Aula05 Potencial02

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Diferença de potencial elétrico para uma 
carga puntiforme
q
E
!
a
d
!
ℓ
q0
rb
b
r
ra
P P
b
ab
a
b a
E E W F d− = − = − ∫
!!
i ℓ
b b
ab 0
a a
W F d q E d= = =∫ ∫
! !! !
i ℓ i ℓ
0 0 0
ab 2
o o o
bb
a a
r
r a b
r
r
qq qq qq1 1 1 1W dr
4 r 4 r 4 r r
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = − = −⎢ ⎥πε πε πε ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫
0 2
o
b
a
r
r
1 q ˆ ˆq r dr r
4 r
=
πε∫ i
➥ já vimos que :
➥ então :
q
E
!
a
d
!
ℓ
q0
rb
b
r
ra
0
ab
o a b
qq 1 1W
4 r r
⎡ ⎤
⎢ ⎥= −
πε ⎢ ⎥⎣ ⎦
➥ continuando :
➥ diferença de potencial entre a e b :
0
ab
ba b a
o ab
W q 1 1V V V
q 4 r r
⎡ ⎤
⎢ ⎥= − = − = −
πε ⎢ ⎥⎣ ⎦
➥ tomando como nível de referência 
b
o b
q 1V
4 r
=
πε
que nos dá o potencial num ponto devido a uma carga 
puntiforme a uma distância dessa carga.
b
r
Ua = 0
q
E
!
a
d
!
ℓ
q0
rb
b
r
ra
➥ de modo geral :
o
q 1V
4 r
=
πε
“ Potencial num 
ponto qualquer ”
V(r)
r0
x
y
x
y
Potencial elétrico num ponto devido a 
duas cargas puntiformes
1
q+
2
q+
o
Basta somar algebricamente 
 os potenciais relativo a cada 
carga
1
1
o
q 1V
4 y
=
πε
2
2
o
q 1V
4 x
=
πε
x
y
x
y
1
q+
2
q+
o
1
1
o
q 1V
4 y
=
πε
2
2
o
q 1V
4 x
=
πε
1 2
1 2
o o
q q1 1V V V
4 y 4 x
= + = +
πε πε
1 2
o
q q1V
4 y x
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
πε ⎝ ⎠
Para n cargas puntiformes 
 (conjunto discreto):
i
i
N
i 1o
q1V
4 r=
=
πε ∑
Potencial elétrico devido a um segmento 
de reta carregado
x
y
o
P
d
r
x dx
comprimento da barra - ℓ
r
o
1 dqV
4 r
=
πε ∫
dq dx= λ
2 2r x d= +
Q
λ =
ℓ
r 2 2
o
0
Q dxV
4 x d
=
πε +∫
ℓ
ℓ
➥ potencial devido a dq :
densidade da barra - 
➥ onde :
➥ então :
x
y
o
P
d
r
x dx
( )2 2ln x x d+ +
r 2 2
o
0
Q dxV
4 x d
=
πε +∫
ℓ
ℓ
"###$###%
( )2 2r
0o
QV ln x x d
4
= + +
πε
ℓ
ℓ
2 2
r
o
dQV ln
4 d
⎛ ⎞+ +
⎜ ⎟=
⎜ ⎟πε ⎝ ⎠
ℓ ℓ
ℓ
➥ continuando :
➥ dando finalmente :
Potencial elétrico devido a um 
anel carregado
x
y
z
P
r x
a r
o
1 dqV
4 r
=
πε ∫
2 2r x a= +
r 2 2
o
1 dqV
4 x a
=
πε +∫
r 2 2
o
1V dq
4 x a
=
πε + ∫ r 2 2
o
QV
4 x a
=
πε +
dq
➥ potencial devido a dq :
➥ onde :
➥ então:
Potencial elétrico devido a um 
disco carregado
x
y
z
P
r
x
a
r
o
1 dqV
4 r
=
πε ∫
➥ onde : 2 2r x a= +
dA 2 ada= π
R
dq dA 2 ada= σ = πσ
r 2 2 2 2
o o0 0
R R
1 2 ada adaV
4 2x a x a
πσ σ
= =
πε ε+ +∫ ∫
( )
R
2 2
r
0o
V x a
2
σ
= +
ε ( )2 2r oV x R x2
σ
= + −
ε
Calcule o Potencial elétrico devido a uma esfera 
uniformemente carregada
r 2
o
1 QE para r R
4 r
= >
πε
➥ já vimos que :
R
r
B
C
D
B r 2
o
r r
Q drV E dr
4 r
∞ ∞
= − = −
πε∫ ∫
B
o
QV
4 r
=
πε
r 3
o
1 QE r para r R
4 R
= <
πε
➥ já vimos que :
R
r
B
C
D
D C r 3
o
R R
r r
QV V E dr r dr
4 R
− = − = −
πε∫ ∫
( )
2
2 2
D C 3 3
o o o
Q Q QrV V R r
8 R 8 R 8 R
− = − = −
πε πε πε
C
o
QV
4 R
=
πε
2 2
D 3 2
o o o
3Q Qr Q rV 3
8 R 8 R 8 R R
⎛ ⎞
= − = −⎜ ⎟πε πε πε ⎝ ⎠