











25
12
B
, determina a matriz X de ordem 2 tal que 
1ABXA 
, onde A-1 é a inversa de A 
Solução: 
 
1ABXA 
  
AABX 1  
  
)AA(BX 11  
  









23
12
A
  
CA
 = 








21
32 
 
 TCA
 = 








23
12 
 Det(A) = 1 
 









23
12
1A
 
 











25
12
B
  
CB
 = 








21
52 
 
 TCB
 = 








25
12 
 Det(B) = -1 
 









25
12
B 1
 
 
)AA(BX 11  
  



































23
12
23
12
25
12
X
 = 










1012
46 

Logo, X = 










1012
46 
 
 
 
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2. Sistemas de equações lineares 
 
2.1. Definição 
 
 Seja um sistema linear do tipo A.x=b de n equações lineares e n incógnitas 
 
n
3
2
1
nnn33n22n11n
nn3333232131
nn2323222121
nn1313212111
b
.
b
b
b
.
xa........xaxaxa
.....
xa........xaxaxa
xa........xaxaxa
xa........xaxaxa
















 
 
Ou na notação matricial 
    bxA 
, ou seja, 
 

















































n
3
2
1
n
3
2
1
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
b
.
b
b
b
x
.
xx
x
a........aaa
.....
a........aaa
a........aaa
a........aaa
 
Onde A : Matriz dos coeficientes do sistema linear, 
x : Vetor das incógnitas do sistema linear, 
b : Vetor dos termos independentes do sistema linear, 
 
O objetivo de um sistema linear é encontrar os valores para as variáveis x1 , x2 , x3 , ........., xn 
que o resolva. 
 
 
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3. Solução de Sistemas Lineares pela Inversa 
 
3.1. Definição 
 
Seja um sistema linear do tipo A.x = b de n equações lineares e n incógnitas. 
Admitindo que a matriz dos coeficientes A = (aij) seja tal que Det(A)≠0 e A-1 seja sua 
inversa. 
Multiplicando em ambos os lados da igualdade A.x = b e no mesmo sentido, 
 
 
A.x = b 
 
A-1.A.x = A-1.b 
I.x = A-1.b 
Então a solução é dada por x = A-1.b 
 Exemplos 
Obter a solução dos seguintes sistemas lineares pela inversa. 
1) 








2x4xx
3x4x
2xx2x
321
32
321
 
Solução: 
A = 












411
410
121
, b = 










2
3
2
, x = 










3
2
1
x
x
x
, 
Aplicando o método da inversa em A temos A-1 = 













111
434
978
 
Aplicando a definição x = A-1.b temos 
x = 













111
434
978
.










2
3
2
= 










1
7
13
 
Logo a solução será: x = 










1
7
13
 
 
A-1.A = I 
I.x = x
 
 
Multiplica a matriz inversa 
neste sentido 
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Exemplos: 
1) 








2x5x4x2
3x6x5x3
1x3x2x
321
321
321
 
Solução: 
A = 













542
653
321
, b = 











2
3
1
, x = 










3
2
1
x
x
x
, 
 
Det(A) = 
42
53
21
542
653
321






 = -1 
 
Cof(a11) = (-1)1+1.Det








54
65 = Cof(a12) = (-1)
1+2.Det








52
63 = 
Cof(a13) = (-1)1+3.Det








42
53 = Cof(a21) = (-1)
2+1.Det








54
32 = 
Cof(a22) = (-1)2+2.Det








52
31 = Cof(a23) = (-1)
2+3.Det








42
21 = 
Cof(a31) = (-1)3+1.Det








65
32 = Cof(a32) = (-1)
3+2.Det








63
31 = 
Cof(a33) = (-1)3+3.Det








53
21 = 














103
312
231
CA
  
 TCA
= 













102
313
321
 
 TC
1 A
)A(Det
1
A 
= 




















102
313
321
1
1 = 













102
313
321
 
Aplicando a definição x = A-1.b temos x = 













102
313
321
.











2
3
1
= 











0
6
11
 
 
Logo a solução será: x = 











0
6
11
 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
Prof. José Fernando Santiago Prates 10 
 
 
2) 








3321
221
1321
bxx6x2
bxx
bxx4x
 para b(1) = 










3
2
1
, b(2) = 










1
2
1
 
Solução: 
A = 













162
011
141
, b(1) = 










3
2
1
, b(2) = 










1
2
1
, x = 










3
2
1
x
x
x
, 
 
Aplicando o método da inversa em A temos A-1 = 










324
111
121
 
Aplicando a definição x = A-1.b para b(1) = 










3
2
1
 temos x = 










3
2
1
x
x
x
= 










17
6
8
 
x(1) = 










324
111
121
.










3
2
1
= 










17
6
8
 
 
Aplicando a definição x = A-1.b para b(2) = 










1
2
1
 temos x = 










3
2
1
x
x
x
= 










3
2
4
 
x(2) = 










324
111
121
.










1
2
1
= 










3
2
4
 
 
Logo as soluções serão: x(1) =










17
6
8
 e x(2) = 










3
2
4
 
 
 
 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
Prof. José Fernando Santiago Prates 11 
 
 
Exercícios 
 
1. Determinar se possível, a inversa da matriz A= 






32
54 
2. Determinar se possível, a inversa da matriz 












211
852
321
A
 
3. Determinar se possível, a inversa da matriz 















4000
12300
0620
0021
A 
4. Determinar se possível, a inversa da matriz 
















1010
2101
5310
1241
A 
5. Se A = 






41
32 calcule 















54
13
(2)4A2A)(15A T1
 






8254
1420
 
 
 
6. Sendo dada a matriz A=








125
73 e sua inversa A
-1=






3x
y12 , calcular x+y usando 
propriedades da matriz inversa. 
7. Sendo dada a matriz 












111
211
821
A e sua inversa 














z10
6y1
4x1
A 1 calcular x + 
y +z usando propriedades da matriz inversa. 
8. Dada 










2/1m
m2/1
A
, calcula m de modo que se tenha T1 AA  . 
2
3
m 
 
9. Seja a matriz A=(ai,j) de ordem 2 onde 






jiseji
jiseji
a ij
. Se AT é a matriz transposta de A, 
então determine a matriz B = A2 + AT + 18A-1 





 
233
313 
 
 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
Prof. José Fernando Santiago Prates 12 
 
 
10. Obter a solução para os seguintes sistemas Lineares abaixo. 
 
a). 





23
233
21
21
xx
xx  x1 = , x2 = 
b). 








44
622
3
3
321
321
x
xxx
xxx
  x1 = , x2 = , x3 = 
c). 







4
222
1
3
321
321
x
xxx
xxx
  x1 = -3 , x2 = 0 , x3 = 4 
d). 











13
12
63
84
4321
4321
2
1
xxxx
xxxx
x
x
  x1 = , x2 = , x3 = , x4 = 
e). 











13
12
13
34
4321
4321
2
1
xxxx
xxxx
x
x
  x1 = , x2 = , x3 = , x4 = 
11. Dado o sistema 








5z2y4x3
3zy2x
1zyx2 , qual o valor de x + y + z? 
19
22

 
12. Dadas as matrizes 
3x2ij]a[A 
 tal que 
ji
ij )1)(ij2(a

e 
2x3ij]b[B 
 tal que 
ij
ij )1)(ji3(b

. Resolva o sistema 
 bx.C 
, onde 
TT A.BC 
e 










12
15
b
. 
x = 1, y = 1 
 
13. Se a inversa da matriz A = 








b3
1a é a matriz A-1 = 








11
3
1
3
2 , determine a solução 
do sistema 





2y5bx
4ayx . 
x = 14 e y =-6 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
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14. Sendo a matriz 














102
3b3
32a
A e sua inversa 














54d
65c
321
A 1 resolva o 
sistema linear usando matriz inversa 











4
4
1
xx2
x3bxx3
x3x2ax
31
321
321
. 
x = -21, y = -47, z = -38 
 
15. Uma fábrica produz três tipos diferentes de produtos P1, P2 e P3, que são processados em três 
máquinas diferentes M1, M2 e M3. A tabela de 
gasto de horas de cada departamento por cada 
produto, bem como o número total disponível de 
horas de cada departamento, está tabelada ao lado. 
 Quantas unidades de cada produto são 
possíveis fabricar, utilizando-se plenamente a 
capacidade disponível em cada departamento? 
P1=1, P2=2, P3=5 
 
16. Seja o diagrama de um circuito. 
A corrente que flui do nó p para o nó q de uma 
rede elétrica é Ipq=(Vp - Vq)/Rpq , onde I é em 
ampères e R é em ohms.(Lei de Ohm) 
A soma de todas as correntes de um nó é nula. 
(Lei de Kirchoff) 
Pede-se: 
1. Obter as equações lineares referentes a cada nó. 
2. Resolver o sistema de equações usando matriz inversa para obter as voltagens em 
cada nó do circuito 
Ve=72, Vc=76,Vd=60, Vf=68, 
 
17. Em certa época, uma epidemia atingiu 
determinada região. A fim de combater a doença, 
a população local foi dividida em três grupos, por 
faixa etária, e todas as pessoas foram vacinadas, 
cada uma recebendo a dose da vacina de acordo 
com o especificado no quadro a seguir. 
Considerando que, na primeira aplicação, foram 
gastos 800.000 ml da vacina, na segunda, 600.000 ml e, na terceira, 500.000 ml, calcule o número 
de pessoas de cada grupo. 
Grupo I: 100.000 pessoas, 
Grupo II: 150.000 pessoas, 
Grupo III: 50.000 pessoas; 
 M1 M2 M3 
P1 3 1 1 
P2 1 5 2 
P3 1 2 5 
Total de Horas disponível 10 21 30 
 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
Prof. José Fernando Santiago Prates 14 
 
 
18. Uma loja vende produtos como os listados na tabela e seus preços. Calcule o preço pago por 
um par de meias e um conjunto de roupas íntimas. 
Produto 
Preço 
(R$) Mochila 
Pares de 
meias 
Conj. de roupas 
íntimas 
Camisetas Jeans 
Tipo 1 2 2 4 3 200,00 
Tipo 2 2 4 3 2 195,00 
Tipo 3 4 3 5 1 260,00 
Tipo4 2 2 3 2 165,00 
R$35,00 
19. Use o método das Frações Parciais, que usa resolução de sistemas lineares por matriz inversa, 
para decompor a função 
x2xx
1x
)x(f
23 


 em formas mais simples. 
)1x(3
2
)2x(6
1
x2
1




 
20. Use o método das Frações Parciais, que usa resolução de sistemas lineares por matriz inversa, 
para decompor a função 
18x21x8x
31x21x3
)x(f
23
2



 em formas mais simples. 
2)3x(
5
3x
2
2x
1




