Prova Final Econometria I 2013.02

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Instituto de Economia- UFRJ
Econometria – Introdução à Econometria – PROVA FINAL – 2013.02
Prof. Viviane Luporini/Rudi Rocha
NOME:_______________________________________________________________
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BLOCO A
Questão 1 – Suponha que as variáveis Y e X estão relacionadas em uma determinada
população de acordo com a relação linear Y=α+βX+u , onde u é um termo de erro
estocástico com E[u/X ]=0 e E[u]=0 . Para uma dada amostra aleatória ({Y i, Xi},
i=1, 2, ..., n), um pesquisador estima esse modelo por MQO e obtém α^ e β^ .
Responda verdadeiro ou falso para cada item abaixo, justificando sua resposta. 
a) Como é válida a condição E[u/X ]=0 , é possível afirmar que o estimador de
MQO β^ é o mais eficiente na classe dos estimadores lineares.
b) Se assumirmos que os erros seguem uma distribuição normal, conseguiremos
estimar o modelo tanto por MQO como por máxima verossimilhança (MV).
Suponha que β^MQO seja o coeficiente estimado por MQO, e β^MV seja o
encontrado por MV. Nesse caso, podemos afirmar que
E( β^MQO|X )=E ( β^MV|X )=β , embora β^MQO≠ β^MV .
c) Suponha que o pesquisador tenha adotado o nível de significância de 5% para testar
hipóteses sobre os coeficientes estimados. Esse nível de significância representa a
probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa é verdadeira.
d) Suponha que a matriz de variância e covariância dos erros seja igual a γIn, onde γ é
uma constante e In é uma matriz identidade de dimensão n. Neste caso, o Teorema
de Gauss-Markov garantirá que o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários
terá variância mínima.
Questão 2 – A Tabela 1 abaixo apresenta o resultado de dois modelos de regressão
distintos, cada qual reportado separadamente em uma coluna. Nos dois modelos, utilizou-
se a mesma amostra de 165.650 trabalhadores brasileiros, para os quais temos informações
sobre renda mensal (em R$), educação (em número de anos de escolaridade) e idade (em
anos). A variável dependente em cada modelo é a renda do trabalhador em R$, enquanto
que os coeficientes estimados são apresentados ao longo da coluna, com seus respectivos
erros-padrão entre parêntesis. Responda as questões abaixo.
a) A primeira coluna da tabela reporta o resultado de uma regressão simples de renda
em anos de escolaridade, como descrita na equação:
Rendai=α+β Educaçãoi+u1 i
Onde o subscrito i identifica o indivíduo i=1,2 ,…,165.650 . Como vemos na
tabela, β^=101,011 , enquanto que o erro-padrão deste coeficiente (entre parênteses) é
de 0,738. O coeficiente de intercepto α^=−26,518 tem erro-padrão de 6,599.
Encontre uma estatística de teste para testar a hipótese nula de que β=¿ 0. Você
rejeitaria essa hipótese ao nível de significância de 0,05? (Use a regra-prática |t| > 2,0).
b) Na segunda coluna, reportamos o resultado de uma regressão de renda em duas
variáveis, educação e idade, como descrita na equação:
Rendai=β0+ β1 Educaçãoi+ β2 Idadei+u2 i
Assuma que a idade é positivamente correlacionada com renda (experiência tende a
associar-se com rendimentos mais altos no mercado de trabalho), e negativamente
correlacionada com escolaridade (as gerações mais velhas de trabalhadores tendem a ter
menos escolaridade no Brasil). Compare o coeficiente estimado para β1 nas duas
colunas da tabela, e mostre formalmente que existe um viés de variável omitida no
coeficiente estimado para β1 na 1ª coluna. 
c) Suponha que seu chefe esteja interessado em verificar se além da idade e do nível
educacional, o gênero do trabalhador afeta sua renda. Que modelo você proporia
para ser estimado?
Tabela 1 – Dois Modelos Estimados por MQO com Base nos Microdados da PNAD 2006
BLOCO B
Questão 3. Seja o modelo populacional:
Y t=α+β X t+u t
onde ut=ρu t−1+εt , |ρ|<1e εt≈ N (0,σ
2)
a) Mostre formalmente que o estimador de MQO do modelo acima é MELVN se
valem as hipóteses clássicas e ρ=0 .
b) Suponha que ρ seja diferente de zero e seja conhecido. Elabore uma
estratégia de estimação eficiente do modelo e que leve em consideração essas
informações.
c) Vamos supor que ρ seja desconhecido. Sugira e descreva em detalhes um
procedimento que nos ajude a testar a presença de autocorrelação no modelo
acima.
Questão 4. Estimou-se o seguinte modelo de regressão:
Y i=β1+ β2 X i+β3Z i+u i
 
a) Suponha que a variância de ui seja proporcional a Zi2. Mostre a transformação do
modelo que o torna homocedástico.
b) Você concorda com a afirmação: “A estimação do modelo com os dados
transformados (MQG) gera estimadores mais eficientes”? Por que?
c) O modelo foi estimado, e os resíduos u^i foram calculados. Em seguida,
construiu-se um gráfico com os resíduos u^i no eixo vertical e a variável Y i no
eixo horizontal. Verificou-se graficamente que os resíduos tendem a aumentar com
Y i . Logo, não parece haver indícios de heterocedasticidade. Verdadeiro ou falso?
Discuta.