DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA E MEDIDAS DE POSIÇÃO - Aula

Prévia do material em texto

DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQUÊNCIA
Professora: Rita Costa
COMO ORGANIZAR ESSES DADOS?
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
2 3 3 3 3 3 3 3 3 4
4 4 5 5 5 6 6 6 7 7
Por exemplo: Números de filhos de um grupo de 50 casais. 
Vamos construir uma tabela?
Um conjunto de observações de certo fenômeno, não
estando adequadamente organizado, fornece pouca
informação de interesse ao pesquisador e ao leitor.
Uma maneira de organizar um conjunto de dados para
você melhor representá-lo é por meio de uma tabela de
distribuição de frequências.
TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO
Distribuição de frequência sem intervalos de classe: É a simples
condensação dos dados conforme as repetições de seus valores. Para
um rol de tamanho razoável esta distribuição de frequência é
inconveniente, já que exige muito espaço.
Distribuição de frequência com intervalos de classe: Quando o
tamanho da amostra é elevado e o número de variáveis é muito
grande, é mais racional efetuar o agrupamento dos valores em vários
intervalos de classe.
OBSERVAÇÃO
― Inclui tanto o valor da direita quanto o da esquerda;
― Não inclui nem o valor da direita, nem o da esquerda;
― Inclui o valor da direita mas não o da esquerda;
― Inclui o valor da esquerda mas não o da direita.
ELEMENTOS DA DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQUÊNCIAS
Classe: são intervalos de variação da variável;
Limites da classe: são os extremos de cada classe;
Amplitude de um intervalo: é a diferença entre o limite superior e
inferior: h = ls –li
Amplitude total: a diferença entre o Ls da última classe de
frequência com o Li da primeira classe, ou seja: H = Ls –Li
Ponto médio: é a média aritmética dos limites da classe: xi =
ls –li
2
TIPOS DE FREQUÊNCIAS
• Frequências simples ou absolutas (fi): é o número de repetições de 
um valor individual ou de uma classe de valores da variável. A soma 
das frequências simples é igual ao número total dos dados da 
distribuição.
 𝑓𝑖 = n
• Frequências relativas (fri): são os valores das razões (divisões) 
entre as frequências absolutas de cada classe e a frequência total da 
distribuição. A soma das frequências relativas é igual a 1 ou 100 %.
fri = 
𝑓𝑖
 𝑓𝑖
fri % = 
𝑓𝑖
 𝑓𝑖
. 100
TIPOS DE FREQUÊNCIAS
Frequência simples acumulada (F): é o total das frequências de
todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma
determinada classe.
Frequência relativa acumulada (Fr): é a frequência acumulada da
classe, dividida pela frequência total da distribuição.
Fr = 
F
 𝑓𝑖
Exemplo: A tabela abaixo apresenta uma distribuição 
de frequências das áreas de 400 lotes:
Áreas (m2) Nº de lotes
300 |– 400 14
400 |– 500 46
500 |– 600 58
600 |– 700 76
700 |– 800 68
800 |– 900 62
900 |– 1000 48
1000 |– 1100 22
1100 |– 1200 6
1) Calcular amplitude total.
2) Calcular a amplitude do intervalo de cada classes.
3) Construir uma tabela com todos os tipos de frequências (simples, relativa,
acumulada e acumulada relativa).
2ª AULA – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE 
UMA DISTRIBUIÇÃO
Objetivo: Facilitar a
compreensão do fenômeno
estatístico por meio do efeito
visual imediato que lhe é
próprio.
EXISTEM VÁRIOS TIPOS DE GRÁFICOS, 
OS MAIS USADOS SÃO:
Gráficos de linha:
Diagramas de área:
•Gráficos de coluna;
•Gráficos de barras;
•Gráficos de setores (ou gráfico de Pizza).
REPRESENTAÇÃO 
GRÁFICA PARA 
AS 
DISTRIBUIÇÕES 
DE FREQUÊNCIAS
Polígono de 
frequências;
Histograma;
Ogiva.
HISTOGRAMA
Eixo x: Amplitude de
cada intervalo de classe;
Eixo y: Frequência
simples ou absoluta.
POLÍGINO DE FREQUÊNCIA
Eixo x : pontos médios do 
interval de classe;
Eixo y: frequência
simples ou absoluta.
OGIVA
Eixo x: Limites superiores dos 
intervalos de classe;
Eixo y: Frquência Acumulada
3ª AULA: ATIVIDADE
(distribuição de frequência)
Na Tabela abaixo temos as frequências acumuladas do número de
sinistros por apólice de seguro do ramo Automóveis. Complete a tabela,
calculando as frequências simples absolutas e relativas e também as
frequências acumuladas relativas.
Número de Sinistros Número de Apólices
0 2913
≤ 1 4500
≤ 2 4826
≤ 3 4928
≤ 4 5000
O QUE É SINISTRO?
É o termo utilizado para os prejuízos causados a um veículo, e 
que deverão ser cobertas pela seguradora
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Média;
Mediana;
Moda.
PARA DADOS NÃO-AGRUPADOS 
(Quando os dados não estiverem na forma 
de distribuição de frequência)
As medidas de posição ou tendência central, como o 
próprio nome está indicando, são medidas que 
informam sobre a posição típica dos dados. 
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
O conceito de média é bastante comum, quando nos referimos, 
por exemplo, à altura média dos brasileiros, à temperatura 
média dos últimos anos, etc.
Definição
Dado um conjunto de n observações x1, x2, . . . , xn, (onde i = 1, 2,..., n)
a média aritmética simples é definida como
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Se as observações têm pesos ω1, ω2, . . . , ωn tais que
 𝑖=1
𝑛 𝑤𝑖 = 1, a média ponderada é
𝑥𝑝= ω1x1 + ω2x2 + . . . + ωn 
𝑥𝑝 = 
 𝑖=1
𝑛 𝑤𝑖 𝑥𝑖
 𝑖=1
𝑛 𝑤𝑖
EXEMPLO – MÉDIA PONDERADA
Para entender melhor, imagine um processo de avaliação de funcionários
públicos que foi divido em três etapas. Nessa avaliação, suponha que um
dos colaboradores apresentou as seguintes notas durante a avaliação:
1ª etapa = 90; 2ª etapa = 70; 3ª etapa = 85; e os pesos de cada etapa são: 1,
1 e 3, respectivamente. Qual o escore médio final do funcionário público?
MODA
Definição
A moda de uma distribuição ou conjunto de
dados, que representaremos por mo, é o valor
que mais se repete, ou seja, o valor mais
frequente.
Podemos ter distribuições amodais (todos os
valores ocorrem o mesmo número de vezes),
unimodais (uma moda), bimodais (duas modas),
etc.
MEDIANA (Md)
É outra medida de posição definida como o
número que se encontra no centro de uma
série de números, estando estes dispostos
segundo uma ordem. Em outras palavras, a
mediana de um conjunto de valores,
ordenados, é o valor situado de tal forma no
conjunto que o separa em dois subconjuntos
de mesmo número de elementos.
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE - MEDIANA
Se o nº de elementos for ímpar, 
então a mediana será exatamente 
o valor “do meio”.
Se o nº de elementos for par, 
então a mediana será exatamente 
a média “dos dois valores do 
meio”.
EMPREGO DA MEDIANA
Empregamos a mediana quando:
Desejamos obter o ponto que divide a
distribuição em partes iguais;
Há valores extremos que afetam de uma
maneira acentuada a média;
A variável em estudo é salário.
EXEMPLO
Sabendo-se que a produção leiteira
diária da vaca A, durante uma semana,
foi de: 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros,
pergunta-se: Encontre a média, a moda e
a mediana para a produção diária de
leite desta vaca.
PARA DADOS AGRUPADOS 
(Quando os dados estiverem na 
forma de distribuição de 
frequência)
QUANDO OS DADOS ESTIVEREM NA 
FORMA DE DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQUÊNCIA
As frequências são números indicadores da intensidade de cada 
valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, 
o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada 
pela fórmula:
 𝑥= 
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 𝑓𝑖
 𝑖=1
𝑛 𝑓𝑖
MODA 
(Para dados com intervalo de classe)
É o valor dominante que está compreendida entre os limites 
da classe modal (classe de maior frequência)
Mo = 
𝑙+𝐿
2
(moda bruta)
𝑙 = limite inferior da classe modal.
L = Limite superior da classe modal.
CALCULANDO A MEDIANA PARA DADOS 
AGRUPADOS
Seguindo os passos:
1º Determinamos as frequências acumuladas;
2º Calculamos 
 𝑓𝑖
2
3º Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada 
imediatamente superior à 
 𝑓𝑖
2
- classe mediana – e em seguida , 
empregamos a fórmula.
Md = 𝑙 + 
 𝑓𝑖
2
−𝐹 𝑎𝑛𝑡 .ℎ
𝑓
OBSERVE!
𝑙 = limite inferior da classe mediana;
F (anterior) = é a frequência acumulada da classe anterior à
classe mediana;
𝑓 = frequência simples da classe mediana;h = amplitude do intervalo da classe mediana.
EXEMPLO: Calcule a média, a moda e a mediana da 
seguinte distribuição de frequência e interprete os 
resultados obtidos:
Estaturas
(cm)
fi
150 |- 154 4
154 |- 158 9
158 |- 162 11
162 |- 166 8
166 |- 170 5
170 |- 174 3
Total 40
EXERCÍCIOS
1. Quatro amigos trabalham em um supermercado em tempo parcial com os seguintes salários
horários: Pedro: R$ 3,50 João: R$ 2,60 Marcos: R$ 3,80 Luiz: R$ 2,20
Se Pedro trabalha 10 horas por semana, João 12 horas, Marcos 15 horas e Luiz 8 horas, qual é o
salário horário médio desses quatro amigos? R. 3,1289
2. Na UFF, o coeficiente de rendimento (CR) semestral dos alunos é calculado como uma média das
notas finais nas disciplinas cursadas, levando em conta a carga horária (ou crédito) das disciplinas,
de modo que disciplinas com maior carga horária têm maior peso no CR. Suponha que um aluno
tenha cursado 5 disciplinas em um semestre, obtendo médias finais de 7,5; 6,1; 8,3; 6,5; 7,5. As três
primeiras disciplinas tinham carga horária de 4 horas semanais, a quarta, carga horária de 6 horas e a
última, 2 horas semanais. Calcule o CR do aluno nesse semestre. R. 7,08
3. Em uma pesquisa sobre atividades de lazer realizada com uma amostra de 20 alunos de um campus
universitário, perguntou-se o número de horas que os alunos gastaram “navegando” na Internet na
semana anterior. Os resultados obtidos foram os seguintes:
15 24 18 8 10 12 15 14 12 10
18 12 6 20 18 16 10 12 15 9
Calcule a média, a moda e a mediana desses dados, especificando as respectivas unidades.
R. média = 13,7; md = 13 e mo = 13
4. No final do ano 2005, o dono de um pequeno escritório de
administração deu a seus 8 funcionários uma gratificação de 250 reais,
paga junto com o salário de dezembro. Se em novembro o salário médio
desses funcionários era de 920 reais, qual o salário médio em dezembro?
Que propriedades você utilizou para chegar a esse resultado? R. 1170
5. No mês de dissídio (uma forma de reivindicação) de determinada
categoria trabalhista, os funcionários de uma empresa tiveram reajuste
salarial de 8,9%. Se no mês anterior ao dissídio o salário médio desses
funcionários era de 580 reais, qual o valor do salário médio depois do
reajuste? R. 631,62 reais
6. O número médio de empregados das empresas industriais do setor de
fabricação de bebidas em determinado momento era de 117 empregados,
enquanto o número mediano era de 27. Dê uma explicação para a
diferença entre essas medidas de tendência central.
7. Na tabela a seguir temos o número de empresas por faixa de
pessoal ocupado (PO) do setor de fabricação de bebidas em
determinado momento. Calcule a média e a mediana dessa
distribuição, especificando as respectivas unidades.
Classe de PO Número de empresas
[10, 30) 489
[30, 100) 269
[100, 500) 117
[500, 1000) 15
[1000, 2000) 9
[2000, 4000) 7