AULA 13 - Análise De Resposta em Frequência

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Análise De Resposta em Frequência
Prof: Almir Kimura Junior
EST – Escola Superior de Tecnologia
UEA – Universidade do Estado do Amazonas 
Manaus, Brasil
INTRODUÇÃO
A resposta em frequência é a resposta em regime estacionário de um sistema de controle submetido a um sinal de entrada senoidal.
Os métodos de resposta em frequência estão entre as técnicas mais comuns disponíveis para o projeto e análise de sistemas de controle. As várias técnicas de análise e projeto se complementam. 
Nos métodos de resposta em frequência, varia-se a freqüência do sinal de entrada e a resposta resultante é analisada.
A resposta em frequência apresenta uma imagem qualitativa da resposta transitória.
Os diagramas de Bode constituem uma das ferramentas gráficas mais potentes para analisar e projetar sistemas de controle.
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VANTAGENS DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
Facilidade com que a resposta em frequência de um sistema pode ser obtida;
Possibilidade de determinar a função de transferência de determinados sistemas;
Possibilidade de analisar a estabilidade absoluta e relativa de um sistema, mesmo quando se desconhece a sua função de transferência em malha fechada;
Possibilidade de projetar um sistema de controle, ainda que se desconheça a função de transferência.
Podem-se projetar sistemas de modo que os sinais de ruídos e perturbações indesejáveis sejam desprezíveis.
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RESPOSTA EM REGIME PERMANENTE
Considere o sistema linear invariante no tempo indicado pela figura abaixo.
Sistema linear e invariante no tempo
Para este sistema tem-se que,
O sinal de entrada x(t) é senoidal e é dado por,
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VANTAGENS DA RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
Portanto, o sinal de saída y(t), em regime estacionário, será dado por,
Onde,
E,
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COMENTÁRIOS
Um sistema linear e invariante no tempo, submetido a uma excitação senoidal, terá como resposta, em regime estacionário, um sinal também senoidal de mesma frequência do sinal de entrada. Mas, a amplitude e o ângulo de fase do sinal de saída serão, em geral, diferentes da amplitude e do ângulo de fase do sinal de entrada.
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COMENTÁRIOS
Um exemplo de sinais senoidais de entrada e de saída é mostrado na figura abaixo.
Observe que, para sinais senoidais de entrada,
Que é a relação entre a amplitude do sinal de entrada e do sinal de saída.
Que é a defasagem do sinal em relação ao sinal de entrada.
Sinais senoidais de entrada e de saída.
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COMENTÁRIOS
Em consequência, a resposta em regime permanente de um sistema a uma entrada senoidal pode ser obtida diretamente a partir de:
A função é chamada função de transferência senoidal. É a relação entre e , trata-se de uma grandeza complexa e pode ser representada pelo módulo e pelo ângulo de fase, tendo a frequência como parâmetro.
A função de transferência senoidal de qualquer sistema linear é obtida pela substituição de s por jw na função de transferência do sistema.
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Exemplo
Determinar a saída em regime permanente do sistema linear e invariante no tempo da figura abaixo quando é aplicada a entrada u(t)=2sen(3t).
Solução: O sinal de entrada u(t) é uma senoide com frequência w= 3 rad/s e amplitude A=2. Logo a saída em regime permanente também é uma senoide com a mesma frequência de entrada. Obtém-se:
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Exemplo
Substituindo s por jw no sistema, obtém-se
Para
A fase de G(j3) vale
Portanto, a saída em regime permanente é dado por:
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DIAGRAMA DE BODE
Uma função de transferência senoidal pode ser representada por meio de dois gráficos separados, um representando o valor do módulo (magnitude) versus frequência; o outro, o valor do ângulo de fase (em graus) versus frequência.
O diagrama de Bode consiste em dois gráficos. Um é o gráfico logarítmico do módulo da função de transferência senoidal; o outro é um gráfico do ângulo de fase; ambos são construídos em função da frequência numa escala logarítmica.
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COMENTÁRIOS
Representação Padrão
Módulo logarítmico G(j) é 
Unidade: decibel (dB)
Desenhado em papel semilog
A principal vantagem de se usar um gráfico logarítmico é que a multiplicação dos módulos é convertida em adição.
Método simples para esboçar uma curva aproximada do logarítmico do módulo (método das aproximações assintóticas).
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FATORES BÁSICOS DE G(J) H(J)
Os fatores básicos que constituem uma função de transferência são
Constantes K
Fatores Integrativos e Derivativos
Fatores de Primeira Ordem
Fatores de Segunda Ordem
Uma vez conhecidos os diagramas de Bode de cada um destes fatores básicos, e tendo em conta que uma função de transferência resulta do seu produto, podemos construir o diagrama de Bode de qualquer função de transferência adicionando as curvas correspondentes aos vários fatores que a constituem.
Vamos agora obter o diagrama de Bode de cada um destes fatores básicos, o que irá permitir construir o diagrama de qualquer função de transferência.
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FATORES BÁSICOS DE G(J) H(J)
Ganho K
A curva do logarítmico do módulo para um ganho constante é uma reta horizontal de valor 20log(K) dB. O ângulo de fase do ganho K é nulo. 
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Fatores Integral e Derivativo
O módulo do logarítmico de em dB é:
E o ângulo de fase de é uma constante igual a -900
A curva de módulo em dB é uma reta com inclinação –20 dB/década.
O módulo logarítmico de em dB é: 
E o ângulo de fase de é constante e igual a +900. 
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FATORES BÁSICOS DE G(J) H(J)
As figuras (a) e (b) mostram as curvas da resposta da resposta em freqüência para e , respectivamente.
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FATORES BÁSICOS DE G(J) H(J)
Fatores de Primeira ordem
O módulo em dB dos fatores de primeira ordem é,
Para baixas freqüências, tais que , o módulo em dB pode ser aproximado por,
 
Portanto, a curva do módulo em dB nas baixas freqüências é a reta constante de 0 dB. 
Para altas freqüências, tais que  >> 1/T,
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FATORES BÁSICOS DE G(J) H(J)
Fatores de Primeira ordem
Para altas frequências, tais que  >> 1/T,
Esta é uma expressão aproximada para a faixa de altas frequências. 
Em  = 1/T, o módulo em dB é igual a 0 dB; em =10/T, o módulo em dB é –20 dB.
A análise mostra que a representação logarítmica da curva de resposta em frequência pode ser aproximada por duas retas assintóticas:
Uma em 0 dB para a faixa de freqüências 1/T<<.
E uma outra com inclinação de –20 dB/dec para a faixa de frequência 1/T<<. 
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FATORES BÁSICOS DE G(J) H(J)
Fatores de Primeira ordem
O ângulo de fase  exato do fator é: 
Na freqüência zero, o ângulo de fase é 00. Na freqüência de corte, o ângulo de fase é,
No infinito, o ângulo de fase se torna igual a -900. O ângulo de fase é anti-simétrico em relação ao ponto de inflexão em  = -450.
O erro na curva de módulo cometido quando se usam as assíntotas pode ser calculada. 
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FATORES BÁSICOS DE G(J) H(J)
Fatores de Primeira ordem
A curva exata do módulo em dB, as assíntotas e a curva exata do ângulo de fase são mostradas na figura abaixo.
A frequência nas quais as duas assíntotas se interceptam é denominada frequência de corte ou frequência de mudança de inclinação.
Curva de módulo em db com as assíntotas e a curva de ângulo de fase 1/(1+jωt)
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FATORES BÁSICOS DE G(J) H(J)
Fatores de Primeira ordem
O erro máximo ocorre na freqüência de corte e é aproximadamente igual a –3 dB uma vez que,
O erro na freqüência uma oitava abaixo da freqüência de corte, ou seja, em  = 1/2T é,
O erro
na freqüência uma oitava acima da freqüência de corte, ou seja, em  = 2/T é,
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FATORES BÁSICOS DE G(J) H(J)
Fatores de Primeira ordem
Portanto, o erro no valor do módulo em dB, na frequência uma oitava abaixo ou uma oitava acima da frequência de corte é aproximadamente igual a –1 dB.
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FATORES QUADRÁTICOS 
Os sistemas de controle muitas vezes possuem fatores quadráticos da forma:
Se  >1, este fator quadrático pode ser expresso como o produto de dois fatores de primeira ordem com pólos reais. 
Se 0 <  < 1, este fator quadrático é o produto de dois fatores complexos conjugados.
As aproximações assintóticas para as curvas de resposta em freqüência, não são precisas para um fator com baixos valores de , pois para o fator quadrático as curvas dependem da freqüência de corte e do coeficiente de amortecimento.
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FATORES QUADRÁTICOS 
A curva de resposta em frequência assintótica pode ser obtida como se segue, uma vez que,
Nas baixas frequências tais que <<n, o módulo em dB resulta em,
A assíntota em baixas frequências é, portanto, uma reta horizontal em 0 dB. 
Nas altas frequências tais que  >> n, módulo em dB se torna,
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FATORES QUADRÁTICOS 
 A equação para a assíntota nas altas frequências é uma reta que possui a inclinação –40dB/dec, uma vez que,
A assíntota de alta freqüência intercepta a de baixa freqüência em =n, pois nesta freqüência,
As assíntotas independem do coeficiente de amortecimento . Nas proximidades da freqüência =n ocorre um pico de ressonância. 
O coeficiente amortecimento  determina a amplitude deste pico de ressonância. 
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FATORES QUADRÁTICOS 
Portanto, existem erros na aproximação pelas assíntotas. O valor do erro depende de do valor de .
 No caso de se desejar corrigir as curvas assintóticas para certo número de valores de freqüência, tais correções podem ser obtidas da figura abaixo.
Curvas de módulo e ângulo
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FATORES QUADRÁTICOS 
O ângulo de fase do fator quadrático é,
Nota-se que o ângulo de fase é uma função de  e de . Em  = 0, o ângulo de fase é igual a 00. 
Na freqüência de corte =n, o ângulo de fase é –900 independentemente do valor de , uma vez que, 
Em 	= resulta o ângulo de fase é igual a -1800. A curva do ângulo de fase é anti-simétrica em relação ao ponto de inflexão, o ponto onde =–900.
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FATORES QUADRÁTICOS 
Comentários
Para se obter as curvas de resposta em frequência de uma dada função de transferência quadrática deve-se determinar o valor da frequência de corte n e do coeficiente de amortecimento .
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FATORES QUADRÁTICOS 
Procedimento Geral para Construção dos Diagramas de Bode
Reescrever a função de transferência senoidal G(j)H(j) sob a forma de produto dos fatores básicos.
Identificar as frequências de corte associadas a estes fatores básicos.
Desenhar as curvas assintóticas do módulo em dB, com inclinações apropriadas entre as frequências de corte.
A curva exata é obtida fazendo-se as devidas correções.
A curva do ângulo de fase de G(j)H(j) pode ser traçada adicionando-se as curvas dos ângulos de fase dos fatores individuais.
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FATORES QUADRÁTICOS 
EXEMPLO
Esboçar os diagramas de Bode para a função de transferência abaixo e efetue as correções de modo que a curva do módulo em diagrama de blocos seja precisa.
Solução: A fim de evitar possíveis erros na construção da curva do módulo em diagrama de blocos, é desejável colocar G(j) na forma normalizada, onde as assíntotas de baixa freqüência para os fatores de primeira ordem e para o fator de segunda ordem correspondem à reta de 0 dB.
Esta função é composta dos seguintes fatores básicos:
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FATORES QUADRÁTICOS 
EXEMPLO (CONTINUAÇÃO)
As freqüências de corte do terceiro, quarto e quinto termos são, respectivamente, =3, =2, = . Note-se que o último termo tem o coeficiente de amortecimento de 0,3536.
Para construir o diagrama de bode, as curvas assintóticas de cada um dos fatores são mostradas separadamente. A curva composta é então obtida adicionando-se algebricamente as curvas individuais.
Para a construção da curva completa de ângulo de fase, devem ser esboçadas as curvas de ângulo de fase de todos os fatores. A soma algébrica de todas as curvas de ângulo de fase fornece a curva completa de ângulo de fase
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FATORES QUADRÁTICOS 
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EXEMPLO DE RESOLUÇÃO UTILIZANDO O MATLAB
1- CONSIDERE A SEGUINTE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA:
Construa o diagrama de Bode para essa função de transferência.
num=[25];
den=[1 4 25];
bode(num,den)
title(‘Diagrama de bode de G(s)=25/(s^2+4s+25)`)
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EXEMPLO DE RESOLUÇÃO UTILIZANDO O MATLAB
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EXEMPLO DE RESOLUÇÃO UTILIZANDO O MATLAB
2- CONSIDERE O SISTEMA INDICADO NA FIGURA ABAIXO. A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE MALHA ABERTA É:
Trace o diagrama de bode.
num=[9 1.8 9];
den=[1 1.2 9 0];
bode(num,den)
title(‘Diagrama de bode`)
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EXEMPLO DE RESOLUÇÃO UTILIZANDO O MATLAB
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EXEMPLO DE RESOLUÇÃO UTILIZANDO O MATLAB
3- CONSIDERE O SEGUINTE SISTEMA:
Esse sistema tem uma entrada u e uma saída y. Trace o diagrama de bode
A=[0 1; -25 -4];
B=[0; 25];
C=[1; 0];
D=[0];
Bode(A,B,C,D)
title(‘Diagrama de bode`)
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EXEMPLO DE RESOLUÇÃO UTILIZANDO O MATLAB
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