DESCRIÇÃO E APRESENTAÇÃO DE DADOS

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Prof. Herondino
IV - Descrição e Apresentação dos 
Dados
Dados
 A palavra "dados" é um termo relativo, tratamento de dados 
comumente ocorre por etapas, e os "dados processados" a 
partir de uma etapa podem ser considerados os "dados 
brutos" do próximo. (Wikipédia)
 Dados Brutos
 Em informática dados brutos (raw data) designam os 
dados/valores recolhidos e estocados tal qual foram 
adquiridos, sem terem sofrido o menor tratamento 
(Wikipédia)
Dados Brutos
 Suponhamos o seguintes dados Brutos como sendo a idade 
de alunos de uma turma de informática 
14 12 13 11 12 13
16 14 14 15 17 14
11 13 14 15 13 12
14 13 14 13 15 16
12 12
Frequência
 A frequência de uma observação é o número de repetições 
dessa observação no conjunto de observações, ou ainda, é o 
número de vezes que conjuntos de dados aparecem em uma 
“população”.
Tipos de Frequências
 Frequência simples ou absoluta (fi ) - são os valores que 
representam o número de dados de cada classe.
 Frequência relativa(fr ) - são os valores das razões entre as 
frequências simples e a frequência total.
 Frequência acumulada(fa ) – é o total das frequências de 
todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de 
uma dada classe.
 Frequência acumulada relativa(far ) é a frequência 
acumulada da classe, dividida pela frequência total da 
distribuição.
Distribuição de Frequência Simples ( )
11 2
12 5
13 6
14 7
15 3
16 2
17 1
ix
if
if
Dados ou 
variável 
(Idade)
Frequência 
(nº de Alunos)
Frequências Relativas 
 A frequência relativa é o valor da frequência absoluta dividido 
pelo número total de observações.
Variável
(idade)
frequência absoluta
(Nº de alunos)
frequência relativa
11 2 2/26 = 0,0769
12 5 5/26 = 0,1923
13 6 6/26 = 0,2308
14 7 7/26 = 0,2692
15 3 3/26 = 0,1154
16 2 2/26 = 0,0769
17 1 1/26 = 0,0385
TOTAL = 26 1,0000
ix
if
rf
 ifN
Frequência Acumulada
Variável freqüência 
absoluta
freqüência relativa frequência
absoluta
acumulada
frequência 
relativa acumulada
11 2 2/26 = 0,0769 2 2/26 = 0,0769
12 5 5/26 = 0,1923 7 7/26 = 0,2692
13 6 6/26 = 0,2308 13 13/26 = 0,5000
14 7 7/26 = 0,2692 20 20/26 = 0,7692
15 3 3/26 = 0,1154 23 23/26 = 0,8846
16 2 2/26 = 0,0769 25 25/26 = 0,9615
17 1 1/26 = 0,0385 26 26/26 = 1,0000
TOTAL = 26 =1,0000
ix if
rf
af
raf
 if  rf
Regras de arredondamento na 
Numeração Decimal
 Norma ABNT NBR 5891
 1) Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último 
algarismo a ser conservado for inferior a 5, o último 
algarismo a ser conservado permanecerá sem modificação
 Exemplo: 
1,333 3 arredondado à primeira decimal tornar-se-á 1,3
Regras de arredondamento na 
Numeração Decimal
 2) Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último 
algarismo a ser conservado for superior a 5, ou, sendo 5, 
for seguido de no mínimo um algarismo diferente 
de zero, o último algarismo a ser conservado deverá ser 
aumentado de uma unidade
 Exemplo
 1,666 6 arredondado à primeira decimal tornar-se-á: 1,7.
4,850 5 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão : 4,9.
Regras de arredondamento na 
Numeração Decimal
 3) Quando o algarismo imediatamente seguinte ao 
último algarismo a ser conservado for 5 seguido de 
zeros, dever-se-á arredondar o algarismo a ser conservado 
para o algarismo par mais próximo. Consequentemente, o 
último a ser retirado, se for ímpar, aumentará uma unidade.
 Exemplo:
4,550 0 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão: 4,6.
Regras de arredondamento na 
Numeração Decimal
4) Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último 
a ser conservado for 5 seguido de zeros, se for par o 
algarismo a ser conservado, ele permanecerá sem 
modificação.
 Exemplo:
4,850 0 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão: 4,8.
Atividade - III
1. Verificar a altura em centímetro de cada aluno da turma e 
construir uma sequência de Dados Brutos;
2. A partir dos Dados Brutos obtidos, construir a distribuição 
de frequência absoluta simples, a frequência relativa, 
frequência acumulada e frequência relativa acumulada. Para 
o arredondamento utilize a regra da ABNT 5891.
Séries Estatísticas
 Tabela é um quadro que resume um conjunto de 
observações.
 Elementos da Tabela: 
 Título – o que? Quando? Onde?
 Cabeçalho – parte superior da tabela que especifica o conteúdo
 Corpo – linha e colunas que contém as informações
 Rodapé – elementos complementares 
Séries Estatísticas
Séries Históricas
 Descrevem os valores da variável, em determinado local, 
discriminado segundo intervalos de tempo variáveis.
Série Geográficas ou espaciais
 Descrevem os valores da variável, em determinado instante, 
discriminado segundo regiões.
Series Específicas ou categóricas
 Descrevem os valores da variável, em determinado tempo e 
local, discriminados segundo especificações ou categorias.
 Exemplo:
Séries Conjugadas
 Quando apresenta em uma única tabela, a variação de valores 
de mais de uma variável.
Apresentação dos dados
 “O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos 
dados estatísticos, cujo objetivo é o de produzir, o 
investigador ou no público em geral, uma impressão mais 
rápida e viva do fenômeno em estudo, já que os gráficos 
falam mais rápido à compressão que as séries” (Crespo, 2002)
 Quando se dispõe de um grande número de observações, 
torna-se extremamente difícil a leitura de valores colocados 
em tabela. 
Colunas ou em barras
 É a representação de uma série por meio de retângulos, 
dispostos verticalmente (em colunas) ou horizontalmente 
(em barras)
Histograma
 Um histograma é uma representação gráfica de uma única 
variável que representa a frequência de ocorrências (valores 
dos dados) dentro de categorias de dados.
 O histograma tanto pode ser representado para as 
frequências absolutas como para as frequências relativas.
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nota nº de Alunos
0 1
1 1
2 2
3 4
4 6
5 8
6 12
7 10
8 3
9 2
10 1
Total 50
Polígono de Frequência
1 1
2
4
6
8
12
10
3
2
1
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
O Polígono de frequências é obtido ligando-se os pontos 
médios dos topos dos retângulos de um histograma.
Sobrepondo 
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1
2
4
6
8
12
10
3
2
1
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Histograma de frequência acumulada 
(ou ogiva)
 histograma de frequência acumulada (ou ogiva) é a 
representação gráfica do comportamento da frequência 
acumulada. 
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
F
re
q
u
ê
n
c
ia
 A
c
u
m
u
la
d
a
Distribuição por Frequência 
Acumulada
Gráfico de Setores
0% 2%
4%
5%
7%
9%
11%
13%
15%
16%
18%
Gráfico de Setores
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
É designado por um círculo, onde cada classe é representada 
por um setor circular, cujo ângulo é proporcional ao tamanho 
da amostra.
Distribuição de Frequência agrupadas 
em Classe
 Para a determinação de classes não existe uma regra pré 
estabelecida, sendo necessário um pouco de tentativa e erro 
para a solução mais adequada.
 1. Definir o número de classes
 Se n representa o número de observações (na amostra ou na 
população, conforme for o caso) o número aproximado de 
classes pode ser calculadopor Número de Classes = 
arredondando os resultados. 
n
Exemplo
Nº de Classes = 
Fonte: Marques, 2013
47,530 
Fazendo arredondamento 
para 6 
Altura em cm da Turma CA 2013
 2. Calcular a amplitude das classes
 Essa será obtida conhecendo-se o número de classes e 
amplitude total dos dados. 
 A amplitude total dos dados é o resultado da subtração valor 
máximo - valor mínimo da série de dados
classes de 
Total Amplitude
 = classe de Amplitude
número
MinValor -MaxValor = Total Amplitude
Distribuição de Frequência agrupadas 
em Classe
Exemplo
6
6
36
 = classe de Amplitude 
36152-188 = Total Amplitude 
Rol
Fonte: Vaz,2013
 3. Distribui a 
frequência dos dados 
agrupados por classe
 O limite superior de cada 
classe é aberto (e 
consequentemente, o 
limite inferior de cada 
classe é fechado), ou seja, 
cada intervalo de classe 
não inclui o valor de seu 
limite superior, com 
exceção da última classe.
(Nº de 
Ordem)
(Altura em cm) ( Nº de alunos)
01 152 158
02 158 164
03 164 170
04 170 176
05 176 182
06 182 188
Total
i ix if
Limite Inferior Limite Superior
Distribuição de Frequência agrupadas 
em Classe
Distribuição de Frequência agrupadas 
em Classe
(Nº de 
Ordem)
(Altura em cm) ( Nº de alunos)
01 152 158 9
02 158 164 8
03 164 170 5
04 170 176 4
05 176 182 3
06 182 188 1
Total
30 if
i i
x if
Fonte: Tillmann, 2013
Medidas de posição ou tendência central
n
x
n
xxx
X
n
i
i
n



 121
...
1. Média Aritmética
Exemplo: 
 A nota final (NF) do curso será dada pela fórmula:
 Em que: 
 AP – Avaliação Parcial
 AF – Avaliação Final
 Sendo AP (Avaliação Parcial) a média aritmética das 
atividades propostas (AT1, AT2,...,ATn)
 A cada AT será atribuído valores de 1 a 5.
2
AFAP
NF


n
ATnATAT
AP


...21
Exemplo:
164163,833...
30
188...156155154154152152


X
1641 


n
x
X
n
i
i
Medidas de posição ou tendência central
Propriedades da média aritmética 
1. A média é um valor típico, ou seja, ela é o centro de gravidade da distribuição, um 
ponto de equilíbrio. Seu valor pode ser substituído pelo valor de cada item na série de 
dados sem mudar o total. Simbolicamente temos:
2. A soma dos desvios das observações em relação a média é igual a zero.
3. A soma dos desvios elevados ao quadrado das observações em relação a média é 
menor que qualquer soma de quadrados de desvios em relação a qualquer outro 
número. Em outras palavras,
é um mínimo. 
  0)( Xxi
 )( 2  Xxi
n
x
n
x
X
n
i
i
i
  1
Exemplo
n
x
n
x
X
n
i
i
i
  1
  0)( Xxi )( 2  Xxi
ix
X Xxi 
2)( Xxi 
 2. Média Ponderada
Medidas de posição ou tendência central








i
n
i
ii
n
nn
P
p
px
ppp
pxpxpx
X 1
21
2211
...
......
Onde é o peso da observação i
ip
 A universidade definiu que as avaliações parciais teriam 
peso de 30% e a prova final teria peso de 40% no cálculo 
dos rendimentos dos alunos. Veja o quadro abaixo e calcule 
a média do aluno.
Exemplo
4,03,03,0
4,06,93,093,08


PX8,0
0,30
0,30
Ap 2 9,0
9,6
Ap nota peso
Ap 1
Final 0,40
Média aritmética Ponderada em dados 
agrupados 
(Nº de 
Ordem)
(Altura em cm) ( Nº de alunos)
01 152 158 9
02 158 164 8
03 164 170 5
04 170 176 4
05 176 182 3
06 182 188 1
Total
i i
x if
( Ponto
médio)
mx
30 if
im fx 





i
n
i
im
f
fx
X 1


n
i
im fx
1
.
Média aritmética Ponderada em dados 
agrupados 
(Nº de 
Ordem)
(Altura em cm) ( Nº de alunos)
01 152 158 9
02 158 164 8
03 164 170 5
04 170 176 4
05 176 182 3
06 182 188 1
Total
i i
x if
( Ponto
médio)
155 1395
161 1288
167 835
173 692
179 537
185 185
4932
mx
2
supinf LL
xm


30 if
im fx 





i
n
i
im
f
fx
X 1
164
30
932.4
X


n
i
im fx
1
.
Mediana (Md)
 A mediana é o valor do item central da série quando estes são 
arranjados em ordem de magnitude
Exemplo: 
a) 2, 4, 5, 7, 8 Md=5
b) 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 Md=9
c) 3, 5 ,8 ,10, 15 ,21 Md=9
Para o calculo da mediana, têm-se:
Se a série for ímpar sua posição será dada por ou se for 
Par a sua posição é dada por
2
1

n
posição
2
1
22 

















nn
posição
Mediana (Md)
 Cálculo da mediana
 Se série ímpar 
 Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }

Md=2 
2
1

n
posição
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª
0 0 1 1 2 2 3 4 5
ª5
2
19


posição
Mediana (Md)
 Cálculo da mediana
 Se a sequência for par 

 Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 }

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª
0 0 1 1 2 3 3 4 5 6
2
1
22 

















nn
posição
2
ª6ª5
2
1
2
10
2
10




















posição
5,2
2
32


Md
Dados Agrupados 
Sem intervalos de 
Classe
 Identificar a frequência 
Acumulada 
imediatamente superior 
à metade da soma das 
frequência, ou seja,
15
2
30
2

 if
Dados Agrupados
 Se existir uma frequência 
acumulada (fa ), tal que:
a mediana será dada por:
Veja no exemplo ao lado.
2


i
a
f
f
2
1 ii
xx
Md
xi fi fa
12 1 1
14 2 3
15 1 4
16 2 6
17 1 7
20 1 8
8 if
4
2
8
af 5,15
2
31
2
1615


Md
Mediana em dados Agrupados
 1º Determinar as frequências acumuladas.
 2º Calcular 
 3º Encontrar a classe correspondente à frequência acumulada 
imediatamente superior à - classe mediana 
2
 if
2
 if
2


i
a
f
f
Mediana (Md) para valores agrupados
af
ix
17
9
5,15
2
130
2
1



n
158 164Md
917
95,15
158164
158




Md
1586
8
5,6
Md
8,162Md
c
f
fn
LMd
Md
a
Md 




 

2/)1(
inf
= limite de classe inferior da classe da mediana;
= frequência acumulada da classe imediatamente anterior à 
classe da mediana;
= frequência absoluta simples da classe da mediana,
= amplitude (tamanho) da classe da mediana.
MdL inf
af
Mdf
c
Mediana (Md) para valores agrupados
c
f
fn
LMd
Md
a
Md 




 

2/)1(
inf
158inf MdL
9af
8Mdf
6c
Exemplo:
6
8
92/)130(
158 




 
Md
6
8
95,15
158 




 
Md
6
8
5,6
158 





Md
87,4158Md
87,162Md
Moda (Mo)
 É o valor que ocorre com maior frequência em uma série de 
valores.
Exemplos: 
a){ 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é igual a 10.
b){ 3 , 5, 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é amodal.
c){ 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 
4 e 7. A série é bimodal.
Moda (Mo) – Dados agrupados
o Sem intervalo de classe: é o valor da variável de maior 
frequência.
o Exemplo:
Nota nº de Alunos
0 1
1 1
2 2
3 4
4 6
5 8
6 12
7 10
8 3
9 2
10 1
Total 50
Moda (Mo) – Dados agrupados
o Com intervalos de 
classe: A classe que 
apresenta a maior 
frequência é denominada 
classe modal. Nesta, é o 
valor dominante que está 
compreendido entre 
os limites da classe 
modal. O cálculo da 
moda consiste em tomar o 
ponto médio da classe 
modal (Moda Bruta).
155
2
158152
2
)( supinf




 Mo
LL
Mo
(Nº de 
Ordem)
(Altura em cm)
01 152 158 9
02 158 164 8
03 164 170 5
04 170 176 4
05 176 182 3
06 182 188 1
Total
i i
x if
 Método pela fórmula de CZUBER:
: limite inferior da classe modal
: frequência anterior a classe modal
: frequência posterior a classe moda
: frequência da classe modal
: amplitude da classe modal
Moda (Mo) – Classes agrupada
4
)811()911(
911
58 







Mo
54 58 9
58 62 11
62 66 8
66 70 5
ix if
4
32
2
58 






Mo
4
5
2
58 





Mo
6,596,158 Mo
h
dd
d
LMo 







21
1
inf
antffd Mo 1
postffd Mo 2
infL
antf
Mof
h
postf
Interpretação Geométrica
Mo
if
ix
Atividade IV
1. Procure exemplos de séries estatísticas em jornais e revistas de enfoque 
ambiental e classifique essas séries;
2. Procure exemplos de gráficos em jornais e revistas de enfoque ambiental e 
classifique esses gráficos
3. Um processo de medida no laboratório foi avaliada através da inserção 
aleatoriamente de 27 amostras possuindo uma concentração conhecida de 
η=8.0 mg/L para o fluxo normal de trabalho ao longo de um período de 2 
semanas.
O resultado na ordem de observação foram 6.8, 7.8, 8.9, 5.2, 7.7, 9.6, 8.7, 
6.7, 4.8, 8.0, 10.1, 8.5, 6.5, 9.2, 7.4, 6.3, 5.6, 7.3, 8.3, 7.2, 7.5, 6.1, 9.4, 5.3, 
7.6, 8.1, e 7.9 mg/L.
A partir dos valores observados, obter:
a distribuição de frequência agrupada em classe, a frequência relativa, frequência 
acumulada e frequência relativa acumulada. Para o arredondamento utilize a regra 
da ABNT 5891;
Construa o seu histograma, o polígono de frequência, ogiva e o gráfico de setores;
A média aritmética, a moda, a mediana e localize essas medidas no histograma.
4) Considerando os conjuntos de dados:
 a)3,5,2,6,5,9,5,2,8,6
 b)20,9,7,2,12,7,20,15,7
 c)51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9
 d)15, 18, 20, 13, 10, 16, 14
Calcule a média, a mediana e a moda.
5) Os dados de DBO coletados na tabela ao lado, são 
do baixo Rio Jari, realizada no período de novembro de 
2009 a novembro de 2010. A partir desses dados 
construa:
a) a sua distribuição de frequência agrupada em 
classe;
b) O histograma, a ogiva e o gráfico em função do 
tempo;
c) A media, a mediana e a moda.
Atividade IV
Mês
DBO(mg/L)
L 1 L2 L3 L4
nov 8,09 8,22 8,20 8,11
dez 8,46 9,11 9,72 8,66
jan 6,75 5,96 6,41 6,24
fev 5,51 5,48 5,39 4,91
mar 4,96 5,22 4,38 4,77
abr 6,37 6,24 5,74 5,92
mai 8,92 8,85 7,94 8,08
jul 7,87 7,94 7,75 7,85
ago 0,83 1,28 1,70 1,18
set 1,07 1,47 1,41 1,84
out 1,82 1,62 1,74 2,33
nov 2,53 2,58 2,44 2,31
Fonte: Oliveira,2013
Referência
 BERTHOUEX, Paul Mac; BROWN, Linfield C.. Statistics 
for Environmental Engineers. 2ª Boca Raton London 
New York Washington, D.c: Lewis Publishers, 2002. 
 MORETTIN, Pedro Alberto; BUSSAB, Wilton de Oliveira. 
Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 2006.
 TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: 
LTC, 1999.
 OLIVEIRA, B. S. Sangel. Qualidade da água associada à 
vulnerabilidade climática e riscos sanitários no baixo Rio Jarí 
– AP / Brunna Stefanny Sangel de Oliveira; orientador Alan 
Cavalcanti da Cunha. Macapá, 2013.