Estatística e Probabilidade - 01. Introducao a Probabilidade

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Estat´ıstica e Probabilidade - ET586
1. Introduc¸a˜o a` Probabilidade
Tsang Ing Rentir@cin.ufpe.br
1.1 Modelos Matema´ticos
• Examinar o tipo de fenoˆmeno a ser estudado.• Formular um modelo matema´tico que nos ajudara´ a investigar essefenoˆmeno de maneira bastante precisa.• Distinguir o fenoˆmeno e o modelo matema´tico para o fenoˆmeno.• Modelo determin´ıstico. Exemplo: a Lei de Ohm, I = E/R• Modelo na˜o-determin´ıstico ou probabil´ıstico (estoca´stico). Exemplo:observac¸a˜o meteorolo´gicas.
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1.2 Introduc¸a˜o aos Conjuntos
• Para expor os conceitos ba´sicos do modelo probabil´ıstico − >Conhecer algumas ideias e conceito de teoria dos conjuntos.• Um conjunto e´ uma colec¸a˜o de objetos.• Usualmente conjuntos sa˜o representados por letras maiu´scula A, B ,
C ... etc.
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1.2 Introduc¸a˜o aos Conjuntos
• Existem treˆs maneira de descrever que objetos esta˜o contidos noconjunto A:
• (a) lista de elementos de A. Por exemplo A = {1, 2, 3, 4} descreve oconjunto formado pelos inteiros positivos 1, 2, 3, 4.• (b) Podemos descrever o conjunto A por meio de palavras. Porexemplo, podemos dizer que A e´ formado de todos os nu´meros reaisentre 0 e 1, inclusive.• (c) Para descrever o conjunto acima podemos simplesmente escrever
A = {x |0 ≤ x ≤ 1}; isto e´, A e´ o conjunto de todos os x , onde x e´ umnu´mero real entre 0 e 1, inclusive.
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1.2 Introduc¸a˜o aos Conjuntos
• Os objetos que individualmente formam a colec¸a˜o ou conjunto A sa˜odenominados membros ou elementos de A.• Quando ”a” for um elemento de A, escrevemos a ∈ A.• Quando ”a” na˜o for um elemento de A, escrevemos a /∈ A.• Definimos o conjunto fundamental como o conjunto de todos osobjetos que estejam sendo estudados. Este conjunto e´ geralmenterepresentado por U (universo).
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1.2 Introduc¸a˜o aos Conjuntos
• Se o conjunto A for descrito como o conjunto de todos os nu´merosreais x , que satisfac¸am a` equac¸a˜o x2 + 1 = 0. O conjunto A na˜o temqualquer elemento, definido como conjunto vazio ou conjunto nulo,representado por ∅.• Quando dois conjuntos A e B sejam considerados, ser elemento de Aimplique ser elemento de B . A e´ um subconjunto de B , escrevemos
A ⊂ B .• Interpretac¸a˜o semelhante e´ dada para B ⊂ A.• Dois conjuntos constituem o mesmo conjunto, A = B , se, e somentese, A ⊂ B e B ⊂ A.• Desse modo, dois conjuntos sera˜o iguais se, e somente se, elestiverem os mesmo elementos.
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1.2 Introduc¸a˜o aos Conjuntos
• Duas propriedades do conjunto vazio e do conjunto fundamental:• (a) Para todo conjunto A, temos que ∅ ⊂ A.• (b) Desde que se tenha definido o conjunto fundamental, temos A ⊂ U .
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1.2 Introduc¸a˜o aos Conjuntos
Exemplo 1.1Suponha que U = todos os nu´meros reais.
• A = {x |x2 + 2x − 3 = 0}, x = −3, 1.• B = {x |(x − 2)(x2 + 2x − 3) = 0)}, x = −3, 1, 2.• C = {x |x = −3, 1, 2)}.• Enta˜o: A ⊂ B e B = C .
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1.2 Introduc¸a˜o aos Conjuntos
• Explorar a ideia de combinar conjuntos dados a fim de formar umnovo conjunto.• Duas operac¸o˜es fundamentais que ser assemelham com a`s operac¸o˜esde adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de nu´meros.• Sejam dois conjuntos A e B . Definimos como C a unia˜o de A e B ,(tambe´m denominado de soma de A e B).• Temos: C = {x |x ∈ A ou x ∈ B (ou ambos)}.• A unia˜o de A e B , assim: C = A ∪ B . C e´ formado pelos elementosque estejam em A, ou em B , ou em ambos.
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1.2 Introduc¸a˜o aos Conjuntos
• Definimos D como a intersec¸a˜o de A e B (tambe´m denominado deproduto de A e B).• Temos: D = {x |x ∈ A e x ∈ B}• A intersec¸a˜o de A e B , assim: D = A ∩ B . D e´ formado de todos oselementos que estejam em A e em B .• O conjunto denotado de A, constitu´ıdo por todos os elementos quena˜o estejam em A (mas estejam no conjunto fundamental U) e´denominado complemento de A.• Isto e´, A = {x |x /∈ A}.
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1.2 Introduc¸a˜o aos Conjuntos
Diagrama de Venn - Recurso Gra´ficoRegia˜o sombreado representa o conjunto sob exame.
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1.2 Introduc¸a˜o aos Conjuntos
Exemplo 1.2Suponha:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},
A = {1, 2, 3, 4},
B = {3, 4, 5, 6}.Temos:• A = {5, 6, 7, 8, 9, 10},• A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6},• A ∩ B = {3, 4}.
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1.2 Introduc¸a˜o aos Conjuntos
• Estas operac¸o˜es podem ser estendidas para qualquer nu´mero finitode conjunto.• Definimos: A ∪ B ∪ C como A ∪ (B ∪ C ) ou (A ∪ B) ∪ C , o que e´equivalente.• De forma ana´logo: A ∩ B ∩ C como A ∩ (B ∩ C ) ou (A ∩ B) ∩ C .• Podemos continuar essas composic¸o˜es de conjuntos para qualquernu´mero finito de conjuntos dados.
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1.2 Introduc¸a˜o aos Conjuntos
• Existe um certo nu´mero de tais conjuntos equivalentes (conte´m osmesmos elementos).• (a) A ∪ B = B ∪ A.• (b) A ∩ B = B ∩ A.• (c) A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C .• (d) A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C .
• (a) e (b) leis comutativas.• (c) e (d) leis associativas.
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1.2 Introduc¸a˜o aos Conjuntos
• Existe outras identidades de conjuntos.• (e) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ),• (f ) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ),• (g) A ∩∅ = ∅,• (h) A ∪∅ = A,• (i) (A ∪ B) = A ∩ B ,• (j) (A ∩ B) = A ∪ B ,• (k) A = A.
• (g) e (h) mostram que ∅ se comporta entre os conjuntos (relativos a`soperac¸o˜es ∪ e ∩) da maneira que o nu´mero zero (relativo a`soperac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o).
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1.2 Introduc¸a˜o aos Conjuntos
Outra maneira de formar conjuntos.Definic¸a˜oSejam dois conjuntos A e B . Denominaremos produto cartesiano de A e
B , denotando-o por A× B , o conjunto {(a, b), a ∈ A, b ∈ B}, isto e´, oconjunto de todos os pares ordenados nos quais o primeiro elemento e´tirado de A e o segundo, de B.
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1.2 Introduc¸a˜o aos Conjuntos
Exemplo 1.3Suponha que A = {1, 2, 3}; B = {1, 2, 3, 4}. Enta˜o,
A× B = {(1, 1), (1, 2), ..., (1, 4), (2, 1), ..., (2, 4), (3, 1), ..., (3, 4)}.Observac¸a˜o: Em geral , A× B 6= B × A.Esta noc¸a˜o pode ser estendida: Se A1, ...,An forem conjuntos enta˜o,
A1 × A2 × ...× An = {(a1, a2, ..., an), ai ∈ Ai}, ou seja, o conjunto detodas as eˆnuplas ordenadas.
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1.2 Introduc¸a˜o aos Conjuntos
• Casos especiais: Quando consideramos o produto cartesiano de umconjunto por ele pro´prio, A× A ou A× A× A. Exemplo: planoeuclidiano R × R , onde R e´ o conjunto de todos os nu´meros reais, edo espac¸o euclidiano tridimensional R × R × R .• Nu´mero de elementos• Nu´mero finito de elementos.• Nu´mero infinito de elementos A, com correspondeˆncia biun´ıvoca comos inteiros positivos. A e´ numera´vel ou infinito numera´vel. Exemplo:conjunto de todos os nu´meros racionais e´ numera´vel.• Conjunto infinito na˜o-numera´vel, possui um nu´mero infinito deelementos que na˜o podem ser enumerados. Para quaisquer doisnu´meros reais b > a, o conjunto A = {x |a ≤ x ≤ b} conte´m umnu´mero na˜o-numera´vel de elementos.
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1.3 Exemplos de Experimentos Na˜o-Determin´ısticos
• Examinar o que entendemos por experimento ”aleato´rio”ou”na˜o-determin´ıstico”,estamos falando de fato de um modelona˜o-determin´ıstico para um experimento.• Experimentos• E1: Jogue um dado e observe o nu´mero mostrado na face de cima.• E6: Uma laˆmpada e´ fabricada. Em seguida e´ ensaiada quanto a`durac¸a˜o da vida, pela colocac¸a˜o em um soquete e anotac¸a˜o do tempodecorrido (em horas) ate´ queimar.• E8: Pec¸as sa˜o fabricadas ate´ que 10 pec¸as perfeitas sejamproduzidas. O nu´mero total de pec¸as fabricadas e´ contado.• E13: Um termo´grafo registra a temperatura continuamente, numper´ıodo de 24 horas. Em determinada localidade e em uma dataespecificada, esse termo´grafo e´ lido.
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1.3 Exemplos de Experimentos Na˜o-Determin´ısticos
• O que os experimentos tem em comum?• Os seguintes trac¸os sa˜o pertinentes a caracterizac¸a˜o de umExperimento Aleato´rio.• (a) Cada experimento podera´ ser repetido indefinidamente sobcondic¸o˜es essencialmente inalteradas.• (b) Embora na˜o sejamos capazes de afirmar que resultado particularocorrera´, somos capazes de descrever o conjunto de todos os poss´ıveisresultados do experimento.• (c) Quando o experimento for executado repetidamente, os resultadosindividuais parecera˜o ocorrer de forma acidental. Contudo, quando oexperimento for repetido um grande nu´mero de vezes, umaconfigurac¸a˜o definida ou regularidade surgira´.
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1.4 O Espac¸o Amostral
Definic¸a˜oPara cada experimento ε do tipo que estamos considerando, definimos oespac¸o amostral como o conjunto de todos os resultados poss´ıveis de ε.Geralmente representamos esse conjunto por S (conjunto fundamental).
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1.4 O Espac¸o Amostral
• Espac¸o amostral Si referindo ao experimento Ei .• S1 : {1, 2, 3, 4, 5, 6}.• S6 : {t|t ≥ 0}.• S8 : {10, 11, 12, ...}.• S13 : espac¸o amostral mais complexo considerado. Em umadeterminada localidade podemos assumir valores ma´ximos e m´ınimos
M e m. O gra´fico na˜o tera´ saltos (func¸a˜o cont´ınua) ou seja o gra´ficorepresenta uma func¸a˜o deriva´vel. Podemos afirmar que o espac¸oamostral sera´: {f |f uma func¸a˜o deriva´vel, que satisfac¸a a
m ≤ f (t) ≤ M , para todo t}
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1.4 O Espac¸o Amostral
• O espac¸o amostral na˜o e´ necessariamente um nu´mero. Exemplosequencia de (H) caras e (T) coroas.• Espac¸o amostral poder ser:• Finito (S1).• Infinito numera´vel (S8).• Infinito na˜o-numera´vel (S6) (S13).• Diferenc¸a entre espac¸o amostral ”idealizado”matematicamente eespac¸o realiza´vel experimentalmente. Lampada (S6) - medic¸a˜o comduas casas decimais (infinito numera´vel).
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1.5 Eventos
• Conceito de Evento: Um evento A (relativo a um particular espac¸oamostral S , associado a um experimento ε) e´ simplesmente umconjunto de resultados poss´ıveis.• Um evento e´ um subconjunto de um espac¸o amostral S .• A1 : um nu´mero par ocorre, isto e´, A1 = {2, 4, 6} .• A6 : {t|t < 3}, isto e´, a laˆmpada queima em menos de 3 horas.• Quando o espac¸o amostral S for finito ou infinito numera´vel todosubconjunto podera´ ser considerado um evento.• Se S for infinito na˜o numera´vel, surgira´ um dificuldade teo´rica.Verifica-se que nem todo subconjunto imagina´vel podera´ serconsiderado um evento. Eventos na˜o-admiss´ıveis.
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1.5 Eventos
• Combinar conjuntos (eventos) e obter novos eventos (conjuntos).
• (a) Se A e B forem eventos, A ∪ B sera´ o evento que ocorrera´ se, esomente se, A ou B (ou ambos) ocorrerem.• (b) Se A e B forem eventos, A ∩ B sera´ o evento que ocorrera´ se, esomente se, A e B ocorrerem.• (C) Se A for um evento, A sera´ o evento que ocorrera´ se, e somentese, na˜o ocorrer A .
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1.5 Eventos
Definic¸a˜oDois eventos, A e B , sa˜o denominados multuamente excludente, se elesna˜o puderem ocorrer juntos. Exprimimos isso escrevendo A ∩ B = ∅, istoe´, a intersec¸a˜o de A e B e´ o conjunto vazio.
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1.5 Eventos
Exemplo 1.4Um dispositivo eletroˆnico e´ ensaiado e o tempo total de servic¸o t e´registrado. O espac¸o amostral e´ {t|t ≥ 0}. Sejam A, B e C treˆs eventosdefinidos:• A = {t|t < 100}• B = {t|50 ≤ t ≤ 200}• C = {t|t > 150}Consequentemente,• A ∪ B = {t|t ≤ 200}• A ∩ B = {t|50 ≤ t ≤ 100}• B ∪ C = {t|t > 50}
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1.5 Eventos
• Se A for um evento associado a um experimento, na˜o podemosafirmar com certeza que A ira´ ocorrer ou na˜o.• Torna-se importante tentar associar um nu´mero ao evento A, o qualmedira´ de alguma maneira qua˜o veross´ımil e´ que o evento A venha aocorrer.• Essa tarefa nos leva a` teoria da probabilidade.
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1.6 Frequeˆncia Relativa
• Suponha que repetimos n vezes o experimento ε, e sejam A e B doiseventos associados a ε. Admitamos que sejam, respectivamente, nA e
nB o nu´mero de vezes que o evento A e o evento B ocorram nas nrepetic¸o˜es.
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1.6 Frequeˆncia Relativa
Definic¸a˜o:
fA = nA/n e´ denominada frequeˆncia relativa do evento A nas n repetic¸o˜esde ε. A frequeˆncia relativa fA apresenta as seguintes propriedades:• (1) 0 ≤ fA ≤ 1.• (2) fA = 1 se, e somente se, A ocorrer em todas as n repetic¸o˜es.• (3) fA = 0 se, e somente se, A nunca ocorrer nas n repetic¸o˜es.• (4) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, e se fA∪B for afrequeˆncia relativa associada ao evento A∪B , enta˜o, fA∪B = fA + fB .• (5) fA, com base em n repetic¸o˜es do experimento e considerada comouma func¸a˜o de n, ”converge”em certo sentido probabil´ıstico para
P(A), quando n→∞.
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1.6 Frequeˆncia Relativa
• Regularidade Estat´ıstica - Se um experimento for executado umgrande nu´mero de vezes, a frequeˆncia relativa da ocorreˆncia dealgum evento A tendera´ a variar cada vez menos a` medida que onu´mero de repetic¸o˜es for aumentada.• Lei dos Grandes Nu´meros mostra que a regularidade estat´ıstica e´,de fato, uma consequeˆncia da primeira condic¸a˜o: reprodutibilidade.
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1.7 Noc¸o˜es Fundamentais de Probabilidade
Definic¸a˜o:Seja ε um experimento. Seja S um espac¸o amostral associado a ε. Acada evento A associaremos um nu´mero real representado por P(A) edenominado probabilidade de A, que satisfac¸a a`s seguintes propriedades:• (1) 0 ≤ P(A) ≤ 1.• (2) P(S) = 1.• (3) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).• (4) Se A1,A2, ...,An, ..., forem, dois a dois, eventos mutuamenteexcludentes, enta˜o, P( n⋃
i=1
Ai ) = P(A1) + P(A2) + ...+ P(An) + ....
• Da propriedade 3, decorre que para quaisquer n finito,
P(
n⋃
i=1
Ai ) =
n∑
i=1
P(Ai ).
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1.7 Noc¸o˜es Fundamentais de Probabilidade
Teorema 1.1Se ∅ for um conjunto vazio, enta˜o P(∅) = 0
Demonstrac¸a˜o:Para qualquer evento A, podemos escrever A = A ∪∅. Uma vez que A e
∅ sa˜o mutuamente excludentes decorre da Propriedade 3, que
P(A ∪∅) = P(A) + P(∅).
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1.7 Noc¸o˜es Fundamentais de Probabilidade
Teorema 1.2Se A for o evento complementar de A, enta˜o P(A) = 1− P(A).
Demonstrac¸a˜o:Podemos escrever S = A ∪ A e, empregando as Propriedades 2 e 3,obteremos P(A) = 1− P(A).
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1.7 Noc¸o˜es Fundamentais de Probabilidade
Teorema 1.3Se A e B forem dois eventos quaisquer, enta˜o
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).
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1.7 Noc¸o˜es Fundamentais de Probabilidade
Demonstrac¸a˜o:A ideia desta demonstrac¸a˜o e´ decompor A ∪ B e B em dois eventosmutuamente excludentes e, em seguida, aplicar a Propriedade 3.
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1.7 Noc¸o˜es Fundamentais de Probabilidade
Demonstrac¸a˜o:Desse modo escrevemos
A ∪ B = A ∪ (B ∩ A),
B = (A ∩ B) ∪ (B ∩ A).
Consequentemente,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B ∩ A),
P(B) = P(A ∩ B) + P(B ∩ A).
Subtraindo a segunda igualdade da primeira, obte´m-se
P(A ∪ B)− P(B) = P(A)− P(A ∩ B)
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1.7 Noc¸o˜es Fundamentais de Probabilidade
Teorema 1.4Se A, B e C forem treˆs eventos quaisquer, enta˜o
P(A ∪ B ∪ C ) =
P(A)+P(B)+P(C )−P(A∩B)−P(A∩C )−P(B ∩C )+P(A∩B ∩C ),
Demonstrac¸a˜o:A demonstrac¸a˜o consiste em escrever A ∪ B ∪ C na forma (A ∪ B) ∪ C eaplicar o resultado do teorema anterior.
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1.7 Noc¸o˜es Fundamentais de Probabilidade
Teorema 1.5Se A ⊂ B , enta˜o P(A) ≤ P(B).
Demonstrac¸a˜o:Podemos decompor B em dois eventos mutuamente excludentes, naseguinte forma: B = A ∪ (B ∩ A).Consequentemente, P(B) = P(A) + P(B ∪ A) ≥ P(A), porque
P(B ∩ A) ≥ 0, pela Propriedade 1.
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