DINÂMICA MÁQUINAS RESUMÃO

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GRAUS DE LIBERDADE 
 
A mobilidade de um sistema mecânico pode ser classificado 
de acordo com o número de graus de liberdade (𝐺𝐷𝐿). Os 𝐺𝐷𝐿 
dos sistemas são iguais ao número de parâmetro independentes 
(medidas) necessárias para definir uma posição em qualquer 
instante de tempo. 
Nota: O 𝐺𝐷𝐿 é definido com base em uma estrutura de 
referência. 
 
TIPOS DE MOVIMENTO 
 
Rotação: o corpo possui um ponto (centro de rotação) que 
não apresenta movimento com relação à estrutura 
“estacionária” de referência. Todos os outros pontos do corpo 
descrevem arcos ao redor daquele centro. Uma linha de 
referência desenhada no corpo através do centro muda 
somente a orientação angular. 
Translação: todos os pontos no corpo descrevem caminhos 
paralelos (curvilíneos ou retilíneos). A linha de referência 
desenhada no corpo muda a posição linear, mas não muda a 
orientação angular. 
Movimento complexo: uma combinação simultânea de 
rotação e translação. Qualquer linha de referência desenhada no 
corpo mudará a posição linear e a orientação angular. Pontos no 
corpo terão caminhos não paralelos e haverá, a cada instante, 
um centro de rotação que mudará de localização 
constantemente. 
 
ELOS, JUNTAS OU ARTICULAÇÕES E CADEIAS CINEMÁTICAS 
 
Mecanismos são os blocos básicos de representação de todo 
mecanismo. Em outros capítulos, mostraremos que as formas 
mais comuns de mecanismos (cames, engrenagens, correias, 
elos) são variações comuns de mecanismos. Mecanismos são 
feitos de elos e juntas. 
Um elo, é (assumindo) um corpo rígido que possui ao menos 
dois nós que são pontos para se anexar aos outros elos. 
Elo binário ⟶ possuí dois nós 
Elo terciário ⟶ possuí três nós 
Elo quaterciário ⟶ possuí quatro nós 
 
 
 
Junta é uma conexão entre dois ou mais elos (em seus nós) 
que permite o mesmo movi‑ mento, ou movimento potencial, 
entre os elos conectados. As juntas (também chamadas de pares 
cinemáticos) podem ser classificadas de diferentes maneiras: 
1. Pelo tipo de contato entre os elementos, linha, ponto ou 
superfície. 
2. Pelo número de graus de liberdade permitidos na junta. 
3. Pelo tipo de fechamento físico da junta: tanto força como 
forma fechada. 
4. Pelo número de elos unidos (ordem da junta). 
 
Junta (ou par) com um grau de liberdade, denominadas junta 
pinada (R) girando (revolução) e junta deslizante (P) 
transladando (prismático). 
 
 
 
 
DETERMINANDO O GRAU DE LIBERDADE EM MECANISMOS 
 
Para determinar o 𝐺𝐷𝐿, geral de qualquer mecanismo, 
devemos considerar o número de elos e juntas, bem como as 
interações entre eles. O 𝐺𝐷𝐿 de qualquer de qualquer conjunto 
de elos pode ser previsto após um estudo sobre a condição de 
Gruebler. Qualquer elo em um plano possui três graus de 
liberdade. Entretanto ,um sistema de 𝐿 elos desconectados em 
um mesmo plano terá 3𝐿 𝐺𝐷𝐿. A figura abaixo mostra que na 
qual os dois elos desconectados têm um total de seis 𝐺𝐷𝐿. 
 
 
Dois elos desconectados 
𝐺𝐷𝐿 = 6 
Unidos por uma junta completa 
𝐺𝐷𝐿 = 4 
 
EQUAÇÃO DE GRUEBLER –KUTZBAC 
 
𝑴 = 𝟑𝑳 − 𝟐𝑱 − 𝟑𝑮 Gruebler 
𝑴 = 𝟑 ⋅ (𝑳 − 𝟏) − 𝟐𝑱 Kutzbac 
 
Onde: 
𝑀 ⟶ graus de liberdade ou mobilidade 
𝐿 ⟶ número de elos 
𝐽 ⟶ número de juntas 
𝐺 ⟶ número de elos fixados (𝐺 = 1) 
 
 
Mecanismo com 
juntas completas e 
múltiplas 
 
Nota: Não há união de 
rotação e deslizamento 
(meia junta) neste 
mecanismo. 
 
𝐿 = 8 
𝐽 = 10 
𝐺𝐷𝐿 = 1 
 
 
Mecanismo com 
juntas completas, 
múltiplas e meia 
juntas. 
 
 
𝐿 = 6 
𝐽 = 7,5 
𝐺𝐷𝐿 = 0 
 Exercício: Calcule o Grau de Liberdade (𝐺𝐷𝐿) do mecanismo, 
classifique suas juntas em P e R e esboce o diagrama cinemático. 
 
 
 
a) Mecanismo de 
quatro barras 
b) Compressor radial c) Biela-manivela 
deslocada 
 
 
d) Mecanismo de freio a tambor e) Mecanismo simétrico 
 
 
MECANISMO DE QUATRO BARRAS 
 
O mecanismo de quatro barras é o mais comum e o mais 
simples dos mecanismos articulados, sendo que os demais 
mecanismos podem ser obtidos a partir dele. Sua principal 
característica reside no fato de que apresenta diferentes 
relações geométricas entre as barras, e diferentes relações entre 
o tipo de movimento de entrada e saída. É constituído por 
quatro barras ou peças, sendo uma fixa (barra 1), uma motora 
(barra 2), uma intermediária (barra 3) e uma movida (barra 4). 
 
Inversão Cinemática: A inversão de um mecanismo não 
altera o movimento relativo entre as barras, mas modifica o 
movimento absoluto de cada barra relativamente a um 
referencial fixo. Fixando-se as peças diferentes em sequência, ou 
seja, invertendo a base, pode-se criar uma variedade de 
mecanismos com diferentes características de transmissão. 
 
 
 
 
 
REGRA DE GRASHOF 
 
“para mecanismos de quatro barras que descrevem 
movimento plano, se a soma dos comprimentos das barras mais 
curta e mais comprida for inferior ou igual à soma dos 
comprimentos das duas barras restantes, então a barra mais 
curta pode rodar continuamente”, ou seja: 
 
𝑺 + 𝑳 ≤ 𝑷 + 𝑸 
Onde: 
𝑆 ⟶ comprimento da barra menor 
𝐿 ⟶ comprimento da barra maior 
𝑃 e 𝑄 ⟶ comprimentos das barras remanescentes 
 
Mecanismo de Grashof Classe I: barra realiza uma rotação 
completa (𝑆 + 𝐿 < 𝑃 + 𝑄) 
Mecanismo de não-Grashof Classe II: nenhuma barra é capaz 
de girar totalmente em torno de um pino ou articulação ou junta 
(𝑆 + 𝐿 > 𝑃 + 𝑄). 
Mecanismo de especial de Grashof Classe III: equação se iguala 
(𝑆 + 𝐿 = 𝑃 + 𝑄) 
 
 
Classe I: Mecanismo de 
manivela barra oscilante 
Classe III: Mecanismo dupla manivela 
 
 
Classe II: Mecanismo dupla barra oscilante 
 
 
ANGLO DE TRANSMISSÃO 
 
No mecanismo de quatro barras a seguir, o ângulo 𝛾 é o 
chamado ângulo de transmissão e, aplicando a lei dos cossenos 
para os triângulos 𝐴𝐵𝐷 e 𝐵𝐶𝐷, teremos: 
 
 
 
(𝐵𝐷)2 = 𝑟1
2 + 𝑟2
2 − 2𝑟1𝑟2 cos(𝜃2) 
 
(𝐵𝐷)2 = 𝑟3
2 + 𝑟4
2 − 2𝑟3𝑟4 cos(𝛾) 
 
𝜸 = 𝐜𝐨𝐬−𝟏 [
𝒓𝟑
𝟐 + 𝒓𝟒
𝟐 − 𝒓𝟏
𝟐 − 𝒓𝟐
𝟐 + 𝟐𝒓𝟏𝒓𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝜽𝟐)
𝟐𝒓𝟑𝒓𝟒
] 
 
O ângulo de transmissão (𝛾) deve estar no intervalo 
aproximado entre 40° ou 50° e 140° pois, dado que fora 
deste intervalo as barras intermediárias (3) e movida (4) 
podem ficar alinhadas, coincidentes entre si, tornando o 
ângulo 𝜸 igual à zero, e o mecanismo se travaria ou 
emperraria. Além do mais, será possível provar que quando 
𝛾 = 90°, para um dado conjugado resistente (𝑇4), aplicado 
na barra 4, à força exercida na barra intermediária (3) será 
mínima tornando esse ângulo a de melhor vantagem 
mecânica. 
 
EXEMPLO 
 
Analisando os mecanismos de quatro barras abaixo, 
verifique: 
a) Sua mobilidade (𝐺𝐷𝐿(𝑚)); 
b) sua classificação; 
c) seu ângulo de transmissão. 
 
 
 
c) 𝑂2𝑂4 = 95, 𝑂4𝐴 = 50, 𝐴𝐵 = 44, 𝑂4𝐵 = 50 e 𝜃 = 50° 
 
cos 𝛾 =
𝐴𝐵2 + 𝑂4𝐵
2 − (𝑂2𝑂4)
2 − (𝑂4𝐴)
2 + 2 ⋅ 𝑂2𝑂4 ⋅ 𝑂4𝐴 ⋅ cos(𝜃)
2 ⋅ 𝐴𝐵 ⋅ 𝑂4𝐵
 
 
cos 𝛾 =
442 + 502 − 952 − 502 + 2 ⋅ 95 ⋅ 50 ⋅ cos(50°)
2 ⋅ 44 ⋅ 50
 
 
cos 𝛾 = −
982,517
4.400
≅ −0,2233 
 
∴ 𝜸 = 𝟏𝟎𝟐, 𝟗° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 𝐿1 = 2,22, 𝐿2 = 1, 𝐿3 = 2,06, 𝐿4 = 2,33 e 𝜃 = 15° 
 
cos 𝛾 =
𝐿3
2 + 𝐿4
2 + 𝐿1
2 + 𝐿2
2 + 2 ⋅ 𝐿1 ⋅ 𝐿2 ⋅ cos(𝜃)
2 ⋅ 𝐿3 ⋅ 𝐿4
 
 
cos 𝛾 =
2,062 + 2,332 − 2,222 − 12 + 2 ⋅ 2,22 ⋅ 1 ⋅ cos(15°)
2 ⋅ 2,06 ⋅ 2,33
 
 
cos 𝛾 =
8,0328
9,5996
≅ 0,8368 
 
∴ 𝜸 ≅ 𝟑𝟑, 𝟐° 
 
 
MOVIMENTO PLANO DE UM MECANISMO 
 
 Translação pura (movimento geral de um corpo rígido 
sem rotação) 
∀𝐴, 𝐵 𝑣𝐴 = 0⃗⃗ ⟹ 𝑣𝐵 = �⃗⃗⃗� × 𝑟𝐵 𝐴⁄ 
 
 Rotação pura (movimento geral de um corpo rígido 
sem rotação) 
∀𝐴, 𝐵 �⃗⃗⃗� = 0⃗⃗ ⟹ 𝑣𝐵 = 𝑣𝐵= 𝑣𝐴 
 
 Movimento complexo: translação e rotação. 
 
 
MOVIMENTO COMPLEXO (ROTATIVO) 
 
 Deslocamento: 𝑅𝐵 = 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 𝐴⁄ 
 Velocidade: 𝑣𝐴 = 𝑣𝐵 
 Aceleração angular: 𝛼𝐴 = 𝛼𝐵 
 
 Deslocamento: 0 
 
 Velocidade: 
velocidade linear: 𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑅 
velocidade angular: 𝜔2 = 𝜔0
2 + 2𝛼∆𝜃 
 
 Aceleração: 
aceleração centrípeta: 𝑎 = 𝜔2 ⋅ 𝑅 
aceleração angular: 𝛼𝑇 = 𝛼𝐴 ⋅ 𝑅 
 
 Posição: �⃗⃗�𝐵 = �⃗⃗�𝐴 + �⃗⃗�𝐵 𝐴⁄ 
 Deslocamento: ∆𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵 = ∆𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 + ∆𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵 𝐴⁄ 
 Velocidade: 𝑣 = 𝜔 ⋅ 𝑅 (em torno de um eixo fixo) 
𝑣𝐵 = 𝑣𝐴 + �⃗⃗⃗�𝐵 𝐴⁄ ⋅ ∆𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵 𝐴⁄ (movimento complexo: rotação 
em torno do eixo do corpo) 
 
 
 
𝐺𝐷𝐿(𝑚) = 3 ⋅ (𝐿 − 1) − 2𝐽 
𝐺𝐷𝐿(𝑚) = 3 ⋅ (4 − 1) − 4 ⋅ 4 
∴ 𝑮𝑫𝑳(𝒎) = 𝟏 
𝑆 + 𝐿 = 𝑃 + 𝑄 
44 + 95 = 50 + 50 
139 > 100 
a) 𝐿 = 4 e 𝐽 = 4 
 
 
b) 𝑆 = 44, 𝐿 = 95, 𝑃 = 𝑄 = 50 
 
∴ Classe II: mec. não-Grashof 
𝐺𝐷𝐿(𝑚) = 3 ⋅ (𝐿 − 1) − 2𝐽 
𝐺𝐷𝐿(𝑚) = 3 ⋅ (4 − 1) − 4 ⋅ 4 
∴ 𝑮𝑫𝑳(𝒎) = 𝟏 
1 + 2,33 = 2,06 + 2,22 
3,33 = 4,28 
3,33 < 4,28 
a) 𝐿 = 4 e 𝐽 = 4 
 
 
b) 𝑆 = 1, 𝐿 = 2,33, 𝑃 = 2,06, 𝑄 = 2,22 
 
∴ Classe I: mecanismo de Grashof 
NOTAÇÃO MATRICIAL 
 
Os vetores unitários ou versores* 𝑖̂, 𝑗̂ e �̂� para um dado 
sistema ortogonal de coordenadas, satisfazem as seguintes 
igualdades: 
 
𝑖̂ ⋅ 𝑗̂ = �̂� 𝑗̂ ⋅ �̂� = 𝑖̂ �̂� ⋅ 𝑖̂ = 𝑗̂ 
𝑗̂ ⋅ 𝑖̂ = −�̂� �̂� ⋅ 𝑗̂ = −𝑖̂ 𝑖̂ ⋅ �̂� = −𝑗̂ 
 
(*) Em matemática, um versor num espaço vetorial normado 
é um vetor cujo comprimento é 1. 
 
 
EXEMPLO 
 
1. A barra 𝐴𝐵 de ligação mostrada abaixo tem uma 
velocidade angular no sentido horário 30 rad s⁄ quando 
𝜃 = 60°. Determine as velocidades angulares do membro 
𝐵𝐶 e da roda nesse instante. 
 
 
 Barra 𝑨𝑩 
 
𝑣𝐵 = 𝜔𝐴𝐵 ⋅ 𝑅𝐴𝐵 
 
𝑣𝐵 = −30�̂� ⋅ [0,2 ⋅ cos(60°) 𝑖̂ + 0,2 ⋅ cos(60°) 𝑗̂] 
 
𝒗𝑩 = (−𝟑�̂� + 𝟓, 𝟐�̂�) m s⁄ 
 
 
 Barra 𝑩𝑪 
 
 
𝑣𝐶𝑖̂ = 𝑣𝐵 + 𝜔𝐵𝐶 �̂� ⋅ 𝑅𝐶𝐵𝑖̂ = −3𝑗̂ + 5,2𝑖̂ + 𝜔𝐵𝐶 �̂� ⋅ 0,2𝑖̂ 
 
𝑣𝐶𝑖̂ = −3𝑗̂ + 5,2𝑖̂ + 0,2𝜔𝐵𝐶𝑗̂ 
 
𝑣𝐶𝑖̂ − 5,2𝑖̂ + 3𝑗̂ − 0,2𝜔𝐵𝐶𝑗̂ = 0 
 
(𝑣𝐶 − 5,2)𝑖̂ + (3 − 0,2𝜔𝐵𝐶 )𝑗̂ = 0 
 
∴ 𝒗𝑪
= 𝟓, 𝟐 m s⁄ 
∴ 𝝎𝑩𝑪 =
𝟑
𝟎, 𝟐
= 𝟏𝟓 rad s⁄