lista 04 seqs LAURITO

Prévia do material em texto

Uni-BH
IET - Instituto de Engenharia e Tecnologia
Cálculo de Várias Variáveis – Lista de Exercícios
Professor Laurito Alves
1ª parte
No livro do Thomas, volume 2, 11ª edição (eu disse 11ª edição), após ler as seções 11.1 e 11.2, fazer os exercícios:
Seção 11.1 – Página 74 e seguintes: 1 a 85, 92, 93, 94, 97 a 105, 127, 128, 129 a 140
Seção 11.2 – Página 86 e seguintes: 1 a 59, 70, 73 a 78.
2ª parte – Exercícios avulsos
Se for usar calculadora, trabalhe com 4 casas após a vírgula. Eu prefiro que você use Excel ou seus conhecimentos de AEDS.
Para cada uma das sequências dadas abaixo, determine os 5 primeiros termos da sequência e diga se a sequência converge ou diverge. Caso ela convirja, determine para quanto ela converge. 
an = b) an = c) an = 
Determine os 50 primeiros termos das sequências abaixo:
a1 = 1, an+1 = an + n
a1 = 1, an+1 = an / (n + 1)
a1 = 2, an+1 = (-1)n+1 an / 2 + n
a1 = -2, an+1 = n an / (n + 1)
a1 = a2 = 1, an = an-1 + an-2
a1 = 2, a2 = 5, an = 2an-1 – an-2
Encontre o valor de a1274 para as seguintes sequências:
{-1, 2, -3, 4, -5, 6, ...}
{1, -4, 9, -16, 25, -36, ...}
{-225, -220, -215, -210, -205, ... }
{1, 5, 9, 13, 17, 21, ... }
{0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, ...}
{3,-10,17,-24,31,-38,...}
{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,...}
Determine os 5 primeiros termos das sequências abaixo e determine seu limite, se existir:
an = b) an = c) an = d) an = e) an = 
an = g) an = ln n – ln (n+1) h) an = 
Suponha que você sabe que uma sequência é crescente e que todos seus termos estão entre 2 e 10. Essa sequência possui limite ?
Dado um número real positivo k, considere a sequência an dada por a1 = e an = . Determine os 50 primeiros termos dessa sequência para k = 1, k = 2, k = 3 e k = 4. Considere, agora, a função f(k) = . Calcule o valor de f(1), f(2), f(3) e f(4). Relacione o limite de an com f(k).
Considere a sequência de Fibonacci fn = {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...}. Determine os 15 primeiros termos da sequência an = fn+1/fn. Utilize sua calculadora e trabalhe com 5 casas após a vírgula. Considere agora a sequência bn dada por b1 = 1 e bn = 1+ . Determine os 15 primeiros termos de bn.
Dado um número real positivo k, considere a sequência an dada por a1 = k/2 e an = . Determine o valor de a7 para k = 2, k = 3, k = 7 e k = 10. Qual a relação entre k e o valor de a7 ?
Você investe R$ 1000,00 em uma caderneta de poupança que rende 0,5% de juros ao mês. Todo mês, no dia em que recebe os juros, você deposita R$ 50,00 na conta. Seja an a sequência que representa o seu saldo n meses após abrir a conta.
Quais são os 5 primeiros termos da sequência an ?
Qual é a lei da sequência an ? (Sugiro uma lei recursiva)
Essa sequência an é convergente ou divergente ?
Se você continuar com esses depósitos até completar 70 anos, qual será seu saldo no dia do seu aniversário ?
A partir dos 70 anos você vai parar de depositar e passará a sacar o dinheiro dessa conta. Quanto você poderá retirar por mês ?
3ª parte – Esses são para entregar em seu trabalho de novembro
Considere a sequência an dada pela seguinte lei:
Determine os 10 primeiros termos dessa sequência para k = 2, k = 32 e para k = 15
Ainda não foi provado, mas todos acreditam que dado qualquer valor inicial para k, algum termo dessa sequência será igual a 1. Suponha que você nasceu no dia dd/mm/aaaa. Qual é o primeiro termo dessa sequência que é igual a 1 usando para k o número ddmmaaaa. Por exemplo, Guilherme, meu filho lindo, nasceu em 18/07/1994. Para ele, k = 18071994 e o primeiro termo da sequência que é igual a 1 é o termo a111.
O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula 
em que pn é a população de peixes depois de n anos e a e b são constantes positivas que dependem da espécie e de seu habitat. Suponha que a população no ano 0 é p0 > 0.
Como sempre devemos ter pn > 0, mostre que pn+1 < (b/a) . pn
Para uma determinada espécie temos a = 5, b = 40 e p1 = 10000. Calcule os 20 primeiros termos dessa sequência e determine se ela converge.
Repita o anterior para vários valores diferentes de a e b, sempre com b > a. Que relação existe entre os valores de a e b e o limite da sequência ?
Repita, agora, usando a > b. O que ocorre com o limite da sequência ?
Considere a função f(x) = . Sendo k uma constante qualquer, considere a sequência an = {f´(k), f´´(k), f´´´(k), f´´´´(k) , ...}. Determine os 20 primeiros termos dessa sequência e também se essa sequência converge ou diverge para 
k = 0
k = 0,9999
k = 1,0001