Aula 9 Energia de Deformação Casos Particulares

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Aula 9 - Energia de Deformação – casos particulares
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
▪ Revisão do conceito de energia de 
deformação;
▪ Revisão das expressões de energia de 
deformação nas condições axial, 
cisalhante e de torção;
▪ Energia de deformação para cargas
multiaxiais;
▪ Energia de deformação para a flexão.
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
Cargas aplicadas a um corpo provocam deformações. Não
havendo dissipação de energia na forma de calor, o
trabalho externo realizado pelas cargas será convertido em
trabalho interno denominado energia de deformação. Essa
energia é sempre positiva.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
ENERGIAS DE DEFORMAÇÃO JÁ ESTUDADAS
• Carregamento Axial:
 == VVi dVAE
N
dV
E
U
2
22
..2.2

AE
LN
Udx
AE
N
U i
L
i
..2
.
..2
2
0
2
== 
Mas dV = A.dx, portanto:
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
ENERGIAS DE DEFORMAÇÃO JÁ ESTUDADAS
• Cisalhamento:
=
L
S
i dx
AG
Vf
U
0
2
.2
.
= Vi dVG
U
2
2
Viga de seção retangular constante e
deformação decorrente do cisalhamento V
fS - fator de forma
fS= 6/5 (para a condição retangular)
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ENERGIAS DE DEFORMAÇÃO JÁ ESTUDADAS
• Torção:
J - momento polar de inércia.
Para uma barra de seção constante, J é constante e,
portanto:
=
L
i dx
JG
T
U
0
2
.2
JG
LT
U i
.2
2
=
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
ESTADO GERAL DE TENSÃO
O estudo da aula 8, isto é, a energia de deformação em
estados de carregamento axiais e de cisalhamento pode ser
ampliado para determinarmos a energia de deformação em
um corpo quando ele é submetido a um estado geral de
tensão.
Observe a figura com o estado multiaxial.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
ESTADO GERAL DE TENSÃO
z
x
y
xz
xy
yz
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
ESTADO GERAL DE TENSÃO
As energias de deformação associadas a cada componente
das tensões normal e de cisalhamento podem ser obtidas
pelas equações mostradas na aula 8 (revisão no início).
Como a energia de deformação é escalar, a energia total
de deformação no corpo é
dVU xzxzyzyzxyxyzzyy
V
xxi )........(
2
1  +++++= 
Estado axial Estado de cisalhamento
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
ESTADO GERAL DE TENSÃO
• Lei de Hooke generalizada
)].(.[
1
zyxx
E
 +−=
)].(.[
1
zxyy
E
 +−=
)].(.[
1
yxzz
E
 +−=
xyxy
G
 .
1
=
yzyz
G
 .
1
=
xzxz
G
 .
1
=
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
ESTADO GERAL DE TENSÃO
Substituindo x, y, z, xy, xz e yz na equação da energia
de deformação, temos que:
 ++=
V
i dVCBAU ).(
)(
.2
1
)....(
).(
.2
1
222
222
xzyzxy
zxzyyx
zyx
G
C
E
B
E
A




++=
++−=
++=
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
ESTADO GERAL DE TENSÃO
Se somente as tensões principais 1, 2 e 3 agirem sobre
o elemento, a equação da energia de deformação é
reduzida a uma forma mais simples:
dV
EE
U
V
i )].....().(
.2
1
[ 313221
2
3
2
2
2
1  ++−++= 
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1
Um material é submetido a um estado plano de tensão
geral. Expressar a densidade de energia de deformação em
termos das constante E, G , e das componentes da tensão
x , x e xy
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1
xx
y
y
xy
xy
xy
xy
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1
No caso do estado plano de tensão geral, temos que:
• z = 0, yz = 0 e xz = 0;
• Equação geral:
 ++=
V
i dVCBAU ).( )(
.2
1
)....(
).(
.2
1
222
222
xzyzxy
zxzyyx
zyx
G
C
E
B
E
A




++=
++−=
++=
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1
Substituindo z = 0, yz = 0 e xz = 0 na equação geral
teremos que:
dV
GEE
U xyyxyx
V
i )].(
.2
1
)..().(
.2
1
[ 222  +−+= 
)(
.2
1
)..().(
.2
1 222
xyyxyx
i
GEEV
U  +−+==
GEV
U xy
yxyx
i
.2
)..(.2.(
.2
1
2
22
 +−+==
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – MOMENTO FLETOR
O momento fletor aplicado a um elemento estrutural
prismático reto desenvolve nele uma tensão normal.
Observe a figura abaixo.
dA
y
M

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – MOMENTO FLETOR
A partir da figura anterior, podemos utilizar a expressão:
A integral I representa o momento de inércia da viga em
torno do eixo neutro. Assim:
   






=





==
V
L
A
V
i dxdAy
IE
M
dxdA
I
yM
E
dV
E
U
0
2
2
22
.2
.
.
.
.2
1
.2

=
L
i dx
IE
M
U
0
2
.
.2
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
Considere uma viga em balanço de comprimento L e seção
transversal constante. Suponha que esta viga seja
submetida a um carregamento uniformemente distribuído
w. Considerando o produto E.I constante, determine a
energia de deformação elástica provocada pela flexão desta
viga.
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
Inicialmente devemos analisar o diagrama do corpo livre.
M 
Vw.x 
x
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
A partir do diagrama do corpo livre, podemos escrever que:
Substituindo M na expressão:
2
.0
2
.0
2x
wM
x
wxMM
A
−==+=
=
L
i dx
IE
M
U
0
2
.
.2
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
IE
xwx
IE
w
Udxx
IE
w
U
dx
IE
xw
Udx
IE
x
w
U
i
L
i
L
i
L
i
..40
.
5
.
.8
.
.8
.
.8
.
.2
)
2
.(
5252
0
4
2
0
42
0
2
2
===
=
−
=


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RESUMINDO
Nesta aula vocês estudaram:
▪ Revisão do conceito de energia de 
deformação;
▪ Revisão das expressões de energia 
de deformação nas condições axial, 
cisalhante e de torção;
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO CASOS PARTICULARES – AULA 9 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
RESUMINDO
Nesta aula vocês estudaram:
▪ Energiade deformação para cargas
multiaxiais;
▪ Energia de deformação para a
flexão;
▪ Aplicações.