função

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – Campus Cabo Frio 
Curso: Sistema de Informação - Disciplina: Matemática Aplicada - Ano 2018.2 
Profª Gilselene Guimarães 
 
Unidade 4 - Funções 
4.3. Composição de Funções. 
4.4. Função Inversa. 
 
4.3 - Composição de funções 
A partir de duas ou mais funções é possível compor novas funções através das operações 
elementares de adição, subtração, multiplicação e divisão, além de outras. Mas, há uma forma 
bem conhecida de composição entre duas (ou mais) funções em que uma delas é a variável 
independente da outra. Veja no próximo exemplo algumas formas de realizar a composição entre 
duas funções. 
Definição: Sejam g: A → B e f: Im(g) → C. Definimos a composta de f com g, e denotamos por fog 
( lê-se f “bola” g), a função dada por ( fog )(x) = f(g(x)). 
A função h(x) = f(g(x)) é chamada função composta de f com g, aplicada em x. 
 
Observação: 
✓ Esta definição só faz sentido se a imagem de g estiver contida no domínio de f. 
✓ O domínio de fog é o conjunto dos valores de x no domínio de g, tal que g(x) esta no 
domínio de f. 
 
Exemplo 1: Seja f(x) = para x = 0 e g(x) = x2 + 1, ∀ x ∊ R. Determine (f o g). 
Solução: Temos que (f o g)(x) = f(g(x)) = f (x2 + 1) = 
 
 
Exemplo 2: Seja f(x) = para x = 0 e g(x) = x2 + 1, ∀ x ∊ R. Determine (g o f). 
Solução: Temos que (g o f)(x) = g(f(x)) = g = x 
 
 
Observação: A ordem na qual as funções são compostas pode fazer diferença no resultado final, 
portanto, a operação de composição entre funções não satisfaz a propriedade comutativa. 
 
 
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Exemplo 3: 
Considere as funções f : R → R e f : R → R, tais que f (x) = 2x + 1 e g (x) = x2 – 4. 
Podemos obter uma nova função, que denominaremos h (x), de algumas formas diferentes. Veja a 
seguir: 
 
 
 
A composição pode ocorrer de outras formas também. Mas, quando utilizamos a expressão 
função composta, geralmente, estamos nos referindo ao tipo de composição entre duas funções 
em que uma passa a ser a variável independente da outra, como mostrado a seguir. 
 
 
Observe que para obter a função composta h(x), calculamos o “valor” da função f para x 
igual à função g. Além da representação utilizada na determinação da função composta acima, 
uma notação bastante utilizada para esse tipo de composição é f · g ou f · g (x). É importante notar 
que a composição de funções não é comutativa, isto é, f · g ≠ g · f. 
Veja, para as funções dadas nesse exemplo, como fica definida a função g · f: 
 
 
 
Observação: Sempre deve-se verificar se o domínio da função composta é satisfeita. 
 
Exemplo 4: Seja f(x) = - x2 e g(x) = . A função composta (g o f)(x) não será possível satisfazer o 
domínio. Só será possível calcular (g o f)(x) para f e g quando x = 0. 
 gof(x) = g(f(x)) =  R 
 
 
 
4.4 - Função inversa 
Geralmente, numa função, expressamos a variável dependente y em relação à variável 
independente x. Temos, portanto y = f(x). Para qualquer valor que atribuímos a x, conseguimos 
determinar o valor de y. Mas, será que não podemos fazer o contrário? Expressar x como função 
de y. 
Definição: Seja f: A→ B uma função injetora com domínio A e imagem B. A função inversa é a 
função f -1 : A → B, com domínio B e imagem A 
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Exemplo 
Uma aplicação clássica de função em Economia refere-se à relação entre a demanda de (ou 
procura por) um produto e o seu preço. Aqui, tanto podemos expressar a demanda em relação ao 
preço, como o preço em relação à demanda. Ou seja, a demanda, ora pode ser a variável 
dependente, ora a variável independente. O mesmo vale para o preço. Considere, por exemplo, a 
demanda y de certo produto dada por: y = 50 – 2x em que x é o preço unitário deste produto. 
Da forma como está escrita, costumamos dizer que y é uma função de x ou y é a variável 
dependente e x, a variável independente. 
Para qualquer valor que atribuímos a x, conseguimos, facilmente, calcular y. Esta é uma forma útil 
para analisar como a demanda se comporta em relação à variação do preço. 
Mas, se quisermos analisar a variação do preço em relação à demanda, qual é a forma mais 
adequada de relacionar tais variáveis? Podemos, na função dada, isolar a variável x. Veja: 
 
As funções são denominadas funções inversas. Note que para 
qualquer par (x,y) que pertence à primeira, temos que o par (y, x) pertence à segunda. 
Considere, por exemplo, o par ordenado (10, 30) que pertence à primeira função e 
constate que o par ordenado (30, 10) pertence à segunda. De fato, se atribuirmos o valor 30 para 
variável y, na segunda função, o valor de x será 10 (não se esqueça que para a segunda função, a 
primeira coordenada do par ordenado é y e a segunda, x). 
O que é domínio em uma função é imagem em sua inversa. E o que é imagem, na sua 
inversa é domínio. A notação que utilizamos para determinar a função inversa de f é f -1. 
 
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Uma função f admite função inversa f-1 quando ela é bijetora (todo elemento do 
contradomínio está associado a um único elemento do domínio). 
Para determinar a inversa de uma função, o procedimento varia de acordo com a forma da 
expressão que a define. No entanto, o que podemos estabelecer como regra e que se a função 
considerada é definida como y = f (x), devemos isolar x, isto é, obter uma expressão que mostra 
x (isolado) em função de y. Após isso, podemos trocar as variáveis, pois costumamos considerar 
que x é a variável independente e y a dependente. 
 
Exemplo 1: f(x) = x3 – 1 
Passo 1: y = f(x) = x3 – 1 
 
Passo 2: 
 
Passo 3: 
 
Exemplo 2: Dada a função y = 3x - 5 determinaremos a sua inversa. 
1o Passo: isolar x  x = (y+ 5) / 3 
2o Passo: trocar-se x por y e y por x. y= (x+ 5) / 3  f -1 (x) = (x+ 5) / 3. 
 
Exemplo 3: Como podemos determinar a inversa da função 
 
Vamos considerar y = f (x) na expressão acima e isolar x, como mostrado a seguir. 
 
Trocando x por y e y por x, temos: 
 
Para encontrar a função inversa de uma função f injetora: 
Passo 1: Escreva y = f(x). 
Passo 2: Se possível, isole x nessa equação escrevendo-o em termos de y. 
Passo 3: Escreva x = f-1(y). 
Passo 4: Se quiser expressar a inversa f-1 como uma função de x, troque x por y e escreva y = f-1(x). 
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que também pode ser expressa na forma: 
 
 
Exercícios Propostos 
 
 
 
 
 
 
1- (UFRJ) Um videoclube propõe a seus clientes três opções de pagamento: 
• Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD alugado. 
• Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por DVD alugado. 
• Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão. 
Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano. 
Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua resposta. 
Solução: 
Na opção II: 56 - 20 → 36 portanto 36: 2= 18 filmes alugados. 
Na opção I : 40 + (1,20).18 → 40 + 21,6 → 61,60 
Na opção III: 3. (18) → 54,00 
Melhor opção seria a III.