02_Matematica (1)

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Câmara de Marabá-PA 
 
1. Aritmética: sistemas de numeração; operações e problemas com números naturais; 
divisibilidade, múltiplos e divisores, critérios de divisibilidade, números primos; operações e 
problemas envolvendo números racionais na forma fracionária e na forma decimal; ............... 1 
2 Geometria: reconhecimento de figuras planas; áreas e perímetro de figuras plana; relações 
métricas nos triângulos retângulos; ........................................................................................ 31 
3 Unidades de Medidas: comprimento, superfície, volume, capacidade e massa; ............. 45 
4 Matemática Comercial: razão e proporção; regra de três simples e composta; 
porcentagem; juros simples; ................................................................................................... 49 
5 Álgebra: expressões algébricas; equações e sistemas de 1º e 2º graus; problemas de 1º e 
2º graus; funções : domínio e imagem; função linear , função quadrática, função exponencial e 
funções trigonométricas. ........................................................................................................ 82 
 
 
 
Olá Concurseiro, tudo bem? 
 
Sabemos que estudar para concurso público não é tarefa fácil, mas acreditamos na sua 
dedicação e por isso elaboramos nossa apostila com todo cuidado e nos exatos termos do 
edital, para que você não estude assuntos desnecessários e nem perca tempo buscando 
conteúdos faltantes. Somando sua dedicação aos nossos cuidados, esperamos que você 
tenha uma ótima experiência de estudo e que consiga a tão almejada aprovação. 
 
Pensando em auxiliar seus estudos e aprimorar nosso material, disponibilizamos o e-mail 
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questionamentos sobre o conteúdo da apostila. Todos e-mails que chegam até nós, passam 
por uma triagem e são direcionados aos tutores da matéria em questão. Para o maior 
aproveitamento do Sistema de Atendimento ao Concurseiro (SAC) liste os seguintes itens: 
 
01. Apostila (concurso e cargo); 
02. Disciplina (matéria); 
03. Número da página onde se encontra a dúvida; e 
04. Qual a dúvida. 
 
Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhar em e-mails separados, 
pois facilita e agiliza o processo de envio para o tutor responsável, lembrando que teremos até 
cinco dias úteis para respondê-lo (a). 
 
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Bons estudos e conte sempre conosco! 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
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CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N 
 
O conjunto dos números naturais1 é representado pela letra maiúscula N e estes números são 
construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos 
indo-arábicos. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de 
objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as 
mesmas propriedades algébricas que estes números. 
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este 
conjunto como: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
 
As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos 
números. 
 
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por: 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} 
 
Subconjuntos notáveis em N: 
 
1 – Números Naturais não nulos 
N* ={1,2,3,4,...,n,...}; N* = N-{0} 
 
2 – Números Naturais pares 
Np = {0,2,4,6,...,2n,...}; com n ∈ N 
 
3 - Números Naturais ímpares 
Ni = {1,3,5,7,...,2n+1,...} com n ∈ N 
 
4 - Números primos 
P={2,3,5,7,11,13...} 
 
Construção dos Números Naturais 
Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando 
também o zero. 
Exemplos: Seja m um número natural. 
a) O sucessor de m é m+1. 
b) O sucessor de 0 é 1. 
c) O sucessor de 3 é 4. 
 
Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números 
consecutivos. 
Exemplos: 
a) 1 e 2 são números consecutivos. 
b) 7 e 8 são números consecutivos. 
c) 50 e 51 são números consecutivos. 
 
1IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e Funções 
1. Aritmética: sistemas de numeração; operações e problemas com números 
naturais; divisibilidade, múltiplos e divisores, critérios de divisibilidade, 
números primos; operações e problemas envolvendo números racionais na 
forma fracionária e na forma decimal; 
 
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- Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do 
primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. 
Exemplos: 
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. 
b) 7, 8 e 9 são consecutivos. 
c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos. 
 
Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número 
dado). 
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero. 
a) O antecessor do número m é m-1. 
b) O antecessor de 2 é 1. 
c) O antecessor de 56 é 55. 
d) O antecessor de 10 é 9. 
 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência 
real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação 
sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: P = {0, 
2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também 
chamados, a sequência dos números ímpares. I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} 
 
Operações com Números Naturais 
Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. 
Praticamente, toda a matemática é construída a partir dessas duas operações: adição (e subtração) e 
multiplicação (e divisão). 
 
Adição de Números Naturais 
A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número, todas as 
unidades de dois ou mais números. 
Exemplo: 
5 + 4 = 9, onde 5 e 4 são as parcelas e 9 soma ou total 
 
Subtração de Números Naturais 
É usada quando precisamos tirar uma quantia de outra, é a operação inversa da adição. A operação 
de subtração só é válida nos naturais quando subtraímos o maior número do menor, ou seja quando a-b 
tal que a≥ 𝑏. 
Exemplo: 
254 – 193 = 61, onde 254 é o Minuendo, o 193 Subtraendo e 61 a diferença. 
 
Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o subtraendo como subtrativo. 
 
Multiplicação de Números Naturais 
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, 
tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominadas multiplicador. 
Exemplo: 
2 x 5 = 10, onde 2 e 5 são os fatores e o 10 produto. 
 
- 2 vezes 5 é somar o número 2 cinco vezes: 2 x 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10. Podemos no lugar do “x” 
(vezes) utilizar o ponto “.”, para indicar a multiplicação. 
 
Divisão de Números Naturais 
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no 
primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o 
divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente 
obteremos o dividendo. 
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um 
número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata. 
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Relações Essenciais numa Divisão de Números Naturais 
- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 
35 : 7 = 5 
- Em uma divisão exata de números naturais,o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 
35 = 5 x 7 
 
A divisão de um número natural n por zero não é possível, pois, se admitíssemos que o quociente 
fosse q, então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! 
Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível. 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Naturais 
Para todo a, b e c ∈ 𝑁 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b + a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 
4) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 
5) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 
6) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac 
9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural. 
 
Questões 
 
01. (SABESP – Aprendiz – FCC) A partir de 1º de março, uma cantina escolar adotou um sistema de 
recebimento por cartão eletrônico. Esse cartão funciona como uma conta corrente: coloca-se crédito e 
vão sendo debitados os gastos. É possível o saldo negativo. Enzo toma lanche diariamente na cantina e 
sua mãe credita valores no cartão todas as semanas. Ao final de março, ele anotou o seu consumo e os 
pagamentos na seguinte tabela: 
 
No final do mês, Enzo observou que tinha 
(A) crédito de R$ 7,00. 
(B) débito de R$ 7,00. 
(C) crédito de R$ 5,00. 
(D) débito de R$ 5,00. 
(E) empatado suas despesas e seus créditos. 
 
02. (Pref. Imaruí/SC - Auxiliar De Serviços Gerais - PREF. IMARUI) José, funcionário público, recebe 
salário bruto de R$ 2.000,00. Em sua folha de pagamento vem o desconto de R$ 200,00 de INSS e R$ 
35,00 de sindicato. Qual o salário líquido de José? 
(A) R$ 1800,00 
(B) R$ 1765,00 
 
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4 
 
(C) R$ 1675,00 
(D) R$ 1665,00 
 
03. (Professor/Pref.de Itaboraí) O quociente entre dois números naturais é 10. Multiplicando-se o 
dividendo por cinco e reduzindo-se o divisor à metade, o quociente da nova divisão será: 
(A) 2 
(B) 5 
(C) 25 
(D) 50 
(E) 100 
 
04. (Pref. Águas de Chapecó/SC– Operador de Máquinas – ALTERNATIVE CONCURSOS) Em 
uma loja, as compras feitas a prazo podem ser pagas em até 12 vezes sem juros. Se João comprar uma 
geladeira no valor de R$ 2.100,00 em 12 vezes, pagará uma prestação de: 
(A) R$ 150,00. 
(B) R$ 175,00. 
(C) R$ 200,00. 
(D) R$ 225,00. 
 
05. (Pref. Jundiaí/SP – Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Ontem, eu tinha 345 
bolinhas de gude em minha coleção. Porém, hoje, participei de um campeonato com meus amigos e perdi 
67 bolinhas, mas ganhei outras 90. Sendo assim, qual a quantidade de bolinhas que tenho agora, depois 
de participar do campeonato? 
(A) 368 
(B) 270 
(C) 365 
(D) 290 
(E) 376 
 
06. (Pref. Niterói) João e Maria disputaram a prefeitura de uma determinada cidade que possui apenas 
duas zonas eleitorais. Ao final da sua apuração o Tribunal Regional Eleitoral divulgou a seguinte tabela 
com os resultados da eleição. A quantidade de eleitores desta cidade é: 
 
(A) 3995 
(B) 7165 
(C) 7532 
(D) 7575 
(E) 7933 
 
07. (Pref. Jundiaí/SP – Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Durante um mutirão para 
promover a limpeza de uma cidade, os 15.000 voluntários foram igualmente divididos entre as cinco 
regiões de tal cidade. Sendo assim, cada região contou com um número de voluntários igual a: 
(A) 2500 
(B) 3200 
(C) 1500 
(D) 3000 
(E) 2000 
 
08. UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Joana pretende dividir um determinado número de 
bombons entre seus 3 filhos. Sabendo que o número de bombons é maior que 24 e menor que 29, e que 
fazendo a divisão cada um dos seus 3 filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 na caixa, quantos bombons 
ao todo Joana possui? 
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5 
 
(A) 24. 
(B) 25. 
(C) 26. 
(D) 27. 
(E) 28 
 
09. (CREFITO/SP – Almoxarife – VUNESP) O sucessor do dobro de determinado número é 23. Esse 
mesmo determinado número somado a 1 e, depois, dobrado será igual a 
(A) 24. 
(B) 22. 
(C) 20. 
(D) 18. 
(E) 16. 
 
10. (Pref. de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP) Em uma gráfica, a máquina 
utilizada para imprimir certo tipo de calendário está com defeito, e, após imprimir 5 calendários perfeitos 
(P), o próximo sai com defeito (D), conforme mostra o esquema. 
 
Considerando que, ao se imprimir um lote com 5 000 calendários, os cinco primeiros saíram perfeitos 
e o sexto saiu com defeito e que essa mesma sequência se manteve durante toda a impressão do lote, é 
correto dizer que o número de calendários perfeitos desse lote foi 
(A) 3 642. 
(B) 3 828. 
(C) 4 093. 
(D) 4 167. 
(E) 4 256. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: B 
Crédito: 40 + 30 + 35 + 15 = 120 
Débito: 27 + 33 + 42 + 25 = 127 
120 – 127 = - 7 
Ele tem um débito de R$ 7,00. 
 
02. Alternativa: B 
2000 – 200 = 1800 – 35 = 1765 
O salário líquido de José é R$ 1.765,00. 
 
03. Alternativa: E 
D= dividendo 
d= divisor 
Q = quociente = 10 
R= resto = 0 (divisão exata) 
Equacionando: 
D = d.Q + R 
D = d.10 + 0 ➔ D = 10d 
Pela nova divisão temos: 
5𝐷 =
𝑑
2
. 𝑄 → 5. (10𝑑) =
𝑑
2
. 𝑄 , isolando Q temos: 
 
𝑄 = 
50𝑑
𝑑
2
 → 𝑄 = 50𝑑.
2
𝑑
 → 𝑄 = 50.2 → 𝑄 = 100 
 
04. Alternativa: B 
 
2100
12
= 175 
 
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6 
 
Cada prestação será de R$175,00 
 
05. Alternativa: A 
345 – 67 = 278 
Depois ganhou 90 
278 + 90 = 368 
 
06. Alternativa: E 
Vamos somar a 1ª Zona: 1750 + 850 + 150 + 18 + 183 = 2951 
2ª Zona: 2245 + 2320 + 217 + 25 + 175 = 4982 
Somando os dois: 2951 + 4982 = 7933 
 
07. Alternativa: D 
15000
5
= 3000 
Cada região terá 3000 voluntários. 
 
08. Alternativa: E 
Sabemos que 9. 3 = 27 e que, para sobrar 1, devemos fazer 27 + 1 = 28. 
 
09. Alternativa: A 
Se o sucessor é 23, o dobro do número é 22, portanto o número é 11. 
(11 + 1)2 = 24 
 
10. Alternativa: D 
Vamos dividir 5000 pela sequência repetida (6): 
5000 / 6 = 833 + resto 2. 
Isto significa que saíram 833. 5 = 4165 calendários perfeitos, mais 2 calendários perfeitos que restaram 
na conta de divisão. 
Assim, são 4167 calendários perfeitos. 
 
MÚLTIPLOS E DIVISORES 
 
Múltiplos de um número natural 
Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30. 
Podemos dizer então que: 
 
“30 é divisível por 6 porque existe um número natural (5) que multiplicado por 6 dá como resultado 30.” 
Um número natural a é divisível por um número natural b, não-nulo, se existir um número natural c, tal 
que c . b = a. 
Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que: 
30 é múltiplo de 6, e 6 é divisor de 30. 
 
Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido multiplicando-se esse número pela 
sucessão dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... 
Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, multiplicamos por 7 cada um dos números 
da sucessão dos naturais: 
 
 
 
O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 
14, 21, 28,...}. 
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Observações: 
- Todo número natural é múltiplo de si mesmo. 
- Todo número natural é múltiplo de 1. 
- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múltiplos. 
- O zero é múltiplo de qualquer número natural. 
- Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares, e a fórmula geral desses números é 2k (k
N). Os demais são chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números é 2k + 1 (k N). 
O mesmo se aplica para os números inteiros, tendo k Z. 
 
Critérios de divisibilidade 
São regras práticas que nos possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem 
efetuarmos a divisão. 
 
Divisibilidade por 2: Um númeroé divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando 
ele é par. 
 
Exemplos 
a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6, e é par. 
b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1, e não é par. 
 
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus 
algarismos é divisível por 3. 
 
Exemplos 
a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é divisível por 3. 
b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e 17 não é divisível por 3. 
 
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos são 00 ou 
formam um número divisível por 4. 
 
Exemplos 
a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00. 
b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é divisível por 4. 
c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não é divisível por 4. 
 
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. 
 
Exemplos 
a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 0. 
b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5. 
c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4. 
 
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 
 
Exemplos 
a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18). 
b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 (8 + 0 + 5 + 3 + 0 = 16). 
c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2. 
 
Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando o último algarismo do número, multiplicado 
por 2, subtraído do número sem o algarismo, resulta em um número múltiplo de 7. Neste, o processo será 
repetido a fim de diminuir a quantidade de algarismos a serem analisados quanto à divisibilidade por 7. 
 
Exemplo 
41909 é divisível por 7 conforme podemos conferir: 9.2 = 18 ; 4190 – 18 = 4172 → 2.2 = 4 ; 417 – 4 = 
413 → 3.2 = 6 ; 41 – 6 = 35 ; 35 é multiplo de 7. 
 
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos forem 000 ou 
formarem um número divisível por 8. 
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Exemplos 
a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos são 000. 
b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 24, que é divisível por 
8. 
c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 125, que não é 
divisível por 8. 
 
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus 
algarismos formam um número divisível por 9. 
 
Exemplos 
a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 27 é divisível por 9. 
b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 14 não é divisível por 9. 
 
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando seu algarismo da unidade termina em 
zero. 
 
Exemplos 
a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero. 
b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em zero. 
 
Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos 
de posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 11 ou 
quando essas somas forem iguais. 
 
Exemplos 
 - 43813: 
a) 1º 3º 5º  Algarismos de posição ímpar.(Soma dos algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 
15.) 
4 3 8 1 3 
 2º 4º  Algarismos de posição par. (Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 = 4) 
 
15 – 4 = 11  diferença divisível por 11. Logo 43813 é divisível por 11. 
 
-83415721: 
b) 1º 3º 5º 7º  (Soma dos algarismos de posição ímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19) 
 8 3 4 1 5 7 2 1 
 2º 4º 6º 8º  (Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 + 7 + 1 = 12) 
 
19 – 12 = 7  diferença que não é divisível por 11. Logo 83415721 não é divisível por 11. 
 
Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo. 
 
Exemplos 
a) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 (7 + 8 + 3 + 2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24). 
b) 652011 não é divisível por 12, pois não é divisível por 4 (termina em 11). 
c) 863104 não é divisível por 12, pois não é divisível por 3 (8 + 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22). 
 
Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo. 
 
Exemplos 
a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 (6 + 5 + 0 + 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0). 
b) 723042 não é divisível por 15, pois não é divisível por 5 (termina em 2). 
c) 673225 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 (6 + 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25). 
 
FATORAÇÃO 
 
Essa fatoração se dá através da decomposição em fatores primos. Para decompormos um número 
natural em fatores primos, dividimos o mesmo pelo seu menor divisor primo, depois repetimos a operação 
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9 
 
com o seu quociente ou seja, dividimos o pelo seu menor divisor, e assim sucessivamente até obtermos 
o quociente 1. O produto de todos os fatores primos representa o número fatorado. 
 
Exemplo 
 
Divisores de um número natural 
Vamos pegar como exemplo o número 12 na sua forma fatorada: 
12 = 22 . 31 
 O número de divisores naturais é igual ao produto dos expoentes dos fatores primos acrescidos de 1. 
Logo o número de divisores de 12 são: 
22⏟
(2+1)
. 31⏟
(1+1)
 → (2 + 1) . (1 + 1) = 3.2 = 6 divisores naturais 
 
Para sabermos quais são esses 6 divisores basta pegarmos cada fator da decomposição e seu 
respectivo expoente natural que varia de zero até o expoente com o qual o fator se apresenta na 
decomposição do número natural. 
 
Exemplo: 
12 = 22 . 31 → 22 = 20,21 e 22 ; 31 = 30 e 31, teremos: 
20 . 30=1 
20 . 31=3 
21 . 30=2 
21 . 31=2.3=6 
22 . 31=4.3=12 
22 . 30=4 
O conjunto de divisores de 12 são: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
A soma dos divisores é dada por: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 
 
Observação 
Para sabermos o conjunto dos divisores inteiros de 12, basta multiplicarmos o resultado por 2 (dois 
divisores, um negativo e o outro positivo). 
Assim teremos que D(12) = 6.2 = 12 divisores inteiros. 
 
O produto do MDC e MMC é dado pela fórmula abaixo: 
 
 
MDC(A, B).MMC(A,B)= A.B 
 
 
Questões 
 
01. (Fuvest/SP) O número de divisores positivos do número 40 é: 
(A) 8 
(B) 6 
(C) 4 
(D) 2 
(E) 20 
 
02. (Pref. Itaboraí – Professor) O máximo divisor comum entre dois números naturais é 4 e o produto 
dos mesmos 96. O número de divisores positivos do mínimo múltiplo comum desses números é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 6 
 
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10 
 
(D) 8 
(E) 10 
 
03. (DEPEN – Pedagogia) Considere um número divisível por 6, composto por 3 algarismos distintos 
e pertencentes ao conjunto A={3,4,5,6,7}. A quantidade de números que podem ser formados sob tais 
condições é: 
(A) 6 
(B) 7 
(C) 9 
(D) 8 
(E) 10 
 
04. (Pref.de Niterói) No número a=3x4, x representa um algarismo de a. Sabendo-se que a é divisível 
por 6, a soma dos valores possíveis para o algarismo x vale: 
(A) 2 
(B) 5 
(C) 8 
(D) 12 
(E) 15 
 
05. (Banco Do Brasil – Escriturário – CESGRANRIO) Em uma caixa há cartões. Em cada um dos 
cartões está escrito um múltiplo de 4 compreendido entre 22 e 82. Não há dois cartões com o mesmo 
número escrito, e a quantidade de cartões é a maior possível. Se forem retirados dessa caixa todos os 
cartões nos quais está escrito um múltiplo de 6 menor que 60, quantos cartões restarão na caixa? 
(A)12 
(B)11 
(C)3 
(D)5 
(E) 10 
 
06. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria – ZAMBINI) Na sequência matemática a seguir, os dois 
próximos números são 
65 536 ; 16 384 ; 4 096 ; 1 024 ; _________ ; ________ 
(A) 256 e 64 
(B) 256 e 128 
(C) 128 e 64 
(D) 64 e 32 
 
07. (BRDE/RS) Considere os números abaixo, sendo n um número natural positivo. 
I) 10n + 2 
II) 2 . 10n + 1 
III) 10n+3 – 10n 
 
Quais são divisíveis por 6? 
(A) apenasII 
(B) apenas III 
(C) apenas I e III 
(D) apenas II e III 
(E) I, II e III 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Vamos decompor o número 40 em fatores primos. 
40 = 23 . 51; pela regra temos que devemos adicionar 1 a cada expoente: 
3 + 1 = 4 e 1 + 1 = 2; então pegamos os resultados e multiplicamos 4.2 = 8, logo temos 8 divisores de 
40. 
 
 
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11 
 
02. Resposta: D 
Sabemos que o produto de MDC pelo MMC é: 
MDC (A, B). MMC (A, B) = A.B, temos que MDC (A, B) = 4 e o produto entre eles 96, logo: 
4 . MMC (A, B) = 96 → MMC (A, B) = 96/4 → MMC (A, B) = 24, fatorando o número 24 temos: 
24 = 23 .3, para determinarmos o número de divisores, pela regra, somamos 1 a cada expoente e 
multiplicamos o resultado: 
(3 + 1).(1 + 1) = 4.2 = 8 
 
03. Resposta: D 
Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo, e por isso deverá ser par 
também, e a soma dos seus algarismos deve ser um múltiplo de 3. 
Logo os finais devem ser 4 e 6: 
354, 456, 534, 546, 564, 576, 654, 756, logo temos 8 números. 
 
04. Resposta: E 
Para ser divisível por 6 precisa ser divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. Um número é divisível por 3 
quando a sua soma for múltiplo de 3. 
3 + x + 4 = .... Os valores possíveis de x são 2, 5 e 8, logo 2 + 5 + 8 = 15 
 
05. Resposta: A 
Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 
4. 
Vamos enumerar todos os múltiplos de 4: 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80 (15 
ao todo). 
Retirando os múltiplos de 6 menores que 60 temos: 24, 36 e 48 (3 ao todo) 
Logo: 15 – 3 = 12 
 
06. Resposta: A 
Se dividimos 4096 por 1024, obtemos como resultado 4. Com isso percebemos que 4096 é o produto 
de 1024 x 4, e 4096 x 4 = 16384. Então fica evidente que todos os números são múltiplos de 4. Logo para 
sabermos a sequência basta dividirmos 1024/4 = 256 e 256/4 = 64. 
Com isso completamos a sequência: 256; 64. 
 
07. Resposta: C 
n ∈ N divisíveis por 6: 
 
I) É divisível por 2 e por 3, logo é por 6. (Verdadeira) 
II) Os resultados são ímpares, logo não são por 2. (Falsa) 
III) É Verdadeira, pela mesma razão que a I. 
 
DIVISÃO PROPORCIONAL 
 
Uma forma de divisão no qual determinam-se valores (a,b,c,..) que, divididos por quocientes (x,y,z..) 
previamente determinados, mantêm-se uma razão que não tem variação. 
 
Divisão Diretamente Proporcional 
 
Divisão em duas partes diretamente proporcionais 
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um 
sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A + B = M, porém 
 
𝐴
𝑝
=
𝐵
𝑞
 
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A solução segue de acordo com as propriedades das proporções: 
𝐴
𝑝
=
𝐵
𝑞
=
𝐴 + 𝐵
𝑝 + 𝑞
=
𝑀
𝑝 + 𝑞
= 𝑲 
 
O valor de K é que proporciona a solução pois: A = K.p e B = K.q 
 
Exemplos 
1) Para decompor o número 200 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos 
o sistema de modo que A + B = 200, cuja solução segue de: 
 
𝐴
2
=
𝐵
3
=
𝐴 + 𝐵
5
=
200
5
= 𝟒𝟎 
 
Fazendo A = K.p e B = K.q; temos que A = 40.2 = 80 e B=40.3 = 120 
 
2) Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles 
é 40. Para resolver este problema basta tomar A – B = 40 e escrever: 
 
𝐴
8
=
𝐵
3
=
𝐴 − 𝐵
5
=
40
5
= 𝟖 
 
Fazendo A = K.p e B = K.q; temos que A = 8.8 = 64 e B = 8.3 = 24 
 
Divisão em várias partes diretamente proporcionais 
Para decompor um número M em partes x1, x2, ..., xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-
se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas x1 + x2 + ... + xn= M e p1 + p2 + ... 
+ pn = P. 
𝑥1
𝑝1
=
𝑥2
𝑝2
= ⋯ =
𝑥𝑛
𝑝𝑛
 
 
A solução segue das propriedades das proporções: 
 
𝒙𝟏
𝒑𝟏
=
𝒙𝟐
𝒑𝟐
= ⋯ =
𝒙𝒏
𝒑𝒏
=
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏
𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 + ⋯ 𝒑𝒏
=
𝑴
𝑷
= 𝑲 
Observa-se que partimos do mesmo princípio da divisão em duas partes proporcionais. 
 
Exemplos 
1) Para decompor o número 240 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-
se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A + B + C = 240 e 2 + 4 + 6 = P. Assim: 
 
𝐴
2
=
𝐵
4
=
𝐶
6
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
𝑃
=
240
12
= 𝟐𝟎 
 
Logo: A = 20.2 = 40; B = 20.4 = 80 e C = 20.6 =120 
 
2) Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A + 3B - 4C = 
480 
A solução segue das propriedades das proporções: 
 
𝐴
2
=
𝐵
4
=
𝐶
6
=
2𝐴 + 3𝐵 − 4𝐶
2.2 + 3.4 − 4.6
=
480
−8
= −𝟔𝟎 
 
Logo: A = - 60.2 = -120 ; B = - 60.4 = - 240 e C = - 60.6 = - 360. 
Também existem proporções com números negativos. 
 
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Divisão Inversamente Proporcional 
 
Divisão em duas partes inversamente proporcionais 
Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se 
decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, 
respectivamente, os inversos de p e q. 
Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A + B = M. Desse modo: 
 
𝐴
1/𝑝
=
𝐵
1/𝑞
=
𝐴 + 𝐵
1/𝑝 + 1/𝑞
=
𝑀
1/𝑝 + 1/𝑞
=
𝑀. 𝑝. 𝑞
𝑝 + 𝑞
= 𝑲 
 
O valor de K proporciona a solução pois: A = K/p e B = K/q. 
 
Exemplos 
1) Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se 
montar o sistema tal que A + B = 120, de modo que: 
 
𝐴
1/2
=
𝐵
1/3
=
𝐴 + 𝐵
1/2 + 1/3
=
120
5/6
=
120.6
5
= 144 
 
Assim A = K/p → A = 144/2 = 72 e B = K/q → B = 144/3 = 48 
 
2) Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre 
eles é 10. Para resolver este problema, tomamos A – B = 10. Assim: 
 
𝐴
1/6
=
𝐵
1/8
=
𝐴 − 𝐵
1/6 − 1/8
=
10
1/24
= 240 
 
Assim A = K/p → A = 240/6 = 40 e B = K/q → B = 240/8 = 30 
 
Divisão em várias partes inversamente proporcionais 
Para decompor um número M em n partes x1, x2, ..., xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, 
basta decompor este número M em n partes x1, x2, ..., xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn. 
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que x1 + x2 + ... + xn= M e além disso: 
 
𝑥1
1/𝑝1
=
𝑥2
1/𝑝2
= ⋯ =
𝑥𝑛
1/𝑝𝑛
 
 
Cuja solução segue das propriedades das proporções: 
 
𝒙𝟏
𝟏/𝒑𝟏
=
𝒙𝟐
𝟏/𝒑𝟐
= ⋯ =
𝒙𝒏
𝟏
𝒑
𝒏
=
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏
𝟏
𝒑𝟏
+
𝟏
𝒑𝟐
+ ⋯
𝟏
𝒑
𝒏
=
𝑴
𝟏
𝒑𝟏
+
𝟏
𝒑
𝟐
+ ⋯ +
𝟏
𝒑
𝒏
= 𝑲 
 
Exemplos 
1) Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-
se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A + B + C = 220. Desse modo: 
 
𝐴
1/2
=
𝐵
1/4
=
𝐶
1/6
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
1/2 + 1/4 + 1/6
=
220
11/12
= 240 
 
A solução é A = K/p1 → A = 240/2 = 120, B = K/p2 → B = 240/4 = 60 e C = K/p3 → C = 240/6 = 40 
 
2) Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A + 3B - 4C = 
10, devemos montar as proporções: 
 
𝐴
1/2
=
𝐵
1/4
=
𝐶
1/6
=
2𝐴 + 3𝐵 − 4𝐶
2/2 + 3/4 − 4/6
=
10
13/12
=
120
13
 
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14 
 
Portanto, A = 60/13, B = 30/13 e C = 20/13 
Existem proporções com números fracionários! 
 
Divisão em partes direta e inversamente proporcionais 
 
Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais 
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a, c e d e inversamente 
proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais 
a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que A + B = M e 
além disso: 
 
𝑨
𝒄/𝒑
=
𝑩
𝒅/𝒒
=
𝑨 + 𝑩
𝒄/𝒑 + 𝒅/𝒒
=
𝑴
𝒄/𝒑 + 𝒅/𝒒
=
𝑴. 𝒑. 𝒒
𝒄. 𝒒+ 𝒑. 𝒅
= 𝑲 
 
O valor de K proporciona a solução pois: A = K.c/p e B = K.d/q. 
 
Exemplos 
1) Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, 
inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções: 
 
𝐴
2/5
=
𝐵
3/7
=
𝐴 + 𝐵
2/5 + 3/7
=
58
29/35
= 70 
 
Assim A = K.c/p = (2/5).70 = 28 e B = K.d/q = (3/7).70 = 30 
 
2) Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, 
sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que A – B = 21 
devemos resolver as proporções: 
 
𝐴
4/6
=
𝐵
3/8
=
𝐴 − 𝐵
4/6 − 3/8
=
21
7/24
= 72 
 
Assim A = K.c/p = (4/6).72 = 48 e B = K.d/q = (3/8).72 = 27 
 
Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais 
Para decompor um número M em n partes x1, x2, ..., xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e 
inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes x1, x2, ..., xn 
diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn. 
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que x1 + x2 + ... + xn = M e além disso 
 
𝑥1
𝑝1/𝑞1
=
𝑥2
𝑝2/𝑞2
= ⋯ =
𝑥𝑛
𝑝𝑛/𝑞𝑛
 
 
A solução segue das propriedades das proporções: 
 
𝒙𝟏
𝒑𝟏/𝒒𝟏
=
𝒙𝟐
𝒑𝟐/𝒒𝟐
= ⋯ =
𝒙𝒏
𝒑𝒏
𝒒𝒏
=
𝒙𝒏 + 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏
𝒑𝟏
𝒒𝟏
+
𝒑𝟐
𝒒𝟐
+ ⋯ +
𝒑𝒏
𝒒𝒏
= 𝑲 
 
Exemplos 
1) Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e 
inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de 
forma que A + B + C = 115 e também: 
 
𝐴
1/4
=
𝐵
2/5
=
𝐶
3/6
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
1/4 + 2/5 + 3/6
=
115
23/20
= 100 
 
Logo A = K.p1/q1 = (1/4)100 = 25, B = K.p2/q2 = (2/5)100 = 40 e C = K.p3/q3 = (3/6)100 = 50 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
15 
 
2) Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 
2, 4 e 5, de modo que 2A + 3B - 4C = 10. 
A montagem do problema fica na forma: 
 
𝐴
1/2
=
𝐵
10/4
=
𝐶
2/5
=
2𝐴 + 3𝐵 − 4𝐶
2/2 + 30/4 − 8/5
=
10
69/10
=
100
69
 
 
A solução é A = K.p1/q1 = 50/69, B = K.p2/q2 = 250/69 e C = K.p3/q3 = 40/69 
 
Problemas envolvendo Divisão Proporcional 
 
1) As famílias de duas irmãs, Alda e Berta, vivem na mesma casa e a divisão de despesas mensais é 
proporcional ao número de pessoas de cada família. Na família de Alda são três pessoas e na de Berta, 
cinco. Se a despesa, num certo mês foi de R$ 1.280,00, quanto pagou, em reais, a família de Alda? 
A) 320,00 
B) 410,00 
C) 450,00 
D) 480,00 
E) 520,00 
 
Alda: A = 3 pessoas 
Berta: B = 5 pessoas 
A + B = 1280 
𝐴
3
+
𝐵
5
=
𝐴 + 𝐵
3 + 5
=
1280
8
= 160 
 
A = K.p = 160.3 = 480 
Resposta: D 
 
2) Dois ajudantes foram incumbidos de auxiliar no transporte de 21 caixas que continham 
equipamentos elétricos. Para executar essa tarefa, eles dividiram o total de caixas entre si, na razão 
inversa de suas respectivas idades. Se ao mais jovem, que tinha 24 anos, coube transportar 12 caixas, 
então, a idade do ajudante mais velho, em anos era? 
A) 32 
B) 34 
C) 35 
D) 36 
E) 38 
 
v = idade do mais velho 
Temos que a quantidade de caixas carregadas pelo mais novo: 
Qn = 12 
Pela regra geral da divisão temos: 
Qn = k.1/24 → 12 = k/24 → k = 288 
A quantidade de caixas carregadas pelo mais velho é: 21 – 12 = 9 
Pela regra geral da divisão temos: 
Qv = k.1/v → 9 = 288/v → v = 32 anos 
Resposta: A 
 
3) Em uma seção há duas funcionárias, uma com 20 anos de idade e a outra com 30. Um total de 150 
processos foi dividido entre elas, em quantidades inversamente proporcionais às suas respectivas idades. 
Qual o número de processos recebido pela mais jovem? 
A) 90 
B) 80 
C) 60 
D) 50 
E) 30 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
16 
 
Estamos trabalhando aqui com divisão em duas partes inversamente proporcionais e para a resolução 
da mesma temos que: 
 
𝑨
𝟏/𝒑
=
𝑩
𝟏/𝒒
=
𝑨 + 𝑩
𝟏/𝒑 + 𝟏/𝒒
=
𝑴
𝟏/𝒑 + 𝟏/𝒒
=
𝑴. 𝒑. 𝒒
𝒑 + 𝒒
= 𝑲 
 
O valor de K proporciona a solução pois: A = K/p e B = K/q. 
 
Vamos chamar as funcionárias de p e q respectivamente: 
p = 20 anos (funcionária de menor idade) 
q = 30 anos 
Como será dividido os processos entre as duas, logo cada uma ficará com A e B partes que totalizam 
150: 
A + B = 150 processos 
 
𝐴
1/𝑝
=
𝐵
1/𝑞
=
150
1/20 + 1/30
=
150
1/20 + 1/30
=
150.20.30
20 + 30
=
90000
50
= 𝟏𝟖𝟎𝟎 
 
A = k/p → A = 1800 / 20 → A = 90 processos. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Paulistana/PI – Professor de Matemática – IMA) Uma herança de R$ 750.000,00 deve ser 
repartida entre três herdeiros, em partes proporcionais a suas idades que são de 5, 8 e 12 anos. O mais 
velho receberá o valor de: 
(A) R$ 420.000,00 
(B) R$ 250.000,00 
(C) R$ 360.000,00 
(D) R$ 400.000,00 
(E) R$ 350.000,00 
 
02. (TRF/3ªRegião– Técnico Judiciário – FCC) Quatro funcionários dividirão, em partes diretamente 
proporcionais aos anos dedicados para a empresa, um bônus de R$36.000,00. Sabe-se que dentre esses 
quatro funcionários um deles já possui 2 anos trabalhados, outro possui 7 anos trabalhados, outro possui 
6 anos trabalhados e o outro terá direito, nessa divisão, à quantia de R$6.000,00. Dessa maneira, o 
número de anos dedicados para a empresa, desse último funcionário citado, é igual a 
(A) 5. 
(B) 7. 
(C) 2. 
(D) 3. 
(E) 4. 
 
03. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma prefeitura destinou a quantia 
de 54 milhões de reais para a construção de três escolas de educação infantil. A área a ser construída 
em cada escola é, respectivamente, 1.500 m², 1.200 m² e 900 m² e a quantia destinada à cada escola é 
diretamente proporcional a área a ser construída. 
Sendo assim, a quantia destinada à construção da escola com 1.500 m² é, em reais, igual a 
(A) 22,5 milhões. 
(B) 13,5 milhões. 
(C) 15 milhões. 
(D) 27 milhões. 
(E) 21,75 milhões. 
 
04. (SABESP – Atendente a Clientes 01 – FCC) Uma empresa quer doar a três funcionários um 
bônus de R$ 45.750,00. Será feita uma divisão proporcional ao tempo de serviço de cada um deles. Sr. 
Fortes trabalhou durante 12 anos e 8 meses. Sra. Lourdes trabalhou durante 9 anos e 7 meses e Srta. 
Matilde trabalhou durante 3 anos e 2 meses. O valor, em reais, que a Srta. Matilde recebeu a menos que 
o Sr. Fortes é 
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17 
 
(A) 17.100,00. 
(B) 5.700,00. 
(C) 22.800,00. 
(D) 17.250,00. 
(E) 15.000,00. 
 
05. (SESP/MT – Perito Oficial Criminal – FUNCAB) Maria, Júlia e Carla dividirão R$ 72.000,00 em 
partes inversamente proporcionais às suas idades. Sabendo que Maria tem 8 anos, Júlia, 12 e Carla, 24, 
determine quanto receberá quem ficar com a maior parte da divisão. 
(A) R$ 36.000,00 
(B) R$ 60.000,00 
(C) R$ 48.000,00 
(D) R$ 24.000,00 
(E) R$ 30.000,00 
 
06. (PC/SP – Fotógrafo Perito – VUNESP) Uma verba de R$ 65.000,00 será alocada a três projetos 
diferentes. A divisão desse dinheiro será realizada de forma diretamente proporcional aos graus de 
importância dos projetos, que são, respectivamente, 2, 4 e 7. Dessa maneira, a quantia que o projeto 
mais importante receberá ultrapassa a metade do total da verba em 
(A) R$ 2.500,00. 
(B) R$ 9.000,00. 
(C) R$ 1.000,00. 
(D) R$ 5.000,00. 
(E) R$ 7.500,00. 
 
07. (PC/SP – Atendente de Necrotério Policial – VUNESP) No ano de 2008, a Secretaria Nacional 
de Segurança Pública divulgou o Relatório Descritivo com o Perfil dos Institutos de Medicina Legal (IML) 
brasileiros. Nesse relatório, consta que, em 2006, as quantidades de IMLs nos Estados do Espírito Santo, 
de Minas Gerais, do Rio de Janeiro e de São Paulo eram, respectivamente, 2, 20, 9 e 64. Supondo-se 
que uma verba federal de R$ 190 milhões fosse destinada aos IMLs desses Estados, e a divisão dessa 
verba fosse feita de forma diretamente proporcional a essas quantidades de IMLs por estado, o Estadode São Paulo receberia o valor, em milhões, de 
(A) R$ 128. 
(B) R$ 165,5. 
(C) R$ 98. 
(D) R$ 156. 
(E) R$ 47,5. 
 
08. (UFABC/SP – Tradutor e Intérprete de Linguagens de Sinais – VUNESP) Alice, Bianca e Carla 
trabalharam na organização da biblioteca da escola e, juntas, receberam como pagamento um total de 
R$900,00. Como cada uma delas trabalhou um número diferente de horas, as três decidiram que a divisão 
do dinheiro deveria ser proporcional ao tempo trabalhado. Alice trabalhou por 4 horas, e Bianca, que 
trabalhou 30 minutos menos do que Alice, recebeu R$210,00. A parte devida a Carla foi de 
(A) R$400,00. 
(B) R$425,00. 
(C) R$450,00. 
(D) R$475,00. 
(E) R$500,00. 
 
09. (EMTU/SP – Agente de Fiscalização – CAIPIMES) Uma calçada retilínea com 171 metros precisa 
ser dividida em três pedaços de comprimentos proporcionais aos números 2, 3 e 4. O maior pedaço 
deverá medir: 
(A) 78 metros. 
(B) 82 metros. 
(C) 76 metros. 
(D) 80 metros. 
 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
18 
 
10. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Repartir dinheiro proporcionalmente às 
vezes dá até briga. Os mais altos querem que seja divisão proporcional à altura. Os mais velhos querem 
que seja divisão proporcional à idade. Nesse caso, Roberto com 1,75 m e 25 anos e Mônica, sua irmã, 
com 1,50 m e 20 anos precisavam dividir proporcionalmente a quantia de R$ 29.250,00. Decidiram, no 
par ou ímpar, quem escolheria um dos critérios: altura ou idade. Mônica ganhou e decidiu a maneira que 
mais lhe favorecia. O valor, em reais, que Mônica recebeu a mais do que pela divisão no outro critério, é 
igual a 
(A) 500. 
(B) 400. 
(C) 300. 
(D) 250. 
(E) 50. 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
5x + 8x + 12x = 750.000 
25x = 750.000 
x = 30.000 
O mais velho receberá: 1230000=360000 
 
02. Resposta: D 
2x + 7x + 6x + 6000 = 36000 
15x = 30000 
x = 2000 
Como o último recebeu R$ 6.000,00, significa que ele se dedicou 3 anos a empresa, pois 2000.3 = 
6000 
 
03. Resposta: A 
1500x + 1200x + 900x = 54000000 
3600x = 54000000 
x = 15000 
Escola de 1500 m²: 1500.15000 = 22500000 = 22,5 milhões. 
 
04. Resposta: A 
* Fortes: 12 anos e 8 meses = 12.12 + 8 = 144 + 8 = 152 meses 
* Lourdes: 9 anos e 7 meses = 9.12 + 7 = 108 + 7 = 115 meses 
* Matilde: 3 anos e 2 meses = 3.12 + 2 = 36 + 2 = 38 meses 
* TOTAL: 152 + 115 + 38 = 305 meses 
* Vamos chamar a quantidade que cada um vai receber de F, L e M. 
 
𝑭
𝟏𝟓𝟐
= 
𝑳
𝟏𝟏𝟓
= 
𝑴
𝟑𝟖
= 
𝑭 + 𝑳 + 𝑴
𝟏𝟓𝟐 + 𝟏𝟏𝟓 + 𝟑𝟖
= 
𝟒𝟓𝟕𝟓𝟎
𝟑𝟎𝟓
= 𝟏𝟓𝟎 
 
Agora, vamos calcular o valor que M e F receberam: 
 
𝑴
𝟑𝟖
= 𝟏𝟓𝟎 
 
M = 38 . 150 = R$ 5 700,00 
𝑭
𝟏𝟓𝟐
= 𝟏𝟓𝟎 
F = 152 . 150 = R$ 22 800,00 
Por fim, a diferença é: 22 800 – 5700 = R$ 17 100,00 
 
05. Resposta: A 
M + J + C = 72000 
 
𝑀
1
1
8
=
𝐽
1
1
12
= 
𝐶
1
1
24
 = 
𝑀 +𝐽+𝐶
1
3+2+1
24
= 
72000
1
6
24
= 
72000 .24
6 .1
= 72000 . 4 = 288000 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
19 
 
A maior parte ficará para a mais nova (grandeza inversamente proporcional). 
Assim: 
 
8.𝑀
1
= 288000 
8.M = 288 000 → M = 288 000 / 8 → M = R$ 36 000,00 
 
06. Resposta: A 
Temos que A + B + C = 65 000, por grau de importância temos: 
A = K.2 
B = K.4 
C = K.7 
Aplicando na propriedade da divisão proporcional: 
𝐴
2
+
𝐵
4
+
𝐶
7
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
2 + 4 + 7
=
65 000
13
= 5000 
 
Temos que K = 5000, aplicando acima, vamos descobrir o valor atribuído a cada um projeto: 
A = 5000 .2 = 10 000 
B = 5000.4 = 20 000 
C = 5000.7 = 35 000 
Como ele quer saber quanto o projeto de maior importância superou a metade da verba total, temos: 
Metade da verba total = 65 000/2 = 32 500 
Como o valor do projeto de maior importância é 35 000, logo 35 000 – 32 500 = 2 500 
 
07. Resposta: A 
Temos que E + M + R + S = 190 milhões 
Então: 
𝐸
2
+
𝑀
20
+
𝑅
9
+
𝑆
64
=
𝐸 + 𝑀 + 𝑅 + 𝑆
2 + 20 + 9 + 64
=
190 000 0000
95
= 2 000 000 
 
Como queremos saber de o valor de São Paulo: 
S = 2 000 000 . 64 = 128 000 000 ou 128 milhões. 
 
08. Resposta: C 
Alice: 4horas = 240 minutos 
Bianca: 3 horas 30 minutos = 210 minutos 
K: constante 
210.k = 210 
k = 1, cada minuto vale R$ 1,00 
Carla: Y 
240 + 210 + Y = 900 
Y = 900 - 450 
Y = 450 
 
09. Resposta: C 
𝑥
2
+
𝑦
3
+
𝑧
4
=
171
9
= 19 
 
y = 19.4 = 76 ou 
2x + 3x + 4x = 171 
9x = 171 → x = 19 
Maior pedaço: 4x = 4.19 = 76 metros 
 
10. Resposta: A 
Pela altura: 
R + M = 29250 
𝑅
1,75
 +
 𝑀 
1,50
=
 29250
1,75 + 1,5
=
29250
3,25
= 9000 
 
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20 
 
Mônica: 1, 5.9000=13500 
Pela idade 
𝑅
25
+
𝑀
20
=
29250
45
= 650 
 
Mônica: 20.650 = 13000 
13500 – 13000 = 500 
 
NÚMEROS PRIMOS 
 
Um número natural é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores: o número um e ele 
mesmo. 
Nos inteiros, é um primo se ele tem exatamente quatro divisores: e . 
 
Uma definição um pouco mais técnica, que permite generalizar este conceito para outros conjuntos, é 
dizer que o conjunto dos divisores de p que não são inversíveis não é vazio, e todos seus elementos são 
produtos de p por inteiros inversíveis. 
 
Por definição, 0, 1 e − 1 não são números primos. 
 
Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C.. 
A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também são utilizadas 
como substantivo ou adjetivo. Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se 
a todo primo maior que dois. 
 
Se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto. Por convenção, 
os números 0, 1 e -1 não são considerados primos nem compostos. 
 
O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria 
dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente 
de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos 
(chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração). 
 
Os 100 primeiros números primos positivos são: 
 
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 10
7, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 
227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 
349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 
467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541. 
 
Exemplos: 
Onde D(n) são os divisores positivos de n. 
1 não é primo pois D(1)={1} 
2 é primo pois D(2)={1,2} 
3 é primo pois D(3)={1,3} 
5 é primo pois D(5)={1,5} 
7 é primo pois D(7)={1,7} 
14 não é primo pois D(14)={1,2,7,14} 
 
Múltiplos e Divisores 
Diz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, se existe um número natural k tal que: 
a = k . b 
 
Exemplos 1: 
15 é múltiplo de 5, pois 15 = 3 x 5. 
 
Quando a = k x b, segue que a é múltiplo de b, mas também, a é múltiplo de k, como é o caso do 
número 35 que é múltiplo de 5 e de 7, pois: 35 = 7 x 5. 
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21 
 
Quando a = k x b, então a é múltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos os seus múltiplos, 
basta fazer k assumir todos os números naturais possíveis. 
Por exemplo, para obter os múltiplos de 2, isto é, os números da forma a = k x 2, k seria substituído 
por todos os números naturais possíveis. 
 
Observação: Um número b é sempre múltiplo dele mesmo. 
a = 1 x b ↔ a = b. 
 
Exemplo 2: 
Basta tomar o mesmo número multiplicado por 1 para obter um múltiplo dele próprio: 3 = 1 x 3 
 
A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. 
Um número natural b é divisor do número natural a, se a é múltiplo de b. 
 
Exemplo 3: 
3 édivisor de 15, pois 15 = 3 x 5, logo 15 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 5. 
 
Um número natural tem uma quantidade finita de divisores. 
 
Por exemplo, o número 6 poderá ter no máximo 6 divisores, pois trabalhando no conjunto dos números 
naturais não podemos dividir 6 por um número maior do que ele. Os divisores naturais de 6 são os 
números 1, 2, 3, 6, o que significa que o número 6 tem 4 divisores, logo 6 não é um número primo. 
 
Questões 
 
01. (CASAL – Assistente Administrativo – COPEVE-UFAL) Se um número ímpar tem exatamente 
dois divisores primos, o quádruplo desse número tem exatamente 
(A) oito divisores primos. 
(B) seis divisores primos. 
(C) quatro divisores primos. 
(D) três divisores primos. 
(E) dois divisores primos. 
 
02. (Pref. de Terra de Areia/RS – Agente Administrativo – OBJETIVA/2016) Quantos são os 
números primos compreendidos entre os números 10 e 40? 
(A) 10 
(B) 8 
(C) 12 
(D) 14 
(E) 16 
 
03. (Polícia Científica/PR – Auxiliar de Perícia – IBFC/2017) Assinale a alternativa correta referente 
à quantidade de números primos distintos que encontramos ao decompor o número 360 em fatores 
primos. 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 9 
 
04. (Pref. de Canavieira/PI – Professor de Educação Infantil – IMA) São números primos, EXCETO: 
(A) 13 
(B) 19 
(C) 25 
(D) 2 
 
05. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – MPE-GO/2017) Quais dos números a seguir são primos? 
(A) 13 
(B) 30 
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22 
 
(C) 49 
(D) 65 
(E) 87 
 
06. (COPASA – Agente de Saneamento – FUNDEP) Ao fatorar em números primos o número 270, a 
quantidade de números primos, distintos, que encontramos é 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Se o número for ímpar então ele não é divisível por dois, e ao quadruplicar estaremos multiplicando 
por 2 duas vezes, logo o primo que aumenta será apenas o 2, assim sendo ele terá os dois primos 
anteriores e o 2, portanto terá 3 divisores primos. 
 
02. Resposta: B 
Os número primos entre 10 e 40 são: 
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. 
Portanto possui 8 números primos. 
 
03. Resposta: C 
360 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5; logo possui 3 números primos distintos. 
 
04. Resposta C 
O único número que não é primo que está presente nas alternativas é o 25, pois possui o 5 como 
divisor também. 
 
05. Resposta: A 
13 é o único número primo que está presente nas alternativas. 
 
06. Resposta: C 
270 = 2 . 3 . 3 . 3 . 5, portanto possui 3 números primos distintos que são divisores de 270. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q 
 
Um número racional2 é o que pode ser escrito na forma 
n
m
, onde m e n são números inteiros, sendo que 
n deve ser diferente de zero. Frequentemente utilizamos m/n para significar a divisão de m por n. 
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números 
inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum 
encontrarmos na literatura a notação: 
Q = {
n
m
: m e n em Z, n diferente de zero} 
 
 
 
 
2IEZZI, Gelson - Matemática- Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 1 – Conjuntos e Funções 
http://mat.ufrgs.br 
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23 
 
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: 
 
Atenção: A nomenclatura utilizada abaixo pode interferir diretamente no contexto de uma 
questão, tome muito cuidado ao interpreta-los, pois são todos diferentes (Q+ , Q_ , Q*). 
 
- Q* = conjunto dos racionais não nulos; 
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos; 
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos; 
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos; 
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos. 
 
Representação Decimal das Frações 
Tomemos um número racional 
q
p
, tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, 
basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. 
 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 
1º - O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos: 
 
2º - O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-
se periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: 
 
Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma 
característica especial: 
 
 
 Aproveitando o exemplo acima temos 0,333... = 3. 1/101 + 3 . 1/102 + 3 . 1/103 + 3 . 1/104 ... 
 
Representação Fracionária dos Números Decimais 
Trata-se do problema inverso, estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos 
escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos: 
1º Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o 
denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do 
número decimal dado: 
 
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24 
 
 
2º Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento 
através de alguns exemplos: 
 
a) Seja a dízima 0, 333... 
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3) ➔ então vamos colocar um 9 no 
denominador e repetir no numerador o período. 
 
 
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração
9
3
. 
b) Seja a dízima 5, 1717... 
O período que se repete é o 17, logo dois noves no denominador (99). Observe também que o 5 é a 
parte inteira, logo ele vem na frente: 
 
5
17
99
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → (5.99 + 17) = 512, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
512
99
 
 
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 
99
512
. 
 
Neste caso para transformarmos uma dízima periódica simples em fração, basta utilizarmos o 
dígito 9 no denominador de acordo com a quantidade de dígitos que tiver o período da dízima. 
 
c) Seja a dízima 1, 23434... 
O número 234 é a junção do anteperíodo com o período. Neste caso dizemos que a dízima periódica 
é composta, pois existe uma parte que não se repete e outra que se repete. Temos então um anteperíodo 
(2) e o período (34). Ao subtrairmos deste número o anteperíodo (234-2), obtemos 232 no qual será o 
numerador. O denominador é formado por tantos dígitos 9 – que correspondem ao período, neste caso 
99 (dois noves) – e pelo dígito 0 – que correspondem a tantos dígitos tiverem o anteperíodo, neste caso 
0 (um zero). 
 
 
1
232
990
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑎 → (1.990 + 232) = 1222, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
1222
990
 
 
Simplificando por 2, obtemos x = 
495
611
, que será a fração geratriz da dízima 1, 23434... 
 
 
 
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25 
 
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa 
zero. 
 
 
Exemplos: 
1) Módulo de – 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3
− = 
2
3
 
 
2) Módulo de + 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3
+ = 
2
3
 
 
Números Opostos: Dizemos que –
2
3
 e 
2
3
 são números racionais opostos ou simétricos e cada um 
deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – 
2
3
 e 
2
3
 ao ponto zero da reta são iguais. 
 
Inverso de um Número Racional 
 
(
𝒂
𝒃
)
−𝒏
, 𝒂 ≠ 𝟎 = (
𝒃
𝒂
)
𝒏
, 𝒃 ≠ 𝟎 
 
Representação geométrica dos Números Racionais 
 
 
Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais. 
 
Soma (Adição) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição 
entre os números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que a soma de frações, através de: 
 
 
Subtração de Números Racionais 
 A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto 
de q, isto é: p – q = p + (–q), onde p =
b
a
e q = 
d
c
. 
 
 
 
Multiplicação (Produto) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito naforma de uma fração, definimos o produto 
de dois números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que o produto de frações, através de: 
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26 
 
 
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que 
vale em toda a Matemática: 
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o 
produto de dois números com sinais diferentes é negativo. 
 
 
 
Divisão (Quociente) de Números Racionais 
 A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo 
inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1 
𝒂
𝒃
:
𝒄
𝒅
=
𝒂
𝒃
.
𝒅
𝒄
 
 
Potenciação de Números Racionais 
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a 
base e o número n é o expoente. 
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes) 
 
Exemplos: 
 
Propriedades da Potenciação: 
1) Toda potência com expoente 0 é igual a 1. 
 
2) Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
 
 
 
3) Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra 
potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente 
anterior. 
 
4) Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base. 
 
 
 
 
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27 
 
5) Toda potência com expoente par é um número positivo. 
 
6) Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma 
só potência, conservamos a base e somamos os expoentes. 
 
7) Divisão de potências de mesma base. Para reduzir uma divisão de potências de mesma base a uma 
só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes. 
 
8) Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, 
conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 
 
Radiciação de Números Racionais 
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz 
do número. 
Exemplos: 
1) 
9
1
 Representa o produto 
3
1
.
3
1
ou
2
3
1






.Logo,
3
1
é a raiz quadrada de 
9
1
. 
Indica-se 
9
1
= 
3
1
 
 
2) 0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 
3 216,0 = 0,6. 
 
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. 
Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada no conjunto dos números racionais. 
Por exemplo, o número 
9
100
− não tem raiz quadrada em Q, pois tanto 
3
10
− como 
3
10
+ , quando elevados 
ao quadrado, dão 
9
100
. 
Já um número racional positivo, só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um 
quadrado perfeito. 
E o número 
3
2
 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado 
dê 
3
2
. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Jundiaí/SP– Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Na escola onde estudo, ¼ 
dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a matemática como favorita e os 
demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os alunos que têm ciências como 
disciplina favorita? 
(A) 1/4 
(B) 3/10 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
28 
 
(C) 2/9 
(D) 4/5 
(E) 3/2 
 
02. (Fundação CASA – Agente de Apoio Operacional – VUNESP) De um total de 180 candidatos, 
2/5 estudam inglês, 2/9 estudam francês, 1/3 estuda espanhol e o restante estuda alemão. O número de 
candidatos que estuda alemão é: 
(A) 6. 
(B) 7. 
(C) 8. 
(D) 9. 
(E) 10. 
 
03. (Fundação CASA – Agente de Apoio Operacional – VUNESP) Em um estado do Sudeste, um 
Agente de Apoio Operacional tem um salário mensal de: salário-base R$ 617,16 e uma gratificação de 
R$ 185,15. No mês passado, ele fez 8 horas extras a R$ 8,50 cada hora, mas precisou faltar um dia e foi 
descontado em R$ 28,40. No mês passado, seu salário totalizou 
(A) R$ 810,81. 
(B) R$ 821,31. 
(C) R$ 838,51. 
(D) R$ 841,91. 
(E) R$ 870,31. 
 
04. (Pref. Niterói) Simplificando a expressão abaixo: 
1,3333…+
3
2
1,5+
4
3
 
 
Obtém-se 
(A) ½. 
(B) 1. 
(C) 3/2. 
(D) 2. 
(E) 3. 
 
05. (SABESP – Aprendiz – FCC) Em um jogo matemático, cada jogador tem direito a 5 cartões 
marcados com um número, sendo que todos os jogadores recebem os mesmos números. Após todos os 
jogadores receberem seus cartões, aleatoriamente, realizam uma determinada tarefa que também é 
sorteada. Vence o jogo quem cumprir a tarefa corretamente. Em uma rodada em que a tarefa era colocar 
os números marcados nos cartões em ordem crescente, venceu o jogador que apresentou a sequência 
(A) −4; −1; √16; √25;
14
3
 
(B) −1; −4; √16; 
14
3
; √25 
(C) −1; −4; 
14
3
; √16; √25 
(D) −4; −1; √16;
14
3
; √25 
(E)−4; −1; 
14
3
; √16; √25 
 
06. (SABESP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC) Somando-se certo número positivo x ao 
numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como resultado, 
o número 5. Sendo assim, x é igual a 
(A) 52/25. 
(B) 13/6. 
(C) 7/3. 
(D) 5/2. 
(E) 47/23. 
 
 
 
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29 
 
07. (SABESP – Aprendiz – FCC) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as: 
 − 1 real: ¼ das moedas 
− 50 centavos: 1/3 das moedas 
− 25 centavos: 2/5 das moedas 
− 10 centavos: as restantes 
 Mariana totalizou a quantia contida no cofre em 
(A) R$ 62,20. 
(B) R$ 52,20. 
(C) R$ 50,20. 
(D) R$ 56,20. 
(E) R$ 66,20. 
 
08. (PM/SE – Soldado 3ªclasse – FUNCAB) Numa operação policial de rotina, que abordou 800 
pessoas, verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as 
mulheres abordadas, 1/8 foram detidas. 
Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? 
(A) 145 
(B) 185 
(C) 220 
(D) 260 
(E) 120 
 
09. (Pref. Jundiaí/SP – Agente de Serviços Operacionais – MAKIYAMA) Quando perguntado sobre 
qual era a sua idade, o professor de matemática respondeu: 
“O produto das frações 9/5 e 75/3 fornece a minha idade!”. 
Sendo assim, podemos afirmar que o professor tem: 
(A) 40 anos. 
(B) 35 anos. 
(C) 45 anos. 
(D) 30 anos. 
(E) 42 anos. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: B. 
Somando português e matemática: 
1
4
+
9
20
=
5 + 9
20
=
14
20
=
7
10
 
O que resta gosta de ciências: 
1 −
7
10
=
3
10
 
 
02. Alternativa: C. 
 
2
5
+
2
9
+
1
3
 
Mmc(3,5,9)=45 
 
 
18+10+15
45
=
43
45
 
O restante estuda alemão: 2/45 
 180 ∙
2
45
= 8 
 
03. Alternativa: D. 
 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙: 617,16 + 185,15 = 802,31 
 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑠: 8,5 ∙ 8 = 68 
 𝑚ê𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜: 802,31 + 68,00 − 28,40 = 841,91 
Salário foi R$ 841,91. 
 
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30 
 
04. Alternativa: B. 
1,3333...= 12/9 = 4/3 
1,5 = 15/10 = 3/2 
4
3
+
3
2
3
2
+
4
3
=
17
6
17
6
= 1 
 
05. Alternativa: D. 
 √16 = 4 
 √25 = 5 
 
14
3
= 4,67 
A ordem crescente é: −4; −1; √16;
14
3
; √25 
 
06. Alternativa: B. 
Lá vem o tal do “x” né, mas analise o seguinte, temos a fração 
2
3
, aí ele disse o seguinte: Somando-se 
certo número positivo x ao numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração, 
logo devemos somar “x” no 2 e subtrair “x” de 3, ficando: 
2 + x
3 − x
 
Isso é igual a 5, assim teremos formada nossa equação com números racionais! 
2+x
3−x
= 5, para resolver devemos multiplicar em cruz (como não tem ninguém no denominador do 5, 
devemos colocar o 1). 
 
1.(2 + x) = 5.(3 – x) 
Aplicando a propriedade distributiva: 
2 + x = 15 – 5x 
Letra para um lado e número para o outro, não esquecendo que quando troca de lado inverte o número. 
x + 5x = 15 – 2 
6x = 13 
x = 
13
6
 
Portanto a alternativa correta é a “B”. 
 
07. Alternativa: A. 
1 𝑟𝑒𝑎𝑙: 120 ∙
1
4
= 30 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠50 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
1
3
∙ 120 = 40 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 25 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
2
5
∙ 120 = 48 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 10 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 120 − 118 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 = 2 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 30 + 40 ∙ 0,5 + 48 ∙ 0,25 + 2 ∙ 0,10 = 62,20 
 
Mariana totalizou R$ 62,20. 
 
08. Alternativa: A. 
 800 ∙
3
4
= 600 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 
 
 600 ∙
1
5
= 120 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 
Como 3/4 eram homens, 1/4 eram mulheres 
 800 ∙
1
4
= 200 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 ou 800-600=200 mulheres 
 
 200 ∙
1
8
= 25 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 
 
Total de pessoas detidas: 120+25=145 
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31 
 
09. Alternativa: C. 
 
9
5
∙
75
3
=
675
15
= 45 𝑎𝑛𝑜𝑠 
 
 
 
PERÍMETRO E ÁREA DAS FIGURAS PLANAS 
 
Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura plana. 
Exemplo: 
 
 
Perímetro = 10 + 10 + 9 + 9 = 38 cm 
 
Perímetros de algumas das figuras planas: 
 
 
 
 
Área: é a medida da superfície de uma figura plana. 
A unidade básica de área é o m2 (metro quadrado), isto é, uma superfície correspondente a um 
quadrado que tem 1 m de lado. 
 
 
Fórmulas de área das principais figuras planas: 
 
1) Retângulo 
 - sendo b a base e h a altura: 
 
 
 
2 Geometria: reconhecimento de figuras planas; áreas e perímetro de figuras 
plana; relações métricas nos triângulos retângulos; 
 
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32 
 
2. Paralelogramo 
- sendo b a base e h a altura: 
 
 
3. Trapézio 
- sendo B a base maior, b a base menor e h a altura: 
 
 
4. Losango 
- sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor: 
 
5. Quadrado 
- sendo l o lado: 
 
6. Triângulo: essa figura tem 6 fórmulas de área, dependendo dos dados do problema a ser resolvido. 
 
I) sendo dados a base b e a altura h: 
 
 
II) sendo dados as medidas dos três lados a, b e c: 
 
 
III) sendo dados as medidas de dois lados e o ângulo formado entre eles: 
 
 
IV) triângulo equilátero (tem os três lados iguais): 
 
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33 
 
V) circunferência inscrita: 
 
VI) circunferência circunscrita: 
 
 
Questões 
 
01. A área de um quadrado cuja diagonal mede 2√7 cm é, em cm2, igual a: 
(A) 12 
(B) 13 
(C) 14 
(D) 15 
(E) 16 
 
02. (BDMG - Analista de Desenvolvimento – FUMARC) Corta-se um arame de 30 metros em duas 
partes. Com cada uma das partes constrói-se um quadrado. Se S é a soma das áreas dos dois quadrados, 
assim construídos, então o menor valor possível para S é obtido quando: 
(A) o arame é cortado em duas partes iguais. 
(B) uma parte é o dobro da outra. 
(C) uma parte é o triplo da outra. 
(D) uma parte mede 16 metros de comprimento. 
 
03. (TJM-SP - Oficial de Justiça – VUNESP) Um grande terreno foi dividido em 6 lotes retangulares 
congruentes, conforme mostra a figura, cujas dimensões indicadas estão em metros. 
 
 
Sabendo-se que o perímetro do terreno original, delineado em negrito na figura, mede x + 285, conclui-
se que a área total desse terreno é, em m2, igual a: 
(A) 2 400. 
(B) 2 600. 
(C) 2 800. 
(D) 3000. 
(E) 3 200. 
 
04. (TRT/4ª REGIÃO - Analista Judiciário - Área Judiciária – FCC) Ultimamente tem havido muito 
interesse no aproveitamento da energia solar para suprir outras fontes de energia. Isso fez com que, após 
uma reforma, parte do teto de um salão de uma empresa fosse substituída por uma superfície retangular 
totalmente revestida por células solares, todas feitas de um mesmo material. Considere que: 
- células solares podem converter a energia solar em energia elétrica e que para cada centímetro 
quadrado de célula solar que recebe diretamente a luz do sol é gerada 0,01 watt de potência elétrica; 
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34 
 
- a superfície revestida pelas células solares tem 3,5m de largura por 8,4m de comprimento. 
Assim sendo, se a luz do sol incidir diretamente sobre tais células, a potência elétrica que elas serão 
capazes de gerar em conjunto, em watts, é: 
(A) 294000. 
(B) 38200. 
(C) 29400. 
(D) 3820. 
(E) 2940. 
 
05. (CPTM - Médico do trabalho – MAKIYAMA) Um terreno retangular de perímetro 200m está à 
venda em uma imobiliária. Sabe-se que sua largura tem 28m a menos que o seu comprimento. Se o metro 
quadrado cobrado nesta região é de R$ 50,00, qual será o valor pago por este terreno? 
(A) R$ 10.000,00. 
(B) R$ 100.000,00. 
(C) R$ 125.000,00. 
(D) R$ 115.200,00. 
(E) R$ 100.500,00. 
 
06. Uma pessoa comprou 30 m2 de piso para colocar em uma sala retangular de 4 m de largura, porém, 
ao medir novamente a sala, percebeu que havia comprado 3,6 m2 de piso a mais do que o necessário. O 
perímetro dessa sala, em metros, é de: 
(A) 21,2. 
(B) 22,1. 
(C) 23,4. 
(D) 24,3. 
(E) 25,6 
 
07. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) A pipa, também conhecida como 
papagaio ou quadrado, foi introduzida no Brasil pelos colonizadores portugueses no século XVI. Para 
montar a pipa, representada na figura, foram utilizados uma vareta de 40 cm de comprimento, duas 
varetas de 32 cm de comprimento, tesoura, papel de seda, cola e linha. 
As varetas são fixadas conforme a figura, formando a estrutura da pipa. A linha é passada em todas 
as pontas da estrutura, e o papel é colado de modo que a extremidade menor da estrutura da pipa fique 
de fora. 
 
Na figura, a superfície sombreada corresponde ao papel de seda que forma o corpo da pipa. A área 
dessa superfície sombreada, em centímetros quadrados, é: 
(A) 576. 
(B) 704. 
(C) 832. 
(D) 1 150. 
(E) 1 472. 
 
08. (TJ/SP – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP) Para efeito decorativo, um arquiteto 
dividiu o piso de rascunho um salão quadrado em 8 regiões com o formato de trapézios retângulos 
congruentes (T), e 4 regiões quadradas congruentes (Q), conforme mostra a figura: 
 
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35 
 
 
Se a área de cada região com a forma de trapézio retângulo for igual a 24 m², então a área total 
desse piso é, em m², igual a 
(A) 324 
(B) 400 
(C) 225 
(D) 256 
(E) 196 
 
Comentários 
 
01.Resposta: C. 
Sendo l o lado do quadrado e d a diagonal: 
 
Utilizando o Teorema de Pitágoras: 
 d2 = l2 + l2 
 (2√7)
2
= 2l2 
 4.7 = 2l2 
 2l2 = 28 
 l2 =
28
2
 
 A = 14 cm2 
 
02. Resposta: A. 
- um quadrado terá perímetro x 
 o lado será l =
x
4
 e o outro quadrado terá perímetro 30 – x 
o lado será l1 =
30−x
4
, sabendo que a área de um quadrado é dada por S = l2, temos: 
S = S1 + S2 
S=l²+l1² 
S = (
x
4
)
2
+ (
30−x
4
)
2
 
S =
x2
16
+
(30−x)2
16
, como temos o mesmo denominador 16: 
 
 S =
x2+302−2.30.x+x2
16
 
 S =
x2+900−60x+x2
16
 
 S =
2x2
16
−
60x
16
+
900
16
, 
 
sendo uma equação do 2º grau onde a = 2/16; b = -60/16 e c = 900/16 e o valor de x será o x do vértice 
que e dado pela fórmula: x =
−b
2a
, então: 
 
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36 
 
 xv =
−(
−60
16
)
2.
2
16
=
60
16
4
16
 
xv =
60
16
.
16
4
=
60
4
= 15, 
 
logo l = 15 e l1 = 30 – 15 = 15. 
 
03. Resposta: D. 
Observando a figura temos que cada retângulo tem lados medindo x e 0,8x: 
Perímetro = x + 285 
8.0,8x + 6x = x + 285 
6,4x + 6x – x = 285 
11,4x = 285 
x = 285:11,4 
x = 25 
Sendo S a área do retângulo: 
S= b.h 
S= 0,8x.x 
S = 0,8x2 
Sendo St a área total da figura: 
St = 6.0,8x2 
St = 4,8.252 
St = 4,8.625 
St = 3000 
 
04. Resposta: E. 
Retângulo com as seguintes dimensões: 
Largura: 3,5 m = 350 cm 
Comprimento: 8,4 m = 840 cm 
A = 840.350 
A = 294.000 cm2 
Potência = 294.000.0,01 = 2940 
 
05. Resposta: D. 
Comprimento: x 
Largura: x – 28 
Perímetro = 200 
x + x + x – 28 + x – 28 = 200 
4x – 56 = 200 
4x = 200 + 56 
x = 256 : 4 
x = 64 
Comprimento: 64 
Largura: 64 – 28 = 36 
Área: A = 64.36 = 2304 m2 
Preço = 2304.50,00 = 115.200,00 
 
06. Resposta: A. 
Do enunciado temos que foram comprados 30 m2 de piso e que a sala tem 4 m de largura. Para saber 
o perímetro temos que calcularo comprimento desta sala. 
- houve uma sobra de 3,6 m2, então a área da sala é: 
A = 30 – 3,6 
A = 26,4 m2 
- sendo x o comprimento: 
x.4 = 26,4 
x = 26,4 : 4 
x = 6,6 m (este é o comprimento da sala) 
 
- o perímetro (representado por 2p na geometria) é a soma dos 4 lados da sala: 
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37 
 
2p = 4 + 4 + 6,6 + 6,6 = 21,2 m 
 
07. Resposta: C. 
A área procurada é igual a área de um triângulo mais a área de um retângulo. 
 
A = AT + AR 
 
A = 
32.20
2
+ 16.32 
 
A = 320 + 512 = 832 
 
08. Resposta: D. 
 
O destaque da figura corresponde a base maior do nosso trapézio, e podemos perceber que equivale 
a 2x e a base menor x, portanto: 
𝐴 =
𝑏 + 𝐵
2
∙ ℎ 
24 =
𝑥 + 2𝑥
2
∙ 𝑥 
 
48 = 3𝑥2 
X²=16 
Substituindo: A total =4x 4x=16x²=1616=256 m² 
 
ÁREA DO CIRCULO E SUAS PARTES 
 
I- Círculo: 
Quem primeiro descreveu a área de um círculo foi o matemático grego Arquimedes (287/212 a.C.), de 
Siracusa, mais ou menos por volta do século II antes de Cristo. Ele concluiu que quanto mais lados tem 
um polígono regular mais ele se aproxima de uma circunferência e o apótema (a) deste polígono tende 
ao raio r. Assim, como a fórmula da área de um polígono regular é dada por A = p.a (onde p é 
semiperímetro e a é o apótema), temos para a área do círculo 𝐴 =
2𝜇𝑟
2
. 𝑟, então temos: 
 
 
 
II- Coroa circular: 
É uma região compreendida entre dois círculos concêntricos (tem o mesmo centro). A área da coroa 
circular é igual a diferença entre as áreas do círculo maior e do círculo menor. A = 𝜋R2 – 𝜋r2, como temos 
o 𝜋 como fator comum, podemos colocá-lo em evidência, então temos: 
 
 
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38 
 
III- Setor circular: 
É uma região compreendida entre dois raios distintos de um círculo. O setor circular tem como 
elementos principais o raio r, um ângulo central 𝛼 e o comprimento do arco l, então temos duas fórmulas: 
 
 
 
IV- Segmento circular: 
É uma região compreendida entre um círculo e uma corda (segmento que une dois pontos de uma 
circunferência) deste círculo. Para calcular a área de um segmento circular temos que subtrair a área de 
um triângulo da área de um setor circular, então temos: 
 
 
 
Questões 
 
01. (SEDUC/RJ – Professor – Matemática – CEPERJ) A figura abaixo mostra três círculos, cada 
um com 10 cm de raio, tangentes entre si. 
 
Considerando √3 ≅ 1,73 e 𝜋 ≅ 3,14, o valor da área sombreada, em cm2, é: 
(A) 320. 
(B) 330. 
(C) 340. 
(D) 350. 
(E) 360. 
 
02. (Câmara Municipal de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade – FUMARC) A área de um 
círculo, cuja circunferência tem comprimento 20𝜋 cm, é: 
(A) 100𝜋 cm2. 
(B) 80 𝜋 cm2. 
(C) 160 𝜋 cm2. 
(D) 400 𝜋 cm2. 
 
03. (PETROBRÁS - Inspetor de Segurança - CESGRANRIO) Quatro tanques de armazenamento de 
óleo, cilíndricos e iguais, estão instalados em uma área retangular de 24,8 m de comprimento por 20,0 m 
de largura, como representados na figura abaixo. 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
39 
 
Se as bases dos quatro tanques ocupam 
2
5
 da área retangular, qual é, em metros, o diâmetro da base 
de cada tanque? 
Dado: use 𝜋=3,1 
(A) 2. 
(B) 4. 
(C) 6. 
(D) 8. 
(E) 16. 
 
04. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) Na figura a seguir, OA = 10 cm, OB = 
8 cm e AOB = 30°. 
 
Qual, em cm², a área da superfície hachurada. Considere π = 3,14? 
(A) 5,44 cm². 
(B) 6,43 cm². 
(C) 7,40 cm². 
(D) 8,41 cm². 
(E) 9,42 cm². 
 
05. (U. F. de Uberlândia-MG) Uma indústria de embalagens fábrica, em sua linha de produção, discos 
de papelão circulares conforme indicado na figura. Os discos são produzidos a partir de uma folha 
quadrada de lado L cm. Preocupados com o desgaste indireto produzido na natureza pelo desperdício de 
papel, a indústria estima que a área do papelão não aproveitado, em cada folha utilizada, é de (100 - 25π) 
cm2. 
 
Com base nas informações anteriores, é correto afirmar que o valor de L é: 
(A) Primo 
(B) Divisível por 3. 
(C) Ímpar. 
(D) Divisível por 5. 
 
06. Na figura abaixo está representado um quadrado de lado 4 cm e um arco de circunferência com 
centro no vértice do quadrado. Qual é a área da parte sombreada? 
 
(A) 2(4 – π) cm2 
(B) 4 – π cm2 
(C) 4(4 – π) cm2 
(D) 16 cm2 
(E) 16π cm2 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
40 
 
07. Calcular a área do segmento circular da figura abaixo, sendo r = 6 cm e o ângulo central do setor 
igual a 60°: 
 
(A) 6 π - 6√3 cm² 
(B) 2. (2 π - 3√3) cm² 
(C) 3. (4 π - 3√3) cm² 
(D) 3. (1 π - 3√3) cm² 
(E) 3. (2 π - 3√3) cm² 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
Unindo os centros das três circunferências temos um triângulo equilátero de lado 2r ou seja l = 2.10 = 
20 cm. Então a área a ser calculada será: 
 
𝐴 = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 +
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
 
𝐴 =
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+
𝑙2√3
4
 
𝐴 =
(3,14 ∙ 102)
2
+
202 ∙ 1,73
4
 
𝐴 = 1,57 ∙ 100 +
400 ∙ 1,73
4
 
 𝐴 = 157 + 100 ∙ 1,73 = 157 + 173 = 330 
 
02. Resposta: A. 
A fórmula do comprimento de uma circunferência é C = 2π.r, Então: 
C = 20π 
2π.r = 20π 
r =
20π
2π
 
r = 10 cm 
A = π.r2 → A = π.102 → A = 100π cm2 
 
03. Resposta: D. 
Primeiro calculamos a área do retângulo (A = b.h) 
Aret = 24,8.20 
Aret = 496 m2 
 
4.Acirc = 
2
5
.Aret 
 
4.πr2 = 
2
5
.496 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
41 
 
4.3,1.r2 = 
992
5
 
12,4.r2 = 198,4 
r2 = 198,4 : 12, 4 → r2 = 16 → r = 4 
d = 2r =2.4 = 8 
 
04. Resposta: E. 
OA = 10 cm (R = raio da circunferência maior), OB = 8 cm (r = raio da circunferência menor). A área 
hachurada é parte de uma coroa circular que é dada pela fórmula Acoroa = π(R2 – r2). 
Acoroa = 3,14.(102 – 82) 
Acoroa = 3,14.(100 – 64) 
Acoroa = 3,14.36 = 113,04 cm2 
- como o ângulo dado é 30° 
360° : 30° = 12 partes iguais. 
Ahachurada = 113,04 : 12 = 9,42 cm2 
 
05. Resposta: D. 
A área de papelão não aproveitado é igual a área do quadrado menos a área de 9 círculos. Sendo que 
a área do quadrado é A = L2 e a área do círculo A = π.r2. O lado L do quadrado, pela figura dada, é igual 
a 6 raios do círculo. Então: 
6r = L → r = L/6 
A = Aq – 9.Ac 
100 - 25π = L² - 9 π r² (substituir o r) 
100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9𝜋. (
𝐿
6
)
2
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9. 𝜋.
𝐿2
36
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 −
𝜋𝐿2
4
 
 
Colocando em evidência o 100 no primeiro membro de e L² no segundo membro: 
100. (1 −
𝜋
4
) = 𝐿2. (1 −
𝜋
4
) → 100 = 𝐿2 → 𝐿 = √100 = 10 
 
06. Resposta: C. 
A área da região sombreada é igual a área do quadrado menos ¼ da área do círculo (setor com ângulo 
de 90°). 
𝐴 = 𝐴𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 −
𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
4
 → 𝐴 = 𝑙2 −
𝜋. 𝑟2
4
→ 𝐴 = 42 −
𝜋. 42
4
→ 𝐴 = 16 − 4𝜋 
 
Colocando o 4 em evidência: A = 4(4 – π) cm² 
 
07. Resposta: E. 
Asegmento = Asetor - Atriângulo 
Substituindo as fórmulas: 
𝐴𝑠𝑒𝑔 =
𝑎𝜋𝑟2
360°
−
𝑎. 𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝑎
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
60°. 𝜋. 62
360°
−
6.6. 𝑠𝑒𝑛60°
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
36𝜋
6
− 6.3.
√3
2
 
 
Aseg = 6 π - 9√3 = 3. (2 π - 3√3) cm² 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
Na figura abaixo temos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a base e h é a altura relativa a essa 
hipotenusa: 
 
Sendo: 
A= hipotenusa 
b e c = catetos 
h= altura 
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42 
 
m e n = projeções do catetos 
Por semelhança de triângulos temos quatro relações métricas válidas somente para triângulos 
retângulos que são: 
 
I) Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 
HIP2 = CAT2 + CAT2 
a² = b² + c² 
 
II) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção do cateto. 
CAT2 = HIP.PROJ 
c² = a.m 
b² = a.n 
 
III) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos. 
ALT2 = PROJ.PROJ 
h² = m.n 
 
IV) O produto da hipotenusa pela altura éigual ao produto dos catetos. 
HIP.ALT = CAT.CAT 
a.h = b.c 
 
Exemplo 
A área de um triângulo retângulo é 12 dm2. Se um dos catetos é 2/3 do outro, calcule a medida da 
hipotenusa desse triângulo. 
 
Do enunciado se um cateto é x o outro é 
2𝑥
3
, e em um triângulo retângulo para calcular a área, uma 
cateto é a base e o outro é a altura, e a fórmula da área é 𝐴 =
𝑏.ℎ
2
, então: 
A = 12 
𝑥.
2𝑥
3
2
= 12 
2𝑥2
6
= 12 → 2x2 = 12.6 → 2x2 = 72 → x2 = 72 : 2 
x2 = 36 → 𝑥 = √36 = 6 
Uma cateto mede 6 e o outro 
2.6
3
= 4, pelo teorema de Pitágoras, sendo a a hipotenusa: 
a2 = 62 + 42 
a2 = 36 + 16 
a2 = 52 
𝑎 = √52 
𝑎 = √13.4 
𝑎 = 2√13 
 
Questões 
 
01. (Polícia Científica/PR – Perito Criminal – IBFC/2017) A medida da altura relativa à hipotenusa 
de um triângulo retângulo de catetos 6 cm e 8 cm é igual a: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 4,8 
(D) 6 
(E) 10 
 
02. (UEL) Pedrinho não sabia nadar e queria descobrir a medida da parte mais extensa (AC) da "Lagoa 
Funda". Depois de muito pensar, colocou 3 estacas nas margens da lagoa, esticou cordas de A até B e 
de B até C, conforme figura abaixo. Medindo essas cordas, obteve: AB = 24 m e BC = 18 m. Usando 
seus conhecimentos matemáticos, Pedrinho concluiu que a parte mais extensa da lagoa mede: 
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43 
 
 
(A) 30 
(B) 28 
(C) 26 
(D) 35 
(E) 42 
 
03. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 cm e um dos catetos mede 6 cm, pede-se 
determinar as medidas do outro cateto, a altura e as projeções dos catetos. 
(A) 24cm 
(B) 8cm 
(C) 64cm 
(D) 16cm 
(E) 6cm 
 
04. Em um triângulo ABC, figura a seguir, as medianas que partem de A e de B são perpendiculares. Se 
BC = 8 e AC = 6, o valor de AB é: 
 
(A) 63 
(B) 34 
(C) 712 
(D) 52 
(E) 24 
 
05. Em um triângulo retângulo os catetos medem 6 cm e 8 cm. Determinar a medida da hipotenusa, 
da altura e das projeções dos catetos desse triângulo. 
(A) 12 cm, 5 cm, 3,6 cm e 6,4 cm 
(B) 10 cm, 4,8 cm, 3,6 cm e 6,4 cm 
(C) 10 cm, 5 cm, 3,6 cm e 7 cm 
(D) 10 cm, 4,8 cm, 4 cm e 6,4 cm 
(E) 15 cm, 4,8 cm, 3,6 cm e 6,4 cm 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C. 
Primeiramente devemos calcular o valor da hipotenusa deste triângulo, para posteriormente calcular 
a altura (utilizando a relação ALT.HIP = CAT.CAT). 
HIP² = CAT² + CAT² 
X² = 6² + 8² 
X² = 36 + 64 = 100 
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44 
 
X = 10. 
ALT.10 = 6.8 
ALT = 48/10 = 4,8 
 
02. Resposta: A. 
Pelo teorema de Pitágoras: 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 242 + 182 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 576 + 324 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 900 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = √900 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 30 
 
03. Resposta B. 
Do enunciado um cateto mede 6 cm e a hipotenusa 10 cm, pelo teorema de Pitágoras: 
102 = x2 + 62 
100 = x2 + 36 
100 – 36 = x2 
x2 = 64 
x = √64 
x = 8 cm 
 
04. Resposta: D. 
Mediana divide o lado oposto em duas partes iguais. 
 
Pelo teorema de Pitágoras: 
x2 = (2a)2 + (2b)2 
x2 = 4a2 + 4b2 (colocando o 4 em evidência) 
x2 = 4.(a2 + b2) (I) 
 
32 = (2a2) +b2 
9 = 4a2 + b2 (II) 
 
42 = a2 + (2b)2 
16 = a2 + 4b2 (III) 
 
Somando, membro a membro, as equações (II) e (III): 
 
5 = a2 + b2 (substituindo em (I)): 
x2 = 4.5 
x2 = 20 
x = √20 
x = 2√5 
 
 
 
 
 
 
 
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45 
 
05. Respostas: B. 
Utilizando as relações métricas, temos: 
 
 
Teorema de Pitágoras: 
a2 = 82 + 62 
a2 = 64 + 36 
a2 = 100 
a = √100 
a = 10 cm 
HIP.ALT = CAT.CAT 
10.h = 8.6 
10h = 48 → h = 48 : 10 = 4,8 cm 
CAT2 = HIP.PROJ 
62 = 10.n 
36 = 10 n 
n = 36 : 10 = 3,6 cm 
82 = 10.m 
64 = 10m 
m = 64 : 10 = 6,4 cm 
 
 
 
Sistema de Medidas Decimais: Área, volume, comprimento, capacidade, massa 
 
Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre 
si. O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, 
listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A unidade fundamental é o metro, 
porque dele derivam as demais. 
 
 
 
Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema 
tenha um padrão: cada unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte. 
Por isso, o sistema é chamado decimal. 
 
E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado 
com o nome popular de litro. 
As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. 
São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são 
o quilômetro quadrado, o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades 
rurais com o nome de hectare (há): 1 hm2 = 1 ha. 
No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 
vezes, como nos comprimentos. Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 
= 102. 
3 Unidades de Medidas: comprimento, superfície, volume, capacidade e massa; 
 
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46 
 
Existem outras unidades de medida mas que não pertencem ao sistema métrico decimal. Vejamos 
as relações entre algumas essas unidades e as do sistema métrico decimal (valores aproximados): 
1 polegada = 25 milímetros 
1 milha = 1 609 metros 
1 légua = 5 555 metros 
1 pé = 30 centímetros 
 
 
A nomenclatura é a mesma das unidades de comprimento acrescidas de quadrado. 
 
Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro 
cúbico (hm3), etc. Na prática, são muitos usados o metro cúbico(m3) e o centímetro cúbico(cm3). 
Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor 
seguinte. Como 1000 = 103, o sistema continua sendo decimal. 
 
 
 
A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que enche um tanque é 
de 7.000 litros, dizemos que essa é a capacidade do tanque. A unidade fundamental para medir 
capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3 e 1m³ = 1000l. 
Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte. 
 
 
 
O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o 
grama(g). 
 
 
Nomenclatura: 
Kg – Quilograma 
hg – hectograma 
dag – decagrama 
g – grama 
dg – decigrama 
cg – centigrama 
mg – miligrama 
 
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47 
 
Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda 
a tonelada (t). 
Medidas Especiais: 
1 Tonelada(t) = 1000 Kg 
1 Arroba = 15 Kg 
1 Quilate = 0,2 g 
 
Relações entre unidades 
 
 
 
Temos que: 
1 kg = 1l = 1 dm3 
1 hm2 = 1 ha = 10.000m2 
1 m3 = 1000 l 
 
Questões 
 
 
01. (SESAP-RN – Administrador – COMPERVE/2018) Uma criança desenvolveu uma infecção cujo 
tratamento deve ser feito com antibióticos. O antibiótico utilizado no tratamento tem recomendação diária 
de 1,5 mg por um quilograma de massa corpórea, devendo ser administrado três vezes ao dia, em doses 
iguais. Se a criança tem massa equivalente a 12 kg, cada dose administrada deve ser de 
(A) 7,5 mg. 
(B) 9,0 mg. 
(C) 4,5 mg. 
(D) 6,0 mg. 
 
02. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) O suco existente em uma jarra 
preenchia 
3
4
 da sua capacidade total. Após o consumo de 495 mL, a quantidade de suco restante na jarra 
passou a preencher 
1
5
 da sua capacidade total. Em seguida, foi adicionada certa quantidade de suco na 
jarra, que ficou completamente cheia. Nessas condições, é correto afirmar que a quantidade de suco 
adicionada foi igual, em mililitros, a 
(A) 580. 
(B) 720. 
(C) 900. 
(D) 660. 
(E) 840. 
 
03. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em uma casa há um filtro de barro que contém, no 
início da manhã, 4 litros de água. Desse filtro foram retirados 800 mL para o preparo da comida e meio 
litro para consumo próprio.No início da tarde, foram colocados 700 mL de água dentro desse filtro e, até 
o final do dia, mais 1,2 litros foram utilizados para consumo próprio. Em relação à quantidade de água 
que havia no filtro no início da manhã, pode-se concluir que a água que restou dentro dele, no final do 
dia, corresponde a uma porcentagem de 
(A) 60%. 
(B) 55%. 
(C) 50%. 
(D) 45%. 
(E) 40%. 
 
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48 
 
04. (UFPE – Assistente em Administração – COVEST) Admita que cada pessoa use, semanalmente, 
4 bolsas plásticas para embrulhar suas compras, e que cada bolsa é composta de 3 g de plástico. Em um 
país com 200 milhões de pessoas, quanto plástico será utilizado pela população em um ano, para 
embrulhar suas compras? Dado: admita que o ano é formado por 52 semanas. Indique o valor mais 
próximo do obtido. 
(A) 108 toneladas 
(B) 107 toneladas 
(C) 106 toneladas 
(D) 105 toneladas 
(E) 104 toneladas 
 
05. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma chapa de alumínio com 1,3 m2 de área será 
totalmente recortada em pedaços, cada um deles com 25 cm2 de área. Supondo que não ocorra nenhuma 
perda durante os cortes, o número de pedaços obtidos com 25 cm2 de área cada um, será: 
(A) 52000. 
(B) 5200. 
(C) 520. 
(D) 52. 
(E) 5,2. 
 
06. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC) Uma peça de um determinado tecido tem 
30 metros, e para se confeccionar uma camisa desse tecido são necessários 15 decímetros. Com duas 
peças desse tecido é possível serem confeccionadas: 
(A) 10 camisas 
(B) 20 camisas 
(C) 40 camisas 
(D) 80 camisas 
 
07. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC) Um veículo tem capacidade para 
transportar duas toneladas de carga. Se a carga a ser transportada é de caixas que pesam 4 quilogramas 
cada uma, o veículo tem capacidade de transportar no máximo: 
(A) 50 caixas 
(B) 100 caixas 
(C) 500 caixas 
(D) 1000 caixas 
 
08. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um trecho de uma estrada com 5,6 km de 
comprimento está sendo reparado. A empresa A, responsável pelo serviço, já concluiu 
3
7
 do total a ser 
reparado e, por motivos técnicos, 
2
5
 do trecho que ainda faltam reparar serão feitos por uma empresa B. 
O número total de metros que a empresa A ainda terá que reparar é 
(A) 1920. 
(B) 1980. 
(C) 2070. 
(D) 2150. 
(E) 2230. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Observe que 1,5mg é a dose diária para cada quilograma da criança, como ele é aplicado 3x ao dia, 
teremos 0,5mg por aplicação, a criança possui 12kg, assim a quantidade de remédio por aplicação será 
de: 
0,5 . 12 = 6,0mg 
 
02. Resposta: B. 
Vamos chamar de x a capacidade total da jarra. Assim: 
 
3
4
 . 𝑥 − 495 = 
1
5
 . 𝑥 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
49 
 
3
4
 . 𝑥 − 
1
5
 . 𝑥 = 495 
 
5.3.𝑥 − 4.𝑥=20.495 
20
 
 
15x – 4x = 9900 
11x = 9900 
x = 9900 / 11 
x = 900 mL (capacidade total) 
Como havia 1/5 do total (1/5 . 900 = 180 mL), a quantidade adicionada foi de 900 – 180 = 720 mL 
 
03. Resposta: B. 
4 litros = 4000 ml; 1,2 litros = 1200 ml; meio litro = 500 ml 
4000 – 800 – 500 + 700 – 1200 = 2200 ml (final do dia) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
ml % 
4000 ------- 100 
2200 ------- x 
4000.x = 2200 . 100 x = 220000 / 4000 = 55% 
 
04. Resposta: D. 
4 . 3 . 200000000 . 52 = 1,248 . 1011 g = 1,248 . 105 t 
 
05. Resposta: C. 
1,3 m2 = 13000 cm2 
13000 / 25 = 520 pedaços 
 
06. Resposta: C. 
Como eu quero 2 peças desse tecido e 1 peça possui 30 metros logo: 
30 . 2 = 60 m. Temos que trabalhar com todas na mesma unidade: 1 m é 10dm assim temos 60m . 10 
= 600 dm, como cada camisa gasta um total de 15 dm, temos então: 
600/15 = 40 camisas. 
 
07. Resposta: C. 
Uma tonelada(ton) é 1000 kg, logo 2 ton. 1000kg= 2000 kg 
Cada caixa pesa 4kg ➔ 2000 kg/ 4kg = 500 caixas. 
 
08. Resposta: A. 
Primeiramente, vamos transformar Km em metros: 5,6 Km = 5600 m (.1000) 
Faltam 
7
7
−
3
7
=
4
7
 do total, ou seja, 
4
7
 𝑑𝑒 5600 =
4.5600
7
= 3200𝑚 
A empresa B vai reparar 
2
5
 𝑑𝑒 3200 =
2.3200
5
= 1280𝑚 
Então, a empresa A vai reparar 3200 – 1280 = 1920m 
 
 
 
RAZÃO 
 
Razão3 é o quociente (divisão) entre dois números (quantidades, medidas, grandezas). 
 
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 𝑎: 𝑏 , 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 
 
 
3IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://educacao.globo.com 
4 Matemática Comercial: razão e proporção; regra de três simples e composta; 
porcentagem; juros simples; 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
50 
 
Onde: 
 
Você tem que ficar atento ao fato da frase que estiver o contexto, pois depende da ordem em que for 
expressa. 
 
Exemplos 
01. Em um vestibular para o curso de marketing, participaram 3600 candidatos para 150 vagas. A 
razão entre o número de vagas e o número de candidatos, nessa ordem, foi de 
 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑔𝑎𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
=
150
3600
=
1
24
 
 
Lemos a fração como: Um vinte e quatro avos ( pronuncia-se “ávos”). 
 
02. Em um processo seletivo diferenciado, os candidatos obtiveram os seguintes resultados: 
− Alana resolveu 11 testes e acertou 5 
− Beatriz resolveu 14 testes e acertou 6 
− Cristiane resolveu 15 testes e acertou 7 
− Daniel resolveu 17 testes e acertou 8 
− Edson resolveu 21 testes e acertou 9 
O candidato contratado, de melhor desempenho, (razão de acertos para número de testes), foi: 
 𝐴𝑙𝑎𝑛𝑎:
5
11
= 0,45 
 
 𝐵𝑒𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧:
6
14
= 0,42 
 
 𝐶𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑎𝑛𝑒:
7
15
= 0,46 
 
 𝐷𝑎𝑛𝑖𝑒𝑙:
8
17
= 0,47 
 
 𝐸𝑑𝑠𝑜𝑛:
9
21
= 0,42 
 
Daniel teve o melhor desempenho pois 0,47 foi o maior número. 
 
- Quando a e b forem medidas de uma mesma grandeza, essas devem ser expressas na mesma 
unidade. 
 
Razões Especiais 
 
Escala 
Muitas vezes precisamos ilustrar distâncias muito grandes de forma reduzida, então utilizamos a 
escala, que é a razão da medida no mapa com a medida real (ambas na mesma unidade). 
 
𝐸 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑝𝑎
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
 
Velocidade Média 
É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. As unidades utilizadas são km/h, 
m/s, entre outras. 
𝑉 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
51 
 
Densidade 
É a razão entre a massa de um corpo e o seu volume. As unidades utilizadas são g/cm³, kg/m³, entre 
outras. 
𝐷 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
 
 
PROPORÇÃO 
 
É uma igualdade entre duas razões. 
 
Dada as razões 
𝑎
𝑏
 e 
𝑐
𝑑
 , à setença de igualdade 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 chama-se proporção4. 
Onde: 
 
Exemplo 
1 - O passageiro ao lado do motorista observa o painel do veículo e vai anotando, minuto a minuto, a 
distância percorrida. Sua anotação pode ser visualizada na tabela a seguir: 
 
Distância percorrida (em km) 2 4 6 8 ... 
Tempo gasto (em min) 1 2 3 4 ... 
 
Nota-se que a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la é sempre igual a 2: 
 
2
1
= 2 ; 
4
2
= 2 ; 
6
3
= 2 ; 
8
4
= 2 
Então: 
 
2
1
=
4
2
= 
6
3
=
8
4
 
 
Dizemos que os números da sucessão (2,4,6, 8, ...) são diretamente proporcionais aos números da 
sucessão (1,2,3,3, 4, ...). 
 
Propriedades da Proporção 
 
1 - Propriedade Fundamental 
 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é, a. d = b. c 
 
Exemplo 
Na proporção 
45
30
=
9
6
 ,(lê-se: “45 está para 30, assim como 9 está para 6.), aplicando a propriedade 
fundamental, temos: 45.6 = 30.9 = 270 
 
2 - A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim como a 
soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 + 𝑏
𝑎
=
𝑐 + 𝑑
𝑐
 𝑜𝑢 
𝑎 + 𝑏
𝑏
=
𝑐 + 𝑑
𝑑
 
 
Exemplo2
3
=
6
9
 → 
2 + 3
2
=
6 + 9
6
→
5
2
=
15
6
= 30 𝑜𝑢 
2 + 3
3
=
6 + 9
9
→
5
3
=
15
9
= 45 
 
4IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
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52 
 
3 - A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim 
como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 − 𝑏
𝑎
=
𝑐 − 𝑑
𝑐
 𝑜𝑢 
𝑎 − 𝑏
𝑏
=
𝑐 − 𝑑
𝑑
 
 
Exemplo 
2
3
=
6
9
 → 
2 − 3
2
=
6 − 9
6
→
−1
2
=
−3
6
= −6 𝑜𝑢 
2 − 3
3
=
6 − 9
9
→
−1
3
=
−3
9
= −9 
 
4 - A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está 
para o seu consequente. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
Exemplo 
2
3
=
6
9
 → 
2 + 6
3 + 9
=
2
3
 →
8
12
=
2
3
= 24 𝑜𝑢 
2 + 6
3 + 9
=
6
9
 →
8
12
=
6
9
= 72 
 
5 - A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada 
antecedente está para o seu consequente. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
Exemplo 
6
9
=
2
3
 → 
6 − 2
9 − 3
=
6
9
 →
4
6
=
6
9
= 36 𝑜𝑢 
6 − 2
9 − 3
=
2
3
 →
4
6
=
2
3
= 12 
 
Problemas envolvendo razão e proporção 
01. Em uma fundação, verificou-se que a razão entre o número de atendimentos a usuários internos e 
o número de atendimento total aos usuários (internos e externos), em um determinado dia, nessa ordem, 
foi de 3/5. Sabendo que o número de usuários externos atendidos foi 140, pode-se concluir que, no total, 
o número de usuários atendidos foi: 
A) 84 
B) 100 
C) 217 
D) 280 
E) 350 
 
Resolução: 
Usuários internos: i 
Usuários externos: e 
Sabemos que neste dia foram atendidos 140 externos → e = 140 
𝑖
𝑖+𝑒
=
3
5
=
𝑖
𝑖+140
 , usando o produto dos meios pelos extremos temos 
 
5i = 3(i + 140) → 5i = 3i + 420 → 5i – 3i = 420 → 2i = 420 → i = 
420
2
 → i = 210 
i + e = 210 + 140 = 350 
Resposta “E” 
 
02. Em um concurso participaram 3000 pessoas e foram aprovadas 1800. A razão do número de 
candidatos aprovados para o total de candidatos participantes do concurso é: 
A) 2/3 
B) 3/5 
C) 5/10 
D) 2/7 
E) 6/7 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
53 
 
Resolução: 
 
 
Resposta “B” 
 
03. Em um dia de muita chuva e trânsito caótico, 2/5 dos alunos de certa escola chegaram atrasados, 
sendo que 1/4 dos atrasados tiveram mais de 30 minutos de atraso. Sabendo que todos os demais alunos 
chegaram no horário, pode-se afirmar que nesse dia, nessa escola, a razão entre o número de alunos 
que chegaram com mais de 30 minutos de atraso e número de alunos que chegaram no horário, nessa 
ordem, foi de: 
A) 2:3 
B) 1:3 
C) 1:6 
D) 3:4 
E) 2:5 
 
Resolução: 
Se 
2
5
 chegaram atrasados 
1 −
2
5
=
3
5
𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 
2
5
∙
1
4
=
1
10
 𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜 
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 =
𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30 min 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜
𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜
=
1
10
3
5
 
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 =
1
10
∙
5
3
=
1
6
 𝑜𝑢 1: 6 
 
Resposta “C” 
 
Questões 
 
01. (Pref. de Cerquilho/SP – Professor de Ensino Fundamental I – Metro Capital Soluções/2018) 
Durante um campeonato de tiro ao alvo, José disparou 12 vezes. Sabendo que a razão do número de 
acertos para o total de disparos foi de 3/4 (três quartos), quantos disparos José acertou? 
(A) 7. 
(B) 10. 
(C) 4. 
(D) 7. 
(E) 9. 
 
02. (Colégio Pedro II – Professor – Colégio Pedro II/2018) O trabalho infantil é um dos mais graves 
problemas do país. 
 
De acordo com a Pesquisa Nacional de Amostra por Domicílio (PNAD 2015), mais de 2,7 milhões de 
crianças e adolescentes, de 5 a 17 anos, estão em situação de trabalho no Brasil – no mundo, são 152 
milhões que estão no trabalho precoce. 
 
Disponível em: http://www.chegadetrabalhoinfantil.org.br. Acesso em: 30 jul. 2018 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
54 
 
De acordo com os dados apresentados, a fração que representa o número de meninas em situação 
de trabalho infantil no Brasil é: 
(A) 2/3 
(B) 5/10 
(C) 9/27 
(D) 94/100 
 
03. (FUNCABES – Escriturário – PROMUN/2018) Em um concurso público em que participaram 3000 
candidatos, 1800 foram aprovados. A razão do número de candidatos aprovados para o total de 
candidatos participantes do concurso é: 
(A) 2/3 
(B) 3/5 
(C) 5/10 
(D) 2/7 
 
04. (MPE/SP – Oficial de Promotoria – VUNESP) Alfredo irá doar seus livros para três bibliotecas da 
universidade na qual estudou. Para a biblioteca de matemática, ele doará três quartos dos livros, para a 
biblioteca de física, um terço dos livros restantes, e para a biblioteca de química, 36 livros. O número de 
livros doados para a biblioteca de física será 
(A) 16. 
(B) 22. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E)18. 
 
05. (EBSERH/HUPA – Técnico em Informática – IDECAN) Entre as denominadas razões especiais 
encontram-se assuntos como densidade demográfica, velocidade média, entre outros. Supondo que a 
distância entre Rio de Janeiro e São Paulo seja de 430 km e que um ônibus, fretado para uma excursão, 
tenha feito este percurso em 5 horas e 30 minutos. Qual foi a velocidade média do ônibus durante este 
trajeto, aproximadamente, em km/h? 
(A) 71 km/h 
(B) 76 km/h 
(C) 78 km/h 
(D) 81 km/h 
(E) 86 km/h. 
 
06. (SEPLAN/GO – Perito Criminal – FUNIVERSA) Em uma ação policial, foram apreendidos 1 
traficante e 150 kg de um produto parecido com maconha. Na análise laboratorial, o perito constatou que 
o produto apreendido não era maconha pura, isto é, era uma mistura da Cannabis sativa com outras 
ervas. Interrogado, o traficante revelou que, na produção de 5 kg desse produto, ele usava apenas 2 kg 
da Cannabis sativa; o restante era composto por várias “outras ervas”. Nesse caso, é correto afirmar que, 
para fabricar todo o produto apreendido, o traficante usou 
(A) 50 kg de Cannabis sativa e 100 kg de outras ervas. 
(B) 55 kg de Cannabis sativa e 95 kg de outras ervas. 
(C) 60 kg de Cannabis sativa e 90 kg de outras ervas. 
(D) 65 kg de Cannabis sativa e 85 kg de outras ervas. 
(E) 70 kg de Cannabis sativa e 80 kg de outras ervas. 
 
07. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de Educação Básica – GR Consultoria e Assessoria) Eu tenho 
duas réguas, uma que ao quebrar ficou com 24 cm de comprimento e a outra tem 30 cm, portanto, a 
régua menor é quantos por cento da régua maior? 
(A) 90% 
(B) 75% 
(C) 80% 
(D) 85% 
 
 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
55 
 
08. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Uma cidade A, com 120 km de vias, 
apresentava, pela manhã, 51 km de vias congestionadas. O número de quilômetros de vias 
congestionadas numa cidade B, que tem 280 km de vias e mantém a mesma proporção que na cidade A, 
é 
(A) 119 km. 
(B) 121 km. 
(C) 123 km. 
(D) 125 km. 
(E) 127 km. 
 
09. (FINEP – Assistente – CESGRANRIO) Maria tinha 450 ml de tinta vermelha e 750 ml de tinta 
branca. Para fazer tinta rosa, ela misturou certa quantidade de tinta branca com os 450 ml de tinta 
vermelha na proporção de duas partes de tinta vermelha para três partes de tinta branca. 
Feita a mistura, quantos ml de tinta branca sobraram? 
(A) 75 
(B) 125 
(C) 175 
(D) 375 
(E) 675 
 
10. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – VUNESP) A medida do comprimento de um salão retangular 
está para a medida de sua largura assim como 4 está para 3. No piso desse salão, foram colocados 
somente ladrilhos quadrados inteiros, revestindo-o totalmente. Se cada fileira de ladrilhos, no sentido do 
comprimento do piso, recebeu 28 ladrilhos, então o número mínimo de ladrilhos necessários para revestir 
totalmente esse piso foi igual a 
(A) 588. 
(B) 350. 
(C)454. 
(D) 476. 
(E) 382. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
A razão do número de acertos para o total é de 
3
4
 e o total de disparos foi 12, assim a proporção fica 
da seguinte forma: 
3
4
=
𝑥
12
 
4x = 3.12 
4x = 36 
x = 
36
4
 
x = 9 
 
02. Resposta: C 
Vamos resolver este pela forma mais simples, nos dados apresentados temos que 2 em cada 3 
crianças em situação de trabalho infantil são do sexo masculino, assim sobra apenas 1 em cada 3 para 
o sexo feminino, em fração seria 
1
3
, mas não temos esta resposta, porém temos 
9
27
 que nada mais é que 
1
3
 porém não está simplificado, assim 
1
3
=
9
27
. 
 
03. Resposta: B 
De acordo com a ordem que foi expressa devemos ter 1800 no numerador e 3000 será o denominador, 
ficando assim: 
1800
3000
, simplificando: 
18
30
=
3
5
 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
56 
 
04. Resposta: E 
X = total de livros 
Matemática = ¾ x, restou ¼ de x 
Física = 
1
3
.
1
4
 = 1/12 
Química = 36 livros 
Logo o número de livros é: 
3𝑥
4
 + 
1𝑥
12
 + 36 = x 
Fazendo o m.m.c. dos denominadores (4,12) = 12 
Logo: 
9𝑥 + 1𝑥 + 432 = 12𝑥
12
→ 10𝑥 + 432 = 12𝑥 → 12𝑥 − 10𝑥 = 432 → 2𝑥 = 432 → 𝑥 =
432
2
→ 𝑥 = 216 
 
Como a Biblioteca de Física ficou com 1/12x, logo teremos: 
1
12
. 216 =
216
12
= 18 
 
05. Resposta: C 
5h30min = 5,5h, transformando tudo em hora e suas frações. 
430
5,5
= 78,18 𝑘𝑚/ℎ 
 
06. Resposta: C 
O enunciado fornece que a cada 5kg do produto temos que 2kg da Cannabis sativa e os demais outras 
ervas. Podemos escrever em forma de razão 
2
5
, logo: 
2
5
. 150 = 60𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑛𝑛𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 ∴ 150 − 60 = 90𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑟𝑣𝑎𝑠 
 
07. Resposta: C 
Como é a razão do menor pelo maior temos: 24/30 = 0,80. 100 = 80% 
 
08. Resposta: A 
A razão da cidade A será: 
51
120
 
 
A da cidade B será: 
𝑐𝑜𝑛𝑔𝑒𝑠𝑡𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠
280
 
 
Como seguem a mesma proporção teremos a seguinte proporção: 
51
120
= 
𝑥
280
 
 
120.x = 51. 280 → x = 14280 / 120 → x = 119 km 
 
09. Resposta: A 
Como temos duas partes de tinta vermelha para três partes de tinta branca a fração ficará 
2
3
temos 
ainda que ela utilizou 450ml de tinta vermelha, então vamos encontrar o quanto ela utilizou de tinta branca 
e depois descobrir o quanto sobrou do total (750ml) 
2
3
= 
450
𝑥
 
2x = 450. 3 → x = 1350 / 2 → x = 675 ml de tinta branca foram utilizadas. 
Sobraram: 750 ml – 675 ml = 75 ml 
 
10. Resposta: A 
Chamando de C o comprimento e de L a largura, teremos a seguinte proporção 
𝐶
𝐿
= 
4
3
 
Como no comprimento foram utilizados 28 ladrilhos, teremos C = 28 e substituindo na proporção, ficará: 
28
𝐿
= 
4
3
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
57 
 
4L = 28. 3 
L = 
84
4
 
L = 21 ladrilhos 
Como teremos 28 ladrilhos no comprimento e 21 na largura, a quantidade total será dada pela área 
dessa região retangular, ou seja, o produto do comprimento pela largura. 
Assim, o total de ladrilhos foi de 28. 21 = 588. 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser 
resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples5. 
Vejamos a tabela abaixo: 
 
 
 
Exemplos 
01. Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 
210 km? 
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool. 
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido. 
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies 
diferentes que se correspondem em uma mesma linha: 
 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha: 
 
 
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas 
distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, 
 
5MARIANO, Fabrício. Matemática Financeira para Concursos. 3ª Edição. Rio de Janeiro. Elsevier,2013. 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
58 
 
indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna 
“litros de álcool”: 
 
 
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos: 
 
180
210
=
15
𝑥
→ 𝑐𝑜𝑚𝑜 180 𝑒 210 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 30, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
180: 30
210: 30
=
15
𝑥
 
 
1806
2107
=
15
𝑥
→ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠) → 6𝑥 = 7.15 
6𝑥 = 105 → 𝑥 =
105
6
= 𝟏𝟕, 𝟓 
 
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool. 
 
02. Viajando de automóvel, à velocidade de 50 km/h, eu gastaria 7 h para fazer certo percurso. 
Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso? 
 
Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma 
coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos: 
 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha: 
 
 
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as 
grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é 
indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna 
“tempo”: 
 
 
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos: 
7
𝑥
=
80
50
, 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 →
7
𝑥
=
808
505
→ 7.5 = 8. 𝑥 → 𝑥 =
35
8
→ 𝑥 = 4,375 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
Como 0,375hora corresponde a 22 minutos aproximadamente (0,375 x 60 minutos), então o percurso 
será feito em 4 horas e 22 minutos aproximadamente. 
 
03. Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade média de 180 
km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 300 km/h, que tempo teria gasto no 
percurso? 
 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
59 
 
Vamos representar pela letra x o tempo procurado. 
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (180 km/h e 300 km/h) com dois valores 
da grandeza tempo (20 s e x s). 
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três. 
 
 
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; 
logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 180 e 300 são inversamente 
proporcionais aos números 20 e x. 
Daí temos: 
180.20 = 300. 𝑥 → 300𝑥 = 3600 → 𝑥 =
3600
300
→ 𝑥 = 12 
 
Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 300 km/h, teria gasto 12 segundos para 
realizar o percurso. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 3 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre o número de casos de dengue na cidade de Campinas. 
 
De acordo com essas informações, o número de casos registrados na cidade de Campinas, até 28 de 
abril de 2014, teve um aumento em relação ao número de casos registrados em 2007, aproximadamente, 
de 
(A) 70%. 
(B) 65%. 
(C) 60%. 
(D) 55%. 
(E) 50%. 
 
02. (FUNDUNESP – Assistente Administrativo – VUNESP) Um título foi pago com 10% de desconto 
sobre o valor total. Sabendo-se que o valor pago foi de R$ 315,00, é correto afirmar que o valor total 
desse título era de 
(A) R$ 345,00. 
(B) R$ 346,50. 
(C) R$ 350,00. 
(D) R$ 358,50. 
(E) R$ 360,00. 
 
03. (Pref. Imaruí – Agente Educador – Pref. Imaruí) Manoel vendeu seu carro por R$27.000,00(vinte 
e sete mil reais) e teve um prejuízo de 10%(dez por cento) sobre o valor de custo do tal veículo, por 
quanto Manoel adquiriu o carro em questão? 
(A) R$24.300,00 
(B) R$29.700,00 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
60 
 
(C) R$30.000,00 
(D)R$33.000,00 
(E) R$36.000,00 
 
04.(Pref. Guarujá/SP – Professor de Matemática – CAIPIMES) Em um mapa, cuja escala era 
1:15.104, a menor distância entre dois pontos A e B, medida com a régua, era de 12 centímetros. Isso 
significa que essa distância, em termos reais, é de aproximadamente: 
(A) 180 quilômetros. 
(B) 1.800 metros. 
(C) 18 quilômetros. 
(D) 180 metros. 
 
05. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) A Bahia (...) é o maior produtor de cobre 
do Brasil. Por ano, saem do estado 280 mil toneladas, das quais 80 mil são exportadas. 
O Globo, Rio de Janeiro: ed. Globo, 12 mar. 2014, p. 24. 
 
Da quantidade total de cobre que sai anualmente do Estado da Bahia, são exportados, 
aproximadamente, 
(A) 29% 
(B) 36% 
(C) 40% 
(D) 56% 
(E) 80% 
 
06. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um comerciante comprou uma caixa com 90 balas 
e irá vender cada uma delas por R$ 0,45. Sabendo que esse comerciante retirou 9 balas dessa caixa 
para consumo próprio, então, para receber o mesmo valor que teria com a venda das 90 balas, ele terá 
que vender cada bala restante na caixa por: 
(A) R$ 0,50. 
(B) R$ 0,55. 
(C) R$ 0,60. 
(D) R$ 0,65. 
(E) R$ 0,70. 
 
07. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 25 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre a capacidade de retirada de água dos sistemas de abastecimento, 
em metros cúbicos por segundo (m3/s): 
 
 
De acordo com essas informações, o número de segundos necessários para que o sistema Rio Grande 
retire a mesma quantidade de água que o sistema Cantareira retira em um segundo é: 
(A) 5,4. 
(B) 5,8. 
(C) 6,3. 
(D) 6,6. 
(E) 6,9. 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
61 
 
08. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP) Certo material para laboratório foi adquirido 
com desconto de 10% sobre o preço normal de venda. Sabendo-se que o valor pago nesse material foi 
R$ 1.170,00, é possível afirmar corretamente que seu preço normal de venda é 
(A) R$ 1.285,00. 
(B) R$ 1.300,00. 
(C) R$ 1.315,00. 
(D) R$ 1.387,00. 
(E) R$ 1.400,00. 
 
09. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) A mais antiga das funções do Instituto Médico Legal 
(IML) é a necropsia. Num determinado período, do total de atendimentos do IML, 30% foram necropsias. 
Do restante dos atendimentos, todos feitos a indivíduos vivos, 14% procediam de acidentes no trânsito, 
correspondendo a 588. Pode-se concluir que o total de necropsias feitas pelo IML, nesse período, foi 
(A) 2500. 
(B) 1600. 
(C) 2200. 
(D) 3200. 
(E) 1800. 
 
10. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A expectativa de vida do Sr. Joel é de 75 
anos e, neste ano, ele completa 60 anos. Segundo esta expectativa, pode-se afirmar que a fração de vida 
que ele já viveu é 
(A) 
4
7
 
(B) 
5
6
 
(C) 
4
5
 
(D) 
3
4
 
(E) 
2
3
 
 
11. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Foram digitados 10 livros de 200 páginas 
cada um e armazenados em 0,0001 da capacidade de um microcomputador. Utilizando-se a capacidade 
total desse microcomputador, o número de livros com 200 páginas que é possível armazenar é 
(A) 100. 
(B) 1000. 
(C) 10000. 
(D) 100000. 
(E) 1000000. 
 
12. (IF/GO – Assistente de Alunos – UFG) Leia o fragmento a seguir 
A produção brasileira de arroz projetada para 2023 é de 13,32 milhões de toneladas, correspondendo 
a um aumento de 11% em relação à produção de 2013. 
Disponível em: <http://www.agricultura.gov.br/arq_editor/projecoes-ver saoatualizada.pdf>. Acesso em: 24 fev. 2014. (Adaptado). 
 
De acordo com as informações, em 2023, a produção de arroz excederá a produção de 2013, em 
milhões de toneladas, em: 
(A) 1,46 
(B) 1,37 
(C) 1,32 
(D) 1,22 
 
13. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Numa transportadora, 15 caminhões de 
mesma capacidade transportam toda a carga de um galpão em quatro horas. Se três deles quebrassem, 
em quanto tempo os outros caminhões fariam o mesmo trabalho? 
(A) 3 h 12 min 
(B) 5 h 
(C) 5 h 30 min 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
62 
 
(D) 6 h 
(E) 6 h 15 min 
 
14. (Câm. de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma receita para fazer 35 bolachas 
utiliza 225 gramas de açúcar. Mantendo-se as mesmas proporções da receita, a quantidade de açúcar 
necessária para fazer 224 bolachas é 
(A) 14,4 quilogramas. 
(B) 1,8 quilogramas. 
(C) 1,44 quilogramas. 
(D) 1,88 quilogramas. 
(E) 0,9 quilogramas. 
 
15. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) Laerte comprou 18 litros de tinta látex que, de 
acordo com as instruções na lata, rende 200m² com uma demão de tinta. Se Laerte seguir corretamente 
as instruções da lata, e sem desperdício, depois de pintar 60 m² de parede com duas demãos de tinta 
látex, sobrarão na lata de tinta comprada por ele 
(A) 6,8L. 
(B) 6,6L. 
(C) 10,8L. 
(D) 7,8L. 
(E) 7,2L. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
Utilizaremos uma regra de três simples diretamente proporcional: 
 ano % 
 11442 ------- 100 
 17136 ------- x 
 
11442.x = 17136. 100 x = 1713600 / 11442 = 149,8% (aproximado) 
149,8% – 100% = 49,8% 
Aproximando o valor, teremos 50% 
 
02. Resposta: C 
Se R$ 315,00 já está com o desconto de 10%, então R$ 315,00 equivale a 90% (100% - 10%). 
Utilizaremos uma regra de três simples diretamente proporcional: 
 $ % 
 315 ------- 90 
 x ------- 100 
 
90.x = 315. 100 x = 31500 / 90 = R$ 350,00 
 
03. Resposta: C 
Como ele teve um prejuízo de 10%, quer dizer 27000 é 90% do valor total, regra de três simples 
diretamente proporcional. 
Valor % 
27000 ------ 90 
 X ------- 100 
 
27000
𝑥
 = 
909
10010
 → 
27000
𝑥
 = 
9
10
 → 9.x = 27000.10 → 9x = 270000 → x = 30000. 
 
04. Resposta: C 
1: 15.104 equivale a 1:150000, ou seja, para cada 1 cm do mapa, teremos 150.000 cm no tamanho 
real. Assim, faremos uma regra de três simples diretamente proporcional: 
mapa real 
 1 --------- 150000 
 12 --------- x 
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63 
 
1.x = 12. 150000 x = 1.800.000 cm = 18 km 
 
05. Resposta: A 
Faremos uma regra de três simples: 
cobre % 
280 --------- 100 
80 ---------- x 
280.x = 80. 100 x = 8000 / 280 x = 28,57% 
 
06. Resposta: A 
Vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
 1 ----------- 0,45 
 90 ---------- x 
1.x = 0,45. 90 
x = R$ 40,50 (total) 
* 90 – 9 = 81 balas 
Novamente, vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
81 ----------- 40,50 
1 ------------ y 
81.y = 1 . 40,50 
y = 40,50 / 81 
y = R$ 0,50 (cada bala) 
 
07. Resposta: D 
Utilizaremos uma regra de três simples INVERSA: 
m3 seg 
33 ------- 1 
5 ------- x 
5.x = 33 . 1 x = 33 / 5 = 6,6 seg 
 
08. Resposta: B 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 $ % 
1170 ------- 90 
 x ------- 100 
90.x = 1170 . 100 x = 117000 / 90 = R$ 1.300,00 
 
09. Resposta: E 
O restante de atendimento é de 100% – 30% = 70% (restante) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
Restante: 
 atendimentos % 
 588 ------------ 14 
 x ------------ 100 
14.x = 588 . 100 x = 58800 / 14 = 4200 atendimentos (restante) 
Total: 
atendimentos % 
 4200 ------------ 70 
 x ------------ 30 
70.x = 4200 . 30 x = 126000 / 70 = 1800 atendimentos 
 
10. Resposta: C 
Considerando 75 anos o inteiro (1), utilizaremos uma regra de três simples: 
 idade fração 
 75 ------------ 1 
 60 ------------ x 
75.x = 60 . 1 x = 60 / 75 = 4 / 5 (simplificando por 15) 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
64 
 
11. Resposta: D 
Neste caso, a capacidade total é representada por 1 (inteiro). 
Assim, utilizaremos uma regra de três simples: 
 livros capacidade 
 10 ------------ 0,0001 
 x ------------ 1 
0,0001.x= 10 . 1 x = 10 / 0,0001 = 100.000 livros 
 
12. Resposta: C 
Toneladas % 
13,32 ----------- 111 
 x ------------- 11 
111 . x = 13,32 . 11 
x = 146,52 / 111 
x = 1,32 
 
13. Resposta: B 
Vamos utilizar uma Regra de Três Simples Inversa, pois, quanto menos caminhões tivermos, mais 
horas demorará para transportar a carga: 
caminhões horas 
 15 ---------------- 4 
 (15 – 3) ------------- x 
12.x = 4 . 15 → x = 60 / 12 → x = 5 h 
 
14. Resposta: C 
Bolachas açúcar 
 35----------------225 
 224----------------x 
 𝑥 =
224.225
35
= 1440 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 = 1,44 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 
 
15. Resposta: E 
18L----200m² 
x-------120 
x=10,8L 
Ou seja, pra 120m² (duas demãos de 60 m²) ele vai gastar 10,8 l, então sobraram: 
18-10,8=7,2L 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou 
inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta6. 
 
Exemplos 
01. Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras 
produziriam 300 dessas peças? 
Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna 
e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que 
aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha: 
 
Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado 
colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”: 
 
6MARIANO, Fabrício. Matemática Financeira para Concursos. 3ª Edição. Rio de Janeiro. Elsevier,2013. 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
65 
 
 
As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (se aumentar o número de máquinas 
precisaremos de menos dias). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna (máquinas) 
uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”: 
 
 
Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é 
x
4
, com o produto das outras 
razões, obtidas segundo a orientação das flechas 





300
160
.
8
6
: 
 
Simplificando as proporções obtemos: 
 
4
𝑥
=
2
5
→ 2𝑥 = 4.5 → 𝑥 =
4.5
2
→ 𝑥 = 10 
 
Resposta: Em 10 dias. 
 
02. Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 
4 meses de serviço, apenas 75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser 
contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto? 
 
Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
As grandezas “pessoas” e “tempo” são inversamente proporcionais (duplicando o número de 
pessoas, o tempo fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna 
“tempo” uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “pessoas”: 
 
 
As grandezas “pessoas” e “estrada” são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será 
indicado colocando-se na coluna “estrada” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “pessoas”: 
 
 
 
 
Como já haviam 210 pessoas trabalhando, logo 315 – 210 = 105 pessoas. 
Reposta: Devem ser contratados 105 pessoas. 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
66 
 
Questões 
 
01. (Câm. de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O trabalho de varrição de 6.000 m² de 
calçada é feita em um dia de trabalho por 18 varredores trabalhando 5 horas por dia. Mantendo-se as 
mesmas proporções, 15 varredores varrerão 7.500 m² de calçadas, em um dia, trabalhando por dia, o 
tempo de 
(A) 8 horas e 15 minutos. 
(B) 9 horas. 
(C) 7 horas e 45 minutos. 
(D) 7 horas e 30 minutos. 
(E) 5 horas e 30 minutos. 
 
02. (Pref. Corbélia/PR – Contador – FAUEL) Uma equipe constituída por 20 operários, trabalhando 
8 horas por dia durante 60 dias, realiza o calçamento de uma área igual a 4800 m². Se essa equipe fosse 
constituída por 15 operários, trabalhando 10 horas por dia, durante 80 dias, faria o calçamento de uma 
área igual a: 
(A) 4500 m² 
(B) 5000 m² 
(C) 5200 m² 
(D) 6000 m² 
(E) 6200 m² 
 
03. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 
horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente foi 
afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os funcionários restantes 
levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo 
ritmo de trabalho, será: 
(A) 29. 
(B) 30. 
(C) 33. 
(D) 28. 
(E) 31. 
 
04. (TRF/3ª Região – Técnico Judiciário – FCC) Sabe-se que uma máquina copiadora imprime 80 
cópias em 1 minuto e 15 segundos. O tempo necessário para que 7 máquinas copiadoras, de mesma 
capacidade que a primeira citada, possam imprimir 3360 cópias é de 
(A) 15 minutos. 
(B) 3 minutos e 45 segundos. 
(C) 7 minutos e 30 segundos. 
(D) 4 minutos e 50 segundos. 
(E) 7 minutos. 
 
05. (METRÔ/SP – Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – FCC) Para inaugurar no prazo a 
estação XYZ do Metrô, o prefeito da cidade obteve a informação de que os 128 operários, de mesma 
capacidade produtiva, contratados para os trabalhos finais, trabalhando 6 horas por dia, terminariam a 
obra em 42 dias. Como a obra tem que ser terminada em 24 dias, o prefeito autorizou a contratação de 
mais operários, e que todos os operários (já contratados e novas contratações) trabalhassem 8 horas por 
dia. O número de operários contratados, além dos 128 que já estavam trabalhando, para que a obra seja 
concluída em 24 dias, foi igual a 
(A) 40. 
(B) 16. 
(C) 80. 
(D) 20. 
(E) 32. 
 
06. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Para digitalizar 1.000 fichas de cadastro, 16 assistentes 
trabalharam durante dez dias, seis horas por dia. Dez assistentes, para digitalizar 2.000 fichas do mesmo 
modelo de cadastro, trabalhando oito horas por dia, executarão a tarefa em quantos dias? 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
67 
 
(A) 14 
(B) 16 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 24 
 
07. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) No Brasil, uma família de 4 pessoas 
produz, em média, 13 kg de lixo em 5 dias. Mantida a mesma proporção, em quantos dias uma família de 
5 pessoas produzirá 65 kg de lixo? 
(A) 10 
(B) 16 
(C) 20 
(D) 32 
(E) 40 
 
08. (UFPE – Assistente em Administração – COVEST) Na safra passada, um fazendeiro usou 15 
trabalhadores para cortar sua plantação de cana de 210 hectares. Trabalhando 7 horas por dia, os 
trabalhadores concluíram o trabalho em 6 dias exatos. Este ano, o fazendeiro plantou 480 hectares de 
cana e dispõe de 20 trabalhadores dispostos a trabalhar 6 horas por dia. Em quantos dias o trabalho 
ficará concluído? 
Obs.: Admita que todos os trabalhadores tenham a mesma capacidade de trabalho. 
(A) 10 dias 
(B) 11 dias 
(C) 12 dias 
(D) 13 dias 
(E) 14 dias 
 
09. (BNB – Analista Bancário – FGV) Em uma agência bancária, dois caixas atendem em média seis 
clientes em 10 minutos. Considere que, nesta agência, todos os caixas trabalham com a mesma eficiência 
e que a média citada sempre é mantida. Assim, o tempo médio necessário para que cinco caixas atendam 
45 clientes é de: 
(A) 45 minutos; 
(B) 30 minutos; 
(C) 20 minutos; 
(D) 15 minutos; 
(E) 10 minutos. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Comparando- se cada grandeza com aquela onde está o x. 
m² varredores horas 
6000--------------18-------------- 5 
7500--------------15--------------- x 
Quanto mais a área, mais horas (diretamente proporcionais) 
Quanto menos trabalhadores, mais horas (inversamente proporcionais) 
5
𝑥
=
6000
7500
∙
15
18
 
 
6000 ∙ 15 ∙ 𝑥 = 5 ∙ 7500 ∙ 18 
90000𝑥 = 675000 
𝑥 = 7,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
Como 0,5 h equivale a 30 minutos, logo o tempo será de 7 horas e 30 minutos. 
 
02. Resposta: D 
Operários horas dias área 
 20-----------------8-------------60-------4800 
 15----------------10------------80--------x 
 
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68 
 
Todas as grandezas são diretamente proporcionais, logo: 
 
 
4800
𝑥
=
20
15
∙
8
10
∙
60
80
 
 20 ∙ 8 ∙ 60 ∙ 𝑥 = 4800 ∙ 15 ∙ 10 ∙ 80 
 9600𝑥 = 57600000 
 𝑥 = 6000𝑚² 
 
03. Resposta: B 
Temos 10 funcionários inicialmente, com os afastamentos esse número passou para 8. Se eles 
trabalham 8 horas por dia, passarão a trabalhar uma hora a mais perfazendo um total de 9 horas, nesta 
condições temos: 
Funcionários horas dias 
 10---------------8--------------27 
 8----------------9-------------- x 
Quanto menos funcionários, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
 
 
27
𝑥
=
8
10
∙
9
8
 → x.8.9 = 27.10.8 → 72x = 2160 → x = 30 dias. 
 
04. Resposta: C 
Transformando o tempo para segundos: 1 min e 15 segundos = 75 segundos 
Quanto mais máquinas menor o tempo (flecha contrária) e quanto mais cópias, mais tempo (flecha 
mesma posição) 
Máquina cópias tempo 
 1----------------80-----------75 segundos 
 7--------------3360-----------x 
 
 
75
𝑥
=
7
1
∙
80
3360
 → x.7.80 = 75.1.3360 → 560x = 252000 → x = 450 segundos 
 
Transformando 
1minuto-----60segundos 
 x-------------450 
x = 7,5 minutos = 7 minutos e 30segundos. 
 
05. Resposta: A 
Vamos utilizar a Regra de Três Composta: 
Operários  horas dias 
 128 ----------- 6 -------------- 42 
 x ------------- 8 -------------- 24 
Quanto mais operários, menos horas trabalhadas (inversamente) 
Quanto mais funcionários, menos dias (inversamente) 
 
𝑥
128
=
6
8
∙
42
24
 
 
𝑥
128
=
1
8
∙
42
4
 
 
𝑥
128
=
1
8
∙
21
2
 
 
16𝑥 = 128 ∙ 21 
𝑥 = 8 ∙ 21 = 168 
168 – 128 = 40 funcionários a mais devem ser contratados. 
 
 
 
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69 
 
06. Resposta: E 
Fichas Assistentes dias horas 
 1000 --------------- 16 -------------- 10 ------------ 6 
 2000 -------------- 10 -------------- x -------------- 8 
Quanto mais fichas, mais dias devem ser trabalhados (diretamente proporcionais). 
Quanto menos assistentes, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias (inversamente proporcionais). 
10
𝑥
=
1000
2000
 ∙ 
10
16
 .
8
6
 
 
10
𝑥
=
80000
192000
 
 
80. 𝑥 = 192.10 
 
𝑥 = 
1920
80
 
 
 𝑥 = 24 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
07. Resposta: C 
Faremos uma regra de três composta: 
Pessoas Kg dias 
 4 ------------ 13 ------------ 5 
 5 ------------ 65 ------------ x 
Mais pessoas irão levar menos dias para produzir a mesma quantidade de lixo (grandezas 
inversamente proporcionais). 
Mais quilos de lixo levam mais dias para serem produzidos (grandezas diretamente proporcionais). 
 
5
𝑥
= 
5
4
 .
13
65
 
 
5
𝑥
= 
65
260
 
 
65.x = 5 . 260 
x = 1300 / 65 
x = 20 dias 
 
08. Resposta: C 
Faremos uma regra de três composta: 
Trabalhadores Hectares h / dia dias 
 15 ------------------ 210 ---------------- 7 ----------------- 6 
 20 ------------------ 480 ---------------- 6 ----------------- x 
Mais trabalhadores irão levar menos dias para concluir o trabalho (grandezas inversamente 
proporcionais). 
Mais hectares levam mais dias para se concluir o trabalho (grandezas diretamente proporcionais). 
Menos horas por dia de trabalho serão necessários mais dias para concluir o trabalho (grandezas 
inversamente proporcionais). 
6
𝑥
= 
20
15
 .
210
480
 .
6
7
 
 
6
𝑥
= 
25200
50400
 
 
25200.x = 6. 50400 → x = 302400 / 25200 → x = 12 dias 
 
09. Resposta: B 
 caixas clientes minutos 
 2 ----------------- 6 ----------- 10 
 5 ----------------- 45 ----------- x 
Quanto mais caixas, menos minutos levará para o atendimento (inversamente proporcionais). 
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Quanto mais clientes, mais minutos para o atendimento (diretamente proporcionais). 
 
 
10
𝑥
=
5
2
∙
6
45
 
10
𝑥
=
30
90
 
 
 30. 𝑥 = 90.10 𝑥 = 
900
30
 
 
 𝑥 = 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
PORCENTAGEM 
 
Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou 
simplesmente de porcentagem7. Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um 
"todo" se está referenciando. 
Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”). 
 
𝒙% =
𝒙
𝟏𝟎𝟎
 
 
Exemplos: 
01. A tabela abaixo indica, em reais, os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre 
02/02/2013 e 02/02/2014. 
 
 
Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 
 
50
500
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐴; 
 
50
400
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐵. 
 
Quem obteve melhor rentabilidade? 
 
Resolução: 
Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100), 
para isso, vamos simplificar as frações acima: 
 
𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒
50
500
=
10
100
, = 10% 
 
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒
50
400
=
12,5
100
, = 12,5% 
 
Com isso podemos concluir que Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco 
B. 
 
Uma outra maneira de expressar será apenas dividir o numerador pelo denominador, ou seja: 
𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒
50
500
= 0,10 = 10% 
 
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒
50
400
= 0,125 = 12,5% 
 
7IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://www.porcentagem.org 
http://www.infoescola.com 
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71 
 
02. Em uma classe com 30 alunos, 18 são rapazes e 12 são moças. Qual é a taxa percentual de 
rapazes na classe? 
Resolução: 
 
A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é 
18
30
 . Devemos expressar essa razão na forma 
centesimal, isto é, precisamos encontrar x tal que: 
18
30
=
𝑥
100
⟹ 𝑥 = 60 
E a taxa percentual de rapazes é 60%. Poderíamos ter divido 18 por 30, obtendo: 
18
30
= 0,60(. 100%) = 60% 
 
Lucro e Prejuízo 
 
É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. 
Caso a diferença seja positiva, temos o lucro(L), caso seja negativa, temos prejuízo(P). 
 
Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C). 
 
Podemos ainda escrever: 
C + L = V ou L = V - C 
P = C – V ou V = C - P 
 
A forma percentual é: 
 
 
Exemplos: 
01. Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar: 
a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; 
b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. 
 
Resolução: 
Preço de custo + lucro = preço de venda → 75 + lucro =100 → Lucro = R$ 25,00 
 
𝑎)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜
. 100% ≅ 33,33% 𝑏)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎
. 100% = 25% 
 
02. O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% 
sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: 
A) R$ 25,00 
B) R$ 70,50 
C) R$ 75,00 
D) R$ 80,00 
E) R$ 125,00 
 
Resolução: 
𝐿
𝐶
. 100% = 25% ⇒ 0,25 , o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC). 
 
C + L = V → C + 0,25. C = V → 1,25. C = 100 → C = 80,00 
Resposta D 
 
 
 
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72 
 
Aumento e Desconto Percentuais 
 
A) Aumentar um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V . 
Logo: 
VA = (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
01. Aumentar um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois: 
(1 +
20
100
).V = (1+0,20).V = 1,20.V 
 
02. Aumentar um valor V de 200%, equivale a multiplicá-lo por 3, pois: 
(1 +
200
100
).V = (1+2).V = 3.V 
 
03. Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%, respectivamente, a área do 
retânguloé aumentada de: 
(A)35% 
(B)30% 
(C)3,5% 
(D)3,8% 
(E) 38% 
 
Resolução: 
Área inicial: a.b 
Com aumento: (a.1,15).(b.1,20) → 1,38.a.b da área inicial. Logo o aumento foi de 38%. 
Logo, alternativa E. 
 
B) Diminuir um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V. 
Logo: 
V D = (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
01. Diminuir um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 0,80, pois: 
(1 −
20
100
). V = (1-0,20). V = 0, 80.V 
 
02. Diminuir um valor V de 40%, equivale a multiplicá-lo por 0,60, pois: 
(1 −
40
100
). V = (1-0,40). V = 0, 60.V 
 
03. O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115,00. Qual 
era o seu valor antes do desconto? 
 
Temos que V D = 115, p = 8% e V =? é o valor que queremos achar. 
V D = (1 −
𝑝
100
). V → 115 = (1-0,08).V → 115 = 0,92V → V = 115/0,92 → V = 125 
O valor antes do desconto é de R$ 125,00. 
 
A esse valor final de (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
) ou (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
), é o que chamamos de fator de multiplicação, muito útil 
para resolução de cálculos de porcentagem. O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no 
valor do produto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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73 
 
Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação: 
 
 
Aumentos e Descontos Sucessivos 
 
São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente. Para efetuar os respectivos descontos ou 
aumentos, fazemos uso dos fatores de multiplicação. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
01. Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de...? 
 
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V → V. 1,1, como são dois de 10% temos → V. 1,1 . 1,1 → V. 1,21 
Analisando o fator de multiplicação 1,21; concluímos que esses dois aumentos significam um único 
aumento de 21%. 
Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%. 
 
02. Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: 
 
Utilizando VD = (1 −
𝑝
100
).V → V. 0,8 . 0,8 → V. 0,64 . . Analisando o fator de multiplicação 0,64, 
observamos que esse percentual não representa o valor do desconto, mas sim o valor pago com o 
desconto. Para sabermos o valor que representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo: 
 100% - 64% = 36% 
Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a 36% e não a 40%. 
 
03. Certo produto industrial que custava R$ 5.000,00 sofreu um acréscimo de 30% e, em seguida, 
um desconto de 20%. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? 
 
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V para o aumento e VD = (1 −
𝑝
100
).V, temos: 
VA = 5000 .(1,3) = 6500 e VD = 6500 .(0,80) = 5200, podemos, para agilizar os cálculos, juntar tudo 
em uma única equação: 
5000 . 1,3 . 0,8 = 5200 
Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.200,00 
 
Questões 
 
01. (MPE/GO – Auxiliar Administrativo – MPE/GO/2018) João e Miguel são filhos de Pedro e 
recebem pensão alimentícia do pai no percentual de 20% sobre o seu salário, cada um. Considerando 
que os rendimentos de Pedro são de R$ 2.400,00 mensais, quantos reais sobram para Pedro no final do 
mês? 
(A) R$ 1.510,00 
(B) R$ 1.920,00 
(C) R$ 960,00 
(D) R$ 1.440,00 
(E) R$ 480,00 
 
02. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – MPE/GO/2018) Joana foi trazer compras. Encontrou um vestido 
de 150 reais. Descobriu que se pagasse à vista teria um desconto de 35%. Depois de muito pensar, Joana 
pagou à vista o tal vestido. 
Quanto ela pagou? 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
74 
 
(A) 120,00 reais; 
(B) 112,50 reais 
(C) 127,50 reais. 
(D) 97,50 reais. 
(E) 95,00 reais. 
 
03. (SABESP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC/2018) O preço de um automóvel, à vista, 
é de R$ 36.000,00 e um certo financiamento permite que esse mesmo automóvel seja pago em 18 
parcelas mensais idênticas de R$ 2.200,00. Sendo assim, optando por financiar a compra do automóvel, 
o valor total a ser pago pelo automóvel, em relação ao preço à vista, aumentará em 
(A) 20%. 
(B) 12%. 
(C) 10%. 
(D) 15%. 
(E) 22%. 
 
04. (SANEAGO/GO – Agente de Saneamento – UFG/2018) As vendas de Natal em 2017 nos 
shopping centers cresceram 6% em relação a 2016, movimentando R$ 51,2 bilhões [O Estado de S. 
Paulo, 27/12/2017, p. B1]. De acordo com essas informações, o valor movimentado, em bilhões, pelos 
shopping centers com as compras de Natal em 2016 foi, aproximadamente, de 
(A) R$ 45,13 
(B) R$ 48,20 
(C) R$ 48,30 
(D) R$ 50,14 
 
05. (SEAD/AP – Assistente Administrativo – FCC/2018) Em uma empresa, o departamento de 
recursos humanos fez um levantamento a respeito do número de dependentes de cada funcionário e 
organizou os resultados na seguinte tabela: 
 
A porcentagem dos funcionários que têm exatamente um dependente é igual a 
(A) 60%. 
(B) 40%. 
(C) 50%. 
(D) 33%. 
(E) 66%. 
 
06. (LIQUIGÁS – Assistente Administrativo – CESGRANRIO/2018) Um comerciante comprou 
algumas geladeiras, ao preço unitário de R$ 1.550,00, e conseguiu vender apenas algumas delas. Em 
cada geladeira vendida, o comerciante obteve um lucro de 16% sobre o preço de compra, e o lucro total 
obtido com todas as geladeiras vendidas foi de R$ 26.040,00. 
Quantas geladeiras o comerciante vendeu? 
(A) 15 
(B) 45 
(C) 75 
(D) 105 
(E) 150 
 
07. (Câm. de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA) Em 
determinada loja, um sofá custa R$ 750,00, e um tapete, R$ 380,00. Nos pagamentos com cartão de 
crédito, os produtos têm 10% de desconto e, nos pagamentos no boleto, têm 8% de desconto. Com base 
nisso, realizando-se a compra de um sofá e um tapete, os valores totais a serem pagos pelos produtos 
nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão, respectivamente: 
(A) R$ 1.100,00 e R$ 1.115,40. 
(B) R$ 1.017,00 e R$ 1.039,60. 
(C) R$ 1.113,00 e R$ 1.122,00. 
(D) R$ 1.017,00 e R$ 1.010,00. 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
75 
 
08. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Uma loja compra televisores por R$ 1.500,00 
e os revende com um acréscimo de 40%. Na liquidação, o preço de revenda do televisor é diminuído em 
35%. Qual o preço do televisor na liquidação? 
(A) R$ 1.300,00 
(B) R$ 1.315,00 
(C) R$ 1.330,00 
(D) R$ 1.345,00 
(E) R$ 1.365,00 
 
09. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O preço de venda de um produto, 
descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, 
os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de 
venda é superior ao de compra? 
(A) 67%. 
(B) 61%. 
(C) 65%. 
(D) 63%. 
(E) 69%. 
 
10. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) Numa liquidação de bebidas, um atacadista fez a 
seguinte promoção: 
Cerveja em lata: R$ 2,40 a unidade. 
Na compra de duas embalagens com 12 unidades cada, ganhe 25% de desconto no valor da segunda 
embalagem. 
 
Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3,50. O lucro 
obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: 
(A) R$ 33,60 
(B) R$ 28,60 
(C) R$ 26,40 
(D) R$ 40,80 
(E) R$ 43,20 
 
11. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – GR Consultoria e Assessoria) Marcos 
gastou 30% de 50% da quantia que possuía e mais 20% do restante. A porcentagem que lhe sobrou do 
valor, que possuía é de: 
(A) 58% 
(B) 68% 
(C) 65% 
(D) 77,5% 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D 
Para resolver esta questão devemos encontrar 20% do salário de Pedro, ou seja: 
2.400,00 x 20% = 2400 x 0,20 = 480,00 
que é o valor que ele paga de pensão, mas como são 2 filhos será 480 + 480 = 960,00, portanto o 
valor que ele recebe será de 2400 – 960 = 1440,00. 
 
02. Resposta: D 
Vamos calcular quanto representa 35% de 150 reais. 
150 x 0,35 = 52,50 (é o valor do desconto) 
Logo o valor do vestido à vista será de: 150,00 – 52,50 = 97,50. 
 
03. Resposta: C 
Primeiramente vamos encontrar o valor o automóvel financiado em 18 parcelas de 2.200: 
18 x 2.200 = 39.600.Agora basta fazermos uma regra de três simples onde o valor à vista de 36.000,00 será os 100% e do 
resultado o que aumentar além dos 100% será o valor da porcentagem de acréscimo. 
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76 
 
36000 ---- 100 
39600 ---- x 
36000x = 39600 . 100 
36000x = 3960000 
x = 
3960000
36000
= 110 
Assim o valor financiado passou a ser 110%, logo o aumento foi de 110 – 100 = 10% 
 
04. Resposta: C 
Primeiramente devemos saber que 51,2 bilhões já está com o aumento de 6% então ele representa 
106%, agora basta descobrir o valor ante do aumento, através de uma regra de três simples. 
 
51,2 ---- 106 
 x ---- 100 
106x = 51,2 . 100 
106x = 5120 
x = 
5120
106
 = 48,30 aproximadamente. 
 
05. Resposta: B 
Aqui devemos ficar atentos pois existe uma pegadinha, observe que o número de funcionários que têm 
um ou mais dependentes é de 15, e na outra coluna o número de funcionários que têm dois ou mais 
dependentes é de 5, assim estes 5 já estão inclusos nos 5, portanto o total de funcionários será 10 + 15 
= 25 e também temos que o número de funcionários que terão apenas 1 dependente será 15 – 5 = 10 
funcionários. 
Vamos agora encontrar a porcentagem dos funcionários que têm exatamente um dependente: 
10
25
= 0,40 = 40% 
 
06. Resposta: D 
O primeiro passo é saber quanto que o comerciante lucra por geladeira, com ele lucra 16%, basta 
encontrar 16% de 1550. 
0,16 x 1550 = 248 
Assim o valor que ele lucra por geladeira será 248, mas 26040 foi o valor total de lucro, portanto para 
saber quantas geladeiras ele vendeu devemos dividir o lucro total pelo lucro de uma geladeira. 
26040
248
= 105 
Vendeu 105 geladeiras no total. 
 
07. Resposta: B 
Vamos encontrar o valor pago pelo sofá e pelo tapete em cada uma das formas de pagamento: 
 
Cartão de crédito: 
10
100
 (750 + 380) = 0,10 . 1130 = 113 
1130 – 113 = R$ 1017,00 
Boleto: 
8
100
. (750 + 380) = 0,08 . 1130 = 90,4 
1130 – 90,4 = R$ 1039,60 
 
08. Resposta: E 
Vamos encontrar o preço que ele revende e depois dar o desconto sob esse preço de revenda. 
Preço de revenda: 1500 + 40% = 1500 + 1500 x 0,40 = 1500 + 600 = 2100 
Preço com desconto: 2100 – 35% =2100 – 0,35 x 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365,00 
 
09. Resposta: A 
Preço de venda: V 
Preço de compra: C 
V – 0,16V = 1,4C 
0,84V = 1,4C 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
77 
 
𝑉
𝐶
=
1,4
0,84
= 1,67 
O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. 
 
10. Resposta: A 
Vamos encontrar o valor da primeira embalagem: 
2,40 . 12 = 28,80 
Agora como tem desconto de 25% na segunda embalagem, vamos encontrar seu valor (100% - 25% 
= 75%): 
28,80. 0,75 = 21,60 
O total que ele gastou foi de 
28,80 + 21,60 = 50,40 
Como ele revendeu cada lata por 3,50 ele terá recebido um total de: 
3,50 x 24 = 84,00 
O lucro então foi de: 
R$ 84,00 – R$ 50,40 = R$ 33,60 
 
11. Resposta: B 
De um total de 100%, temos que ele gastou 30% de 50% = 30%.50% = 15% foi o que ele gastou, 
sobrando: 100% - 15% = 85%. Desses 85% ele gastou 20%, logo 20%.85% = 17%, sobrando: 
85% - 17% = 68%. 
 
JUROS SIMPLES8 
 
Em regime de juros simples (ou capitalização simples), o juro é determinado tomando como base 
de cálculo o capital da operação, e o total do juro é devido ao credor (aquele que empresta) no final da 
operação. As operações aqui são de curtíssimo prazo, exemplo: desconto simples de duplicata, entre 
outros. 
No juros simples o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial 
emprestado ou aplicado. 
 
- Os juros são representados pela letra J. 
- O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de capital e é representado pela letra C (capital) 
ou P(principal) ou VP ou PV (valor presente) *. 
- O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela letra t ou n.* 
- A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo. É representado 
pela letra i e utilizada para calcular juros. 
 
*Varia de acordo com a literatura estudada. 
 
Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da aplicação. 
 
Exemplo 
1) Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 4. 000,00, pelo prazo de 5 meses, 
à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros? 
 
Resposta 
- Capital aplicado (C): R$ 4.000,00 
- Tempo de aplicação (t): 5 meses 
- Taxa (i): 3% ou 0,03 a.m. (= ao mês) 
 
 
8 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
78 
 
Fazendo o cálculo, mês a mês: 
- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,03 x R$ 4.000,00 = R$ 120,00 
- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 120,00 + R$ 120,00 = R$ 240,00 
- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 240,00 + R$ 120,00 = R$ 360,00 
- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 360,00 + R$ 120,00 = R$ 480,00 
- No final do 5º período (5 meses), os juros serão: R$ 480,00 + R$ 120,00 = R$ 600,00 
 
Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 600,00 de juros. 
 
 
Fazendo o cálculo, período a período: 
- No final do 1º período, os juros serão: i.C 
- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C 
- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C 
-------------------------------------------------------------------------- 
- No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.C 
 
Portanto, temos: 
J = C . i . t 
 
1) O capital cresce linearmente com o tempo; 
2) O capital cresce a uma progressão aritmética de razão: J=C.i 
3) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 
4) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal. 
5) Chamamos de montante (M) ou FV (valor futuro) a soma do capital com os juros, ou seja: 
Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três delas forem valores conhecidos, podemos 
calcular o 4º valor. 
 
M = C + J → M = C.(1+i.t) 
 
Exemplo 
A que taxa esteve empregado o capital de R$ 25.000,00 para render, em 3 anos, R$ 45.000,00 de 
juros? (Observação: Como o tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.) 
 
C = R$ 25.000,00 
t = 3 anos 
j = R$ 45.000,00 
i = ? (ao ano) 
 j = 
100
.. tiC
 
45 000 = 
100
3..25000 i
 
45 000 = 750 . i 
i = 
750
000.45
 
i = 60 
Resposta: 60% ao ano. 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
79 
 
Quando o prazo informado for em dias, a taxa resultante dos cálculos será diária; se o prazo for 
em meses, a taxa será mensal; se for em trimestre, a taxa será trimestral, e assim sucessivamente. 
 
Questões 
 
01. (AL/RR – Economista – FUNRIO/2018) Paulo contraiu uma dívida do Banco X, no valor de R$ 
400,00 que foi quitada em dois trimestres, depois de contraída. 
A taxa linear mensal praticada pelo Banco X, que teve como resultado a cobrança de juros de R$ 
150,00, foi de 
(A) 8,70%. 
(B) 7,50%. 
(C) 6,25%. 
(D) 5,10%. 
 
02. (EBSERH – Técnico em Contabilidade – CESPE/2018) No que se refere a matemática financeira 
e finanças, julgue o item seguinte. 
Se R$ 10.000 forem aplicados pelo prazo de 45 dias à taxa de juros simples de 12% ao ano, o montante 
ao final do período será inferior a R$ 10.140. 
( )Certo ( )Errado 
 
03. (BANESTES – Assistente Securitário – FGV/2018) Caso certa dívida não seja paga na data do 
seu vencimento, sobre ela haverá a incidência de juros de 12% a.m.. Se essa dívida for quitada com 
menos de um mês de atraso, o regime utilizado será o de juros simples. 
Considerando-se o mês comercial (30 dias), se o valor dessa dívida era R$ 3.000,00 no vencimento, 
para quitá-la com 8 dias de atraso, será preciso desembolsar: 
(A) R$ 3.096,00; 
(B) R$ 3.144,00; 
(C) R$ 3.192,00; 
(D) R$ 3.200,00; 
(E) R$ 3.252,00. 
 
04. (BANPARÁ – Técnico Bancário – INAZ do Pará) Na capitalização de juros simples: 
(A) A capitalização de juros ocorresobre o capital inicial 
(B) Os juros são pagos no vencimento, que é fixo. 
(C) Os juros são pagos durante o período de capitalização 
(D) Os juros são incorporados ao capital durante a capitalização 
(E) Todas as alternativas acima estão erradas 
 
05. (IESES) Uma aplicação de R$ 1.000.000,00 resultou em um montante de R$ 1.240.000,00 após 
12 meses. Dentro do regime de Juros Simples, a que taxa o capital foi aplicado? 
(A) 1,5% ao mês. 
(B) 4% ao trimestre. 
(C) 20% ao ano. 
(D) 2,5% ao bimestre. 
(E) 12% ao semestre. 
 
06. (EXATUS-PR) Mirtes aplicou um capital de R$ 670,00 à taxa de juros simples, por um período de 
16 meses. Após esse período, o montante retirado foi de R$ 766,48. A taxa de juros praticada nessa 
transação foi de: 
(A) 9% a.a. 
(B) 10,8% a.a. 
(C) 12,5% a.a. 
(D) 15% a.a. 
 
07. (UMA Concursos) Qual o valor do capital que aplicado por um ano e meio, a uma taxa de 1,3% 
ao mês, em regime de juros simples resulta em um montante de R$ 68.610,40 no final do período? 
(A) R$ 45.600,00 
(B) R$ 36.600,00 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
80 
 
(C) R$ 55.600,00 
(D) R$ 60.600,00 
 
08. (TRF- 3ª REGIÃO – Analista Judiciário – FCC) Em um contrato é estabelecido que uma pessoa 
deverá pagar o valor de R$ 5.000,00 daqui a 3 meses e o valor de R$ 10.665,50 daqui a 6 meses. Esta 
pessoa decide então aplicar em um banco, na data de hoje, um capital no valor de R$ 15.000,00, durante 
3 meses, sob o regime de capitalização simples a uma taxa de 10% ao ano. No final de 3 meses, ela 
resgatará todo o montante correspondente, pagará o primeiro valor de R$ 5.000,00 e aplicará o restante 
sob o regime de capitalização simples, também durante 3 meses, em outro banco. Se o valor do montante 
desta última aplicação no final do período é exatamente igual ao segundo valor de R$ 10.665,50, então 
a taxa anual fornecida por este outro banco é, em %, de 
(A) 10,8%. 
(B) 9,6%. 
(C) 11,2%. 
(D) 12,0%. 
(E) 11,7%. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
O capital será de: 400,00 
2 trimestres: 2.3 = 6 meses 
J = 150 reais. 
Utilizando a fórmula básica para juros compostos teremos: 
 
j = 
100
.. tiC
 
150 . 100 = 400 . i . 6 
 i = 
15000
2400
 = 6,25% ao mês 
 
02. Resposta: Errado 
Pela fórmula de juros simples teremos j = 
100
.. tiC
 
Mas antes devemos converter os dados para a mesma unidade de tempo. 
i = 12% ao ano = 1% ao mês 
t = 45 dias = 1,5 meses 
C = 10000 
Montante foi de 10140, logo o juros foi de 10140 – 10000 = 140 reais. 
Vamos lá! 
j = 
100
.. tiC
 
j = 
10000 . 1 . 1,5
100
 = 
15000
100
 = 150 reais, que é superior à 140 reais conforme dito no enunciado. 
 
03. Resposta: A 
Antes de resolvermos devemos fazer as devidas conversões, vamos lá! 
i = 12% ao mês = 12 : 30 = 0,4% ao dia 
 
j = 
100
.. tiC
 
j = 
3000 . 0,4 . 8
100
 = 
9600
100
 = 96 reais 
 
Assim deverá pagar 3000 + 96 = 3096 reais 
 
04. Resposta: A 
Na capitalização simples o juros sempre incide sobre o capital inicial, por isto a alternativa A está 
correta. 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
81 
 
05. Resposta: E 
C = 1.000.000,00 
M = 1.240.000,00 
t = 12 meses 
i = ? 
M = C.(1+it) → 1240000 = 1000000(1 + 12i) → 1 + 12i = 1240000 / 1000000 → 1 + 12i = 1,24 → 12i = 
1,24 – 1 → 12i = 0,24 → i = 0,24 / 12 → i = 0,02 → i = 0,02x100 → i = 2% a.m 
Como não encontramos esta resposta nas alternativas, vamos transformar, uma vez que sabemos a 
taxa mensal: 
Um bimestre tem 2 meses → 2 x 2 = 4% a.b. 
Um trimestre tem 3 meses → 2 x 3 = 6% a.t. 
Um semestre tem 6 meses → 2 x 6 = 12% a.s. 
Um ano tem 1 ano 12 meses → 2 x 12 = 24% a.a. 
 
06. Resposta: B 
Pelo enunciado temos: 
C = 670 
i = ? 
n = 16 meses 
M = 766,48 
Aplicando a fórmula temos: M = C.(1+in) → 766,48 = 670 (1+16i) → 1 + 16i = 766,48 / 670 →1 + 16i = 
1,144 → 16i = 1,144 – 1 → 16i = 0,144 → i = 0,144 / 16 → i = 0,009 x 100 → i = 0,9% a.m. 
Observe que as taxas das alternativas são dadas em ano, logo como 1 ano tem 12 meses: 0,9 x 12 = 
10,8% a.a. 
 
07. Resposta: C 
C = ? 
n = 1 ano e meio = 12 + 6 = 18 meses 
i = 1,3% a.m = 0,013 
M = 68610,40 
Aplicando a fórmula: M = C (1+in) → 68610,40 = C (1+0,013.18) → 68610,40 = C (1+0,234) → C = 
68610,40 = C.1,234 → C = 68610,40 / 1,234 → C = 55600,00. 
 
08. Resposta: C 
j= 15.000*0,10*0,25 (0,25 é 3 meses/12) 
j=15.000*0,025 
j=375,00 
Montante 15.000+375,00= 15.375,00 
Foi retirado 5.000,00, então fica o saldo para nova aplicação de 10.375,00 o valor a pagar da segunda 
parcela (10.665,50) é o mesmo valor do saldo da aplicação dos 10.375,00 em 03 meses. 
10.665,50-10.375,00= 290,50, esse foi o juros, então é só aplicar a fórmula dos juros simples. 
j=c.i.t 
290,5=10.375,00*i*0,025 
290,5=2.593,75*i 
i= 290,5/2.593,75 
i= 0,112 
i=0,112*100=11,2% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
82 
 
 
 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
 
Expressões numéricas9 são sentenças matemáticas formadas por números, suas operações (adições, 
subtrações, multiplicações, divisões, potenciações e radiciações) e também por símbolos chamados de 
sinais de associação, que podem aparecer em uma única expressão. 
 
Para resolvermos, é necessário estarmos atentos a alguns procedimentos: 
 
1º) Nas expressões que aparecem as operações numéricas, devemos resolver as potenciações e/ou 
radiciações primeiramente, na ordem que elas aparecem e somente depois as multiplicações e/ou 
divisões (na ordem que aparecem) e por último as adições e subtrações em qualquer ordem. 
Exemplos 
A) 10 + 12 – 6 + 7→ primeiro resolvemos a adição e subtração em qualquer ordem 
22 – 6 + 7 
16 + 7 
23 
 
B) 15 x 2 – 30 ÷ 3 + 7 → primeiro resolveremos a multiplicação e a divisão. 
30 – 10 + 7 → Agora resolveremos a adição e subtração, em qualquer ordem. 
27 
 
2º) Quando aparecem os sinais de associações os mesmos tem uma ordem a ser seguida. Primeiro, 
resolvemos os parênteses ( ), quando acabarem os cálculos dentro dos parênteses, resolvemos os 
colchetes [ ]; e quando não houver mais o que calcular dentro dos colchetes, resolvemos as chaves { }. 
 
→ Quando o sinal de adição (+) anteceder um parêntese, colchetes ou chaves, deveremos eliminar o 
parêntese, o colchete ou chaves, na ordem de resolução, reescrevendo os números internos com o seus 
sinais originais. 
→ Quando o sinal de subtração (-) anteceder um parêntese, colchetes ou chaves, deveremos eliminar 
o parêntese, o colchete ou chaves, na ordem de resolução, reescrevendo os números internos com o 
seus sinais invertidos. 
 
Exemplos 
A) {100 – 413 x (20 – 5 x 4) + 25} : 5 → Inicialmente devemos resolver os parênteses, mas como 
dentro dos parênteses há subtração e multiplicação, vamos resolver a multiplicação primeiro, em seguida, 
resolvemos a subtração. 
{100 – 413 x (20 – 5 x 4) + 25} : 5 
{100 – 413 x (20 – 20) + 25} : 5 
{100 – 413 x 0 + 25} : 5 
Eliminado os parênteses, vamos resolver as chaves, efetuando as operações seguindo a ordem. 
{100 – 413 x 0 + 25} : 5 
{100 – 0 + 25} : 5 
{100 + 25} : 5 
125 : 5 
25 
 
B) – 62 : (– 5 + 3) – [– 2 . (– 1 + 3 – 1)² – 16 : (– 1 + 3)²] → elimine os parênteses. 
– 62 : (– 2) – [– 2 . (2 – 1)² – 16 : 2²] → continue eliminando os parênteses. 
– 62 : (– 2) – [– 2 . 1 – 16 : 2²] → resolva as potências dentro do colchetes. 
– 62 : (– 2) – [– 2 . 1 – 16 : 4] → resolva as operações de multiplicação e divisão nos colchetes. 
– 62 : (– 2) – [– 2 – 4] = 
 
9http://quimsigaud.tripod.com/expnumericas 
5 Álgebra: expressões algébricas; equações e sistemas de 1º e 2º graus; 
problemas de 1º e 2º graus; funções : domínio e imagem; função linear , função 
quadrática, função exponencial e funções trigonométricas. 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
83 
 
– 62 : (– 2) – [– 6] = elimine o colchete. 
– 62 : (– 2) + 6 = efetue a divisão. 
31 + 6 = 37 
 
C) [(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5 
[(25 – 6.4).3 + 6² : 3] : 5 = 
[(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 =[1.3 + 12] : 5 = 
[3 + 12 ] : 5 = 
15 : 5 = 3 
 
D) [(𝟏𝟎 − √𝟏𝟐𝟓
𝟑
)𝟐 + (𝟑 + 𝟐𝟑: 𝟒)]𝟐 
[(10 - 5)2 + (3 + 8 : 4)]2 
[5² + (3+2)]2 
[25 + 5]2 
302 
900 
 
Expressões Numéricas com Frações 
A ordem das operações para se resolver uma expressão numérica com fração, são as mesmas para 
expressões numéricas com números inteiros. Você também precisará dominar as principais operações 
com frações: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Um ponto que deve ser 
levado em conta é o m.m.c (mínimo múltiplo comum) entre os denominadores das frações, através da 
fatoração numérica. 
Exemplos 
1) Qual o valor da expressão abaixo? 
(
1
2
)
3
+
1
2
.
3
4
 
 
A) 7/16 
B) 13/24 
C) 1/2 
D) 21/24 
Resolvendo temos: 
 
1º passo resolver as operações entre parênteses, depois a multiplicação: 
 
1
8
+
3
8
, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 é 𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜, 
 
𝑒𝑓𝑒𝑡𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑎𝑑𝑖çã𝑜: 
4
8
, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟:
1
2
 
 
Resposta: C 
 
2) O resultado da expressão 3.
9
4
− {[(
2
3
)
2
+ 2] : √
4
9
}, em sua forma mais simples é: 
A) 6/37 
B) 37/12 
C) 27/4 
D) 22/6 
Resolvendo: 
Vamos resolver a multiplicação do início, a potenciação que está entre parênteses e a radiciação do 
final: 
27
4
− {[
4
9
+ 2] :
2
3
}, 
 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
84 
 
Na sequência vamos resolver a operação entre colchetes: 
 
27
4
− {[
4 + 18
9
] :
2
3
} , 𝑜 𝑚𝑚𝑐 é 9, 
𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎 𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑢𝑎𝑟 𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎: 
27
4
− {[
22
9
] :
2
3
} 
 
𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜, 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠: 
27
4
− {
22
9
.
3
2
}, 
 
Lembrando que na divisão com frações conservamos a 1ª fração e multiplicamos pelo inverso da 2ª, 
podemos também simplificar o resultado: 
27
4
− {
11
3
}. 
 
27
4
−
11
3
, 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑚𝑚𝑐(4,3) = 12, 
 
 
3.27 − 4.11
12
=
81 − 44
12
=
37
12
 
 
Resposta: B. 
 
Questões 
 
01. (MANAUSPREV – Analista Previdenciário – Administrativa – FCC) Considere as expressões 
numéricas, abaixo. 
 
 A = 1/2 + 1/4+ 1/8 + 1/16 + 1/32 e B = 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 
 
O valor, aproximado, da soma entre A e B é 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 1 
(D) 2,5 
(E) 1,5 
 
02. (Pref. de Itabaiana/SE – Técnico em Contabilidade – CONSULPLAN) Qual das expressões 
numéricas a seguir apresenta resultado correto? 
(A) 30 – 10 x 2 + 4 x 6 = 84 
(B) 30 – 10 x 2 + 4 x 6 = 264 
(C) 30 – 10 x 2 + 4 x 6 = 34 
(D) 30 – 10 x 2 + 4 x 6 = 64 
(E) 30 – 10 x 2 + 4 x 6 = 720 
 
03. (Pref. de Tramandaí/RS – Auxiliar Legislativo – OBJETIVA) Dadas as três expressões 
numéricas abaixo, é CORRETO afirmar que: 
(a) 2 + [(5 - 3) + 4] x 2 + 3 
(b) 13 - [5 x (2 - 1) + 4 x 2] 
(c) 6 + 4 x 2 x (5 - 1) - 7 
 
(A) b < a < c 
(B) a < b < c 
(C) c < a < b 
(D) c < b < a 
(E) a < c < b 
 
 
 
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85 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
 
02. Resposta: C 
 
30 – 10 x 2 + 4 x 6 = 
30 – 20 + 24 = 
10+ 24 = 34 
 
03. Resposta: A 
2 + [(5 - 3) + 4] x 2 + 3 
2 + [2 + 4]x2 + 3 
2 + 12 + 3 = 17 
 
13 - [5 x (2 - 1) + 4 x 2] 
13 – [5x1 + 4x2] 
13 – [5 + 8] 
13 – 13 = 0 
 
6 + 4 x 2 x (5 - 1) - 7 
6 + 4 x 2 x 4 – 7 
6 + 32 – 7 = 31 
Assim 0 < 17 < 31. 
b < a < c. 
 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU OU LINEAR 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade e uma incógnita 
ou variável (x, y, z,..). 
Observe a figura: 
 
 
A figura acima mostra uma equação (uma igualdade), onde precisamos achar o valor da variável x, 
para manter a balança equilibrada. Equacionando temos: 
x + x + 500 + 100 = x + 250 + 500 → 2x + 600 = x + 750. 
 
Exemplos 
2x + 8 = 0 
5x – 4 = 6x + 8 
3a – b – c = 0 
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86 
 
- Não são equações: 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x – 5 < 3 (Não é igualdade) 
5 ≠ 7 (Não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
Termo Geral da equação do 1º grau 
Onde a e b (a ≠ 0) são números conhecidos e a diferença de 0, se resolve de maneira simples, 
subtraindo b dos dois lados obtemos: 
 
ax + b – b = 0 – b → ax = - b → x = - b/a 
 
Termos da equação do 1º grau 
 
Nesta equação cada membro possui dois termos: 
1º membro composto por 5x e -1. 
2º membro composto pelo termo x e +7. 
 
Resolução da equação do 1º grau 
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a 
incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. O método mais utilizado para isso é invertermos as 
operações. Vejamos: 
Resolvendo a equação 2x + 600 = x + 750, passamos os termos que tem x para um lado e os números 
para o outro invertendo as operações. 
2x – x = 750 – 600, com isso eu posso resolver minha equação → x = 150 
 
Outros exemplos 
1) Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações. 
 
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a 
subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3). 
 
Registro 
 
2) Resolução da equação: 1 – 3x + 
5
2
= x + 
2
1
, efetuando a mesma operação nos dois lados da 
igualdade(outro método de resolução). 
 
Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação pelo mmc (2;5) = 10. Dessa 
forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações, os cálculos necessários e isolamos 
o x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. 
 
Registro: 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
87 
 
Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de um 
padrão visual. 
 
- Se a + b = c, conclui-se que a = c – b. 
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b 
aparece subtraindo no lado direito da igualdade. 
 
- Se a . b = c, conclui-se que a = c : b, desde que b ≠ 0. 
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na segunda, ele aparece 
dividindo no lado direito da igualdade. 
 
O processo prático pode ser formulado assim: 
- Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita de um lado da igualdade e os demais 
termos do outro lado; 
- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) O gráfico mostra o número de gols marcados, por 
jogo, de um determinado time de futebol, durante um torneio. 
 
 
 
Sabendo que esse time marcou, durante esse torneio, um total de 28 gols, então, o número de jogos 
em que foram marcados 2 gols é: 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
02. (Pref. Imaruí – Agente Educador – Pref. Imaruí) Certa quantia em dinheiro foi dividida igualmente 
entre três pessoas, cada pessoa gastou a metade do dinheiro que ganhou e 1/3(um terço) do restante de 
cada uma foi colocado em um recipiente totalizando R$900,00(novecentos reais), qual foi a quantia 
dividida inicialmente? 
(A) R$900,00 
(B) R$1.800,00 
(C) R$2.700,00 
(D) R$5.400,00 
 
03. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Um grupo formado por 16 motoristas 
organizou um churrasco para suas famílias. Na semana do evento, seis deles desistiram de participar. 
Para manter o churrasco, cada um dos motoristas restantes pagou R$ 57,00 a mais. 
O valor total pago por eles, pelo churrasco, foi: 
(A) R$ 570,00 
(B) R$ 980,50 
(C) R$ 1.350,00 
(D) R$ 1.480,00 
(E) R$ 1.520,00 
 
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88 
 
04. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Uma linha de Metrô inicia-se na 1ª estação 
e termina na 18ª estação. Sabe-se que a distância dentre duas estações vizinhas é sempre a mesma, 
exceto da 1ª para a 2ª, e da 17ª para a 18ª, cuja distância é o dobro do padrão das demais estações 
vizinhas. Se a distância da 5ª até a 12ª estação é de 8 km e 750 m, o comprimento total dessalinha de 
Metrô, da primeira à última estação, é de 
(A) 23 km e 750 m. 
(B) 21 km e 250 m. 
(C) 25 km. 
(D) 22 km e 500 m. 
(E) 26 km e 250 m. 
 
05. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa 
deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2a 
semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
06. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Bia tem 10 anos a mais que Luana, 
que tem 7 anos a menos que Felícia. Qual é a diferença de idades entre Bia e Felícia? 
(A) 3 anos. 
(B) 7 anos. 
(C) 5 anos. 
(D) 10 anos. 
(E) 17 anos. 
 
07. (DAE Americana/SP – Analista Administrativo – SHDIAS) Em uma praça, Graziela estava 
conversando com Rodrigo. Graziela perguntou a Rodrigo qual era sua idade, e ele respondeu da seguinte 
forma: 
- 2/5 de minha idade adicionados de 3 anos correspondem à metade de minha idade. 
Qual é a idade de Rodrigo? 
(A) Rodrigo tem 25 anos. 
(B) Rodrigo tem 30 anos. 
(C) Rodrigo tem 35 anos. 
(D) Rodrigo tem 40 anos. 
 
08. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Dois amigos foram a uma pizzaria. O 
mais velho comeu 
3
8
 da pizza que compraram. Ainda da mesma pizza o mais novo comeu 
7
5
 da 
quantidade que seu amigo havia comido. Sendo assim, e sabendo que mais nada dessa pizza foi comido, 
a fração da pizza que restou foi 
(𝐴)
3
5
 
 
(𝐵)
7
8
 
 
(𝐶)
1
10
 
 
(𝐷)
3
10
 
 
(𝐸)
36
40
 
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89 
 
09. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Glauco foi à livraria e comprou 3 
exemplares do livro J. Comprou 4 exemplares do livro K, com preço unitário de 15 reais a mais que o 
preço unitário do livro J. Comprou também um álbum de fotografias que custou a terça parte do preço 
unitário do livro K. 
 
Glauco pagou com duas cédulas de 100 reais e recebeu o troco de 3 reais. Glauco pagou pelo álbum 
o valor, em reais, igual a 
(A) 33. 
(B) 132. 
(C) 54. 
(D) 44. 
(E) 11. 
 
10. (METRÔ/SP - Agente de Segurança Metroviária I - FCC) Hoje, a soma das idades de três irmãos 
é 65 anos. Exatamente dez anos antes, a idade do mais velho era o dobro da idade do irmão do meio, 
que por sua vez tinha o dobro da idade do irmão mais novo. Daqui a dez anos, a idade do irmão mais 
velho será, em anos, igual a 
(A) 55. 
(B) 25. 
(C) 40. 
(D) 50. 
(E) 35. 
 
Comentários 
 
01. Alternativa: E 
0.2 + 1.8 + 2.x + 3.2 = 28 
0 + 8 + 2x + 6 = 28 → 2x = 28 – 14 → x = 14 / 2 → x = 7 
 
02. Alternativa: D 
Quantidade a ser recebida por cada um: x 
Se 1/3 de cada um foi colocado em um recipiente e deu R$900,00, quer dizer que cada uma colocou 
R$300,00. 
𝑥
3
=
𝑥
3
2
+ 300 
 
𝑥
3
=
𝑥
6
+ 300 
 
𝑥
3
−
𝑥
6
= 300 
 
2𝑥 − 𝑥
6
= 300 
 
𝑥
6
= 300 
x = 1800 
Recebida: 1800.3=5400 
 
03. Alternativa: E 
Vamos chamar de ( x ) o valor para cada motorista. Assim: 
16 . x = Total 
Total = 10 . (x + 57) (pois 6 desistiram) 
Combinando as duas equações, temos: 
16.x = 10.x + 570 → 16.x – 10.x = 570 
6.x = 570 → x = 570 / 6 → x = 95 
O valor total é: 16 . 95 = R$ 1520,00. 
 
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90 
 
04. Alternativa: A 
 
 
Sabemos que da 5ª até a 12ª estação = 8 km + 750 m = 8750 m. 
A quantidade de “espaços” da 5ª até a 12ª estação é: (12 – 5). x = 7.x 
Assim: 7.x = 8750 
x = 8750 / 7 
x = 1250 m 
Por fim, vamos calcular o comprimento total: 
17 – 2 = 15 espaços 
2.x + 2.x + 15.x = 
= 2.1250 + 2.1250 + 15.1250 = 
= 2500 + 2500 + 18750 = 23750 m 23 km + 750 m 
 
05. Alternativa: B 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade, pois ele executou a metade na 1ª e 2ª semana 
como consta na fração acima (1/2x). 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
06. Alternativa: A 
Luana: x 
Bia: x + 10 
Felícia: x + 7 
Bia – Felícia = x + 10 – x – 7 = 3 anos. 
 
07. Alternativa: B 
Idade de Rodrigo: x 
 
 
2
5
𝑥 + 3 =
1
2
𝑥 
 
2
5
𝑥 −
1
2
𝑥 = −3 
 
Mmc(2,5)=10 
 
 
4𝑥−5𝑥
10
= −3 
 
 4𝑥 − 5𝑥 = −30 
 𝑥 = 30 
 
08. Alternativa: C 
𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎: 𝑥 ∴ 𝑦: 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜𝑢 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 
 
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91 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜:
3
8
𝑥 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑣𝑜 ∶
7
5
∙
3
8
𝑥 =
21
40
𝑥 
 
3
8
𝑥 +
21
40
𝑥 + 𝑦 = 𝑥 
 
𝑦 = 𝑥 −
3
8
𝑥 −
21
40
𝑥 
 
𝑦 =
40𝑥 − 15𝑥 − 21𝑥
40
=
4𝑥
40
=
1
10
𝑥 
 
Sobrou 1/10 da pizza. 
 
09. Alternativa: E 
Preço livro J: x 
Preço do livro K: x+15 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
 
Valor pago:197 reais (2.100 – 3) 
 
3𝑥 + 4(𝑥 + 15) +
𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12(𝑥 + 15) + 𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12𝑥 + 180 + 𝑥 + 15 = 591 
22𝑥 = 396 
𝑥 = 18 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
=
18 + 15
3
= 11 
 
O valor pago pelo álbum é de R$ 11,00. 
 
10. Alternativa: C 
Irmão mais novo: x 
Irmão do meio: 2x 
Irmão mais velho:4x 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 
Irmão do meio: 2x + 10 
Irmão mais velho:4x + 10 
x + 10 + 2x + 10 + 4x + 10 = 65 
7x = 65 – 30 → 7x = 35 → x = 5 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 = 5 + 10 = 15 
Irmão do meio: 2x + 10 = 10 + 10 = 20 
Irmão mais velho:4x + 10 = 20 + 10 = 30 
Daqui a dez anos 
Irmão mais novo: 15 + 10 = 25 
Irmão do meio: 20 + 10 = 30 
Irmão mais velho: 30 + 10 = 40 
O irmão mais velho terá 40 anos. 
 
 
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92 
 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, 
expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de 
uma das incógnitas. 
 
 
Em que a, b, c são números reais e a ≠ 0. 
 
Nas equações de 2º grau com uma incógnita10, os números reais expressos por a, b, c são chamados 
coeficientes da equação. 
 
Equação completa e incompleta 
 
- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. 
 
Exemplos 
x2 - 5x + 6 = 0 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = – 5, c = 6). 
- 3y2 + 2y - 15 = 0 é uma equação completa (a = - 3, b = 2, c = - 15). 
 
- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta. 
 
Exemplos 
x² - 36 = 0 é uma equação incompleta (b=0). 
x² - 10x = 0 é uma equação incompleta (c = 0). 
4x² = 0 é uma equação incompleta (b = c = 0). 
 
Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou 
forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. 
Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0; por meio 
de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos reduzi-
las a essa forma. 
 
Exemplo 
Pelo princípio aditivo. 
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2 
2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0 
2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0 
3x2 – 7x + 3 = 0 
 
Exemplo 
Pelo princípio multiplicativo. 
 
 
10somatematica.com.br 
IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. Matemática: ciência e aplicações. 9ª ed. Saraiva. São Paulo. 2017. 
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93 
 
Raízes de uma equação do 2º grau 
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença 
verdadeira. As raízes formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. 
 
Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita 
Primeiramente devemos saber duas importantes propriedades dos números Reais que é o nosso 
conjunto Universo. 
 
 
 
1°) A equação é da forma ax2 + bx = 0. 
x2– 9x = 0  colocamos x em evidência 
x . (x – 9) = 0 , aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: 
x = 0 ou x – 9 = 0 
 x = 9 
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 
 
2º) A equação é da forma ax2 + c = 0. 
x2 – 16 = 0  Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados. 
(x + 4) . (x – 4) = 0, aplicando a 1º propriedade dos Reais temos: 
x + 4 = 0 x – 4 = 0 
x = – 4 x = 4 
ou 
x2 – 16 = 0 → x2 = 16 → √x2 = √16 → x = ± 4, (aplicando a segunda propriedade). 
Logo, S = {–4, 4}. 
 
Resolução das equações completas do 2º grau com uma incógnita 
 
Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de Bháskara. 
Usando o processo de Bháskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível 
chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º grau 
de maneira mais simples. 
 
Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara. 
 
 
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante Δ; temos então, três 
casos a estudar. 
 
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94 
 
A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, 
exclusivamente, do discriminante Δ = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. 
 
Exemplos 
1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. 
Temos: a = 3, b = 7 e c = 9 
 
 
𝑥 =
−7 ± √−59
6
 
 
Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. 
Então: S = ᴓ 
 
2) Resolver a equação 5x2 – 12x + 4=0 
Temos que a= 5, b= -12 e c = 4. 
Aplicando na fórmula de Bháskara: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−12) ± √(−12)2 − 4.5.4
2.5
=
12 ± √144 − 80
10
=
12 ± √64
10
 
 
Como Δ > 0, logo temos duas raízes reais distintas: 
 
𝑥 =
12 ± 8
10
 → 𝑥′ = 
12 + 8
10
=
20
10
= 2 𝑒 𝑥′′ =
12 − 8
10
=
4: 2
10: 2
=
2
5
 
 
S= {2/5, 2} 
 
Relação entre os coeficientes e as raízes 
As equações do 2º grau possuem duas relações entre suas raízes, são as chamadas relações de 
Girard, que são a Soma (S) e o Produto (P). 
 
1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
 
 
2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma: 
 
x2 – Sx + P = 0 
Exemplos 
1) Determine uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7. 
Resolução: 
Pela relação acima temos: 
S = 2+7 = 9 
P = 2.7 = 14 
Com esses valores montamos a equação: x2 - 9x + 14 = 0 
 
2) Resolver a equação do 2º grau: x2 - 7x + 12 = 0 
Observe que S = 7 e P = 12, basta agora pegarmos dois números aos quais somando obtemos 7 e 
multiplicados obtemos 12. 
S= 3 + 4 = 7 e P = 4.3 = 12, logo o conjunto solução é: S = {3,4} 
 
 
 
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95 
 
Questões 
 
01. (Pref. Jundiaí/SP – Eletricista – MAKIYAMA) Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 seja uma 
equação de segundo grau, o valor de m deverá, necessariamente, ser diferente de: 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3. 
(D) 0. 
(E) 9. 
 
02. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 
1 e 3/2? 
(A) x²-3x+4=0 
(B) -3x²-5x+1=0 
(C) 3x²+5x+2=0 
(D) 2x²-5x+3=0 
 
03. (Câmara de Canitar/SP – Recepcionista – INDEC) O dobro da menor raiz da equação de 2º grau 
dada por x²-6x=-8 é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 8 
(D) 12 
 
04. (CGU – Administrativa – ESAF) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas 
partes com comprimentos x e 1-x respectivamente. 
Calcule o valor mais próximo de x de maneira que 
 x = (1-x) / x, usando 5=2,24. 
(A) 0,62 
(B) 0,38 
(C) 1,62 
(D) 0,5 
(E) 1/ 𝜋 
 
05. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Hoje João tem oito anos a mais que sua irmã, e o produto 
das suas idades é 153. Daqui a dez anos, a soma da idade de ambos será: 
(A) 48 anos. 
(B) 46 anos. 
(C) 38 anos. 
(D) 36 anos. 
(E) 32 anos. 
 
06. (Pref. Paulistana/PI – Professor de Matemática – IMA) Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² 
– mx + 6 é igual a 6. O valor de m é: 
(A) 15 
(B) 7 
(C) 10 
(D) 8 
(E) 5 
 
07. (CBTU – Analista de Gestão – CONSULPLAN) Considere a seguinte equação do 2º grau: ax2 + 
bx + c = 0. Sabendo que as raízes dessa equação são x’ = 6 e x’’ = –10 e que a + b = 5, então o 
discriminante dessa equação é igual a 
(A) 196. 
(B) 225. 
(C) 256. 
(D) 289. 
 
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96 
 
08. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP) O dono de uma papelaria comprou 98 cadernos e ao 
formar pilhas, todas com o mesmo número de cadernos, notou que o número de cadernos de uma pilha 
era igual ao dobro do número de pilhas. O número de cadernos de uma pilha era 
(A) 12. 
(B) 14. 
(C) 16. 
(D) 18. 
(E) 20. 
 
09. (Pref. de São Paulo/SP - Guarda Civil Metropolitano - MS CONCURSOS) Se x1 > x2 são as 
raízes da equação x2 - 27x + 182 = 0, então o valor de 
1
𝑥2
 - 
1
𝑥1
 é: 
(A) 
1
27
. 
 
(B) 
1
13
. 
 
(C) 1. 
 
(D) 
1
182
. 
 
(E) 
1
14
. 
 
10. (Pref. de Mogeiro/PB - Professor – EXAMES) A soma das raízes da equação (k - 2)x² - 3kx + 1 
= 0, com k ≠ 2, é igual ao produto dessas raízes. Nessas condições. Temos: 
(A) k = 1/2. 
(B) k = 3/2. 
(C) k = 1/3. 
(D) k = 2/3. 
(E) k = -2. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: C 
Neste caso o valor de a ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
3m - 9 ≠ 0 → 3m ≠ 9 → m ≠ 3 
 
02. Resposta: D 
Como as raízes foram dadas, para saber qual a equação: 
x² - Sx +P=0, usando o método da soma e produto; S= duas raízes somadas resultam no valor 
numérico de b; e P= duas raízes multiplicadas resultam no valor de c. 
 
𝑆 = 1 +
3
2
=
5
2
= 𝑏 
 
𝑃 = 1 ∙
3
2
=
3
2
= 𝑐 ; 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 
 
𝑥2 −
5
2
𝑥 +
3
2
= 0 
 
2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 
 
03. Resposta: B 
x²-6x+8=0 
 ∆= (−6)2 − 4.1.8 ⇒ 36 − 32 = 4 
 
 𝑥 =
−(−6)±√4
2.1
⇒ 𝑥 =
6±2
2
 
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97 
 
 𝑥1 =
6+2
2
= 4 
 
 𝑥2 =
6−2
2
= 2 
 
Dobro da menor raiz: 22=4 
 
04. Resposta: A 
𝑥 =
1 − 𝑥
𝑥
 
x² = 1-x 
x² + x -1 =0 
∆= (1)2 − 4.1. (−1) ⇒ ∆= 1 + 4 = 5 
𝑥 =
−1 ± √5
2
 
 
𝑥1 =
(−1 + 2,24)
2
= 0,62 
 
𝑥2 =
−1 − 2,24
2
= −1,62 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 
 
05. Resposta: B 
Hoje: 
J = IR + 8 ( I ) 
J . IR = 153 ( II ) 
Substituir ( I ) em ( II ): 
(IR + 8). IR = 153 
IR² + 8.IR – 153 = 0 (Equação do 2º Grau) 
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
𝛥 = 82 − 4.1. (−153) 
𝛥 = 64 + 612 
𝛥 = 676 
 
𝑥 =
−𝑏±√𝛥
2𝑎
 
 
𝑥 =
−8±√676
2.1
= 
−8±26
2
 
 
𝑥1 = 
−8+26
2
=
18
2
= 9 
 
𝑥2 = 
−8−26
2
=
−34
2
= −17 (Não Convém) 
 
Portanto, hoje, as idades são 9 anos e 17 anos. 
Daqui a 10 anos, serão 19 anos e 27 anos, cuja soma será 19 + 27 = 46 anos. 
 
06. Resposta: B 
Lembrando que a fórmula pode ser escrita como: x²-Sx+P, temos que P(produto)=6 e se uma das 
raízes é 6, a outra é 1. 
Então a soma é 6+1=7 
S=m=7 
 
07. Resposta: C 
O discriminante é calculado por ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Antes, precisamos calcular a, b e c. 
* Soma das raízes = – b / a 
 – b / a = 6 + (– 10) 
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98 
 
– b / a = – 4 . (– 1) 
b = 4 . a 
Como foi dado que a + b = 5, temos que: a + 4.a = 5. Assim: 
5.a = 5 e a = 1 
* b = 4 . 1 = 4 
Falta calcular o valor de c: 
* Produto das raízes = c / a 
c / 1 = 6 . (– 10) 
c = – 60 
Por fim, vamos calcular o discriminante: 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆ = 42 − 4.1. (−60) = 16 + 240 = 256 
 
08. Resposta: B 
Chamando de (c o número de cadernos em cada pilha, e de ( p ) o número de pilhas, temos: 
c = 2.p (I) 
p.c = 98 (II) 
Substituindo a equação (I) na equação (II), temos: 
p.2p = 98 
2.p² = 98 
p² = 98 / 2 
p = √49 
p = 7 pilhas 
Assim, temos 2.7 = 14 cadernos por pilha. 
 
09. Resposta: D 
Primeiro temos que resolver a equação: 
a = 1, b = - 27 e c = 182 
∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (-27)2 – 4.1.182 
∆ = 729 – 728 
∆ = 1 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 = 
−(−27)±√1
2.1= 
27±1
2
 → x1 = 14 ou x2 = 13 
 
O mmc entre x1 e x2 é o produto x1.x2 
 
1
𝑥2
−
1
𝑥1
=
𝑥1 − 𝑥2
𝑥2. 𝑥1
=
14 − 13
14.13
=
1
182
 
 
10. Resposta: C 
Vamos usar as fórmulas da soma e do produto: S = 
−𝑏
𝑎
 e P = 
𝑐
𝑎
. 
(k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0; a = k – 2, b = - 3k e c = 1 
S = P 
−𝑏
𝑎
=
𝑐
𝑎
 → - b = c → -(-3k) = 1 → 3k = 1 → k = 1/3 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
Observe o raciocínio: João e José são colegas. Ao passarem por uma livraria, João resolveu comprar 
2 cadernos e 3 livros e pagou por eles R$ 15,40, no total dos produtos. José gastou R$ 9,20 na compra 
de 2 livros e 1 caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa. 
No dia seguinte, encontram um outro colega e falaram sobre suas compras, porém não se lembrava 
do preço unitário dos livros. Sabiam, apenas que todos os livros, como todos os cadernos, tinham o 
mesmo preço. 
Bom, diante deste problema, será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro ou caderno 
com as informações que temos? 
 
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99 
 
Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y, pode ser definido como um 
conjunto formado por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação do primeiro grau é aquela 
que em todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. 
 
Exemplos de sistemas: 
 
 
{ Observe este símbolo. A matemática convencionou neste caso para indicar que duas ou mais 
equações formam um sistema. 
 
Resolução de Sistemas 
Resolver um sistema significa encontrar um par de valores das incógnitas x e y que faça verdadeira 
as equações que fazem parte do sistema. 
 
Exemplos: 
a) O par (4,3) pode ser a solução do sistema 
{
x – y = 2
x + y = 6
 
 
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações: 
{
x – y = 2
x + y = 6
 
 
x - y = 2 ; x + y = 6 
4 – 3 = 1 ; 4 + 3 = 7 
1 ≠ 2 (falso) 7 ≠ 6 (falso) 
A resposta então é falsa. O par (4,3) não é a solução do sistema de equações acima. 
 
b) O par (5,3) pode ser a solução do sistema 
{
x – y = 2
x + y = 8
 
 
x – y = 2 
x + y = 8 
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações: 
x – y = 2 ; x + y = 8 
5 – 3 = 2 ; 5 + 3 = 8 
2 = 2 (verdadeiro) 8 = 8 (verdadeiro) 
A resposta então é verdadeira. O par (5, 3) é a solução do sistema de equações acima. 
 
Métodos para solução de sistemas do 1º grau 
 
Método de Substituição 
Este método de resolução para os sistemas de equações de 1º grau estabelece que “extrair” o valor 
de uma incógnita é substituir esse valor na outra equação. 
Observe: 
{
x – y = 2
x + y = 4
 
Vamos escolher uma das equações para “extrair” o valor de uma das incógnitas, ou seja, estabelecer 
o valor de acordo com a outra incógnita, desta forma: 
x – y = 2 
x = 2 + y 
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100 
 
Agora iremos substituir o “x” encontrado acima, na “x” da segunda equação do sistema: 
x + y = 4 
(2 + y) + y = 4 
2 + 2y = 4 
2y = 4 – 2 
2y = 2 
y = 1 
Temos que: x = 2 + y, então 
x = 2 + 1 
x = 3 
Assim, o par (3, 1) torna-se a solução verdadeira do sistema. 
 
Método da Adição 
Este método de resolução de sistema do 1º grau consiste apenas em somas os termos das equações 
fornecidas. 
Observe: 
{
x – y = −2
3x + y = 5
 
Neste caso de resolução, somam-se as equações dadas: 
 x - y = -2 
3x + y = 5 + 
4x = 3 
x = 3/4 
 
Veja nos cálculos que quando somamos as duas equações o termo “y” se anula. Isto tem que ocorrer 
para que possamos achar o valor de “x”. 
Agora, e quando ocorrer de somarmos as equações e os valores de “x” ou “y” não se anularem para 
ficar somente uma incógnita? 
Neste caso, é possível usar uma técnica de cálculo de multiplicação pelo valor excludente negativo. 
Ex.: 
{
3x + 2y = 4
2x + 3y = 1
 
Ao somarmos os termos acima, temos: 
5x + 5y = 5, então para anularmos o “x” e encontramos o valor de “y”, fazemos o seguinte: 
» multiplica-se a 1ª equação por + 2 
» multiplica-se a 2ª equação por - 3 
 
Vamos calcular então: 
3x + 2y = 4 (x +2) 
2x + 3y = 1 (x -3) 
6x +4y = 8 
-6x - 9y = -3 + 
-5y = 5 
y = -1 
 
Substituindo: 
2x + 3y = 1 
2x + 3.(-1) = 1 
2x = 1 + 3 
x = 2 
 
Verificando: 
3x + 2y = 4 → 3.(2) + 2(-1) = 4 → 6 – 2 = 4 
2x + 3y = 1 → 2.(2) + 3(-1) = 1 → 4 – 3 = 1 
 
Gráfico de um sistema do 1º grau 
 
Dispondo de dois pontos, podemos representa-los graficamente em um plano cartesiano. A figura 
formada por esses pontos é uma reta. 
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101 
 
Exemplo: Dado x + y = 4, vamos traçar o gráfico desta equação. Vamos atribuir valores a x e a y para 
acharmos os pontos no gráfico. 
 
 
Unindo os pontos formamos uma reta, que contém todos os pontos da equação. A essa reta damos o 
nome de reta suporte. 
 
 
Mas, e aí, será que agora conseguiremos resolver aquele problema lá do início? 
 
João e José são colegas. Ao passarem por uma livraria, João resolveu comprar 2 cadernos e 3 livros 
e pagou por eles R$ 15,40, no total dos produtos. José gastou R$ 9,20 na compra de 2 livros e 1 caderno 
Vamos chamar de x o preço do caderno e de y o preço do livro. 
Assim temos 2x + 3y = 15,40 e 2x + 1y = 9,20. 
{
2x + 3y = 15,40 
2x + 1y = 9,20
 
Vamos resolver pelo método da substituição. 
Iremos isola y na segunda equação, ficando então com: 
y = 9,20 – 2x 
Agora vamos substituir na primeira equação: 
2x + 3y = 15,40 
2x + 3(9,20 - 2x) = 15,40 
2x + 27,60 - 6x = 15,40 
2x - 6x = 15,40 - 27,60 
- 4x = - 12,20 (-1) 
4x = 12,20 
x = 
12,20
4
 
x = 3,05 
 
Temos 
y = 9,20 – 2x 
y = 9,20 – 2.3,05 
y = 9,20 – 6,10 
y = 3,10 
 
Assim cada caderno custa R$3,05 e cada livro custa R$3,10. 
 
 
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102 
 
Questões 
 
01. (SABESP - Aprendiz - FCC) Em uma gincana entre as três equipes de uma escola (amarela, 
vermelha e branca), foram arrecadados 1 040 quilogramas de alimentos. A equipe amarela arrecadou 50 
quilogramas a mais que a equipe vermelha e esta arrecadou 30 quilogramas a menos que a equipe 
branca. A quantidade de alimentos arrecadada pela equipe vencedora foi, em quilogramas, igual a 
(A) 310 
(B) 320 
(C) 330 
(D) 350 
(E) 370 
 
02. (PM/SE - Soldado - FUNCAB) Os cidadãos que aderem voluntariamente à Campanha Nacional 
de Desarmamento recebem valores de indenização entre R$150,00 e R$450,00 de acordo com o tipo e 
calibre do armamento. Em uma determinada semana, a campanha arrecadou 30 armas e pagou 
indenizações somente de R$150,00 e R$450,00, num total de R$7.500,00. 
Determine o total de indenizações pagas no valor de R$150,00. 
(A) 20 
(B) 25 
(C) 22 
(D) 24 
(E) 18 
 
03. (Pref. Lagoa da Confusão/TO - Orientador Social - IDECAN) A razão entre a idade de Cláudio 
e seu irmão Otávio é 3, e a soma de suas idades é 28. Então, a idade de Marcos que é igual a diferença 
entre a idade de Cláudio e a idade de Otávio é 
(A) 12. 
(B) 13. 
(C) 14. 
(D) 15. 
(E) 16. 
 
04. (Pref. de Nepomuceno/MG - Porteiro - CONSULPLAN) Numa adega encontram-se armazenadas 
garrafas de vinho seco e suave num total de 300 garrafas, sendo que o número de garrafas de vinho seco 
excede em 3 unidades o dobro do número de garrafas de vinho suave. Assim, a porcentagem de garrafas 
de vinho seco dessa adega é igual a 
(A) 60%. 
(B) 63%. 
(C) 65%. 
(D) 67%. 
(E) 70%. 
 
05. (PETROBRAS - Técnico de Administração e Controle Júnior - CESGRANRIO) Maria vende 
salgados e doces. Cada salgado custa R$2,00, e cada doce, R$1,50. Ontem ela faturou R$95,00 
vendendo doces e salgados, em um total de 55 unidades. 
Quantos doces Maria vendeu? 
(A) 20 
(B) 25 
(C) 30 
(D) 35 
(E) 40 
 
06. (TRT 6ª Região - Analista Judiciário - FCC) Para fazer um trabalho, um professor vai dividir os 
seus 86 alunos em 15 grupos, alguns formados por cinco, outros formados por seis alunos. Dessaforma, 
sendo C o número de grupos formados por cinco e S o número de grupos formados por seis alunos, o 
produto C⋅S será igual a 
(A) 56. 
(B) 54. 
(C) 50. 
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103 
 
(D) 44. 
(E) 36. 
 
07. (Banco do Brasil - Escriturário - FCC) Dos 56 funcionários de uma agência bancária, alguns 
decidiram contribuir com uma lista beneficente. Contribuíram 2 a cada 3 mulheres, e 1 a cada 4 homens, 
totalizando 24 pessoas. 
 A razão do número de funcionárias mulheres para o número de funcionários homens dessa agência 
é de 
(A) 3 para 4. 
(B) 2 para 3. 
(C) 1 para 2. 
(D) 3 para 2. 
(E) 4 para 5. 
 
08. (SABESP - Analista de Gestão - FCC) Em um campeonato de futebol, as equipes recebem, em 
cada jogo, três pontos por vitória, um ponto em caso de empate e nenhum ponto se forem derrotadas. 
Após disputar 30 partidas, uma das equipes desse campeonato havia perdido apenas dois jogos e 
acumulado 58 pontos. O número de vitórias que essa equipe conquistou, nessas 30 partidas, é igual a 
(A) 12 
(B) 14 
(C) 16 
(D) 13 
(E) 15 
 
09. (TJ/SP - Escrevente Técnico Judiciário - VUNESP) Uma empresa comprou um determinado 
número de folhas de papel sulfite, embaladas em pacotes de mesma quantidade para facilitar a sua 
distribuição entre os diversos setores. 
Todo o material deverá ser entregue pelo fornecedor acondicionado em caixas, sem que haja sobras. 
Se o fornecedor colocar 25 pacotes por caixa, usará 16 caixas a mais do que se colocar 30 pacotes por 
caixa. O número total de pacotes comprados, nessa encomenda, foi 
(A) 2200. 
(B) 2000. 
(C) 1800. 
(D )2400. 
(E) 2500. 
 
10. (SEAP - Agente de Escolta e Vigilância Penitenciária - VUNESP) A razão entre o número de 
litros de óleo de milho e o número de litros de óleo de soja vendidos por uma mercearia, nessa ordem, foi 
de 5/7. Se o número total de litros de óleo vendidos (soja + milho) foi 288, então o número de litros de 
óleo de soja vendidos foi 
(A) 170. 
(B) 176. 
(C) 174. 
(D) 168. 
(E) 172. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
Vamos chamar as cores de letras, usaremos x, y, z. 
Amarela: x 
Vermelha: y 
Branca: z 
x = y + 50 
y = z - 30 
z = y + 30 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1040
𝑥 = 𝑦 + 50
𝑧 = 𝑦 + 30
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
104 
 
Substituindo a II e a III equação na I: 
 𝑦 + 50 + 𝑦 + 𝑦 + 30 = 1040 
 3𝑦 = 1040 − 80 
y = 320 
Substituindo na equação II 
x = 320 + 50 = 370 
z=320+30=350 
A equipe que mais arrecadou foi a amarela com 370kg 
 
02. Resposta: A 
Armas de R$150,00: x 
Armas de R$450,00: y 
 {
150𝑥 + 450𝑦 = 7500
𝑥 + 𝑦 = 30
 
x = 30 – y 
Substituindo na 1ª equação: 
 150(30 − 𝑦) + 450𝑦 = 7500 
 4500 − 150𝑦 + 450𝑦 = 7500 
 300𝑦 = 3000 
 𝑦 = 10 
 𝑥 = 30 − 10 = 20 
O total de indenizações foi de 20. 
 
03. Resposta: C 
Cláudio :x 
Otávio: y 
 
𝑥
𝑦
= 3 
 {
𝑥 = 3𝑦
𝑥 + 𝑦 = 28
 
 𝑥 + 𝑦 = 28 
3y + y = 28 
4y = 28 
y = 7 x = 21 
Marcos: x – y = 21 – 7 = 14 
 
04. Resposta: D. 
Vinho seco: x 
Vinho suave: y 
 {
𝑥 + 𝑦 = 300 (𝐼)
𝑥 = 2𝑦 + 3 (𝐼𝐼)
 
Substituindo II em I 
2y + 3 + y = 300 
3y = 297 
y = 99 
x = 201 
300------100% 
201-----x 
x = 67% 
 
05. Resposta: C 
Doces: x 
Salgados: y 
{
𝑥 + 𝑦 = 55 
1,5𝑥 + 2𝑦 = 95
 
Resolvendo pelo método da adição, vamos multiplicar todos os termos da 1ª equação por -1,5: 
{
−1,5𝑥 − 1,5𝑦 = −82,5
1,5𝑥 + 2𝑦 = 95
 
 
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105 
 
Assim temos: 
0,5𝑦 = 12,5 
𝑦 = 25 ∴ 𝑥 = 30 
 Ela vendeu 30 doces 
 
06. Resposta: D 
{
5𝐶 + 6𝑆 = 86
𝐶 + 𝑆 = 15
 
C = 15 – S 
Substituindo na primeira equação: 
5(15 – S) + 6S = 86 
75 – 5S + 6S = 86 
S = 11 
C = 15 – 11 = 4 
 𝐶 ∙ 𝑆 = 4 ∙ 11 = 44 
 
07. Resposta: A 
Mulheres: x 
Homens: y 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 56 (. −
2
3
)
2
3
𝑥 +
1
4
𝑦 = 24
 
 
{
−
2
3
𝑥 −
2
3
𝑦 = −
112
3
2
3
𝑥 +
1
4
𝑦 = 24
 
Somando as duas equações: 
 
−
2
3
𝑦 +
1
4
𝑦 = −
112
3
+ 24 
 
mmc(3,4) = 12 
 
−8𝑦 + 3𝑦 = −448 + 288 
-5y = - 160 
y = 32 
x = 24 
razão de mulheres pra homens: 
24
32
=
3
4
 
 
08. Resposta: E 
Vitórias: x 
Empate: y 
Derrotas: 2 
Pelo método da adição temos: 
 {
𝑥 + 𝑦 + 2 = 30. (−1)
3𝑥 + 𝑦 = 58
 
 {
−𝑥 − 𝑦 = −28
3𝑥 + 𝑦 = 58
 
 
2x = 30 
x = 15 
 
 
 
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106 
 
09. Resposta: D 
Total de pacotes: x 
Caixas: y 
 
𝑥
25
= 𝑦 + 16 
 
25𝑦 + 400 = 𝑥 
𝑥
30
= 𝑦 
𝑥 = 30𝑦 
 
{
25𝑦 − 𝑥 = −400
𝑥 = 30𝑦
 
Substituindo: 
25𝑦 − 30𝑦 = −400 
−5𝑦 = −400 
𝑦 = 80 
𝑥 = 30 ∙ 80 = 2400 
 
10. Resposta: D 
Óleo de milho: M 
Óleo de soja: S 
 
𝑀
𝑆
=
5
7
 7𝑀 = 5𝑆 
{
𝑀 + 𝑆 = 288 . (−7)
7𝑀 − 5𝑆 = 0
 
 
{
−7𝑀 − 7𝑆 = −2016 
7𝑀 − 5𝑆 = 0
 
 
−12𝑆 = −2016 
𝑆 = 168 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
 
Precisamos antes de resolvermos, interpretarmos minuciosamente cada questão e depois equacioná-
las de forma a transcrever o texto em linguagem matemática. 
Utilizamos o mesmo princípio da resolução dos sistemas de 1º grau, por adição, substituições, etc., 
porém devemos ficar atentos para o fato de ter que resolver uma equação do 2° grau. 
Uma sequência prática para acharmos sua solução é: 
- Estabelecer o sistema de equações que traduzam o problema para a linguagem matemática; 
- Resolver o sistema de equações; 
- Interpretar as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema. 
 
Exemplo 
Com uma corda de 10 m de comprimento, Pedro deseja cercar uma área retangular de 4 m². Quais as 
medidas dos lados desse retângulo? 
 
 
 
Temos: 
Comprimento: x 
Largura: y 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
107 
 
Deduzimos acima que seu perímetro é 10, assim: 
x + y + x + y = 10 
ou 2x + 2y = 10, dividindo tudo por 2 
x + y = 5 
E sua área é 4, como a área do retângulo é dada por largura x comprimento, temos: 
x.y = 4 
 
Montando o sistema temos: 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 5
𝑥. 𝑦 = 4
 → (isolando x na 1ª equação) x = 5 – y, → (substituindo na 2ª equação) (5 – y) . y = 4 
 
Resolvendo: 
5y – y2 = 4 
- y2 + 5y – 4 = 0.(.-1) 
y2 – 5y + 4 =0 (Temos então uma equação do 2ª grau, vamos resolver pela fórmula de bháskara) 
 
a = 1 ; b= -5 e c= 4 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→ 𝑥 =
−(−5) ± √(−5)2 − 4.1. (4)
2.1
→ 𝑥 =
5 ± √25 − 16
2
 
 
𝑥 =
5 ± √9
2
 ∴ 𝑥′ =
5 − 3
2
=
2
2
= 1 𝑒 𝑥" =
5 + 3
2
=
8
2
= 4 
 
Logo: 
Se x = 1 → y = 5 - 1 → y = 4 
Se x = 4 → y = 5 - 4 → y = 1 
 
Observando temos os valores 1 e 4, tanto para x como para y. Então as medidas dos lados são 1 e 4, 
podendo x ou y assumirem os mesmos. 
Fazendo a conferência temos: 
x + y = 5 ∴ x.y = 4 
4 + 1 = 5 4.1 = 4 
5 = 5 4 = 4 
Os pares ordenados (1,4) ou (4,1) satisfazem o sistema de equações. 
 
Questões 
 
01. (Pref. de São Paulo/SP - Guarda Civil Metropolitano - MS Concursos) A soma entre dois 
números positivos é 37. Se o produto entre eles é 330, então o valor da diferença entre o maior e o menor 
número é: 
(A) 7. 
(B) 23. 
(C) 61. 
(D) 17. 
(E) 49. 
 
02. (Câm. de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade - FUMARC) Marque, dentre as 
alternativas abaixo, a que identifica os pontos comuns aos gráficos de y = x2 + 2x e y = x + 2. 
(A) (-2, 1) e (-1,3). 
(B) (-2, 0) e (-1,3). 
(C) (2,0) e (1,3). 
(D) (-2,0) e (1,3). 
 
03. (CPTM - Médico do trabalho - Makiyama) Sabe-se que o produto da idade de Miguel pela idade 
de Lucas é 500. Miguel é 5 anos mais velho que Lucas. Qual a soma das idades de Miguel e Lucas? 
(A) 40. 
(B) 55. 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
108 
 
(C) 65. 
(D) 50. 
(E) 45. 
 
04. O produto de dois números inteiros e positivos é 10. O maior é igual ao dobro do menor mais 1.O 
valor desse número é: 
(A) 3 e 5 
(B) 5 e 2 
(C) 8 e 2 
(D) 2 e 3 
(E) 1 e 5 
 
05. (TJ/RS - Técnico Judiciário - FAURGS) Se a soma de dois números é igual a 10 e o seuproduto 
é igual a 20, a soma de seus quadrados é igual a: 
(A) 30 
(B) 40 
(C) 50 
(D) 60 
(E) 80 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Como não sabemos quem são esses números, iremos atribuir letras a eles, um será x e o outro será 
x. 
Teremos o seguinte sistema: 
{
x + y = 37 (I)
x. y = 330 (II)
 
Vamos resolver pelo método da substituição: 
Isolando y na equação (I) temos x + y = 37 → y = 37 – x, substituindo na equação (II): 
x.(37 – x) = 330 (propriedade distributiva) 
37x – x2 = 330 
37x – x2 – 330 = 0 (multiplicando tudo por -1) 
x2 – 37x + 330 = 0 (vamos resolver pela fórmula de Bháskara) 
a = 1; b = - 37 e c = 330 
∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (- 37)2 – 4.1.330 
∆ = 1369 – 1320 
∆ = 49 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2.𝑎
 
𝑥 =
−(−37)±√49
2.1
 = 
37±7
2
 
 
𝑥 =
37+7
2
=
44
2
= 22 ou 𝑥 =
37−7
2
=
30
2
= 15 
 
Se x = 22 → y = 37 – 22 = 15 
Se x = 15 → y = 37 – 15 = 22 
Logo, os números serão 22 e 15, e a diferença entre eles será: 
22 – 15 = 7. 
 
02. Resposta: D 
Do enunciado y = x2 + 2x e y = x + 2, então vamos substituir y por x + 2 na equação y = x2 + 2x: 
x2 + 2x = x + 2 
x2 + 2x – x – 2 = 0 
x2 + x – 2 = 0 (resolvendo pela fórmula de Bháskara) 
a = 1, b = 1 e c = - 2 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
109 
 
∆= 12 − 4.1. (−2) 
∆ = 1 + 8 = 9 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
 
𝑥 =
−1±√9
2.1
 
 
𝑥 =
−1±3
2
 
 
𝑥 =
−1+3
2
= 1 ou 𝑥 =
−1−3
2
= −2 
Se x = 1 → y = 1 + 2 = 3 (1, 3) 
Se x = - 2 → y = - 2 + 2 = 0 (-2, 0) 
 
03. Resposta: E 
Vamos substituir as idades de Miguel e Lucas pelas letras M e L, assim teremos o seguinte sistema: 
{
𝑀. 𝐿 = 500 (𝐼)
𝑀 = 𝐿 + 5 (𝐼𝐼)
 
 
Como M já está isolado em (II), vamos substituir em (I) 
substituindo II em I, temos: 
(L + 5).L = 500 
L2 + 5L – 500 = 0 (Vamos resolver pela fórmula de Bháskara) 
a = 1, b = 5 e c = - 500 
 
∆ = b2 – 4ac 
∆ = 52 – 4.1.(- 500) 
∆ = 25 + 2000 
∆ = 2025 
 
𝐿 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
 
𝐿 =
−5±√2025
2.1
=
−5±45
2
 
𝐿 =
−5+45
2
=
40
2
= 20 ou 𝐿 =
−5−45
2
=
−50
2
= −25 esta não convém pois L (idade) tem que ser positivo. 
Então L = 20 → M.20 = 500 → M = 500 : 20 = 25 
M + L = 25 + 20 = 45. 
 
04. Resposta: B 
Pelo enunciado temos o seguinte sistema: 
{
𝑥. 𝑦 = 10
𝑥 = 2𝑦 + 1
 
(2y + 1).y = 10 
2y2 + y - 10 = 0 (Resolvendo pela fórmula de Bháskara) 
a= 2 ; b = 1 e c = -10 
 
𝑦 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→ 𝑦 =
−1 ± √(1)2 − 4.2. (−10)
2.2
→ 𝑦 = 
−1 ± √1 + 80
4
 
 
𝑦 =
−1 ± 9
4
 ∴ 𝑦1 =
−1 − 9
4
=
−10
4
= −2,5 𝑒 𝑦2 =
−1 + 9
4
=
8
4
= 2 
 
Como são números positivos então descartamos o valor de y1 
Substituindo: 
Se y = 2, temos x = 2 . 2 + 1 → x = 5 
Os números são 5 e 2. 
 
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110 
 
05. Resposta: D. 
De acordo com o enunciado, vamos montar o sistema: 
{
𝑥 + 𝑦 = 10
𝑥. 𝑦 = 20
 
Eu quero saber a soma de seus quadrados: x2 + y2 
Vamos elevar o x + y ao quadrado: 
(x + y)2 = (10)2 
x2 + 2xy + y2 = 100 
Como x . y=20 substituímos o valor: 
x2 + 2.20 + y2 = 100 
x2 + 40 + y2 = 100 
x2 + y2 = 100 – 40 
x2 + y2 = 60 
 
Questão 
 
01. Dado o conjunto A= {0, 1, 2, 3, 4}, e seja a função f: A→ R, da função f(x) = 2x + 3. O conjunto 
imagem desta função será? 
(A) Im = {3, 5, 7, 9, 11} 
(B) Im = {0, 1, 2, 3, 4} 
(C) Im = {0, 5, 7, 9, 11} 
(D) Im = {5, 7, 9,11} 
(E) Im = {3, 4, 5, 6, 7} 
 
Comentário 
 
01. Resposta: A 
Basta substituirmos o x da função f(x) = 2x + 3 pelos elementos de A. 
Então: 
f(0) = 2.0 + 3 = 0 + 3 = 3 
f(1) = 2.1 + 3 = 2 + 3 = 5 
f(2) = 2.2 + 3 = 4 + 3 = 7 
f(3) = 2.3 + 3 = 6 + 3 = 9 
f(4) = 2.4 + 3 = 8 + 3 = 11 
Assim Im = {3, 5, 7, 9, 11} 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 
Função do 1º grau ou função afim ou polinomial do 1º grau recebe ou é conhecida por um desses 
nomes, sendo por definição11: Toda função f: R → R, definida por: 
 
Com a ϵ R* e b ϵ R. 
 
O domínio e o contradomínio é o conjunto dos números reais (R) e o conjunto imagem coincide com o 
contradomínio, Im = R. 
Quando b = 0, chamamos de função linear. 
 
Gráfico de uma Função 
 
Dada a função y = 2x + 3 (a = 2 > 0). Vamos montar o gráfico dessa função. 
Para montarmos o gráfico vamos atribuir valores a x para acharmos y. 
 
 
11BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna 
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:1996 
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111 
 
x y (x,y) 
0 y = 2 .0 + 3 = 3 (0,3) 
-2 y = 2 . (-2) + 3 = - 4 + 3 = -1 (-2,-1) 
-1 y = 2 .(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 (-1,1) 
 
 Construção do gráfico no plano cartesiano: 
 
 
Observe que a reta de uma função afim é sempre 
uma reta. 
E como a > 0 ela é função crescente, que 
veremos mais à frente 
 
 
Vejamos outro exemplo: f(x) = –x + 1. Montando o gráfico temos: 
 
 
Observe que a < 0, logo é uma função decrescente 
 
Tipos de Função 
 
Função constante: é toda função definida f: R → R, para cada elemento de x, temos a mesma 
imagem, ou seja, o mesmo f(x) = y. Podemos dizer que y = f(x) = k. 
 
Observe os gráficos abaixo da função constante 
 
 
 
A representação gráfica de uma função do constante, é uma reta paralela ao eixo das abscissas ou 
sobre o eixo (igual ao eixo das abscissas). 
 
Função Identidade 
Se a = 1 e b = 0, então y = x. Quando temos este caso chamamos a função de identidade, notamos 
que os valores de x e y são iguais, quando a reta corta os quadrantes ímpares e y = - x, quando corta 
os quadrantes pares. 
A reta que representa a função identidade é denominada de bissetriz dos quadrantes ímpares: 
 
 
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112 
 
E no caso abaixo a reta é a bissetriz dos quadrantes pares. 
 
 
 
Função Injetora 
Quando para n elementos distintos do domínio apresentam imagens também distintas no 
contradomínio. 
 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, uma reta horizontal, qualquer que seja 
interceptar o gráfico da função, uma única vez. 
 
 
Se traçarmos retas horizontais, paralelas ao eixo 
x, notaremos que o mesmo cortará a reta 
formada pela função em um único ponto (o que 
representa uma imagem distinta), logo 
concluímos que se trata de uma função injetora. 
 
Função Sobrejetora 
Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos um elemento do domínio. 
 
 
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113 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora quando, qualquer que seja a reta horizontal 
que interceptar o eixo no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o gráfico da função. 
 
 
Observe que todos os elementos do 
contradomínio tem um correspondente em x. 
Logo é sobrejetora. 
Im(f) = B 
 
 
Observe que nem todos os elementos do 
contradomínio tem um correspondente em x. 
Logo não é sobrejetora. 
Im(f) ≠ B 
 
Função Bijetora 
uma função é dita bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
 
 
Exemplo: 
A função f : [1; 3] → [3; 5], definida por f(x) = x + 2, é uma função bijetora. 
 
 
 
Função Ímpar e Função Par 
Dizemos que uma função é par quando para todo elemento x pertencente ao domínio temos 𝑓(𝑥) =
𝑓(−𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Ou seja os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. Par melhor 
compreensão observe o diagrama abaixo: 
 
 
 
A função é dita ímpar quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos f(-x) = -f(x) ∀ x є 
D(f). Ou seja os elementos simétricos do domínio terão imagens simétricas. Observe o diagrama abaixo: 
 
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114 
 
 
 
Função crescente e decrescente 
A função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a (coeficiente angular da reta), 
se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, a função é decrescente. A função é caracterizada por uma 
reta. 
 
 
Observeque medida que os valores de x 
aumentam, os valores de y ou f(x) também 
aumentam. 
 
 
Observe que medida que os valores de x 
aumentam, os valores de y ou f(x) diminuem. 
 
Através do gráfico da função notamos que: 
- Para função é crescente o ângulo formado entre a reta da função e o eixo x (horizontal) é agudo 
(< 90º) e 
- Para função decrescente o ângulo formado é obtuso (> 90º). 
 
Zero ou Raiz da Função 
Chama-se zero ou raiz da função y = ax + b, o valor de x que anula a função, isto é, o valor de x para 
que y ou f(x) seja igual à zero. 
 
 
 
Para achar o zero da função y = ax + b, basta igualarmos y ou f(x) a valor de zero, então assim teremos 
uma equação do 1º grau, ax + b = 0. 
 
Exemplo: 
Determinar o zero da função: 
f(x) = x + 3 
Igualamos f(x) = 0 → 0 = x + 3 → x = -3 
 
Graficamente temos: 
 
 
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115 
 
No plano cartesiano, o zero da função é representado pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo 
x. 
Observe que a reta f(x) = x+3 intercepta o eixo x no ponto (-3,0), ou seja, no ponto de abscissa -3, 
que é o zero da função. Observamos que como a > 0, temos que a função é crescente. 
Partindo equação ax + b = 0 podemos também escrever de forma simplificada uma outra maneira de 
acharmos a raiz da função utilizando apenas os valores de a e b. 
 
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 → 𝒂𝒙 = −𝒃 → 𝒙 =
−𝒃
𝒂
 
Podemos expressar a fórmula acima graficamente: 
 
 
 
Estudo do sinal da Função 
Estudar o sinal da função y = ax + b é determinar os valores reais de x para que: 
- A função se anule (y = 0); 
- A função seja positiva (y > 0); 
- A função seja negativa (y < 0). 
 
Vejamos abaixo o estudo do sinal: 
 
 
Exemplo: 
Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0). 
1) Qual o valor de x que anula a função? 
y = 0 
2x – 4 = 0 
2x = 4 
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116 
 
x =
2
4
 
x = 2 
A função se anula para x = 2. 
 
2) Quais valores de x tornam positiva a função? 
y > 0 
2x – 4 > 0 
2x > 4 
x >
2
4
 
x > 2 
A função é positiva para todo x real maior que 2. 
 
3) Quais valores de x tornam negativa a função? 
y < 0 
2x – 4 < 0 
2x < 4 
x <
2
4
 
x < 2 
A função é negativa para todo x real menor que 2. 
 
Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu gráfico: 
 
- Para x = 2 temos y = 0; 
- Para x > 2 temos y > 0; 
- Para x < 2 temos y < 0. 
 
 
 
Questões 
 
01. (MPE/SP - Geógrafo - VUNESP) O gráfico apresenta informações do lucro, em reais, sobre a 
venda de uma quantidade, em centenas, de um produto em um hipermercado. 
 
 
Sabendo-se que é constante a razão entre a variação do lucro e a variação da quantidade vendida e 
que se pretende ter um lucro total não menor que R$ 90.500,00 em 10 dias de venda desse produto, 
então a média diária de unidades que deverão ser vendidas, nesse período, deverá ser, no mínimo, de: 
 
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117 
 
(A) 8 900. 
(B) 8 950. 
(C) 9 000. 
(D) 9 050. 
(E) 9 150. 
 
02. (Pref. Jundiaí/SP - Eletricista - MAKIYAMA) Em determinado estacionamento cobra-se R$ 3,00 
por hora que o veículo permanece estacionado. Além disso, uma taxa fixa de R$ 2,50 é somada à tarifa 
final. Seja t o número de horas que um veículo permanece estacionado e T a tarifa final, assinale a seguir 
a equação que descreve, em reais, o valor de T: 
(A) T = 3t 
(B) T = 3t + 2,50 
(C) T = 3t + 2.50t 
(D) T = 3t + 7,50 
(E) T = 7,50t + 3 
 
03. (PM/SP - Sargento CFS - CETRO) Dada a função f(x) = −4x +15 , sabendo que f(x) = 35, então 
(A) x = 5. 
(B) x = 6. 
(C) x = -6. 
(D) x = -5. 
 
04. (BNDES - Técnico Administrativo - CESGRANRIO) O gráfico abaixo apresenta o consumo médio 
de oxigênio, em função do tempo, de um atleta de 70 kg ao praticar natação. 
 
 
Considere que o consumo médio de oxigênio seja diretamente proporcional à massa do atleta. 
Qual será, em litros, o consumo médio de oxigênio de um atleta de 80 kg, durante 10 minutos de prática 
de natação? 
(A) 50,0 
(B) 52,5 
(C) 55,0 
(D) 57,5 
(E) 60,0 
 
05. (PETROBRAS - Técnico Ambiental Júnior - CESGRANRIO) 
 
de domínio real, então, m − p é igual a 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 64 
(E) 7 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
118 
 
06. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) A função inversa de uma função f(x) do 1º 
grau passa pelos pontos (2, 5) e (3, 0). A raiz de f(x) é 
(A) 2. 
(B) 9. 
(C) 12. 
(D) 15. 
 
07. (BRDE/RS - Técnico Administrativo) Numa firma, o custo para produzir x unidades de um produto 
é C(x) = 
𝑥
2
 + 10000, e o faturamento obtido com a comercialização dessas x unidades é f(x) = 
2
3
 𝑥. Para 
que a firma não tenha prejuízo, o faturamento mínimo com a comercialização do produto deverá ser de: 
(A) R$ 20.000,00 
(B) R$ 33.000,00 
(C) R$ 35.000,00 
(D) R$ 38.000,00 
(E) R$ 40.000,00 
 
08. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) Qual dos pares de pontos a seguir 
pertencem a uma função do 1º grau decrescente? 
(A) Q(3, 3) e R(5, 5). 
(B) N(0, –2) e P(2, 0). 
(C) S(–1, 1) e T(1, –1). 
(D) L(–2, –3) e M(2, 3). 
 
09. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - CONSULPLAN) A reta que representa a função f(x) = ax + 
b intercepta o eixo y no ponto (0, 4) e passa pelo ponto (–1, 3). A raiz dessa função é 
(A) –4. 
(B) –2. 
(C) 1. 
(D) 2. 
 
10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT - Oficial Bombeiro Militar - UNEMAT) O planeta Terra já foi 
um planeta incandescente segundo estudos e está se resfriando com o passar dos anos, mas seu núcleo 
ainda está incandescente. 
Em certa região da terra onde se encontra uma mina de carvão mineral, foi constatado que, a cada 80 
metros da superfície, a temperatura no interior da Terra aumenta 2 graus Celsius. 
Se a temperatura ambiente na região da mina é de 23° Celsius, qual a temperatura no interior da mina 
num ponto a 1200 metros da superfície? 
(A) 15º C 
(B) 38º C 
(C) 53º C 
(D) 30º C 
(E) 61º C 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E 
Pelo enunciado temos que, a razão constante entre variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade 
(ΔQ) vendida: 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 𝑅 =
7000 − (−1000)
80 − 0
→ 𝑅 =
8000
80
→ 𝑅 = 100 
 
Como se pretende ter um lucro maior ou igual a R$ 90.500,00, logo o lucro final tem que ser pelo 
menos 90.500,00 
Então fazendo a variação do lucro para este valor temos: 
ΔL = 90500 – (-1000) = 90500 + 1000 = 91500 
Como é constante a razão entre a variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade (ΔQ) vendida, 
vamos usar o valor encontrado para acharmos a quantidade de peças que precisam ser produzidas: 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
119 
 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 100 =
91500
∆𝑄
→ 100∆𝑄 = 91500 → ∆𝑄 =
91500
100
→ ∆𝑄 = 915 
 
Como são em 10 dias, termos 915 x 10 = 9150 peças que deverão ser vendidas, em 10 dias, para que 
se obtenha como lucro pelo menos um lucro total não menor que R$ 90.500,00 
 
02. Resposta: B 
Equacionando as informações temos: 3 deve ser multiplicado por t, pois depende da quantidade de 
tempo, e acrescentado 2,50 fixo 
T = 3t + 2,50 
 
03. Resposta: D 
35 = - 4x + 15 → - 4x = 20 → x = - 5 
 
04. Resposta: E 
A proporção de oxigênio/tempo: 
 
10,5
2
=
21,0
4
=
𝑥
10
 
 
4x = 210 
x = 52,5 litros de oxigênio em 10 minutos para uma pessoa de 70 kg 
52,5litros----70kg 
x-------------80kg 
x = 60 litros 
 
05. Resposta: C 
Aplicando segundo as condições mencionadas: 
x = 1 
f(1) = 2.1 - p 
f(1) = m - 1 
x = 6 
f(6) = 6m - 1 
 𝑓(6) =
7.6+4
2
=
42+4
2
= 23 ; igualando as duas equações: 
23 = 6m - 1 
m = 4 
Como queremos m – p , temos: 
2 - p = m - 1 ; igualando as duas novamente. 
2 – p = 4 – 1 → p = - 1 → m – p = 4 - (- 1) = 5 
 
06. Resposta: D 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
* a: basta substituir os pontos T (2, 5) e V (3, 0) na equação. Assim: 
( T ) 5 = a.2 + b , ou seja, 2.a + b = 5 ( I ) 
( V) 0 = a.3 + b , ou seja, 3.a + b = 0 , que fica b = – 3.a ( II ) 
Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ), temos: 
2.a + (– 3.a) = 5 → 2.a – 3.a = 5 → – a = 5 . (– 1) → a = – 5 
Para calcular o valor de b, vamos substituir os valores de um dos pontos e o valor de a na equação. 
Vamos pegar o ponto V (3, 0) para facilitar os cálculos: 
y = a.x + b 
0 = – 5.3 + b 
b = 15 
Portanto, a função fica: y = – 5.x + 15 . 
Agora, precisamos calcular a função inversa: basta trocar x por y e vice-versa. Assim: 
x = – 5.y + 15 
5.y = – x +15 
y = – x / 5 + 15/5 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
120 
 
y = – x / 5 + 3 (função inversa) 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = – x / 5 + 3 → x / 5 = 3 → x = 3 . 5 → x = 15 
 
07. Resposta: E 
C(x) = 
𝑥
2
 + 10000 
F(x) = 
2
3
 𝑥 
F(x) ≥ C(x) 
 
2
3
 𝑥 ≥ 
𝑥
2
 + 10000 
 
2
3
 𝑥 −
𝑥
2
 ≥ 10000 → 
4𝑥−3𝑥
6
 ≥ 10000 → 
4𝑥−3𝑥
6
 ≥ 10000→ x = 
10000
1
6
 → x ≥ 60000, como ele quer o menor 
valor. 
 
Substituindo no faturamento as 60000 unidades temos: 
F(x) = 
2
3
 60000 = 40.000 
 
Portanto o resultado final é de R$ 40.000,00. 
 
08. Resposta: C 
Para pertencer a uma função polinomial do 1º grau decrescente, o primeiro ponto deve estar em uma 
posição “mais alta” do que o 2º ponto. 
Vamos analisar as alternativas: 
( A ) os pontos Q e R estão no 1º quadrante, mas Q está em uma posição mais baixa que o ponto R, 
e, assim, a função é crescente. 
( B ) o ponto N está no eixo y abaixo do zero, e o ponto P está no eixo x à direita do zero, mas N está 
em uma posição mais baixa que o ponto P, e, assim, a função é crescente. 
( D ) o ponto L está no 3º quadrante e o ponto M está no 1º quadrante, e L está em uma posição mais 
baixa do que o ponto M, sendo, assim, crescente. 
( C ) o ponto S está no 2º quadrante e o ponto T está no 4º quadrante, e S está em uma posição mais 
alta do que o ponto T, sendo, assim, decrescente. 
 
09. Resposta: A 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
* a: basta substituir os pontos T (0, 4) e V (–1, 3) na equação. Assim: 
( T ) 4 = a.0 + b , ou seja, b = 4 
( V ) 3 = a.( – 1) + b 
a = 4 – 3 = 1 
Portanto, a função fica: y = x + 4 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = x + 4 , ou seja, x = – 4 
 
10. Resposta: C 
Vamos utilizar a função T(h) = 23 + 2.h, onde T é a temperatura e h é a profundidade. Assim: 
A temperatura aumenta: 1200 / 80 = 15 partes 
Assim: 15 . 2 = 30º C 
Assim: 23º C + 30º C = 53º C 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
Chama-se função do 2º grau12, função quadrática, função polinomial do 2º grau ou função trinômio do 
2º grau, toda função f de R em R definida por um polinômio do 2º grau da forma: 
 
 
12BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna 
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:1996 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
121 
 
 
Com a, b e c reais e a ≠ 0. 
 
Onde: 
a é o coeficiente de x2; 
b é o coeficiente de x; 
c é o termo independente. 
 
Exemplos 
y = x2 – 5x + 6, sendo a = 1, b = – 5 e c = 6 
y = x2 – 16, sendo a = 1, b = 0 e c = – 16 
f(x) = x2, sendo a = 1, b = 0 e c = 0 
f(x) = 3x2 + 3x, sendo a = 3 , b = 3 e c = 0 
 
Representação Gráfica da Função 
O gráfico da função é constituído de uma curva aberta chamada de parábola. 
Vejamos a trajetória de um projétil lançado obliquamente em relação ao solo horizontal, ela é uma 
parábola cuja concavidade está voltada para baixo. 
 
 
 
Exemplo 
Se a função f de R em R definida pela equação y = x2 + x. Atribuindo à variável x qualquer valor real, 
obteremos em correspondência os valores de y, vamos construir o gráfico da função: 
 
 
1) Como o valor de a > 0 a concavidade está voltada para cima; 
2) -1 e 0 são as raízes de f(x); 
3) c é o valor onde a curva corta o eixo y, neste caso no 0 (zero); 
4) O valor do mínimo pode ser observado nas extremidades (vértice) de cada parábola: -1/2 e -1/4. 
 
Concavidade da Parábola 
No caso das funções definida por um polinômio do 2º grau, a parábola pode ter sua concavidade 
voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0). A concavidade é determinada pelo valor do a 
(maior que zero ou menor que zero). Esta é uma característica geral para a função definida por um 
polinômio do 2º grau. 
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122 
 
 
 
Vértice da Parábola 
Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou ponto de ordenada mínima, a esse ponto 
denominamos vértice. Dado por V (xv , yv). 
 
 
 
Eixo de Simetria 
É aquele que dado o domínio a imagem é a mesma. Isso faz com que possamos dizer que a parábola 
é simétrica a reta que passa por xv, paralela ao eixo y, na qual denominamos eixo de simetria. Vamos 
entender melhor o conceito analisando o exemplo: y = x2 + 2x – 3 (início do assunto). 
Atribuímos valores a x, achamos valores para y. Temos que: 
f (-3) = f (1) = 0 
f (-2) = f (0) = -3 
 
Conjunto Domínio e Imagem 
Toda função com Domínio nos Reais (R) que possui a > 0, sua concavidade está voltada para cima, e 
o seu conjunto imagem é dado por: 
 
Logo se a < 0, a concavidade estará voltada para baixo, o seu conjunto imagem é dado por: 
 
 
 
Coordenadas do Vértice da Parábola 
Como visto anteriormente a função apresenta como eixo de simetria uma reta vertical que intercepta 
o gráfico num ponto chamado de vértice. 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
123 
 
As coordenadas do vértice são dadas por: 
 
 
 
Onde: 
x1 e x2 são as raízes da função. 
 
 
Valor Máximo e Valor Mínimo 
- Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o vértice é chamado 
ponto de mínimo e a ordenada do vértice é chamada valor mínimo da função; 
- Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o vértice é ponto 
de máximo e a ordenada do vértice é chamada valor máximo da função. 
 
 
 
Exemplo 
Dado a função y = x2 – 2x – 3 vamos construir a tabela e o gráfico desta função, determinando também 
o valor máximo ou mínimo da mesma. 
 
 
Como a = 1 > 0, então a função possui um valor mínimo como pode ser observado pelo gráfico. O 
valor de mínimo ocorre para x = 1 e y = - 4. Logo o valor de mínimo é - 4 e a imagem da função é dada 
por: Im = { y ϵ R | y ≥ - 4}. 
 
 
 
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124 
 
Raízes ou Zeros da Função 
As raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0, 
ou seja são valores que deixam a função nula. Com isso aplicamos o método de resolução da equação 
do 2º grau. 
ax2 + bx + c = 0 
 
A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio da chamada “fórmula de Bháskara”. 
 
a
b
x
.2
−
= , onde, = b2 – 4.a.c 
 
As raízes (quando são reais), o vértice e a intersecção com o eixo y são fundamentais para traçarmos 
um esboço do gráfico de uma função do 2º grau. 
 
Forma fatorada das raízes: f (x) = a (x – x1) (x – x2). 
Esta fórmula é muito útil quando temos as raízes e precisamos montar a sentença matemática que 
expresse a função. 
 
Estudo da Variação do Sinal da Função 
Estudar o sinal de uma função quadrática é determinar os valores reais de x que tornam a função 
positiva, negativa ou nula. 
Abaixo podemos resumir todos os valores assumidos pela função dado a e Δ (delta). 
 
 
Observe que: 
 
Quando Δ > 0, o gráfico corta e tangencia o eixo x em dois pontos distintos, e temos duas raízes 
reais distintas. 
Quando Δ = 0, o gráfico corta e tangencia o eixo x em um ponto e temos duas raízes iguais. 
Quando Δ < 0, o gráfico não corta e não tangencia o eixo x em nenhum ponto e não temos raízes 
reais. 
 
Exemplos 
1) Considere a função quadrática representada pelo gráfico abaixo, vamos determinar a sentença 
matemática que a define. 
 
 
Resolução:Como conhecemos as raízes x1 e x2 (x1= - 4 e x2 = 0), podemos utilizar a forma fatorada: 
f (x) = a.[ x – (- 4)].[x – 0] ou f (x) = a(x + 4).x . 
O vértice da parábola é (- 2,4), temos: 
4 = a.(- 2 + 4).(- 2) → a = - 1 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
125 
 
Logo, f(x) = - 1.(x + 4).x → (- x - 4x).x → - x2 - 4x 
 
2) Vamos determinar o valor de k para que o gráfico cartesiano de f(x) = -x2 + (k + 4). x – 5 ,passe pelo 
ponto (2;3). 
Resolução: 
Como x = 2 e f(x) = y = 3, temos: 
3 = - (2)2 + (k + 4).2 - 5 → 3 = - 4 + 2k + 8 - 5 → 2k + 8 - 9 = 3 → 2 k - 1 = 3 → 2k = 3 + 1 → 2k = 4 → 
k = 2. 
 
Questões 
 
01. (CBM/MG – Oficial Bombeiro Militar – FUMARC) Duas cidades A e B estão separadas por uma 
distância d. Considere um ciclista que parte da cidade A em direção à cidade B. A distância d, em 
quilômetros, que o ciclista ainda precisa percorrer para chegar ao seu destino em função do tempo t, em 
horas, é dada pela função 𝑑(𝑡) =
100−𝑡2
𝑡+1
. Sendo assim, a velocidade média desenvolvida pelo ciclista em 
todo o percurso da cidade A até a cidade B é igual a 
(A) 10 Km/h 
(B) 20 Km/h 
(C) 90 Km/h 
(D) 100 Km/h 
 
02. (ESPCEX – Cadetes do Exército – Exército Brasileiro) Uma indústria produz mensalmente x 
lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x)=3x²-12x e o custo mensal 
da produção é dado por C(x)=5x²-40x-40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor 
resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve 
vender para obter lucro máximo é igual a 
(A) 4 lotes. 
(B) 5 lotes. 
(C) 6 lotes. 
(D) 7 lotes. 
(E) 8 lotes. 
 
03. (IPEM – Técnico em Metrologia e Qualidade – VUNESP) A figura ilustra um arco decorativo de 
parábola AB sobre a porta da entrada de um salão: 
 
 
Considere um sistema de coordenadas cartesianas com centro em O, de modo que o eixo vertical (y) 
passe pelo ponto mais alto do arco (V), e o horizontal (x) passe pelos dois pontos de apoio desse arco 
sobre a porta (A e B). 
Sabendo-se que a função quadrática que descreve esse arco é f(x) = – x²+ c, e que V = (0; 0,81), pode-
se afirmar que a distância 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , em metros, é igual a 
(A) 2,1. 
(B) 1,8. 
(C) 1,6. 
(D) 1,9. 
(E) 1,4. 
 
04. (Polícia Militar/MG – Soldado – Polícia Militar) A interseção entre os gráficos das funções y = - 
2x + 3 e y = x² + 5x – 6 se localiza: 
(A) no 1º e 2º quadrantes 
(B) no 1º quadrante 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
126 
 
(C) no 1º e 3º quadrantes 
(D) no 2º e 4º quadrantes 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Vamos calcular a distância total, fazendo t = 0: 
𝑑(0) =
100−02
0+1
= 100𝑘𝑚 
 
Agora, vamos substituir na função: 
0 =
100−𝑡2
𝑡+1
 
 
100 – t² = 0 
– t² = – 100 . (– 1) 
t² = 100 
𝑡 = √100 = 10𝑘𝑚/ℎ 
 
02. Resposta: D 
L(x) = 3x² - 12x-5x² + 40x + 40 
L(x) = - 2x² + 28x + 40 
 𝑥𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = −
𝑏
2𝑎
= −
28
−4
= 7 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑠 
 
03. Resposta: B 
C = 0,81, pois é exatamente a distância de V 
f(x) = - x² + 0,81 
0 = - x² + 0,81 
x² = 0,81 
x =  0,9 
A distância AB é 0,9 + 0,9 = 1,8 
 
04. Resposta: A 
- 2x + 3 = x² + 5x - 6 
x² + 7x - 9 = 0 
 = 49 + 36 = 85 
𝑥 =
−7 ± √85
2
 
𝑥1 =
−7 + 9,21
2
= 1,105 
𝑥2 =
−7 − 9,21
2
= −8,105 
Para x=1,105 
y = - 2 . 1,105 + 3 = 0,79 
Para x = - 8,105 
y = 19,21 
Então a interseção ocorre no 1º e no 2º quadrante. 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Definição 
 
A função exponencial é a definida como sendo a inversa da função logarítmica natural, isto é: 
 
Podemos concluir, que a função exponencial é definida por: 
 
 
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127 
 
Gráficos da Função Exponencial 
 
 
 
 Propriedades da Função Exponencial 
Se a, x e y são números reais quaisquer e k é um número racional, então: 
- ax . ay = ax + y 
- ax / ay = ax - y 
- (ax) y = ax.y 
- (a b)x = ax bx 
- (a / b)x = ax / bx 
- a-x = 1 / ax 
 
Estas relações também são válidas para exponenciais de base e (e = número de Euller = 2,718...) 
- y = ex se, e somente se, x = ln(y) 
- ln(ex) = x 
- ex+y= ex.ey 
- ex-y = ex/ey 
- ex.k = (ex)k 
 
Constante de Euler 
Existe uma importantíssima constante matemática definida por 
e = exp(1) 
O número e é um número irracional e positivo, de acordo com a definição da função exponencial, temos 
que: 
ln(e) = 1 
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, um dos primeiros 
a estudar as propriedades desse número. 
O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é: 
e = 2,718281828459045235360287471352662497757 
Porém ninguém é obrigado a decorar este número, sabendo com duas casas após a vírgula já é mais 
que suficiente, ou seja, devemos saber que e = 2,72 aproximadamente. 
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com 
expoente x, isto é: 
ex = exp(x) 
 
Construção do Gráfico de uma Função Exponencial 
Exemplo: 
Vamos construir o gráfico da função 𝑦 = 2𝑥 
Vamos atribuir valores a x, para que possamos traçar os pontos no gráfico. 
 
1621597 E-book gerado especialmente para LEANDRO ALVES DOS SANTOS
 
128 
 
X Y 
-3 1
8
 
-2 1
4
 
-1 1
2
 
0 1 
1 2 
2 4 
3 8 
 
 
 
Questões 
 
01. (UFOP – Assistente em Administração – UFOP/2018) Sobre a função f(x) = (1/3)-x, assinale a 
afirmativa correta. 
(A)f é crescente. 
(B) f não é injetora. 
(C) O domínio de f é o conjunto dos números reais negativos. 
(D) A imagem de f é o conjunto dos números reais. 
 
02. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST) As funções 
exponenciais são muito usadas para modelar o crescimento ou o decaimento populacional de uma 
determinada região em um determinado período de tempo. A função 𝑃(𝑡) = 234 . (1,023)𝑡 modela o 
comportamento de uma determinada cidade quanto ao seu crescimento populacional em um determinado 
período de tempo, em que P é a população em milhares de habitantes e t é o número de anos desde 
1980. 
 
Qual a taxa média de crescimento populacional anual dessa cidade? 
(A) 1,023% 
(B) 1,23% 
(C) 2,3% 
(D) 0,023% 
(E) 0,23% 
 
03. (Polícia Civil/SP – Desenhista Técnico-Pericial – VUNESP) Uma população P cresce em função 
do tempo t (em anos), segundo a sentença 𝑷 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 . 𝟓𝟎,𝟏 .𝒕. Hoje, no instante t = 0, a população é de 2 
000 indivíduos. A população será de 50 000 indivíduos daqui a 
(A) 20 anos. 
(B) 25 anos. 
(C) 50 anos. 
(D) 15 anos. 
(E) 10 anos. 
 
04. (IF/BA – Pedagogo – IF/BA) Em um período longo de seca, o valor médio de água presente em 
um reservatório pode ser estimado de acordo com a função: Q(t) = 4000 . 2 -0,5 . t, onde t é medido em 
meses e Q(t) em metros cúbicos. Para um valor de Q(t) = 500, pode-se dizer que o valor de t é: 
(A) 6 meses 
(B) 8 meses 
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129 
 
(C) 5 meses 
(D) 10 meses 
(E) 4 meses 
 
05. (CBTU - Assistente Operacional - FUMARC) Uma substância se decompõe segundo a lei Q(t) 
= K.2 – 0,5 t, sendo K uma constante, t é o tempo medido em minutos e Q(t) é a quantidade de 
substância medida em gramas no instante t. O gráfico a seguir representa os dados desse processo 
de decomposição. Baseando-se na lei e no gráfico de decomposição dessa substância, 
é CORRETO afirmar que o valor da constante K e o valor de a (indicado no gráfico) 
são, respectivamente, iguais a: 
 
 
(A) 2048 e 4 
(B) 1024 e 4 
(C) 2048 e 2 
(D) 1024 e 2 
(E) 1024 e 8 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A 
Como o expoente é um número negativo (- x), basta invertemos a fração para deixa-lo positivo, ou 
seja: 
(1\3)-x = (3\1)x = 3x, e está função é fácil identificar que será crescente, pois se aumentarmos o valor 
de x, aumentamos o valor de f(x). 
 
02. Resposta: C 
𝑃(𝑡) = 234 . (1,023)𝑡 
Primeiramente, vamos calcular a população inicial, fazendo t = 0: 
𝑃(0) = 234 . (1,023)0 = 234 . 1 = 234 mil 
Agora, vamos calcular a populaçãoapós 1 ano, fazendo t = 1: 
𝑃(1) = 234 . (1,023)1 = 234 . 1,023 = 239,382 
Por fim, vamos utilizar a Regra de Três Simples: 
População % 
 234 --------------- 100 
 239,382 ------------ x 
234.x = 239,382 . 100 
x = 23938,2 / 234 
x = 102,3% 
102,3% = 100% (população já existente) + 2,3% (crescimento) 
 
03. Resposta: A 
50000 = 2000 . 50,1 .𝑡 
50,1 .𝑡 = 
50000
2000
 
50,1 .𝑡 = 52 
Vamos simplificar as bases (5), sobrando somente os expoentes. Assim: 
0,1 . t = 2 
t = 2 / 0,1 
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130 
 
t = 20 anos 
 
04. Resposta: A 
500 = 4000 * 2-0.5t 
500/4000 = 2 -0.5t 
simplificando, 
1/8 = 2 -0.5t 
deixando o expoente positivo, invertemos a base: 
1/8 = 1/2 0.5t 
(½)3 = (½)0,5t 
0,5t = 3 
t = 3/0,5 = 6. 
 
05. Resposta: A 
Calcular o valor de K, ou seja, o valor inicial 
 Q(t) = K . 2-0,5t. Perceba que o K ocupa a posição referente à quantidade inicial, t=0. Q(t) = 2048 
Assim, temos para o ponto (0, 2048), temos tempo zero e quantidade final 2048. 
 
Calcular o valor de a, o seja, o tempo quando a quantidade final for 512. 
 Quantidade final = quantidade inicial x (crescimento)período 
512 = 2048 x (2)-0,5t 
512 = 2048 x (2)-0,5t 
 512/2048 = (2)-0,5t 
¼ = (2)-0,5t 
(1/2)2 = (1/2)0,5t 
0,5t = 2 
t = 2/0,5 = 4 
Assim temos 2048 e 4. 
 
FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
 
No círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta, considerando que o intervalo 
do círculo é [0, 2π], por exemplo, o arco dado pelo número real x = 5π/2, quando desmembrado temos: 
x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 = 2π + π/2. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º), mais 
um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número x = 5π/2 ao ponto P da 
figura, o qual é imagem também do número π/2. Existem outros infinitos números reais maiores que 2π 
e que possuem a mesma imagem. Observe: 
 
9π/2 = 2 voltas e 1/4 de volta 
13π/2 = 3 voltas e 1/4 de volta 
17π/2 = 4 voltas e 1/4 de volta 
 
Podemos generalizar e escrever todos os arcos com essa característica na seguinte forma: π/2 + 2kπ, 
onde k Є Z. E de uma forma geral abrangendo todos os arcos com mais de uma volta, x + 2kπ. 
Estes arcos são representados no plano cartesiano através de funções circulares como: função seno, 
função cosseno e função tangente. 
 
 
 
 
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Características da função seno 
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu seno, então f(x) = senx. O sinal da 
função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. 
Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico da função f(x) = senx 
 
 
 
Características da função cosseno 
É uma função f : R → R que associa a cada número real x o seu cosseno, então f(x) = cosx. O sinal 
da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º 
quadrantes. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gráfico da função f(x) = cosx 
 
 
 
Características da função tangente 
É uma função f : R → R que associa a cada número real x a sua tangente, então f(x) = tgx. 
Para os ângulos de 90º, 270º e depois correspondentes a estes fora da primeira volta, a tangente deles 
não existe!!! 
Sinais da função tangente: 
- Valores positivos nos quadrantes ímpares. 
- Valores negativos nos quadrantes pares. 
- Crescente em cada valor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico da função tangente 
 
 
 
Função trigonométrica inversa 
As funções trigonométricas não são invertíveis em todo o seu domínio. Mas, para cada uma delas, 
podemos restringir o domínio de forma conveniente e definir uma função inversa. 
 
 
 
 
 
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133 
 
- A função inversa do seno, denotada por arcsen, é definida como: 
 
 
- Gráfico do Domínio e Imagem do Arsec 
 
 
 
- A função inversa do cosseno, denotada por arccos, é definida como: 
 
 
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134 
 
- Gráfico do Domínio e Imagem do Arccos 
 
 
 
- A função inversa da tangente, denotada por arctan, é definida como: 
 
- Gráfico do Domínio e Imagem do Arctan 
 
 
Referências 
 brasilescola.com 
 uff.br/webmat 
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135 
 
Questões 
 
01. (IFB – Professor de Matemática – IFB/2017) As funções senoides por serem periódicas são muito 
utilizadas nos cálculos de movimentos de marés, movimentos de pêndulos, sinais de ondas sonoras e 
luminosas, etc. A função representa o movimento de maré de uma localidade 
na região norte do Brasil. Em relação à função dada, assinale as afirmações dadas a seguir 
como VERDADEIRAS com (V) ou FALSAS com (F). 
( ) É uma função periódica e seu período é 2π. 
( ) Sua imagem é o intervalo [−1,1]. 
( ) O domínio é o conjunto dos números reais. 
( ) É uma função periódica e seu período é π. 
( ) Se anula em infinitos valores para x. 
Assinale a alternativa que contém a sequência CORRETA de cima para baixo. 
(A) F, V, V, V, F 
(B) F, F, V, V, V 
(C) V, F, F, V, V 
(D) F, V, F, V, V 
(E) V, F, V, F, V 
 
02. (IF/SC – Professor de Matemática – IF/SC) Dada a função f (x) = sen x - cos x, quantos zeros 
tem a função no intervalo 
(A) nenhum 
(B) um 
(C) dois 
(D) três 
(E) quatro 
 
03. Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = arcsen 4x? 
(A) D = [-1/4, 1/4] e Im = [-pi /2, pi /2]. 
(B) D = [-1/2, 1/2] e Im = [-pi /4, pi /4]. 
(C) D = [-1/4, 1/4] e Im = [-pi /4, pi /4]. 
(D) D = [-1/2, 1/2] e Im = [-pi /6, pi /6]. 
 
04. Qual é o valor de y = tg(arcsen 2/3)? 
(A) (
√
3
5
3
) 
(B) (1/2) 
(C) (
√
1
2
5
) 
(D) 
2√5 
5
 
 
05. Qual é o valor da equação 2*sen(3x) + 1 = 0? 
(A) S = {x E R/x = π/3 + kπ/3 ou x = - π/3 + kπ/3, k E Z} 
(B) S = {x E R/x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = - π/18 + 2kπ/3, k E Z} 
(C) S = {x E R/x = 7π/8 + kπ/3 ou x = - π/8 + kπ/3, k E Z} 
(D) S = {x E R/x = 7π/18 + 2kπ/6 ou x = - π/18 + 2kπ/6, k E Z} 
 
06. Qual é o conjunto solução da equação sen (5x) + sen (2x) = 0? 
(A) x = π/ 6 + 2kπ/ 3, k E Z. 
(B) x = π/ 6 + kπ/ 3, k E Z. 
(C) x = π/ 3 + kπ/ 3, k E Z. 
(D) x = π/ 3 + 2kπ/ 3, k E Z. 
 
 
 
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136 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
O período de uma função y = a+b*sen(cx+d) é simplesmente 2pi/c, assim o período da função em 
específico é pi. Logo a primeira afirmativa é FALSA. 
A imagem da função pode ser encontrada considerando que toda função seno está entre -1 e 1. Veja: 
-1 ≤ sen(2x+pi/2) ≤ 1 
 
-3 ≤ 3sen(2x+pi/2) ≤ 3 
 
-2 ≤ 1+3sen(2x+pi/2) ≤ 4 
 
Assim, Im(f(x)) = [-2, 4]. Ou seja, a segunda afirmação também é FALSA. Analisando as afirmações 
só nos resta a alternativa B como resposta. 
 
02. Resposta: D. 
 
Observe que para a função dar zero, temos que ter senx = cosx, assim temos o ângulo de 45° e seus 
correspondentes no 2°, 3° e 4° quadrantes, mas precisamos ficar atentos a alguns fatos: 
- A função é no intervalo de 0 à 3pi, ou seja, uma volta e meia no círculo; 
- os sinais de seno e cosseno variam de acordo com o quadrante: 
1ºQ: senx = + e cosx = + 
2°Q: senx = + e cosx = - (não serve pois o seno e cosseno devem ser iguais) 
3ºQ: senx = - e cosx = - 
4°Q: senx = - e cosx = + (não serve, pois o seno e cosseno devem ser iguais) 
 
Então as soluções estão no 1° e 3° quadrantes, mas o intervalo é de uma volta e meia, assim passa 
pelo primeiro quadrante 2 vezes e 1 vez pelo terceiro quadrante, portanto possui 3 soluções. 
 
03. Resposta: A. 
 
Podemos escrever: 4x = seny. Daí, vem: 
Para x: -1 < 4x < 1, ou seja, -1/4 < x < 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4].Para y: Da definição 
vista acima, deveremos ter -pi /2 < y < pi /2. 
Resposta: D = [-1/4, 1/4] e Im = [-pi /2, pi /2]. 
 
04. Resposta: D. 
Seja w= arcsen 2/3. 
Podemos escrever senw = 2/3. Precisamos calcular o cosw. Vem: sen2w + cos2w = 1 (Relação 
Fundamental da Trigonometria). Substituindo o valor de senw vem: 
(2/3)2 + cos2w = 1 de onde conclui-se: cos2w = 1 – 4/9 = 5/9. 
Logo: 
cosw = ± √
5
9
=
√5 
3
. Mas como w = arcsen 2/3, sabemos que o arco w pode variar de –90º a +90º, 
intervalo no qual o coseno é positivo. Logo: cosw = +
√5 
3
. 
Temos então: y = tg(arcsen 2/3) = tgw = senw / cosw = 
2
3
√5 
3
=
6
3√5 
.
√5 
√5 
=
6√5 
3.5
=
2√5 
5
 
05. Resposta: B. 
Seja 2*sen(3x) + 1 = 0 
A solução é 3x = 7π/6 rad, pois sen 7π/6 = - 1/2. Assim, temos: sen 3x = sen 7π/6 
Então: 3x = 7π/6 + 2kπ ou 3x = - π/6 + 2kπ , k E R. 
 x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = - π/18 + 2kπ/3 
Concluímos que o conjunto solução é: 
S = {x E R/x = 7π/18 + 2kπ/3 ou x = - π/18 + 2kπ/3, k E Z} 
 
06. Resposta: D. 
Observe que é possível transformar o 1º membro em um produto; além disso, o 2º membro é zero. 
Assim sendo, lembrando que sen p + sen q = 2*sen p + q / 2* cos p - q / 2, temos: 
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137 
 
2*sen 5x + 2x /2*cos 5x - 2x /2 = 0 ➔ sen 7x / 2*cos3x /2 = 0 ➔ sen 7x/ 2 = 0 ou cos 3x /2 = 0 
Para sen 7x/ 2 = sen 0, temos: 7x/ 2 = kπ, k E Z. Portanto: 7x = 2kπ ➔ x = 2kπ / 7, k E Z 
Para cos 3x/ 2 = cos π/2, temos: 3x / 2 = π/ 2 + kπ, k E Z. 
Então: 3x = π + 2kπ ➔ x = π/ 3 + 2kπ/ 3, k E Z. 
O conjunto solução é: S = {x E R/ x = π/3 + 2kπ/ 3 ou x = 2kπ/ 7, k E Z} 
Obs.: esse mesmo problema poderia ser resolvido assim: 
sen (5x) + sen (2x) = 0 ➔ sen (5x) = - sen (2x) 
como: - sen (2x) = sen (- 2x) desse modo temos: 
5x = - 2x + 2kπ ou 5x = π - (-2x) + 2kπ, k E Z, daí obtemos: 
x = 2kπ/ 7 ou x = π/ 3 + 2kπ/ 3, k E Z 
 
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