ATIVIDADE ESTRUTURADA DE CÁLCULO 3

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FACULDADE ESTÁCIO SÃO LUIS
Jean Clauber dos Santos de Jesus
APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS.
SÃO LUIS
2018
Faculdade Estácio São Luis.
 São Luis, 06 de maio de 2018
Aluno: Jean Clauber dos Santos de Jesus. 
Curso: Engenharia Civil 5º período.
Turma: 1001 noturno.
Professor: Marlon Wolff.
Disciplina: Cálculo Diferencial integral 3
Decaimento radioativo
Resultados experimentais mostram que elementos radioativos desintegram a uma taxa proporcional á quantidade presente do elemento. Se Q=Q(t) é a quantidade presente de certo elemento radioativo no instante t,então a taxa de variação de Q(t) com respeito ao tempo t, denotado pó dQ/dt, é dada por:
dQ/dt= -kQ(t)
Onde k é uma constante que depende do elemento. Por exemplo,para o carbono-14 aproximado é k= 1,244x10-4 ,para o rádio o valor aproximado é k=1,4x10-11
O valor da constante k de um elemento radioativo pode ser determinado através do tempo de “meia vida” do elemento. A “meia vida” é o tempo necessário para desintegrar metade da quantidade do elemento. Portanto, se meia vida-vida do elemento for conhecida, a constate k pode ser obtida e vice-versa. As “meias-vidas” de vários elementos radioativos podem ser encontradas nos livros de química. Por exemplo, a meia vida do carbono-14 está entre 5538 e 5598 anos, sendo em média 5568 anos com um erro para mais ou para menos de 30 anos. O carbono-14 é uma importante ferramenta em pesquisa arqueológica conhecida como teste do radio carbono.
A quantidade inicial do elemento radioativo é Q/ (0) = Qₒ.
Exemplo 01: Um isótopo radioativo tem uma meia vida de 16 dias. Você deseja ter 30 g do isótopo no final de 30 dias. Calcule a quantidade inicial do isótopo.
Solução: seja Q(t) a quantidade presente no instante t e Q(0) =Qₒ a quantidade inicial.
Resolvendo a equação dQ/dt = -kQ(t) temos que:
Q(t) = Qₒ e-k.t é, para t = 16, Q(16) = Qₒ, logo e-16.k =.
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade,obtemos
K= [ln (2)] /16 = 0,0433 dias-1
E dessa forma temos a função que determina a quantidade de isótopo radioativo em qualquer instante:
Q(t) = Qₒ e-0.433t
Para t= 30 dias e Q(30) = 30/e-0,0433x30 110g.
EXEMPO 02: Um pára-quedista,pesando 70kg, salta de um avião e abre o pára-quedas após 10 segundos.
Antes da abertura do pára-quedas, o seu coeficiente de atrito é kspq =5kg s-1,depois é kcpq =100kg s-1.
Tempo zero 
Após 10s 
Tempo final 
Qual a velocidade do pára-quedista no instante em que se abre o pára-quedas?
Essa é a equação que descreve a queda livre, bem como sua solução.
++C e-
A constante de integração é determinada a partir da condição inicial.
 (t
Ao fim de 10 segundos,a velocidade alcançada pelo pára-quedista é.
 = 70ms-1
Qual a distância percorrida em queda livre?
Já obtivemos no item anterior a forma como a velocidade do pára-quedista varia com o tempo durante a queda livre. Sabemos também que a velocidade é a derivada da distância percorrida com relação ao tempo. Então:
Ou seja
A solução particular é então:
À distância percorrida após 10 segundos foi:
Esperamos que o homem tenha saltado do avião quando este se encontrava a uma altura superior a 392 m, do contrario terá se estatelado no chão antes de abrir o para queda.
Qual a velocidade mínima que o pára-quedista poderá atingir após a abertura do pára-quedas?
Após abertura do pára-quedas a velocidade começa a decrescer, devido ao maior coeficiente de atrito,até que é eventualmente atingido um equilíbrio entre a força da gravidade e a força de atrito. A partir desse momento a velocidade permanece constante (velocidade limite). A evolução da velocidade após a abertura do pára-quedas é mais uma vez dada pela lei de Newton:
e a sua solução é:
Para tempo suficientemente longo (t) atinge –se a velocidade limite: