3 Amostragem

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Processamento de Sinais 
 
 
DEET– Departamento de Engenharia Elétrica e de 
Telecomunicações 
 
Mestrado em Engenharia Elétrica 
 
 
Prof. Fábio Luis Perez, Dr. 
 
 
FURB – Universidade Regional de Blumenau 
Sinais Discretos Amostrados 
 A grande maioria dos sinais discretos resultam 
da amostragem de sinais de tempo contínuo, 
como sinais de voz, música, temperatura, 
velocidade de um motor, etc; 
 
 
 
 
 O processo de conversão desses sinais para a 
forma digital é chamada analógico-digital – A/D; 
 O processo inverso de recuperação de um sinal 
contínuo a partir de suas amostras é chamado 
de conversão digital-analógico D/A. 
Conversão A/D 
• Um conversor A/D transforma um sinal contínuo e 
analógico em uma sequência digital; 
 
• É formado por um amostrador, ou conversor C/D, 
um quantizador e um codificador; 
 
 
Conversão A/D 
• Amostrador 
( )x t
a ( )x t
Trem de impulsos 
a cada segundos 
Amostrador 
sT
sT
0
2 sT 3 sT
4 sT 5 sT
( ) ( ) ( )a s s
n
x t x nT t nT


  
Conversão A/D 
• Quantizador  visto que o sinal amostrado 
possui infinitas amplitudes, a aproximação dos 
valores obtidos, para um conjunto finito de níveis, é 
chamado de quantização. 
( )ax t
Conversão A/D 
• Codificador  A designação de cada nível 
quantizado por um dado código é chamado de 
codificação. Neste processo cada nível da 
quantização é convertido em um código binário. 
Conversão A/D - EXEMPLO 
Conversor 
A/D 
( )x n
( )x t
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Sinal analógico
V
al
or
 d
o 
si
na
l
Tempo (s)
Conversão A/D 
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Sinal amostrado (multiplicado por um trem de impulsos)
V
al
or
 d
o 
si
na
l
Tempo (s)
Sinal amostrado com um período Ts = 0.002 s 
Conversão A/D 
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Sinal amostrado x Sinal quantizado
V
al
or
 d
o 
si
na
l
Tempo (s)
Número de Bits = 4  Número de níveis de quantização = 16 
Diferença entre níveis de quantização = 0.3125 
Erro de quantização = 0.15625 
Conversão A/D 
Sinal digital do sinal amostrado 
 
x(n) = [2.5 4.0625 5 4.375 2.8125 0.9375 0 0.3125 1.875 3.75 5] 
Conversão A/D 
Sinal digital do sinal amostrado 
 
x(n) = [2.5 4.0625 5 4.375 2.8125 0.9375 0 0.3125 1.875 3.75 5] 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Sinal Discreto
V
al
or
 d
o 
si
na
l
Amostra (n)
Conversão A/D 
Sinal digital do sinal amostrado 
 
x(n) = [2.5 4.0625 5 4.375 2.8125 0.9375 0 0.3125 1.875 3.75 5] 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Sinal Discreto
V
al
or
 d
o 
si
na
l
Amostra (n)
Sinal digital 
codificado 
 x(n) 
 '0111' 
 '1100' 
 '1111' 
 '1101' 
 '1000' 
 '0010' 
 '0000' 
 '0000 
 '0101' 
 '1011' 
 '1111‘. 
Erro de Quantização 
• Quantização Uniforme: 
• O erro de quantização pode ser tratado como um ruído 
aleatório 
• Quanto maior o número de níveis e menor a distância 
entre eles, menor será o erro de quantização 
Erro de Quantização 
• Erro máximo de quantização 
 
• Aparece como um ruído aleatório somado ao 
sinal. 
• Pode ser tratado um ruído uniformemente 
distribuído entre 
LSB 2 (Bit menos significativo)E  
LSB/2.
1

Função Densidade de Probabilidade 
Erro de Quantização 
• Densidade de probabilidade uniforme 
 
 
 
 
 
 
• Aplicando para o nosso caso, tem-se que o erro 
de quantização possui média zero e sua variância 
é igual a 
1
( )
( )
0 caso contrário
a x b
f x b a

 
 

2
a b
  2 2
1
( )
12
b a  
2
2 (potência do erro de quantização)
2

 
Efeito da Conversão A/D no 
Domínio da Frequência 
 Os sinais analógicos possuem as mais 
variedades de frequência 
(0 )f  
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.5
0
0.5
1
Tempo (s)
V
al
or
 d
o 
si
na
l
Exemplo de três sinais 
analógicos com diferentes 
frequências. 
A Transformada de Fourier 
facilmente mostra as 
diferentes frequências 
embutidas nos sinais 
analógicos. 
Efeito da Conversão A/D no 
Domínio da Frequência 
 Considerando que o sinal analógico x(t) seja 
amostrado, como fica o comportamento em 
frequência da sequência numérica resultante 
x(n), visto que a TFTD é periódica a cada 2π 
rad/s, ou seja, a cada 1 Hz? 
 
 Como o sinal amostrado pode ser modelado 
matematicamente pela multiplicação do sinal f(t) 
por um trem de impulsos p(t) com período Ts, 
isto é, amostrado por um frequência igual a 
1
, ou ainda, 2 , assim tem-se ques s s
s
f f
T
   
( ) ( ) ( ) ( ) ( )s a a s s
n
x t x t p t x nT t nT


   
Efeito da Conversão A/D no 
Domínio da Frequência 
 Como a Transformada de Fourier da 
multiplicação de dois sinais no tempo resulta na 
convolução na frequência, obtém-se 
( )aX j
s s
s s
( )p t
2 3 4s s s sT T T T
( )P j
( )sX j
1
2
sT
 2
sT

1
sT



( )ax t
( )sx t
2
( ) ( )s
s k
P j k
T



    
1
( ) ( )s a s
s k
X j X j jk
T


   
( ) ( ) j taX x t e dt

 

  
mm

mm
Convolução 
Efeito da Conversão A/D no 
Domínio da Frequência 
 Visto que a T. F. de 
a expressão da T.F. do sinal amostrado 
 
 
e comparando-a com a expressão da T.F.T.D. de 
um sinal x(n) 
 
 
temos que a relação entre as frequências é 
( )sx t
(e ) ( ) ( )j jn jna s
n n
X x n e x nT e
 
    
 
  
( ) ( ) s
jn T
s a s
n
X j x nT e

 

  
( ) é ,s
jn T
st nT e
  
, ou ainda e as d
s s
f
T f
f f

  
Efeito da Conversão A/D no 
Domínio da Frequência 
• O processo de amostragem periódica é 
ilustrado abaixo, onde 
( )sx t
( )x n
( ) [ ( 2) ( 1) (0) (1) (2) (3) (4) ]x n x x x x x x x  
( ) ( )a sx n x nT
( )p t
( )ax t ( )sx t
Aliasing 
Teorema de Amostragem 
• Se xa(t) for um sinal limitado em banda por 
 tal que: 
 
 
• Então xa(t) pode ser recuperado de forma 
única a partir de suas amostras se 
 
 
• Onde é a frequência de amostragem, e o 
valor é chamado taxa de Nyquist. 
 
• Assim, os limites –π e π estão situados nas 
frequências e 
o
o( ) 0 | |aX j   
o
2
2s
sT

   
s
o2
2s 2s
Teorema de Amostragem 
Para não há 
Aliasing, pois será 
mapeada para uma freq. 
inferior a π. 
2s m  
m
Teorema de Amostragem 
Teorema de Amostragem 
• Ex: Dado um sinal de tempo contínuo x(t), cujo 
módulo de sua T.F. é dado por 
 
 
 
 
 
 
 
Esboçar o gráfico da TFTD do sinal x(t) amostrado 
com uma frequência de amostragem de 
1
500
2
500 1000-1000
| ( ) |X j
 (rad/s)
a) 3000 rad/s
b) 1500 rad/s
s
s
 
 
Teorema de Amostragem 
a) Com temos 
 
 
Usandoas relações entre a frequência analógica e 
digital 
| ( ) |jX e 
 (rad/s)
3000 rad/ss 
3000 1500
 (Hz)
2
sf  
 
1
 (s)
1500
s
s
T
f

 
 ou s
s
T
f

 
2/Ts
1/Ts
2/Ts
1/Ts
2/Ts
1/Ts
3

3


2
3
2
3


22 
2
3


2
2
3

2
3


2
2
3

2
3

 
2
2
3

 2
3

 
2
2
3

 
0
2/Ts
1/Ts
2/Ts
1/Ts
2/Ts
1/Ts
Teorema de Amostragem 
b) Com temos 
 
 
| ( ) |jX e 
 (rad/s)
1500 rad/ss 
1500 750
 (Hz)
2
sf  
 
1
 (s)
750
s
s
T
f

 
2
3

2
0
4
3
2
3


4
3


2 
Aliasing  o sinal não pode ser reconstituído 
Conversão Digital-Analógica 
• Se o teorema da amostragem for obedecido, 
então um sinal pode ser inteiramente 
reconstruído a partir de suas amostras; 
• Primeiro a sequência de amostras é 
convertida numa sequência de impulsos no 
domínio contínuo de forma que: 
 
 
 
• Após esta fase, aplica-se um filtro de 
reconstrução, obtido de um filtro passa-
baixas contínuo ideal. 
( )ax t
( ) ( ) ( )s s
n
x t x n t nT


  
Conversão Digital-Analógica 
| ( ) |sX j
sT
sT

sT

Conversão Digital-Analógica 
• Após a passagem pelo filtro de reconstrução 
obtém-se o sinal analógico original. 
Filtro de Reconstrução 
• A resposta em frequência do filtro passa-
baixas ideal para reconstrução de um sinal 
amostrado é dada por: 
 
 
 
 
• A resposta ao impulso deste filtro é dada 
por: 
 
 
• Ou seja, a resposta é não-causal e portanto o 
filtro não é realizável em tempo real. 
| |
( )
0 | |
s
s
r
s
T
T
H j
T

 

  
  

sen( )
( ) (Sinc)sr
s
t T
h t
t T



Retentor de Ordem Zero 
• Como o filtro passa-baixas ideal não pode 
ser implementado na prática, muitos 
conversores D/A utilizam um retentor de 
ordem zero 
• A resposta ao impulso de um retentor de 
ordem zero é dada por: 
 
 
 
• e a resposta em frequência é: 
o
1 0
( )
0 caso contrário
st T
h t
 
 

2
o
sen( 2)
( )
2
sj T s
T
H j e
   

Retentor de Ordem Zero 
• O efeito de um retentor de ordem zero pode 
ser observado abaixo: 
• Para compensar a diferença da resposta em 
frequência de um retentor de ordem zero e de 
um passa-baixas ideal, utiliza-se na saída do 
retentor um filtro compensador de reconstrução. 
 
 
 
 
 
 
• A cascata do retentor e do filtro compensador de 
reconstrução gera um filtro resultante cuja 
resposta em frequência se aproxima a do filtro 
passa-baixas ideal. 
Retentor de Ordem Zero 
 
• Um problema da amostragem de sinais 
contínuos advém do fato que muitos sinais não 
são limitados em banda 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Como evitar a aliasing? 
Filtro Anti-aliasing 
 
-6 -4 -2 0 2 4 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
| ( ) |H j
frequência
• Uso de um pré-filtro passa-baixas para eliminar 
e/ou atenuar componentes de alta frequência 
não essenciais para a informação do sinal 
Filtro Anti-aliasing 
 
-6 -4 -2 0 2 4 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
| ( ) |H j
frequência s
c
2

 
Filtro
Passa-baixas