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Matemática Básica – Aula 5
 Material elaborado pela Prof.ª Dr.ª Carla do Nascimento Lopes IME-UFF
Razões
Chama-se razão do número a para o número b (com b ≠ 0) ao quociente de a por b:
.
O número a é chamado antecedente e o número b é chamado consequente da razão .
Exemplos:
A razão de 240 para 120 é , que é igual a 2.
De cada 100 jovens, 75 preferem música estrangeira. Isto é, . Esta razão significa que de cada quatro jovens, três preferem música estrangeira.
Razões inversas
Duas razões são inversas quando o produto delas é 1. Ou seja: e são inversas pois .=1.
Exemplos: 
 são inversas, pois 
A razão de um número x para um número y é 4. Qual é a razão de y para x?
Razão de duas grandezas da mesma espécie
Exemplos:
Um terreno tem 750 m2 de área total e 500 m2 de área construída. Qual a razão entre a medida da área construída e da área livre?
Solução:
Temos que: área livre = área total – área construída. 
Logo, área livre = 750 m2 -500m2 = 250m2 . Assim a razão desejada é;
Isto significa que a área construída é duas vezes a área livre.
Determine a escala utilizada em um mapa onde a distância de Fortaleza a São Paulo é de 4 cm, sabendo que a distância real é de 3035 Km.
Escala é a razão entre uma dimensão num desenho e sua dimensão correspondente no tamanho real.
Escala = 
Para resolver este problema precisamos igualar as unidades. 3035 Km = 303500000 cm. Então temos:
Escala = 
ou 1 : 75875000
Cada centímetro no desenho corresponde a 75875000 cm = 758,75 Km na distância real.
Razão entre grandezas de espécies diferentes
Consumo Médio
 Exemplo:
Com 30 litros de combustível, o carro 266 consegue realizar o percurso de 255 Km de um rally. Qual o consumo médio desse carro nesse rally ?
Razão: ( lê-se: “8,5 quilômetros por litro”)
Esta razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 8,5 Km.
Velocidade Média
Exemplo: 
A distância Madri-Barcelona é de 468 Km. De trem, esse percurso é feito em 6 horas. Qual a velocidade média desse trem?
Razão: ( lê-se: 78 quilômetros por hora)
Esta razão significa que a cada hora foram percorridos em média 78 Km.
Densidade demográfica
Exemplo:
Se um país tem uma área de 500.000 Km2 e uma população de 40.000.000 habitantes, qual a sua densidade demográfica?
 hab/Km2
Em cada Km2 existem em média 80 habitantes.
 Proporções 
Duas razões são iguais quando elas expressam quocientes iguais. Uma igualdade entre duas razões é chamada uma proporção.
Exemplo:
As razões são iguais. Logo a igualdade é uma proporção.
Dados quatro números a, b, c e d, todos diferentes de zero, dizemos que formam nessa ordem uma proporção quando a razão é igual a razão , ou seja: 
 (lê-se: “a está para b assim como c está para d”)
a e d são os extremos e b e c são os meios.
Propriedade Fundamental
Em toda proporção o produto dos extremos (a.d) é igual ao produto dos meios (b.c).
Exemplo: Calcule o termo desconhecido nas seguintes proporções:
Pela propriedade acima devemos ter: 7x = 28. Logo x = 28/7 = 4.
Pela propriedade acima temos: 
Propriedade
Se então 
Se então 
Exemplo:
Da proporção decorre ou seja .
Nota: A propriedade acima vale também quando temos mais de duas razões iguais.
Por exemplo: Se então 
Números diretamente proporcionais
 Os números racionais x, y e z são diretamente proporcionais aos números racionais a, b e c, se: , onde k é constante.
k é chamado de fator (ou razão) de proporcionalidade.
Exemplos:
2, 6 e 10 são diretamente proporcionais aos números 1, 3 e 5 e o fator de proporcionalidade é 2.
 De fato, temos: 
6, 12 e 15 são diretamente proporcionais a 10, 20 e 25 e o fator de proporcionalidade é .
De fato, temos: logo .
Marcelo, Luiz e Alex têm, respectivamente 7, 8 e 10 anos. Deseja-se repartir R$500,00 entre eles de modo que cada um receba uma quantia proporcional à sua idade. Como se deve fazer a divisão?
Solução:
Representaremos por x, y e z a quantia que Marcelo, Luiz e Alex vão receber, respectivamente.
Assim: 
Usando propriedades de proporções obtemos:
 O número 20 é o fator de proporcionalidade, então temos:
 
 
 
 Logo, Marcelo deve receber 140 reais, Luiz 160 reais e Alex 200 reais.
Regra de Sociedade
Denominamos regra de sociedade o método utilizado para dividir entre os sócios de uma empresa seus lucros ou prejuízos. A divisão dos lucros ou prejuízos obtidos num período deve ser feita em partes diretamente proporcionais aos capitais empregados por cada sócio.
Por exemplo: Três pessoas formaram uma sociedade; o primeiro entrou com 60.000 reais, o segundo com 80.000 reais e o terceiro com 40.000 reais. Ao fim de seis meses houve um lucro de 36.000 reais. Quanto coube a cada um dos sócios?
Solução: Representaremos por a, b e c, respectivamente, o lucro que coube ao 1º, 2º e 3º sócios. Assim temos:
Usando propriedades de proporções obtemos:
 que é a constante de proporcionalidade. 
Daí,
Logo os sócios receberam: 1º = R$12.000,00; 2º = R$16.000,00 e o 3º = R$8.000,00.
Números Inversamente Proporcionais
Os números x, y e z são inversamente proporcionais aos números a, b e c se: x . a = y . b = z . c = k, onde k é o fator de proporcionalidade.
Note que isto equivale a afirmar: as razões (quocientes) de cada termo da primeira sucessão de números pelo inverso do termo correspondente da segunda sucessão são todos iguais:
Exemplo: 3, 5 e 6 são inversamente proporcionais a 30, 18 e 15 com fator de proporcionalidade 90.
De fato, temos:
3 . 30 = 90
5 . 18 = 90 ou 
6 . 15 = 90
Atividades
A razão entre o número de médicos e o número de habitantes de uma cidade é . Determine a população dessa cidade, sabendo que há 42 médicos na mesma.
Determine as dimensões (comprimento e largura) de um retângulo que tem perímetro 28 cm, sabendo que a razão das dimensões é .
Calcule o valor de x nas seguintes proporções:
A maquete de um prédio foi feita na escala 1 : 200. A altura dessa maquete é de 40 cm. Qual a altura real desse prédio?
Lucio arquivou 1435 processos em três pastas, em quantidades inversamente proporcionais a 2, 3 e 7. Quantos processos foram colocados em cada pasta?
Pedro e Antônio fizeram juntos um jogo de loteria. Pedro entrou com R$70,00 e Antônio com R$110,00. Ganharam um prêmio de R$81.000,00. Como deve ser repartido esse prêmio?