AP2_CONJUNT_PROBAB2010_2ªED

Prévia do material em texto

JANILSON PINHEIRO DE ASSIS 
 
 
 
 CONJUNTOS E PROBABILIDADES 
 
 
 
{ } { }{ }2Pr
21Pr
21Pr
E
EE
EE
I
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª EDIÇÃO 
 
MOSSORÓ, RN, BRASIL 
2010 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ficha Catalográfica 
 
A848c Assis, Janilson Pinheiro de. 
 Conjuntos e probabilidades / Janilson Pinheiro de 
Assis. -- Mossoró: UFERSA, 2010. 
 
 77p.: il. 
 
 ISBN: 978-85-910262-0-3 
 
 1.Probabilidades. 2.Espaço amostral. 3.Experimento 
aleatório. 4.Análise combinatória. I. Título. 
 
CDD: 519.2 
 
Bibliotecária Keina Cristina Santos Sousa 
CRB15 120 
 
Proibida a reprodução total ou parcial, de qualquer forma ou por qualquer 
meio. A violação dos direitos do autor (Lei n. 9.610/98) é crime 
estabelecido pelo artigo 184 do Código Penal. 
 
Depósito legal na Biblioteca Nacional conforme Decreto n. 1.825, 20 de 
dezembro de 1907. 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
3 
SUMÁRIO 
 
CAPÍTULO 1 – TEORIA DOS CONJUNTOS [ÁLGEBRA DE CONJUNTOS].. 11 
1. INTRODUÇÃO...................................................................................................... 11 
2. CONCEITOS BÁSICOS........................................................................................ 11 
2.1. CONJUNTOS................................................................................................. 11 
2.1.1. EXEMPLOS DE CONJUNTOS .............................................................. 11 
2.1.2. ELEMENTO............................................................................................. 11 
2.1.3. RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA [ ] ..................................................... 12 
2.2. DIAGRAMA DE EULER – VENN (Lê-se "Òiler - ven")............................. 12 
2.3. FORMAS DE DESIGNAÇÃO DE CONJUNTOS E DOS ELEMENTOS DE 
UM CONJUNTO.......................................................................................... 13 
2.3.1. MÉTODO DA ENUMERAÇÃO OU LISTAGEM COMPLETA OU 
MÉTODO TABULAR ....................................................................................... 13 
2.3.2. MÉTODO DA PROPRIEDADE OU REGRA ........................................ 13 
3. SIMBOLOGIAS USADAS NA ÁLGEBRA DE CONJUNTOS .......................... 14 
3.1.QUADRO REPRESENTATIVO DOS PRINCIPAIS SÍMBOLOS UTILIZAD
OS NA TEORIA DOS CONJUNTOS ......................................................... 14 
3.2. SIMBOLOGIA UTILIZADA ENTRE CONJUNTOS .................................. 15 
3.2.1. PERTENCE A [∈∈∈∈] ................................................................................... 15 
3.2.2. NÃO PERTENCE A [∉∉∉∉] ......................................................................... 15 
3.1.3. ESTÁ CONTIDO [⊂⊂⊂⊂ ] ............................................................................. 15 
3.1.4. NÃO ESTÁ CONTIDO [⊄⊄⊄⊄ ].................................................................... 16 
3.1.5. CONTÉM [⊃⊃⊃⊃ ] ......................................................................................... 16 
3.1.6. NÃO CONTÉM [⊃⊃⊃⊃//// ]................................................................................ 16 
3.1.7. IGUAL [ = ].............................................................................................. 16 
3.1.8. DIFERENTE [≠]....................................................................................... 17 
4. TIPOS DE CONJUNTOS ...................................................................................... 17 
4.1. CONJUNTO UNIVERSO [U] ....................................................................... 17 
4.1.1. EXEMPLO ............................................................................................... 17 
4.2. CONJUNTO VAZIO [∅∅∅∅ ] ............................................................................. 17 
4.2.1. EXEMPLO ............................................................................................... 17 
4.3. CONJUNTO UNITÁRIO............................................................................... 18 
4.3.1.EXEMPLO ................................................................................................ 18 
4.4. CONJUNTO BINÁRIO ................................................................................. 18 
4.4.1. EXEMPLO ............................................................................................... 18 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
4 
4.5. CONJUNTO FINITO..................................................................................... 18 
4.5.1. EXEMPLO ............................................................................................... 18 
4.6. CONJUNTO INFINITO................................................................................. 18 
4.6.1.EXEMPLO ................................................................................................ 18 
4.7.CONJUNTO ENUMERÁVEL........................................................................ 19 
4.7.1. EXEMPLO ............................................................................................... 19 
4.8. CONJUNTO NÃO ENUMERÁVEL............................................................. 19 
4.8.1. EXEMPLO ............................................................................................... 19 
5. SUBCONJUNTOS ................................................................................................. 19 
5.1. EXEMPLO ..................................................................................................... 20 
5.2. TIPOS ............................................................................................................. 20 
5.2.1. SUBCONJUNTO PRÓPRIO ................................................................... 20 
5.2.2. SUBCONJUNTO IMPRÓPRIO .............................................................. 20 
5.2.3. CARDINALIDADE................................................................................. 20 
6. CLASSES DE CONJUNTOS OU CONJUNTOS DAS PARTES [Ρ]................... 21 
6.1. EXEMPLO 1 .................................................................................................. 21 
6.2. EXEMPLO 2 .................................................................................................. 21 
7. PROPRIEDADES OU LEIS DA ÁLGEBRA DE CONJUNTOS (OU EVENTOS)
.................................................................................................................................... 22 
8. OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS................................................................... 23 
8.1. UNIÃO [U ].................................................................................................... 23 
8.1.1. INTRODUÇÃO........................................................................................ 23 
8.1.2. EXEMPLO 1 ............................................................................................ 24 
8.1.3. EXEMPLO 2 ............................................................................................ 24 
8.2. INTERSEÇÃO [I ]........................................................................................ 24 
8.2.1. INTRODUÇÃO........................................................................................ 24 
8.2.2. EXEMPLO 1 ............................................................................................ 25 
8.2.3. EXEMPLO2 ............................................................................................ 25 
8.2.4. EXEMPLO 3 ............................................................................................ 26 
8.2.5. EXEMPLO 4 ............................................................................................ 26 
8.3. COMPLEMENTAR [ CA A==== ] OU COMPLEMENTO ABSOLUTO ......... 27 
8.3.1. INTRODUÇÃO........................................................................................ 27 
8.3.2. EXEMPLO 1 ............................................................................................ 27 
8.3.3. EXEMPLO 2 ............................................................................................ 27 
8.3.4. EXEMPLO 3 ............................................................................................ 27 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
5 
8.4. DIFERENÇA [ BA \ ] OU COMPLEMENTO RELATIVO ......................... 28 
8.4.1. INTRODUÇÃO........................................................................................ 28 
8.4.2. EXEMPLO 1 ............................................................................................ 29 
8.4.3. EXEMPLO 2 ............................................................................................ 29 
8.4.4. EXEMPLO 3 ............................................................................................ 29 
8.4.5. EXEMPLO 4 ............................................................................................ 30 
9. PRODUTO CARTESIANO [AXB]: (conjuntos produto) ..................................... 30 
9.1. EXEMPLO ..................................................................................................... 30 
10. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO ........................................................................ 31 
10.1. EXEMPLO 1 ................................................................................................ 31 
10.1.1. “A” E “B” OCORREM, MAS “C” NÃO............................................... 31 
10.1.2. SOMENTE “A” OCORRE..................................................................... 31 
10.2. EXEMPLO 2 ................................................................................................ 31 
10.3. SEJAM OS CONJUNTOS A E B. ENCONTRE AS EXPRESSÕES DAS 
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS E INDIQUE O DIAGRAMA DE 
VENN PARA O CONJUNTO EM QUE ..................................................... 32 
10.3.1. APENAS A OU APENAS B OCORRE, ISTO É, OCORRE 
EXATAMENTE UM DOS DOIS CONJUNTOS.............................................. 32 
10.3.2. A OCORRE, MAS B NÃO, ISTO É, SOMENTE A OCORRE............ 33 
CAPÍTULO 2 – TÉCNICAS DE CONTAGEM OU ANÁLISE COMBINATÓRIA
........................................................................................................................................ 34 
1. NOTAÇÃO FATORIAL........................................................................................ 34 
1.1. PERMUTAÇÃO (ARRANJO): 
(((( ))))r
!
!Pn
n
n r
====
−−−−
........................................... 34 
1.2. COMBINAÇÃO: 
(((( ))))
!
! !
n
r
n
C
r n r
====
−−−−
............................................................... 34 
1.3. NOÇÕES GERAIS SOBRE ANÁLISE COMBINATÓRIA (OU TÉCNICAS 
DE CONTAGEM)........................................................................................ 34 
1.3.1.PERMUTAÇÕES...................................................................................... 35 
1.3.1.1. EXEMPLO ........................................................................................ 35 
1.3.2. ARRANJOS ............................................................................................. 35 
1.3.2.1. ALGUMAS PROPRIEDADES......................................................... 35 
1.3.2.2. EXEMPLOS ...................................................................................... 35 
1.3.3. COMBINAÇÕES ..................................................................................... 36 
1.3.3.1. ALGUMAS PROPRIEDADES......................................................... 36 
1.3.3.2. EXEMPLOS ...................................................................................... 37 
1.3.3.3. ALGUNS RESULTADOS ENVOLVENDO COMBINAÇÕES ..... 38 
1.3.3.4. EXEMPLOS ...................................................................................... 38 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
6 
CAPÍTULO 3 – TEORIA DE PROBABILIDADES................................................. 39 
1. EXPERIMENTO, EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO, EXPERIMENTO 
ALEATÓRIO, ESPAÇO AMOSTRAL, EVENTOS E PONTO AMOSTRAL........ 39 
1.1. EXPERIMENTO OU ENSAIO ..................................................................... 39 
1.2. EXPERIMENTOS DETERMINÍSTICOS..................................................... 39 
1.3. EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS OU ESTOCÁSTICOS (E) .................... 39 
1.4. ESPAÇO AMOSTRAL (S OU Ω) ................................................................. 39 
1.4.1. TIPOS DE ESPAÇO AMOSTRAL ......................................................... 40 
1.5. PONTO AMOSTRAL (A) ............................................................................. 40 
1.6. EVENTO (A).................................................................................................. 40 
1.6.1. CLASSE DOS EVENTOS ALEATÓRIOS............................................. 40 
1.6.2. CLASSIFICAÇÃO DOS EVENTOS....................................................... 41 
1.6.3. PARTIÇÃO DE UM ESPAÇO AMOSTRAL......................................... 43 
1.7. EXEMPLO DE EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS (E) E SEUS ESPAÇOS 
AMOSTRAIS (S) ......................................................................................... 43 
2. PROBABILIDADES: CONCEITOS E PROPRIEDADES (LEIS)....................... 44 
2.1. CONCEITOS DE PROBABILIDADE .......................................................... 44 
2.1.1.CONCEITO CLÁSSICO OU PROBABILIDADE “A PRIORI” OU 
PROBABILIDADE FÍSICA .............................................................................. 44 
2.1.1.1. EXEMPLO ........................................................................................ 45 
2.1.2. FREQUÊNCIA RELATIVA OU PROBABILIDADE “A POSTERIORI”
............................................................................................................................ 45 
2.1.2.1. EXEMPLO ........................................................................................ 45 
2.1.3. CONCEITO MODERNO OU AXIOMÁTICO ....................................... 46 
2.1.3.1. EXEMPLO ........................................................................................ 46 
2.3.TEOREMAS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO DE PROBABILIDADES
...................................................................................................................... 46 
2.3.1. TEOREMA 1............................................................................................ 46 
2.3.2. TEOREMA 2............................................................................................ 46 
2.3.3. TEOREMA 3............................................................................................ 47 
2.3.4. TEOREMA 4............................................................................................ 47 
2.3.5. TEOREMA 5: TEOREMA DA SOMA DAS PROBABILIDADES....... 48 
3. TEOREMA DA PROBABILIDADE CONDICIONAL ........................................ 48 
3.1. DEFINIÇÃO................................................................................................... 49 
3.2. PROPOSIÇÃO ...............................................................................................49 
3.3.EXEMPLO ...................................................................................................... 50 
4. TEOREMA DO PRODUTO PARA PROBABILIDADE CONDICIONADA ..... 51 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
7 
4.1. DEFINIÇÃO................................................................................................... 51 
4.2. EXEMPLO ..................................................................................................... 51 
5. TEOREMA DE BAYES OU TEOREMA DA REVISÃO DAS 
PROBABILIDADES, TEOREMA DA PROBABILIDADE DAS CAUSAS, 
TEOREMA DA PROBABILIDADE A POSTERIORI, TEOREMA DAS 
PROBABILIDADES DAS HIPÓTESES, TEOREMA DA PROBABILIDADE DOS 
ANTECEDENTES, TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL.......................... 52 
5.1. INTRODUÇÃO.............................................................................................. 52 
5.2. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL............................................... 53 
5.3. TEOREMA DE BAYES ................................................................................ 53 
5.4. EXEMPLO ..................................................................................................... 53 
6. TEOREMA DOS EVENTOS INDEPENDENTES ............................................... 55 
6.1. DEFINIÇÃO DA INDEPENDÊNCIA........................................................... 55 
6.2. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES .............................................................. 55 
6.3. EXEMPLO DE APLICAÇÃO....................................................................... 57 
7. EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE PROBABILIDADES: EXERCÍCIOS DE 
APLICAÇÃO 1 .......................................................................................................... 58 
8. EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE CONJUNTOS E PROBABILIDADES: 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 2 ........................................................................... 72 
APÊNDICE 1 ................................................................................................................ 77 
ALFABETO GREGO .................................................................................................. 77 
BIBLIOGRAFIA .......................................................................................................... 78 
LISTAS DE FIGURA 
 
Figura 1 Diagrama de Euler – Venn. 
 
12 
Figura 2 Diagrama ilustrativo do conjunto universo. 
 
17 
Figura 3 Diagrama ilustrativo de um subconjunto A de um conjunto B. 
 
20 
Figura 4 Diagrama da operação reunião entre dois conjuntos A e B. 
 
24 
Figura 5 Diagrama da operação reunião entre um conjunto D e um 
subconjunto E. 
 
24 
Figura 6 Diagrama da operação interseção entre dois conjuntos A e B. 
 
25 
Figura 7 Diagrama de três conjuntos A, B e C mutuamente exclusivos. 
 
25 
Figura 8 Diagrama de dois conjuntos A e B disjuntos, incompatíveis ou 
mutuamente exclusivos. 
 
26 
Figura 9 Diagrama entre um conjunto D e um subconjunto E. 26 
 
Figura 10 Diagrama da operação complementar de um conjunto A. 27 
 
Figura 11 Diagrama da operação diferença entre dois conjuntos A e B. 28 
 
Figura 12 Diagrama da operação diferença entre um conjunto B e um 
subconjunto A. 
 
28 
Figura 13 Diagrama da operação diferença entre dois conjuntos A e B. 
 
29 
Figura 14 Diagrama mostrando a operação CA B CI II II II I entre três 
conjuntos A, B e C, ou seja, A e B ocorrem, mas C não. 
 
31 
Figura 15 Diagrama da operação C CA B CI II II II I entre três conjuntos A, B e 
C. Isto é somente A ocorre. 
 
31 
Figura 16 Diagrama da operação A B CU UU UU UU U entre três conjuntos A, B e C. 
 
32 
Figura 17 Diagrama da operação (((( )))) (((( ))))c cA B B AI U II U II U II U I entre dois 
conjuntos A e B. 
 
32 
 
Figura 18 Diagrama da operação CA BIIII entre dois conjuntos A e B. 
 
33 
Figura 19 Diagrama mostrando a partição de um espaço amostral “S”. 
 
43 
Figura 20 Proporção de caras em 100 arremessos de uma moeda. 
 
45 
 
Figura 21 Diagrama de VENN, mostrando o evento “A” como subconjunto 
(A ⊂⊂⊂⊂ B ) do evento “B”. 
 
47 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
9 
Figura 22 Diagrama de “VENN”, mostrando detalhe da interseção entre os 
eventos “A” e “B”. 
 
47 
Figura 23 Diagrama de “VENN” mostrando o espaço amostral reduzido 
da probabilidade condicional. 
 
48 
Figura 24 Diagrama de “VENN” mostrando a Partição de um espaço 
amostral “S” juntamente com o evento “B”. 
 
53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
10 
LISTAS DE TABELAS 
 
Tabela 1 Símbolos representativos utilizados na teoria de conjuntos. 15 
 
Tabela 2 Dados de fecundidade de duas raças suínas, Landrace e Duroc. 
 
50 
Tabela 3 Dados referentes a produção de três variedades de tomate 
submetidos a três tipos de adubos 
54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
11 
CAPÍTULO 1 – TEORIA DOS CONJUNTOS [ÁLGEBRA DE 
CONJUNTOS] 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
A teoria dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano de 1872 pelo 
matemático alemão de origem russa que nasceu na cidade de São Petersburgo na 
Rússia, Georg ferdinand Ludwig Phillipp Cantor (1845 - 1918) e aperfeiçoada no início 
do século XX por outros matemáticos, entre eles, Ernst Zermelo (alemão, 1871 - 1956), 
Adolf Fraenkel (alemão, 1891 - 1965), Kurt Gödel (austríaco, 1906 - 1978), Janos von 
Newman (húngaro, 1903 - 1957), dentre outros. 
O estudo sobre a teoria de conjuntos se faz necessário em estatística devido a 
moderna teoria de probabilidades ter como base teórica a álgebra de conjuntos ou de 
eventos, a qual é baseadas em axiomas matemáticos, sendo necessário conhecermos 
essa teoria para compreendermos os axiomas, teoremas, leis ou propriedades referentes 
ao estudo dos experimentos aleatórios, de seus eventos e possibilidades de ocorrência 
desses acontecimentos. 
 
2. CONCEITOS BÁSICOS 
 
2.1. CONJUNTOS 
 
Em matemática, um conjunto é qualquer lista ou coleção bem definida de 
objetos os quais são os elementos do conjunto. Não interessa a ordem e quantas vezes 
os elementos estão listados na coleção. Ou seja, a noção de conjunto em Matemática é 
praticamente a mesma utilizada na linguagem cotidiana: agrupamento, classe, coleção. 
Por exemplo: Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto; Conjunto dos números 
inteiros pares; Conjunto dos dias da semana; Conjunto dos Presidentes da República do 
Brasil, etc. 
Designamos os conjuntos por letras maiúsculas latinas, tais como A, B, C, X, Y, 
U, V, W,..., e os elementos que os compõe por letras minúsculas latinas dispostas entre 
chaves e separados por vírgula, como por exemplo, a, b, c, x, y, u, v, w,... 
 
2.1.1. EXEMPLOS DE CONJUNTOS 
i) Os números inteiros entre 1 e 50, inclusive; 
ii) Os pontos de uma reta; 
iii) Os números reais entre 0 e 12, exclusive 
 
2.1.2. ELEMENTO 
É cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto. Por exemplo: V, I, 
C, H, E são elementos do primeiro conjunto acima; 2, 4, 6 são elementos do segundo; e 
assim por diante. 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
12 
 
2.1.3. RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA [] 
 
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um 
conjunto. 
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o 
símbolo ∈∈∈∈ que se lê: "pertence”. Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 
pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos: 1∈∈∈∈ N. 
Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto 
dos números naturais, escrevemos:0 ∉∉∉∉ N. 
Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o 
símbolo normal. 
 
 
2.2. DIAGRAMA DE EULER – VENN (Lê-se "Òiler - ven") 
 
 
Podemos expressar as operações entre conjuntos através dos DIAGRAMAS DE 
EULER-VENN (John Venn, 1834-1923) que são úteis na verificação de propriedades 
de operações entre conjuntos, mas não devem ser considerados instrumentos de prova 
matemática rigorosa. Sendo assim é possível usar essas figuras para representar 
conjuntos e, como em muitos casos não interessa saber quais são os elementos de um 
conjunto, podemos representá-los por uma região do plano delimitada por uma curva 
fechada, essas figuras que são conhecidas como Diagramas de Euler – Venn, são muitos 
úteis no estudo de conjuntos. 
 
 
 
 
 
 Figura 1: Diagrama de Euler – Venn. 
 
 
 
 
 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
13 
2.3. FORMAS DE DESIGNAÇÃO DE CONJUNTOS E DOS ELEMENTOS DE 
UM CONJUNTO 
 
Existem duas maneiras de designar os elementos e os conjuntos simbolicamente, 
as quais são descritas a seguir. 
 
2.3.1. MÉTODO DA ENUMERAÇÃO OU LISTAGEM COMPLETA OU 
MÉTODO TABULAR 
 
É aquele onde ocorre a designação dos nomes de todos os elementos do conjunto. 
Este método é usado quando o número de elementos não é grande; escrevem-se 
os nomes dos elementos entre chaves. Por exemplo, o conjunto A dos números pares 
positivos, menores do que 10, pode ser representado por: 
 
A = {2, 4, 6, 8,} 
 
Essa mesma notação poderá ser usada se o número de elementos é grande, mas 
de tal maneira que, escrevendo-se os primeiros elementos do conjunto, se possa inferir 
quais são os demais elementos omitidos. Por exemplo, o conjunto dos números pares 
positivos, menores do que 40 podem ser simbolizados por {2, 4, 6, 8,..., 38}, onde 
escrevemos os primeiros elementos e o último, separados por reticência. Outro exemplo 
é o do conjunto P de todos os números pares positivos, o qual poderá ser representado 
por. P = {2, 4, 6, 8, 10,...}. Outros exemplos usados para ilustrar esse método podem 
ser: 
O conjunto A dos números primos, menores do que 10 isto é: 
 
A = {2, 3, 5, 7}; 
 
O conjunto B dos números pares positivos, menores do que 8: 
 
B = {2, 4, 6} 
 
 
2.3.2. MÉTODO DA PROPRIEDADE OU REGRA 
 
É aquele onde ocorre a designação de uma propriedade satisfeita por todos os 
elementos do conjunto e não é válida para elementos de outros conjuntos. Por exemplo, 
o conjunto dos números fracionários menores do que 3, o conjuntos dos números 
primos, o conjunto das cidades do estado do Rio Grande do Norte. 
Seja, então, o conjunto F dos números fracionários entre 0 e 2. Cada elemento do 
conjunto F deve ser um número fracionário compreendido entre 0 e 2 (propriedade 
definidora do conjunto). 
Para representar um elemento qualquer do conjunto F, usamos um símbolo, 
chamado variável, que pode ser uma letra qualquer, x, por exemplo. Dizemos, então, 
que uma variável é um símbolo que pode ser substituído por qualquer elemento de um 
conjunto, denominado domínio da variável. No exemplo anterior, o domínio da variável 
x é o conjunto dos números fracionários compreendidos entre 0 e 2. 
Sendo assim, o conjunto F pode ser denotado como mostrado a seguir. 
F = {x tal que x é fracionário e 0 < x < 2}. 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
14 
 
Se denominarmos de D o conjunto dos números fracionários e usarmos um 
símbolo para tal que, usualmente " " ou então ”:”, teremos o seguinte: 
 
D = {x│x ∈∈∈∈ D e 0 < x < 2} ou 
D = {x: x ∈∈∈∈ D e 0 < x < 2}. 
 
Em geral, o conjunto dos elementos x que satisfazem a uma propriedade “p” 
pode ser escrito assim: 
{x│x satisfaz p} ou {x│p(x)}, ou ainda, 
{x : p(x)} 
Mostramos a seguir alguns exemplos de aplicação desse método. 
O conjunto A dos números inteiros não-negativos menores do que 2000: 
 
A = {x ∈∈∈∈ N │ x < 2000} 
 
O conjunto B dos números fracionários cujos quadrados são maiores ou iguais a 
25: sendo D = conjunto dos números fracionários. 
 
B = {x ∈∈∈∈ D │ x2 ≥≥≥≥ 25} 
 
Às vezes, essa representação pode dar margem à representação anterior da 
listagem completa. Poe exemplo, o conjunto C dos números naturais que satisfazem à 
equação x2 – 81 = 0 é o seguinte: 
 
C = {x ∈∈∈∈ N* │ x2 – 81 = 0} ou então C = {9}, onde N* é o conjunto dos números 
naturais, que é o conjunto N dos números inteiros não – negativos [N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7,...}] sem o zero, ou seja, N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}. 
 
3. SIMBOLOGIAS USADAS NA ÁLGEBRA DE CONJUNTOS 
 
3.1.QUADRO REPRESENTATIVO DOS PRINCIPAIS SÍMBOLOS UTILIZADOS 
NA TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
 Na tabela 1 são mostrados diversos símbolos utilizados na teoria de conjuntos, 
os quais são de extrema importância para se entender a álgebra de conjuntos e eventos. 
Vale lembrar que nem todos esses símbolos são usados ao mesmo tempo, e que nem 
todos serão aplicados nos próximos itens que serão descritos adiante, no entanto para se 
efetuar operações de álgebra de conjuntos ou de eventos o leitor pode se valer desses 
símbolos contidos na tabela 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
15 
Tabela 1: Símbolos representativos utilizados na teoria de conjuntos 
 
∈∈∈∈: pertence : existe 
∉∉∉∉: não pertence : não existe 
: está contido : para todo (ou qualquer 
que seja) 
: não está contido : conjunto vazio 
: contém N: conjunto dos números naturais 
: não contém Z: conjunto dos números inteiros 
/ : tal que Q: conjunto dos números racionais 
: implica que 
Q'= I: conjunto dos números 
irracionais 
: se, e somente se 
R: conjunto dos números 
reais 
 
 
3.2. SIMBOLOGIA UTILIZADA ENTRE CONJUNTOS 
 
3.2.1. PERTENCE A [∈∈∈∈] 
 
Relação usada entre elemento e um conjunto. 
Se a é um elemento de , nós podemos dizer que o elemento a pertence ao 
conjunto e podemos escrever a ∈∈∈∈ A. 
Por exemplo, seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, então 1 ∈∈∈∈ A. 
3.2.2. NÃO PERTENCE A [∉∉∉∉] 
 
Relação usada entre elemento e um conjunto. 
Se a não é um elemento de , nós podemos dizer que o elemento a não pertence 
ao conjunto e podemos escrever a ∉∉∉∉ A. 
 
Por exemplo, seja o conjunto B = {10, 20, 30, 40, 50}, então 5 ∉∉∉∉ B. 
 
3.1.3. ESTÁ CONTIDO [⊂⊂⊂⊂ ] 
 
Relação usada entre conjuntos. 
Diz-se que o conjunto A está contido no conjunto B, ou que A é subconjunto de 
B, se, e somente se, todo elemento de A também pertence ao conjunto B, e indica-se por 
A⊂⊂⊂⊂ B. Por exemplo: 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
16 
 
{0, 2} ⊂⊂⊂⊂ {0, 2} 
{0, 3} ⊂⊂⊂⊂ {0, 1, 3} 
 
Vale salientar a diferença existente entre os símbolos ∈∈∈∈ e ⊂⊂⊂⊂ , pois o primeiro é 
usado para relacionar elemento e conjunto, enquanto o segundo relaciona dois 
conjuntos, por exemplo, dizemos que 1∈∈∈∈ {1, 4} e não 1⊂⊂⊂⊂ {1, 4}. Todavia, {1} ⊂⊂⊂⊂ {1, 
4}, pois {1} é um conjunto (unitário). 
 
3.1.4. NÃO ESTÁ CONTIDO [⊄⊄⊄⊄ ] 
 
Relação usada entre conjuntos. 
A negaçãopara está contido (⊂⊂⊂⊂ ) indica-se com o sinal de está contido com uma 
barra cortando o símbolo, na diagonal. Assim A⊄⊄⊄⊄ B. Por exemplo, Considere os 
conjuntos A = {4, 5, 6} e B = {1, 10, 20}, nesse caso A ⊄⊄⊄⊄ B. 
 Se A⊂⊂⊂⊂ B ou B⊂⊂⊂⊂ A, dizemos que A e B são comparáveis. Se A⊄⊄⊄⊄ B e B⊄⊄⊄⊄ A, 
então A e B não são comparáveis. Sendo assim, os conjuntos A = {3, 6} e B = {0, 2, 5, 
9} não são comparáveis. 
 
3.1.5. CONTÉM [⊃⊃⊃⊃ ] 
 
Relação usada entre conjuntos. 
Se A⊂⊂⊂⊂ B, diz-se também que B contém A e indica-se assim (B⊃⊃⊃⊃ A). Por 
exemplo, Sejam os conjuntos A = {1, 5, 10} e B = {1, 5} então A ⊃⊃⊃⊃ B. 
 
 
3.1.6. NÃO CONTÉM [⊃⊃⊃⊃//// ] 
 
Relação usada entre conjuntos. 
 
 A negação para contém é dada pelo símbolo de contém com uma barra cortando 
o símbolo, na diagonal indicado por ⊃⊃⊃⊃//// . Por exemplo, Sejam os conjuntos A = {1, 5, 
10} e B = {2, 6} então A ⊃⊃⊃⊃//// B. 
 
3.1.7. IGUAL [ = ] 
 
Relação usada entre conjuntos. 
Diz-se que dois conjuntos A e B são iguais se, e somente, todo elemento de A 
pertence a B e todo elemento de B pertence a A. Sendo assim, a maneira de se constatar 
se dois conjuntos A e B são iguais é verificar a dupla inclusão. A ⊂⊂⊂⊂ B e B ⊂⊂⊂⊂ A. Por 
exemplo, os conjuntos A = {0, 5} e B = {5, 0} são iguais isto é A = B ou {0, 5} = {5, 
0}. Este exemplo ilustra o fato de que a ordem dos elementos no conjunto é indiferente, 
segundo a definição anterior. Ou seja, A afirmação de que A ⊂⊂⊂⊂ B não exclui a 
possibilidade de B estar contido em A, e quando isso ocorre, dizemos que A e B são 
iguais e denotamos por A = B. 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
17 
3.1.8. DIFERENTE [≠] 
 
Relação usada entre conjuntos. 
Se não for verificada a definição de igualdade entre conjuntos, dizemos então 
que A é diferente de B e indica-se assim A ≠ B. Por exemplo, sejam os conjuntos A = 
{1, 3, 5, 6}; B = {2, 4, 10}, então A ≠ B. 
 
 
4. TIPOS DE CONJUNTOS 
 
 
4.1. CONJUNTO UNIVERSO [U] 
 
É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um 
determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U. Assim, se procuramos 
determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo 
U é R (conjunto dos números reais); 
 
 
 
 Figura 2: Diagrama ilustrativo do conjunto universo. 
4.1.1. EXEMPLO 
 
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
 
4.2. CONJUNTO VAZIO [∅∅∅∅ ] 
 
Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é 
representado por { } ou ∅∅∅∅ .Convém notar a diferença entre o conjunto vazio e o 
conjunto cujo único elemento é o zero, isto é, o conjunto {0}, que não é vazio. O 
conjunto vazio é finito, pois tem zero elemento. 
Pode-se admitir sem demonstração, a afirmação de que o conjunto vazio é único. 
O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto A. Dessa forma, para 
qualquer conjunto A, temos que A U∅ ⊂ ⊂∅ ⊂ ⊂∅ ⊂ ⊂∅ ⊂ ⊂ . 
 
4.2.1. EXEMPLO 
 
Seja A o conjunto dos números primos pares entre 4 e 9. Então A = ∅∅∅∅ . 
 
 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
18 
4.3. CONJUNTO UNITÁRIO 
 
É aquele que é constituído de apenas um elemento. 
 
4.3.1.EXEMPLO 
 
A = {x | x é par e 4 < x < 8} ou A = {6} 
 
 
4.4. CONJUNTO BINÁRIO 
 
É aquele que possui apenas dois elementos 
 
4.4.1. EXEMPLO 
 
B = {7, 9} 
 
4.5. CONJUNTO FINITO 
 
É aquele que é vazio ou constituído de exatamente “n” elementos, onde “n” é um 
número inteiro positivo. 
 
4.5.1. EXEMPLO 
 
Seja d o conjunto das letras que são vogais do alfabeto latino, isto é: 
 
D = {a, e, i, o, u}, então D é um conjunto finito. 
 
 
4.6. CONJUNTO INFINITO 
 
É aquele contrário a finito, ou seja, o conjunto que não é vazio ou não é 
constituído de um número “n” de elementos, onde “n” não é um número inteiro positivo 
ou zero. 
4.6.1.EXEMPLO 
 
 
Seja I o conjunto dos números inteiros pares positivos, isto é: 
 
Y = {2, 4, 6, 8, ...}, 
 
Então I é um conjunto infinito 
 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
19 
 
4.7.CONJUNTO ENUMERÁVEL 
 
É aquele conjunto que é finito ou se seus elementos podem ser arranjados em 
forma de seqüência, e neste caso é chamado de infinito enumerável. 
 
 
4.7.1. EXEMPLO 
 
Seja N o conjunto dos números inteiros não negativos. 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...} 
 
O conjunto n é infinito enumerável 
 
 
4.8. CONJUNTO NÃO ENUMERÁVEL 
 
É aquele conjunto que é infinito, e que seus elementos não podem ser arranjados 
em forma de seqüência. 
 
 
4.8.1. EXEMPLO 
 
Seja F o intervalo unitário de números reais, isto é: 
F = {x 0 ≤ x ≤ 1} 
 
 
 
5. SUBCONJUNTOS 
 
Subconjunto pode ser definido assim: quando todos os elementos de um 
conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um 
subconjunto de B, ou seja, A B⊂⊂⊂⊂ . isto é um conjunto A é um subconjunto de (está 
contido em) B se, e somente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B: 
por exemplo:Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja A B⊂⊂⊂⊂ . O conjunto 
vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, Aφφφφ ⊂⊂⊂⊂ . 
 
A menos que afirmemos o contrário, podemos dizer que todos os conjuntos em 
estudo são supostos subconjuntos de um conjunto fixo chamado conjunto universo, o 
qual é denotado pela letra “U”. 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
20 
 
 
Figura 3: Diagrama ilustrativo de um subconjunto A de um conjunto B. 
 
5.1. EXEMPLO 
 
Sejam os conjuntos A = {6, 7} e B = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, então A é subconjunto 
próprio de B. 
 
5.2. TIPOS 
 
5.2.1. SUBCONJUNTO PRÓPRIO 
 
Vale lembrar que se A B⊂⊂⊂⊂ não exclui a possibilidade de A B==== . Contudo, se 
A B⊂⊂⊂⊂ , mas A B≠≠≠≠ , então dizemos que A é subconjunto próprio de B. 
Alguns autores usam o símbolo ⊆⊆⊆⊆ para designar qualquer subconjunto e o 
símbolo somente para um subconjunto próprio. 
 
5.2.2. SUBCONJUNTO IMPRÓPRIO 
 
Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio. 
Quando A é um subconjunto de B, diz-se que B é um superconjunto de A. 
 
 
5.2.3. CARDINALIDADE 
 
Cardinalidade, em teoria dos conjuntos, é uma forma de medir a quantidade de 
elementos de um conjunto. Existem duas formas de tratar a cardinalidade: Usando 
números cardinais, ou seja, associando a cada conjunto um outro conjunto, de forma 
que conjuntos com o mesmo número de elementos estão associados ao mesmo número 
cardinal. Comparando diretamente os conjuntos, através de funções. 
O cardinal indica o número ou quantidade dos elementos constituintes de um 
conjunto. É interessante destacar que se diferencia do ordinal, porque o ordinal introduz 
ordem e dá idéia de hierarquia: Primeiro, segundo, terceiro, etc. O cardinal, por sua vez, 
nomeia o número de elementos constituintes e esse é o nome do conjunto 
correspondente. Para a nomenclatura destes números ver nomes dos números. 
Dado um conjunto A, o cardinal deste conjunto é simbolizado por |A|. Por 
exemplo: Se A tem 3 elementos o cardinal indica-se |A| = 3 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
21 
6. CLASSES DE CONJUNTOS OU CONJUNTOS DAS PARTES [ΡΡΡΡ] 
 
Frequentemente, os elementos de um conjunto são eles mesmos conjuntos. Por 
exemplo, cada linha num conjunto de linhasé um conjunto de pontos. Para ajudar a 
esclarecer essas situações, usamos muitas vezes a palavra classe ou família para tais 
conjuntos. As palavras subclasse e subfamília têm significado análogo ao de 
subconjunto. 
O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A é chamado de 
conjunto de partes (ou conjunto potência) de A, denotado por P(A) ou 2A. 
Ou ainda dado um conjunto A podemos considerar o conjunto P(A), chamado 
conjunto das partes de A tal que P(A) = {X | X ⊂⊂⊂⊂ A}. 
Em geral, se A é finito e tem n elementos, então P(A) terá 2n elementos, ou seja: 
2
0 1 2 3
nn n n n n
n
                                    
+ + + + + =+ + + + + =+ + + + + =+ + + + + =                                    
                                    
LLLL
 
Existe uma relação entre o cardinal de um conjunto e o conjunto de partes ou 
conjunto potência: (((( )))) 2nA n A= ⇒ Ρ == ⇒ Ρ == ⇒ Ρ == ⇒ Ρ = .Onde |P(A)| é o cardinal do conjunto de 
partes. 
 
 
6.1. EXEMPLO 1 
 
Se S é o conjunto de três elementos {x, y, z} a lista completa de subconjuntos de 
S é: 
{ } (conjunto vazio); 
{x}; 
{y}; 
{z}; 
{x, y}; 
{x, z}; 
{y, z}; 
{x, y, z}; 
e portanto o conjunto de partes de S é o conjunto de 8 elementos: 
 
P(S) = {{ }, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}. 
 
Notemos que o número de elementos de A é 3 e o de P(A) é 8, ou 23, ou melhor: 
 
33 3 3 3 2 8
0 1 2 3
                            
+ + + = =+ + + = =+ + + = =+ + + = =                            
                             
 
6.2. EXEMPLO 2 
 
Se A φφφφ==== , então P(A) = {{{{ }}}}φφφφ , que não é vazio, e P(A) tem 20 = 1 elemento. 
 
 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
22 
7. PROPRIEDADES OU LEIS DA ÁLGEBRA DE CONJUNTOS (OU 
EVENTOS) 
 
Os conjuntos sob as operações de união, interseção, diferença e complemento 
absoluto satisfazem como já mencionado anteriormente às várias leis ou identidades que 
estão enumeradas abaixo. 
 
1: A ∪ B = B ∪ A ⇒ LEI COMUTATIVA DA UNIÃO 
 
2: A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ B ∪ C ⇒ LEI ASSOCIATIVA DA UNIÃO 
 
3: A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C ⇒ LEI ASSOCIATIVA DA INTERSEÇÃO 
 
4: A ∩ B = B ∩ A ⇒ LEI COMUTATIVA DA INTERSEÇÃO 
 
5: A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ⇒ PRIMEIRA LEI DISTRIBUTIVA 
 
6: A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) ⇒ SEGUNDA LEI DISTRIBUTIVA 
 
7: A – B = A ∩ BC 
 
8: SE A ⊂ B, ENTÃO AC ⊃ BC OU BC ⊂ AC , ( A ∪ B) =B, A ∩ B =A⇒LEI DAS 
ABSORÇÕES 
 9: A ∪ φ = A, A ∩ φ = φ ⇒ LEI DE IDENTIDADE 
 
10: A ∪ U = U, A ∩ U = A ⇒ LEI DE IDENTIDADE 
 
11: (A ∪ B)C = AC ∩ BC ⇒ PRIMEIRA LEI DA DUALIDADE OU “DE MORGAN1” 
 
12: (A ∩ B)C = AC ∪ BC ⇒ SEGUNDA LEI DA DUALIDADE OU “DE MORGAN” 
 
13: A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ BC) ⇒ PARA QUAISQUER CONJUNTOS A e B 
 
14: A ∪ A = A, A ∩ A = A ⇒ LEIS IDEMPOTENTES 
 
15: A ∪ (A ∩ B) = A 
 
16: A ∪ (AC ∩ B) = A ∪ B 
 
17: A ∪ B = (AC ∩ B) ∪ (A ∩ BC) ∪ A ∩ B 
 
 
1 Augustus De Morgan ou Augustus De Morganquinto, Matemático e lógico indiano 
radicado na Inglaterra e tornou-se cidadão Britânico, nasceu na cidade de Madura na índia em 
1806 e faleceu na cidade de Londres em 1871, foi membro da real sociedade, introduziu em seu 
pais a lógica matemática. 
 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
23 
18: A ∪ AC = U ⇒ LEI DO COMPLEMENTO OU COMPLEMENTARES 
 
19: A ∩ AC = φ ⇒ LEI DO COMPLEMENTO 
 
20: UC = φ, φC = U ⇒ LEI DO COMPLEMENTO 
 
21: (AC)C = A ⇒ LEI DO COMPLEMENTO (DUPLA NEGAÇÃO) 
 
Onde: 
 
 


==

 



== +
XÇÃOMULTIPLICAe
SOMAOU
I
U
 
 
8. OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 
 
Vamos agora passar a estudar determinadas operações que podem ser efetuadas 
com os conjuntos em geral, sendo neste caso de fundamental importância e necessário 
distinguirmos dois conectivos, os quais são o “ou” e o “e”. 
O conectivo “e” é usado quando liga duas afirmações que são válidas 
simultaneamente. Por exemplo, se dissermos Vou ao circo e ao museu, significa que irei 
ao circo e também ao museu. 
Geralmente quando se usa o conectivo “ou”, este é inclusivo, isto é, quando 
dizemos A ou B, o significado é A ou B ou ambos. 
As definições dadas para dois conjuntos podem ser estendidas para três ou mais 
conjuntos, reduzindo-se sempre a uma operação com dois conjuntos. 
Sejam os seguintes conjuntos: Universo (U) e sejam os conjuntos A, B, C, D, E, 
F, G, H e L, contidos nesse conjunto universo, e sejam ainda dois conjuntos H e L 
adicionais. Esses conjuntos serão usados para demonstrar e ilustrar as operações entre 
conjuntos. 
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 20} 
A = {1, 3, 5, 6} 
B = {2, 4, 6} 
C = {1, 10, 20} 
D = {20, 1, 10} 
E = {1, 20} 
F = {1, 2, 3, 4, 5} 
G = {1, 2, 3} 
H = {0, 2, 4, 6,...} 
L = {1, 3, 5, 7,...} 
 
8.1. UNIÃO [U ] 
 
8.1.1. INTRODUÇÃO 
 
Chama-se reunião de A e B ao conjunto S dos elementos de U que pertencem a 
A ou a B (ou inclusivo). Indica-se assim: S A B==== UUUU B e lê-se A BUUUU que é a parte 
hachurada da figura abaixo.Simbolicamente, temos que: 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
24 
{{{{ }}}}A B x U x A ou x B= ∈ ∈ ∈= ∈ ∈ ∈= ∈ ∈ ∈= ∈ ∈ ∈UUUU 
 
 
 
Figura 4: Diagrama da operação reunião entre dois conjuntos A e B. 
8.1.2. EXEMPLO 1 
Sejam os eventos A e B dados por: A = {1, 3, 5, 6} e B = {2, 4, 6}. 
 
Temos que: 
A BUUUU = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
8.1.3. EXEMPLO 2 
Sejam os conjuntos D e E dados abaixo, então temos: D = {20, 1, 10} e 
E = {1, 20} 
 
D UUUU E = {1, 10, 20}, isto é, se E ⊂⊂⊂⊂ D, DUUUU E = D (veja a figura abaixo, ilustrando essa 
operação). 
 
 
Figura 5: Diagrama da operação reunião entre um conjunto D e um subconjunto E 
 
8.2. INTERSEÇÃO [I ] 
 
8.2.1. INTRODUÇÃO 
 
 
Chama-se interseção de A e B ao conjunto I dos elementos de U que pertencem 
a A e B. Indica-se por I A B==== IIII e lê-se A inter B. A região hachurada na figura abaixo 
representa a interseção de A e B. 
 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6: Diagrama da operação interseção entre dois conjuntos A e B. 
 
A operação realizada também tem o nome de interseção e o símbolo é do próprio 
resultado. Em símbolos temos que: 
 
{{{{ }}}}A B x U x A e x B= ∈ ∈ ∈= ∈ ∈ ∈= ∈ ∈ ∈= ∈ ∈ ∈IIII 
 
Para três conjuntos A, B e C mutuamente exclusivos, temos o diagrama ilustrado 
na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7: Diagrama de três conjuntos A, B e C mutuamente exclusivos. 
 
8.2.2. EXEMPLO 1 
 
Sejam os eventos A e B dados por: A = {1, 3, 5, 6} e B = {2, 4, 6}. 
 
Temos que: AIIII B = {6} 
 
8.2.3. EXEMPLO 2 
Sejam os conjuntos B e C, então temos que: B = {2, 4, 6} e C = {1, 10, 20}. 
 
B C φφφφ====IIII , nesse caso B e C são denominados de disjuntos ou incompatíveis. A 
figura abaixo ilustra a operação entre os conjuntos B e C. 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8: Diagrama de dois conjuntos B e C disjuntos, incompatíveis ou mutuamente exclusivos. 
 
8.2.4. EXEMPLO 3Sejam os conjuntos D e E, então temos que: D = {20, 1, 10} e E = {1, 20} 
Então D E E====IIII , ou seja, se E⊂⊂⊂⊂ D, segue-se que D E E====IIII , veja esse caso 
na figura abaixo. 
 
 
Figura 9: Diagrama entre um conjunto D e um subconjunto E. 
 
8.2.5. EXEMPLO 4 
 
Sejam os conjuntos B e o conjunto vazio φφφφ então temos que: 
 
 Se B e dado por B = {2, 4, 6} e φφφφ . 
 
Então temos que: 
Bφ φφ φφ φφ φ====IIII , isso vale para quaisquer conjuntos, pois se o conjunto vazio φφφφ 
não possui elementos então não existe, portanto elementos comuns entre ele 
e qualquer outro conjunto considerado. 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
27 
8.3. COMPLEMENTAR [ CA A==== ] OU COMPLEMENTO ABSOLUTO 
 
 
8.3.1. INTRODUÇÃO 
 
Dado o conjunto A contido no conjunto universo U, chama-se complementar de 
A ao conjunto dos elementos de U que não pertencem a A. Indica-se por 
, ~CA A A A à A= = = = == = = = == = = = == = = = =%%%% ���� . 
A operação realizada denomina-se complementação. A região hachurada na 
figura abaixo representa o complementar de A. 
Em símbolos essa operação é dada por: 
 
CA A==== = {{{{ }}}}x x U e x A∈ ∉∈ ∉∈ ∉∈ ∉ 
 
 
 
Figura 10: Diagrama da operação complementar de um conjunto A. 
8.3.2. EXEMPLO 1 
 
Sejam os conjuntos universo U e A, dados por: 
 
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 20} 
 
A = {1, 3, 5, 6} 
 
Então temos que 
CA A==== = {2, 4, 10, 20} 
8.3.3. EXEMPLO 2 
 
Sejam os conjuntos universo U = N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} e A = 
*N ={1, 2, 3, 
4, 5, 6, ...}, então 
CA A==== = {0} 
 
 
8.3.4. EXEMPLO 3 
 
Sejam os conjuntos universo U e os conjuntos A e complementar de 
CA A==== , 
então temos que: 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
28 
 
 
i) (((( ))))CA A φφφφ====IIII e, 
 
ii) (((( ))))CA A U====UUUU 
 
 
8.4. DIFERENÇA [ BA \ ] OU COMPLEMENTO RELATIVO 
 
 
8.4.1. INTRODUÇÃO 
 
Chama-se diferença A – B ao conjunto dos elementos do conjunto Universo U 
que pertencem a A e não pertencem a B, veja a ilustração dessa operação nas duas 
figuras abaixo.A\B e B\A sendo iguais é denominado diferença simétrica. 
Simbolicamente temos que: 
 
{{{{ }}}}A B x U x A e x B− = ∈ ∈ ∉− = ∈ ∈ ∉− = ∈ ∈ ∉− = ∈ ∈ ∉ 
 
 
 
 
Figura 11: Diagrama da operação diferença entre dois conjuntos A e B. 
Ou ainda se considerarmos o conjunto B – A temos que: 
 
{{{{ }}}}B A x U x B e x A− = ∈ ∈ ∉− = ∈ ∈ ∉− = ∈ ∈ ∉− = ∈ ∈ ∉ , como ilustra a figura abaixo. 
 
 
 
 
Figura 12: Diagrama da operação diferença entre um conjunto B e um subconjunto A. 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
29 
Vale salientar que: (((( ))))\A B B φφφφ====IIII OU (((( ))))CA B B φφφφ====I II II II I 
8.4.2. EXEMPLO 1 
 
 
Sejam os conjuntos A e B, então temos que: 
 
A = {1, 3, 5, 6} 
B = {2, 4, 6} 
 
\A B A B− =− =− =− = = {1, 3, 5} 
 
 
 
Figura 13: Diagrama da operação diferença entre dois conjuntos A e B. 
 
8.4.3. EXEMPLO 2 
 
Sejam os conjuntos H e L, então temos que: 
 
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 20} 
 
H = {0, 2, 4, 6,...} 
L = {1, 3, 5, 7,...} 
 
H – L = H 
 
 
8.4.4. EXEMPLO 3 
 
Sejam os conjuntos F e G, então temos que: 
 
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 20} 
F = {1, 2, 3, 4, 5} 
G = {1, 2, 3} 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
30 
G – F = φφφφ 
 
8.4.5. EXEMPLO 4 
 
Considere os conjuntos Universo U e dois conjuntos quaisquer A e B, então 
temos que: 
 
i) (((( ))))CA A U A= = −= = −= = −= = − 
ii) (((( ))))CA B A B− =− =− =− = IIII 
 
 
9. PRODUTO CARTESIANO [AXB]: (conjuntos produto) 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B, 
simbolizado por AXB, ao conjunto dos pares ordenados cujos primeiros elementos 
pertencem a A e cujos segundos elementos pertencem a B, isto é, 
 
(((( )))){{{{ }}}},AXB x y x A e y B= ∈ ∈= ∈ ∈= ∈ ∈= ∈ ∈ , 
 
O produto cartesiano de um conjunto por ele mesmo, digamos, AXB, é 
representado por A2. 
Verifique que, se n(A) indica o número de elementos de A, e n(B) indica o 
número de elementos de B e n(A X B) é o número de elementos de AXB. Então, temos 
que: 
 
n (a X b) = n(A). n(B) 
 
O conceito de produto cartesiano é estendido para um número finito de 
conjuntos de forma natural. O produto cartesiano de A1, A2,..., Am, escrito por 
A1XA2X...XAm, é o conjunto de todas as m-úplas ordenadas {a1, a2, ...,am}, onde ai 
∈∈∈∈Ai para todo i. 
Deve-se salientar que AXB ≠ BXA. 
 
 
9.1. EXEMPLO 
 
Por exemplo, seja os conjuntos A = {1, 2} e B = {3 ,4, 5} 
Podemos formar um novo conjunto de pares ordenados, cujos primeiros 
elementos pertencem ao conjunto A e cujos segundos elementos pertencem a B, isto é, 
{(1, 3), (1 ,4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} 
Este conjunto é chamado o produto cartesiano de A por B e indica-se AXB. 
Deve-se verificar neste exemplo que AXB ≠ BXA.pois BXA = {(3, 1), (3, 2), (4, 
1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)}, e nenhum elemento de BXA pertence a AXB, já que, por 
exemplo, o par (1,3) ≠ (3, 1). 
 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
31 
10. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
 
10.1. EXEMPLO 1 
 
Sejam os conjuntos A, B e C não mutuamente exclusivos e tais que existem 
A BIIII , A CIIII e B CIIII , definidas no conjunto universo “U”. Estabeleça as expressões 
das operações entre conjuntos e indique o diagrama de Venn para o conjunto em que. 
10.1.1. “A” E “B” OCORREM, MAS “C” NÃO 
 
CA B CI II II II I 
 
 
Figura 14: Diagrama mostrando a operação CA B CI II II II I entre três conjuntos A, B e C. 
Ou seja, A e b ocorrem, mas c não. 
10.1.2. SOMENTE “A” OCORRE 
 
C CA B CI II II II I 
 
 
Figura 15: Diagrama da operação C CA B CI II II II I entre três conjuntos A, B e C. 
Isto é somente A ocorre. 
10.2. EXEMPLO 2 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
32 
Sejam três conjuntos mutuamente exclusivos, Estabeleça as expressões das 
operações entre conjuntos e indique o diagrama de Venn para o conjunto em que. 
A ocorre ou B ocorre ou C ocorre. 
A B CU UU UU UU U 
 
 
Figura 16: Diagrama da operação A B CU UU UU UU U entre três conjuntos A, B e C. 
 
 
10.3. SEJAM OS CONJUNTOS A E B. ENCONTRE AS EXPRESSÕES DAS 
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS E INDIQUE O DIAGRAMA DE VENN PARA O 
CONJUNTO EM QUE 
 
 
10.3.1. APENAS A OU APENAS B OCORRE, ISTO É, OCORRE 
EXATAMENTE UM DOS DOIS CONJUNTOS 
 
(((( )))) (((( ))))c cA B B AI U II U II U II U I 
 
 
Figura 17: Diagrama da operação (((( )))) (((( ))))c cA B B AI U II U II U II U I entre dois conjuntos A e B. 
 
Ou seja, Apenas A ou apenas B ocorre, mas não ambos. Ou ainda A ocorrer, mas 
B não, ou B ocorrer, mas A não. 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
33 
 
10.3.2. A OCORRE, MAS B NÃO, ISTO É, SOMENTE A OCORRE 
 
CA BIIII 
 
 
 
Figura 18: Diagrama da operação CA BIIII entre dois conjuntos A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade–––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
34 
 
CAPÍTULO 2 – TÉCNICAS DE CONTAGEM OU ANÁLISE 
COMBINATÓRIA 
 
 
1. NOTAÇÃO FATORIAL 
 
O produto dos inteiros positivos de 1 a n, inclusive, aparece freqüentemente em 
matemática e, por isso, é representado pelo símbolo especial n! (lê-se “n” fatorial): 
n! = 1.2.3.....(n-2) (n-1) n. Exemplo: 4! = 4.3.2.1 = 24 
 
1.1. PERMUTAÇÃO (ARRANJO): 
(((( ))))r
!
!Pn
n
n r
====
−−−−
 
 
Um arranjo de um conjunto de n objetos, em dada ordem, é chamado de 
permutação dos objetos (tomados todos ao mesmo tempo). Um arranjo de quaisquer r ≤ 
n destes objetos, em dada ordem, é chamado de r-permutação ou permutação dos n 
objetos tomados r a r. 
Exemplo: Encontre o número de permutações de 6 objetos, a, b, c, d, e e f, 
tomadas 3 a 3. Em outras palavras, encontre o número de “palavras de 3 letras”, com 
letras distintas, que podem ser formadas com as 6 letras acima. Pelo princípio 
fundamental de contagem, existem 6.5.4 = 120 palavras de três letras distintas, 
formadas com as 6 letras dadas; ou existem 120 permutações de objetos tomadas 3 a 3. 
isto é, P(6,3) = 120. 
 
1.2. COMBINAÇÃO: 
(((( ))))
!
! !
n
r
n
C
r n r
====
−−−−
 
 
Suponha que temos uma coleção de n objetos. Uma combinação destes n objetos 
tomados r a r, ou uma r-combinação, é qualquer subconjunto de r elementos.Em outras 
palavras, uma r-combinação é qualquer seleção de r dos n objetos, sem considerar a 
ordem. 
Exemplo: De um grupo de 8 caprinos da raça Canindé, quantos grupos de 
animais podem ser formados com 3 deles? Cada grupo é essencialmente uma 
combinação dos 8 animais, tomados 3 a 3. Assim, podem ser formados 
(((( )))) 8 8.7.68,3 56
3 1.2.3
C
    
= = == = == = == = =    
    
 grupos diferentes. 
 
 
1.3. NOÇÕES GERAIS SOBRE ANÁLISE COMBINATÓRIA (OU TÉCNICAS DE 
CONTAGEM) 
 
A análise combinatória surge então, como um método auxiliar na contagem do 
número de casos favoráveis e do número de casos possíveis de eventos aleatórios em 
determinado espaço amostral associado a um particular experimento ou ensaio aleatório. 
 
 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
35 
 
1.3.1.PERMUTAÇÕES 
 
Pn = n! 
 
O qual dá o número de permutações de n elementos. 
 
1.3.1.1. EXEMPLO 
 
Seja um grupo de 4 elementos, então temos que: 
 
P4 = 4! (= 24), será, por exemplo, o cardinal do conjunto (permutações de 4 elementos: 
1, 2, 3, 4): 
{{1, 2, 3, 4}, (1, 2, 4, 3}, {1, 3, 2, 4}, {1, 3, 4, 2}, {1, 4, 2, 3}, {1, 4, 3, 2}, 
 {2, 3, 1, 4}, {2, 3, 4, 1}, {2, 4, 1, 3}, {2, 4, 3, 1}, {2, 1, 3, 4}, {2, 1, 4, 3}, 
 {3, 4, 1, 2}, {3, 4, 2, 1}, {3, 1, 2, 4}, {3, 1, 4, 2}, {3, 2, 1, 4}, {3, 2, 4, 1}, 
 {4, 1, 2, 3}, {4, 1, 3, 2}, {4, 2, 1, 3}, {4, 2, 3, 1}, {4, 3, 1, 2}, {4, 3, 2, 1}} 
1.3.2. ARRANJOS 
 
n) k (0 ,
)kn(
!n
Ank ≤≤−
=
 
 
O qual fornece o número de n elementos, k a k. 
 
 1.3.2.1. ALGUMAS PROPRIEDADES 
n k se 0A )iv
!nPAA)iii
nA )ii
1A )i
n
k
n
n
1n
n
n
n
1
n
0
>=
===
=
=
−
 
 
1.3.2.2. EXEMPLOS 
 
Para os exemplos a seguir considerem-se os 4 elementos: 1, 2, 3, 4. 
 
i) 
 
,4
!3
!4
A41 ==
 
 
é, por exemplo, o cardinal do conjunto { }}4{},3{},2{},1{ 
 
ii) 
,é 123 x 4
!2
!4
A42 ===
 
 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
36 
 
Por exemplo, o cardinal do conjunto. 
 
{{1, 2}, (1, 3}, {1, 4}, 
{2, 1}, {2, 3}, {2, 4}, 
{3, 1}, {3, 2}, {3, 4} 
{4, 1}, {4, 2}, (4, 3}} 
 
ii) 
,é 242 x 3 x 4
!1
!4
A43 ===
 
 
Por exemplo, o cardinal do conjunto. 
 
 {{1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {1, 2, 4}, {1, 4, 2}, {1, 3, 4}, {1, 4, 3} 
 {2, 3, 4}, {2, 4, 3}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {2, 1, 4}, {2, 4, 1} 
 {3, 1, 2}, {3, 2, 1}, {3, 1, 4}, {3, 4, 1}, {3, 2, 4}, {3, 4, 2} 
 {4, 1,2}, {4, 2, 1}, {4, 1, 3}, {4, 3,1}, {4, 2, 3}, {4, 3, 2}} 
 
iv) 
 24 !4PA 4
4
4 === 
 
Verifique acima, em Permutações. 
1.3.3. COMBINAÇÕES 
 
 
( ) )nk0(,
k) -(n !k
!n
C nk
n
k ≤≤==
 
 
Fornece o número de combinações de n elementos, k a k. 
 
Numa definição sem grande rigor diremos que são como arranjos saem 
repetições, considerando-se que, por exemplo, uma vez incluída no conjunto das 
combinações a combinação {1, 2, 3}, então as combinações {1, 3, 2}, {3, 2, 1}, {3, 1, 
2}, {2, 1, 3} e {2, 3, 1} são repetições da combinação inicial e portanto não entram para 
o cálculo do número de combinações. 
n
kC dá-nos, por exemplo, o número de diferentes 
conjuntos de k pessoas que se podem formar a partir de um conjunto de n(≥ k) pessoas; 
ou o número de diferentes formas em que um conjunto de n pessoas podem segurar k(≤ 
n) bolas (dado que cada pessoa segura ou não uma bola e cada pessoa não pode segurar 
mais de uma bola). 
 
1.3.3.1. ALGUMAS PROPRIEDADES 
i) 
n
kn
n
k CC −= 
ii) 1CC
n
n
n
0 == 
iii) nAC
n
1
n
1 == 
iv) n k se 0C
n
k >= 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
37 
 
1.3.3.2. EXEMPLOS 
 
Para os exemplos a seguir considerem-se os 4 elementos: 1, 2, 3, 4 
 
i) 
),A(4
!3!1
!4
C 41
4
1 ===
 
 
É, por exemplo, o cardinal do conjunto {{1}, {2}, {3}, {4}}. 
 
ii) 
6
2
3 x 4
!2 !2
!4
C42 ===
 
 
É, por exemplo, o cardinal do conjunto. 
 
 {{1, 2}, (1, 3}, {1, 4}, 
 {2, 1}, {2, 3}, {2, 4}, 
 {3, 1}, {3, 2}, {3, 4} 
 {4, 4}, {4, 2}, (4, 3}} 
 
iii) 
 
4
!1 !3
!4
C43 ==
 
 
 É, por exemplo, o cardinal do conjunto 
 
 {{1, 2, 3}, (1, 3, 2}, {1, 2, 4}, {1, 4 ,2}, {1, 3, 4}, {1, 4, 3} 
 {2, 3, 4}, {2, 4, 3}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {2, 1, 4}, {2, 4, 1} 
 {3, 1, 2}, {3, 2, 1}, {3, 1, 4}, {3, 4, 1}, {3, 2, 4}, {3, 4, 2} 
 {4, 1, 2}, {4, 2, 1}, {4, 1, 3}, {4, 3,1}, {4, 2, 3}, {4, 3, 2}} 
 
iv) 
 
1
 !0 !4
!4
C44 ==
 
 
 É, por exemplo, o cardinal do conjunto {{1, 2, 3,4}} cujo único elemento é o 
conjunto {1, 2, 3, 4}. 
 
v) 
1
 !0 !4
!4
C40 ==
 
 
É o cardinal do conjunto cujo único elemento é o conjunto vazio. 
 
vi) Note que 4 4 4 4 4 40 1 2 3 4 16 2C C C C C+ + + + = =+ + + + = =+ + + + = =+ + + + = = , o que não é uma coincidência; veja os 
resultados a seguir: 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
38 
 
 
1.3.3.3. ALGUNS RESULTADOS ENVOLVENDO COMBINAÇÕES 
 
i) 
 
( )( ) ( )MNn Mk-nNk
)N,nmin(
0k
 +
=
=∑
 
 
ii) 
(((( ))))
0
. . ,
n
n k n k
o
k
n
a n a b n N
k
−−−−
====
    
+ = ∀ ∈+ = ∀ ∈+ = ∀ ∈+ = ∀ ∈    
    
∑∑∑∑ (Teorema binomial) 
iii) 
( ) nnk
n
0k
2=∑
= (basta fazer na igualdade acima, a = b = 1). 
 
iv) Dicotomias: 
0
2
n
n
k
n
k====
    
====     
    
∑∑∑∑ é o número de dicotomias de n elementos, i.e. o número 
(total) de combinações de n elementos k e k, para k = 0, 1,..., n. Note-se que cada 
elemento pode estar ou não estar presente em cada dicotomia, independentemente de 
qualquer outro elemento estar ou não presente, o que gera de fato um total de 2n 
diferentes possibilidades de combinações. 
 
1.3.3.4. EXEMPLOS 
 
Porque 2n é o número de subconjuntos de um conjunto com n elementos? 
Porque 2k é o número de maneiras diferentes de, partindo de um estado k + 1, 
chegar ao estado 0, passando ou não por cada um dos k estados intermédios? 
Porque 2k é o número de diferentes números (coleções de dígitos) com k dígitos 
que se podem construir com os dígitos de 0 a k, cuja soma dos dígitos é igual a k e onde 
cada dígito d maior que zero é sempreantecedido de d – 1 zeros? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
39 
 
CAPÍTULO 3 – TEORIA DE PROBABILIDADES 
 
1. EXPERIMENTO, EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO, EXPERIMENTO 
ALEATÓRIO, ESPAÇO AMOSTRAL, EVENTOS E PONTO AMOSTRAL 
 
1.1. EXPERIMENTO OU ENSAIO 
 
É qualquer processo que gere dados brutos. Exemplo. Medir a temperatura 
corporal de um animal. 
 
1.2. EXPERIMENTOS DETERMINÍSTICOS 
 
São aqueles em que os resultados são sempre os mesmos, qualquer que seja o 
número de ocorrências ou de repetições destes ensaios. Exemplo. Se tivermos um 
recipiente com determinado liquido, por exemplo, a água, sabemos que a uma certa 
temperatura haverá a passagem para o estado gasoso. Este exemplo caracteriza um 
experimento determinístico. 
 
1.3. EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS OU ESTOCÁSTICOS (E) 
 
 São aqueles cujos resultados não são sempre os mesmos, apesar de se repetirem 
várias vezes em condições iniciais semelhantes. Exemplos: lançar uma moeda honesta, 
e observar a face voltada para cima; Cruzamento de dois indivíduos heterozigotos (Aa x 
Aa) e determinação do genótipo de um indivíduo resultante desse cruzamento; Cruzar 
dois ovinos e observar o sexo do primeiro que nascer; Lançar duas moedas honestas e 
observar as faces voltadas para cima; Observar o estado de maturação de um fruto de 
figo; Observar o estado de maturação de dois frutos de manga; Colocar 30 sementes de 
feijão de corda em um germinador e contar, após certo período de tempo, o número de 
sementes germinadas; observar uma amostra de “n” tomates quanto ao número de 
tomates com defeitos graves (por exemplo, com podridão, passado, com dano por 
geada, com podridão apical, queimado ou com dano profundo); Coletar uma amostra de 
100 tilápias de um lago e observar o número de fêmeas; Coletar uma amostra de 80 
peixes de um lago marca-los, devolve-los ao lago, coletar uma nova amostra de 
tamanho 90 e observar o número de peixes marcados; Contar o número de lagartas 
elasmos em uma planta de milho; Medir a produção de uma parcela de cana-de-açúcar; 
Medir a altura de uma árvore de eucalipto; medir o tempo de vida de um componente 
eletrônico para computador; etc. 
 
1.4. ESPAÇO AMOSTRAL (S OU ΩΩΩΩ) 
 
É o conjunto “S” de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 
O número de elementos de S é denominado cardinal de S e simbolizado por: # S = x. 
 
 Exemplo: Lance um dado e observe o número que aparece na face voltada para 
cima. Então, o espaço amostral consiste dos seis números possíveis. 
 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
40 
1.4.1. TIPOS DE ESPAÇO AMOSTRAL 
 
i) Espaço Amostral Finito: Exemplo: No lançamento de duas moedas honestas, 
temos que C = Ocorre face cara, e K = ocorre face Coroa, então o S é dado por: 
 
 S = {CC, CK, KC, KK} 
 
ii)Espaço Amostral Infinito Enumerável: Exemplo: Escolher um número par no 
conjunto dos números naturais, então o S é. 
 
 S = {1, 2, 3, 4, 5,...} = ���� 
 
iii) Espaço Amostral Infinito não Enumerável: Exemplo: Medir a umidade 
relativa do ar em Mossoró, Rn durante o mês de janeiro de 2009, então o S é: S = ���� . 
 
iv) Espaço Amostral Equiprovável: Quando se associa a cada ponto amostral a 
mesma probabilidade, o espaço amostral chama-se equiprovável ou uniforme, note 
também que ele é finito e discreto. Os eventos Ei, i=1, 2, 3,..., n são equiprováveis 
quando P(Ei) =P(E2)=P(En) =P, isto é, quando todos têm a mesma probabilidade de 
ocorrer: (((( )))) 1P X
n
==== . Exemplo: Lançar duas moedas honestas e verificar a face voltada 
para cima. S = {(CC); (CK), (KC), (KK)}, onde C é o evento ocorre face cara e K é o 
evento ocorre face coroa. 
 
1.5. PONTO AMOSTRAL (A) 
 
 É um resultado particular, isto é, um elemento de “S” Exemplo: o número “2” 
no espaço anterior. 
 
1.6. EVENTO (A) 
 
 É um subconjunto do espaço amostral “S”. Exemplo: Seja “A” o evento “ocorre 
número par”, A = {2, 4, 6}. 
 
1.6.1. CLASSE DOS EVENTOS ALEATÓRIOS 
 
i) Definição: É o conjunto formado por todos os eventos (subconjuntos) 
do espaço amostral. 
Para exemplificar, consideremos um espaço amostral finito dado abaixo: 
Ω = {e1, e2, e3} 
A classe dos eventos aleatórios é a seguinte: 
F(Ω) = {φ, {e1}, {e2}, {e3}, {e1, e2}, {e1, e3}, {e2, e3}, {e1, e2, e3}} 
Para determinarmos o número de elementos (eventos) de F(Ω) observamos que: 
φ, corresponde a 30C . 
{e1}, {e2}, {e3} corresponde a 31C 
{e1, e2}, {e1, e3}, {e2, e3} corresponde a 32C 
{e1, e2, e3} corresponde a 33C 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
41 
Portanto, 3 3 3 30 1 2 3( ) 8n F C C C C= + + + == + + + == + + + == + + + = 
 
Genericamente, se o número de pontos amostrais de um espaço amostral finito é 
“n”, então o número de eventos de F é 2n, pois. 
0 1 2( ) 2
n n n n n
nn F C C C C= + + + + == + + + + == + + + + == + + + + =LLLL 
 
 
1.6.2. CLASSIFICAÇÃO DOS EVENTOS 
 
i) Evento simples: É aquele formado por um único elemento do espaço 
amostral. 
Exemplo: Se lançarmos três moedas consecutivamente, o evento 
(Co,Co,Co) é um evento simples. Sendo Co = ocorre face coroa. 
 
ii) Evento composto: é aquele formado por mais de um elemento do 
espaço amostral. Exemplo: Se lançarmos dois dados e desejarmos a soma igual a 
onze, é um evento composto, pois abrange dois elementos do espaço amostral 
(6,5) ou (5,6). 
 
iii) Eventos mutuamente exclusivos ou excludentes, disjuntos ou 
incompatíveis: Dois eventos “A” e “B” são mutuamente exclusivos quando não 
podem ocorrer simultaneamente, isto é a ocorrência de um deles exclui a 
ocorrência do outro e vice-versa, ou melhor, quando A ∩ B = φ Exemplo: No 
lançamento de um dado o espaço amostral será: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Seja: 
A = Face par = {2, 4, 6}. 
B = Face ímpar = {1, 3, 5}. 
A e B são eventos mutuamente exclusivos, pois A ∩ B = φ. 
 
iv) Eventos não mutuamente excludentes: Dois eventos “A” e “B” são 
ditos não mutuamente excludentes quando têm alguns elementos em comum, 
isto é A ∩ B ≠ φ Exemplo: Lançamento de um dado, e sejam os eventos: 
A = Ocorre face par = {2,4,6}; e 
B = ocorre face menor que três = {1,2}. Sendo assim A ∩ B = {2} 
 
v) Eventos independentes: Dizemos que dois ou mais eventos são 
independentes, quando eles não exercem ações recíprocas, comportando-se cada 
um de maneira que lhe é própria, sem influenciar os demais. Exemplo: 
Consideremos o lançamento de duas moedas, simultaneamente. 
Temos: S = {(CaCa), (caCo), (CoCa), CoCo)} 
Os resultados do experimento são totalmente independentes de uma 
moeda para a outra, mesmo porque o aparecimento de uma face ou de outra 
independe dos lançamentos anteriores, podendo haver repetições das mesmas 
faces. 
 
vi) Eventos dependentes ou condicionados: Quando associamos dois 
ou mais eventos a um experimento aleatório qualquer, dizemos que eles são 
condicionados ou vinculados, desde que o aparecimento de um evento “A” 
qualquer dependa do aparecimento de outro evento “B” do mesmo experimento. 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
42 
Exemplo: Seja o experimento que consiste na retirada de duas cartas 
vermelhas de um baralho comum com 52 cartas. Ora, na primeira retirada temos 
26 cartas vermelhas em um total de 52 cartas. Quando retirarmos a segunda carta 
e admitindo-se que ela seja vermelha, temos somente 25 cartas em um total de 
51 cartas, visto quena primeira retirada a carta não foi recolocada novamente no 
baralho. Assim a ocorrência da segunda carta está vinculada ou condicionada no 
aparecimento da primeira carta. Neste caso, estamos diante de um evento 
condicional. 
 
vii) Eventos coletivamente exaustivos: Os eventos dizem-se 
coletivamente exaustivos se ao menos um tiver de ocorrer durante um dado 
experimento, ou seja, os eventos são coletivamente exaustivos se nenhum outro 
resultado é possível para o experimento em causa. 
Exemplo: Retirada de uma carta de um baralho comum de 52 cartas, e 
seja os eventos: A = a carta é de paus; B = A carta é de ouros; C = a carta é de 
copas e D = A carta é de espadas, são coletivamente exaustivos pois esgotam 
todas as possibilidades. 
 
viii) Evento complementar: Seja um evento “A” qualquer, o evento 
complementar de A é o evento “Ac” ou A (chamado Complementar de A), tal 
que Ac = S – A, ou seja, é um outro conjunto formado pelos elementos que 
pertencem a S e não pertencem a “A”. 
Exemplo: Seja o experimento que consiste no lançamento de duas 
moedas. O espaço amostral desse experimento é o seguinte: S = {(CaCa), 
(caCo), (CoCa), CoCo)}; e vamos definir A = {(CaCa)} = Ocorrer duas caras 
Todos os outros eventos de S, que não fazem parte de A, são 
denominados de Evento Complementar de A (Ac). 
No exemplo, temos: Ac = {(CaCo), (CoCa), (CoCo)} e observemos que 
A ∪ Ac = S 
 
ix) Evento impossível (φφφφ): É aquele que não ocorre em qualquer 
realização de um experimento aleatório. Exemplo: A = Sair a face 7 no 
lançamento de um dado: A = φ . 
 
x) Evento certo (S): É aquele que ocorre em qualquer realização do 
experimento aleatório. 
Exemplo: No lançamento de um dado, fatalmente sairá a face 1, 2, 3, 4, 
5, ou 6. A = S. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
43 
 
1.6.3. PARTIÇÃO DE UM ESPAÇO AMOSTRAL 
 
Pelo diagrama de Venn, temos o seguinte diagrama. 
 
 
 
Figura 19: Diagrama mostrando a partição de um espaço amostral “S”. 
 
Definição. Dizemos que os eventos A1, A2,..., An; formam uma partição do espaço 
amostral “S” se: 
¨ 
a) Todos os acontecimentos têm probabilidade não nula, isto é P(Ai) > 0 
qualquer que seja i = 1, 2,..., n, ou ainda, Ai ≠ φ , i = 1,..., n; 
b) Os eventos forem mutuamente exclusivos, isto é, Ai ∩ Aj = φ, para i ≠ j e i, j 
< n (mutuamente exclusivos dois a dois), i, j = 1, 2,..., n. 
 
c) A união de todos os acontecimentos é o espaço de resultados (espaço 
amostral), isto é 
U
n
i 1==== Ai = Ω = S (são coletivamente exaustivos). 
 
 
1.7. EXEMPLO DE EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS (E) E SEUS ESPAÇOS 
AMOSTRAIS (S) 
 
a) Lançamento de uma moeda honesta: S = {c, k}, onde c = ocorre face cara, e k = 
ocorre face coroa; 
b) Lançamento de um dado (hexaedro) honesto: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; 
c) Lançamento de duas moedas honestas: S= {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}; 
d) Retirada de uma carta ao acaso de um baralho comum completo de 52 cartas: 
S = {Ao,...,ko, Ap,...,kp, Ae,...,ke, Ac,...,kc} 
e) Semear 50 sementes para verificar a percentagem de germinação: 
S = {0, 1, 2, 3,..., 50}; 
f) Jogar duas moedas honestas e observar o número de caras obtidas: S = {0, 1, 2}; 
g) Determinação da vida útil de um componente eletrônico: 
S= {t ∈ℜ t ≥ 0}; 
h) Jogar 3 moedas honestas e observar os resultados: 
 Onde, c = Ocorre face cara, e k =Ocorre face coroa. 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
44 
Temos o seguinte espaço amostral “S”: 
S = {(c, c, c), (c, c, k), (c, k, c), (k, c, c), (c, k, k) (k, c, k). (k, k, c), (k, k, k)} 
i) Se estivermos estudando a temperatura na cidade de Mossoró-Rn, durante o mês de 
julho, e se formos observar a temperatura em determinado dia de julho, temos: S = ℜ; 
 
j) Se jogarmos um dado branco e um dado preto, o espaço amostral correspondente 
poderá ser descrito como segue: 
 
 
 
 
l) Se jogarmos quatro (4) moedas honestas, o espaço amostral poderá ser descrito por: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) 


















=
kkcc
kckc
kkkcckkckccc
kkckkcckckcc
kckkckckcckc
kkkkckkkcckkccckcccc
 S
 
 
Onde c = ocorre face cara e K = ocorre face coroa em cada moeda lançada. 
 
 
2. PROBABILIDADES: CONCEITOS E PROPRIEDADES (LEIS) 
 
2.1. CONCEITOS DE PROBABILIDADE 
 
2.1.1.CONCEITO CLÁSSICO OU PROBABILIDADE “A PRIORI” OU 
PROBABILIDADE FÍSICA 
 
Seja “E” um experimento aleatório e “S” um espaço amostral a ele associado, 
composto de “n” pontos amostrais todos equiprováveis. Se existem em “S”, “m” pontos 
favoráveis à realização de um evento “A”, então a probabilidade da ocorrência do 
evento “A”, indicada por P(A), será: 
( )
m
P A
n
==== 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
45 
 
 
2.1.1.1. EXEMPLO 
 
 Seja “E” o experimento aleatório relativo ao lançamento de um dado honesto. 
Seja “A” o evento ocorrência da face número 4. Determine o valor da probabilidade do 
evento “A”. 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n= 6 
A = {4}, m = 1 
1
( )
6
P A ==== , Pois “S” possui seis pontos amostrais equiprováveis, dos quais um é 
favorável ao evento “A”. 
 
2.1.2. FREQUÊNCIA RELATIVA OU PROBABILIDADE “A 
POSTERIORI” 
 
Esse conceito surgiu posteriormente através de “RICHARD VON MISES”( 
1883- 1953). 
Seja “E” um experimento e “A” um evento. Se após “n” realizações do 
experimento “E”, “n” suficientemente grande, forem observados “m” resultados 
favoráveis à “A”, então um estimativa da probabilidade P(A) é dada pela frequência 
relativa 
m
f
n
==== ” (CLARKE e DISNEY, 1979). 
 
 
Figura 20: Proporção de caras em 100 arremessos de uma moeda. 
 
 
2.1.2.1. EXEMPLO 
 
 Um experimento de nascimentos de bezerros foi observado experimentalmente 
em uma amostra de 3000 nascimentos 1590 fêmeas. Seria razoável supor que 
1590
0,53 53%
3000
f = = == = == = == = = , fosse uma aproximação da probabilidade real “P” de 
nascimentos de fêmeas para essa raça. 
 
 
Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade Conjuntos e Probabilidade –––– Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) Assis, J. P. (2010) 
 
46 
 
2.1.3. CONCEITO MODERNO OU AXIOMÁTICO 
 
Seja “S” um espaço amostral e seja “A” qualquer evento em “S”, isto é “A” é 
um subconjunto de “S”. A probabilidade do evento “A” [P(A)] é uma função definida 
em “S” que associa a cada evento um número real, satisfazendo os seguintes axiomas: 
 
i) 0 ≤≤≤≤ P(A) ≤≤≤≤ 1 
ii) P(S) = 1 
iii) Se “A” e “B” pertencem a “S” e são eventos mutuamente exclusivos, então, P(A ∪ 
B) = P(A) +P(B). 
Corolário 1: Este último axioma pode ser generalizado para o caso de um número finito 
de eventos mutuamente exclusivos, ou seja, P(A1 ∪ A2 ∪...∪ An) = 
(((( ))))
11
n n
i i
ii
P A P A
========
    
     ====        
∑∑∑∑UUUU se Ai e Aj são disjuntos para todo par (i,j). 
 
2.1.3.1. EXEMPLO 
 
i) Um experimento aleatório consiste em retirar ao acaso 3 cartas de um baralho com 52 
cartas. Qual é a probabilidade de saírem duas figuras e um ás? 
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))
12 4
2 1
52
3
66 4
0,011946 1,20%
22100
C C
P Duas Figuras e um Ás
C
= = = == = = == = = == = = = 
 
2.3.TEOREMAS FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO DE PROBABILIDADES 
2.3.1. TEOREMA 1 
 
Se φ é o evento impossível, então P(φ) = 0. 
 
Prova: Seja A um conjunto qualquer; então A e φ são disjuntos (A ∩ φ) = φ e 
A ∪ φ = A. Pelo terceiro axioma temos que: 
P(A) = P(A ∪ φ) = P(A)+ P(φ) 
Subtraindo P(A) de ambos os lados, temos