Derivadas Parciais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
MTM- CÁLCULO B – PARA COMPUTAÇÃO 
DERIVADAS PARCIAIS 
 
 Sejam f: A ⊆⊆⊆⊆ R2 →→→→ R 
z = f ( x ,y ) 
Para fazer tal análise, considera-se que apenas uma variável se modifica, enquanto a outra é 
mantida fixa. Esse procedimento nos levará a definição de uma derivada para cada uma das 
variáveis independentes. Essas derivadas são ditas parciais. 
Definição: Se z = f ( x, y ), então a derivada parcial de 1a. ordem de f em relação a x (também 
chamada de derivada parcial de 1a. ordem de z em relação a x) é a derivada em relação a x da 
função que resulta quando y é mantido fixo e x é permitido variar. Esta derivada pode ser 
expressa como o limite: 
 
 Pode ser denotada por: fx ( x, y ) 
 ∂f /∂ x ; Dx f ( x, y ) 
Analogamente a derivada parcial de 1
a
. ordem de f em relação a y ( também chamada de 
derivada parcial de 1a. ordem de z em relação a y) é a derivada em relação a y da função que 
resulta quando x é mantido fixo e y é permitido variar. Esta derivada pode ser expressa como o 
limite: 
 Pode ser denotada por: fy ( x, y ) 
 ∂f /∂ y ; Dy f ( x, y ) 
 
 
Na prática, pode-se obter as derivadas parciais utilizando as regras de derivação das funções 
de uma variável. Para calcular fx ( x, y) mantém-se y constante e para obter fy (x, y) mantém-se 
x constante. 
 
Exemplos: Determine as derivadas parciais de primeira ordem, em relação a x e a y 
respectivamente, das seguintes funções: 
 
1) f ( x, y) = 2x
3
 y
2
 + 2y + 4x 2) g ( x, y ) = √ x2 + y2 – 2 
 
3) z = cos ( 3x + 2y) 4) h ( x, y ) = ln ( x y) + x + y 
 
lim f ( x, y) = 
∆∆∆∆x →→→→ 0 
 f ( x + ∆∆∆∆x, y) – f ( x, y ) 
 ∆∆∆∆x 
 
lim f ( x, y) = 
∆∆∆∆y →→→→ 0 
 f ( x, ∆∆∆∆y + y) – f ( x, y ) 
 ∆∆∆∆y 
Como se comportam os valores de z se x for mantido fixo e 
y for permitido variar, ou se y for mantido fixo e x for 
permitido variar? 
 
Interpretação geométrica das Derivadas Parciais de uma Função 
de duas Variáveis 
 
Sejam f: A ⊆⊆⊆⊆ R2 →→→→ R C1: a intersecção da superfície z com o plano y = y0 
 z = f ( x ,y ) C2: a intersecção da superfície z com o plano x = x0 
 
Assim, geometricamente, fx ( x0, y0 ) pode ser vista como a inclinação da reta tangente à curva 
C1 no ponto (x0, y0), e fy ( x0, y0 ) pode ser vista como a inclinação da reta tangente à curva C2 
no ponto (x0, y0). E chamaremos fx ( x0, y0 ) a inclinação da superfície na direção x em ( x0, y0 ), e 
fy ( x0, y0 ) a inclinação da superfície na direção y em ( x0, y0 ). 
Exercício: Seja f ( x, y )= x
2
 y + 5y3, determine as inclinações das superfícies z nas direções x e y 
no ponto ( 1, -2). 
DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES COM MAIS DE DUAS 
VARIÁVEIS 
 
A generalização do conceito de derivadas parciais de 1
a
. ordem com mais de duas variáveis 
pode ser feita como: Dada f: A ⊆⊆⊆⊆ Rn →→→→ R 
z = f ( x1 , x2, x3, ..., xn ) 
obtém-se n derivadas parciais de 1a. ordem, 
 representadas por: 
xn
f
x
f
x
f
x
f
x
f
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,...,
4
,
3
,
2
,
1
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 1) Dadas as funções abaixo, calcule as derivadas parciais de 1a.ordem 
a) f ( x, y, z ) = x
3
y
2
z
4
 + 2xy + z c) w = (x
2
 – y
2
)/(y
2 
+ z
2
) 
 
b) f ( x, y, z ) = z ln ( x
2
y cos z) d) f ( x, y, z, t, w ) = xyz ln ( x2 + t2 + w2) 
 
Onde
1x
f
∂
∂
 é calculada mantendo-se x2, x3, ..., xn constantes e variando x1, para calcular 
2x
f
∂
∂
 
mantém-se x1, x3, ..., xn constantes e varia-se x2, e assim sucessivamente. 
DERIVADAS PARCIAIS DE ORDENS SUPERIORES 
 
 Uma vez que as derivadas parciais ( ∂∂∂∂f/∂∂∂∂x e ∂∂∂∂f/∂∂∂∂y )de uma função f ( x ,y ) são funções 
de x e y, essas funções podem elas mesmas ter derivadas parciais. Isso origina quatro possíveis 
derivadas parciais de segunda ordem de f, as quais são definidas por: 
xxf
x
f
xx
f
=





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
2
 yyf
y
f
yy
f
=





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
2
 
 
 
 
xyf
x
f
yxy
f
=





∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂2
 yxf
y
f
xyx
f
=





∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂2
 
 
 
 
 
Os dois últimos casos são chamados de derivadas de segunda ordem parciais mistas. 
 
Exemplos: 
1) Dada a função f(x,y) = x
2
y
3
 + x
4
y. Calcule as derivadas de segunda ordem de f. 
 
2) Seja f(x,y) = y
2
 e
x
 + y. Determine fxyy 
 
3) Verifique se as derivadas de segunda ordem parciais mistas de f (x,y) = ln ( 4x – 5y) 
são iguais. 
DIFERENCIAIS 
 
 Numa função y=f(x) de uma variável, a diferencial dy=f ’(x0)dx representa a 
variação de y ao longo da reta tangente em (x0, y0) produzida por uma variação em x. 
 Analogamente, se z = f(x,y) é uma função de duas variáveis, definiremos dz 
como sendo a variação de z ao longo do plano tangente em (x0, y0, z0) à superfície z 
= f(x,y) produzida pelas variações dx e dy em x e y, respectivamente. 
Assim, considerando: ∆∆∆∆x = x – x0 e ∆∆∆∆y = y – y0 
Numa notação clássica, definimos a diferencial das variáveis independentes 
x e y como acréscimos ∆∆∆∆x e ∆∆∆∆y respectivamente, isto é, dx = ∆∆∆∆x e dy=∆∆∆∆y. Nesse 
contexto, a diferencial de f em (x,y), relativa a estes acréscimos, é indicada por dz 
ou df, onde: 
 
dyyx
y
f
dxyx
x
f
dz ),(),(
∂
∂
+
∂
∂
= também denominada diferencial total de f(x,y) 
 
Derivando duas vezes em relação a x. 
Derivando duas vezes em relação a y. 
Derivando primeiro em relação a x e, 
então em relação a y. 
Derivando primeiro em relação a y e, 
então em relação a x. 
Exemplos: 1) Seja z = 4x3y2. Determine dz. 
2) Calcular a diferencial total de xyxyxf +=),( no ponto (1,1) 
3) Dada a função z = x
2
 + y
2
 – xy 
a) Determinar uma boa aproximação para o acréscimo da variável dependente quando 
(x,y) passa de (1,1) para (1,001,; 1, 02). 
b) Calcular ∆∆∆∆z quando as variáveis independentes sofrem a variação dada em (a) 
DIFERENCIAL DE FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS 
 
A definição anterior pode ser estendida para funções de três ou mais variáveis. Por exemplo 
para o caso de três variáveis podemos dizer que a diferencial de w = f(x,y,z) em 
(x0,y0,z0) é dada por: dzzyx
z
f
dyzyx
y
f
dxzyx
x
f
w ),,(),,(),,(
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∂ 
Exemplos: 
2) Calcule a diferencial da função f(x,y,z) = x2 y z + 2x – 2y no ponto (1,2,1/2). 
 
3) Calcular a diferencial total de : 
 
a) w = x2 + y2 + exyz b) z = x1x2 – x2x3 + x3x4 
APLICAÇÕES DA DIFERENCIAL 
 
Exemplos:1)Dado um retângulo de lados 4cm e 2cm, calcular um valor aproximado para a 
variação da área quando os lados são modificados para 4,01 cm e 2,001cm, respectivamente; 
Dado um triângulo retângulo de catetos 1cm e 2cm, calcular um valor aproximado para a 
variação da área quando os lados são modificados para 0,5 cm e 2,01 cm respectivamente; 
 
2) Considere uma caixa, com tampa, de forma cilíndrica, com dimensões; raio = 2 cm e altura = 
5 cm. O custo do material em sua confecção é de R$ 0,81 por cm
2
. Se as dimensões sofrerem 
um acréscimo de 10% no raio e 2% na altura, pergunta-se: 
a) Qual o valor aproximado do acréscimo no custo da caixa? 
b) Qual o valor exato do acréscimo no custo da caixa? 
 
 
REGRA DA CADEIA 
 
 Se y é uma função diferenciável x e se x for uma função diferenciável de t, 
então a regra da cadeia para funções de uma variável afirma: 
t
x
x
f
t
f
∂
∂∂
∂
=
∂
∂
 
 Para deduzir a versão da regra da cadeia para funções de duas variáveis, 
admite-se que z é uma função de x e y , isto é: 
z = f ( x, y ) 
Caso 1: Supondo que x = x (t) e y = y (t) são funções de uma variável t. Tem-se: 
z = f ( x(t), y(t) ) a qual expressa z como uma função de uma única variável t. 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 1) Suponha que z = x2y, x = t2 e y = t3 use a regra da cadeia para determinar 
dz/dt e verifique o resultado expressando z como uma função de t e diferenciando 
diretamente. 
 2) Suponha z = √√√√xy + y, x = cosθθθθ , y = senθθθθ , use a regra da cadeia para determinar 
dz/dθθθθ quandoθθθθ = ππππ/2. 
Caso 2: Supondo que x = x (u,v) e y = y (u,v) são funções diferenciáveis de duas 
variáveis u e v . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 1) Sejam f(x,y) = x2y – x2 + y2 , x = rcosθθθθ , y = rsenθθθθ, encontre as derivadas 
parciais df/dr e df/dθθθθ 
2) A que taxa está variando a área de um retângulo se seu comprimento é de 8 cm e 
está crescendo a 3cm/s, enquanto sua largura é de 6 cm e está crescendo a 2 cm/s? 
Teorema (Regra da Cadeia): Se x = x (t) e y = y (t) forem 
diferenciáveis em t e se z = f ( x, y ) for diferenciável no ponto 
(x(t), y(t)), então z = f ( x(t) , y(t) ) é diferenciável em t e 
t
y
y
f
t
x
x
f
t
f
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
Teorema (Regra da Cadeia): Se x = x (u,v) e y = y (u,v) 
tiverem derivadas de primeira ordem no ponto (u,v) e se z = f(x,y) 
for diferenciável no ponto(x(u,v),y(u,v)), então z = f(x(u,v),y(u,v)) 
tem derivadas de primeira ordem no ponto (u,v) dadas por: 
 
u
y
y
f
u
x
x
f
u
f
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
v
y
y
f
v
x
x
f
v
f
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
z 
t
x
∂
∂
 
y x 
t t 
t
y
∂
∂ 
x
z
∂
∂ 
y
z
∂
∂ 
z 
y x 
v
t 
u u
v
v
t 
y
z
∂
∂ 
x
z
∂
∂ 
u
x
∂
∂ 
v
x
∂
∂ 
u
y
∂
∂ 
v
y
∂
∂ 
Generalização: A regra da cadeia pode ser generalizada para um número maior de 
variáveis. 
 
 
 
 
 
 
OBS: Há uma infinidade de variações da regra da cadeia, dependendo do número de 
variáveis e da escolha das variáveis independentes e dependentes. 
 
Exemplos: 1) Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar dw/dt, 
sabendo que w = ln ( 3x
2
 – 2y + 4z ) 
3
 ; x = t 
½
, y = t 
2/3
, z = t 
–2
. 
2) Suponha que w = e 
xyz
, x = 3r + s, y = 3r – s, z = r
2
s. Use formas apropriadas da regra 
da cadeia para determinar dw/dr e dw/ds. 
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
 
 O objetivo deste capítulo é analisar os máximos e mínimos de funções de várias 
variáveis que podem ocorrer na fronteira de uma região ou no seu interior. 
Aplicações: 
1) Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume a e com a menor 
área de superfície possível? 
2) Se a temperatura T em qualquer ponto (x,y) do plano é dado por T = T(x,y). Como 
determinar a temperatura máxima num disco fechado de raio a centrado na origem? E 
a temperatura mínima? 
3) Numa região montanhosa, como um geólogo pode determinar a montanha mais alta e 
o vale mais profundo? 
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS 
 
Definição: Diz-se que uma função de duas variáveis tem um máximo relativo ou local em um 
ponto P(x0,y0) se há um círculo centrado em (x0,y0) de modo que f(x0,y0) ≥≥≥≥ f(x,y) para todo 
ponto (x,y) no domínio de f que está situado dentro do círculo, e diz-se que f tem um máximo 
absoluto ou global em P(x0,y0) se f(x0,y0) ≥≥≥≥ f(x,y), para todos os pontos (x,y) do domínio de f. 
 
(Regra da Cadeia): Se v1, v2, ... , vn são funções de uma variável t, então 
w = f(v1,v2,...,vn) é uma função de t e a regra da cadeia para dw/dt é: 
 
t
v
v
w
t
v
v
w
t
v
v
w
t
w n
n ∂
∂
∂
∂
++
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
...2
2
1
1
 
Exemplo: Dada a função f(x,y) = 4 – x2 – y2 o ponto (0,0) é um ponto de máximo absoluto de 
f, pois para todo (x,y) no domínio de f 
 4 – x
2
 – y
2
 ≤≤≤≤ f(0,0), ou seja, o valor máximo de f(x,y) = 4 –x 2 – y2 é f(0,0) = 4. 
 
Definição: Diz-se que uma função de duas variáveis tem um mínimo relativo ou local em um 
ponto P(x0,y0) se há um círculo centrado em (x0,y0) de modo que f(x0,y0) ≤≤≤≤ f(x,y) para todo 
ponto (x,y) no domínio de f que está situado dentro do círculo, e diz-se que f tem um mínimo 
absoluto ou global em P(x0,y0) se f(x0,y0) ≤≤≤≤ f(x,y), para todos os pontos (x,y) do domínio de f. 
 
Exemplo: Dada a função z =1 + x2 + y2 . O ponto (0,0) é um ponto de mínimo absoluto de z, 
pois para todo (x,y) no domínio da função: 
 1 + x2 + y2 ≥≥≥≥ f(0,0), ou seja, o valor mínimo de f(x,y)= 1 + x2 + y2 é f(0,0) = 1. 
 
** Se f tem um máximo ou mínimo relativo em (x0,y0) diz-se que f tem um extremo relativo 
em (x0,y0) e se f tiver um máximo ou mínimo absoluto em (x0,y0) diz-se que f tem um extremo 
absoluto. Estes extremos podem ser chamados de pontos extremantes. 
 
DETERMINAÇÃO DE EXTREMOS 
 
Se g é uma função de uma variável, ou seja g(x), diz-se que g tem extremo relativo em um 
ponto x0 onde g é diferenciável, então g´(x0) = 0 ( ou g´(x0) não existe). 
 Analogamente se f é uma função de duas variáveis ( que possui derivadas parciais), isto 
é f(x,y) ( com fx e fy ), diz-se que f tem um extremo relativo em (x0,y0) então 
fx(x0,y0) = 0 e fy (x0,y0) = 0 . 
 
Geometricamente pode-se interpretar que os traços da superfície z = f(x,y) sobre os 
pontos x = x0 e y = y0 tenham retas tangentes horizontais em (x0,y0) 
 
Teorema: Se f tiver um extremo relativo em um ponto (x0,y0)e se as derivadas parciais de 
primeira ordem de f existirem nesse ponto, então 
fx(x0,y0) = 0 e fy (x0,y0) = 0 
Definição: Um ponto (x0,y0)é chamado de ponto crítico da função f(x,y) se fx (x0,y0) = 0 e 
fy(x0,y0) = 0 ou se uma ou ambas derivadas parciais não existem em (x0,y0). 
 
Exemplos: 1) Determine os pontos críticos da seguintes funções: 
a) f(x) = x
2
 + y
2
 b) z = 1- x
2
 – y
2
 c) z = √√√√ x2 + y2 
 
** Pontos extremos são chamados de pontos críticos, mas nem todo ponto 
crítico é ponto extremo. Um ponto crítico que não é extremo é chamado de 
ponto de sela. 
 
Exemplo: z = y2 – x2 
 
CONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA A EXISTÊNCIA DE PONTOS EXTREMANTES 
 
Seja z = f(x,y) uma função diferenciável num conjunto aberto U⊂ R2. Se (x0,y0) ∈U é um ponto 
extremante local ( máximo ou mínimo local), então: 
 
fx (x0,y0) = 0 e fy (x0,y0) = 0 isto é, (x0,y0) é um ponto crítico. Assim, os pontos críticos são 
possíveis candidatos a pontos extremantes. 
 
CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA UM PONTO CRÍTICO SER EXTREMANTE LOCAL 
Seja z = f(x,y) uma função cujas derivadas parciais de 1a. e 2a. ordem são contínuas num 
conjunto aberto que contém (x0,y0) e suponha que (x0,y0) seja um ponto crítico de f. Seja D o 
determinante 
D= 
),(),(
),()(
0000
000,0
yxfyxf
yxfyxf
yyyx
xyxx
 
 
TESTE DA DERIVADA SEGUNDA 
 
Teorema: Seja f uma função de duas variáveis com derivadas parciais de segunda ordem 
contínuas em algum círculo centrado em um ponto crítico (x0,y0) e seja: 
 
D = fxx (x0,y0) fyy(x0,y0) – f
2
xy(x0,y0) 
 
a) Se D > 0 e fxx(x0,y0) >0 , então f tem mínimo relativo em (x0,y0); 
b) Se D > e fxx(x0,y0) < 0 , então f tem máximo relativo em (x0,y0); 
c) Se D < 0 , então f tem um ponto de sela em (x0,y0); 
d) Se D=0, então nenhuma conclusão pode ser tirada.Exemplos: Localize todos os extremos e pontos de sela das seguintes funções: 
a) yyxyxyxf 823),( 22 −+−= b) 444),( yxxyyxg −−= 
 
DETERMINAÇÃO DE EXTREMOS ABSOLUTOS EM CONJUNTOS FECHADOS E LIMITADOS 
Se f(x,y) for contínua sobre um conjunto fechado e limitado R, então existe um 
máximo e mínimo absoluto de f em R (pelo teorema de Weierstrass). Esses extremos absolutos 
podem ocorrer ou na fronteira ou no interior de R. Se um extremo absoluto ocorrer no 
interior, então ele ocorre em um ponto crítico, caso ocorra na fronteira, para determina-lo 
deve ser feita uma análise da função substituindo uma das variáveis pela função da outra, e 
aplicar as análises de máximos e mínimos de funções de uma variável, vistas no cálculo I. Feito 
isso, utiliza-se os seguintes passos: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: Determine os valores de máximo e mínimo absoluto de 
7363),( +−−= yxxyyxf 
 
APLICAÇÕES 
 
1) Determine as dimensões de uma caixa retangular aberta no topo, com volume de 32 cm3 e 
que requer uma quantidade mínima de material para sua construção. 
2) A temperatura T em qualquer ponto (x,y) do plano é dada por T(x,y) = 3y2 + x2 –x. Qual a 
temperatura máxima e a mínima num disco fechado de raio 1 centrado na origem?l 
Como determinar os Extremos Absolutos de uma função Contínua de Duas Variáveis em um Conjunto 
Fechado e Limitado R 
 
Passo 1: Determinar os pontos críticos de f que estão situados no interior de R. 
Passo 2: Determinar todos os pontos de fronteira nos quais os extremos podem ocorrer. 
Passo 3: Calcule f(x,y) nos pontos obtidos nos passos precedentes. O maior desses valores é o máximo 
absoluto e o menor valor é o mínimo absoluto.