Testes de Hipóteses Eng.Civil

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P Prof.ª Lucia Galuch, Me Estatística Indutiva- Engenharia Civil Página 1 
 
TESTES DE SIGNIFICÂNCIA 
 
 
 A finalidade dos testes de significância é avaliar afirmações sobre os valores de 
parâmetros populacionais. 
O primeiro passo consiste em formular duas hipóteses sobre a afirmação. 
◼ A hipótese nula (Ho) é a que sugere que a afirmação é verdadeira 
◼ A hipótese alternativa (H1) é a que sugere que a afirmação é falsa (parâmetro > ou < que 
o valor alegado). 
 
 Exemplo: Inspeciona-se uma amostra de 142 peças de uma grande remessa, encontrando-se 8% de 
defeituosas. O fornecedor garante que não haverá mais de 6 % de peças defeituosas em cada remessa.. 
 O que devemos responder com o auxílio dos testes de significância, é se a afirmação do 
fornecedor é verdadeira. 
 Segundo o exemplo Ho: p = 6 % 
 H1: p > 6 % 
 
 Após a análise, a decisão é aceitar ou rejeitar Ho. 
 
Testes Unilaterais e Testes Bilaterais 
 
H1 : p > 6% H1 : p < 6% H1 : p  6% 
 
 
 
 
 
Tipos de Erros 
Há dois possíveis tipos de erros, quando realizamos um testa estatístico para se aceitar ou rejeitar H0. 
Podemos rejeitar a hipótese H0 quando ela é verdadeira, ou aceitar H0 quando ela é falsa. 
O erro de rejeitar H0, sendo H0 verdadeira, é denominado Erro tipo I, e a probabilidade de se cometer o 
Erro tipo I é designada por α. 
Por outro lado, o erro de se aceitar H0, sendo H0 falsa, é denominado Erro tipo II, e a probabilidade de se 
cometer o Erro tipo II é designada por β. 
 
Testes de Significância para Médias 
 
 O objetivo dos testes de significância para médias é avaliar afirmações feitas a respeito de médias 
populacionais. 
 Tais testes compreendem os seguintes estágios: 
1) Estabelecer a hipótese nula e a hipótese alternativa. 
2) Identificar uma distribuição adequada. A maior parte dos testes envolve a distribuição normal (z) 
ou a distribuição “t”. 
3) Particionar a distribuição amostral em regiões de aceitação ou rejeição. 
4) Calcular uma estatística teste. 
5) Comparar a estatística amostral com o valor crítico. 
 
 
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Teste de uma Amostra para Médias 
 
Utiliza-se um teste de uma amostra para testar uma afirmação sobre uma única média populacional. 
 
Se  é conhecido Se  é desconhecido e amostras n < 30) 

 nx
zteste
).( −
=
 
 
Exemplos: 
 
1) Uma amostra aleatória de 40 elementos retirados de uma população normal com desvio padrão 3, 
apresentou peso médio igual a 60 kg. Teste ao nível de significância de 5%., a hipótese que a média 
populacional pesa igual a 59. 
 
 
 
 
2) Uma amostra aleatória de 12 elementos retirados de uma população normal apresentou média 100 e 
desvio padrão 5. Teste ao nível de 5% a hipótese de que a média populacional seja 102. 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Na indústria cerâmica, avalia-se sistematicamente a resistência de amostras de massas cerâmicas, após 
o processo de queima. Dessas avaliações, sabe-se que certo tipo de massa tem resistência mecânica 
aproximadamente normal, com média 53MPa e variância 16MPa2 . Após a troca de alguns 
fornecedores de matérias-primas, deseja-se verificar se houve alteração na qualidade. Uma amostra de 
15 corpos de prova de massa cerâmica acusou média igual a 50 MPa. Qual é a conclusão ao nível de 
significância de 5%? 
 
 
2. Jeffrey, um estudante de direito, deseja verificar a alegação de seu professor de que os condenados por 
crime de falsificação passam, em média, 8,8 meses na cadeia. Para isto, obtém uma amostra aleatória 
de 70 desses casos dos arquivos do tribunal e encontra 
2,8=x
 meses e σ = 2,2 meses. Teste a hipótese 
nula μ = 8,8 meses contra a alternativa μ ≠ 8,8 meses, utilizando o nível de 0,01 de significância. 
 
3. Uma amostra aleatória de 40 elementos selecionados de uma população normal com desvio padrão 2 
apresenta média 29,5. Um analista afirma que a média da população é 30. Teste ao nível de 3% a 
afirmação do analista. 
 
 
 
 
 
S
nx
t teste
).( −
=
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TESTES DE DUAS AMOSTRAS PARA MÉDIAS 
 
 Os testes de duas amostras são usados para decidir se as médias de duas populações são iguais. 
 
 
H0 1 2: =
 
 
 
H1 1 2: 
 
H1 1 2: 
 
H1 1 2: 
 
 
 
 Para σ
1
 e σ 
2
 conhecidos 
 
 
n n1 2 30+ 
 
z
x x
n n
teste =
−
+
1 2
1
2
1
2
2
2
 
 
 
 σx ou Sx 
 
 
 Para σ 
1
 e σ 
2
 desconhecidos 
GL n n= + −1 2 2
 
 
 
 
S x
 e 
n n1 2 30+ 
 
t
x x
S
n
S
n
teste =
−
+
1 2
1
2
1
1
2
2 
 
 e 
n n1 2=
 
 
 
 e S e n
1
 + n 
2
 ≤ 30 
( ) ( )
t
x x
n S n S
n n n n
teste =
−
− + −
+ −








+






1 2
1 1
2
2 2
2
1 2 1 2
1 1
2
1 1
 
 e 
n n1 2
 
 
 
Exemplo: 
 
1. Dois tipos de tinta foram testados sob as mesmas condições meteorológicas. O tipo A registrou 
uma média de 80 com desvio padrão de 5 em 5 partes. O tipo B, uma média de 83 com um desvio 
de 4 em 6 partes. Adotando α = 0,05, teste a hipótese da igualdade entre as médias. As populações 
possuem distribuições normais com variâncias admitidas iguais. 
 
 
 
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2. A fim de verificar o consumo de combustível ( km/l ), foram tomadas duas amostras de dois 
modelos de automóveis, A e B. Uma amostra de 12 automóveis do modelo A apresentou 
x
 = 7,6 
e Sx = 1,3, e uma amostra de 15 automóveis do modelo B forneceu x = 8,1 e Sx = 2,4. Testar, no 
nível 0,10, a hipótese de que não há diferença significativa de consumo de combustível entre os 
dois modelos de automóveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS : TESTES PARA DUAS AMOSTRAS 
 
 
1. Um fabricante de pneus faz dois tipos. Para o tipo A, σ = 2500 milhas e para o tipo B, σ = 3000 
milhas. Um táxi testou 50 pneus do tipo A e 40 do tipo B, obtendo 24000 milhas e 26000 milhas de 
duração média dos respectivos tipos. Testar a hipótese de que a vida média dos dois tipos é a mesma, 
com 95% de certeza. 
 
2. Um teste de química foi dado a 50 alunos da manhã e 75 alunos da noite. Os alunos da manhã 
obtiveram média 76 com desvio padrão 6, enquanto que os alunos da noite obtiveram média 82 e 
desvio padrão 8. Verifique se há diferença significativa entre as duas médias, no nível de 5%. 
 
3. Para se comparar a qualidade de duas marcas de lâmpadas (A e B), foram tomadas duas amostras 
dessas marcas, de tamanho 50 cada. As lâmpadasda marca A tiveram uma duração média de 950 horas 
e desvio padrão de 60 horas. Os resultados relativos às lâmpadas da marca B foram respectivamente: 
980 horas e 80 horas. Testar no nível 0,05, a hipótese de que as lâmpadas da marca B são de melhor 
qualidade que as da marca . 
 
4. As notas finais de Matemática dos alunos de uma Faculdade distribuíram-se normalmente com média 
6,0 e desvio padrão 1,2. Foram selecionadas duas amostras aleatórias de 50 alunos e 45 alunas dessa 
Faculdade. Os dados obtidos, com relação às notas de Matemática desses grupos, foram: 
 Alunos: 
x
= 5,7 e Sx = 2,0 
 Alunas: 
x
= 6,3 e Sx = 2,7 
 Pergunta-se: 
a) Pode-se afirmar, no nível 0,05, que as alunas são superiores aos alunos em Matemática? 
b) Pode-se afirmar que a nota média das alunas é igual à média das notas de todos os alunos, no nível 
0,01?