Prova - NP1 - Econometria (Paulista) - MODELO A [GABARITO]

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INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E COMUNICAÇÃO 
Ciências Econômicas 
 
A nota NÃO será lançada para prova SEM RA ou NOME! Página 1 de 8 
 
Campus PAULISTA Período NOTURNO 
Disciplina ECONOMETRIA Semestre 4º/5º 
Professor EUCLIDES PEDROZO JR Modelo GABARITO [A] 
]Prova NP1 Data 06/04/2022 
Duração 1 HORA E 15 MINUTOS Conteúdo 
05 questões objetivas e 
02 discursivas 
Permanência 30 minutos no mínimo Valor 0,0 a 10,0 
 
Nota Prova 
 
 
Nota 
Revisada 
 
Visto 
do aluno 
 
Data da 
Vista 
___/___/22 
 
RA - 
ESCREVA COM LETRA 
LEGÍVEL 
 
 
Nome 
 
 
Instruções 
Gerais 
Leia com atenção: 
- Prova individual e SEM consulta a 
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a mesma questão. 
- Rasurar o gabarito. 
A pontuação de cada questão 
encontra-se no enunciado das 
questões desta prova. 
ATENÇÃO 
“É atribuída nota ZERO ao aluno que usar meios ilícitos ou não autorizados pelo professor por 
ocasião da execução dos trabalhos, das provas parciais, dos exames ou de qualquer atividade 
que resulte na avaliação do conhecimento por atribuição de nota, sem prejuízo da aplicação de 
sanções cabíveis por esse ato de improbidade”. 
 
Gabarito MARQUE UM X COM CANETA PRETA OU AZUL SOBRE A ALTERNATIVA CORRETA 
Questão 1 A B C D E 
Questão 2 A B C D E 
Questão 3 A B C D E 
Questão 4 A B C D E 
Questão 5 A B C D E 
Questões 
discursivas 
Responder no local indicado na própria questão 
 
 
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I. PROVA OBJETIVA 
 
 
Aponte a alternativa correta dos testes 1 a 5. (4 pontos) 
 
 
1. [0,8 ponto] O custo total, 𝐶𝑇, de uma indústria e seu nível de produção, 𝑄, têm uma relação linear do tipo 
𝐶𝑇 = 𝛽0 + 𝛽1𝑄 + 𝑢, onde 𝑢 é o termo-erro aleatório; e 𝛽0 e 𝛽1 são os parâmetros da regressão. Para se 
ajustar esse modelo pelo método dos mínimos quadrados ordinários é preciso assumir certas hipóteses 
como: 
I. A variável dependente 𝐶𝑇 seja aleatória nas 𝑛 observações. 
II. Os erros estimados tenham valor esperado médio igual a zero. 
III. Dados os valores de 𝑄, a variância dos erros não deve ser constante. 
IV. Os erros sigam uma distribuição normal. 
V. A variável independente 𝑄 deve ser não-correlacionada com o temo erro. 
De acordo com o Teorema de Gauss-Markov para a estimação dos parâmetros do modelo de regressão 
linear, é correto afirmar que, em relação às hipóteses acima mencionadas: 
(A) Apenas as hipóteses I e II estão corretas. 
(B) Apenas as hipóteses II e IV estão corretas. 
(C) Apenas as hipóteses II, IV e V estão corretas. 
(D) Apenas a hipótese V está correta. 
(E) Todas as hipóteses estão corretas. 
Resposta: (C) 
Comentários: Pelas hipóteses de Gauss-Markov do modelo clássico de regressão linear, as condições 
suficientes para que os parâmetros estimados sejam não-viesados são: 
H1: Normalidade ⟹ O termo erro do modelo de regressão tem distribuição normal: 𝜀𝑖~𝑁 
H2: Média zero ⟹ O termo erro do modelo de regressão tem distribuição normal: 𝐸(𝜀𝑖) = 0 
H3: Homocedasticidade ⟹ Dado os valores de 𝑋𝑖 = 𝑋1, 𝑋2, ⋯ , 𝑋𝑛, a variância de 𝜀𝑖 é a mesma para todas as 
observações: 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑖) = 𝜎
2 
H4: Não auto-correlação ⟹ Dados dois valores de 𝑋 quaisquer, 𝑋𝑖 𝑒 𝑋𝑗, os erros de 𝑋𝑖 não se correlacionam 
com os erros de 𝑋𝑗: 𝐶𝑜𝑣(𝜀𝑖, 𝜀𝑗) = 0 
H5: 𝑋𝑖 não estocástico ⟹ Os valores de 𝑋𝑖 são fixados em amostras repetidas 
Portanto, apenas as hipóteses II, IV e V do enunciado estão de acordo com o Teorema Gauss-Markov. 
 
2. [0,8 ponto] Suponha que um formulador de políticas públicas contrate um economista como consultor 
para mensurar o efeito do gasto público com a educação sobre a renda da população. O economista propõe 
o seguinte modelo: 
 
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ln 𝑌𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 ln 𝑔𝑡𝑒𝑑𝑢𝑐𝑡 + ∑ 𝛾𝑗 ln 𝑍𝑡
𝑗
𝑘
𝑗=1
+ 𝜀𝑡 
Nesse modelo, ln 𝑌𝑡 e ln 𝑔𝑡𝑒𝑑𝑢𝑐𝑡 são, respectivamente, o logaritmo da renda disponível da população e do 
gasto público com educação no período t; 𝑍𝑡
𝑗
, com 𝑗 = 1, . . . , 𝑘, são variáveis demográficas de controle; 𝛽0, 
𝛽1 e 𝛾𝑗 , 𝑗 = 1, . . . , 𝑘 , são os coeficientes da regressão a serem estimados; e 𝜀𝑡 é o termo de erro aleatório. 
Admitindo-se que a transformação logarítmica é estacionária para todas as variáveis da equação, ou seja, 
garante parâmetros lineares e normalmente distribuídos em logaritmo, verifica-se que: 
(A) 𝛽1 é a elasticidade renda com respeito ao nível de escolaridade da população. 
(B) a renda aumenta em R$ 1,00 para cada R$ 1,00 gasto com educação, se 𝛽1 = 1. 
(C) a variação percentual da renda será maior que a variação percentual do gasto público com educação, 
se 𝛽1 > 1. 
(D) 𝛽0 é o nível médio de gasto com educação, controlado pelas demais variáveis do modelo. 
(E) a renda da população aumenta menos que 1% quando o gasto público com educação aumenta em 
1%, se 𝛽0 < 1. 
Resposta: (C) 
Comentários: 
Alternativa A – Incorreta: pois, o modelo mede a elasticidade gasto público em educação com respeito a 
renda. 
Alternativa B – Incorreta: O modelo é log-log, portanto, se 𝛽1 = 1 então uma variação percentual de, 
digamos, 10% nos gastos em educação implicam em uma variação de 10% na renda disponível da população. 
Alternativa C – Correta: Se 𝛽1 > 1, um aumento percentual nos gastos públicos, de digamos, 10% implicará 
numa variação percentual na renda superior a 10%. 
Alternativa D – Incorreta: 𝛽0 é o nível médio previsto para a renda disponível, independentemente das 
demais variáveis. 
Alternativa E – Incorreta: Se 𝛽0 < 1, vai indicar que a renda média da população, independentemente, das 
demais variáveis, é menor que exp(1) = 2,718. 
 
3. [0,8 ponto] Suponha que se tenha usado dados de 12 plantações para estimar uma função de produção, 
cujo resultado é apresentado a seguir: 
 
𝑐𝑎𝑓é = 2,10⏟
(0,30)
+ 0,32⏟
(0,08)
𝑓𝑒𝑟𝑡𝑖𝑙 
 
onde 𝑐𝑎𝑓é é medido em toneladas de café colhido por hectare e 𝑓𝑒𝑟𝑡𝑖𝑙 representa centenas de quilo de 
fertilizante utilizado por hectare. O erro-padrão das estimativas são dados entre parênteses. Considere, para 
avaliação das afirmações a seguir a seguinte tabela de distribuição da estatística "t" de Student. 
 
 Nível de Significância 
 0,2000 0,1000 0,0500 0,0200 0,0100 0,0010 Duas caudas 
g. l. 0,1000 0,0500 0,0250 0,0100 0,0050 0,0005 Uma cauda 
1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619 
2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,599 
3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924 
 
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4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610 
5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869 
6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 
7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408 
8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041 
9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781 
10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587 
11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437 
12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318 
13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221 
14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140 
15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 
 
Em relação ao modelo estimado, pode-se afirmar que: 
 
I. Considerando o valor crítico do teste de significância dos parâmetros, ao nível de 5% ambas estimativas 
são significantespara hipótese de que eles são diferentes de zero. 
II. Para fazer a análise de variância dessa regressão precisa-se conhecer apenas a variação explicada pela 
regressão uma vez que os graus de liberdade já são conhecidos. 
III. Se o café custar $15 por tonelada e o fertilizante $3 por 100 quilos, não vale a pena ao fazendeiro usar 
mais fertilizante para aumentar a produção, pois o custo marginal excede a receita marginal. 
IV. A utilização de 100 quilos de fertilizante gera 2,42 toneladas na produção de café. 
 
Dessa forma, estão CORRETAS somente as afirmativas: 
(A) I. 
(B) II. 
(C) I e III. 
(D) I e IV 
(E) III e IV. 
Resposta: (D) 
Comentários: 
I. Verdadeiro: Como as estatísticas t calculadas são, respectivamente: 
𝑡(𝛽0) =
2,10 − 0
0,3
= 7 
𝑡(𝛽1) =
0,32 − 0
0,08
= 4 
E o valor do 𝑡-tabelado para teste bi-caudal (𝐺𝐿 = 12 − 1 − 1 = 10; 𝛼 = 0,05) sendo 2,228, então rejeita-
se a hipótese nula de que ambos os parâmetros sejam iguais a zero. 
II. Falso: Na Tabela ANOVA deve-se conhecer tanto a soma dos quadrados explicados, quando o número de 
graus de liberdade da regressão. 
III. Falso: Sob concorrência perfeita, a receita marginal da produção de café é $15. O custo marginal de 
produção é $0,32 (𝜕𝑐𝑎𝑓é 𝜕𝑓𝑒𝑟𝑡𝑖𝑙 = 0,32⁄ ). A quantidade de 𝑓𝑒𝑟𝑡𝑖𝑙 utilizada é 1 (uma centena de quilo de 
 
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fertilizante). Logo, se o preço do fertilizante for $3, então 0,32×3×1=0,96. Dessa forma, a receita marginal é 
maior que o custo marginal. 
IV. Verdadeiro: Como 𝑓𝑒𝑟𝑡𝑖𝑙 é medida em 100 kg, então 𝑓𝑒𝑟𝑡𝑖𝑙 = 1. Dessa forma: 
𝐶𝑎𝑓é = 2,10 + 0,32 × 1 = 2,42 
 
4. [0,8 ponto] A equação a seguir descreve o preço mediano das residências de uma comunidade em termos 
da quantidade de poluição (𝑜𝑥𝑛, de óxido nitroso) e do número médio de cômodos nas residências da 
comunidade (𝑐𝑜𝑚𝑜𝑑𝑠): 
log(𝑝𝑟𝑒ç𝑜) = 𝛽0 + 𝛽1 log(𝑜𝑥𝑛) + 𝛽2𝑐𝑜𝑚𝑜𝑑𝑠 + 𝑢 
Utilizando os dados de 506 domicílios foram estimadas as seguintes equações: 
log(𝑝𝑟�̂�ç𝑜) = 11,71 − 1,043 log(𝑜𝑥𝑛) + 𝑢, 𝑛 = 506, 𝑅2 = 0,264 
log(𝑝𝑟�̂�ç𝑜) = 9,23 − 0,718 log(𝑜𝑥𝑛) + 0,306𝑐𝑜𝑚𝑜𝑑𝑠, 𝑛 = 506, 𝑅2 = 0,514 
Considerando estas informações, pode-se afirmar que: 
(A) O resultado esperado para log(𝑜𝑥𝑛) é 𝛽1 > 0 pois pode ser esperado que mais poluição aumente os 
valores das residência. 
(B) De acordo com o segundo modelo, o valor esperado do preço do imóvel, considerando 𝑜𝑥𝑛 = 0 e 
𝑐𝑜𝑚𝑜𝑑𝑠=0 é igual à $9,23. 
(C) Em relação ao valor estimado para 𝛽1, pode-se dizer que −1,043 está claramente mais próximo da 
elasticidade verdadeira que −0,718. 
(D) O valor de 𝛽1 é a elasticidade-preço do imóvel em relação a 𝑜𝑥𝑛. 
(E) O sinal de 𝑐𝑜𝑚𝑜𝑑𝑠 deveria ser negativo, pois o aumento na quantidade de dormitórios reduziria o 
valor dos imóveis. 
Resposta: (D) 
Comentários: 
Alternativa A – Incorreta: pois, o resultado esperado é 𝛽1 < 0, pois quanto maior a concentração de 
poluentes em determinada região, menor é o preço dos imóveis dessa região. 
Alternativa B – Incorreta: 𝐸(𝑝𝑟𝑒ç𝑜|𝑜𝑥𝑛 = 0; 𝑐𝑜𝑚𝑜𝑑𝑠 = 0) = exp(9,23) = $10.198. 
Alternativa C – Incorreta: Como 𝑅2 do modelo de regressão múltipla é maior que o de regressão simples, 
isso indica a presença de viés de variável omitida. Então é esperado que 𝛽1 = −0,718 é seja o valor mais 
próximo da elasticidade verdadeira. 
Alternativa D – Correta: O modelo é log-log, portanto, indica a elasticidade-preço dos imóveis em relação à 
poluição da região. 
Alternativa E – Incorreta: o sinal de 𝑐𝑜𝑚𝑜𝑑𝑠 deveria ser positivo, pois espera-se que o aumento de número 
de dormitórios eleva o preço dos imóveis. 
 
5. [0,8 ponto] Foram encontrados os seguintes resultados para estimar uma regressão linear com duas 
variáveis explicativas para uma amostra de tamanho 10, pelo método dos mínimos quadrados ordinários, 
considerando um nível de confiança de 95% para os testes de significância dos parâmetros. 
 
 
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Variáveis 
preditoras 
Coeficiente Desvio padrão 
Estatística 
t 
p-valor 
Constante 223,3 254,8 0,88 0,410 
X1 -1,26 0,8263 -1,52 0,172 
X2 -1,03 3,213 -0,32 0,752 
R2 = 81,2%; R2 ajustado = 76,1%; Valor calculado da estatística F=15,1. 
 
Podemos afirmar que: 
(A) A equação de regressão estimada é �̂� = 223,3 − 1,52𝑋1 − 0,32𝑋2. 
(B) Após elaborarmos os testes de hipóteses para os coeficientes individuais, rejeitamos a hipótese (a 
um nível de significância de 5%) de que o coeficiente estimado para a variável 𝑋2 é zero. 
(C) O coeficiente de determinação (R2) indica que 76,1% da variação amostral de 𝑌 podem ser atribuídos 
as variações de 𝑋1 e 𝑋2. 
(D) O valor estimado para 𝑌 quando 𝑋1 = 15 e 𝑋2 = 80 é 220. 
(E) Os valores teóricos das estatísticas “t” utilizadas para testar os coeficientes das variáveis explicativas 
devem ser calculados para 7 graus de liberdade. 
Resposta: (E) 
Comentários: 
A. Incorreta: �̂� = 223,3 − 1,26𝑋1 − 1,03𝑋2. 
B. Incorreta: p-value de 𝑋2 (0,752) é muito alto. 
C. Incorreta: 𝑅2 = 81,2%: 
D. Incorreta: �̂� = 223,3 − 1,26(15) − 1,03(80) = 122 
E. Correta: 𝐺𝐿 = 𝑛 − 𝑘 − 1 = 10 − 2 − 1 = 7. 
 
 
 
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II. PROVA DISCURSIVA (6 pontos) 
 
1. Um pesquisador está interessado em estudar a função consumo de um determinado setor da economia. 
Com base em seu conhecimento em teoria econômica postula que o consumo (𝐶𝑡) deve variar com a renda 
real per capita do país (𝑌𝑡) e com o índice de preços (𝑃𝑡) do setor. Neste contexto, observa uma série de 17 
observações temporais nessas variáveis ao longo do tempo que satisfazem o modelo log-linear: 
𝑙𝑛𝐶𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑙𝑛𝑌𝑡 + 𝛽2𝑙𝑛𝑃𝑡 + 𝑢𝑡 
Nessa expressão, 𝛽0, 𝛽1, e 𝛽2 são os parâmetros desconhecidos e ut representa o erro não-correlacionado, 
normalmente distribuído com média zero e variância constante. Os resultados do ajuste desse modelo pelo 
método dos mínimos quadrados apresentaram as seguintes estimativas: 𝛽0 = 3,26; 𝛽1 = 1,14, e 𝛽2 =
−0,83 e. Com base nessas informações, determine: 
a) (1 ponto) A estimativa do aumento relativo do consumo 𝐶𝑡 decorrente do aumento de 2% na renda e da 
redução de 1% no preço.: 
Resposta: 
Como o modelo apresentado é log-log, então a variação esperada em 𝑙𝑛𝐶𝑡 é dada por: 
𝜕𝑙𝑛𝐶𝑡 = 𝛽1(𝜕𝑙𝑛𝑌𝑡) + 𝛽2(𝜕𝑙𝑛𝑃𝑡) 
Dessa forma, dada a interpretação das variáveis em termos percentuais e com ∆𝑌𝑡 = +2 𝑝. 𝑝 e ∆𝑃𝑡 =
−1 𝑝. 𝑝: 
𝜕 ln 𝐶𝑡 = 1,14(2) − 0,83(−1) = 3,11% 
 
(b) (1 ponto) Quando o preço varia em 3%, quanto o consumo variará em termos percentuais, ceteris 
paribus? 
Resposta: 
Como o modelo apresentado é log-log, então a variação esperada em 𝑙𝑛𝐶𝑡 devido a uma variação em 𝑙𝑛𝑃𝑡 é 
a própria elasticidade-preço da demanda. Dessa forma: 
𝜕𝑙𝑛𝐶𝑡
𝜕𝑙𝑛𝑃𝑡
= 𝛽3 × 3 = −0,83 × 3 = −2,49 
Logo, para uma variação de 3% em 𝑃𝑡, haverá uma queda de 2,49% em 𝐶𝑡. 
 
(c) (1 ponto) (i) Qual a interpretação econômica teórica de 𝛽1 no modelo apresentado; e (ii) a partir do 
significado econômico do sinal e do valor encontrado na estimativa deste parâmetro, classifique 
economicamente o bem quanto a renda. 
Resposta: 
(i) Elasticidade-renda do consumo. 
(ii) Considerando 𝛽1 = +1,14, como o sinal é positivo significa dizer que o bem é normal (aumentos na 
renda elevam o cnsumo). Com o valor de 1,14, supõe-se que trata-se bem superior (elasticidade-renda maior 
que um). 
 
 
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2. Ao computar a variável distância em relaçãoao centro da cidade em quilômetros (𝑑𝑖𝑠𝑡) o modelo de 
estimação do preço de venda em milhares de dólares de imóveis em uma determinada localidade (𝑝𝑟𝑒ç𝑜) 
ficou expresso por: 
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 = 9,25 + 2,47𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜 − 0,78𝑑𝑖𝑠𝑡 
onde 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜 é o tamanho do terreno em metros quadrados. Considerando que todas as variáveis foram 
testadas e são significativas, analise as afirmações a seguir: 
(a.) (valor: 1 ponto). Para cada aumento de um metro quadrado no tamanho do terreno, quanto varia o 
preço de venda, mantendo inalterada a distância ao centro? 
Resposta: 
Com modelo nível-nível e 𝛽1 = 2,47, tudo o mais constante, então 1 metro quadrado a mais implica em um 
aumento médio de $2.470 no preço do terreno. 
 
(b.) (valor: 1 ponto). Para cada aumento de um quilômetro na distância do terreno até o centro, quanto o 
preço de venda varia, mantendo inalterado o tamanho do terreno? 
Resposta: 
Com modelo nível-nível e 𝛽2 = −0,78, tudo o mais constante, então 1 quilômetro a mais implica em uma 
redução média de $780 no preço do terreno. 
 
(c.) (valor: 1 ponto). Para um terreno de 40 m2, distante do centro 10 km, qual o o preço de venda estimado 
deste terreno? 
Resposta: 
𝐸(𝑌) = 9,25 + 2,47 × 40 − 0,78 × 10 = $100,25 𝑚𝑖𝑙