Funções de Várias Variáveis e suas Derivadas

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DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de funções de várias variáveis e suas derivadas.
PROPÓSITO
Identificar a função de várias variáveis a valores reais, as derivadas parciais e o gradiente da função, além do conceito da regra da cadeia,
derivadas direcionais e derivadas parciais de ordem superior.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Empregar as funções de várias variáveis
MÓDULO 2
Aplicar a derivação parcial e o gradiente de uma função escalar
MÓDULO 3
Aplicar a regra da cadeia para funções escalares
MÓDULO 4
Aplicar a derivada direcional e a derivada parcial de ordem superior
INTRODUÇÃO
MÓDULO 1
 EMPREGAR AS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
INTRODUÇÃO
Existem vários tipos de funções que são definidas dependendo do conjunto escolhido para seu domínio e sua imagem.
Diversos fenômenos naturais, bem como diversas aplicações do nosso cotidiano fornecem, como resultado (saída), um valor real, mas que
depende de várias variáveis em suas entradas ao invés de apenas uma.
 EXEMPLO
A temperatura em cada ponto de uma sala depende da posição desse ponto dentro dessa sala. Assim, a função que representa o valor dessa
temperatura dependerá de três variáveis que representam a posição do ponto no espaço, isto é (x,y,z).
Dito isso, necessitamos definir uma função matemática que possua uma entrada vetorial (várias variáveis) e forneça como resultado um valor
real.
O DOMÍNIO É UM SUBCONJUNTO DE RN E A IMAGEM ESTÁ NO CONJUNTO DOS NÚMEROS
REAIS. ESTAS FUNÇÕES SÃO DENOMINADAS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS A
VALORES REAIS, OU SIMPLESMENTE FUNÇÕES ESCALARES.
Este módulo definirá as funções escalares e suas representações gráficas.
DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES ESCALARES
Vamos relembra a definição do conjunto Rn, com n inteiro e n > 1:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Rn ={(x1,x2, … ,  xn)  com  x1,  x2¸ … ,  xn  reais}
O elemento do conjunto é uma n-upla que representa um vetor com n componentes, sendo que cada componente xj, 1 ≤ j ≤ n é um número
real.
Seja uma função f cujo domínio está em subconjunto de conjunto Rn e sua imagem está em um subconjunto do Rm, com n e m inteiros
maiores ou iguais a 1. Dependendo dos valores de m e n, teremos definidas funções de tipos diferentes.
Vejamos as possibilidades:
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
ETAPA 04
Quando n = 1 e m = 1, se tem uma função de uma variável real a valores reais, ou simplesmente funções reais (f: R → R). Em outras
palavras, a entrada e saída da função é um número real. Este tipo de função é estudado no cálculo integral e diferencial com uma variável.
Por exemplo:
f(x) = 3x + 5, x ∈ R, que é uma função f:R → R
g(y) = 4 cos y + 8, y ∈ R, que é uma função g:R → R
Quando n = 1 e m > 1, se tem uma função de uma variável real a valores vetoriais, ou simplesmente funções vetoriais (f: R → Rm). Isto é, a
entrada é um número real e a imagem é um vetor.
Por exemplo:
f(t) =〈t2 + 1, cos t ,5t〉 , t ∈ R, que é uma função f: R → R3
h(u) =〈3u, 4- eu〉, u ∈ R, que é uma função h: R → R2
Quando n > 1 e m > 1, se tem uma função de uma variável vetorial a valores vetoriais, ou simplesmente campos vetoriais (f: Rn → Rm). Ou
seja, a entrada e a saída são vetores.
Por exemplo:
f(x, y, z) = 〈x + y, tg x + 2〉, que é uma função f: R3 → R2
g(u,v) = 〈3u2+ 5v, sen v + 3u, u - 2v〉, que é uma função f: R2 → R3
Por fim, quando n > 1 e m = 1, se tem a função de uma variável vetorial, ou de várias variáveis a valores reais ou simplesmente função
escalar (f: Rn → R). Isto é, a entrada é um vetor, e a saída, um número real.
Por exemplo:
f(x, y, z) = 9xy , que é uma função f: R3 → R
h(u,v) = u2 + 3uv, que é uma função f: R2 → R
As funções escalares, que serão o objeto deste tema, contêm diversas aplicações práticas, pois, de forma geral, os fenômenos dependem de
várias variáveis. Por exemplo, o volume de um recipiente depende do raio e da altura, ou a temperatura de uma região na terra depende da
latitude, longitude e altura.
Vamos começar por definir formalmente a função escalar.
DEFINIÇÃO
UMA FUNÇÃO ESCALAR SERÁ UMA FUNÇÃO F: S ⊂ RN → R, NA QUAL S É UM
SUBCONJUNTO DO CONJUNTO RN COM N INTEIRO E N > 1.
Assim, a cada elemento será associado um único número real denotado por .
Portanto, a imagem da função será dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As variáveis são denominadas de variáveis independentes, enquanto que a variável é denominada
de variável dependente.
 ATENÇÃO
Quando o domínio não é especificado, se considera este como o subconjunto do Rn que permite, através da equação que define a função, se
obter um número real.
(x1,x2, … ,  xn)∈ S f(x1,x2, … ,  xn)
Im f ={f(x1,x2, … ,  xn)∈ R/ (x1,x2, … ,  xn)∈ S ⊂ Rn}
x1,x2, … ,  xn y  =  (x1,x2, … ,  xn)
EXEMPLO 1:
Determine o domínio da função escalar .
SOLUÇÃO
Ao se analisar o numerador da função, verifica-se a existência de uma raiz quadrada.
Sabemos que só existe raiz quadrada de um número maior ou igual a zero:
Outro ponto importante é que o numerador não pode ser zero:
Portanto, o domínio de f(x,y) será:
.
EXEMPLO 2:
Determine, caso seja possível, os valores de para e .
SOLUÇÃO
Como calculado no exemplo anterior, o domínio da função será o conjunto S tal que
f(x, y)=
√x+y−2
x−y
x + y − 2 ≥ 0 → x + y ≥ 2
x − y ≠ 0 → x ≠ y
Dom  f ={(x, y)  ∈ R2/ x + y ≥ 2 e x ≠ y}
f(x, y)=
√x+y−2
x−y (x, y)=(4,2) (x, y)=(3,3)
O par ordenado (4,2) ∈ S, assim
O par ordenado (3,3) não pertence a S, pois, apesar de x + y ≥ 2, o valor de x é igual a y, não pertencendo, portanto, ao domínio da função,
não sendo possível obter f(3,3).
EXEMPLO 3:
Determine o domínio da função escalar
e calcule, caso seja possível, os valores de g(1, 0, 2) e g(1, 0, –3).
SOLUÇÃO
Uma raiz cúbica não tem restrição de domínio. Da mesma forma, o denominador y2 + 1 nunca fornecerá um valor de zero.
Assim, a única restrição de domínio da função será a referente à função log neperiano, que só pode ser aplicado a um número maior do que
zero. Portanto, devemos ter 2x + y + z > 0
Então: 
Quanto aos valores pedidos para a função:
A trinca ordenada (1, 0, 2) ∈ dom g, assim
S ={(x, y)/ x + y ≥ 2 e x ≠ y}
f(x, y)= → f(4,2)= = = 1
√x+y−2
x−y
√4+2−2
4−2
2
2
g(x, y, z)= 3√3x + 5 
ln(2x+ y+z)
y2+1
Dom  f ={(x, y, z)∈ R3/ 2x + y + z > 0}
A trinca ordenada (1, 0, -3) não pertence ao dom g, pois, 2x + y + z = –1 < 0, não sendo possível obter g(1, 0, –3).
GRÁFICO, CURVAS DE NÍVEL E SUPERFÍCIE DE NÍVEL
Vimos a representação da função através de sua equação matemática que relaciona as suas variáveis independentes e o valor real a ser
obtido no resultado da função. Neste tópico, analisaremos a representação gráfica da função escalar.
Só será possível uma representação gráfica que permite uma visualização geométrica para funções escalares cujo domínio está no R2 ou no
R3.
Quando o domínio é um subconjunto do R2, isto é, S ⊂ R2, o elemento de entrada da função será um vetor ou par ordenado (x, y). A função,
então, será visualizada através de sua representação gráfica no espaço através dos eixos cartesianos, considerando que z = f(x, y). Assim, o
gráfico da função z = f(x, y) será o conjunto de todos os pontos do espaço (x, y, z) ∈ R3, tal que z = f(x, y) e (x, y) pertence ao domínio de f(x,
y).
Portanto, o gráfico de f(x, y) será definido por
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O gráfico representará uma superfície que fica acima do conjunto que representa o domínio S da função f(x, y).
g(1, 0,2)= 3√3.1 + 5  = 3√8  ln(4)= 2 ln(4)
ln(2.1+ 0+2)
02+1
Gf ={(x, y, z)∈ R3 /  z = f(x, y)  com   (x, y)∈ S}
 
Fonte: Autor
 Gráfico de uma função escalar no R2.
EXEMPLO 4:
Esboce o gráfico associado à função f(x, y) = 8 - 4x - 2y.
SOLUÇÃO
O gráfico de f(x,y) será definido como
Gf ={(x, y, z)∈ R3 /  z =8 − 4x − 2y}
Repare que a equação z = 8 - 4x - 2y é uma função linear, assim representará, no espaço, um plano.
Para esboçar no plano cartesiano, obtemos alguns pontos.
Para x = y = 0 → z = 8 – 0 – 0 = 8
Para z = 0 → 8 – 4x – 2y = 0 → 4x + 2y = 8 → 2x + y = 4, assim quando x = 0 → y = 4 e para y = 0 → x =2.
Assim a representação será
 
Fonte: Autor
A figura apresenta apenas uma parte do plano, pois ele vai tanto para cima quanto para baixo, até o infinito.
Outra forma de visualizar as funções com domínio em um subconjunto do R2 são as curvas de nível ou curvas de contorno, que é uma
forma de representação planar para a função.
As curvas de nível são os contornos traçados no plano xy que representam todos os pontos em que o valor de z = f(x, y) é constante, isto é, 
z = f(x, y) = k, na qual k é uma constante real. Assim, definimos uma curva de nível para cada nível k.
 EXEMPLO
Um exemplo prático das curvas de níveis são os mapas topográficos ou mapas que fornecem temperaturas de determinada região.
EXEMPLO 5:
Esboce o gráfico das curvas de nível da função f(x, y) = 8 - 2x - 4y.
SOLUÇÃO
Se fosse para traçar o gráfico de f(x, y), seria representado uma figura espacial, que neste caso seria um plano cuja equação se daria por z =
8 - 2x - 4y.
Como se deseja esboçar as curvas de nível, é preciso desenhar no plano xy os pontos que atendem a equação 8 - 2x - 4y = k, com k real.
Portanto, 2x + 4y + (k - 8) = 0, que é a equação de uma reta no plano xy.
Por exemplo:
Para k = 0 → 2x + 4y - 8 = 0 → x + 2y - 4 = 0
Para k = –2 → 2x + 4y - 10 = 0 → x + 2y - 5 = 0
Para k = 4 → 2x + 4y - 4 = 0 → x + 2y - 2 = 0
Assim, as curvas de nível do gráfico que seria um plano, serão retas paralelas.
 
Fonte: Autor
EXEMPLO 6:
Seja a função g(x, y) = 4 - x2 - y2. Sabe-se que o valor de g(x, y) determina o valor da grandeza G para os pontos em uma placa definidos
pelas coordenadas (x, y). Determine a superfície formada pelo gráfico da função g(x, y).
SOLUÇÃO
O gráfico de g(x, y) será definido como
Repare que , como .
Para esboçar no plano cartesiano, obtemos alguns pontos:
Para x = y = 0 → z = 4 – 0 – 0 = 4
Para z = 0 → 0 = 4 -x2 - y2 → x2 + y2 = 4, que é uma circunferência de centro (x, y) = (0, 0) e raio 
Repare que se mantivermos um valor de z = k , k < 4 
, que é uma circunferência de centro (x, y) = (0, 0) e raio .
Esboçando a figura no plano cartesiano.
Gf ={(x, y, z)∈ R3 /  z = 4 − x2 − y2}
g(x, y)= 4 − x2 − y2 = 4 − (x2 + y2) x2 + y2 ≥ 0  →  z  ≤  4
√4 = 2
k = 4 − x2 − y2 → x2 + y2 = (4 − k) √4 − k
 
Fonte: Autor
 Paraboloide elíptico com concavidade virada para baixo.
EXEMPLO 7:
Seja a função g(x,y) = 16 - x2 - 9y2. Sabe-se que o valor de g(x, y) determina o valor da grandeza G para os pontos em uma placa definidos
pelas coordenadas (x, y). Determine a figura formada por todos os pontos do plano que apresentam o valor de G = 7.
SOLUÇÃO
Neste caso, o que está sendo pedido é o esboço de uma curva de nível para um nível igual a 7.
Que representa uma elipse em (x,y) = (0,0):
 
Fonte: Autor
 Paraboloide elíptico com concavidade virada para baixo.
Quando o domínio for um subconjunto do R3, isto é, S ⊂ R3, o elemento de entrada da função será um vetor ou terna ordenado (x, y, z). O
gráfico da função f(x, y, z) será o conjunto de todos os pontos do espaço (x, y, z, w) ∈ R4, tal que w = f(x, y, z) e (x, y, z) pertence ao domínio
de f(x, y, z).
Esse gráfico será um subconjunto do R4, portanto, não será possível a representação dele através de uma forma geométrica. Para se ter
uma visão geométrica de tal função, vamos nos valer das superfícies de nível, que serão o conjunto de pontos do R3, ou as superfícies do
g(x, y)= 16 − x2 − 9y2 = 7
x2 + 9y2 = 16 − 7
x2 + 9y2 = 9 → + = 1x
2
9
y2
1
espaço xyz, tais que f(x, y, z) = k, na qual k é uma constante real. Por isso, definimos uma superfície de nível para cada nível w = f(x, y, z) = k,
k real.
EXEMPLO 8:
Determine as superfícies de nível que representam graficamente a função escalar f(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
SOLUÇÃO
As superfícies de nível serão definidas por f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 = k, k real.
Como x2 + y2 + z2 ≥ 0, para todo (x, y, z), então só é possível se definir níveis k ≥ 0.
Para facilitar a visualização, vamos definir k = R2 que será um número sempre maior ou igual a zero.
Desse modo, as superfícies de níveis definidas pela equação x2 + y2 + z2 = R2, serão esferas de centro (0, 0, 0) com raio dado por R, em que
R ≥ 0.
RESUMO DO MÓDULO 1
TEORIA NA PRÁTICA
Deseja-se montar um mapa topográfico que representa a altura de um monte de 900 m. O topo do monte é considerado o ponto central do
mapa. Cada ponto será marcado pela distância (x, y) determinada pela distância a dois eixos cartesianos que passam no ponto central.
O monte será aproximado por uma forma parabólica com concavidade para baixo com altura, medida em metro, dada por uma equação h (x,
y) = H – 2x2 - 3y2, com x e y também medidos em metros. Esboce o mapa topográfico através das curvas de níveis.
RESOLUÇÃO
VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR:
MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA UMA FUNÇÃO ESCALAR COM DOMÍNIO NO R3.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
h(u, v)= ⟨3uv, lnu,   v2⟩
f(t)= 4 + tg t
m(r, s, t)= 8rt2
p(r) = ⟨3r, cos(r), r + 2⟩
g(u, v)= u  cos(2v)
2. DETERMINE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O DOMÍNIO DA FUNÇÃO 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
3. MARQUE A ALTERNATIVA VERDADEIRA RELACIONADA A FUNÇÃO REAL A VALORES VETORIAIS 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
g(x, y, z)=
3√z−3  ln(4−y)
1−x2
Dom g ={(x, y, z) ∈ R3/ x ≠ 1,  x ≠ −1,  y < 4  e z ≥ 3}
Dom g ={(x, y, z)∈ R3/ x ≠ 1,  y < 4  e z > 3}
Dom g ={(x, y, z) ∈ R3/ x ≠ −1 e y < 4}
Dom g ={(x, y, z) ∈ R3/ x = 1 ,  y ≤ 4  e z ≥ 3}
Dom g ={(x, y, z)∈ R3/ x ≠ 1,  x ≠ −1,  y ≤ 4  e z > 3}
h(u,w)= +4e
2u
w−3
cos(w)
√2−u
h(2,π)=
4e4
π−3
h(−2,0)= −4e
4
3
1
2
h(6,0)= − −
4e12
3
1
2
h(−2,π)= −4e
−4
π−3
1
2
h(2,3)=
cos(3)
2
4. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A EQUAÇÃO DAS CURVAS DE NÍVEL K PARA A FUNÇÃO
ESCALAR . CONSIDERE K REAL COMO SENDO O NÍVEL DESEJADO EM CADA CONTORNO,
COM K > 0.
A) Conjunto de retas com equações x = 2k
B) Conjunto de circunferências com equações x2 + y2 = k, exceto o ponto (0,k)
C) Conjunto de retas com equações kx - y - 2k = 0, exceto o ponto (2,0)
D) Conjunto de parábolas de equações y = kx2 - 4k + 1, exceto ponto (2,1)
E) Conjunto de retas com equações x + ky + 3 = 0
5. SEJA A FUNÇÃO G(X, Y, Z) = X + 4Y + 8Z, DESCREVA AS SUPERFÍCIES DE NÍVEL QUE REPRESENTAM A
QUESTÃO.
A) Um conjunto de esferas centrada na origem
B) Um conjunto de planos
C) Um conjunto de elipsoides
D) Um conjunto vazio
E) Um conjunto de hiperboloides
f(x, y)=
y
x−2
6. MARQUE A ALTERNATIVA FALSA EM RELAÇÃO A FUNÇÃO
A) A função é uma função escalar.
B) O esboço do domínio da função no plano xy é um círculo centrado na origem com raio 4.
C) A imagem da função é f(x, y) > 0.
D) O esboço das curvas de nível são circunferências no plano xy com centro na origem e raio , 0 ≤ k ≤ 4, sendo k o nível desejado.
E) O gráfico da função será uma semiesfera de raio 4.
GABARITO
1. Marque a alternativa que representa uma função escalar com domínio no R3.
A alternativa "C " está correta.
A função h(u,v) da alternativa A é um campo vetorial, com entrada e saída vetoriais.
A função f(t) da alternativa B é uma função real, com entrada e saída reais.
A função p(r) da alternativa D é uma função vetorial, com entrada real e saída vetorial.
As funções m(r,s,t) e g(u,v) são funções escalares, porém a função g(u,v) tem domínio no R2 e a função m(r,s,t), que é a reposta correta, tem
domínio no R3.
2. Determine a alternativa que apresenta o domínio da função 
f(x, y)= √16 − x2 − y2
√16 − k2
A alternativa "A " está correta.
Analisando o denominador da equação, ele deve ser diferente de zero:
Quanto à parcela , o número dentro de uma raiz quadrática deve ser maior ou igual a zero:
Por fim, a parcela relacionada ao log neperiano só é possívelse o argumento for maior do que zero:
Então, o domínio de g(x,y,z) será
3. Marque a alternativa verdadeira relacionada a função real a valores vetoriais 
A alternativa "D " está correta.
Vamos, inicialmente, determinar o domínio. Analisando o denominador da primeira parcela sendo diferente de zero, assim
Quanto ao numerador da primeira parcela (4 e2u) e o da segunda parcela (cos(w)), não existe nenhuma restrição para o domínio, pois eles
podem ser calculados para qualquer valor real.
O denominador da segunda parcela é uma raiz quadrática, além disso, não pode ser zero por estar no denominador:
g(x, y, z)=
3√z−3  ln(4−y)
1−x2
1 − x2 ≠ 0 → x2 ≠ 1 → x ≠ 1 ou x ≠ −1
√z − 3
z − 3 ≥ 0 → z ≥ 3
4 − y > 0 → y < 4
Dom g ={(x, y, z) ∈ R3/ x ≠ 1,  x ≠ −1,  y < 4  e z ≥ 3}
h(u,w)= +4e
2u
w−3
cos(w)
√2−u
w − 3 ≠ 0 → w ≠ 3
2 − u > 0 → u < 2
Logo, o domínio de h(u, w) será
Na alternativa A, é impossível calcular h(2, π), pois o par ordenado (2, π) não atende a condição do domínio de u < 2.
Na alternativa B, apenas é possível calcular h(-2, 0), pois (-2, 0) faz parte do domínio da função, o valor correto é 
Na alternativa C, é impossível calcular h(6, 0), pois o par ordenado (6, 0) não atende a condição do domínio de u < 2.
Na alternativa E, é impossível calcular h(2, 3), pois o par ordenado (2, 3) não atende a condição do domínio de w ≠ 3.
Portanto, a alternativa correta é a letra D, pois (-2, π) faz parte do domínio e vale
4. Marque a alternativa que apresenta a equação das curvas de nível k para a função escalar . Considere k real como
sendo o nível desejado em cada contorno, com k > 0.
A alternativa "C " está correta.
Para x = 2 → y = 0, assim a equação será 
Esta equação representa uma reta no plano, com exceção do ponto (2,0). Sendo a alternativa correta a letra C.
5. Seja a função g(x, y, z) = x + 4y + 8z, descreva as superfícies de nível que representam a questão.
A alternativa "B " está correta.
Veja a solução da questão no vídeo a seguir:
Dom h ={(u,w) ∈ R2/ w ≠ 3  e u < 2}
h(−2,0)= − +
4e−4
3
1
2
h(−2,π)= −4e
−4
π−3
1
2
f(x, y)=
y
x−2
f(x, y)= = k ,  x ≠ 2 → k(x − 2) = yy
x−2
kx − 2k = y → kx − y − 2k = 0,  com x  ≠ 2
{ kx − y − 2k = 0
(x, y) ≠ (2,0)
6. Marque a alternativa falsa em relação a função
A alternativa "C " está correta.
Veja a solução da questão no vídeo a seguir:
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
f(x, y)= √16 − x2 − y2
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA, RESPECTIVAMENTE, O DOMÍNIO DA FUNÇÃO 
 E O VALOR DE H(4, 3, 0).
A) e 
B) e 
C) e 
D) e 
E) e 
2. SEJA A FUNÇÃO . MARQUE A ALTERNATIVA FALSA EM RELAÇÃO A FUNÇÃO F(X,Y).
A) O domínio da função é
A)
B) As curvas de nível da função f(x, y) representam um conjunto de retas com equações 5x - ky - 5k = 0, na qual k é o nível desejado, com
exceção do ponto (0, -5).
C) O valor de 
D) O gráfico da função f(x, y) é composto por pontos (x, y, z) que formam um plano de equação 5x - y - z - 5 = 0.
E) A função f(x, y) é uma função escalar.
h(x, y, z)=
√2−z  ln(y−1)
2x−6
Dom h :{(x, y, z)∈ R3 / x ≠ 3,   y > 1 e z ≤ 2} h(4,3, 0)= ln2
4
Dom h :{(x, y, z)∈ R3 / x ≠ 2,   y < 1 e z > 2} h(4,3, 0)= √2 ln2
2
Dom h :{(x, y, z)∈ R3 / x ≠ 3,   y > 1 e z ≤ 2} h(4,3, 0)= √2 ln2
2
Dom h :{(x, y, z)∈ R3 / x ≠ 6,   y ≥ 1 e z < 2} h(4,3, 0)= √2 ln6
2
Dom h :{(x, y, z)∈ R3 / x ≠ −3,   y > 0 e z ≤ 2} h(4,3, 0)= √2 ln2
4
f(x, y)= 5x
y+5
Dom f :{(x, y ∈ R2/ y ≠ −5}
f(1,5)= 1
2
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta, respectivamente, o domínio da função e o valor de h(4, 3, 0).
A alternativa "C " está correta.
 
Analisando o denominador da função, verifica-se que 
A parcela do numerador referente a log neperiano 
A parcela do numerador referente a raiz quadrada 
Dessa forma, o domínio será 
Calculando 
2. Seja a função . Marque a alternativa falsa em relação a função f(x,y).
A alternativa "D " está correta.
 
Analisando as alternativas:
a) Para definir o domínio da função, verifica-se que a única restrição é que o denominador não pode ser zero, assim y + 5 ≠ 0 → y ≠ -5, 
, estando a alternativa A correta.
e) A entrada da função é um vetor e a saída um número real, assim a alternativa E está correta.
c) O valor de , estando correta a alternativa C.
b) As equações das curvas de nível serão obtidas por 
Logo, as equações serão 5x - ky - 5k = 0 , que representa um conjunto de retas. Mas y ≠ -5, assim 5x ≠ k(-5) + 5k → x ≠ 0. Portanto, o ponto
h(x, y, z)=
√2−z  ln(y−1)
2x−6
2x − 6 ≠ 0 → x ≠ 3
ln(y − 1): y − 1 > 0 → y > 1
√2 − z   :  2 − z ≥ 0  →  z  ≤  2
Dom h :{(x, y, z)∈ R3 / x ≠ 3,   y > 1 e z ≤ 2}
h(4,3, 0)= =
√2−0  ln ( 3−1 )
2.4−6
√2 ln2
2
f(x, y)= 5x
y+5
Dom f :{(x, y ∈ R2/ y ≠ −5}
f(1,5)= =5.1
5+5
1
2
= k  →  5x  =  ky  +  5k5x
y+5
(0, –5) não pertence a estas retas. Alternativa B está correta.
d) Por fim, o esboço do gráfico que são os pontos (x, y, z) do R3, tais que , que não representa um plano.
Assim, a alternativa que contém uma afirmativa falsa é a D.
MÓDULO 2
 APLICAR A DERIVAÇÃO PARCIAL E O GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO ESCALAR
INTRODUÇÃO
A operação matemática da derivação pode também ser definida para as funções escalares, porém de uma forma um pouco diferente do que
no caso das funções reais.
Como a função escalar depende de várias variáveis, devemos obter uma operação que determina a variação da função em relação a uma
variável, mantendo as demais constantes. Esta operação será denominada de derivação parcial
PODEMOS OBTER UMA DERIVADA PARCIAL PARA CADA VARIÁVEL INDEPENDENTE, ASSIM
CONSEGUIMOS DEFINIR UM VETOR QUE APRESENTA COMO COMPONENTES ESTAS
DERIVADAS PARCIAIS. TAL VETOR É DENOMINADO DE GRADIENTE DA FUNÇÃO ESCALAR
= z → 5x − yz − 5z = 05x
y+5
E APRESENTA APLICAÇÕES PRÁTICAS IMPORTANTES NA OBTENÇÃO DAS TAXAS DE
VARIAÇÃO DA FUNÇÃO PARA QUALQUER DIREÇÃO.
Neste módulo estudaremos as derivadas parciais e o vetor gradiente.
DERIVADAS PARCIAIS
Quando estudamos a função real, definimos a operação da derivação que representava a taxa de variação da função em relação a sua
variável independente. Isto é, como a função variava em relação a sua variável de entrada em determinado ponto do seu domínio.
No caso de a função escalar, a entrada é composta por várias variáveis. Ao se tentar descobrir como uma função varia em relação a uma das
variáveis, devemos isolar o efeito das demais variáveis. Este isolamento é obtido mantendo as demais variáveis constantes.
 EXEMPLO
Imaginemos o volume de um cone que depende de seu raio e de sua altura. Para se obter a taxa de variação desse volume ao se alterar o
raio do cone, devemos manter o valor da altura constante e observar como o volume se altera ao se alterar o raio. Esta operação será
denominada de derivada parcial. O nome parcial vem do fato que se está analisando a taxa de variação de apenas uma das variáveis.
Vamos iniciar a definição pelo caso mais simples, ou seja, para uma função com domínio no R2, ou z = f (x, y).
Seja (x0, y0) um ponto de o domínio da função escalar f. Se fixarmos o valor y0, podemos definir uma função que depende de apenas uma
variável, dada por
A função h(x) será uma função real, pois depende apenas de uma variável, e a derivada de h(x) no ponto x0 será dada por
Esta derivada representa como a função h(x) varia em relação a variável x, no ponto x0.
Substituindo a função h(x) pela função escalar f(x,y0)
que representará como a função f(x, y) irá variar em relação a variação de x, com y constante e igual a y0, no ponto (x0, y0). Esta função será
denominada de derivada parcial de f em relação a variável x, representada por
Se considerarmos que podemos obter uma outra definição equivalente:
Seja D o subconjunto de S, formado por todos os pontos (x, y), tais que existe. Assim, definirmos uma função indicada por ,
definida em D ⊂ S ⊂ R2, tal que:
ESTA FUNÇÃO SERÁ DENOMINADA DE DERIVADA PARCIAL DE PRIMEIRA ORDEM DE F, EM
RELAÇÃO A X, OU SIMPLESMENTE DERIVADA PARCIAL DE F EM RELAÇÃO A X.
De forma análoga, podemos definir
h(x)  =  f(x,  y0)
h'(x0)= lim
x→x0
h (x ) −h (x0 )
x−x0
h'(x0)= lim
x→x0
f (x,y0 ) −f (x0,y0 )
x−x0
(x0, y0)= h
'(x0)= lim
x→x0
∂f
∂x
f (x,y0 ) −f (x0,y0 )
x−x0
Δx = x − x0
(x0, y0)= lim
Δx→0
∂f
∂x
f (x0+Δx,y0 ) −f (x0,y0 )
Δx
∂f
∂x
(x, y)∂f
∂x
(x, y)= lim
Δx→0
∂f
∂x
f (x+Δx,y ) −f (x,y )
Δx
(x, y)= lim
Δy→0
∂f
∂y
f (x,y+Δy ) −f (x,y )
Δy
que é a derivada parcial de f em relação a y.
Outras notações utilizadas:
Resumindo:
A função obtida em um ponto (x0, y0), representa a taxa de variação de f(x,y), no ponto (x0, y0), em relação apenas a variável
x, mantendo y constante e igual a y0
A função obtida em um ponto (x0, y0), representa a taxa de variação de f(x,y), no ponto (x0, y0), em relação apenas a variável
y, mantendo x constante e igual a x0
Podemos agora extrapolar para o caso de a função escalar definida no R3
IMAGINEMOS O CASO DE UMA FUNÇÃO ESCALAR QUE REPRESENTA O VALOR DO
VOLUME DE UMA CAIXA RETANGULAR. DESSA FORMA, O VALOR DA FUNÇÃO DEPENDERÁ
DE TRÊS VARIÁVEIS (L, C, A), COM L, C E A NÚMEROS REAIS QUE REPRESENTAM A
(x, y)= fx(x, y)= D1f(x, y)
∂f
∂x
(x, y)= fy(x, y) = D2f(x, y)∂f∂y
fx(x, y)
fy(x, y)
(x, y, z)= fx(x, y, z)= D1f(x, y, z)= lim
Δx→0
∂f
∂x
f (x+Δx,y,z ) −f (x,y,z )
Δx
(x, y, z)= fy(x, y, z)= D2f(x, y, z)= lim
Δy→0
∂f
∂y
f (x,y+Δy,z ) −f (x,y,z )
Δy
(x, y, z)= fz(x, y, z)= D3f(x, y, z)= lim
Δz→0
∂f
∂z
f (x,y,z+Δz ) −f (x,y,z )
Δz
LARGURA, O COMPRIMENTO E A ALTURA DA CAIXA. ASSIM, V(L, C, A). DESEJAMOS OBTER
COMO O VOLUME DA CAIXA IRÁ VARIAR COM A VARIAÇÃO DE UMA DE SUAS DIMENSÕES,
OU SEJA, QUAL SERIA A TAXA DE VARIAÇÃO DE V EM FUNÇÃO, POR EXEMPLO DE L.
Assim, necessitamos usar a derivada parcial da função em relação a variável L,
que será semelhante a derivada de uma função real, pois dependerá da variação de apenas uma variável, neste caso L, mantendo todas as
demais constantes (C e A).
Para o caso geral da função com domínio em S ⊂ Rn. Seja f(x1,x2, ..., xn ), a derivada parcial de f em relação a variável xj será definida por
representando a variação de f em relação a xj, mantendo as n – 1 variáveis constantes.
Podemos também usar as notações
 ATENÇÃO
A notação é usada para derivar a função real f em relação a x, quando a função depender apenas da variável x.
A notação é usada para derivar parcialmente a função escalar f em relação a x, quando a função depender de outras variáveis, além da
variável x.
(L,C,A)= lim
h→0
∂V
∂L
V (L+h,C,A ) −f (L,C,A )
h
(x1,x2, … ,  xn)= lim
h→0
∂f
∂xj
f (x1,x2,…,xj+h, …, xn ) −f (x1,x2,…xj,…, xn )
h
Djf(x1,x2, … ,  xn)= fj(x1,x2, … ,  xn)
df
dx
∂f
∂x
Na prática, as derivadas parciais não serão obtidas pelo limite, e sim, por fórmulas e regras de derivação. Como consideraremos a função
dependendo de apenas uma variável, pois todas as demais permaneceram como constantes, então pode ser utilizada as mesmas
propriedades e regras que utilizamos no caso da função real.
REGRA PARA OBTER A DERIVADA PARCIAL EM RELAÇÃO A VARIÁVEL XJ
1) CONSIDERE TODAS AS OUTRAS VARIÁVEIS, QUE NÃO SEJAM XJ, COMO CONSTANTES.
2) USE AS REGRAS DE DERIVAÇÃO DA FUNÇÃO REAL PARA ACHAR A DERIVADA DE F EM
RELAÇÃO A XJ.
Vejamos alguns exemplos.
EXEMPLO 1
Determine as derivadas parciais da função f(x, y) = 2xy + 3x2 y3 + 5y - 3x e obtenha seus valores no ponto (2, 1).
SOLUÇÃO
Vamos obter fx(x, y), considerando y como uma constante e aplicando as regras de derivação em relação a x.
O primeiro termo 2xy será observado como kx, assim (2yx)' = 2y(x)' = 2y.
O termo 3x2 y3 será observado como kx2, assim (3y3 x2 )' = 3y3 (x2 )' = 3y3 . 2x = 6xy3.
O termo 5y será observado apenas como uma constante, independente de x, assim (5y)' = 0.
Por fim, (-3x)' = -3.
Então, fx (x, y) = 2y + 6xy3 -3 e fx (2, 1) = 2 . 1 + 6 . 2 . 13 -3 = 11
Vamos obter fy(x, y), considerando x como uma constante e aplicando as regras de derivação em relação a y.
O primeiro termo 2xy será observado como ky, assim (2xy)' = 2x(y)' = 2x.
O termo 3x2 y3 será observado como ky3, assim (3x2 (y3)' = 3x2 (y3 )' = 3x2 3y2 = 9x2 y2.
O termo (-3x) será observado apenas como uma constante, independente de y, assim (-3x)' = 0
Por fim, (5y)' = 5.
Logo, fy (x, y) = 2x + 9x2 y2 + 5 e fy (2, 1) = 2 . 2 + 9 . 22 12 + 5 = 45
EXEMPLO 2
Deseja obter a taxa de variação da função , em relação a variável w, no ponto (x, y, z, w)=
(1, 1, 1, 1).
SOLUÇÃO
O que está se pedindo é a derivada parcial da função h em relação a variável w.
Assim se mantém na função h todas as demais variáveis (x, y, z) como constantes e aplica as regras de derivação em relação a
variável w.
O termo será observado como uma constante, pois independe de w, então .
 
 h(x, y, z,w)= 2yz lnx + 3xew
2
+  zw2y3
2yz lnx (2yz lnx)' = 0
O termo será observado como , assim .
 
Por fim, o termo , será observado como , assim .
 
Então, e 
GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO ESCALAR
Seja uma função de várias variáveis a valores reais, com domínio em S⊂ R2, e que admite as derivadas parciais, em um ponto
(x0,y0), para todas as suas duas variáveis independentes (x e y).
Define o vetor gradiente da função f como
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A outra notação para o vetor gradiente será grad f.
3xew
2
kew
2 (3xew2)
'
=  3x (ew2)
'
= 3x 2wew
2
= 6xwew
2
zw2y3 kw2 (zy3w2)
'
= zy3(w2)
'
= zy32w = 2zy3w
fw(x, y, z, w)= 6 xwew
2
+ 2 zy3 w fw(1,1, 1,1)= 6.1. 1e1 + 2.1. 1.1 = 2 + 6e
∇f(x0, y0)=( (x0, y0), (x0, y0))
∂f
∂x
∂f
∂y
Observe que só existe gradiente de uma função escalar e o resultado é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
cada uma das variáveis independentes.
Portanto, 
EXEMPLO 3
Obtenha o vetor gradiente para a função f(x, y) = 3x2y, no ponto (x, y) = (1, 2).
SOLUÇÃO
Obtendo as derivadas parciais
Logo,
 e 
O vetor gradiente da função escalar pode ser definido, de forma análoga, para quando o domínio for S ⊂ Rn. Assim:
O vetor gradiente tem uma interpretação geométrica. Ele apontará para direção e sentido no qual a função f terá a sua maior
variação, em relação a suas variáveis independentes, no ponto analisado.
∇f(x0, y0)= (x0, y0)x̂ + (x0, y0)ŷ
∂f
∂x
∂f
∂y
= (3yx2)= 3y (x2)= 3y 2x = 6xy∂f
∂x
∂
∂x
∂
∂x
= (3x2y)= 3x2 (y)= 3x2∂f
∂y
∂
∂y
∂
∂y
∇f(x, y)= (6xy, 3x2) ∇f(1,2)= (6.1. 2,3. 12)  = (12, 3) =  12x̂  +  3ŷ
∇f(x1,x2, … ,  xn)=( (x1,x2, … ,  xn), … ,   (x1,x2, … ,  xn), … ,    (x1,x2, … ,  xn))
∂f
∂x1
∂f
∂xj
∂f
∂xn
Por exemplo, obtivemos que no ponto (1, 2) a função f(x, y) = 3x2y tem um vetor gradiente . Vamos
supor que esta função f(x, y) represente a temperatura, em um ponto (x,y), de uma placa plana. Assim, se estivermos no ponto de
coordenada (x,y) = (1,2) e desejarmos saber para que direção/sentido teremos a maior variação de temperatura ao variar a posição,
ela será dada pela direção/sentido definida pelo vetor .
EXEMPLO 4
Obtenha o versor que representa a direção e o sentido da maior variação da função f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 no ponto (1, 1, 1)
SOLUÇÃO
Obtendo as derivadas parciais de f(x, y, z):
Assim, o vetor gradiente será 
No ponto (1, 1, 1), se tem ∇f(1, 1, 1)=(2, 2, 2)
Portanto, o vetor representa a direção de maior variação da função no ponto (1, 1, 1).
Como foi pedido o versor, isto é, o vetor unitário, devemos dividir pelo seu módulo
Portanto, o versor será
∇f  = (12,  3) =  12x̂   +  3ŷ  
∇f  =  12x̂   +  3ŷ  
= 2x,   = 2y e  = 2z
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z
∇f(x, y, z)= (2x, 2y, 2z)
(2,2, 2)= 2x̂ + 2ŷ + 2ẑ
∇f(1,1, 1)= (2,2, 2) →|∇f|= √22 + 22 + 22 = √12 = 2√3
= (2,2, 2)=( , , )=( , , )∇f
| ∇f |
1
2√3
1
√3
1
√3
1
√3
√3
3
√3
3
√3
3
Quanto a amplitude do vetor ∇f, ele representará a maior taxa de variação da função em relação à variação de suas variáveis. No
exemplo anterior, a função terá uma variação de 2 unidades quando ocorre uma variação de módulo
unitário, na direção do vetor .
Por fim, uma última característica do vetor gradiente de uma função, é o fato de ser sempre normal às curvas de nívelda função, ou
seja, às curvas ou superfícies de nível da função.
EXEMPLO 5
Determine a reta tangente a curva de nível da função no ponto (1, 2).
SOLUÇÃO
Obtendo o gradiente da função:
 e , então 
No ponto (1, 2): ∇f(1, 2) = (4, 4), que é um vetor normal à curva de nível no ponto (1, 2), sendo, portanto, um vetor normal à reta
tangente neste ponto.
Por isso, para se obter a equação da reta tangente, seguindo conceitos de geometria analítica:
 
Portanto
√3 Δs = Δxx̂ + Δyŷ + Δzẑ
( , , )√3
3
√3
3
√3
3
f(x, y)= 2x2 + y2
= 4x
∂f
∂x
= 2y
∂f
∂y
∇f(x, y)=(4x, 2y)
[(x, y)−(x0 − y0)].
→
n r = 0 →[(x, y)−(x0, y0)]. ∇f(x0, y0)= 0
[(x, y)−(1,2)]. ∇f(1,2)= 0 →(x − 1, y − 2).(4,4)= 0
Então, a reta x + y - 3 = 0 e tangente à curva de nível da função f(x,y) = 2x2 + y2 no ponto (1, 2).
RESUMO DO MÓDULO 2
4(x − 1)+4(y − 2)= 0 → 4x + 4y − 12 = 0 → x + y − 3 = 0
TEORIA NA PRÁTICA
As derivadas parciais de uma função escalar podem ser utilizadas para se determinar a equação de um plano tangente ao gráfico de
uma função z = f(x, y) em um ponto (x0, y0) e com ele realizar uma aproximação linear para a função. A equação do plano tangente
ao gráfico no ponto (x0, y0, f(x0,y0) será dada por:
Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = x2 + 2y2 + 1 no ponto (1, 1) e verifique através de uma
aproximação linear, a partir deste ponto, o valor de 
RESOLUÇÃO
VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR:
z − f(x0, y0)= fx(x0, y0)(x − x0)+fy(x0, y0)(y − y0).
f(1 + , 1 + )1
100
1
100
MÃO NA MASSA
1. SEJA A FUNÇÃO , COM K REAL. DETERMINE O VALOR DE K SABENDO QUE
A DERIVADA PARCIAL DE F EM RELAÇÃO A X VALE – 8 NO PONTO 
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
f(x, y)= 2kcos(x)ln (y + e)
(x, y)=( , 0)π2
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VETOR GRADIENTE DA FUNÇÃO ESCALAR 
 PARA O PONTO (X, Y) = (1, 1)
A) e2(3, 0)
B) e2(3, 4)
C) e2(1, 1)
D) e2(2, 2)
E) e2(2, 1)
3. DETERMINE A DERIVADA PARCIAL DE 
EM RELAÇÃO A VARIÁVEL X E EM RELAÇÃO A VARIÁVEL Y, RESPECTIVAMENTE, NO PONTO (X, Y) = (1, 1).
A) e 
B) e 
C) e 
D) e 
E) e 
g(x, y)= xy2 e
2xy
g(x, y)= √2 − xy + 2y2 + 3x
√6
6
√6
4
√5
4
√5
4
√6
3
√6
3
√5
6
√5
5
√6
3
√6
4
4. DETERMINE O MÓDULO DO VETOR GRADIENTE A FUNÇÃO 
 
NO PONTO (1, 0, 2).
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
5. SEJA A FUNÇÃO . MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM VETOR QUE
POSSUA A DIREÇÃO DA MAIOR TAXA DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO H(X, Y, Z) NO PONTO (1, 1, 2).
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
f(x, y, z)= 3xyz − x2 + 2y3 + 3z2
√23
√46
3√23
2√46
√73
h(x, y, z)= 2z arctg( )y
x
(2, 2,  2π)
(4,  − 4, −π)
(−1, 1,  π)
(0,  2,   − π)
(4, 0,  π)
6. SEJA A FUNÇÃO , COM T REAL DIFERENTE DE ZERO. A RETA É
TANGENTE A CURVA DE NÍVEL DE G(X, Y) NO PONTO (0, –2). DETERMINE O VALOR DE T
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
GABARITO
1. Seja a função , com k real. Determine o valor de k sabendo que a derivada parcial de f em relação a x
vale – 8 no ponto 
A alternativa "C " está correta.
Ao se derivar parcialmente em relação a variável x, a variável y permanecerá constante, assim é como se derivasse a função t
cos(2x), com t sendo uma constante igual a (k ln(y+e)).
Vamos relembrar que a derivada da função
Portanto,
g(x, y)= √x − ty x − 2y + 4 = 0
f(x, y)= 2kcos(x)ln (y + e)
(x, y)=( , 0)π
2
f(x, y)= 2kcos(x)ln (y + e)
h(u)= cos(u)→ h'(u)= −sen(u)u'
 
Mas,
2. Marque a alternativa que apresenta o vetor gradiente da função escalar para o ponto (x, y) = (1, 1)
A alternativa "B " está correta.
O vetor gradiente será 
Vamos relembrar que:
Se 
Se 
Determinando a derivada parcial de g em relação a x, mantendo y constante
Determinando a derivada parcial de g em relação a y, mantendo x constante
fx(x, y)= t(cos(x))
' = t(– 1) sen (x)  =   −  t sen (x)  =   − 2k  ln(y + e) sen(x)
fx( , 0)= −8 = −2kln(0 + e)sen( )= −2k. 1.1 = −2k → k = 4π2
π
2
g(x, y)= xy2 e
2xy
g(x, y)= xy2 e
2xy
∇g =( , )∂g
∂x
∂g
∂y
h = keu → h' = ku'eu
g = uv → g' = u'v + uv'
(x, y) = (y2x)'  e2xy +  xy2( e2yx)'∂g
∂x
(x, y)= y2 e2xy +  xy22y e2yx = y2 e2xy +  2xy3 e2yx = (y2 + 2xy3) e2xy∂g
∂x
(x, y)= y2(1 + 2xy) e2xy∂g
∂x
(x, y) = (xy2)'  e2xy +  xy2( e2xy)'∂g
∂y
O vetor gradiente será
3. Determine a derivada parcial de 
em relação a variável x e em relação a variável y, respectivamente, no ponto (x, y) = (1, 1).
A alternativa "A " está correta.
Vamos relembrar que a derivada da função
Para se achar a derivada parcial em relação a variável x, mantém-se a variável y constante.
Neste caso, se
Assim,
Para se achar a derivada parcial em relação a variável y, mantém-se a variável x constante
(x, y)= 2xy e2xy +  xy22x e2yx = 2xy e2xy +  2x2y2 e2yx = (2xy + 2x2y2) e2xy∂g
∂y
(x, y)= 2xy(1 + xy) e2xy∂g
∂y
∇g(x, y) =(y2(1 + 2xy) e2xy, 2xy(1 + xy) e2xy)
∇g(1,1)=(1.(1 + 2.1. 1) e2.1.1, 2.1. 1.(1 + 1.1) e2.1.1)=(3e2, 4e2)= e2(3,4)
g(x, y)= √2 − xy + 2y2 + 3x
g(x, y)= √2 − xy + 2y2 + 3x
h(u)= √u → h'(u)= u'
1
2√u
u = 2 − xy + 2y2 + 3x → u' = = 0 − y + 3 = 3 − ydu
dx
gx(x, y)= → gx(1,1)= = =
3−y
2√2−xy+2y2+3x
3−1
2√2−1.1+21+3.1
2
2√6
√6
6
Neste caso, se
Assim,
4. Determine o módulo do vetor gradiente a função 
 
no ponto (1, 0, 2).
A alternativa "D " está correta.
O vetor gradiente será
Determinando a derivada parcial de f em relação a x, mantendo y e z constantes
Determinando a derivada parcial de f em relação a y, mantendo x e z constantes
Determinando a derivada parcial de f em relação a z, mantendo x e y constantes
Portanto,
u = 2 − xy + 2y2 + 3x → u' = u' = = 0 − x + 4y + 0 = 4y − xdu
dy
gy(x, y)= → gy(1,1)= = = =
4y−x
2√2−xy+2y2+3x
4.1−1
2√2−1.1+21+3.1
3
2√6
3√6
12
√6
4
f(x, y, z)= 3xyz − x2 + 2y3 + 3z2
f(x, y, z)= 3xyz − x2 + 2y3 + 3z2
∇f =( , , )∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z
= 3yz − 2x
∂f
∂x
= 3xz + 6y2
∂f
∂y
= 3xy + 6z
∂f
∂z
No ponto,
Então,
5. Seja a função . Marque a alternativa que apresenta um vetor que possua a direção da maior taxa de
variação da função h(x, y, z) no ponto (1, 1, 2).
A alternativa "B " está correta.
Veja a solução da questão no vídeo a seguir:
6. Seja a função , com t real diferente de zero. A reta é tangente a curva de nível de g(x, y) no
ponto (0, –2). Determine o valor de t
A alternativa "A " está correta.
Veja a solução da questão no vídeo a seguir:
∇f(x, y, z) =(3yz − 2x, 3xz + 6y2, 3xy + 6z )
(x, y, z) = (1, 0, 2) →  ∇f(1, 0, 2) = (3. 0. 2 − 2. 1, 3. 1. 2 + 6. 0, 3. 1. 0 + 6. 2 ) = (−2, 6, 12)
|∇f|= √(−2)2 + (6)2 + (12)2 = √4 + 36 + 144 = √184 = 2√46
h(x, y, z)= 2z arctg( )yx
g(x, y)= √x − ty x − 2y + 4 = 0
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A DERIVADA PARCIAL DA FUNÇÃO , EM RELAÇÃO A VARIÁVEL X,
NO PONTO (0, 1, 1)
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
f(x, y, z)= xy2z + 2z tg x
y
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O GRADIENTE DA FUNÇÃO 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. Determine a derivada parcial da função , em relação a variável x, no ponto (0, 1, 1)
A alternativa "D " está correta.
 
Para se obter a derivada parcial de f em relação a x, se deriva em relação a variável x, mantendo as variáveis y e z constantes.
Lembre-se de que se
Se
Então
g(x, y)= 3x  cos(y + 2)
∇g(x, y)=(3se n(y + 2), 3x cos(y + 2))
∇g(x, y)=(3 + cos(y + 2), 3x + sen(y + 2))
∇g(x, y)=(3 cos(y + 2), −3xsen(y + 2))
∇g(x, y)=(cos(y + 2), sen(y + 2))
∇g(x, y)=(3x  cos(y + 2), 3x cos(y + 2))
f(x, y, z)= xy2z + 2z tg xy
f(x, y, z)= xy2z + 2z tg x
y
h(u) = tg(u) → h′(u) = sec2u u'
f(x, y, z)= xy2z + 2z tg = (y2z)x + 2z tg( x)xy
1
y
No ponto
Assim, a alternativa correta é a da letra D.
2. Marque a alternativa que apresenta o gradiente da função 
A alternativa "C " está correta.
 
O vetor gradiente será
Determinando a derivada parcial de g em relação a x, mantendo y constante
Determinando a derivada parcial de g em relação a y, mantendo x constante
Portanto,
Assim, a alternativa correta é a letra C.
(x, y, z)= y2z + 2z sec2( ). = y2z + 2  sec2( )∂f
∂x
x
y
1
y
z
y
x
y
(x, y, z)=(0,1, 1)→   (0,1, 1)= 121 + 2  sec2( )= 1 + 2sec2(0)= 1 + 2 =3∂f
∂x
1
1
0
1
g(x, y)= 3x  cos(y + 2)
g(x, y)= 3x  cos(y + 2)
∇g =( , )∂g
∂x
∂g
∂y
= 3 cos(y + 2)(x)' = 3 cos(y + 2)∂g
∂x
= 3x(cos(y + 2))' = 3x (−1)se n(y + 2)= −3xsen(y + 2)∂g
∂y
∇g(x, y)=(3 cos(y + 2), −3xsen(y + 2))
MÓDULO 3
 APLICAR A REGRA DA CADEIA PARA FUNÇÕES ESCALARES
INTRODUÇÃO
Seja uma função escalar. Suponha que se conheça a dependência desta função em relação a um conjunto de variáveis,
denominadas de intermediárias, que por sinal, depende de outro conjunto que são denominados de variáveis independentes.
A REGRA DA CADEIA PODE SER USADA PARA SE OBTER AS DERIVADAS DA FUNÇÃO
ESCALAR EM RELAÇÃO AS VARIÁVEIS INDEPENDENTES, MESMO NÃO SE OBTENDO A
FUNÇÃO QUE EXPLICITA DIRETAMENTE ESTA RELAÇÃO.
Estudaremos, neste módulo, três teoremas que definem esta regra da cadeia para serem aplicadas em funções escalares.
REGRA DA CADEIA
Para o caso de uma função real, ou melhor, que dependa de apenas uma variável, a regra da cadeia permitia a diferenciação de uma
função composta. Se y = f(x) e x = g(t), com as funções f e g diferenciáveis, se obtinha a derivada de y em relação a t de uma forma
indireta:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, mesmo não se tendo a relação direta de y em relação a t, podia se obter como a função y variava em relação a variável t.
Vamos agora definir esta regra que permitirá também calcular a derivada de funções compostas para as funções escalares. Iremos
propor o seguinte teorema:
TEOREMA 1
SEJA A FUNÇÃO F(X, Y) DIFERENCIÁVEL EM X E Y, COM X = H(T) E Y = G(T). SE AS
FUNÇÕES H(T) E G(T) FOREM DIFERENCIÁVEIS EM T, ENTÃO
Repare que a regra acima permite calcular a derivada de f em relação a t por uma forma indireta. Não se conhece a relação explicita
da função em relação a variável t, mas se conhece a relação da função com x e y, e destas variáveis em relação a variável t.
Outra forma de se representar essa regra seria através do gradiente da função f.
Seja 
Vejamos um exemplo de sua aplicação.
=
dy
dt
dy
dx
dx
dt
(x(t), y(t)) = +df
dt
∂f
∂x
dx(t)
dt
∂f
∂y
dy(t)
dt
γ(t)= (x(t), y(t))
(y(t)) = ∇f(γ(t)). γ '(t)df
dt
EXEMPLO 1:
Seja a função f(x, y) = 2xy2 e que x = t3 e y = 2t + 5. Obtenha a derivada de f em relação à variável t.
SOLUÇÃO
Usando a regra da cadeia 
Como , , e , se tem
Substituindo x e y em relação a variável t
É obvio que neste caso, poderíamos obter o valor de f em relação apenas a t e depois obter a derivada.
Assim, a derivada será obtida se derivando em relação a t através da regra do produto
 obtendo o mesmo valor.
Todavia, às vezes, essa forma de obter a dependência e depois derivar é mais complexa do que usar a regra da cadeia diretamente.
EXEMPLO 2:
= +
df
dt
∂f
∂x
dx
dt
∂f
∂f
dy
dt
= 2y2
∂f
∂x
= 4xy
∂f
∂y
= 3t2dx
dt
= 2
dy
dt
= + = 2y23t2 + 4xy. 2 = 6y2t2 + 8xy
df
dt
∂f
∂x
dx
dt
∂f
∂f
dy
dt
= 6y2t2 + 8xy = 6(2t + 5)
2
t2 + 8t3(2t + 5)
df
dt
f(x ,  y)  =  2xy2  →  f(t3,  2t + 5)  =  g(t)  =   2 t3 (2t + 5)2
df
dt
= (2t + 5)2 6 t2  +  2t3 2 (2t + 5) .  2  =  6(2t + 5)2t2 + 8t3(2t + 5)df
dt
Sabendo que o volume de um cilindro é dado pela fórmula , na qual r é o raio da base e h é a altura do cilindro,
ambas medidos em metros. Determine a taxa de variação do volume do cilindro, para r = 1 m e h = 1 m, sabendo que o raio está
variando a uma taxa de 0,5 m/s e a altura a uma taxa de –0,25 m/s.
SOLUÇÃO
Se , usando a regra da cadeia, se tem 
Como , , e , se tem
Para r = 1m e h = 1m
 ATENÇÃO
A demonstração do teorema 1 não será vista neste módulo, e pode ser analisada nos livros que constam na referência bibliográfica
deste material.
Agora vamos analisar outra situação. Seja z = f(x, y), mas x = h(u, v) e y = g(u, v). Então a função f depende indiretamente de u e de
v. Podemos usar o seguinte teorema para obter as derivadas parciais de f em relação a variável u e em relação a variável v.
TEOREMA 2
V (r,h)= πr2h
V (r,h)= πr2h = +dV
dt
∂V
∂r
dr
dt
∂V
∂h
dh
dt
= 2πhr∂V
∂r
= πr2∂V
∂h
= 0,5dr
dt
= −0,25 m/sdh
dt
(r, h)= 2πhr.  0,5 +  πr2(−0,25)dV
dt
(r, h)= πhr −   r2dV
dt
π
4
(1, 1)= π −   =  m3/sdV
dt
π
4
3π
4
SEJA A FUNÇÃO F(X,Y) DIFERENCIÁVEL EM X E Y, COM X = H(U,V) E Y = G(U,V). SE AS
FUNÇÕES H(U,V) E G(U,V) SÃO DIFERENCIÁVEIS EM U E EM V, ENTÃO
 E 
As variáveis u e v são denominadas de variáveis independentes, enquanto as variáveis x e y serão denominadas de variáveis
intermediárias, pois serão usadas para obter a variável dependente z em relação às variáveis independentes.
Observe a aplicação da regra acima no exemplo a seguir.
EXEMPLO 3:
Seja g(x,y) = , na qual e . Determine as derivadas parciais de g(x,y) em relação a u e a v para os pontos
em que u = 1 e v = 2.
SOLUÇÃO
Obtendo as derivadas parciais de g em relação a x e a y.
 e 
Além disso,
, , , 
Assim,
= +
∂f
∂u
∂f
∂x
∂x
∂u
∂f
∂y
∂y
∂u
= +
∂f
∂v
∂f
∂x
∂x
∂v
∂f
∂y
∂y
∂v
2eyco s(x) x = u2v y = uv2
= −2eysen(x)
∂g
∂x
= 2eycos(x)
∂g
∂y
= 2uv∂x
∂u
= u2∂x
∂v
= v2
∂y
∂u
= 2uv
∂y
∂v
= + =(−2eysen(x))2uv + 2eycos(x)v2
∂g
∂u
∂g
∂x
∂x
∂u
∂g
∂y
∂y
∂u
= 2v2 e
y
cos(x)−4uv eysen(x)
∂g
∂u
Quando u = 1 e v = 2 → x = u2 v = 2 e y = uv2 = 4.
Deste modo:
Podemos agora definir a situação geral.
Seja a função escalar f: S ⊂ Rn, ou seja, a função dependente z é função de n variáveis intermediárias (x1,x2,…,xn ). Cada uma das
variáveis intermediárias xj, a seu tempo, depende de m variáveis independentes (u1,u2,…,um ). Se deseja agora obter o valor da
derivada parcial de z em relação a uma das variáveis independentes ui.
TEOREMA 3
SEJA A FUNÇÃO F: S⊂ RN DIFERENCIÁVEL EM RELAÇÃO AS N VARIÁVEIS (X1, X2, ..., XN),
EM QUE CADA XJ É DIFERENCIÁVEL EM RELAÇÃO A M VARIÁVEIS (U1, U2, ..., UM). ENTÃO:
para cada j = 1,2,..., m.
Vamos aplicar esse teorema em um exemplo.
= + =(−2eysen(x))u2 + 2eycos(x)2uv
∂g
∂v
∂g
∂x
∂x
∂v
∂g
∂y
∂y
∂v
= 4uv eycos(x)−2u2eysen(x)
∂g
∂u
(1,2)= 2. 4 e4cos(2)−4. 1.2 e4sen(2)= 8e4cos(2)−8e4sen(2)
∂g
∂u
(1,2)= 4.1. 2 e4cos(2)−2. 12e4sen(2)= 8 e4cos(2)−2e4sen(2)
∂g
∂u
= + + … +
∂f
∂uj
∂f
∂x1
∂x1
∂uj
∂f
∂x2
∂x2
∂uj
∂f
∂xn
∂xn
∂uj
EXEMPLO 4:
Seja a função , na qual r = xz + 2yz , s = 3x2z e t = 2xy. Determine as derivadas parciais da função h, em
relação as variáveis x, y e z, para os valores de (x, y, z) = (1, 0, 2).
SOLUÇÃO
Neste exemplo, as variáveis intermediárias serão r,s e t, enquanto as variáveis independentes serão x, y e z.
Calculando as derivadas parciais da função h
, e 
Mas
, e 
, e 
, e 
Desta forma,
a) 
b) 
c) 
h(r, s, t)= sr2 + 2rst
= 2sr + 2st∂h
∂r
= r2 + 2rt∂h
∂s
= 2rs∂h
∂t
= z∂r
∂x
= 2z∂r
∂y
= x + 2y∂r
∂y
= 6xz∂s
∂x
= 0∂s
∂y
= 3x2∂s
∂z
= 2y∂t
∂x
= 2x∂t
∂y
= 0∂t
∂z
= + +∂h
∂x
∂h
∂r
∂r
∂x
∂h
∂s
∂s
∂x
∂h
∂t
∂t
∂x
=(2rs + 2st)z +(r2 + 2rt) 6xz +(2rs) 2y∂h
∂x
= + +∂h
∂y
∂h
∂r
∂r
∂y
∂h
∂s
∂s
∂y
∂h
∂t
∂t
∂y
=(2rs + 2st) 2z +(r2 + 2rt) 0 +(2rs) 2x∂h
∂y
= + +∂h
∂z
∂h
∂r
∂r
∂z
∂h
∂s
∂s
∂z
∂h
∂t
∂t
∂z
Para (x, y, z) = (1, 0, 2) → r = xz + 2yz = 1 . 2 + 2 . 0 . 2 = 2, s = 3x2z = 3 . 1 . 2 = 6 e t = 2xy = 2 . 1 . 0 = 0, assim:
a) 
b) 
c) 
=(2rs + 2st) (x + 2y) +(r2 + 2rt) 3x2 +(2rs) 0∂h
∂z
(x, y, z)=(2.2. 6 + 2.6. 0). 2 +(22 + 2.2. 0) 6.1. 2 +(2.2. 6)2.0∂h
∂x
(x, y, z)= 48 + 48 + 0 = 96∂h
∂x
=(2.2. 6 + 2.6. 0). 2.2 +(22 + 2.2. 0) 0 +(2.2. 6)2.1∂h
∂y
= 96 + 0 + 48 = 144∂h
∂y
=(2.2. 6 + 2.6. 0).(1 + 2.0) +(22 + 2.2. 0) 3.1 +(2.2. 6)0∂h
∂z
= 24 + 12 = 36∂h
∂z
RESUMO DO MÓDULO 3
TEORIA NA PRÁTICA
Uma caixa com formato de um paralelepípedo retangular é feita de um material que apresenta um custo de R$ 10,00 por m2.
Sabendo que o comprimento da caixa cresce a uma taxa de 2 m/s, a largura decresce a uma taxa de 1 m/s e a altura cresce a uma
taxa de 3 m/s, determine a taxa de variação do custo de produção da caixa em relação ao tempo, para quando comprimento(C) = 10
m, largura(L) = 5m e altura (A) = 2 m.
RESOLUÇÃO
VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR:
MÃO NA MASSA
1. ATENSÃO EM UM CIRCUITO ELÉTRICO É DADA PELA EQUAÇÃO V= RI, NA QUAL R É A RESISTÊNCIA E I
A CORRENTE ELÉTRICA. A TENSÃO DO CIRCUITO ESTÁ DIMINUINDO A UMA TAXA DE 1 V/S, DEVIDO A
DESCARGA DA BATERIA E SIMULTANEAMENTE A RESISTÊNCIA AUMENTA A UMA TAXA DE 0,05 Ω/S.
DETERMINE A TAXA DA VARIAÇÃO DA CORRENTE QUANDO A TENSÃO FOR DE 800 V E A RESISTÊNCIA DE
10 Ω.
A) 0,5 A/s
B) -0,5 A/s
C) -1,5 A/s
D) 1,5 A/s
E) 2 A/s
2. SEJA A FUNÇÃO G(X, Y) = 4 COS (XY). SABE-SE QUE X = 4T2 E Y = T3. USE A REGRA DA CADEIA E
DETERMINE A TAXA DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO G EM RELAÇÃO A T.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
3. DETERMINE A DERIVADA PARCIAL DA FUNÇÃO G(X, Y) = 2XY, EM RELAÇÃO A VARIÁVEL Θ, SABENDO
QUE X(R, Θ) = R COSΘ E Y(R, Θ) = R SENΘ.
A) 
B) B
C) 
D) 
E) D
−80 sen(4t5)
−40 t4 cos(t5)
−80 t4 sen(4t5)
80 t4 (sen(4t5)+cos(4t5))
20 t5 (sen(4t5)−cos(4t5))
2r2sen(2θ)
r2cos(θ)
2r2cos(2θ)
r2sen(θ)
4r3cos(2θ)
4. SEJA A FUNÇÃO H(U, V) = -SEN(U2 + V2). SABE-SE QUE U(X, Y, Z) = X -Y + 3Z E V(X, Y, Z) = 2X - 3Y + 2Z.
DETERMINE A SOMA DA DERIVADA PARCIAL DA FUNÇÃO H EM RELAÇÃO À VARIÁVEL Y COM A DERIVADA
PARCIAL DA FUNÇÃO H EM RELAÇÃO À VARIÁVEL Z, PARA X = Y = Z = 1.
A) cos(10)
B) -10 sen(8)
C) 10 cos(8)
D) 10 sen(10)
E) -10 cos(10)
5. A EQUAÇÃO QUE RELACIONA A PRESSÃO (P), MEDIDA EM KPA, A TEMPERATURA (T), MEDIDA EM K, E O
VOLUME (V), MEDIDAS EM LITROS, DE DOIS MOLES DE UM GÁS IDEAL É DADA POR .
DETERMINE A TAXA DE VARIAÇÃO DO VOLUME DO GÁS, QUANDO A PRESSÃO 25 KPA ESTÁ
AUMENTANDO A UMA TAXA DE 0,04 KPA/S E A TEMPERATURA É DE 600 K E ESTÁ DIMINUINDO A UMA
TAXA DE 0,1 K/S
A) Aumenta com taxa de 0,571 l/s
B) Diminui com taxa de 0,571 l/s
C) Aumenta com taxa de 0,345 l/s
D) Aumenta com taxa de 0,703 l/s
E) Diminui com taxa de 0,703 l/s
= 16,6PV
T
6. SEJA A FUNÇÃO , NA QUAL , E . DETERMINE O
VALOR DA EXPRESSÃO .
A) -1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
GABARITO
1. A tensão em um circuito elétrico é dada pela equação V= RI, na qual R é a resistência e I a corrente elétrica. A tensão do circuito
está diminuindo a uma taxa de 1 V/s, devido a descarga da bateria e simultaneamente a resistência aumenta a uma taxa de 0,05 Ω/s.
Determine a taxa da variação da corrente quando a tensão for de 800 V e a resistência de 10 Ω.
A alternativa "B " está correta.
A função V(R,I) depende de R e I, e R = h(t) e I = g(t), então
Pelo enunciado e 
Quando e 
Assim, substituindo na regra da cadeia
f(x,  y,  z) x(u, v,w) = u
v
y(u, v,w) = w
u
z(u, v,w) = v
w
u + v + w
∂f
∂u
∂f
∂v
∂f
∂w
(R(t), I(t)) = +dV
dt
∂V
∂R
dR(t)
dt
∂V
∂I
dI(t)
dt
= 0,05Ω/s 
dR(t)
dt
= −1
dV (t)
dt
V
s
V   =  RI  → = I∂V
∂R
= R∂V
∂I
2. Seja a função g(x, y) = 4 cos (xy). Sabe-se que x = 4t2 e y = t3. Use a regra da cadeia e determine a taxa de variação da função g em
relação a t.
A alternativa "C " está correta.
A função g(x,y) depende de x e y, e x = h(t) e y = g(t), então
Temos:
Portanto
Porém, x = 4t2 e y = t2
(t)= I + R → −1 = 80.0,05 + 10 .  dV
dt
dR ( t )
dt
dI ( t )
dt
dI ( t )
dt
10 .    = −1 − 4 = −5 → = −0,5 A/s
dI ( t )
dt
dI ( t )
dt
(x(t), y(t)) = +dg
dt
∂g
∂x
dx(t)
dt
∂g
∂y
dy(t)
dt
x(t)= 4t2 → = 8t
dx(t)
dt
y(t)= t3 → = 3t2
dy(t)
dt
g(x, y)= 4 cos(xy)→ = 4(−1)sen(xy)y = −4y sen(xy)∂g
∂x
g(x, y)= 4 cos(xy)→ = 4(−1)sen(xy)x = −4x sen(xy)∂g
∂x
(x(t), y(t))= −4y sen(xy) 8t + −4x sen(xy) 3t2
dg
dt
(t)= −4t3sen(4t2t3) 8t − 4 4t2 sen(4t2t3) 3t2dg
dt
3. Determine a derivada parcial da função g(x, y) = 2xy, em relação a variável θ, sabendo que x(r, θ) = r cosθ e y(r, θ) = r senθ.
A alternativa "C " está correta.
A função g(x, y) depende de x e y, com x = h(r, θ) e y = f(r, θ) . Assim
Mas
Assim
Como x(r, θ) = r cosθ e y(r, θ) = r senθ
4. Seja a função h(u, v) = -sen(u2 + v2). Sabe-se que u(x, y, z) = x -y + 3z e v(x, y, z) = 2x - 3y + 2z. Determine a soma da derivada
parcial da função h em relação à variável y com a derivada parcial da função h em relação à variável z, para x = y = z = 1.
A alternativa "E " está correta.
(t)= −32t4sen(4t5)−48 t4 sen(4t5)= −80 t4 sen(4t5) dg
dt
= +
∂g
∂r
∂g
∂x
∂x
∂θ
∂g
∂y
∂y
∂θ
g(x, y)= 2xy → = 2y  e  = 2x 
∂g
∂x
∂g
∂y
x(r, θ)= r cosθ → = −r senθ∂x
∂θ
y(r, θ)= r senθ → = r cosθ
∂y
∂θ
= 2y(−r sen θ) + 2x (r cosθ)∂g
∂θ
= 2 r sen θ(−r sen θ) + 2 r cos θ(r cosθ)∂g
∂θ
= 2r2(cos2θ − sen2θ)= 2r2cos(2θ) ∂g
∂θ
Veja a solução da questão no vídeo a seguir:
5. A equação que relaciona a pressão (P), medida em kPa, a temperatura (T), medida em K, e o volume (V), medidas em litros, de
dois moles de um gás ideal é dada por . Determine a taxa de variação do volume do gás, quando a pressão 25 kPa está
aumentando a uma taxa de 0,04 kPa/s e a temperatura é de 600 K e está diminuindo a uma taxa de 0,1 K/s
A alternativa "E " está correta.
Mas:
 e 
Assim
= 16,6PV
T
= 16,6 → V = 16,6PV
T
T
P
= +dV
dt
∂V
∂P
∂P
∂t
∂V
∂T
∂T
∂t
V = 16,6 = 16,6T  → = 16,6T( )
'
= 16,6T (−1) =T
P
1
P
∂V
∂P
1
P
1
P 2
−16,6T
P 2
V = 16,6 = 16,6  T   → = 16,6 (T ) ' =T
P
1
P
∂V
∂T
1
P
16,6
P
= 0,04 kPa/s∂P
∂t
= −0,1 K/s∂T
∂t
= 0,04 + (−0,1)dV
dt
−16,6T
P 2
16,6
P
Mas P = 25 kPa e T = 600 K
Portanto
 l/s
6. Seja a função , na qual , e . Determine o valor da expressão 
.
A alternativa "B " está correta.
Veja a solução da questão no vídeo a seguir:
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
= 0,04 + (−0,1)= −0,637 − 0,066 = −0,703dV
dt
−16,6. 600
( 25 )
2
16,6
25
f(x,  y,  z) x(u, v,w) = uv y(u, v,w) =
w
u z(u, v,w) =
v
w
u + v + w
∂f
∂u
∂f
∂v
∂f
∂w
1. O VOLUME DE UM CONE É DADO PELA FÓRMULA , NA QUAL R É O RAIO DA BASE E H É
A ALTURA DO CONE, AMBAS MEDIDOS EM METROS. DETERMINE A TAXA DE VARIAÇÃO DO VOLUME DO
CONE, PARA R = 2 M E H = 1 M, SABENDO QUE O RAIO ESTÁ VARIANDO A UMA TAXA DE – 0,1 M/S E A
ALTURA A UMA TAXA DE 0,2 M/S.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. DETERMINE A DERIVADA PARCIAL DA FUNÇÃO G(X, Y) = 2X2+Y3, EM RELAÇÃO A VARIÁVEL R,
SABENDO QUE X(R, Θ) = R COSΘ E Y(R, Θ) = R SENΘ.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
V (r,h)= πr2h1
3
π m³/s1
5
− π m³/s2
5
− π m³/s2
15
π m³/s2
15
π m³/s4
15
4r cos2θ + 3r2sen3θ
2r sen2θ + r2cos3θ
2 cos2θ + rsen3θ
8r3sen4θ
3r2 cos3θ
GABARITO
1. O volume de um cone é dado pela fórmula , na qual r é o raio da base e h é a altura do cone, ambas medidos em
metros. Determine a taxa de variação do volume do cone, para r = 2 m e h = 1 m, sabendo que o raio está variando a uma taxa de –
0,1 m/s e a altura a uma taxa de 0,2 m/s.
A alternativa "D " está correta.
 
Se usando a regra da cadeia, se tem 
Como , , e , se tem
Para r = 2 m e h = 1 m
2. Determine a derivada parcial da função g(x, y) = 2x2+y3, em relação a variável r, sabendo que x(r, θ) = r cosθ e y(r, θ) = r senθ.
A alternativa "A " está correta.
 
A função g(x, y) depende de x e y, com x = h(r, θ) e y = f(r, θ). Assim
Mas
V (r,h)= πr2h1
3
V (r,h)= πr2h1
3
= +dV
dt
∂V
∂r
dr
dt
∂V
∂h
dh
dt
= πhr∂V
∂r
2
3
= πr2∂V
∂h
1
3
=–  0,1dr
dt
= 0,2dh
dt
= + = πhr(−0,1)+ πr2(0,2)dV
dt
∂V
∂r
dr
dt
∂V
∂h
dh
dt
2
3
1
3
= π. 1.2(−0,1)+ π22(0,2)= − π  + π  π = π m³/sdV
dt
2
3
1
3
4
3
1
10
4
3
2
10
4
30
2
15
= +
∂g
∂r
∂g
∂x
∂x
∂r
∂g
∂y
∂y
∂r
g(x, y)= 2x2 + y3 → = 4x  e  = 3y2 
∂g
∂x
∂g
∂y
Assim
Como x(r, θ) = r cosθ e y(r, θ) = r senθ
MÓDULO 4
 APLICAR A DERIVADA DIRECIONAL E A DERIVADA PARCIAL DE ORDEM SUPERIOR
INTRODUÇÃO
Em algumas aplicações, se torna necessário obter a taxa de variação de uma função escalar quando ocorre a variação das variáveis
seguindo certa direção. Esta derivada é denominada de derivada direcional e será determinada através do gradiente de uma função
escalar
x(r, θ)= r cosθ → = cosθ∂x
∂r
y(r, θ)= r senθ → = senθ
∂y
∂r
= 4x cos θ + 3y2 sen θ
∂g
∂r
= 4r  cos θ cos θ + 3(r sen θ)
2
 sen θ
∂g
∂r
= 4r cos2θ + 3r2sen3θ
∂g
∂r
A DERIVADA PARCIAL TAMBÉM SERÁ UMA FUNÇÃO ESCALAR, CAPAZ DE POSSUIR, POR
SUA VEZ, UMA DERIVADA PARCIAL. ESTA DERIVADA É DENOMINADA DE FUNÇÃO PARCIAL
DE ORDEM SUPERIOR E SERÁ CALCULADA ATRAVÉS DAS DERIVAÇÕES PARCIAIS
SUCESSIVAS.DERIVADAS DIRECIONAIS
Certas práticas exigem a obtenção da taxa de variação de uma função escalar em determinada direção/sentido. Essa taxa será
denominada de derivação direcional da função e dependerá do ponto analisado e do vetor que determina a direção/sentido
desejado.
 ATENÇÃO
A direção/sentido desejado deve ser definido através de um vetor unitário (versor).
Vamos iniciar a definição para funções escalares com domínio em R2.
Seja a função f: S ⊂ R2 → R, a derivada direcional de f em um ponto (x0, y0) na direção e no sentido do vetor unitário (a,b) é
→
v
Dvf(x0, y0)= lim
h→0
f (x0+ah,y0+bh ) −f (x0,y0 )
h
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta derivada vai existir se o limite acima existir.
Observe que se ⃗(a, b) = (1, 0), a derivada direcional será a própria derivada parcial em relação a variável x. E se (a,b) = (0, 1), a
derivada direcional será a própria derivada parcial em relação a variável y. Dizemos, portando, que as derivadas parciais de f em
relação a x e a y são casos particulares da derivada direcional.
Não iremos calcular a derivada direcional através de sua definição, ou melhor, através do cálculo do limite. Para a determinação da
derivada direcional, usaremos o teorema, a seguir, por permitir seu cálculo pelo gradiente da função escalar f.
TEOREMA
SE F É UMA FUNÇÃO ESCALAR DIFERENCIÁVEL EM X E EM Y, ENTÃO A DERIVADA
DIRECIONAL NA DIREÇÃO E NO SENTIDO DE QUALQUER VETOR UNITÁRIO (A, B) É
DADO POR
Observe que o maior valor da derivada direcional será quando o vetor unitário tiver a mesma direção e sentido que o ∇f, tendo o
módulo desta derivada o valor do módulo do ∇f. Este fato comprova o que foi dito: que o gradiente da função é o vetor que
representa a maior taxa de variação da função.
A derivada direcional pode ser analisada como sendo a projeção do vetor gradiente sobre a direção e sentido definidos pelo vetor
unitário .
→
v
→
v
→
v
Dvf(x, y)= ∇f(x, y). →v (a, b)  = afx(x, y)+b fy(x, y)
→
v
EXEMPLO 1:
Determine a derivada direcional da função f(x, y) = 5x3 y + 5 na direção do vetor (3, 4), para o ponto (x, y) = (1, 1)
SOLUÇÃO
Observe que o vetor (3, 4) não é um versor, ou seja, um vetor unitário. Assim, necessitamos achar o vetor unitário na
direção/sentido de (3, 4).
Dessa forma, o versor será
Sabe-se que f(x, y) = 5x3 y + 5, então
Portanto, ∇f(x, y) = (15yx2, 5x3)
Assim, a derivada direcional será dada por
Para o ponto (x,y)=(1,1)
→
v
→
v
→
v
∣
∣
→
v ∣∣=
√32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5
v̂ = = (3,4)=( , )
→
v
∣
∣
→
v ∣∣
1
5
3
5
4
5
= 5y(x3)' = 5y 3x2 = 15yx2∂f
∂x
= 5x3(y)' = 5x3
∂f
∂y
Dv(x, y)= ∇f. v̂ = 15yx
2 + 5x3 = 9yx2 + 4x33
5
4
5
Dv(x, y)= ∇ = 9.1. 1
2 + 4. 13 = 9 + 4 = 13
DERIVADA PARCIAL DE ORDEM SUPERIOR
A derivada parcial de uma função escalar, conforme já estudada neste tema, é também uma função escalar. Por serem funções
escalares, podemos também determinar as suas derivadas parciais em relação as variáveis independentes.
A DERIVADA PARCIAL DE UMA FUNÇÃO QUE JÁ É DERIVADA PARCIAL DE UMA FUNÇÃO É
DENOMINADA DE DERIVADA PARCIAL DE SEGUNDA ORDEM. SE REPETIRMOS O
PROCESSO, TEREMOS AS DERIVADAS PARCIAIS DE TERCEIRA, QUARTA, ..., ENÉSIMA
ORDEM.
ESTAS DERIVADAS PARCIAIS SÃO CONHECIDAS COMO DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM
SUPERIOR.
Iniciaremos nosso estudo pelas derivadas parciais de segunda ordem para uma função escalar f(x,y), isto é, com domínio no R2.
Por exemplo, seja f(x, y) = 4x2y3, então
 e 
Vamos agora determinar as derivadas parciais de segunda ordem, ou, a derivada parcial da função escalar fx (x, y) = 8xy3
Usamos a seguinte notação
 ou 
 ou 
fx(x, y)= 8xy
3 fy(x, y)= 12x
2y2
fx(x, y)= 8xy3 → = 8y3
∂fx
∂x
fx(x, y)= 8xy
3 → = 24xy2
∂fx
∂y
= ( )= = 8y3∂fx
∂x
∂
∂x
∂f
∂x
∂2f
∂x2
(fx)x = fxx = 8y
3
= ( )= = 24xy2 ∂fx
∂y
∂
∂y
∂f
∂x
∂2f
∂y∂x
(fx)y = fxy = 24 xy
2
De forma análoga, podemos fazer o mesmo raciocínio para as derivadas parciais da função escalar fy (x, y) = 12x2 y2
Usamos a notação
 ou 
 ou 
Portanto, as funções fx(x, y) e fy(x, y) são denominadas de derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y). As funções fxx(x,
y) , fxy(x, y), fyx(x, y) e fyy(x, y) são as derivadas de segunda ordem da função f(x, y).
 ATENÇÃO
É preciso cuidado com a notação utilizada, pois a ordem das variáveis na notação determina a ordem da derivação.
Veja a primeira notação:
 a função f foi derivada parcialmente, primeiro em relação a variável y e depois em relação a variável x.
 a função f foi derivada parcialmente, primeiro em relação a variável x e depois em relação a variável y.
fy(x, y)= 12x2y2 → = 24 xy2
∂fy
∂x
fy(x, y)= 12x2y2 → = 24x2y
∂fy
∂y
= ( )= = 24 xy2∂fy
∂x
∂
∂x
∂f
∂y
∂2f
∂x∂y
(fy)x = fyx = 24 xy
2
= ( )= = 24x2y ∂fy
∂y
∂
∂y
∂f
∂y
∂2f
∂y2
(fy)y = fyy = 24x
2y
→
∂2f
∂x∂y
→∂
2f
∂y∂x
 COMENTÁRIO
Observe que a ordem de derivação parcial no denominador aparece da direita para a esquerda.
Agora analisemos a segunda notação:
 a função f foi derivada parcialmente primeiro em relação a variável y e depois em relação a variável x.
 a função f foi derivada parcialmente primeiro em relação a variável x e depois em relação a variável y.
 COMENTÁRIO
Observe que, neste caso, a ordem da derivação parcial no índice aparece da esquerda para a direita.
O número de derivadas parciais de segunda ordem dependerá do domínio da função. Como vimos no exemplo, a função f(x . y)
tinha domínio no R2, assim possuía 4 derivadas de segunda ordem, correspondendo a 2 variáveis vezes 2 variáveis.
Desse modo, se o domínio da função escalar for no Rn, ela possuirá n2 derivadas de segunda ordem. Vamos ver o caso do R3, seja
g(x, y, z): S ⊂ R3, as derivadas de segunda ordem de g(x, y, z) serão nove:
fyx  →
fxy  →
,   ,   ,   ,   ,   ,    e 
∂2g
∂x2
∂2g
∂y∂x
∂2g
∂z∂x
∂2g
∂x∂y
∂2g
∂y2
∂2g
∂z∂y
∂2g
∂x∂z
∂2g
∂y∂z
∂2g
∂z2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2:
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função h(x, y) = 4x3y + y2 cos(x)
SOLUÇÃO
Inicialmente, precisamos obter as derivadas parciais de primeira ordem
Agora iremos derivar parcialmente as derivadas parciais de primeira ordem para obter as quatro derivadas parciais de segunda
ordem.
 ATENÇÃO
= 12x2y − y2 sen(x)∂h
∂x
= 4x3y + 2y cos(x)∂h
∂y
( )= = 24xy − y2 cos(x)∂
∂x
∂h
∂x
∂2h
∂x2
( )= = 12x2 − 2y sen(x)∂
∂y
∂h
∂x
∂2h
∂y∂x
( )= = 12x2y − 2y sen(x)∂
∂x
∂h
∂y
∂2h
∂x∂y
( )= = 4x3 + 2 cos(x)∂
∂y
∂h
∂y
∂2h
∂y2
Foram dados exemplos de derivadas parciais de segunda ordem, mas as derivadas parciais de ordem maiores do que a segunda
seguem a mesma notação e o mesmo procedimento.
EXEMPLO 3:
Seja a função f(x, y, z) = 2xez + 3x2y3z – 2 cos x. Determine as derivadas parciais de ordem superior fxyz.
SOLUÇÃO
Como visto na teoria, a notação fxyz, representa uma derivada parcial de terceira ordem com a seguinte sequência de derivadas x, y
e por último z.
Assim 
 
As derivadas parciais de ordem superior que envolvem variáveis diferentes são denominadas derivadas mistas da função.
NOS EXEMPLOS APRESENTADOS ATÉ AQUI, AS DERIVADAS MISTAS ENVOLVENDO AS
MESMAS VARIÁVEIS APRESENTARAM OS MESMOS VALORES, MAS NEM SEMPRE ISSO
fxyz =
∂3f
∂z∂y∂x
= 2ez(x)' + 3y3z(x2)' − 2(cosx)' = 2ez + 3y3z 2x − 2(−senx)∂f
∂x
= 2ez + 6xy3z + 2senx
∂f
∂x
= ( )= (2ez)' + 6xz(y3)' + (2senx)' = 0 + 6xz 3y2 + 0 = 18xzy2∂
2f
∂y∂x
∂
∂y
∂f
∂x
= ( )= 18xy2(z)' = 18xy2∂
3f
∂z∂y∂x
∂
∂z
∂2f
∂y∂x
ACONTECE. AS DERIVADAS MISTAS, ENVOLVENDO O MESMO CONJUNTO DE VARIÁVEIS,
APENAS EM ORDEM DIFERENTE, SERÃO IGUAIS SE FOREM FUNÇÕES CONTÍNUAS.
Por exemplo, para o caso do R2, elas serão e . Estas derivadas serão iguais se, e somente se, as derivadas e 
forem contínuas. Assim, se uma for contínua, obrigatoriamente a outra também será e terá o mesmo valor da primeira.
Esta conclusão diminui o número de cálculo para obter as derivadas de ordem superior, pois necessitaremos apenas fazer a conta
uma vez paracada conjunto de derivadas mistas.
RESUMO DO MÓDULO 4
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y∂x
TEORIA NA PRÁTICA
A temperatura em uma placa plana é dada pela equação , que apresenta a temperatura (T), medido em °C em
um ponto (x, y), com x e y medida em metros. Um objeto se encontra no ponto (1, ). Determine a taxa de variação da temperatura
sofrida pelo objeto, quando ele segue uma trajetória definida pelo vetor (2, 4).
RESOLUÇÃO
VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR:
T (x, y)= √x2 + 2y2
√2
MÃO NA MASSA
1. A DERIVADA DE SEGUNDA ORDEM MISTA DA FUNÇÃO G(X,Y) = (XY-2YX3+KXY4), COM K REAL, NO
PONTO (1,1) VALE 3. DETERMINE O VALOR DE K
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
2. DETERMINE O VALOR DA MAIOR DERIVADA DIRECIONAL PARA A FUNÇÃO NO PONTO
(X, Y, Z) = (1, 1, –1).
A) 5
B) 9
C) -3
D) 2
E) 6
3. SEJA A FUNÇÃO F(X, Y) = 3X2 + 2XY. DETERMINE A DERIVADA DIRECIONAL DA FUNÇÃO NA DIREÇÃO
DO VETOR (–4, 3).
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
g(x, y, z)=
3x2y
z2
∂f
∂x
8
5
12
5
− 18
5
− 12
5
18
5
4. DETERMINE A SOMA DAS QUATRO DERIVADAS DE SEGUNDA ORDEM DA FUNÇÃO NO
PONTO (1, 1)
A) 16e
B) 32e
C) 48e
D) 64e
E) 72e
5. DETERMINE A EXPRESSÃO DA DERIVADA PARCIAL , SENDO 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
f(x, y)= 2y2e
x2
(x, y, z)∂
3h
∂x∂y∂z
h(x, y, z)= 4x3e−2y  cos(3z)
72x2e−2y sen(3z)
36x3e−y cos(3z)
36x2e−2y cos(3z)
18x2e−2y sen(3z)
24x2y sen(3z)
6. SEJA A FUNÇÃO . DETERMINE A DERIVADA DIRECIONAL, NO PONTO 
, EM RELAÇÃO A DIREÇÃO DEFINIDA PELO VETOR UNITÁRIO (1, –1).
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. A derivada de segunda ordem mista da função g(x,y) = (xy-2yx3+kxy4), com k real, no ponto (1,1) vale 3. Determine o valor de k
A alternativa "C " está correta.
4k = 3 + 5 = 8 → 4k = 8 → k = 2
2. Determine o valor da maior derivada direcional para a função no ponto (x, y, z) = (1, 1, –1).
f(x, y)= xy2  cos(xy)
(x, y)=( , )√π2
√π
2
π
8
π√2
4
π√2
2
− π
8
− π
2
g(x, y)=(xy − 2 yx3 + k xy4)
= y(x)
'
− 2y(x3)
'
+ ky4(x)
'
= y − 2y 3x2 + ky4 = y − 6yx2 + ky4
∂g
∂x
( )= (y)' − 6x2(y)' + k(y4)' = 1 − 6x2 + k.  4y3 = 1 − 6x2 + 4ky3∂
∂y
∂g
∂x
(1,1)= 1 − 6. 12 + 4. k. 13 = 1 − 6 + 4k = 3
∂2g
∂y∂x
g(x, y, z)=
3x2y
z2
A alternativa "B " está correta.
Sabe-se que a derivada direcional de maior valor é o próprio ∇g.
No ponto (1, 1, -1)
3. Seja a função f(x, y) = 3x2 + 2xy. Determine a derivada direcional da função na direção do vetor (–4, 3).
A alternativa "C " está correta.
Para facilitar a nomenclatura chamaremos de
Necessitamos achar o gradiente de f
 e 
Repare que é constante e temo mesmo valor para todo (x,y)
g(x, y, z)=
3x2y
z2
= (x2)' =  2x =∂g
∂x
3y
z2
3y
z2
6xy
z2
= (y)
'
=  
∂g
∂y
3x2
z2
3x2
z2
= 3x2y( )
'
= 3x2y(−2) =  
∂g
∂z
1
z2
1
z3
−6x2y
z3
∇g(1,1, −1)=( , , )=(6,3, 6)6.1.1
(−1)2
3.12
(−1)2
−6.12.1
(−1)3
|∇g|= √62 + 32 + 62 = √81 = 9
∂f
∂x
f(x, y)= 3x2 + 2xy
= 6x + 2y
∂f
∂x
  = g(x, y)= 6x + 2y
∂f
∂x
= 6
∂g
∂x
= 2
∂g
∂y
O vetor ( – 4 , 3) não é unitário, assim necessitamos do versor:
Assim
A derivada direcional vale
4. Determine a soma das quatro derivadas de segunda ordem da função no ponto (1, 1)
A alternativa "B " está correta.
Não existe necessidade de se calcular , pois como é contínua, então
Para o ponto (x, y) = (1, 1)
∣
∣
→
v ∣∣= √(−4)
2 + (3)2 = √16 + 9 = √25  =  5
v̂ = = (−4,3)=(− , )
→
v
∣
∣
→
v ∣∣
1
5
4
5
3
5
Dv = ∇f. v̂ =(6,2).(− , )= 6.(− )+2. = −45
3
5
4
5
3
5
18
5
f(x, y)= 2y2e
x2
f(x, y)= 2y2e
x2
= 2y2(ex2)
'
= 2y2 2xex
2
= 4xy2ex
2∂f
∂x
= 2ex
2(y2)' = 2ex2  2y = 4yex2∂f
∂y
= ( )= 4y2(xex2)
'
= 4y2(ex2 + x 2x ex2)= 4y2(1 + 2x2)ex2∂
2f
∂x2
∂
∂x
∂f
∂x
= ( )= 4xex2(y2)' = 4xex2  2y = 8xyex2∂
2f
∂y∂x
∂
∂y
∂f
∂x
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y∂x
= = 8xyex
2∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y∂x
= ( )= 4ex2(y)' = 4ex2∂
2f
∂y2
∂
∂y
∂f
∂y
Somando se tem 12e + 4e + 8 e + 8 e = 32e
5. Determine a expressão da derivada parcial , sendo 
A alternativa "A " está correta.
Veja a solução da questão no vídeo a seguir:
6. Seja a função . Determine a derivada direcional, no ponto , em relação a direção definida
pelo vetor unitário (1, –1).
A alternativa "D " está correta.
Veja a solução da questão no vídeo a seguir:
(1,1)= 4. 12(1 + 2. 12)e1
2
= 4.3. 3 = 12 e
∂2f
∂x2
(1,1)= 4e1
2
= 4e
∂2f
∂y2
(1,1)= (1,1)= 8.1. 1e1
2
= 8e
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y∂x
(x, y, z)∂
3h
∂x∂y∂z
h(x, y, z)= 4x3e−2y  cos(3z)
f(x, y)= xy2  cos(xy) (x, y)=( , )√π
2
√π
2
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA A FUNÇÃO . DETERMINE A DERIVADA DIRECIONAL DA FUNÇÃO, NO PONTO (1, –
1), NA DIREÇÃO DO VETOR (–3, 4).
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
f(x, y)= y2 + 3xy
11
5
19
5
3
5
13
5
17
5
2. SEJA A FUNÇÃO . DETERMINE A DERIVADA DE SEGUNDA ORDEM .
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. Seja a função . Determine a derivada direcional da função, no ponto (1, –1), na direção do vetor (–3, 4).
A alternativa "D " está correta.
 
 e 
No ponto (1, –1)
O vetor (–3, 4) não é unitário, assim necessitamos do versor:
h(x, y)= x2y  ln(y) ∂
2h
∂y∂x
2x(ln y + 1)
2y(ln y − 1)
x(ln y − 1)
xy(ln y + 1)
4x(ln y + 2)
f(x, y)= y2 + 3xy
f(x, y)= y2 + 3xy
= 3y
∂f
∂x
= 2y + 3x
∂f
∂y
∇f(1, −1)=(3.(−1),  2.(−1)+3.1)= (−3,1)
∣
∣
→
v ∣∣= √(−3)
2 + (4)2 = √16 + 9 = √25
Assim
A derivada direcional vale
2. Seja a função . Determine a derivada de segunda ordem .
A alternativa "A " está correta.
 
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
v̂ = = (−3,4)=(− , )
→
v
∣
∣
→
v ∣∣
1
5
3
5
4
5
Dv = ∇f. v̂ =(−3,1).(− , )=(−3).(− )+1. = =35
4
5
3
5
4
5
9+4
5
13
5
h(x, y)= x2y  ln(y) ∂
2h
∂y∂x
h(x, y)= x2y  ln(y)
= ylny(x2)' = y ln y 2x = 2xy ln y∂h
∂x
( )= 2x(y ln y)' = 2x(ln y + y. )= 2x(ln y + 1)∂
∂y
∂h
∂x
1
y
Este tema apresentou e aplicou o conceito de função de várias variáveis, também conhecida como função escalar, e suas
derivadas.
No primeiro módulo, definimos a função escalar e vimos as suas representações, além de analisarmos o gráfico e as curvas e
superfícies de nível.
No segundo e terceiro módulos, aplicamos as derivadas parciais, o gradiente e a regra da cadeia, bem como algumas de suas
aplicações no cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Por fim, apresentamos a derivada direcional e as derivadas parciais
de ordem superior.
Temos certeza de que, a partir deste momento, você saberá definir e trabalhar com funções escalares e aplicar suas derivadas.
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AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
APOSTOL, T. M. Cálculo, Volume 1. 1 ed. Barcelona – Espanha: Editorial Reverte SA, 1985. cap. 8, p. 243-281
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo, Volume 2. 5 ed. São Paulo: LTC, 2013. cap. 8, p.147-162, cap. 12, p. 211-225, cap. 13, p. 245-273 e cap. 14,
p. 274-287.
STEWART, J. Cálculo, Volume 2. 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. cap. 14, p. 884-977
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, pesquise na internet e nas referências:
Sobre funções escalares, derivadas parciais e derivadas direcionais.
Sobre as superfícies planas e espaciais, de forma a conhecer possíveis representações gráficas obtidas por uma função
escalar no plano ou no espaço.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
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