Unidade 02 Transferência Calor Analogia Circuito Térmico Elétrico

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Unidade 02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fenômenos de Transporte II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transferência de Calor e analogia entre circuto 
térmico e circuito elétrico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
Princípios de Condução de Calor 
 
As equações de condução de calor em três dimensões no sistema de coordenadas cartesianas, 
cilíndricas e esféricas, envolvendo sistemas tridimensionais, em regime transitório e com geração de 
calor são apresentadas a seguir. 
 A equação geral de condução no Sistema de Coordenadas Cartesianas (x, y, z) onde a temperatura 
é função também do tempo, ou seja, T = T(x, y, z, t), é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o Sistema de Coordenadas Cilíndricas (r, z, ) onde a temperatura é função também do 
tempo, ou seja, T = T(r, z, , t), é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t
T
k
q
z
T
y
T
x
T












1'''
2
2
2
2
2
2
t
T
k
q
z
TT
rr
T
r
rr 


















111 '''
2
2
2
2
2
x 
T = f(x, y, z, t) 
z 
y 
o 
z 
y 
x o 
z 
Ф 
T = f(r, Ф, z, t) 
o 
Ф 
r 
z 
r 
o 
z 
 
 
3 
Para o Sistema de Coordenadas Esféricas (r, Ф, θ), onde a temperatura é também função do 
tempo, ou seja, T = T(r, Ф, θ, t), a equação geral de condução é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Condução de Calor Através de Parede Plana, em Regime Permanente, Unidimensional, 
Propriedades Constantes, sem Geração de Calor. 
 
Conforme apresentado a Equação Geral de Condução em coordenadas cartesianas tridimensional, 
regime transitório, com geração de calor e propriedades constantes é dado por: 
 
 
 
 
 
Simplificado a Equação Geral de Condução, resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t
T
k
qT
senr
T
sen
senrr
T
r
rr 























  1111
'''
2
2
222
2
2
Ф 
r 
θ 
θ 
Ф 
r 
T = f(r, Ф, θ, t) T = f(r, Ф, θ, t) 
t
T
k
q
z
T
y
T
x
T












1'''
2
2
2
2
2
2
0
2
2



x
T
12
12
1
21
1
1
)(
0
0
Tc
L
TT
c
cxcxT
dxcdT
c
dx
dT
dx
dT
d
dx
dx
dT
d





















Condições de Contorno: 
 
x = 0  T = T1 
 
x = L  T = T2 
 
Equação do Perfil de 
Temperatura: 
 
L
x
TT
TxT



12
1
 
 
4 
Sentido do Fluxo de Calor = q Sentido da Corrente Elétrica = i 
T1 > T2 
 
T1 T2 
Lei de Fourier 
 
 
V1 V2 
V1 > V2 
 
Lei de Ohm 
 
 
Resistência Térmica de Condução 
“Parede Plana” 
 
 
 
Fluxo de Calor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analogia entre Circuito Elétrico e Circuito Térmico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21
12
1
1
TT
L
kA
q
dx
dT
kAq
L
TT
c
c
dx
dT





 Lei de Fourier 
TR
T
q


ER
V
i


kA
L
R
ConduçãoT

 
 
5 
r1 
r2 
r 
L 
q 
Resistência Térmica de Condução 
“Parede Cilíndrica” 
 
 
 
2. Condução de Calor Através de Parede Cilíndrica, em Regime Permanente, Unidimensional 
(Fluxo Radial), Propriedades Constantes, sem Geração de Calor. 
 
 
 
 
 
 
Simplificado a Equação Geral de Condução, resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O fluxo de Calor e dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t
T
k
q
z
TT
rr
T
r
rr 


















111 '''
2
2
2
2
2
0
1










r
T
r
rr
 
 
kL
rr
R
TT
r
r
kL
q
TT
q
kL
rr
T
q
kL
dT
q
kL
r
dr
dr
dT
rLkq
rLA
dr
dT
kAq
ConduçãoT
T
T
r
r
T
T
r
r







2
)ln(
ln
2
2
lnln
2
ln
2
2
2
12
21
1
2
1212
2
1
2
1
2
1
2
1









 Lei de Fourier 
 
 
6 
q 
r 
Resistência Térmica de Condução 
“Parede Cilíndrica” 
 
 
 
3. Condução de Calor Através de Parede Esférica, em Regime Permanente, Unidimensional 
(Fluxo Radial), Propriedades Constantes, sem Geração de Calor. 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificado a Equação Geral de Condução, resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O fluxo de Calor e dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t
T
k
qT
senr
T
sen
senrr
T
r
rr 























  1111
'''
2
2
222
2
2
0
1 2
2










r
T
r
rr
r2 
 
 
12
12
21
12
12
2
2
2
4
)(
)(
4
41
4
4
4
2
1
2
1
2
1
2
1
rkr
rr
R
TT
rr
rkr
q
T
q
k
r
dT
q
k
r
dr
dr
dT
rkq
rA
dr
dT
kAq
ConduçãoT
T
T
r
r
T
T
r
r

















 Lei de Fourier 
r1 
 
 
 
7 
4. Resistência Térmica de convecção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Resumo das Resistências Térmicas 
 
Resistência Térmica 
Tipo de Parede Plana Cilíndrica Esférica 
 
Condução 
 
 
 
 
 
 
 
Convecção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24
2
1
)(
)(
rA
rLA
AA
hA
TT
q
TThAq
Cte
AmbienteParede
AmbienteParede








 Parede Plana 
 Parede Cilíndrica 
 Parede Esférica 
kA
L
12
12
4
)(
rkr
rr


hA
1
 
kL
rr
2
ln 12
rLh2
1
hr 24
1

 
 
8 
Somando membro a membro, 
temos: 
 
 
6. Circuito Térmico em Série 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando analogia entre circuito térmico e circuito elétrico, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aplicando Lei de Fourier para cada resistência térmica, resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L1 L2 
L3T1, h1 T2, h2 
K1 K2 K3 
Sentido do 
Fluxo de Calor 
q q q q q 
R1= 1/h1A R2= L1/K1A R3= L2/K2A R4= L3/K3A R5= 1/h2A 
T1 Ta Tb Tc Td T2 
1
1
R
TT
q a


)( 11 aTTqR 

2R
TT
q ba



)(2 ba TTqR 
3R
TT
q cb



)(3 cb TTqR 
4R
TT
q dc

 
)(4 dc TTqR 
5
2
R
TT
q d



)( 25 TTqR d 
)()( 2154321 TTRRRRRq 



TérmicaR
TT
q
)( 21

 
 
9 
T1 T2 
q q 
q2 
q1 
R2 
R1 
7. Circuito Térmico em Paralelo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando analogia entre circuito térmico e circuito elétrico, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o circuito em paralelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto para o circuito paralelo acima, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L 
K2, A2 
T2 T1 
K1, A1 
nT
n
RRRR
qqqq
eEquivalent
1
...
111
.....
21
21


21
21
21
21
.
111
RR
RR
R
RRR
qqq
eEquivalent
eEquivalent
T
T



