Aula 11 Geometria Analitica e Álgebra Linear Aula 11

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Geometria Analítica 
e 
Álgebra Linear 
 
 
 
 
Distância 
 
 
 
 
 
Prof.: José Fernando Santiago Prates 
Universidade de Franca – UNIFRAN 
Franca - 2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Analítica e Álgebra Linear 
 
Prof. José Fernando Santiago Prates 2 
 
 
1. Distâncias 
 
1.1. Distância entre Pontos 
 
Considere os pontos do Rn P = (p1, p2, p3,.., pn) e Q = (q1, q2, q3,.., qn). A distância 
entre P e Q, representada por D(P,Q) é definida por. 
 
2
nn
2
33
2
22
2
11Q)(P, )p(q)p(q)p(q)p(qD  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1.1. Ilustração geométrica no R2 
 
 
 
 
 
 
 
1.1.2. Exemplos 
 
1) Determine a distância entre os pontos P = (3, -1, 2) e Q = (2, 5, 1). 
Solução 
222
Q)(P, 2)(11))((53)(2D 
= 6,16 
 
2) Determine se possível o valor de k de modo que D(P,Q) = 8 , onde P=(3, 1, 3) e Q= (2, k, 
5) 
Solução 
Como D(P,Q) = 8 e 
222
)Q,P( )35()1k()32(D 
=
6k2k2 
 
6k2k2 
= 
8
  k2 -2k –2 = 0  k1 = -1 ou k2 = 3 
 
P 
Q 
P 
Q 
P 
Q 
a1 a2 
b2 
b1 
a2-a1 
b2-b1 
P 
Q 
D(P,Q) 
P 
Q 
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1.2. Distância entre Ponto e Reta 
 
Considere a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A = (x1, y1, z1) e tem o vetor 
não nulo 
u
 = (u1, u2, u3) e um ponto P = (x0, y0, z0). 
A distância entre P e reta r : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + k(u1, u2, u3), representada por 
D(P,r) é definida por: 
||
||
),( 



u
APu
rPD
 
Ilustração: 
 Como a área do paralelogramo é: Área =| 
u
×
v
| = Base . Altura 
Área =|
u
× 
v
| = |
u
|. H 
|u|
|APu|
H




 
 Aplicando as informações da reta e de um ponto temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2.1. Exemplos 
 
1) Determine a distância entre o ponto P=(1, 2, –1) e a reta r :{ (x,y,z) = (1, 2, 2) + k(1, 1, 0) 
Solução: 
u⃗ = (1, 1, 0), A = (1, 2, 2) 
AP⃗⃗⃗⃗ ⃗ = P – A = (1, 2, –1) - (1, 2, 2) = (0, 0, –3) 
u⃗ AP⃗⃗⃗⃗ ⃗ =
300
011
kji


 = (-3, 3, 0) 
|u⃗ AP⃗⃗⃗⃗ ⃗ | = 
 222 0(3)(-3) 
 =
18
 = 4,243 
|u⃗ | = 
 222 0(1)(1) 
= 
2
 = 1,4,14 
D(P,r) = 
||
||



u
APu =
2
18
=3 
P = (x0, y0, z0) 
 
A = (x1, y1, z1) 
 = (u1, u2, u3) 
P = (x0, y0, z0) 
r 
 
A 
 
H 
| | 
 
 
 
 
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1.3. Projeção de vetor sobre vetor 
Considere os vetores 
u
 = (u1, u2, u3,.., un) e v = (v1, v2, v3,.., vn)  R
n. A projeção de 

u
 sobre 
v
 é o vetor dados por: 






 v.
|v|
vu
 ojPr
2
u
v
 
 
 
 
1.3.1. Exemplos 
1) Obter a projeção do vetor 
u
 = (3, 4) sobre o vetor 
v
 = (5, 0). 
Solução: 

u
 = (3, 4) e 
v
 = (5, 0) 






 v.
|v|
vu
 ojPr u 
v 2
 = 
)0,5.(
|)0,5(|
)0,7()4,3(
2

 
 = 
 0 ,3)0,7.(
49
21

 
 
 
 
 
 
 
2) Obter a projeção do vetor 
u
 = (1, 3, 4) sobre o vetor 
v
 = (4, 3, 1). 
Solução: 

u
 = (1, 3, 4) e 
v
 = (4, 3, 1) 






 v.
|v|
vu
 ojPr
2
u
v
 = 
)1,3,4.(
|)1,3,4(|
)1,3,4()4,3,1(
2

 = 
3) Determinar a norma do vetor da projeção ortogonal do vetor 
5) ,1- ,8(u 
 sobre o vetor 
2) ,1- ,2(v 
 . 
Solução: 





 v.
vv
vu
ojPr uv
 = ?,  
 vu
 = 27  
 vv = 9 
2) ,1- ,.(ojPr uv 2
9
27

 = 
6) ,3- ,(6
 
9)6()3()6(ojPr 222uv 
 
Logo, 
9ojPr uv 
 
 
 
 
 
y 
x 
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1.4. Distância entre Ponto e Plano 
 
Considere a equação geral do plano que passa pelo ponto A = (x1, y1, z1) e tem o vetor 
normal n⃗ = (a, b, c) e um ponto P = (x0, y0, z0). 
A distância entre P ao plano  : ax + by + cz + d = 0, representada por D(P,) é definida 
por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 







 n
|n|
nAP Proj
2
AP
n
 = 



 n
|n|
nAP
2
. 
 
|n|
nAP Proj AP
n 





 
222
101010AP
n cba
c)b,(a,)zz,yy,x(x
 Proj





 
222
101010AP
n cba
c.zc.zb.yb.ya.xa.x
 Proj





 
222
000AP
n cba
dc.zb.ya.x
 Proj





 
 
222
000
π)(P,
cba
|dczbyax|
d



 
 
 
P = (x0, y0, z0) 
�⃗⃗� = (a, b, c) 
A = (x1, y1, z1) 
 
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Exemplos 
 
1) Determine a distância do ponto P=(2, 4, -6) ao o plano  : 3x - 5y + 7z – 9 = 0 
Solução: 
P = (2, 4, -6) 
n⃗ = (3, -5, 7) 
222),P( )7()5()3(
|9)6(7)4(5)2(3|
d



 = 7,134 
 
2) Determine m de modo que a distância do ponto P=(3, m, 1) ao o plano  : 2x - 2y - z + 3 
= 0 seja D(P,) < 3 
Solução: 
P = (3, m, 1) 

u
 = (2, -2, -1) 
D(P,) < 3 
D(P,) = 
222 1)(2)((2)
|31(1)2(m)2(3)|


 = 
3
|82m| 
 
3
|82m| 
 < 3  |-2m + 8| < 9 
 - 9 < -2m + 8 < 9 
 - 9 -8 < -2m < 9 -8 
 - 17 < -2m < 1 
 
2
1m
2
17

 
Logo, m  






2
17,
2
1-
 
 
3). Determine a distância entre planos paralelos 1 : 2x - 3y + z + 7 = 0 e 2 
: 4x - 6y + 2z + 3 = 0. 
Solução: 
Encontrando um ponto de um dos planos com fazendo x = 0 e y = 0 temos um ponto 
do plano 1 P = (0, 0, -7) 
 
222
000
),P(
cba
|dczbyax|
d



 = 
222 2)6(4
|3)7(2)0(6)0(4|


 
= 
56
11
 = 1,46994 
Logo, D(1,2) = 1,46994 
 
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1.5. Distância entre duas Retas 
 
Considere as Equações vetoriais das retas 
s : (x, y, z) = (x1, y1, z1) + ks(a1, b1, c1) e 
r : (x, y, z) = (x2, y2, z2) + kr(a2, b2, c2). 
A distância entre r1 e r2, representada por D(r1,r2) é definida por. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



 pedoparalelepi um de base da Área
sr
pedoparalelepi um de Volume
srsr
pedoparalelepi
um de
Altura
r)(s,
|vv|
|)PP,v,v(|
D




 
 
 
Onde: vs⃗⃗ ⃗ = (a1, b1, c1) é o vetor direção da reta s 
Ps = (x1, y1, z1) é o ponto da reta s 
vr⃗⃗ ⃗ = (a1, b1, c1) é o vetor direção da reta r 
Pr = (x1, y1, z1) é o ponto da reta s 
(vs⃗⃗ ⃗, vr⃗⃗ ⃗, PrPs⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗) é o produto misto entre vs⃗⃗ ⃗, vr⃗⃗ ⃗ e PrPs⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
vs⃗⃗ ⃗xvr⃗⃗ ⃗ é o produto vetorial entre vs⃗⃗ ⃗ e vr⃗⃗ ⃗. 
 
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Exemplo 
 
1) Determine a distância entre as retas r1:{(x, y, z ) = (2, -1, 1) + k1(0, 4, 3) e 
r2:{(x, y, z) = (4, -3, 1) + k2(-3, 0, 2) 
Solução: 
De r1: A1 = (2, –2, 1) e 
1v
= (0, 4, 3) 
De r2: A2 = (4, –3, 1) e 
2v
 = (–3, 0, 2) 

21AA
 = A2 - A1 = (2, –2, 0) 
)AA,v,v( 2121
 =
34
022
203
340



  
34)AA,v,v( 2121 

 

 21 vv
 =
203-
340kji

 = (8, -9, 12)  
172)(9)((8)|vv| 22221 

1
 
D(r1,r2) = 
2
17
34
|vv|
)AA,v,v(
21
2121




 
 
 
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Exercícios 
1) Determine a distância entre o ponto P=(5, 6, 1) e a reta r :{ (x,y,z) = (3, 2, 1) + k(4, 3, 0) 
2 
2) Determine a distância entre o ponto P=(4, 3, 1) e a reta r :{(x,y,z) = (2, 3, 3) + k(0, 2, -2) 
 2.4495 
3) Determine a distância entre as retas r1:{(x, y, z ) = (3, 1, 4) + k1(3, 2, 2) e r2:{(x, y, z ) = (4, 2, 
1) + k2(1, 0, 2) 
1 
4) Determine se possível o valor de k de modo que D(P,Q) = 8 , onde P=(2, k, 5) e Q=(3, 1, 3) 
 k1 = -1 ou k2 = 3 
5) Determine a distância entre os pontos P = (2, 5, 1) e Q = (3, -1, 2). 
6,16 
6) Determine a distância entre os pontos P = (2, 5, -2) e Q = (4, 1, 2). 
6 
7) Determine se possível o valor de k de modo que D(P,Q) = 8 , onde P=(2, k, 5) e Q=(3, 1, 3) 
 k1 = -1 ou k2 = 3 
8) Determine a distância entre o Ponto P=(2, 4, 0) e a reta r:{ (x, y, z) = (1, 2, 1) + k(1, –2, 1) nos 
seguintes pontos onde k=5 e k=–3. 
6 
9) Determine a distância entre os pontos P = (1, 7, 2, -3) e Q = (4, 2, 6, 5). 
10,677 
10) Determine se possível o valor não nulo de k de modo que D(P,Q) = 
3
, onde P= (k²+1,k²,k-
3) e Q= (2,2,-3) 






 2,
2
2
 
11). Determine a distância entre a reta r:{(x,y,z)=(4, 1, 1) + k1(3,2,2) e o ponto :P=( 1, 3,-2). 
3,8578 
12) Encontre a distância entre as retas paralelas 
 )1 ,3 ,2(k)1 ,2 ,1()z ,y ,x(:r 
 e 
 )1 ,3 ,2(h)2 ,2 ,3()z ,y ,x(:s 
. 
2. 0874 
13). Calcule a distância do ponto P=(–2,1,2) à reta determinada dada pelos pontos M=(1,2,1) e 
N=(0,–1,3). 
2,535463 
14) Determine a distância do ponto P=(3, -2, 1) ao o plano  : 2x - 2y - z + 3 = 0 
4 
15) Determine a distância do ponto P=(2, 4, 6) ao o plano  : 3x - 5y + 7z – 9 = 0 
7,134 
16). Determine a distância do ponto D = (2, 3, 3) ao plano determinado pelos pontos A=(3, 3, 1), 
B=(1, 1, –3) e C = (–1, –3, 0). 
1. 1371 
17) Obter todos os valores de m de modo que a distância do ponto P = (3, m, 1) ao o plano  : 
2x - 2y - z + 3 = 0 seja D(P,) = 2 
m = 1 e m = 7 
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18) Determine a distância entre as retas r1:{(x, y, z ) = (4, 1, 1) + k1(4, -1, 3) e r2:{(x, y, z ) = (1, 4, 
2) + k2(2, 3, 5) 
0.57735 
19) Obter a distância entre as retas R1:(x,y,z) = (2,2,2) + k(1,1,2) e R2:(x,y,z) = (3,5,1) + 
h(1,2,1). 
 5,1962